Representación y Codificación de Señales Audiovisuales en ...
2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemasUniversidad Carlos III de Madrid 2.1 El...
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Universidad Carlos III de Madrid
2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemas
Señales: Funciones con las que representamos variaciones de una magnitud física
Voltaje, intensidad, fuerza, temperatura, posición
( )r t
( )r t
Sistemas: Transforman señalesPueden modelar el comportamiento de
... Una planta química, un sistema hidráulico, un circuito eléctrico, un canal de comunicaciones, ...
2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemas
Generalización
Sistema{ } )()( tytxT =)(tx
( )iV t { }( ) ( )o iV t T V t=
Sistemas: Transforman señalesEjemplo: canal atmosférico
2.1 El mundo físico: representación con señales y sistemas
Generalización
Sistema0( ) ( )y t x t tα= −)(tx
{ }( )T x t 1α ≤
cf
λ =
10 m 100 mHFλ≤ ≤
2.2 Clasificación de señales
Por la naturaleza de la variable independienteDefinidas en tiempo continuo
Notación: x(t)
Ejemplos: Temperatura en función de la alturaVoltaje senoidal
: ( )x
t x t→
→R C
x(t) es una función de variable real
x(t)
t
)46(x)9834232,64(x
2.2 Clasificación de señales
Por la naturaleza de la variable independienteDefinidas en tiempo discreto
Notación: x[n]
x[n]
n
][ :
nxn x
→→CZ
x[n] es una función de variable discreta
]0[x
]1[x
]2[x
[ ]21 existe No x
2.2 Clasificación de señalesPor la naturaleza de la variable independiente
Definidas en tiempo discretoIndicadores económicos: IBEX 35
Predicción: [ ] [ ] [ ] [ ]( ),2,1,1ˆ −−=+ nxnxnxFnx
n
80218113
8032
n-1
7857
n+1 día
2.2 Clasificación de señalesPor la naturaleza de la función
Reales
0 ),10sin()( 99.0 ≥= − ttetx t
[ ] nx n α=
0 1 2 n-1-2
1
αα2
αα2
][nx0 1α≤ ≤
0
1
2 n-1
-2
1
α
α2
α
α2
][nx1 0α− ≤ ≤
( )r t
2.2 Clasificación de señales
Por la naturaleza de la funciónComplejas
Conjugado{ } { }[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= +
{ } ( )*1Re [ ] [ ] [ ]2
x n x n x n= +
{ } ( )*1Im [ ] [ ] [ ]2
x n x n x nj
= −
{ }( ) { }( )2 2[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n x n= +
{ }{ }
1 Im [ ]arg( [ ]) tan
Re [ ]x n
x nx n
− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
{ }•Re
{ }•Im
][nx
n0ω
)1(0 +nω
]1[ +nx
{ } { }*[ ] Re [ ] Im [ ]x n x n j x n= −
{ }Im •2 2z x y= +
: arg arctan yz zx
θ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Módulo:
También llamado “valor absoluto”(el módulo de un real es su valor absoluto)
Fase:z
x
yθ
z
{ }Re •Eje real
Eje imaginario
El plano complejo (Plano z, o de Gauss)
θ
r
13
)2()3( 22
=
−+−== zr
},7.213,7.33,3.146{32arctan
32arctanarg
°°°−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
== zθ3−
2−rad73.3
3 2 j− −
La calculadora no distingue
{ }Im •
{ }Re •
Representación de números complejos
Dibujar el número complejo z = -3-2jen el plano complejo y evaluar módulo y fase
Módulo
Fase
1z
2z21 zz +
12 zz −En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores
Suma y resta de números complejos en el plano complejo
{ }Im •
{ }Re •
Desigualdad triangular
|| 21 zz +
1z
2z
21 zz +|| 1z
|| 2z
|||||| 2121 zzzz +≤+{ }Im •
{ }Re •
2.3 Propiedades de las señales
SimetríaPar
Impar
Parte (im)par de una señal
)()( txtx −=
0 1 2 n-1-2
1
αα2
][][ nxnx −=
0)0()()( =⇒−−= xtxtx
][][ nxnx −−=
( ))()(21)( txtxtxpar −+=
( ))()(21)( txtxtximpar −−=
)()()( txtxtx imparpar +=
0 t
)(tx
αα2
2.3 Propiedades de las señales
SimetríaCalcular la parte par e impar de...
