Universidad Cesar Vallejo - Escuela de Ingenierıa Mecanica Electrica 1

Lista No. 1Problemas Propuestos en el Curso de Ecuaciones Diferenciales

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1. Ley de enfriamiento de Newton. De acuerdo con el enfriamiento de Newton, si un objeto a temperatura T seintroduce en un medio con temperatura constante M , entonces la razon de cambio de T es proporcional a la diferenciade temperatura M − T . Esto produce la ecuacion diferencial

dT

dt= k(M − T )

(a) Resolver la ecuacion diferencial en terminos de la temperatura T , (b) Un termometro que marca 100oF se colocaen un medio con temperatura constante de 70oF y se sabe que despues de 6 minutos, el termometro marca 80oF . Cuales la lectura del termometro despues de 20 minutos?

2. Ley de enfriamiento de Newton. El plasma sanguıneo se almacena a 40oF . Antes de poder usarse, el plasma debeestar a 90oF . Al colocar el plasma en un horno a 120oF , se necesitan 45 minutos para que este se caliente hasta 90oF .Suponga que podemos aplicar la ley de enfriamiento de Newton, entonces cuanto tiempo debe transcurrir para que elplasma se caliente hasta 90oF si la temperatura del horno se fija en (a) 100oF , (b) 140oF y (c) 80oF .

3. Ley de enfriamiento de Newton. Un recipiente con agua hirviendo a 100oC se retira de una estufa en el instanteinicial t = 0 y se deja enfriar en la cocina. Despues de 5 minutos, la temperatura del agua ha descendido a 800C yotros 5 minutos despues ha bajada a 65oC. Suponga que se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton entoncesen cuanto tiempo la temperatura habra descendido a 40oC

4. Caıda libre. Si sobre un objeto solo actuan la resistencia del aire y la graved, se observo que la velocidad v debesatisfacer la ecuacion

mdv

dt= mg − bv

donde m es la masa, g es la aceleracion debida a la gravedad y b > 0 es una constante. Si m = 100 kg, g = 9,8m/s2,b = 5 kg/s2 y v(0) = 10m/s, entonces encuentre la funcion velocidad v(t) para los datos dados.

5. Crecimiento de arboles. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto tipo de arbol despues de 6 anos de crecimientoy cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 anos es aproximadamente dada por

dh

dt= 2,5t+ 4

donde t es el tiempo en anos y h es la altura en centımetros. Las plantas del semillero miden 12 centımetros de alturacuando se plantan (t = 0). (a) resolver la ecuacion diferencial, (b) que altura tienen los arbustos cuando son vendidos?

6. Por integracion. Por integracion resolver la ecuacion diferencial.

a) x′(t) = 6t, x(0) = 8

b) x′(t) = 8t3 + 5t+ 4, x(1) = 2

c) x′(t) = 10t− 12t3, x(3) = 2

d) x′′(t) = t2, x

′(0) = 8, x(0) = 4

e) y′′(t) = 2, y

′(2) = 5, y(2) = 10

f ) y′′(t) = t−3/2, y

′(4) = 2, y(0) = 0

7. Separacion de variables. Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial dada.

1LL

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a)dy

dt= 9t2

b)dy

dx= x3/2

c)dr

dθ= 4

d)

dy

dt= 2x−3

e)

dx

dt= 4t+ 3

8. Problemas de valor inicial. Hallar la funcion y = f(x) que satisfaga la ecuacion diferencial dada y la condicioninicial prescrita.

a)dy

dx= 2x+ 1; y(0) = 3

b)dy

dx= (x− 2)2; y(2) = 1

c)dy

dx=

√x; y(4) = 0

d)dy

dx=

1

x2; y(1) = 5

e)

dy

dx=

1√x+ 2

; y(2) = −1

f )

dy

dx=

10

1 + x2; y(0) = 0

g)

dy

dx=

1√1− x2

; y(0) = 0

9. Problemas de valor inicial. Encuentre la funcion posicion x(t) de una partıcula moviendose con una aceleraciondada a(t); considere como posicion inicial x0 = x(0), y como velocidad inicial v0 = v(0).

a)a(t) = 50, v0 = 10, x0 = 20

b)a(t) = −20, v0 = −15, x0 = 5

c)a(t) = 3t, v0 = 5, x0 = 0

d)

a(t) = 2t+ 1, v0 = −7, x0 = 4

e)

a(t) = 4(t+ 3)2, v0 = −1, x0 = 1

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2LL