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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 12
20 de junho de 2013
Parte 12 Cálculo Aplicado I 1
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Parte 12 Cálculo Aplicado I 2
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Derivada
Seja p um ponto do interior do domínio D de uma função f . Aderivada de f no ponto p, denotada por
f ′(p) oudfdx
(p)
é o limite
f ′(p) =dfdx
(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
= limh→0
f (p + h)− f (p)h
,
caso ele exista. Neste caso, dizemos que f é derivável (oudiferenciável) no ponto p.
Definição
Parte 12 Cálculo Aplicado I 3
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A equação da reta tangente
Se f é derivável no ponto p, a equação da reta tangente ao gráfico de fno ponto (p, f (p)) é y = f (p) + f ′(p) · (x − p).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 4
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A função y = f (x) = |x | não é derivável em p = 0!
Parte 12 Cálculo Aplicado I 5
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y = f (x) =√
x não é derivável em p = 0
Parte 12 Cálculo Aplicado I 6
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 7
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 8
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 9
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 10
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 11
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 12
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 13
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 14
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 15
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Diferenciabilidade implica em continuidade
Se f é derivável (diferenciável) em p, então f é contínua em p.
Teorema
Prova. Se f é derivável no ponto p, então existe o limite
f ′(p) = limx→p
f (x)− f (p)x − p
.
Agora
limx→p
f (x) = limx→p
[f (p) + f (x)− f (p)]
= limx→p
[f (p) +
f (x)− f (p)x − p
· (x − p)]
= f (p) + f ′(p) · 0 = f (p).
Logo f é contínua em p.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 16
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Continuidade não implica em diferenciabilidade
A recíproca do teorema é falsa!
y = f (x) = |x | é contínua em p = 0, mas y = f (x) = |x | não é derivável em p = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 17
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Quando uma função pode deixar de ser derivável?
(bico) (tangente vertical) (descontinuidade)
Parte 12 Cálculo Aplicado I 18
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Diferenciação das funções básicas
Parte 12 Cálculo Aplicado I 19
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Regras básicas de derivação
f (x) f ′(x)c 0xc c · xc−1
sen(x) cos(x)cos(x) − sen(x)
ex ex
ln(x) 1/x
ddx
[f (x) + g(x)] =dfdx
(x) +dgdx
(x),ddx
[f (x) · g(x)] = dfdx
(x) · g(x) + f (x) · dgdx
(x),
ddx
[c · f (x)] = c · dfdx
(x),ddx
[f (x)g(x)
]=
dfdx
(x) · g(x)− f (x) · dgdx
(x)
[g(x)]2.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 20
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Regras básicas de derivação
f (x) f ′(x)c 0xc c · xc−1
sen(x) cos(x)cos(x) − sen(x)
ex ex
ln(x) 1/x
[f (x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x), [f (x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x),
[c · f (x)]′ = c · f ′(x),[
f (x)g(x)
]′=
f ′(x) · g(x)− f (x) · g′(x)[g(x)]2
.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 21
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 22
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 23
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 24
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 25
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 26
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 27
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 28
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 29
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 30
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Exemplos
(a) Se f (x) = x6, então f ′(x) = 6 x5.
(b) Se y = x1000, então y ′ = 1000 x999.
(c) Se y = t4, entãodydt
= 4 t3.
(d)ddr
(r3) = 3 r2.
(e) Se y = um, então y ′ = m um−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 31
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 32
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 33
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 34
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 35
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 36
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 37
![Page 38: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 38
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 39
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Exemplos
(a)ddx
(3 x4
)= 3
ddx
(x4
)= 3
(4 x3
)= 12 x3.