0 t
)(tx
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.3 Propiedades de las señalesPeriodicidad tTtxtxT ∀+=>∃ ),()(,0
{ } nNnxnxNN ∀+=∈>∃ + ],[][,,...3,2,1:,0 N
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ttx π
32cos)(
2 2( ) ( ) cos cos ( )3 32 2 cos 2 cos 2 33 3 3
x t x t T t t T
Tt t k T
π π
π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
¿ 0, ( ) ( ), ?T x t x t T t∃ > = + ∀t
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.3 Propiedades de las señalesPeriodicidad
Si x(t) es periódica de periodo T, también lo es de periodo 2T, 3T, Periodo fundamental:
Menor valor de T (ó N) para el que se cumple que x(t)=x(t+T) (ó x[n]=x[n+N]).
tTtxtxT ∀+=>∃ ),()(,0{ } nNnxnxNN ∀+=∈>∃ + ],[][,,...3,2,1:,0 N
tT T2T−
=+=+= )2()()( TtxTtxtx
Valor medioMedia parcial
2.4 Caracterización de señales
∫+
−
=2
2
,
0
00
)(1)(Tt
TtTt
dttxT
tx ][12
1][0
0
0 12,nx
Nnx
Nn
NnnNn ∑
+
−=
+ +=
0 t
)(tx
0t20Tt +20
Tt −
Intervalo de integración
Valor medioMedia total
Señales periódicas: se considerará la media parcial restringida a un periodo.Ejemplo: x[n]=x[n+N]
2.4 Caracterización de señales
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∞→= ∫
+
−
2
2
0
0
)(1lim)(
Tt
Tt
dttxTT
tx⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞→= ∑
+
−=
][12
1lim][
0
0
nxNN
nxNn
Nnn
][1][1
,
0
0
0nx
Nnx
Nn
nnNn ∑
−+
=
=
0 1 2 n-1-2
1α
α2α
α2
3 4 5
α1
]5[][ += nxnx
Intervalo de suma
Potencia media de una señalSeñales aperiódicas
Señales periódicas de periodo T (ó N)
Energía media de una señal
2.4 Caracterización de señales
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∞→= ∫
+
−
2
2
20
0
)(1limTt
TtX dttx
TTP
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞→= ∑
+
−=
2][12
1lim 0
0
nxNN
PNn
Nnn
X
∫+
−
=2
2
20
0
)(1Tt
TtX dttx
TP
21
][1 0
0
nxN
PNn
nn
X ∑−+
=
=
2( )XE x t dt∞
−∞= ∫
2[ ]Xn
E x n∞
=−∞
= ∑
Señales definidas en energía:Son aquellas para las que
Señales definidas en potenciaSon aquellas para las que
Señales periódicas
2.4 Caracterización de señales
0
0
22
2
lim 1 ( )Tt
TX tP x t dt
T T+
−
⎧ ⎫= < ∞⎨ ⎬→∞⎩ ⎭
∫
2( )XE x t dt∞
−∞= < ∞∫
2[ ]Xn
E x n∞
=−∞
⎛ ⎞= < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
0
0
22
2
1 ( )Tt
TX tP x t dt
T+
−= < ∞∫
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Valor eficaz (valor cuadrático medio)
Señales sinusoidales
2.4 Caracterización de señales
0
0
22
2
1 ( )Tt
TEFF RMS tx x x t dt
T+
−= = ∫
0
0
121 [ ]
n N
EFFn n
x x nN
+ −
=
= ∑
2( ) cos( ) cosp px t V t V tTπω ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
[ ] ( )2
2 2 2( ) cos ( ) 1 cos(2 )2p
p
Vx t V t tω ω= = +
2
0 0
1 1 4( ) 1 cos2 2
T Tp pEFF
V Vx x t dt t dt
T T Tπ⎛ ⎞⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫
( )x t
[ ]2( )x t
EFFx
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000 ( )p t
2.4 Caracterización de señales
Potencia media en circuitos
R
+
−
( )v t( )i t
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
