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Comunicacin XIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

Desarrollo profesional de dos futuras profesoras de matemtica:tensiones que atraviesan la prctica docente planificada,

implementada y reflexionada

Ana Leticia LosanoCONICET Facultad de Matemtica, Astronoma y Fsica [email protected] Mnica VillarrealCONICET Facultad de Matemtica, Astronoma y Fsica [email protected]

Resumen

Considerando a la formacin de profesores desde la perspectiva del desarrolloprofesional, este artculo se centra en un perodo muy particular de la formacininicial de los futuros docentes de matemtica para la educacin secundaria: larealizacin de las prcticas profesionales docentes en escuelas. Particularmente, estetrabajo busca analizar qu nuevos sentidos adquieren, durante el perodo de laprctica profesional docente, los conocimientos y experiencias relacionados con laGeometra, su aprendizaje y su enseanza, que fueron aprendidos y vivenciados en laformacin inicial. Utilizando la investigacin narrativa como enfoque metodolgico,se analiza la experiencia de la prctica profesional docente de dos futuras profesoras.

El anlisis realizado revela que sta es una etapa donde van emergiendo distintastensiones que ponen en conflicto a los futuros profesores. Resolver estas tensionesimplica hacer explcitos y comenzar a transformar saberes y creencias aprendidosdurante sus experiencias como estudiantes.

Palabras clave: profesores de matemtica, formacin inicial, desarrollo profesionaldocente, prcticas profesionales docentes, investigacin narrativa.

Introduccin

Convertirse en un profesor de matemtica no es una tarea sencilla. En este sentido, en los

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Desarrollo profesional de dos futuras profesoras de matemtica: tensiones que atraviesan la prctica

docente planificada, implementada y reflexionada


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ltimos aos la problemtica de la formacin de profesores ha sido el foco de numerosasinvestigaciones en el campo de la Educacin Matemtica (Bednarz, Fiorenini & Huang, 2011;Even & Loewenberg Ball, 2009; Kieran, Krainer & Shaughnessy, 2013). En este trabajo,consideramos a la formacin de profesores desde la perspectiva del desarrollo profesional yexploramos una etapa muy particular en la formacin de profesores de matemtica: el perodo dela formacin inicial donde los futuros profesores realizan sus prcticas profesionales docentes enlas escuelas. Transitar por esta experiencia formativa implica, para los futuros docentes, unpasaje del rol de estudiante al de profesor. En esta transicin tiene lugar un proceso quemoviliza, resignifica y contextualiza los saberes y los valores adquiridos a lo largo de la vidaestudiantil, familiar y cultural (Fiorentini & Castro, 2003: 122). Particularmente, este trabajobusca analizar, durante el perodo de la prctica profesional docente, qu nuevos sentidosadquieren los conocimientos y experiencias relacionados con la Geometra, su aprendizaje y suenseanza, aprendidos y vivenciados en la formacin inicial.

Perspectiva tericaDesde la perspectiva del desarrollo profesional la formacin de profesores se concibe como

un proceso que puede tomar mltiples formas (Ferreira, 2008), involucrando aspectos personales,familiares, institucionales y socioculturales (Fiorentini & Castro, 2003). As, la nocin dedesarrollo profesional considera al profesor y/o futuro profesor como un todo, colocando en elcentro a la participacin del docente en la prctica (Ponte, 1998). Desde esta perspectiva, laformacin es un proceso personal, continuo e inconcluso que ocurre a lo largo de toda la vida delprofesor y que gana intensidad en algunos momentos (Passos et al., 2006).

Realizar investigacin acerca del desarrollo profesional de profesores y/o futurosprofesores implica considerarlos como personas en relacin con el mundo, con su tiempo, conlos otros, con ellos mismos y con las prcticas escolares (Passos et al., 2006). As, la formacines un proceso singular, situado y relacional ya que cada profesor y/o futuro profesor posee suspropios valores y creencias y recorre, junto con otras personas, distintas trayectorias a lo largo desu vida. Por lo tanto, la formacin no es un movimiento aislado que ocurre independientementede la vida personal, social y cultural. Mas bien, es un movimiento inmerso en las prcticassociales y culturales (Fiorentini & Castro, 2003: 124) de las cuales participan los profesores y/ofuturos profesores. As, en la etapa de las prcticas profesionales docentes dentro de la formacininicial, las creencias, objetivos, aspiraciones y orientaciones hacia el conocimiento de los futurosprofesores sern factores crticos a considerar (Goos et al., 2009; Lerman et al., 2009).

Siguiendo esta perspectiva terica el conocimiento del profesor no puede concebirse comoalgo acabado y esttico que el docente recibe mayormente en su formacin inicial y que luego

podr completarse y/o complementarse a travs de cursos de perfeccionamiento. Por el contrario,El conocimiento del profesor es un conocimiento reflexivo, plural y complejoporque es histrico, provisorio, contextual, afectivo y cultural, formando una telams o menos coherente e imbricada de saberes cientficos oriundos de las cienciasde la educacin, de los saberes de las disciplinas y de los currculos y saberes dela experiencia y la tradicin pedaggica (Passos et al., 2006: 196).

