A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

2014年度秋学期　応用数学（解析）

浅野　晃 関西大学総合情報学部

第1部・「無限」の理解 収束とは何か，ε-δ論法

第４回

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分を習ったときの説明

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

何かだまされている気がする

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分の説明

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分の説明

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

微分の説明

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

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微分の説明

h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

A. A

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微分の説明

h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

A. A

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微分の説明

h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

やっぱり h はゼロ

関数 f(x) = x2 の微分

2014

A. A

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, Kan

sai U

niv.

微分の説明

h はゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子を h で割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

やっぱり h はゼロ

これっておかしくありませんか？

関数 f(x) = x2 の微分

A. A

sano

, Kan

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niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束＝「限りなく近づく」ことの 意味

2014

A. A

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, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

α

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

α

ε

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

α

α – ε α + ε

ε

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

a1

α

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1

α

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2

α

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1aN

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1aN

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1aN+1

aN

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1aN+1

aN

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε

ε ε…

aN–1aN+1

aN

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

εをどんなに小さくしても

α – ε α + ε

ε ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしても

2014

A. A

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sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしても

2014

A. A

sano

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sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしてもaN

2014

A. A

sano

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sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしてもaN

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしてもaN

…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

数列が十分大きな番号 N まで進めば

a1a2a3

α

α – ε α + ε…

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε ε

εをどんなに小さくしてもaN

そういうNがある

…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはα のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはα のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはα のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

2014

A. A

sano

, Kan

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niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε – N 論法

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε – N 論法

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る

ε – N 論法

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散する

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

数列が十分大きな番号 N まで進めば

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，

数列が十分大きな番号 N まで進めば

N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

どんなに大きな数 G

十分大きな番号 N

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない

どれも「無限」ではなく有限

どんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

どんなに大きな数 G

十分大きな番号 N

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない

どれも「無限」ではなく有限

どんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

どんなに大きな数 G

十分大きな番号 N

ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない

どれも「無限」ではなく有限

どんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

どんなに大きな数 G

十分大きな番号 N

ただし，求めに応じて 好きなだけ狭く・大きくできる

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する

有界（このへんに達することはできない）

実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する

有界（このへんに達することはできない）

実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

実数の連続性と収束

実数の有界な単調数列は収束する

有界（このへんに達することはできない）

実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現

単調増加だから つねに増加していくが， 収束する

数列{an}が 「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …

「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

…

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在するα

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在するα

α′α より小さい α′ を考えると

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

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つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

α′ はどれだけ α に近くてもよい

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

α′ はどれだけ α に近くてもよい

これをε( > 0)と考えると

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

α′ はどれだけ α に近くてもよい

これをε( > 0)と考えると

ε

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

α′ はどれだけ α に近くてもよい

これをε( > 0)と考えると

α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても， そこに入る an がある

ε

つまり，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する

…αα′

α より小さい α′ を考えると

α′ と α の間に来る an がある

an

n 番目

α

α′an

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

α′ はどれだけ α に近くてもよい

これをε( > 0)と考えると

α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても， そこに入る an がある

ε

つまり，

{an} は α に収束する

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

数列の収束に関する例題

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題a > 0 のとき

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

を証明せよ。

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題a > 0 のとき

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

を証明せよ。

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題a > 0 のとき

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

を証明せよ。

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。

n > k となる番号 n について，

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題a > 0 のとき

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

を証明せよ。

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。

n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題a > 0 のとき

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

を証明せよ。

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。

n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

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k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

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2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

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k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

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2a+ (n− k)

< C ×!1

2

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=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

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n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

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k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

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k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

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で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

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2

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2n<

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n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

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k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

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そこで，どんな小さな ε( > 0) についても， 番号 n が　　　　　であれば

