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2019 年度工業力学Ⅱ（1A：山崎）

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2019 年度工業力学Ⅱ Engineering Mechanics II

（担当：教授山崎徹 23-510 室，[email protected]）

【到達目標】本講義の到達目標は、受講生が①物体の位置、速度、加速度を扱う運動学と、運動と力

や力のモーメントとの関係を扱う動力学の基礎を理解すること、②それらを実際的な問題に応用できる

力を身に付けることである。数学は物理の計算を行うための重要な手段である。本科目と必修科目であ

る数学演習 I、数学演習 II をしっかりと履修してほしい。

【授業内容】機械を設計するには、まず機械およびその要素・部品の運動を理解することが不可欠で

ある。そのためには、物体の位置、速度、加速度を扱う運動学と、運動と力や力のモーメントとの関係

を扱う動力学の知識が必要となる。「工業力学 II」では、質点と剛体を対象に、運動学と動力学を学ぶ。

これらは、機械工学の四力学と呼ばれる材料力学、流体力学、工業熱力学、機械力学を学ぶ上での基礎

となる。

【授業計画】各回の講義と演習は以下のように予定している。進捗状況により内容は前後する。高校

物理の復習に加え、新たなことを積み重ねていくことになるのでの予習と復習が必要である。予習は、

事前に教科書（以下の各回の「第●章」に該当）を読んで分からない用語や数式に下線を引いておくこ

とが大事である。復習は、講義中に指示するテキストまたは参考書等にある例題や演習問題を解いてく

ることが大事である。なお予習・復習あわせて各回あたり約 4 時間の自己学習を想定しているが、予習

については開講前に複数回分をまとめて行うことをお勧めする。全体像がつかみやすくなるので効果的

である。

①9/24

②10/1

③10/8

④10/15

⑤10/29

0：ガイダンス・シラバスの確認・工業力学Ⅰの復習（２回）

第 1 章力の取り扱い（座標，ベクトル，力の表現方法と合成，力の分解，

モーメント，1 軸回りのモーメント，偶力とモーメント，

力の平行移動）

第 2 章力の釣り合い（一点に働く力の釣り合い，斜面に働く力，

着力点が異なる力の釣り合い，重心）

現在の実力テスト

Ⅰ：第 3 章運動の記述（３回）

3・1 運動と自由度

3・2 直線運動（距離・速度・加速度の関係，空間上での取り扱い）

3・3 回転運動

3・4 旋回運動

3・5 剛体の曲線運動

3・6 相対運動

学籍番号：

氏名：


2/28

⑥11/5

⑦11/12

⑧11/19

⑨11/26

⑩12/3

⑪12/10

⑫12/17

⑬1/7

⑭1/14

Ⅱ：第 4 章質点の動力学（２回）

4・1 質点の直線運動（運動の法則，運動方程式）

4・2 質点の平面運動（平面運動の取り扱い，放物運動，空気抵抗を考慮した放

物運動，振子の運動）

中間試験

Ⅲ：第 5 章仕事とエネルギー（１回）

5・1 仕事と仕事率

5・2 力学的エネルギー（運動エネルギー，ポテンシャルエネルギー）

5・3 力学的エネルギー保存の法則

5・4 散逸エネルギー

Ⅳ：第 6 章衝突（１回）

6・1 運動量と力積

6・2 運動量保存の法則

6・3 物体の衝突（向心衝突，斜めの衝突）

Ⅴ：第 7 章剛体の運動（３回）

7・1 質点運動と剛体運動の違い（物体の種類，質点と剛体の運動形態）

7・2 剛体の運動学（固定軸まわりの回転運動，一般的な平面運動）

7・3 剛体の動力学（運動方程式，慣性モーメント）

最終試験

【授業運営】授業は講義形式で行い、演習を交えながら説明する。授業運営の詳細については初回授

業時間中に改めて説明する。講義に関係することを WebSt@tion や dotCampus のお知らせに配信するこ

とがあるので必ず授業前に確認すること。携帯電話は机の上に置かずカバンの中にしまうこと。

使用書を用いる．使用書に書き込む．配布資料にまとめを書き込む．

【評価方法】中間試験 30%、最終試験 70%で評価する。講義を 4 回以上欠席した者は評価の対象とし

ない。第 9 回と第 14 回に教科書・配布資料の提出を行い、提出しなかった者は評価の対象としない。

【オフィスアワー】基本的に，火曜日の２時限に，２３号館５０２研究室（内線３７５１）もしくは

５１０教授室（内線３７５８）へ．また，メール（[email protected]）では随時受け付ける．なお，

質問や指摘は講義後にもその場で受け付ける．

【使用書】景山一郎．矢口博之．山崎徹『基礎からの機械力学』[日新出版]