Puede considerase que el momento de la insercin en la prctica profesional durante laformacin inicial es una primera oportunidad donde los saberes disciplinares, pedaggicos,didcticos y curriculares adquiridos durante la formacin inicial comienzan a entretejerse con lossaberes provenientes de las experiencias docentes, generando un entramado complejo. La

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construccin de dicho entramado es un proceso lleno de tensiones, donde la escolaridad de losfuturos profesores, las materias dentro de la carrera del Profesorado y las primeras experienciasen la prctica docente suelen generar imgenes conflictivas de la enseanza de la matemtica(Goos et al., 2009). Cuando hablamos de tensiones nos referimos a situaciones donde esnecesario tomar decisiones frente a alternativas que tienen algn grado de antagonismo,incompatibilidad y/o contradiccin (Villarreal, Esteley & Borba, 2008).

Perspectiva metodolgica

La investigacin se llev cabo con estudiantes del Profesorado en Matemtica de laFacultad de Matemtica, Astronoma y Fsica dependiente de la Universidad Nacional deCrdoba (Argentina). El plan de estudios de la carrera incluye dos materias cuatrimestralesdedicadas al estudio de la Geometra Eucldea: Geometra Ien segundo ao y Geometra IIentercero. La materiaMetodologa, Observacin y Prctica de la Enseanza(MOPE) correspondeal cuarto y ltimo ao del plan de estudios y es anual. La estructura y el programa de esta materia

fueron elaborados tomando como base la perspectiva del desarrollo profesional de los futurosprofesores. As, las actividades desarrolladas dentro de MOPE se conciben como espacios deaccin, reflexin e investigacin sobre la prctica docente tomando especial relevancia el trabajocolaborativo (Ferreira, 2008). En el marco de esta materia los futuros profesores desarrollan susprcticas profesionales docentes en escuelas secundarias. Las prcticas se extienden en unperodo de un mes y se realizan en grupos de dos estudiantes/futuros profesores quienes danclase en una misma escuela y en el mismo ao de escolaridad secundaria, aunque en cursosdiferentes. Todas las actividades relacionadas con las prcticas se desarrollan grupalmente. Elprofesor que los recibe en la escuela es denominado tutor, mientras que el docente de MOPE queacompaa a los practicantes es denominado supervisor. En la etapa pre-activa los estudiantesrealizan observaciones de clases y elaboran sus planificaciones bajo el asesoramiento del

supervisor. Dichas planificaciones son tambin revisadas y corregidas por el tutor. En la etapaactiva, cuando uno de los practicantes est a cargo de su curso, el otro compaero realizaobservaciones de la clase y puede actuar como asistente, de ser necesario. Tambin estnpresentes el supervisor y el tutor. En la etapa pos-activa los practicantes deben elaborar unInforme Final de Prcticas, uno de cuyos captulos est dedicado al anlisis de algunaproblemtica surgida en las prcticas, recurriendo a bibliografa proveniente del campo de laEducacin Matemtica.

Consideramos que una perspectiva metodolgica en resonancia con el enfoque quesostenemos acerca de la formacin de profesores es la investigacin narrativa. En unainvestigacin de este tipo los participantes comparten con los investigadores sus historiaspersonales y profesionales permitiendo entrever huellas importantes en su desarrollo profesionala lo largo del tiempo (Clandinin & Connelly, 2000). Un anlisis narrativo trabaja en un espaciotridimensional: un eje temporal, un eje personal-social y un eje referido al lugar o lugares dondesuceden las experiencias a narrar. Por lo tanto, al construir una narrativa, un evento no se analizaen s mismo sino en relacin con su pasado y su futuro y considerando tanto condiciones internasy personales como externas y propias del entorno. La temporalidad es uno de los trminosfundamentales de este enfoque: colocar eventos en el contexto temporal es una manera de pensaracerca de ellos, permitiendo develar el cambio y el aprendizaje de los involucrados. Dentro deuna investigacin narrativa se considera que las personas, en este caso futuros profesores dematemtica, estn siempre en proceso de cambio personal y por ello es necesario narrar a laspersonas en trminos de proceso. As, la narrativa es una buena herramienta para plasmar el

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conocimiento del profesor cuando ste se considera como algo historizado que fluye en formascambiantes y no como algo esttico (Clandinin & Connelly, 2000). Cabe destacar que en elcampo de la Educacin Matemtica el inters por este enfoque metodolgico ha crecido en lasltimas dos dcadas (Gellert, Becerra Hernndez & Chapman, 2013).

