2014 Maj Pp Klucz
description
Transcript of 2014 Maj Pp Klucz
-
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2013/2014
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
ROZWIZANIA ZADA
I SCHEMAT PUNKTOWANIA
MAJ 2014
-
2 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 1. (01)
Obszar standardw Opis wymaga
Poprawna odpowied (1 pkt)
Wersja
arkusza
A
Wersja
arkusza
B Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Interpretacja geometryczna
ukadu dwch rwna liniowych z dwiema
niewiadomymi (II.8.d)
A C
Zadanie 2. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Stosowanie pojcia procentu w obliczeniach (II.1.d) B C
Zadanie 3. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Posugiwanie si wzorami skrconego mnoenia (II.2.a) C A
Zadanie 4. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Znajomo definicji logarytmu (II.1.h) D C
Zadanie 5. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwizywanie prostych rwna wymiernych (II.3.e) C B
Zadanie 6. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wykorzystanie interpretacji
wspczynnikw we wzorze funkcji liniowej (II.4.g)
B D
Zadanie 7. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwizywanie zada prowadzcych do badania funkcji kwadratowej (II.4.l)
D A
-
3 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 8. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie rwnolegoci prostych na podstawie ich
rwna kierunkowych (II.8.c)
D A
Zadanie 9. (01) Uycie i tworzenie strategii Wykorzystanie pojcia
wartoci bezwzgldnej (IV.1.f)
D B
Zadanie 10. (01) Wykorzystanie i tworzenie
informacji Wyznaczanie miejsca
zerowego funkcji
kwadratowej (I.4.j) B D
Zadanie 11. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wyznaczanie wyrazw cigu okrelonego wzorem oglnym (II.5.a)
A D
Zadanie 12. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wykorzystuje wasnoci figur podobnych w zadaniach
(II.7.b) C B
Zadanie 13. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Badanie, czy dany cig jest geometryczny (II.5.b) D A
Zadanie 14. (01) Wykorzystanie i tworzenie
informacji Stosowanie prostych
zwizkw midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego (I.6.c)
A B
Zadanie 15. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Posugiwanie si rwnaniem okrgu
2 2 2( ) ( )x a y b r (II.8.g) B C
-
4 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 16. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Znajdowanie zwizkw miarowych w figurach
paskich, w tym z zastosowaniem
trygonometrii (II.7.c)
B C
Zadanie 17. (01) Uycie i tworzenie strategii Znajdowanie zwizkw
miarowych w figurach
paskich (IV.7.c) A D
Zadanie 18. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie wartoci liczbowej wyraenia wymiernego dla danej
wartoci zmiennej (II.2.e)
A B
Zadanie 19. (01) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie zwizkw
miarowych w wielocianach (III.9.b)
A D
Zadanie 20. (01) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie zwizkw
miarowych w bryach obrotowych (III.9.b)
C B
Zadanie 21. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie potgi o wykadniku wymiernym oraz stosowanie praw dziaa na potgach o wykadnikach wymiernych (II.1.g)
C B
Zadanie 22. (01) Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie potgi o wykadniku wymiernym (II.1.g)
B A
-
5 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 23. (01) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie sumy,
iloczynu i rnicy zdarze do obliczania
prawdopodobiestw zdarze (V.10.c)
A D
Zadanie 24. (01) Uycie i tworzenie strategii Zliczanie obiektw
w prostych sytuacjach
kombinatorycznych
(IV.10.b)
C C
Zadanie 25. (01) Modelowanie matematyczne Obliczanie mediany danych
(III.2.e) D A
-
6 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Schemat oceniania zada otwartych
Zadanie 26. (02) Wykresem funkcji kwadratowej 22f x x bx c jest parabola, ktrej wierzchokiem jest
punkt 4,0W . Oblicz wartoci wspczynnikw b i c.
Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)
Rozwizanie (I sposb)
Ze wzorw 2
w
bx
a ,
4wy
a
na wsprzdne wierzchoka paraboli otrzymujemy:
42 2
b
i 0
4 2
, wic 16b i 0 .
Std 2
16 4 2 0c , czyli 32c .
Rozwizanie (II sposb) Wzr funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej
22 2 2
2 22 2 2 22 4 16 8 4 8
b b b b b bf x x x c x x c x c
.
Wierzchoek wykresu funkcji f ma zatem wsprzdne 2
,4 8
b bc
. Otrzymujemy ukad
rwna
44
b i
2
08
bc .
