2015 HKDSE Mathematics Core Paper 2 Sol

DSE-MAT-15-C2S

2012012012015555 HKDSE Mathematics CoreHKDSE Mathematics CoreHKDSE Mathematics CoreHKDSE Mathematics Core Paper Paper Paper Paper 2222

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(100% M.C. Right!)(100% M.C. Right!)(100% M.C. Right!)(100% M.C. Right!)

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MC係分係分係分係分ABC Grade既地方既地方既地方既地方,

越出越煩越出越煩越出越煩越出越煩, 越出越深越出越深越出越深越出越深,

同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心!

2015 HKDSE Mathematics Paper 2 Suggested Answers

1. D 2. D 3. A 4. D 5. B

6. A 7. A 8. D 9. B 10. D

11. C 12. D 13. B 14. C 15. C

16. B 17. D 18. A 19. C 20. C

21. B 22. A 23. C 24. A 25. B

26. C 27. A 28. B 29. A 30. B

31. C 32. A 33. A 34. B 35. C

36. D 37. D 38. B 39. D 40. C

41. B 42. A 43. C 44. D 45. B

MC係分係分係分係分 ABC Grade既地方既地方既地方既地方,

越出越煩越出越煩越出越煩越出越煩, 越出越難越出越難越出越難越出越難! 轉數快轉數快轉數快轉數快, 概念清概念清概念清概念清!

缺一不可缺一不可缺一不可缺一不可! 同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心同學一定要快又要好小心!

Andy’s predicted M.C. Grade boundaries:

5**: 43 / 45 5*: 40 / 45 5: 38 / 45

4: 34 / 46 3: 30 / 45 2: 26 / 45

黎黎黎黎 sir教室教室教室教室 DSE-MAT-15-C2S

2015 HKDSE Mathematics Core Paper II Suggested Solutions

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P. 1

Section A

1. D 黎黎黎黎 Sir提提你提提你提提你提提你 :

� 1221)1)(1( 232232 +++=+++++=+++ xxxxxxxxxxx


� 22

2

244

2

46

273

3

3

)3(y

y

y

y

y==

3. A 黎黎黎黎 Sir提提你提提你提提你提提你 :

1. Method 1: Elimination of Simultaneous equation in two unknowns

�

=+

=+

295

43

qp

qp ⇒

=+

=+

295

20155

qp

qp ⇒ 186 =q ⇒ 3=q

� 4)3(3 =+p ⇒ 5−=p

2. Method 2: Program in calculator!

� 5−=p and 3=q


� 0.0023456789 = 0.00235 (correct to 5 decimal places)

� 0.0023456789 = 0.002346 (correct to 6 decimal places)

� 0.0023456789 = 0.00234568 (correct to 6 significant figures)

� Therefore, the answer is D





P. 2

5. B 黎黎黎黎 Sir提提你提提你提提你提提你 :

� 6))(4(2 +−+≡++ mxxnmxx

� mxmxnmxx 46)4(22 −+−+≡++

� Comparing coefficients and constants on both sides gives

� mm =−4 and nm =− 46 ⇒ 2=m and 2−=n


� 4718 >+ x or 325 <− x

� 7

14−>x or

2

2

−

−>x

� 2−>x or 1>x

� Therefore, 2−>x


� 0154 2 =−− xx and β is the root of the equation.

� Therefore, 0154 2 =−− ββ ⇒ 02108 2 =−− ββ ⇒ 58107 2 =−+ ββ





P. 3


� 2)( bxay += ⇒ Vertex form: 0)]([ 2 +−−= bxay ⇒ Min Point: (-b, 0)

� From the graph, 0<− b ⇒ 0>b .

� From the graph, the parabola’s opening is upward ⇒ 0>a

� Therefore, 0>a and 0>b


� 68.0)6.01(7.1 =−×

� %3232.0168.0 −=−=−

� Therefore, percentage change = -32%


� 597819.780,59)4

%61(50000 43 ==+ × (correct to the nearest dollar)

11. C 黎黎黎黎 Sir提提你提提你提提你提提你 :

� a : c = 5 : 3

b : c = 3 : 2

a : b : c = 10 : 9 : 6

� Let a = 10k, b = 9k and c = 6k ⇒ 15:1615:16)(:)( ==++ kkcbca





P. 4


� 23 ykxz = ⇒ 23 )1()2(14 k= ⇒

4

7=k

� 189)2(34

7 23 =−=z


� 1st Term: 5 dots, 2

nd Term: 9 dots, 3

rd Term: 13 dots, etc..

� 4th

Term = 13 + 4 = 17 dots, 5th

Term = 17 + 4 = 21 dots

� Therefore, 6th

Term = 21 + 4 = 25 dots.