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

そこで，どんな小さな ε( > 0) についても， 番号 n が　　　　　であれば

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

そこで，どんな小さな ε( > 0) についても， 番号 n が　　　　　であれば

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

例題n > k となる番号 n について，

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

k > 2a なので

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

そこで，どんな小さな ε( > 0) についても， 番号 n が　　　　　であれば

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

つまり {an / n!} は 0 に 収束する

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

δδ

a

横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

δδ

a

横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

x と a との隔たりが δ より小さければ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

δδ

a

横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

xx と a との隔たりが δ より小さければ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

δδ

a

横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

xx と a との隔たりが δ より小さければ

f(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A εε

縦軸で A との隔たり ε を どれほど小さくしても

δδ

a

横軸で a との隔たり δ を それに応じて小さくすれば

xx と a との隔たりが δ より小さければ

f(x) と A との隔たりも ε より小さいf(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0)

x と a との隔たりを δ より小さくすればf(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0)

x と a との隔たりを δ より小さくすればf(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0)

x と a との隔たりを δ より小さくすればf(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

ε – δ 論法

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の極限どんなに小さな ε を考えても(ε > 0)

x と a との隔たりを δ より小さくすればf(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

ε – δ 論法

ε も δ も，ただの正の数で，0ではないし， 0に「無限に」近づくわけでもない

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最初の微分の例h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない

hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子をhで割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

やっぱりh はゼロ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最初の微分の例h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない

hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子をhで割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

やっぱりh はゼロ ではなくて

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

最初の微分の例h → 0 と書いてあっても， h はあくまで正の数で，0ではない

hはゼロに近づいているだけで， ゼロではないから， 分母分子をhで割る

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第４回第１部・「無限」の理解／　収束とは何か，ε-δ論法

なんかごまかされている気がする

微分を初めて習った時，例えば「f(x) = x2を xで微分せよ」という問題を次のように説明されたと思います。

df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

h(2x+ h)

h

= limh→0

(2x+ h) = 2x

(1)

上の説明では，３行目で「hは 0に近づいているだけで，まだ 0ではないから」といって hで割っているのに，４行目では「hは 0」としています。これはおかしくありませんか？

この問題を解決するには，「収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」という言葉で表されている「収束」について考えてみます。

数列の収束

「数列 {an}が αに収束する」とは，数学では次のような意味だと理解されています。

αのまわりにどんなに狭い区間 [α− ε,α+ ε]を設定しても 1，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはみなその狭い区間 [α− ε,α+ ε]に入る。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃N ;n > N ⇒ |an − α| < ε (2)

と書き，これをε-N論法とよびます。図 1の「４コマ漫画」で，この様子を説明しています。

同様に，「n → ∞のとき，数列 {an}が∞に発散する」とは

どんなに大きな数Gをもってきても，数列が十分大きな番号N まで進めば，N 番より大きな番号 nについては，anはGより大きくなる。

すなわち

∀G, ∃N ;n > N ⇒ an > G (3)

1“ε”は，数学ではしばしば「すごく小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 1/5 ページ

やっぱりh はゼロ ではなくて収束する先が h = 0 を代入したときの値と同じ，というだけ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a x

A

a

B

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

右極限

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

右極限

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

左極限と右極限

単調に増加する数列 {an}が有界ならば，Weierstrassの定理により上限 αが存在します。このとき，α′ < αとなるような α′を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号 p以降の an (n > p)は，α′よりも大きく，一方上限 α以下ではあるはずです。つまり α′ < an ! α (n > p)です。よって，αとanの隔たりは αと α′の隔たりよりも小さい，すなわち |α− an| < α− α′となります。α′は，αより小さければどれだけ αに近くてもよいので，α − α′を上の収束の定義の εと考えると，{an}は αに収束することがわかります。■

例題

a > 0のとき， limn→∞

an

n!= 0であることを証明せよ。

k > 2aであるような番号 kをもってきて，ak

k!= C とおきます。すると，n > kのとき

an

n!=

ak

k!× a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

n= C × a

k + 1× a

k + 2× · · ·× a

k + (n− k)(4)

で，k > 2aですからan

n!< C × a

2a+ 1× a

2a+ 2× · · ·× a

2a+ (n− k)

< C ×!1

2

"n−k

=C · 2k

2n<

C · 2k

n

(5)

とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数 εをもってきて，n >C · 2k

εとなる nを考える

と，上の式に代入して an

n!< εとなります。すなわち，an

n!は 0に収束します。■

関数の極限

ここまでに述べた数列の収束と同じ論法を使って，「関数 f(x)の x → aの極限がAである」すなわちlimx→a

f(x) = Aであることは，次のように定義されます。

どんなに小さな正の数 εを持ってきても，xと aの隔たりをある δより小さくすれば，f(x)とAの隔たりも εより小さくできる。

これを，数学の表現では

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε (6)

と書きます。この表現をε-δ論法とよびます 2。

この定義で，最初に述べた微分の問題を考えてみると，h → 0という表現では，hは δより小さいだけであってあくまで 0ではないので，割り算をしてもいい，ということになります。最後の行で h = 0

としているのは，収束する先が h = 0とした時の値と同じ，というだけです。2ε-N論法もε-δ論法に含めて，総称してε-δ論法ということもあります。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 3/5 ページ

関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは

x

A

a

xが大きい方からaに近づいても 小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA

x

A

a

B

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

左極限

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

右極限

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の「連続」と「一様連続」

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)

a で連続

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)

右極限はf(a)で ない

a で連続

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)左極限はf(a)

右極限はf(a)で ない

a で連続

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)左極限はf(a)

右極限はf(a)で ない

a で連続 a で不連続

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数の連続性

関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること

x

f(a)

a

関数 f(x) が x = a で連続であるとは

xa

f(a)左極限はf(a)

右極限はf(a)で ない

a で連続 a で不連続

区間 I のどの点でも連続なら「区間 I で連続」

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

f(a) εε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには f(a) ε

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには f(a) ε

ε

a

δδ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xが aの左右δの範囲に 入ればよい

f(a) εε

a

δδ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

εεf(b)

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xが aの左右δの範囲に 入ればよい

f(a) εε

a

δδ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

εεf(b)

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xが aの左右δの範囲に 入ればよい

f(a) εε

a

δδ

同じεでも

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

εεf(b)

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xが aの左右δの範囲に 入ればよい

f(a) εε

a

δδ

δδ

b

同じεでも

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

ε – δ 論法で話をすると

x

εεf(b)

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xが aの左右δの範囲に 入ればよい

f(a) εε

a

δδ

δδ

b

同じεでも

要求される δの「狭さ」は 異なる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

一様連続

x

δδ

εεf(b)

a

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xがaの左右δの範囲に入ればよい

f(a) εε

δδ

b

同じεでも

求められる δの「狭さ」は 異なる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

一様連続

x

δδ

εεf(b)

a

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xがaの左右δの範囲に入ればよい

f(a) εε

δδ

b

同じεでも

求められる δの「狭さ」は 異なる

この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

一様連続

x

δδ

εεf(b)

a

f(x)が f(a)の上下εの範囲に 入るには

xがaの左右δの範囲に入ればよい

f(a) εε

δδ

b

同じεでも

求められる δの「狭さ」は 異なる

この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよいどの点でも「共通の δ 」を用いれば連続といえるとき ［一様連続］という

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

xが1に近づくと f(x)はいくらでも大きく 変化する

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

xが1に近づくと f(x)はいくらでも大きく 変化する

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

ε

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

xが1に近づくと f(x)はいくらでも大きく 変化する

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

ε

δ

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

xが1に近づくと f(x)はいくらでも大きく 変化する

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

ε

δ要求される δの「狭さ」は いくらでも狭くなる

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

連続だが一様連続でない例

f(x)-1

1

図 3: 連続だが一様連続でない関数

f(an)| = nです。ですから，nを大きくすれば xnと anの隔たりをある δよりも小さくすることはできますが，そのとき f(xn)と f(an)の隔たりを εより小さくすることはできません。

関数列の収束

ここまでの知識を用いると，数列でなく「関数の列」f1(x), f2(x), . . . の収束を考えることができます。つまり，n → ∞のとき，区間 I の各点 xで |fn(x)− f(x)| → 0となることを，関数列 f(x)は区間 I で各点収束するといいます。ここで，一様連続の説明で述べた「連続の程度」と同じように，区間 I内の各点での「収束の程度」を考えます。すると，関数列である番号Nより先の関数 fn(x) (n > N)については，区間 I内のどの点 xでもfn(x)