Std 16b i 2 216
328 8
bc .
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy :
obliczy wspczynnik b: 16b i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy albo
zapisze ukad dwch rwna z niewiadomymi b i c, np.: 44
b i
2
08
bc ,
i nie rozwie go lub rozwie go z bdem. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt
gdy obliczy wspczynniki b i c: 16b , 32c .
Rozwizanie (III sposb)
Poniewa 4wx oraz 0wy , wic parabola ma z osi Ox dokadnie jeden punkt wsplny,
zatem wzr funkcji mona zapisa w postaci kanonicznej 2
2 4 f x x .
Std 22 16 32 f x x x , zatem 16b i 32c .
-
7 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt
gdy zapisze, e 2
2 4f x x .
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt
gdy obliczy wspczynniki b i c: 16b , 32c .
Zadanie 27. (02)
Rozwi rwnanie 3 29 18 4 8 0x x x .
Wykorzystanie i tworzenie
informacji Rozwizywanie rwna wielomianowych metod rozkadu na czynniki (I.3.d)
Rozwizanie (I sposb metoda grupowania) Przedstawiamy lew stron rwnania w postaci iloczynu, stosujc metod grupowania
wyrazw 29 2 4 2 0x x x lub 2 29 4 2 9 4 0x x x , std
22 9 4 0x x .
Zatem 2x lub 2
3x lub
2
3x .
Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze lew stron rwnania w postaci iloczynu, np.: 22 9 4x x , i na tym
poprzestanie lub dalej popeni bd.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania rwnania: 2x lub 2
3x lub
2
3x .
Rozwizanie (II sposb metoda dzielenia)
Stwierdzamy, e liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy
ten wielomian przez dwumian 2x i otrzymujemy iloraz 2(9 4)x . Obliczamy
pierwiastki trjmianu 2(9 4)x : 12
3x oraz 2
2
3x . Zatem 2x lub
2
3x lub
2
3x .
albo
Stwierdzamy, e liczba 2
3 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy
ten wielomian przez dwumian 2
3x
i otrzymujemy iloraz 2(9 12 12)x x . Obliczamy
wyrnik trjmianu 2(9 12 12)x x : 212 4 9 12 576 . Std pierwiastkami
-
8 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
trjmianu s liczby 112 24
218
x
oraz 212 24 2
18 3x
. Zatem 2x lub
2
3x
lub 2
3x .
albo
Stwierdzamy, e liczba 2
3 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy
ten wielomian przez dwumian 2
3x
i otrzymujemy iloraz 2(9 24 12)x x . Obliczamy
wyrnik trjmianu: 224 4 9 12 144 . Std pierwiastkami trjmianu s liczby
1
24 122
18x
oraz 2
24 12 2
18 3x
. Zatem 2x lub
2
3x lub
2
3x .
Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy:
podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2x , otrzyma iloraz 2(9 4)x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd
albo
podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2
3x
, otrzyma iloraz
2(9 24 12)x x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd
albo
podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2
3x
, otrzyma iloraz
2(9 12 12)x x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd
albo
podzieli wielomian 3 28 12 2 3x x x przez trjmian kwadratowy, np. 2(9 4)x ,
i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania rwnania: 2 2
2, ,3 3
.
Uwaga Jeeli w zapisie rozwizania wystpuje jedna usterka, to za takie rozwizanie zdajcy moe otrzyma co najwyej 1 punkt.
-
9 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 28. (02) Udowodnij, e kada liczba cakowita k, ktra przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, ma t
wasno, e reszta z dzielenia liczby 23k przez 7 jest rwna 5.
Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorw skrconego mnoenia (V.2.a)
I sposb rozwizania
Poniewa liczba cakowita k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, wic 27 mk , gdzie m jest liczb cakowit. Wtedy
22 2 2 23 3 7 2 3 49 28 4 3 49 3 28 12 7 3 7 3 4 1 5 k m m m m m m m . Dwa pierwsze skadniki tej sumy s podzielne przez 7, natomiast 12 7 5 . To oznacza, e
reszta z dzielenia liczby 23k przez 7 jest rwna 5. To koczy dowd.
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze wyraenie w postaci: 2273 m i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy, ktre nie przekrelaj poprawnoci rozumowania.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy uzasadni tez, np. zapisze wyraenie w postaci 5143737 2 mm .
II sposb rozwizania
Poniewa liczba cakowita k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, wic 2 mod7k .