Siguiendo este enfoque, presentamos el anlisis en forma de narrativa de las experienciasvividas por dos futuras profesoras, Liliana y Yanela1, quienes cursaron MOPE en 2013,prestando atencin a los nuevos sentidos que adquieren los saberes geomtricos, su aprendizaje ysu enseanza durante el perodo de prcticas profesionales docentes. Ambas autoras de esteartculo se desempeaban como profesoras de MOPE durante 2013, siendo la primera de ellasdocente supervisora de Yanela y Liliana. Buscamos, as, traducir de manera viva y real lacomplejidad del fenmeno vivido por las practicantes, tejiendo una historia que sucede en eltiempo y en el espacio (Fiorentini & Castro, 2003). La narrativa se presenta organizadatemporalmente en cuatro momentos, cada uno de ellos sucediendo en entornos distintos y donde

interactan y/o toman relevancia diferentes personas. A su vez, para la escritura de cadamomento recurrimos a distintas fuentes de datos. En primer lugar, el momento de planificacinde las prcticasdentro de MOPE, donde Yanela y Liliana, en interaccin con las profesorassupervisora y tutora, imaginan su prctica. Las principales fuentes de datos para la escritura deeste momento fueron el programa de la docente tutora, notas de campo de las clases de MOPE yescritos y actividades elaborados por las practicantes. En segundo lugar, el momento deimplementacin de las prcticasprofesionales en el aula, donde las practicantes vivencian lacomplejidad de la prctica docente junto a sus alumnos. Algunas de las respuestas de losestudiantes a las actividades planteadas, las narrativas de las prcticas elaboradas por Liliana yYanela y el Informe Final de MOPE fueron las fuentes de datos para la escritura de estemomento. En tercer lugar, un momento de reflexin sobre la prcticadonde pueden reconocerse

dos instancias. La primera se refiere al planteo y el anlisis, por parte de las practicantes, de unaproblemtica surgida en las prcticas dentro de MOPE. La segunda corresponde a entrevistassemiestructuradas realizadas una vez finalizadas las prcticas. En estas entrevistas Yanela yLiliana vinculan su experiencia en las prcticas con sus historias pasadas particularmente, consu formacin en Geometra en el Profesorado y se proyectan al futuro. Las fuentes de datos paraeste tercer momento fueron el informe final de MOPe elaborado por las practicantes y lasgrabaciones de las entrevistas. Ambas practicantes leyeron la narrativa que aqu se presenta yacordaron en que en ella estn representadas apropiadamente las etapas que transitaron mientrascursaron MOPE.

La narrativa revela a la experiencia de las prcticas profesionales durante la formacininicial como un entramado formado por experiencias vividas y saberes adquiridos durante la

formacin inicial, experiencias y saberes en la prcticay experiencias y saberes en la reflexinsobre la prctica. A lo largo de los tres momentos considerados emergen diferentes tensionesdentro de este entramado que debieron ser resueltas por las practicantes siendo acompaadas yapoyadas por sus profesores de MOPE. La resolucin de estas tensiones implictransformaciones en las practicantes, que reconocemos como evidencias de desarrolloprofesional.

1 Utilizamos los nombres reales de las practicantes ya que ellas dieron su autorizacin para que asfuera.

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Narrativa de la experiencia de Liliana y Yanela

La prctica planificada

A mediados de mayo, Yanela y Liliana junto a dos de las profesoras de MOPE sereunieron, por primera vez, con la docente tutora en la escuela donde realizaran las prcticas.Durante ese encuentro se decidi que las practicantes trabajaran en 1erao y que la unidad adesarrollar sera Geometra y Medida. Los contenidos incluidos en esta unidad en el Programa dela materia eran:

Contenidos conceptuales: Punto, recta y plano. Axiomas. Semirrecta. Segmento. Semiplano.Rectas paralelas y perpendiculares. Figuras cncavas y convexas. ngulos. Clasificacin dengulos. Relaciones entre ngulos: complementarios y suplementarios, consecutivos,adyacentes, opuestos por el vrtice. ngulos determinados por rectas paralelas cortados poruna transversal. Lugar geomtrico. Circunferencia, mediatriz y bisectriz. Figuras convexas.Tringulos. Concepto. Elementos. Propiedad triangular. Propiedad de la suma de los ngulos

interiores. Contenidos procedimentales: Reconocimiento de semirrectas opuestas, segmentos

consecutivos y no consecutivos. Trazado de paralelas con regla y escuadra, y deperpendiculares con escuadra. Anlisis de clasificacin de ngulos. Identificacin yconstruccin de ngulos opuestos por el vrtice, complementarios, suplementarios yadyacentes. Uso del transportador. Clculos con medidas angulares. Trazado decircunferencias, mediatrices y bisectrices. Anlisis de tringulos, circunferencias y crculos.Uso de herramientas geomtricas para la construccin de figuras y justificacin de la validezde los procedimientos empleados. Aplicacin de propiedades en tringulos (Programa de lamateria elaborado por la profesora tutora).

