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2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か...
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2014年度秋学期 応用数学(解析)
浅野 晃 関西大学総合情報学部
第1部・「無限」の理解 実数とは何か
第3回
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拡張されていく「数」
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拡張されていく「数」1, 2, 3, …自然数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
自然数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
自然数整数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数
有限小数と 循環する 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
有限小数と 循環する 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3
有限小数と 循環する 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e
有限小数と 循環する 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e
有限小数と 循環する 無限小数
循環しない 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e 無理数
有限小数と 循環する 無限小数
循環しない 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e 無理数
実数有限小数と 循環する 無限小数
循環しない 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
今日扱うのは 「実数の連続性を示す方法」
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e 無理数
実数有限小数と 循環する 無限小数
循環しない 無限小数
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拡張されていく「数」…, -3, -2, -1, 0,
…, 2/3, 1/2, 1/3, …
今日扱うのは 「実数の連続性を示す方法」
1, 2, 3, …自然数整数 有理数
√2, 3√3π, e 無理数
実数有限小数と 循環する 無限小数
循環しない 無限小数
いくつか挙げますが,どれも等価です
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無限小数と カントールの公理
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
1.41
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
1.41
1.414
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
1.41
1.414
1.4142
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
1.41
1.414
1.4142
√2 は 「このへん」
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
1 1.4
1.41
1.414
1.4142
√2 は 本当に「点」か? よくわからない…
√2 は 「このへん」
![Page 26: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/26.jpg)
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点と区間「循環しない無限小数」は, 数直線上の一つの「点」なのか?
点ではなく[区間]で考える
1 1.4
1.41
1.414
1.4142
√2 は 本当に「点」か? よくわからない…
√2 は 「このへん」
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閉区間と開区間a < b のとき, a と b の間にある数の集合→[区間]
a b
両端を含む [閉区間][a, b]最小値はa,最大値はb
両端を含まない [開区間](a, b)最小値・最大値が存在するかどうかは,数の種類による
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カントールの公理循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 2
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 2
[1, 2]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 2
[1, 2]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
[1, 2]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
[1, 2][1.4, 1.5]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41
[1, 2][1.4, 1.5]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42]
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
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カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42]
1.414
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
![Page 40: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/40.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42]
1.414 1.415
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
![Page 41: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/41.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42][1.414, 1.415]
1.414 1.415
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
![Page 42: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/42.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42][1.414, 1.415]
⋮
1.414 1.415
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
![Page 43: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/43.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理
実数は「入れ子」の 閉区間の極限
1 1.4 21.5
1.41 1.42
[1, 2][1.4, 1.5]
[1.41, 1.42][1.414, 1.415]
⋮その極限が√2 = 1.4142135…
1.414 1.415
循環しない無限小数 √2 = 1.4142135…無限に桁数を増やすと, ひとつの実数を表せるのか?