Std wynika, e 2 4 mod7k . Ponadto 3 3 mod7 , wic z wasnoci kongruencji
23 3 4 mod7 12 mod7 5 k . To koczy dowd.
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze e 2 4 mod7k . Uwaga Zdajcy nie musi uywa formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje reszt 4. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy zapisze 23 3 4 mod7 12 mod7 5 k .
-
10 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 29. (02) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, ktry powsta w wyniku przesunicia
wykresu funkcji okrelonej wzorem 1
yx
dla kadej liczby rzeczywistej 0x .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0 x
y
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbir tych wszystkich argumentw, dla ktrych wartoci funkcji f s wiksze od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g okrelonej wzorem ( ) 3 g x f x .
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytywanie z wykresu funkcji jej wasnoci; szkicowanie
na podstawie wykresu funkcji ( )y f x wykresw funkcji
( )y f x a , ( )y f x a , ( )y f x a , ( )y f x a (IV.4.b,d)
Rozwizanie
a) Zapisujemy zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 . b) Z rysunku wynika, e miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem
zerowym funkcji g jest liczba 3 3 6 , poniewa wykres funkcji g otrzymujemy przesuwajc
wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy:
zapisze zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 lub 2 3x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze miejsce zerowe funkcji g
albo
poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: 6x i na tym poprzestanie lub bdnie
zapisze zbir argumentw, dla ktrych ( ) 0f x .
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt
gdy zapisze zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 i zapisze miejsce zerowe funkcji g: 6x .
-
11 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki
W rozwizaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy: 3, 2 , 3, 2x .
Zadanie 30. (02) Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia A, polegajcego na wylosowaniu liczb, z ktrych
pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6.
Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektw w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako
klasyczna definicja prawdopodobiestwa do obliczania prawdopodobiestw zdarze (III.10.b,d)
Rozwizanie I sposb metoda klasyczna
Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ,a b liczb z podanego zbioru. Jest to model
klasyczny. Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64 . Wypisujemy
zdarzenia elementarne sprzyjajce zajciu zdarzenia A , polegajcego na wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:
5, 1 , 6, 2 , 7, 1 , 7, 3 , 8, 2 , 8, 4A Zatem 6A .
Zapisujemy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A: 6 3
( )64 32
P A .
Rozwizanie II sposb metoda tabeli
Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ,a b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Budujemy tabel ilustrujc sytuacj opisan w zadaniu.
2.
1. 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5 X
6 X
7 X X
8 X X
-
12 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64 . Zliczamy, oznaczone
krzyykami, zdarzenia elementarne sprzyjajce zajciu zdarzenia A , polegajcego na
wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6: 6A .
Obliczamy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A: 6 3
( )64 32
P A .
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 1 pkt gdy
obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64
albo
obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A , polegajcemu na wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od
drugiej o 4 lub 6: 6A i na tym zakoczy lub dalej popeni bdy.
Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 2 pkt
gdy zapisze, e prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A jest rwne 3
( )32
P A .
III sposb rozwizania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzgldnieniem wszystkich gazi, ktre prowadz do sytuacji sprzyjajcej zdarzeniu A.
Obliczamy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A:
1 1 1 1 1 2 1 2 6 3( )
8 8 8 8 8 8 8 8 64 32 P A .
Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 1 pkt gdy narysuje drzewko uwzgldniajce wszystkie gazie, prowadzce do sytuacji sprzyjajcych zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gazi zapisze poprawne prawdopodobiestwo.
Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 2 pkt
gdy zapisze, e prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A jest rwne 6 3
( )64 32
P A .
1
8
1
8
213
1, 2, 3, 4 5 6 7
nie 2
1
8
4
8
8
1 nie 3 i nie 1
7
8
213
1
8 1
8 2
8
nie 1
7
8
213
6
8
213
2
8 6
8
213
2 3 lub 1
2 lub 4
nie 2 i nie 4
1
8
-
13 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Uwagi 1. Akceptujemy przyblienia dziesitne otrzymanego wyniku, o ile s wykonane
poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.
2. Jeeli otrzymany wynik kocowy jest liczb wiksz od 1, to zdajcy otrzymuje 0 punktw za cae rozwizanie.
3. Jeeli zdajcy stosuje rne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to
otrzymuje 0 punktw.
4. Akceptujemy sytuacj, gdy zdajcy zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejnoci konsekwentnie w caym swoim rozwizaniu. Wtedy za cae rozwizanie moe otrzyma 2 punkty.