Durante ese encuentro la docente tutora tambin les entreg una copia del material que

utilizaba para desarrollar sus clases. Dicho material, elaborado por la profesora en co-autora conotra profesora de matemtica de la escuela y la vice-directora de la institucin, haba sidoentregado a los alumnos a principio de ao en formato de Cuadernillo. El Programa y elCuadernillo estaban basados en un enfoque axiomtico de la Geometra. Si bien la profesora diolibertad para que Liliana y Yanela elaborasen sus propias actividades, s remarc que para ellaera importante que las definiciones de las nociones matemticas en foco fueran tratadas en clase.

Varios das despus, dentro de la materia MOPE, comenz el trabajo de planificacin delas clases. Una de las profesoras plante a las practicantes los siguientes interrogantes, con laintencin de ayudarlas a encontrar un modo de secuenciar los contenidos: Qu Geometra tienenque saber los alumnos de 1erao?, Qu creen que es lo importante para ensear de Geometra

en 1

er

ao? Estas preguntas invitaban a Yanela y Liliana a realizar una reflexin de naturalezadidctica acerca de la unidad que deberan desarrollar en sus prcticas. En este marco, se lessolicit que analizasen los Documentos Curriculares para la provincia de Crdoba2, vigentes parala Educacin Secundaria, particularmente lo referido al bloque Geometra y Medida para el 1erao. Las practicantes notaron que los lineamientos curriculares establecen, para este perodo, quela Geometra debe enfocarse en la produccin y el anlisis de construcciones geomtricas a partirde ciertas propiedades de las figuras y cuerpos.

Este ejercicio gener varios interrogantes en Liliana y Yanela, develando las primeras

2 Dicho documento puede consultarse en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/EducacionSecundaria/Tomos2v.html(ltima consulta: 30 de noviembre de 2014)

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tensiones a las que se enfrentaron. En primer lugar, se hizo evidente el contraste entre elPrograma propuesto en la institucin y el Cuadernillo que utilizaba la profesora y losDocumentos Curriculares Provinciales. Construir una planificacin ms acorde a loslineamientos curriculares implicaba transformar la secuenciacin poniendo el acento en nocionesmatemticas distintas a las que subrayaban el Programa y el Cuadernillo. As, surgieron deLiliana las preguntas: y qu hacemos con el Cuadernillo? Lo ignoramos? Lo tenemos queusar? (Nota de campo, 13/6/2013).

En segundo lugar, los lineamientos curriculares no proponen un enfoque axiomtico para laGeometra. Imaginar una planificacin que no comenzase por la presentacin de los axiomas deEuclides fue algo que interpel fuertemente a las practicantes y las puso en tensin,principalmente porque ste era el enfoque con el que haban aprendido Geometra en su paso porel Profesorado. Emergieron interrogantes como: Qu lugar le vamos a otorgar a los axiomasdentro de la planificacin?, Cmo empezamos si no empezamos por los axiomas? (Nota de

campo, 16/6/2013). Si bien las estudiantes manifestaron que queran elaborar actividades quefavorezcan el anlisis reflexivo, la produccin de argumentaciones y la justificacin en eldesarrollo de los procedimientos siguiendo los lineamientos del currculum provincial,apartarse de un enfoque que caracteriza nociones bsicas y, a partir de ellas, va construyendonuevas nociones, las haca sentirse confusas y desorientadas.

La docente supervisora de MOPE sugiri a Yanela y Liliana utilizar mapas de ciudadescomo recurso para las actividades que elaborasen. Explorando esta sugerencia las practicantesvieron que a travs de distintos recorridos marcados en un mapa podan tratarse muchas de lasnociones que deban desarrollar, tales como segmento, ngulos, rectas paralelas yperpendiculares. As, elaboraron actividades donde, a travs de un mapa, se planteabansituaciones tales como: encuentros entre dos personas, recorridos para llegar a algn lugar,

indicaciones para orientarse en una ciudad, etc.Puede verse, entonces, que la etapa de planificacin estuvo marcada por continuas

tensiones entre el Programa y el Cuadernillo propuestos por la profesora tutora; las demandas delas profesoras de MOPE y de la profesora tutora; los documentos curriculares y el enfoque con elque aprendieron Geometra durante la formacin inicial. Buscando una resolucin posible deestas tensiones Yanela y Liliana fueron construyendo una secuenciacin para las nociones quetrataran en sus prcticas y las respectivas actividades para plantearles a sus alumnos.

Su planificacin qued dividida en dos grandes bloques. El primero de ellos iniciaba conun conjunto de actividades para trabajar con conceptos bsicos de Geometra, recuperandoalgunas nociones que los alumnos ya haban tratado en el Nivel Primario (recta, semirrecta,

segmento, ngulo) y presentando otras nuevas (semirrectas opuestas, segmentos consecutivos,clasificacin de ngulos, rectas paralelas y perpendiculares). Luego, se institucionalizaran lasdefiniciones geomtricas involucradas. Para ello, las practicantes trabajaron con definicionespresentadas en el Cuadernillo y elaboraron presentaciones Power Point y animaciones conGeoGebra. Como uno de los objetivos de presentar estas definiciones formales era que losalumnos pudiesen construir argumentaciones haciendo uso de ellas, el primer bloque culminabacon un conjunto de actividades donde los estudiantes utilizaran las definiciones para justificarsus respuestas. Por ejemplo, luego de definir a las semirrectas opuestas como aquellas que estnen la misma recta tienen el mismo origen pero distinto sentidopropondran la siguiente actividadque vena acompaada del mapa que se muestra en la figura 1:

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Observar el siguiente plano y responder:a) Observas semirrectas opuestas? Si es as, nombra y marca con un color en el plano todaslas semirrectas opuestas que reconozcas. Por qu te parece que dichas semirrectas son

opuestas? Escribe tu justificacin.