(b)ddx
(−x) =ddx
[(−1) x ] = (−1)ddx
(x) = (−1) (+1) = −1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 40
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Exemplo
ddx
(x8 + 12 x5 − 4 x4 + 10 x3 − 6 x + 5
)
=
ddx
(x8
)+ 12
ddx
(x5)− 4
ddx
(x4
)+ 10
ddx
(x3
)− 6
ddx
(x) +ddx
(5)
=
8 x7 + 12 (5 x4)− 4 (4 x3) + 10 (3 x2)− 6 (1) + 0
=
8 x7 + 60 x4 − 16 x3 + 30 x2 − 6.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 41
![Page 42: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo
ddx
(x8 + 12 x5 − 4 x4 + 10 x3 − 6 x + 5
)
=
ddx
(x8
)+ 12
ddx
(x5)− 4
ddx
(x4
)+ 10
ddx
(x3
)− 6
ddx
(x) +ddx
(5)
=
8 x7 + 12 (5 x4)− 4 (4 x3) + 10 (3 x2)− 6 (1) + 0
=
8 x7 + 60 x4 − 16 x3 + 30 x2 − 6.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 42
![Page 43: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/43.jpg)
Exemplo
ddx
(x8 + 12 x5 − 4 x4 + 10 x3 − 6 x + 5
)
=
ddx
(x8
)+ 12
ddx
(x5)− 4
ddx
(x4
)+ 10
ddx
(x3
)− 6
ddx
(x) +ddx
(5)
=
8 x7 + 12 (5 x4)− 4 (4 x3) + 10 (3 x2)− 6 (1) + 0
=
8 x7 + 60 x4 − 16 x3 + 30 x2 − 6.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 43
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Exemplo
ddx
(x8 + 12 x5 − 4 x4 + 10 x3 − 6 x + 5
)
=
ddx
(x8
)+ 12
ddx
(x5)− 4
ddx
(x4
)+ 10
ddx
(x3
)− 6
ddx
(x) +ddx
(5)
=
8 x7 + 12 (5 x4)− 4 (4 x3) + 10 (3 x2)− 6 (1) + 0
=
8 x7 + 60 x4 − 16 x3 + 30 x2 − 6.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 44
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Exemplo
ddx
(x · sen(x))
=
ddx
(x) · sen(x) + x · ddx
(sen(x))
=
1 · sen(x) + x · cos(x)
=sen(x) + x · cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 45
![Page 46: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemplo
ddx
(x · sen(x))
=
ddx
(x) · sen(x) + x · ddx
(sen(x))
=
1 · sen(x) + x · cos(x)
=sen(x) + x · cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 46
![Page 47: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/47.jpg)
Exemplo
ddx
(x · sen(x))
=
ddx
(x) · sen(x) + x · ddx
(sen(x))
=
1 · sen(x) + x · cos(x)
=sen(x) + x · cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 47
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Exemplo
ddx
(x · sen(x))
=
ddx
(x) · sen(x) + x · ddx
(sen(x))
=
1 · sen(x) + x · cos(x)
=sen(x) + x · cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 48
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Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 49
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Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 50
![Page 51: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/51.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 51
![Page 52: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/52.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 52
![Page 53: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/53.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 53
![Page 54: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/54.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 54
![Page 55: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/55.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 55
![Page 56: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/56.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 56
![Page 57: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/57.jpg)
Exemplo
Se h(x) = x g(x), com g(3) = 5 e g′(3) = 2, calcule h′(3).
Solução. Pela regra da derivada do produto, temos que:
h′(x) =ddx
[x g(x)] =ddx
(x) g(x) + xddx
(g(x))
= g(x) + x g′(x).
Assim, h′(3) = g(3) + 3 g′(3) = 5 + 3 (2) = 11.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 57
![Page 58: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/58.jpg)
Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 58
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Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 59
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Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 60
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Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 61
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Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 62
![Page 63: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/63.jpg)
Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 63
![Page 64: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/64.jpg)
Exemplo
Se y =x2 + x − 2
x3 + 6, calcule y ′.
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
y ′ =
ddx
(x2 + x − 2
)(x3 + 6)− (x2 + x − 2)
ddx
(x3 + 6
)(x3 + 6)2
=(2 x + 1) (x3 + 6)− (x2 + x − 2) (3 x2)
(x3 + 6)2
=(2 x4 + x3 + 12 x + 6)− (3 x4 + 3 x3 − 6 x2)
(x3 + 6)2
=−x4 − 2 x3 + 6 x2 + 12 x + 6
(x3 + 6)2 .