5. Jeeli zdajcy zapisze tylko odpowied 6
( )64
P A , to otrzymuje 2 punkty, jeli
natomiast zapisze tylko odpowied 3
( )32
P A , to otrzymuje 1 punkt.
-
14 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 31. (02) rodek S okrgu opisanego na trjkcie rwnoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, ley wewntrz tego trjkta (zobacz rysunek).
Wyka, e miara kta wypukego ASB jest cztery razy wiksza od miary kta wypukego SBC.
Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem zwizkw miarowych w figurach paskich (V.7.c)
Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadmy promie SC okrgu.
Z zaoenia wynika, e kt wpisany ACB oraz kt rodkowy ASB le po tej samej stronie ciciwy AB. Z twierdzenia o kcie rodkowym i wpisanym opartych na tym samym uku wynika, e
1
2ACB . Trjkt ABC jest rwnoramienny (ramionami s AC i BC), wic prosta CS
zawiera dwusieczn kta ACB, zatem 1 1 1 1
2 2 2 4SCB ACB
. Odcinki SC i SB
to promienie okrgu, wic trjkt BCS jest rwnoramienny. Std wynika, e
1
4SBC SCB , co koczy dowd.
S
A
C
B
S
A
C
B
-
15 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Schemat oceniania
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy
wykorzysta twierdzenie o kcie rodkowym i wpisanym oraz wykorzysta rwno ktw SBC i SCB lub rwno ktw SCA i SAC i nie uzasadni tezy
albo
wykorzysta twierdzenie o kcie rodkowym i wpisanym oraz uzasadni rwno ktw SBC i SAC, korzystajc z rwnoramiennoci trjktw ABC i ABS, i nie uzasadni tezy.
Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt gdy uzasadni, e kt ASB jest cztery razy wikszy od kta SBC.
Uwaga
Jeeli zdajcy w przedstawionym rozumowaniu rozway wycznie szczeglny przypadek, np. trjkt rwnoboczny, to otrzymuje 0 punktw.
Zadanie 32. (04) Pole powierzchni cakowitej prostopadocianu jest rwne 198. Stosunki dugoci krawdzi
prostopadocianu wychodzcych z tego samego wierzchoka prostopadocianu to 1 : 2 : 3 .
Oblicz dugo przektnej tego prostopadocianu.
Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie zwizkw miarowych w wielocianach (IV.9.b)
Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Pole cP powierzchni cakowitej prostopadocianu jest rwne 2 2 2cP xy xz yz . Moemy
przyj, e 3:2:1:: zyx . Wtedy 2y x oraz 3z x . Zatem
2 2 2 22 2 2 3 2 2 3 4 6 12 22cP x x x x x x x x x x x .
Poniewa 198cP , wic otrzymujemy rwnanie 222 198x .
Std 92 x , wic 3x . Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trjktw ABD i BDH otrzymujemy
2 2 2p x y oraz 2 2 2d p z .
-
16 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Std 2 2 2 2d x y z .
Zatem
2 22 2 2 2 22 3 14 14 3 14d x y z x x x x x .
Schemat oceniania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy
zapisze dugoci krawdzi prostopadocianu wychodzcych z jednego wierzchoka
w zalenoci od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x albo
zapisze dugo przektnej prostopadocianu w zalenoci od dugoci jego krawdzi: 2 2 2d x y z .
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy
zapisze pole powierzchni cakowitej prostopadocianu jako funkcj jednej zmiennej,
np.: 2 2 2 3 2 2 3cP x x x x x x x albo
zapisze dugo przektnej prostopadocianu jako funkcj jednej zmiennej, np.:
2 22 2 3d x x x .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt
Zdajcy obliczy dugo jednej z krawdzi prostopadocianu, np.: 3x .
Rozwizanie pene .............................................................................................................. 4 pkt
Zdajcy obliczy dugo przektnej prostopadocianu: 3 14d .
Uwagi
1. Jeeli zdajcy odgadnie dugo jednej z krawdzi prostopadocianu i obliczy dugo przektnej tego prostopadocianu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.
2. Jeeli zdajcy bdnie uzaleni dugoci krawdzi od jednej zmiennej, przyjmujc: x, 1
2x ,
1
3x , i konsekwentnie oblicza dugo przektnej tego prostopadocianu, to otrzymuje
maksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunkw dugoci krawdzi, stanowi podstaw do przyznania za rozwizanie 0 punktw.