� Upper limit of the weight of the white sugar in the bad = 2

15 + = 5.5 kg

� Lower limited of the weight of white sugar in each packet = 2

110 − = 9.5 g

� n 9.5785.0

5500=≤ ⇒ The greatest possible value of n = 578


� By Pyth. Theorem, 12513 22 =−=AN and 8610 22 =−=CN

� Since 222 BCABAC += and 121620 22 =−=AB

� Therefore, Area of 296)16)(12(2

1cmABC ==∆





P. 5


� Similar figures ⇒

3

2

1

2

1

=

l

l

V

V ⇒

3

2

1

4

12

=

V

V ⇒

1

27

2

1 =V

V

� Volume of the Biggest circular cone = ( ) ( ) ππ 324129)(3

1 2=

� Volume of the upper smaller circular cone = ππ

1227

324=

� Therefore, the volume of the frustum = 331212324 cmπππ =−


� Given DE : EC = 2 : 3 ⇒ Area of ADE∆ : Area of BEC∆ = 2a : 3a

(Same height ⇒ Base ratio = Area ratio)

� DEF∆ ~ CEB∆ (AAA) ⇒

2

3

2

3

8

=

a ⇒ 6=a

� AEF∆ ~ GEB∆ (AAA) ⇒

2

3

2

3

28

=

+

+

Xa

a ⇒ 227 cmX =

� Do you know how to calculate the area of ABE∆ ? 230 cm Why?





P. 6


� αcos=AC

AD and βtan=

AB

AC

� Therefore, βα tancos=×AB

AC

AC

AD


� )270sin(1

360cos

)90sin(1

180cos

θθ +++

++ °

°

°

°

( )( )

θ

θθ

θ

θθ

θθθθ

2

2

sin

cos2

cos1

cos2

cos1cos1

)cos1()cos1(

cos1

1

cos1

1

=

−=

−+

++−−=

−+

+

−=

20. C 黎黎黎黎 Sir提提提提提你提你提你提你 :

� °=∠=∠ 90ACDABD (Angle in semi circle)

� BC = CD ⇒ DACBAC ∠=∠ (Equal chord, Equal angle)

⇒ °

°

==∠ 292

58BAC

� °°° =−−=∠ 329058180BCA (opp angles, cyclic quadrilateral)

� °°°°

=−−

=∠ 292

3290180CBD

� Therefore, °°° =−−=∠ 619029180AEC





P. 7


� Area of 27290sin)2

24)(

2

24(

2

1cmAEB ==∆ °


� )360

(5)180)(2(

nn

n °°

=−

⇒ 12=n

� Therefore, each interior angle of the polygon = °

°

=−

15012

)180)(212(

� The number of diagonals of the polygon = 541212

2 =−C

� The number of folds of rotational symmetry of the polygon is 12.


� Reflection about y-axis ⇒ No change in y-coordinate

� Reflection about y-axis ⇒ Negative value of the x-coordinate

� The rectangular coordinates of its image is )1,3( −−

� By 3

1tan =θ ⇒

3

1tan =θ ⇒

°= 30θ and 231 =+=r

� Therefore, polar coordinates of its image is (2, °210 )





P. 8


� A moving point P is always equidistant from two points A and B.

� The locus of P is perpendicular bisector of AB.

Locus of P: Perpendicular bisector of AB


� 1=ax ⇒ a

x1

= ⇒ 01

<a

⇒ 0<a

� 1=+ cybx ⇒ c

xc

by

1+−= ⇒ 0>−

c

b and 0

1>

c ⇒ 0>c and 0<b

� 011

<<ba

⇒ 0<< ab

� Label the diagram below:





P. 9


� Standard form of circle: 222 )()( rkyhx =−+−

� Coordinates of the center of circle: ),( kh and radius = r

� 2222 )33()04()3())4(( −+−−=−+−− yx

16)3()4( 22 =−++⇒ yx

1696168 22 =+−+++⇒ yyxx

0968 22 =+−++⇒ yyxx


� Expected value = 11$636

3036

36

6=×+×


� 11

2

44

8

4481612

8==

++++


� Inter-quartile range = 75%th datum – 25%th datum = 45 – 25 = 20





P. 10


� Total numbers of data = 15 ⇒ The median = 8th

datum = q

� 53 ≤≤ m ⇒ q may be 3, 4, 5

� Mode = r = 3

� 15

109886553333322 ++++++++++++++=

mp ⇒

15

70 mp

+=

� If m = 3 ⇒ q = 3 ⇒ p = rq =>= ...866.415

73

� If m = 4 ⇒ q = 4 ⇒ p = rq >>= ...933.415

74

� If m = 5 ⇒ q = 5 ⇒ p = rq >== 515

75.

� Therefore, Only p > r must be true.