Parte 12 Cálculo Aplicado I 64
![Page 65: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/65.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 65
![Page 66: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/66.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 66
![Page 67: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/67.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 67
![Page 68: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/68.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 68
![Page 69: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 69
![Page 70: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 70
![Page 71: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 71
![Page 72: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/72.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 72
![Page 73: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/73.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 73
![Page 74: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 74
![Page 75: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/75.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 75
![Page 76: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemplos
(a)ddx
(1x
)=
ddx
(x−1
)= (−1) x−2 = − 1
x2 .
(b)ddx
(√x)=
ddx
(x
12
)=
12
x12−1 =
12
x−12 =
12
1
x12
=1
2√
x.
(c) Se f (x) = xπ, então f ′(x) = π xπ−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 76
![Page 77: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 77
![Page 78: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 78
![Page 79: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/79.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 79
![Page 80: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/80.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 80
![Page 81: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/81.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 81
![Page 82: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/82.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 82
![Page 83: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/83.jpg)
Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 83
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Exemplo
Se f (x) = tg(x), calcule f ′(x).
Solução. Pela regra da derivada do quociente, temos que:
f ′(x) =ddx
(tg(x)) =ddx
(sen(x)cos(x)
)
=
ddx
(sen(x)) cos(x)− sen(x)ddx
(cos(x))
(cos(x))2
=cos(x) cos(x)− sen(x) (− sen(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)=
1cos2(x)
= sec2(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 84
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Abusos de notação
Parte 12 Cálculo Aplicado I 85
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Notações corretas
Seja y = f (x) uma função derivável.
Notações corretas para a derivada de f no ponto x :
f ′(x) edfdx
(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 86
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Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 87
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Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 88
![Page 89: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/89.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 89
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Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 90
![Page 91: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/91.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 91
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Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 92
![Page 93: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/93.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 93
![Page 94: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/94.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 94
![Page 95: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/95.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 95
![Page 96: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/96.jpg)
Abusos de notação
y ′(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dydx
(x): trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente(no caso, y ).
dfdx
: omitir o ponto onde a derivada é calculada.
dydx
: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
y ′: trocar o nome da função (no caso, f ), pela variável dependente (nocaso, y ) e omitir o ponto onde a derivada é calculada.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 96
![Page 97: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/97.jpg)
Abusos de notação
Sejam u = f (x) e v = g(x) duas funções diferenciáveis.
Notações correta para a regra do produto:
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x)
ed(f · g)
dx(x) =
dfdx
(x) · g(x) + f (x) · dgdx
(x).
Abusos de notação para a regra do produto:
(u · v)′ = u′ · v + u · v ′
eddx
(u · v) = dudx· v + u · dv
dx.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 97
![Page 98: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/98.jpg)
Abusos de notação
Sejam u = f (x) e v = g(x) duas funções diferenciáveis.
Notações correta para a regra do produto:
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x)
ed(f · g)
dx(x) =
dfdx
(x) · g(x) + f (x) · dgdx
(x).
Abusos de notação para a regra do produto:
(u · v)′ = u′ · v + u · v ′
eddx
(u · v) = dudx· v + u · dv
dx.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 98
![Page 99: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/99.jpg)
Abusos de notação
Sejam u = f (x) e v = g(x) duas funções diferenciáveis.
Notações correta para a regra do produto:
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x)
ed(f · g)
dx(x) =
dfdx
(x) · g(x) + f (x) · dgdx
(x).
Abusos de notação para a regra do produto:
(u · v)′ = u′ · v + u · v ′
eddx
(u · v) = dudx· v + u · dv
dx.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 99
![Page 100: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/100.jpg)
Demonstrações
Parte 12 Cálculo Aplicado I 100
![Page 101: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/101.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 101
![Page 102: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/102.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 102
![Page 103: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/103.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 103
![Page 104: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/104.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 104
![Page 105: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/105.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 105
![Page 106: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/106.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 106
![Page 107: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/107.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = c = constante, então f ′(x) = 0.