![Page 44: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/44.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 45: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/45.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数と デデキントの切断
![Page 46: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/46.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
デデキントの切断数直線を,ある場所で切断し, 数の集合を「大きい方」と「小さい方」にわける
切断
(ある集合の)すべての数を, 一方の組のどの数も もう一方の組のどの数よりも小さくなるように,2つの組に分ける
「大きい方」「小さい方」
![Page 47: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/47.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
整数の切断
整数の場合
1
「大きい方」「小さい方」
0
![Page 48: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/48.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
整数の切断
整数の場合
1
「大きい方」「小さい方」
0
隙間ができる
![Page 49: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/49.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
整数の切断
整数の場合
1
「大きい方」「小さい方」
0
隙間ができる
最大値がある
![Page 50: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/50.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
整数の切断
整数の場合
1
「大きい方」「小さい方」
0
隙間ができる
最小値がある最大値がある
![Page 51: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/51.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
1
「大きい方」「小さい方」
![Page 52: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/52.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
最小値がある
1
「大きい方」「小さい方」
![Page 53: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/53.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
1
「大きい方」「小さい方」
![Page 54: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/54.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
1
「大きい方」「小さい方」
![Page 55: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/55.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
1
「大きい方」「小さい方」
最大値がある
![Page 56: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/56.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
1
「大きい方」「小さい方」
最大値がある
「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する
![Page 57: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/57.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
1
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する
![Page 58: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/58.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合
1(有理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「小さい方」の最大値がない 1よりも小さく 1にいくらでも近い有理数が存在する
[稠密性]
1
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
「大きい方」の最小値がない 1よりも大きく 1にいくらでも近い有理数が存在する
![Page 59: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/59.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
![Page 60: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/60.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
![Page 61: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/61.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
最大値がない
![Page 62: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/62.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
最小値がない最大値がない
![Page 63: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/63.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
最小値がない最大値がない
√2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も
√2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も
![Page 64: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/64.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
最小値がない最大値がない
√2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も
√2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も
どちらも存在する
![Page 65: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/65.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数の切断有理数の場合 こういう場合もある
√2(無理数)
「大きい方」「小さい方」
跳びができるが
最小値がない最大値がない
√2よりも小さく √2にいくらでも近い有理数も
√2よりも大きく √2にいくらでも近い有理数も
どちらも存在する
「稠密」とは, いくらでも細かく 「びっしり」と 毛の植わっている ブラシのようなもの
![Page 66: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/66.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
![Page 67: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/67.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
![Page 68: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/68.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
aより小さい数(aを含まない)
![Page 69: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/69.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
ある実数a「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
aより小さい数(aを含まない)
![Page 70: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/70.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
ある実数a「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
aより小さい数(aを含まない)
aより大きい数(aを含まない)
![Page 71: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/71.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
稠密な上に [連続性]
ある実数a「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
aより小さい数(aを含まない)
aより大きい数(aを含まない)
![Page 72: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/72.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
稠密な上に [連続性]
ある実数a「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
実数とは,「切断の切り口」である
aより小さい数(aを含まない)
aより大きい数(aを含まない)
![Page 73: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/73.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の切断実数は,必ずこのどちらかになる
ある実数a
「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最小値がある
稠密な上に [連続性]
ある実数a「大きい方」「小さい方」
跳びができる
最大値がある
最大値がない
最小値がない
実数とは,「切断の切り口」である
aより小さい数(aを含まない)
aより大きい数(aを含まない)
「連続」とは,「べったり」と塗り付けられた塗料のようなもの
![Page 74: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/74.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 75: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/75.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
上限と下限 ワイエルシュトラスの定理
![Page 76: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/76.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は
![Page 77: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/77.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
![Page 78: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/78.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
![Page 79: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/79.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M
![Page 80: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/80.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M M
![Page 81: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/81.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M M
このへんのM [上界]
![Page 82: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/82.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M M
このへんのM [上界]
M
![Page 83: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/83.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M M
このへんのM [上界]
M
![Page 84: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/84.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
M M
このへんのM [上界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 85: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/85.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 86: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/86.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 87: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/87.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 88: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/88.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N N