� 22222 )1)(2(

3

)1)(2(

)1(2

)1)(2(

1

)1(

1

2

1

12

1

−+=

−+

−−+=

−+−

−=

−+−

+− xxxx

xx

xxxxxxx





P. 11


� By slope-intercept form: 2log)3

2(log 33 +−= xy

2log)3

2(log 33 +−=⇒ xy 2loglog 3

2

33 +=⇒−

xy 2loglog 3

2

33 =−⇒−

xy

2log3

23 =⇒−

x

y2)(log 3

2

3 =⇒ yx 23

2

3=⇒ yx323 9=⇒ xy 72932 =⇒ yx


� 2

1110631011116 10110100110022222222211 =+++++=+++


� 022 =−+ kxx and roots are α and β ⇒ k−=+ βα and 2−=αβ

� 4)2(2)(2)( 22222 +=−−−=−+=+ kkαββαβα


� 76 )3()5( iaiaz −++= ⇒ 32 )3()5( iaiaz −++= (

ni

4=1 for all integer n)

� iaaiaaz )3(5))(3()1)(5( −−+−=−−+−+=

� Since z is a real number ⇒ 0)3( =−− a ⇒ 3=a





P. 12


� To solve graphical inequalities: Substitute some points co-ordinates in the

shaded region.

� To coordinates of the 3 vertex of shaded region: (4,9), (4,3) and (0, 10/3)

� Therefore, for convenience, substitute (a, b) be (3, 7) into 3 equations.

� The results follows.


� 2166 =x and 968 =x ⇒ 2165 =ar and 967 =ar

⇒ 3

2=r and

4

6561=a or

3

2−=r and

4

6561−=a

� 729)3

2(

4

6561 2

3 ==x or 729)3

2(

4

6561 2

3 −=−−=x

� 14

9

3

2

11226

4

7

5 >=

===

rar

ar

x

xor 1

4

9

3

2

11226

4

7

5 >=

−

===rar

ar

x

x

� )...(...... 12531253

2642

−− ++++=++++=++++ nn

n rrrraararararxxxx

20153.1968

9

52

2187

3

21

)3

2(

4

6561

1

)(22

<==

−

=−

<r

ra





P. 13


� 1sincos2 =− xx for °° <≤ 3600 x

1sinsin1 2 =−−⇒ xx

0)sin1(sin =−⇒ xx

0sin =⇒ x or 1sin =x

°=⇒ 0x or °=180x or

°= 90x for °° <≤ 3600 x

� Therefore, there are only 3 solutions.


� °=−= 90751655.0 T ⇒ 2

360180

°° ==T ⇒ 2=k

� The sine curve is shift to the left by 15o ⇒ )(

kxk

θο + ⇒ °=15k

θ⇒ °= 30θ


� By Pyth. Theorem, cmBE 8610 22 =−=

� AC = AB (Tangent properties)

� CE = 10 – 6 = 4 and EE = 8 – 2r where r is the radius of the circle

� By Pyth. Theorem, 222 )8(4 rr −−= ⇒

22166416 rrr −+−=

⇒ 4816 =r ⇒ 16

48=r ⇒ 3=r

� Therefore, the diameter BD = 6 cm





P. 14


� Method 1: Discriminant = 0

=++

=+−++

04

06222

yx

kyxyx ⇒ 0)4(62)4( 22 =+−−−+−−+ kxxxx

⇒ 040162 2 =+++ kxx

⇒ 0=∆ (Only 1 repeated solution!)

⇒ 0)40)(2(4162 =+− k

⇒ 08320256 =−− k

⇒ 8−=k

� Method 2: Calculator program (Problem solved within 1 minute!)


Method 1: Draw diagram in scale (Problem solved within 1 minute!)

Method 2: Calculator program (Problem solved within 10 seconds!!!)


� 30240100804032027 6

6

8

8 =−=××− PP


� By drawing a tree diagram ⇒ 24

17

4

3

2

1

6

4

2

1=×+×





P. 15


� 150321

50

...x

aaaa=

++++ ⇒ 503211 ...50 aaaax ++++=

� 12625

2y

aa=

+ and

50

)(...)()()( 2

150

2

13

2

12

2

111

xaxaxaxaz

−++−+−+−=

� 249321

49

...x

aaaa=

++++ ⇒ 493212 ...49 aaaax ++++=

� 225 ya = and 49

)(...)()()( 2

249

2

23

2

22

2

212

xaxaxaxaz

−++−+−+−=

� If 501 ax = ⇒ 121 4950 xxx += ⇒ 21 xx =

� If 2625 aa = ⇒ 21 yy = but if 2625 aa < ⇒

21 yy < ⇒ 21 yy ≤

� If 501 ax = ⇒ 50

)(...)()()( 2

11

2

13

2

12

2

111

xxxaxaxaz

−++−+−+−=

⇒ 50

)(...)()()( 2

149

2

13

2

12

2

111

xaxaxaxaz

−++−+−+−=

� However, 49

)(...)()()( 2

249

2

23

2

22

2

212

xaxaxaxaz

−++−+−+−=

⇒ 49

)(...)()()( 2

149

2

13

2

12

2

112

xaxaxaxaz

−++−+−+−=

� Comparing 50

)(...)()()( 2

149

2

13

2

12

2

111

xaxaxaxaz

−++−+−+−= and

49

)(...)()()( 2

149

2

13

2

12

2

112

xaxaxaxaz

−++−+−+−= ⇒ Numerator is the

same but denominator is smaller ⇒ 12 zz >

The end.