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講義：ガイダンス（工業力学とは？）

【1】シラバスの確認

【2】改めて考えてみよう

(ア) 工学とは？

(イ) 力学とは？

(ウ) 静力学・動力学とは？

(エ) 運動とは？

(オ) 工業力学とは？

★「○○学」とは．

現象数学モデル把握,予測,設計


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★工業力学Ⅱの GOAL

Ⅰ：運動の記述

「運動」とは？＝「位置・速度・加速度」のこと．

全ての「運動」＝ Σ（並進運動）＋ Σ（回転運動）

「自由度」とは？＝運動を表現するのに十分な位置（変数）の個数

Degree of Freedom：DOF

Ⅱ：質点の動力学

「動力学」とは？＝「力」と「運動」の関係を扱う学問つまり「運動方程式」

Ⅲ：仕事とエネルギー

仕事 [ J ]（ジュール）＝力 × 変位：並進方向

＝トルク × 回転角：回転方向

仕事率 [ W ]（ワット）＝ [ J/s ] ＝動力＝仕事／時間＝力 × 速度

力学的エネルギー＝運動エネルギー・ポテンシャルエネルギー・散逸エネルギー

運動エネルギー [ J ] ＝ �

��

ポテンシャルエネルギー [ J ] ＝弾性エネルギー(�

��) ＆位置エネルギー（��ℎ）

散逸エネルギー [ J ] ＝ �

��

力学的エネルギー保存則＝運動・ポテンシャル・散逸のエネルギーの和＝一定

Ⅳ：衝突

運動量（��）＆力積（∆�）＝ “いきおい“

運動量保存則＝ Σ（� � ）＝一定

はねかえり係数 e ＝－��

��

Ⅴ：剛体の運動

物体の種類（モデリング）相対運動運動方程式


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現在の実力テスト

【1】物体を下に 5m/s で投げた．物体の加速度は 10m/s2 として，7 秒後の物体の速度を求めよ

【2】物体を下に 5m/s で投げた．物体の加速度は 10m/s2 として，7 秒後の物体の距離を求めよ

【3】物体が 10m/s で運動している．2m/s2 で減速し停止する間に物体はどれだけ移動するか．

【4】右図の用に 50kg の物体が 30°の斜面に乗っている．10 秒間に

2m 動いたとき．重力が物体にした仕事，重力の仕事率を求めよ

【5】高さ 10m の建物から物体を落下させたとき．接地直前の速度を求めよ

【6】野球で．ピッチャーが質量 0.1kg のボールを 40m/s で投げました．バッターはこれを 30m/s で打ち

返しました．このとき．

(1) バッターがボールに加えた力積を求めよ

(2) ボールとバットが 0.03 秒間接したとき．ボールに加わった力を求めよ．ただし．ボールが打

ち返された方向を正とする．

【7】質量 12kg の物体 A が速度 5m/s で運動している．これが質量 8kg で静止している物体に弾性衝突を

した．衝突後の A，B の速度を求めよ．

【8】右図のシンソーはどちらに動くか．

【9】第一宇宙速度を求めよ．ただし．地球の質量を M．万有引力定数を G．地球の半径を Rとする．

解答 [1] 75m/s，[2] 280m，[3] 25m，[4] (1) 490J，(2) 49W，

[5] 14m/s，[6] 233N，[7] 1m/s，6m/s，[8] 右，[9] Sqrt(GM/R)


6/28

【答案用紙】


7/28

解答【1】ｖ＝ｖo＋ａｔ＝５＋１０×７＝７５[m/s]

解答【2】ｓ＝ｖo ｔ＋１／２ａｔ2＝５×７＋１／２１０×７2＝３５＋２４５＝２８０[m]

解答【3】ｖ2－ｖo2＝２ａｓよりｓ＝ｖ2－ｖo2，２ａ＝０2－１０2 ２×(－２)＝２５[m]

解答【4】 (1)Ｆ・・・重力は下に５０×９．８＝４９０[N]の力を加え．

ｓ・・・移動した距離は２[m]