-
17 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 33. (05) Turysta zwiedza zamek stojcy na wzgrzu. Droga czca parking z zamkiem ma dugo 2,1 km. czny czas wdrwki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie liczc czasu powiconego na zwiedzanie, by rwny 1 godzin i 4 minuty. Oblicz, z jak redni prdkoci turysta wchodzi na wzgrze, jeeli prdko ta bya o 1 km/h mniejsza od redniej prdkoci, z jak schodzi ze wzgrza.
Modelowanie matematyczne Rozwizywanie zada umieszczonych w kontekcie praktycznym prowadzcych do rwna kwadratowych (III.3.b)
Rozwizanie (I sposb) Niech v oznacza redni prdko, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza, a t czas wyraony w godzinach, w jakim zszed ze wzgrza. Wwczas zaleno midzy t prdkoci, czasem i przebyt drog moemy zapisa w postaci
2,1v t .
rednia prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze, jest zatem rwna 1v , natomiast czas,
w jakim wszed, jest rwny 4 1
1 160 15
t t . Moemy wic zapisa drugie rwnanie
16
1 2,115
v t
.
Std otrzymujemy
16 16 21
15 15 10v v t t .
Po podstawieniu 21
10v t otrzymujemy
16 21 16 21
15 10 15 10v t ,
79 16
15 15t v .
Podstawiajc 79 16
15 15t v w rwnaniu
21
10 v t , otrzymujemy rwnanie kwadratowe
z niewiadom v
79 16 21
15 15 10
v v ,
216 79 21 015 15 10
v v ,
232 158 63 0v v ,
2
158 4 32 63 16900 , 16900 130
1
158 130 28 7
2 32 2 32 16v
, 2
158 130 288 9
2 32 2 32 2v
.
Pierwsze z rozwiza rwnania nie spenia warunkw zadania, gdy wtedy prdko, z jak turysta wchodziby na wzgrze, byaby ujemna, a to niemoliwe. Drugie rozwizanie spenia
warunki zadania, gdy wtedy 1 4,5 1 3,5v .
Odpowied: rednia prdko, z jaka turysta wchodzi na wzgrze jest rwna 3,5 km/h.
-
18 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Rozwizanie (II sposb) Niech v oznacza redni prdko, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza.
Wwczas czas, w jakim zszed ze wzgrza, wyraony w godzinach jest rwny 2,1
v. Poniewa
czny czas wejcia i zejcia by rwny 1 godzin i 4 minuty, czyli 4 1 16
1 160 15 15
godziny,
wic czas, w jakim wchodzi, by rwny 16 2,1
15 v godziny. Std z kolei wynika, e rednia
prdko, z jak wchodzi, bya rwna 2,1
16 2,1
15 v
km/h. Otrzymujemy w ten sposb rwnanie
z niewiadom v
2,11
16 2,1
15
v
v
,
21 301
10 32 63
vv
v
,
631
32 63
vv
v
,
63 1 32 63v v v , 263 32 95 63v v v ,
232 158 63 0v v ,
2
158 4 32 63 16900 , 16900 130
1
158 130 28 7
2 32 2 32 16v
,
2
158 130 288 9
2 32 2 32 2v
.
Pierwsze z rozwiza rwnania nie spenia warunkw zadania, gdy wtedy prdko, z jak turysta wchodziby na wzgrze, byaby ujemna. Drugie rozwizanie spenia warunki zadania,
gdy wtedy 1 4,5 1 3,5v .
Odpowied: rednia prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze jest rwna 3,5 km/h.
Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania
Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy
oznaczy prdko redni, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza oraz czas wyraony w godzinach, w jakim schodzi ze wzgrza, i zapisze zaleno midzy redni prdkoci i czasem, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza t czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza
16
1 2,115
v t
albo
-
19 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
oznaczy prdko redni, wyraon w km/h, z jak turysta wchodzi na wzgrze oraz czas wyraony w godzinach, w jakim wchodzi na wzgrze, i zapisze zaleno midzy redni prdkoci i czasem, w jakim turysta schodzi ze wzgrza, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze t czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze
16
1 2,115
v t
Uwaga
Zdajcy nie otrzymuje punktu, jeli zapisze jedynie 2,1v t .