Figura 1. Mapa de la actividad.

Un segundo bloque incluira actividades en las cuales se trabajara con la construccin decircunferencias, mediatrices y bisectrices desde la nocin de lugar geomtrico.

La prctica implementada

El desarrollo de las prcticas en el aula gener diversas tensiones entre lo inicialmenteplanificado y lo que luego fue posible realizar. En primer lugar, y en relacin con la planificacinen general, la realizacin de las actividades llev ms tiempo del esperado de manera que no sepudieron llevar adelante las actividades correspondientes al segundo bloque de la planificacin.

En segundo lugar, hubo tensiones entre lo planificado y lo efectivamente realizado enrelacin al trabajo con definiciones formales de nociones geomtricas. La presentacin de dichas

definiciones y su utilizacin para la construccin de argumentaciones fueron aspectos difciles detratar con los alumnos, y que, durante todo el perodo de prcticas, interpelaron continuamente alas practicantes. Segn ellas lo expresaron:

Si bien durante las prcticas intentbamos plantear interrogantes que lespermitiesen a los estudiantes progresar en los fundamentos de los que se valanpara argumentar sus conjeturas, fue notable la complejidad que present el hechode trabajar con definiciones formales en primer ao (Informe final MOPE, p. 90).

En los momentos de presentar las definiciones formales, Liliana y Yanela tuvieron quehacer un importante esfuerzo por conectarlas con las nociones que los alumnos haban aprendidoen el Nivel Primario. Las presentaciones, donde se pona en comn el trabajo de los estudiantesen las actividades y se institucionalizaban las definiciones, supusieron uno de los mayores

desafos para las practicantes. Yanela narra con las siguientes palabras esta experiencia:Estas presentaciones eran lo que representaban mayor dificultad para m, dondedeba hacer ese puente entre lo que ellos saban y haban hecho en las actividades,con el mundo formal de la matemtica, con lo que se pretenda que aprendieran.Deba tener preguntas claras y adecuadas para lograr eso, como tambin entenderlo que los alumnos me decan en sus respuestas, donde a veces las mismas no eranfciles de comprender, como recuerdo en una clase donde decid hacer pasar alalumno a explicar lo que me quera decir usando el pizarrn y as pude entenderlo(Narrativa de las prcticas, Yanela).

Si bien durante la etapa de planificacin las practicantes haban elaborado guiones para

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gestionar estas presentaciones y haban imaginado algunas preguntas que los alumnos podranformular, el momento de la prctica no puede ser previsto completamente. En estas primerasexperiencias para Yanela era muy importante la claridad de su discurso, principalmente en laspreguntas que formulaba. Al mismo tiempo, descubre que las respuestas e intervenciones de losalumnos no siempre son claras y debe, entonces, embarcarse en el importante proceso deaprender a escuchar a sus estudiantes.

En tercer lugar, existi una tensin entre lo imaginado y lo vivido en relacin a laelaboracin de argumentaciones. Al momento de poner en marcha cada una de las actividadesdestinadas a que los estudiantes construyan justificaciones utilizando las definiciones presentadaslas practicantes encontraron que sus alumnos daban respuestas muy variadas, muchas de lascuales no utilizaban las definiciones de la manera esperada. As, para la actividad presentada en

la seccin anterior, las practicantes esperaban respuestas como: a acy adson semirrectasopuestas porque estn sobre la misma recta, comparten el mismo origen, que es el punto a, y

tienen sentidos opuestos. Si bien hubieron algunos alumnos que dieron respuestas prximas a laesperada, muchos de ellos construyeron otras justificaciones. Por ejemplo, un alumno respondi:son opuestas porque tienen el mismo origen y forman un ngulo llano (Respuesta Alumno 1).Otra alumna respondi:

S observo semirrectas opuestas.

ab es semirrecta opuesta con ae

ac es semirrecta opuesta con ad

Dando la siguiente justificacin y agregando el ejemplo grfico mostrado en la figura 2:

Son semirrectas opuestas porque tienen un punto de partida que es el extremo en comnentre las semirrectas y tienen distintas direcciones (Respuesta Alumna 2).

Figura 2. Ejemplo dado por una alumna.