θ・・・Ｆとｓのなす角度は６０°なので

Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ＝４９０×２×１／２＝４９０[J]

(2)ｐ＝Ｗ／ｔ＝４９０／１０＝４９[W]

解答【5】接地直前の速度をｖ．質量をｍとする．落下前の各エネルギーは

運動エネルギー：１／２ × ｍ × ０2 ＝０

位置エネルギー：ｍ × ９．８ × １０＝９８ｍ

落下後の各エネルギーは

運動エネルギー：１／２ × ｍ × ｖ2 ＝ｍｖ2／２

位置エネルギー：ｍ × ９．８ × ０＝０

エネルギー保存の法則より

０＋９８ｍ＝ｍｖ2／２＋０，ｖ2＝１９６，ｖ＝１４[m/s]

解答【6】バッターがボールに加えた力積をＮとすると．－0.1×40＋Ｎ＝0.1×30，Ｎ＝７[kg・m/s]

Ｎ＝Ｆｔより７＝Ｆ×０．０３Ｆ＝２３３[N]

解答【7】衝突後のＡ，Ｂの速度をＶＡ,ＶＢとすると，運動量保存の法則より

１２×５＋８×０＝１２ＶＡ＋８ＶＢ－－－①

また．弾性衝突をしたので

ＶＡ－ＶＢ＝－１（５－０）－－－②

これらを連立させると，ＶＡ＝１[m/s]，ＶＢ＝６[m/s]

解答【8】シンソーの支点を中心のモーメントを考える．

左には．反時計回りにモーメントが加わっているので符号は負になる．

ｒとＦのなす角は９０°なので．

Ｎ1＝－１×（１５×９．８）×１＝－１４７

一方右はＮ2＝＋１×（１０×９．８）×３＝=２９４

Ｎ＝Ｎ1＋Ｎ2＝－１４７＋２９４＝１４７

正なので．時計回りに回転する→右に倒れる

解答【9】人工衛星が地球の周りを回転するとき下向きに重力．上向きに遠心力を受ける．重力は人工衛

星の質量をｍとすると，Ｆ1＝ＧＭｍ／Ｒ2，一方，遠心力はＦ2＝ｍｖ2／Ｒ，Ｆ1＝Ｆ2 なので

ｖ2＝ＧＭ／Ｒ，ｖ＝／ＧＭ＼1/2 ＼Ｒ／


8/28

まとめ Ⅰ：第 3 章運動の記述

3・1 運動と自由度

3・2 直線運動（距離・速度・加速度の関係，空間上での取り扱い）

3・3 回転運動

3・4 旋回運動

3・5 剛体の曲線運動

3・6 相対運動


9/28

第 3 章運動の記述


10/28



11/28



12/28



13/28


【基礎１】ベクトルの微分

【基礎２】ベクトルの内積

【基礎３】ベクトルの外積


14/28



15/28

まとめ Ⅱ：第 4 章質点の動力学

4・1 質点の直線運動（運動の法則，運動方程式）

4・2 質点の平面運動（平面運動の取り扱い，放物運動，空気抵抗を考慮した放

物運動，振子の運動）


16/28

第 4 章質点の動力学


17/28

まとめ Ⅲ：第 5 章仕事とエネルギー

5・1 仕事と仕事率

5・2 力学的エネルギー（運動エネルギー，ポテンシャルエネルギー）

5・3 力学的エネルギー保存の法則

5・4 散逸エネルギー


18/28

第 5 章仕事とエネルギー


19/28

まとめ Ⅳ：第 6 章衝突

6・1 運動量と力積

6・2 運動量保存の法則

6・3 物体の衝突（向心衝突，斜めの衝突）


20/28

第 6 章衝突


21/28

第 6 章衝突

（追加）角運動量流体力学で利用

Q：右図のような偏心衝突はどう考える？

A) 運動量（）

運動量保存則

B) 角運動量（）

角運動量保存則


22/28

第 6 章衝突


23/28

まとめ Ⅴ：第 7 章剛体の運動

7・1 質点運動と剛体運動の違い（物体の種類，質点と剛体の運動形態）

7・2 剛体の運動学（固定軸まわりの回転運動，一般的な平面運動）

7・3 剛体の動力学（運動方程式，慣性モーメント）

【GOAL】

【Point】

点 Q の速度ベクトル vQ，加速度ベクトル aQ


24/28

第 7 章剛体の運動

【復習】


25/28



26/28



27/28



28/28


END

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