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 89: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/89.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N N
このへんのN [下界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
M
![Page 90: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/90.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N N
このへんのN [下界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
N M
![Page 91: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/91.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N N
このへんのN [下界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
N M
![Page 92: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/92.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有界,上界・下界,上限・下限
M
開区間には最大値も最小値もないが, 上にも下にも限界はある
この区間は↑ここに達する ことはない [上に有界]
ここに達する↑ ことはない [下に有界]
M M
このへんのM [上界]
N N N
このへんのN [下界]
最小の上界 [上限(supremum, sup)]
最大の下界 [下限(infimum, inf)]
N M
![Page 93: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/93.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する
![Page 94: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/94.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する デデキントの切断から導ける
![Page 95: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/95.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する デデキントの切断から導ける
実数からなるある集合Sが,下に有界とすると,
![Page 96: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/96.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する デデキントの切断から導ける
実数からなるある集合Sが,下に有界とすると,
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
![Page 97: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/97.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する デデキントの切断から導ける
実数からなるある集合Sが,下に有界とすると,
ある実数sSの下界でない数Sの下界である数
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
![Page 98: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/98.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理実数からなる集合が下(上)に有界ならば 必ず下限(上限)が存在する デデキントの切断から導ける
実数からなるある集合Sが,下に有界とすると,
ある実数sSの下界でない数Sの下界である数
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
どちらかの切断を形成し,実数sが定まる。 下の切断なら,下限が存在する。上の切断にならないことを示す
![Page 99: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/99.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
![Page 100: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/100.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数sSの下界でない数のうちの最小の数
![Page 101: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/101.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
![Page 102: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/102.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
![Page 103: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/103.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
t
s より小さな数 t が,集合Sに属しているはず
![Page 104: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/104.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
t u
s と t の間にある数 u も,集合Sに属しているはずs より小さな数 t が,集合Sに属しているはず
![Page 105: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/105.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
t u
s と t の間にある数 u も,集合Sに属しているはずs より小さな数 t が,集合Sに属しているはず
u は t より大きいから,u は「集合Sの下界ではない数」である
![Page 106: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/106.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
t u
s と t の間にある数 u も,集合Sに属しているはずs より小さな数 t が,集合Sに属しているはず
u は t より大きいから,u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。
![Page 107: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/107.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
(下界でない)s集合S
ワイエルシュトラスの定理こちらの切断だとすると
Sの下界でない数Sの下界である数
ある実数s
実数 s は,Sの下界でない数だから,集合Sを見ると
Sの下界でない数のうちの最小の数
t u
s と t の間にある数 u も,集合Sに属しているはずs より小さな数 t が,集合Sに属しているはず
u は t より大きいから,u は「集合Sの下界ではない数」である s は u より大きい。
これは,「s は 集合Sの下界ではない数のうちで最小」に矛盾
![Page 108: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/108.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 109: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/109.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数を定義する 各公理・定理間の関係
![Page 110: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/110.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
![Page 111: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/111.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
![Page 112: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/112.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0
![Page 113: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/113.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
![Page 114: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/114.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
![Page 115: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/115.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
![Page 116: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/116.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1
![Page 117: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/117.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
![Page 118: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/118.jpg)
2014
A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 119: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/119.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 120: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/120.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 121: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/121.jpg)
2014
A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 122: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/122.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
a2
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 123: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/123.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 124: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/124.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 125: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/125.jpg)
2014
A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 126: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/126.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
![Page 127: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/127.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
⋮
![Page 128: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/128.jpg)
2014
A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
⋮ [ai, bi]の極限は,カントールの公理に より,1つの実数 s を定める
![Page 129: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/129.jpg)
2014
A. A
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, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断カントールの公理によって定まる実数は, デデキントの切断によって切り口に現れる実数と同じか?
「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
ai, biの中点と,
ai, biのうち中点と違う側にある点を,
それぞれ ai+1, bi+1 とする
⋮ [ai, bi]の極限は,カントールの公理に より,1つの実数 s を定める
この s は,デデキントの切断による「切り口」にあるか?