Estas respuestas produjeron sorpresa e interpelaron a las practicantes. Se planteaban enesos momentos preguntas como: Qu quieren decir estas respuestas?, Son correctas?, Indicancomprensin por parte de los estudiantes? Hacer el esfuerzo por producir sentido acerca de estasrespuestas no esperadas por ellas fue un proceso arduo y que atraves buena parte de sus

prcticas. As, era difcil para las practicantes descubrir indicios de comprension en estasrespuestas y para analizar el trabajo de sus estudiantes se ataban a la definicin formal de lasnociones tratadas. En estos momentos se puso en tensin la idea de que si ellasinstitucionalizaban una definicin formal de una nocin geomtrica entonces luego los alumnosla utilizaran textualmente en sus respuestas.

La prctica reflexionada

Una primera instancia de reflexin sobre la prctica profesional docente se puso en marchadentro de MOPE cuando, una vez finalizadas las prcticas, se propuso a los alumnos querealizaran un anlisis de alguna problemtica que hubiese emergido durante esta experienciacomo docentes. Visto que las variadas respuestas que Liliana y Yanela haban obtenido a las

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preguntas del tipo por qu...? las haban interpelado fuertemente, en una primera instancia laspracticantes pensaron focalizar la problemtica en estas respuestas. Varias discusiones con lasdocentes de la materia hicieron que en la problemtica tambin se considerase la tarea delprofesor. As, las practicantes definieron la problemtica de la siguiente forma:

La problemtica que analizaremos est relacionada con nuestra inquietud porconocer el papel que juegan las actividades y consignas planteadas, en los distintostipos de argumentaciones que puede elaborar un alumno en una clase deMatemtica. En particular, queremos analizar esta cuestin a la luz de lacomplejidad de trabajar con definiciones formales en primer ao (Informe FinalMOPE, p. 86).

Con la problemtica as definida, el foco de atencin se corra desde el anlisis de lasproducciones de los estudiantes hacia la interrelacin entre estas producciones y las consignaspresentadas por el docente. As, este movimiento de foco implic que su actividad como

docentes tambin estuviese incluida en el anlisis. Segn sus palabras:A partir de estos interrogantes comenzamos a enfocar nuestra problemtica msen las actividades propuestas y la interrelacin entre la actividad y la produccin delos estudiantes, en lugar de colocar slo al alumno en escena (Informe FinalMOPE, p. 90).

Llevar adelante el anlisis de esta problemtica involucr, entre otras cosas, volver a leerlas producciones de los estudiantes indagando cules eran los recursos que utilizaban paraelaborar argumentaciones, para luego intentar categorizarlas. De esta manera, encontraron que,adems de las argumentaciones que hacan un uso esperado de la definicin formal dada enclases, haba justificaciones que hacan uso del mapa como recurso visual, mientras que otrasutilizaban las nociones aprendidas en el nivel primario o recurran a diferentes ideas

desarrolladas en las clases.Llevar adelante esta reflexin involucr para las practicantes resolver buena parte de las

tensiones generadas durante el perodo de las prcticas y, a partir de all, transformar la miradaque tenan sobre las producciones de los alumnos. En las siguientes citas, las practicantes relataneste cambio contrastando el antes y el despus de realizar el anlisis de la problemtica:

Al principio [...] nosotras queramos que los alumnos pudieran argumentar usandodefiniciones formales pero en ese momento no tombamos conciencia de lasrespuestas, decamos: Ah! Los alumnos no pudieron justificar usando la definicinformal [...] Tenamos esa idea como que al no poder dar la definicin formalpensbamos que no haban entendido los chicos y por ah, cuando analizamos lasrespuestas [...] nos dimos cuenta [..] que los chicos estaban diciendo cosas que eranimportantes. Que tenan conocimiento. A lo mejor hay chicos que nos escribieronde diez la definicin formal pero se la estudiaron de memoria y no sabemos sirealmente entendieron (Entrevista Yanela, 26/11/2013).

Me di cuenta que los chicos haban aprendido un montn, que pueden demostrarque aprendieron un montn y que pueden construir solos un montn de cosas atravs de problemticas (Entrevista Liliana, 26/11/2013).

Esta nueva mirada sobre las producciones de los estudiantes permiti a Yanela y Lilianaver la riqueza contenida en las respuestas de sus alumnos y descubrir nuevos recursos parareconocer argumentaciones que estaban cargadas de sentido para los estudiantes. As, para larespuesta del Alumno 1 mencionada en la seccin anterior, pudieron ver que el estudiante

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compona su propia definicin de semirrectas opuestas a partir de otra nocin tratada en clases:la de ngulo llano. Para la respuesta de la Alumna 2, Liliana y Yanela pudieron notar que elreconocimiento de las semirrectas opuestas era correcto y que, si bien en la argumentacin hayalgunas nociones confusas, la alumna construye a un ejemplo grfico para apoyar su afirmacin.Consideramos a esta transformacin de la mirada sobre las producciones de sus estudiantes comouna evidencia de desarrollo profesional.

Su nueva forma de ver las producciones de los estudiantes corra la atencin de lasdificultades de los alumnos hacia sus aciertos y potencialidades. A su vez, esta nueva mirada lesposibilit cuestionar el valor que le daban a las definiciones formales como recurso para laconstruccin de argumentaciones. As, empezaron a plantearse preguntas respecto del grado degaranta de comprensin que brindan las respuestas que reproducen una definicin formal.