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
c − ch
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 107
![Page 108: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/108.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 108
![Page 109: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/109.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 109
![Page 110: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/110.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 110
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 111
![Page 112: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/112.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 112
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 113
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 114
![Page 115: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/115.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 115
![Page 116: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/116.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 116
![Page 117: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/117.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = xn, com n ∈ N, então f ′(x) = n xn−1.
Demonstração. Usando a fórmula para o binômio de Newton, temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(x + h)n − xn
h
= limh→0
(n0
)xnh0 +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
xn +
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn − xn
h
= limh→0
(n1
)xn−1h1 +
(n2
)xn−2h2 + · · ·+
(nn
)x0hn
h
= limh→0
((n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h1 + · · ·+
(nn
)x0hn−1
)
=
(n1
)xn−1 = n xn−1.
Parte 12 Cálculo Aplicado I 117
![Page 118: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/118.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 118
![Page 119: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/119.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 119
![Page 120: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/120.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 120
![Page 121: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/121.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 121
![Page 122: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/122.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 122
![Page 123: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/123.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 123
![Page 124: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/124.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 124
![Page 125: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/125.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 125
![Page 126: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/126.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 126
![Page 127: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/127.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora
limh→0
(f + g)(x + h)− (f + g)(x)h
= limh→0
(f (x + h) + g(x + h))− (f (x) + g(x))h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h+
g(x + h)− g(x)h
](∗)= lim
h→0
f (x + h)− f (x)h
+ limh→0
g(x + h)− g(x)h
= f ′(x) + g′(x),
onde, em (∗), usamos que o limite da soma é a soma dos limites, se estes existirem. Istomostra que f + g é diferenciável e (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 127
![Page 128: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/128.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 128
![Page 129: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/129.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 129
![Page 130: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/130.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 130
![Page 131: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/131.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 131
![Page 132: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/132.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 132
![Page 133: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/133.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 133
![Page 134: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/134.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 134
![Page 135: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/135.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 135
![Page 136: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/136.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se f e g são funções diferenciáveis,então f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Demonstração. Se f e g são diferenciáveis, então existem os limites
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
e g′(x) = limh→0
g(x + h)− g(x)h
.
Agora, lembrando que funções diferenciáveis são contínuas, segue-se que
limh→0
(f · g)(x + h)− (f · g)(x)h
=
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
f (x + h) · g(x + h)− f (x) · g(x + h) + f (x) · g(x + h)− f (x) · g(x)h
= limh→0
[f (x + h)− f (x)
h· g(x + h) + f (x) · g(x + h)− g(x)
h
]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Isto mostra que f · g é diferenciável e (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 136
![Page 137: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/137.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 137
![Page 138: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/138.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 138
![Page 139: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/139.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 139
![Page 140: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/140.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 140
![Page 141: · 2017-10-04 · Abusos de notação y0(x):trocar o nome da função (no caso, f), pela variável dependente (no caso, y). dy dx (x):trocar o nome da função (no caso, f), pela](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126bb0/html5/thumbnails/141.jpg)
Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 141
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 142
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 143
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 144
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Exercício teórico
Mostre que se y = f (x) = sen(x), então f ′(x) = cos(x).
Demonstração. Temos que
limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
sen(x + h)− sen(x)h
= limh→0
sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)− sen(x)h
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− sen(x)
h+
cos(x) · sen(h)h
]
= limh→0
[sen(x) · cos(h)− 1
h+ cos(x) · sen(h)
h
]
=
(limh→0
sen(x))·(
limh→0
cos(h)− 1h
)+
(limh→0
cos(x))·(
limh→0
sen(h)h
)
= sen(x) · 0 + cos(x) · 1 = cos(x).
Parte 12 Cálculo Aplicado I 145