![Page 130: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/130.jpg)
2014
A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 131: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/131.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 132: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/132.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 133: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/133.jpg)
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A. A
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, Kan
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 134: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/134.jpg)
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A. A
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, Kan
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 135: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/135.jpg)
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A. A
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niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
s t
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 136: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/136.jpg)
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A. A
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 137: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/137.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
[ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 138: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/138.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 139: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/139.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 140: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/140.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 141: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/141.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 142: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/142.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
t は「大きい方」に属する
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 143: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/143.jpg)
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カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
s は「小さい方」の 最大値である。
t は「大きい方」に属する
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 144: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/144.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
s は「小さい方」の 最大値である。
t は「大きい方」に属する
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
![Page 145: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/145.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
カントールの公理とデデキントの切断「大きい方」「小さい方」 切断
a0 b0
a1 b1
b2a2
a3 b3
⋮[ai, bi]の極限=実数 s
s が「小さい方」に 属するとする
s より大きい数 t については どんなに t が s に近くても
区間[ai, bi]がs に到達する途中で s と t の間に区間の右端(「大きい方」)が入るときがあるはずだから,
s は「小さい方」の 最大値である。
t は「大きい方」に属する
[ai, bi]s t
[ai,bi]
[ai, bi][ai, bi]
ai は「小さい方」
bi は「大きい方」
「大きい方」に 最小値はない
![Page 146: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/146.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の連続性を示すさまざまな公理カントールの公理 実数は入れ子の閉区間の極限
ワイエルシュトラスの定理 実数の集合が有界ならば,上限か下限がある
デデキントの切断による公理 実数は切断の「切り口」
![Page 147: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/147.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の連続性を示すさまざまな公理カントールの公理 実数は入れ子の閉区間の極限
ワイエルシュトラスの定理 実数の集合が有界ならば,上限か下限がある
デデキントの切断による公理 実数は切断の「切り口」
実数の有界な単調数列は収束する (これは次回)
![Page 148: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/148.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
実数の連続性を示すさまざまな公理カントールの公理 実数は入れ子の閉区間の極限
ワイエルシュトラスの定理 実数の集合が有界ならば,上限か下限がある
デデキントの切断による公理 実数は切断の「切り口」
実数の有界な単調数列は収束する (これは次回)
いずれも同値である
![Page 149: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/149.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 150: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/150.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判 ~こんな数学,何か役に立つの?~
![Page 151: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/151.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判映画の著作権
1953年公開の映画の著作権は どうなる?
公開から50年後の年の年末まで有効→2004年1月1日から「70年」に延長
![Page 152: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/152.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
![Page 153: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/153.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
ビデオ業者の 言い分
![Page 154: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/154.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2004年2003年12月31日24時
ビデオ業者の 言い分
![Page 155: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/155.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
ビデオ業者の 言い分
![Page 156: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/156.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
![Page 157: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/157.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
文化庁の 言い分
![Page 158: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/158.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
2004年2003年12月31日24時=1月1日0時
文化庁の 言い分
![Page 159: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/159.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は 同じ時刻だから
2004年2003年12月31日24時=1月1日0時
文化庁の 言い分
![Page 160: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/160.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
連続性裁判1953年公開の映画の著作権は
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
2003年12月31日24時と 2004年1月1日0時は 同じ時刻だから
2004年2003年12月31日24時=1月1日0時
2004年1月1日からの 新法が適用され, 著作権はあと20年有効
文化庁の 言い分
![Page 161: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/161.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
裁判の結果は
![Page 162: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/162.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
裁判の結果は「2003年12月31日24時と2004年1月1日0時は 別の時刻である」
![Page 163: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/163.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
裁判の結果は「2003年12月31日24時と2004年1月1日0時は 別の時刻である」
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
こちらが認められた。
![Page 164: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/164.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
裁判の結果は「2003年12月31日24時と2004年1月1日0時は 別の時刻である」
2003年12月31日24時で 著作権が消滅したので
2004年2003年12月31日24時
2004年1月1日からの 新法は適用されない
ビデオ業者の 言い分
こちらが認められた。
「時の流れは連続」
![Page 165: 2014年度秋学期 応用数学(解析) 第1部・「無限」の理解 / 第3回 実数とは何か (2014. 10. 9)](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022050805/555ce05ad8b42a4f2b8b56f6/html5/thumbnails/165.jpg)
2014
A. A
sano
, Kan
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niv.
今日のまとめ
実数の連続性を示す方法
実数の「連続性」
カントールの公理 デデキントの切断による公理 ワイエルシュトラスの定理