( )i t
( )v t
2 ( )( ) ( ) ( ) [W]v tp t v t i tR
= =
222
2 2 2
( ) cos ( )
(1 cos(2 ))2 2
PR T T
P P EFFT
Vv tP dt t dtR R
V V Vt dtR R R
ω
ω
= =
= + = =
∫ ∫
∫
RP
( ) cos( ) [V]pv t V tω=
Transformaciones (lineales) de la variable independienteReflexión (abatimiento) en t = 0
Escalado
Operación reversible en tiempo continuo
2.5 Operaciones básicas con señales
0T1 T2
)(tx
t 0 -T1-T2
)( tx −
t
0T1 T2
)(tx
t
0
)(atx
t
aT2
aT1
1 compresióna > ⇒
0
)(atx
taT2
aT1
1 expansióna < ⇒
2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente
Ejemplo: Reflexión (abatimiento) en t = 0
2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente
Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encontrar y(t) = x(2t).
2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente
Escalado temporal Ejemplo: Dado x(t), encuentra z(t) = x(t/2).
2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente
Escalado temporal: Dada y(t), encuentra w(t) = y(3t); v(t) = y(t/3).
Transformaciones (lineales) de la variable independienteEscalado (tiempo discreto)
Importante: ¡Operación no reversible!
2.5 Operaciones básicas con señales
0
][nx
n
0
]2[][ nxny =
n
1 compresióna > ⇒
1 expansióna < ⇒
2
]4[]2[ xy =
0
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=caso otroen ,0
k de múltiplo ,][ nknxny
n
2
2
]1[]2[ xy =
1
1-1
Transformaciones de la variable independienteEscalado (tiempo discreto)
Diezmado
Interpolación
2.5 Operaciones básicas con señales
0
]2[][ nxny =
n
compresión 1⇒>a2
]4[]2[ xy =
expansión 1⇒<a0 n2
]1[]2[ xy =
1
0
][nx
n2
1-1
0
][nx
n2
1-1
↓2
↑2
>> y = x(1:2:length(x));Matlab
>> y=zeros(2*length(x),1);>> y(1:2:2*length(x)) = x;
Matlab
Diezmado de señales
Diezmado por un factor 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
n
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
n
α3
Transformaciones (lineales) de la variable independienteDesplazamiento
2.5 Operaciones básicas con señales
0T1 T2
)(tx
t 0
)( 0ttx −
t20 Tt +0t10 Tt +
00 >t
0 1 2 n-1-2
1
αα2
αα2
][nx
0 1 2 n-1-2
1
αα2
αα2
]3[ +nx
-3-4-5
00 <t
2.5 Operaciones básicas con señalesTransformaciones (lineales) de la variable independiente
Desplazamiento: Dada x(t), encuentra x(t-t0)x(t+t0)
Regla: Haz t - t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta t0.Regla: Haz t + t0=0 ⇒ desplazar el origen de x(t) hasta -t0.
2.5 Operaciones básicas con señalesCombinaciones de escalado y desplazamiento:
Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es: Método I: x(at+b)
Desplazamiento: v(t)=x(t+b)Escalado: y(t) =v(at)= x(at+b).
2.5 Operaciones básicas con señalesCombinaciones de escalado y desplazamiento:
Ejemplo: Encuentra x(2t+1) donde x(t) es: Método II:
Escalado: w(t) = x(a t)Desplazamiento: y(t)=w(t+b/a) = x(a (t + b/a)) = x(at + b):
2.5 Operaciones básicas con señales
Ejercicios
Encontrar
0 1 2 t
)(tx
)1( +tx
)1( tx −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − tx
231
1