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt
Zdajcy
zapisze ukad rwna z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prdko i czas schodzenia turysty ze wzgrza, np.;
16
1 2,115
2,1
v t
v t
albo
zapisze ukad rwna z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prdko i czas wchodzenia turysty na wzgrze, np.;
16
1 2,115
2,1
v t
v t
albo
oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza
1v to rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze
2,1
1v to czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze
albo
oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza
2,1
v to czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza
16 2,1
15 v to czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze
albo
oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta schodzi ze wzgrza, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza
1v to rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze
-
20 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
2,1
v to czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza.
Uwaga
Jeli zdajcy wprowadza tylko jedn niewiadom na oznaczenie jednej z czterech wielkoci: czas wchodzenia, czas schodzenia, prdko wchodzenia, prdko schodzenia, to 2 punkty otrzymuje wtedy, gdy uzaleni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostaych trzech wielkoci.
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt
Zdajcy
zapisze rwnanie z jedn niewiadom, gdy v, t odpowiednio prdko i czas schodzenia turysty ze wzgrza, np.;
79 162,1
15 15v v
albo
zapisze rwnanie z jedn niewiadom, gdy v, t odpowiednio prdko i czas wchodzenia turysty na wzgrze, np.;
16 472,1
15 15v v
albo
oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze i zapisze rwnanie z jedn niewiadom, np.:
2,1 2,1 16
1 15v v
Uwaga
Zdajcy nie musi zapisywa ukadu rwna, moe bezporednio zapisa rwnanie z jedn niewiadom.
Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt Zdajcy
rozwie rwnanie z niewiadom inn ni rednia prdko schodzenia bezbdnie i nie obliczy redniej prdkoci schodzenia
albo
rozwie rwnanie z niewiadom v (rednia prdko schodzenia) z bdem rachunkowym.
Rozwizanie pene ............................................................................................................ 5 pkt Zdajcy obliczy redni prdko wchodzenia turysty na wzgrze: 3,5 km/h
Uwagi
1. Zdajcy moe pomin jednostki, o ile ustali je w toku rozwizania i stosuje je konsekwentnie.
-
21 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
2. Jeeli zdajcy oznaczy przez v prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze i zapisze, e v 1 oznacza prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza i konsekwentnie do przyjtych oznacze rozwie zadanie, to moe otrzyma co najwyej 3 punkty.
Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki
Przykad 1. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie:
v - prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza, t - czas, w ktrym turysta schodzi ze wzgrza i zapisze:
2,11
16
15
v
t
2,1
161 2,115
v t
v t
i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp i przyznajemy 2 punkty, mimo e w drugim rwnaniu ukadu zdajcy nie
uj wyraenia 16
15t w nawias. Zapis rwnania
2,11
16
15
v
t
wskazuje na poprawn
interpretacj zalenoci midzy wielkociami.
Przykad 2. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie:
v - prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza, t - czas, w ktrym turysta schodzi ze wzgrza i zapisze:
2,11
16
15
v
t
2,1
2,11
16
15
vt
v
t
2,1 2,1
115
16
tt
, 2,1 2,1
1t t
i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
trudnoci zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo e w rwnaniu 2,1 2,1
115
16
tt
zdajcy
przestawi liczby w liczniku i mianowniku uamka 16
15 lub nawet pomin ten uamek.
Przykad 3.
Jeli zdajcy otrzyma inne rwnanie kwadratowe, np. 232 158 63 0v v zamiast
rwnania 232 158 63 0v v (np. w wyniku zego przepisania znaku), konsekwentnie
jednak rozwie otrzymane rwnanie kwadratowe, odrzuci rozwizanie niespeniajce
-
22 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
warunkw zadania i pozostawi wynik, ktry moe by realn prdkoci poruszania si
turysty, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie pene i przyznajemy
5 punktw.
Zadanie 34. (04) Kt CAB trjkta prostoktnego ACB ma miar 30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten trjkt (zobacz rysunek) jest rwne 4. Oblicz pole trjkta ACB.
Uycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wasnoci figur podobnych w zadaniach (IV.7.b)
I sposb rozwizania
Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a . Trjkt ADE to poowa trjkta rwnobocznego o boku AD i wysokoci AE, wic
42 aAD oraz 3 4 3
2 32 2
ADAE .
Trjkt GBF to poowa trjkta rwnobocznego o boku BG i wysokoci FG, wic
2BG BF oraz 3
2
BGFG .
Zatem 3
22
BG , wic
4
3BG oraz
1 1 4 2
2 2 3 3BF BG .