P. 16

黎黎黎黎 sir教室教室教室教室將於將於將於將於 2015年年年年 9月月月月

推出推出推出推出中中中中六六六六數數數數學學學學/物物物物理理理理/化化化化學學學學/經經經經濟濟濟濟科科科科精精精精讀讀讀讀班班班班

同學同學同學同學想想想想奪星奪星奪星奪星? 梗係要上由梗係要上由梗係要上由梗係要上由

黎黎黎黎 sir教室教室教室教室 5**導師團隊導師團隊導師團隊導師團隊教教教教授既課堂啦授既課堂啦授既課堂啦授既課堂啦!

集齊集齊集齊集齊最少最少最少最少 3位同學報名位同學報名位同學報名位同學報名, 可以可以可以可以即時開班即時開班即時開班即時開班,

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黎黎黎黎 sir 簡介簡介簡介簡介 Andy Lai BEng CUHK, MIEEE

� 畢業於香港中文大學電子工程學系畢業於香港中文大學電子工程學系畢業於香港中文大學電子工程學系畢業於香港中文大學電子工程學系, 黎黎黎黎 sir 教室創辦人教室創辦人教室創辦人教室創辦人之一之一之一之一.

� 超過超過超過超過 15 年教授中學文憑年教授中學文憑年教授中學文憑年教授中學文憑 / IB Diploma / GCE / HSC / SAT / AP / GCSE / IGCSE / IB MYP 課程經驗課程經驗課程經驗課程經驗.

� 與學生與學生與學生與學生面對新制度的中學文憑試面對新制度的中學文憑試面對新制度的中學文憑試面對新制度的中學文憑試,,,,黎黎黎黎 sir 親身上陣親身上陣親身上陣親身上陣,,,,以實力於物理以實力於物理以實力於物理以實力於物理科和經濟科和經濟科和經濟科和經濟科奪取科奪取科奪取科奪取 5**,,,,證明寶刀未老證明寶刀未老證明寶刀未老證明寶刀未老....

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黎黎黎黎 sir 教室教室教室教室學生佳績學生佳績學生佳績學生佳績:

� 首屆首屆首屆首屆香港中學文憑香港中學文憑香港中學文憑香港中學文憑 (HKDSE), 多位多位多位多位學生學生學生學生取得取得取得取得 5/5*/5**級級級級以上佳績以上佳績以上佳績以上佳績. 更有更有更有更有學生考學生考學生考學生考獲獲獲獲 5 科科科科

5**級級級級 2 科科科科 5*級級級級 1 科科科科 5 級級級級優異成績優異成績優異成績優異成績, 在全港在全港在全港在全港 72620 考生中考生中考生中考生中, 排名排名排名排名 28, 入讀港大醫學院入讀港大醫學院入讀港大醫學院入讀港大醫學院.

� 英國高考英國高考英國高考英國高考 (GCE AS/AL), 多位學生取得多位學生取得多位學生取得多位學生取得 A*/A 最高最高最高最高級別級別級別級別, 更有學生考獲更有學生考獲更有學生考獲更有學生考獲 5 科科科科 A*.

� 國際文憑國際文憑國際文憑國際文憑 (IB Diploma), 多位學生取得多位學生取得多位學生取得多位學生取得 6 / 7 級別級別級別級別, 更有學生取得更有學生取得更有學生取得更有學生取得 44/45 總總總總分分分分.

� 英國會考英國會考英國會考英國會考 (IGCSE / GCSE), 多位學生取得多位學生取得多位學生取得多位學生取得 A / A*成績成績成績成績, 更有學生取得更有學生取得更有學生取得更有學生取得 8 科科科科 A*。。。。

� 加拿大大學預科加拿大大學預科加拿大大學預科加拿大大學預科 (CESI) 數學課程數學課程數學課程數學課程 MCV4U , 取得取得取得取得 98 / 100, 99 / 100 成績成績成績成績。。。。

� 學生成功拔尖學生成功拔尖學生成功拔尖學生成功拔尖 (EAS), 提早入讀港大提早入讀港大提早入讀港大提早入讀港大理理理理學院和中大法律學院學院和中大法律學院學院和中大法律學院學院和中大法律學院.

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2015 HKDSE Mathematics Core Paper 2 Sol

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