と f(x)の隔たりを εより小さくできる，という収束のしかたを考えることができます。これを，関数列f(x)は区間 I で一様収束するといいます。

問題

数列 {an} = 1,1

4,1

9, . . . ,

1

n2は n → ∞のとき収束することを，ε−N 論法で示してください。

参考文献

細井勉，わかるイプシロン・デルタ，日本評論社，1995. ISBN978-4-53578-217-4

瀬山士郎，「無限と連続」の数学̶微分積分学の基礎理論案内，東京図書，2005. ISBN978-4-48900-708-8

齋藤正彦，微分積分学，東京図書，2006. ISBN978-4-48900-732-3

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 5/5 ページ

xが1に近づくと f(x)はいくらでも大きく 変化する

f(x)

ε

ε

δδ

同じ

異なる

図 2: 同じεに対しても，必要な「δの小ささ」は異なる

なお，関数の極限については「上のことが xが aにどの方向から近づいてもなりたつとき」という条件がついています。「方向」の違いとは，例えば xが aより小さくて aに近づくのか，aより大きくて a

に近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られる極限を左極限，後者の場合のみ得られる極限を右極限といい，それぞれ lim

x→a−0, lim

x→a+0と書きます。

関数の連続性と一様連続性

関数 f(x)の x → aの極限が f(a)であるとき，f(x)は aで連続であるといいます。 ε-δ論法で書くと

∀ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε (7)

となります。さらに，関数 f(x)が区間 I のどの点でも連続のとき，f(x)は区間 I で連続といいます。

さて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = aで連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができます。つまり，f(x)と f(a)の隔たりがある εより小さくなるとき，xと aとの隔たりをどのくらい小さくすればよいか，つまり δをどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図 2）。

区間 I内のどの点 aについても，f(x)と f(a)の隔たりをある εより小さくするためには，xと aとの隔たりをひとつの共通のδより小さくすればよいとき，f(x)は区間 I で一様連続であるといいます。区間 I が閉区間なら，δは区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間 I で連続な関数はつねに一様連続です 3。しかし，区間 I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数があります。

例えば，区間 [0, 1)で関数 f(x) =1

x− 1を考えます（図 3）。この区間内では，xが 1にいくらでも近

づけば，xのどんな小さな変化に対しても，f(x)はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとつの f(x)と f(a)の隔たり εに対して，区間内で共通の δをとることができず，一様連続ではありません。

もう少し正確に書いてみましょう。xn = 1− 1

2n, an = 1− 1

nとすると，xn − an =

1

2nで，|f(xn)−

3正確な証明は略します。

浅野　晃／応用数学（解析）（2014 年度秋学期）　第４回 (2014. 10. 16) http://racco.mikeneko.jp/　 4/5 ページ

区間 [0, 1) を考える

δ

ε

ε

δ要求される δの「狭さ」は いくらでも狭くなる

区間内で 「共通のδ」は 存在しない

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f(x) f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)

f(x) f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

f(x) f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x) f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく

f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

f(x)

x

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

f(x)

x

f2(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

f(x)

x

f2(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

f(x)

x

f2(x)f3(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

…f(x)

x

f2(x)f3(x)

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

…f(x)

x

f2(x)f3(x)

左のほうでは収束していくが

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

…f(x)

x

f2(x)f3(x)

左のほうでは収束していくがいくらでも右に行けば いつまでたっても 収束しない

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

関数列の収束と「一様収束」

x

f1(x)f2(x)

…

f(x)

区間内の各点で， fn(x)とf(x)の隔たりが 0に近づく［各点収束］

f1(x)

…f(x)

x

f2(x)f3(x)

左のほうでは収束していくがいくらでも右に行けば いつまでたっても 収束しない

［一様収束］でない

2014

A. A

sano

, Kan

sai U

niv.

今日のまとめ

「限りなく近づく」とは， 「無限」ではない

求めに応じて 好きなだけ近くできること