Trjkt ACB jest poow trjkta rwnobocznego o boku AB. Obliczamy
2 2 82 3 2 2 3 2 3 3 2
3 33AB AE EF BF .
Pole trjkta ACB jest wic rwne
2 231 3 8 3 64 32 19
3 2 3 4 3 42 4 8 3 8 3 3 6
ACB
ABP .
Uwaga
Podany sposb rozwizania polega na rozwizaniu trjktw prostoktnych ADE i BGF. Tak samo moemy postpi rozwizujc inn par trjktw prostoktnych: ADE i DCG lub DCG i BGF.
Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.
B
C A D
E
F
G
30
-
23 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt
Zdajcy skorzysta z wasnoci trjkta 90,60,30 albo z funkcji trygonometrycznych
i poprawnie obliczy dugo jednego z odcinkw: 4AD , 2 3AE , 4
3BG ,
2
3BF , 3CD , 1CG .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy poprawnie obliczy dugo jednego z bokw trjkta ACB:
83 2
3AB lub
41
3 BC lub 3 4 AC .
Rozwizanie pene .............................................................................................................. 4 pkt
Zdajcy obliczy pole trjkta ACB: 19
3 46
ACBP .
Uwaga
Jeeli zdajcy zapisze wynik w innej, rwnowanej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.: 2
3 83 2
8 3
ACBP ,
1 4 34 3 1
2 3
ACBP .
II sposb rozwizania
Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a .
Trjkt ADE to poowa trjkta rwnobocznego o boku AD, wic 42 aAD . Zatem
pole tego trjkta jest rwne 2 231 4 3
2 32 4 8
ADE
ADP .
Trjkt GBF to take poowa trjkta rwnobocznego o boku BG, wic 2BG BF
Zatem 3
22
BG , wic
4
3BG . Pole trjkta GBF jest wic rwne
2
2
43
31 233
2 4 8 3GBF
BGP
.
Trjkt DGC rwnie jest poow trjkta rwnobocznego o boku DG. Poniewa
2DG a , wic pole tego trjkta jest rwne
2 231 2 3 3
2 4 8 2 DCG
DGP .
Obliczamy pole trjkta ACB
2 3 192 3 3 4 3 4
3 2 6 ACB ADE GBF DCG DEFGP P P P P .
Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.
-
24 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy obliczy pole jednego z trjktw ADE, GBF, DCG:
2 3ADEP , 2
33
GBFP , 3
2DCGP .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy obliczy pole kadego z trjktw ADE, GBF, DCG:
2 3ADEP , 2
33
GBFP , 3
2DCGP .
Rozwizanie pene .............................................................................................................. 4 pkt
Zdajcy obliczy pole trjkta ACB: 19
3 46
ACBP .
III sposb rozwizania
Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a . Zauwamy, e trjkt ACB jest podobny do trjkta DCG
Trjkt DCG to poowa trjkta rwnobocznego o boku DG dugoci 2, wic jego pole jest rwne
2 231 2 3 3
2 4 8 2 DCG
DGP .
Wysoko CM tego trjkta obliczymy wykorzystujc wzr na jego pole
1 12
2 2 DCGP DG CM CM CM ,
wic 3
2CM . Zatem wysoko CN trjkta ACB opuszczona na AB jest rwna
32
2CN CM MN .
Skala podobiestwa trjkta ACB do trjkta DCG jest wic rwna
32
42 13 3
2
CN
CM
.
Poniewa stosunek pl figur podobnych rwny jest kwadratowi skali ich podobiestwa, wic 2
4 8 16 19 81 1
3 33 3 3
ACB
DCG
P
P.
B
C A D
E
F
G
30
M
N
-
25 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Std i z obliczonego wczeniej pola trjkta DCG otrzymujemy
19 8 19 8 3 193 4
3 3 2 63 3
ACB DCGP P .
Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.
Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy obliczy pole jednego z trjktw ADE, GFB, DCG:
2 3ADEP , 2
33
GBFP , 3
2DCGP .
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy obliczy skal podobiestwa trjkta ACB do jednego z trjktw ADE, GFB, DCG i wykorzysta twierdzenie o stosunku pl figur podobnych, np.:
41
3
CN
CM ,
2
41
3
ACB
DCG
P
P.
Rozwizanie pene .............................................................................................................. 4 pkt
Zdajcy obliczy pole trjkta ACB: 19
3 46
ABCP .