Es importante resaltar que esta transformacin de la mirada pudo emerger cuando Yanela yLiliana tuvieron la oportunidad de embarcarse en una actividad reflexiva sobre su propia

prctica, es decir, a partir de intentar dar respuesta a un interrogante que se formul desde y apartir de las tensiones que emergieron en su propia experiencia como profesoras de matemtica.

Una segunda instancia de reflexin sobre la prctica tuvo lugar durante entrevistasindividuales semiestructuradas. En ellas fue posible ahondar en las relaciones entre las historiasde formacin de Liliana y Yanela y las prcticas que llevaron adelante. Liliana mencion cmosu mirada previa hacia las producciones de los estudiantes estaba marcada por las huellas quehaba dejado en su trayectoria la formacin inicial en el Profesorado.

Yo pensaba que haba tenido una buena formacin y ahora no pienso lo mismo, ycreo que probablemente haya influenciado en que nos enfocramos en ver qu eralo complicado que haban hecho los alumnos o qu les haba costado ms, cules

eran los errores, en qu se haban equivocado y no nos dejaba ver todo lo que shaban logrado y que nos dej ver [el anlisis de] la problemtica. Todo lo quehaban hecho! Haban hecho un montn de cosas! Y no lo logrbamos ver(Entrevista Liliana, 26/11/2013).

En las palabras de Liliana la formacin inicial aparece como un factor importante en laconstruccin de una mirada que pone el acento en las dificultades y en las complicaciones que espreciso que los estudiantes sorteen en su aprendizaje matemtico. Esta es una mirada construidaantes de pasar por la experiencia de la prctica profesional docente. En el momento dereflexionar sobre esa prctica, esta mirada comienza a ser una barrera que invisibiliza aspectosfundamentales de lo que ocurre en el aula. La tensin entre esta mirada y la experiencia vivida enla prctica debe resolverse, creando una nueva manera de ver las producciones de los estudiantes.

Yanela relacion la importancia que haban otorgado a las definiciones formales con la forma enla que frecuentemente fue evaluada como alumna:

Me di cuenta de [que] [...] tambin tiene que ver con que yo siempre fui evaluadaas. Era siempre dar la definicin noms [] Yo me acuerdo que en todas lasevaluaciones tena que estudiar definiciones [] Me parece que por ah hubomomentos en los que uno [...] iba y presentaba directamente como uno estabaacostumbrado, uno iba y trataba de dar la definicin y por ah creo que algo que mecostaba era hacer ese paso de la actividad que los chicos estaban haciendo parallegar a lo que yo quera presentar, a las definiciones. En esos momentos me pareceque s hay rasgos de mi formacin (Entrevista Yanela, 26/11/2013).

Durante sus experiencias como estudiante Yanela se habitu a una forma de enseanza

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donde una de las tareas fundamentales del profesor es la presentacin de definiciones formalesque luego se aplicarn en problemas y ejercicios. Esta forma de enseanza tiene asociada unamanera de evaluar: la respuesta correcta es aquella que consigue reproducir la definicin de lanocin matemtica involucrada. Durante la entrevista, la practicante puede percibir que huboocasiones en sus clases en las que reproduca el esquema que utilizaban sus profesores.

Por ltimo, las practicantes vincularon su experiencia como docentes durante la prcticaprofesional con sus experiencias como aprendices de Geometra:

Yo [...] estaba acostumbrada a aprender de una forma tradicional. Te presentandefiniciones, axiomas, los teoremas [...] Entonces me costaba mucho darme cuentade cmo se poda ensear [] La forma que yo aprend Geometra fue algo que meinfluy mucho a la hora de pensar cmo yo poda ensear Geometra en lasprcticas [] Creo que lo que tiene la facultad es que te brindan muchoconocimiento, por ah lo que faltara es [...] dar formas de cmo ensear o por ah

[...] implementar otra forma de enseanza, algo que nos pueda ser til a nosotros ala hora de despus ir a dar clases (Entrevista Yanela, 26/11/2013).

Tanto en Geometra como en muchas otras materias... es como que yo siento queac [...] nunca nos dan las herramientas o no se acercan mucho a lo que realmentevamos a dar en el aula, s es importante que nosotros deberamos saber ms que losalumnos o profundizar ms en algunos conocimientos pero me gustara que dealguna manera nos encaminaran. O sea, vemos como diez mil teoremas, muyformales (Entrevista Liliana, 26/11/2013).

Ambas citas resaltan como fuente de importantes tensiones a la distancia entre lo aprendidoen los cursos de Geometra del Profesorado y su futura tarea como docentes. Para las dospracticantes parece haber un salto importante entre la formalidad con la que debieron estudiar

Geometra en la carrera y la prctica docente en la escuela secundaria. Esta brecha se origina enla falta de oportunidades para reflexionar, desde las materias especficas de matemtica, acercade cmo ciertos contenidos pueden trabajarse en la educacin secundaria. Una forma de salvaresta distancia, segn Yanela, sera poder experimentar, como alumna de estas materias, otrasformas de enseanza que pudieran ser tiles cuando se transforme en profesora. Las citasanteriores revelan que las visiones sobre el trabajo de sus alumnos y de ellas mismas comodocentes son una produccin histrica, profundamente enraizada en las experiencias vividascomo alumnas. As, una de las tensiones presentes a lo largo de toda la experiencia de lasprcticas fue la tensin entre sus experiencias como estudiantes y la que estaban viviendo porprimera vez siendo profesoras.

Durante la entrevista tambin fue posible hablar acerca de cmo las practicantes

imaginaban su futura prctica docente. En la siguiente cita, Liliana se proyecta a futuro a partirde lo aprendido en el pasado y de su experiencia en MOPE:

Tengo que mirar el trabajo que logran los alumnos. La propuesta que yo llevara[al aula] sera totalmente diferente pero si [lo realizado en clase] no se acerca tantoa lo que yo planificaba, ver qu es lo rico que puedo sacar de ah, que era algo queyo antes no tena muy en cuenta [] Si no pasaba por este tipo de experiencias ibaa terminar siendo la profe que no quera ser, que tiene que ver mucho con laenseanza que yo recib. Tena en claro que [eso] no era lo que me gustaba, peroera la nica forma en la que yo saba defenderme y ahora tengo otras herramientasque me ayudan a ir cambiando de a poco, seguramente que me faltan un montn decosas pero esto es un gran avance (Entrevista Liliana, 26/11/2013).

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Si bien Liliana estaba en tensin con la forma tradicional de enseanza que haba vividocomo alumna y no quera reproducirla cuando fuera profesora, al mismo tiempo esasexperiencias la provean de herramientas con las cuales defenderse la primera vez que seenfrentaba a la prctica docente. Las palabras de Liliana ponen tambin en primer plano laimportancia de MOPE como un entorno donde es posible ir superando estas visionestradicionales de la enseanza y donde puede emerger una identidad profesional ms cercana a laque ella imaginaba y deseaba.

Consideraciones finales

La narrativa de la experiencia de las prcticas profesionales de Liliana y Yanela nos lleva areflexionar, en primer lugar, acerca del conocimiento que necesita poner en marcha el profesorcuando se desempea en el aula un conocimiento necesariamente complejo, plural y situado ycmo la formacin inicial contribuye a la constitucin de dicho conocimiento. A nivel delconocimiento disciplinar de Geometra, las palabras de las practicantes nos advierten que durante

la formacin inicial en el Profesorado este conocimiento est fuertemente centrado en losaspectos formales del contenido, siendo difcil conectarlo con la prctica en las escuelassecundarias. Acordando con Fiorentini & Castro (2003), consideramos que un dominio profundode la naturaleza de las ideas matemticas y su desarrollo histrico que permita a los futurosprofesores organizar de distintos modos los conceptos y principios bsicos de la Geometra, esfundamental para que el profesor tenga la autonoma necesaria para producir su propio currculo.Las discusiones acerca del diseo curricular para carreras de Profesorado en Matemtica sonfrecuentes y de vigencia en muchos pases (Lerman et al., 2009). En el caso analizado parecenecesaria una revisin de la carrera, teniendo como meta la formacin de un profesional que noslo posea un dominio operacional y tcnico de la matemtica sino que pueda hacer uso delmismo teniendo en vista la formacin de nios y adolescentes.

En segundo lugar, el anlisis realizado en este artculo subraya el potencial de la reflexinsobre la propia prctica pedaggica como catalizador del desarrollo profesional de los futurosprofesores. A travs de la reflexin sobre sus prcticas, Yanela y Liliana pudieron comenzar aproblematizar y transformar algunas de sus creencias, concepciones y saberes en torno a laGeometra, su enseanza y su aprendizaje. A lo largo de la experiencia fueron transformando ellugar y el rol que le daban a las definiciones formales y, a su vez, pudieron rastrear en su propiatrayectoria como estudiantes algunas fuentes que sustentaban sus creencias en relacin con estetema. Por ltimo, la narrativa presentada revela que la experiencia de MOPE es un momentofundamental en la formacin de los futuros profesores, siendo una oportunidad para poner entensin muchos de los saberes y modelos de enseanza y aprendizaje aprendidos durante susaos como estudiantes. Ser necesario, entonces, imaginar planes de estudio para la formacininicial de los profesores de matemtica donde la insercin en la prctica profesional no ocurraslo en el ltimo ao de la carrera y donde sea posible crear conexiones con las otras disciplinas.

Agradecimientos:A los miembros del GECyT-rea Educacin Matemtica por susvaliosos comentarios de versiones preliminares de este artculo. A Yanela y Liliana por su granpredisposicin para compartir con nosotras esta experiencia dentro de su formacin inicial.

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