2013年度 構造材料力学 - 東京工業大学takagi/Structure/2013_1.pdf2013年度...
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宿題1-1 (4月12日)下の図に示す二等辺三角形の剛体ABCが、辺BCの中点に力Pを受けるとき、剛体が釣合うための3つの力P1、P2、P3を求めなさい。
b
A B
C
a
P1
P2 P3
PD α
ΣH=0より P1=Pcosα
ΣV=0より P2+P3ーPsinα=0
点DにおけるΣM=0より(時計回りをプラスとする)
ーP1×(b/2)+P2×(3a/4)ーP3×(a/4)=0ーP1×(b/2) +(3a/4)×(PsinαーP3) ーP3×(a/4)=0
[解説]
b
A B
C
a
P1
P2 P3
PD α
b/2
3a/4a/4 P2=PsinαーP3
P1=Pcosα
[解説]
ーPb・cosα/2+3Pa・sinα/4 ー(3P3a/4 +P3a/4)=0
ーP1×(b/2) +(3a/4)×(PsinαーP3) ーP3×(a/4)=0
P3a= 3Pa・sinα/4ーPb・cosα/2
∴P3= (3sinα/4ー(b/a)・cosα/2)P
P2=PsinαーP3= Psinαー(3sinα/4ー(b/a)・cosα/2)P
∴P2 =(sinα/4+(b/a)・cosα/2)P
P=20kN
P=20kNM=40kN・m ED
D
C
P=20kN
2m 6m8m
A BCMo=40kN・m
力の伝達と置換
集中荷重Pと曲げモーメントMが作用する単純はりに置
換できる 部材ごとの力の釣合い
P=20kN
2m 6m8m
A BC
RA=Pb/ℓ=20×6/8=15kN
RA=15kN RB=5kN+
-
M=Pab/ℓ=20×2×6/8=30kN・m
+
RB=Pa/ℓ=20×2/8=5kN
集中荷重の影響
Mo=40kN・m
2m 6m8m
A BC
RA=ーMo/ℓ=ー40/8=ー5kN
RB=Mo/ℓ=40/8=5kN
+
-
MX=ーM0(x/ℓ)
MX=M0(1ーx/ℓ)
RA =ー5kN RB-
曲げMの影響
宿題2-2
(a) 解説
a bℓ
A B
q0
合力q0a/2
合力q0b/2
2a/3 a/3 b/3 2b/3 RBRA
RA・ℓ-(q0a/2)×(b+a/3)ー (q0b/2)×(2b/3) =0B点回りのモーメントの釣合いΣM=0より
RA・ℓ-(q0/6 )(3ab+a2+2b2) =0RA・ℓ-(q0 /2)×(ab+a2/3)ー (q0b2/3) =0
RA・ℓ=(q0/6 )(a+b)(a+2b) RA・ℓ=(q0/6 )・ℓ・(ℓ+b) ∴RA= (q0/6 )(ℓ+b)
ここで、a+b=ℓ
ーRB・ℓ+(q0a/2)×(2a/3)+(q0b/2)×(a+b/3) =0同様に、A点回りのモーメントの釣合いΣM=0より
RB・ℓ=(q0/6 )(2a2+3ab+b2) = (q0/6 )(a+b)(2a+b)
RB・ℓ=(q0 /2)×(2a2/3)+(q0/2)(ab+b2/3)
RB=(q0/6 )・ℓ・(ℓ+a) ∴RB= (q0/6 )(ℓ+a)
q(x)=q0(x/a)
RA
A
x
C
Qx
Mx
x/3
ΣM=0より
MX=RA・xー(q0x2/2a)(x/3) = (q0/6 )(ℓ+b) xーq0x3/6a= (q0/6a){ax(ℓ+b)ーx3}
着目点Cより左側について力の釣合いを考える
ΣQ=0より
QX=RAーq0x2/(2a)=(q0/6 )(ℓ+b) -q0x2/(2a)=(q0/6a)(aℓ+abー3x2)
a bℓ
A B
xRB
RA
q0
q(x)=q0(x/a)
C
0≦x≦a
ΣM=0より
MX=RB・x’ー(q0x’2/2b)(x’/3) = (q0/6 )(ℓ+a) x’ーq0x’3/6b= (q0/6b){bx’(ℓ+a)ーx’3}
着目点Cより右側について力の釣合いを考える
ΣQ=0より
QX=ーRB+q0x’2/(2b)=ー(q0/6 )(ℓ+a) +q0x’2/(2b)=(q0/6b)(ーbℓーab+3x’2)
a≦x≦ℓ
a bℓ
A B
q0
xRB
RA
q(x)=q0(x')/b
Cx'
q(x)=q0x'/b
RB
B
x'Qx
MxC
x'/3
MX= (q0/6a){ax(ℓ+b)ーx3}QX=(q0/6a)(aℓ+abー3x2)0≦x≦a
MX= (q0/6b){bx’(ℓ+a)ーx’3}QX= (q0/6b)(ーbℓーab+3x’2)a≦x≦ℓ
最大せん断力および最大曲げモーメントの生じる位置は、dQ/dx=0およびdM/dx=0より求められる。そのx座標を代入することで各最大値を求めることができる(以下省略)。
A B
qoab/3
+
ABRB
RA +
ーQ-図
M-図
宿題2-2 (b)
RA・ℓ-(q0a/2)×(b+a/3)ー (q0b)×(b/2) =0B点回りのモーメントの釣合いΣM=0より
RA・ℓ-(q0/6 )(3ab+a2+3b2) =0RA・ℓ-(q0 /2)×(ab+a2/3)ー (q0b2/2) =0
BA
a bℓ
2a/3 a/3 b/2 b/2 RBRA
合力q0a/2 合力q0b
RA・ℓ-(q0/6 )(3ab+a2+3b2) =0RA=(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2)
ーRB・ℓ+(q0a/2)×(2a/3)+(q0b)×(a+b/2) =0同様に、A点回りのモーメントの釣合いΣM=0より
RB・ℓ=(q0/6 )(2a2+6ab+3b2)
RB・ℓ=(q0 /2)×(2a2/3)+(q0)(ab+b2/2)
RB=(q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2)
q(x)=q0(x/a)
RA
A
x
C
Qx
Mx
x/3
ΣM=0より
MX=RA・xー(q0x2/2a)(x/3) = (q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2) xーq0x3/6a= (q0/6ℓ){x( a2+3ab+3b2) ーx3 (ℓ/a)}
着目点Cより左側について力の釣合いを考える
ΣQ=0より
QX=RAーq0x2/(2a)=(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2) -q0x2/(2a)=(q0/6ℓ){(a2+3ab+3b2)ー3x2(ℓ/a)}
a bℓ
A B
xRB
RA
q0
q(x)=q0(x/a)
C
a≦x≦aRA=(q0/6 ℓ)(a2+3ab+3b2)
ΣM=0より
MX=RB・x’ー(q0x’)(x’/2) = (q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2) x’ーq0x’2/2= (q0/6ℓ){( 2a2+6ab+3b2) x’ー 3ℓx’2}
着目点Cより右側について力の釣合いを考える
ΣQ=0より
QX=ーRB+q0x’=ー(q0/6 ℓ)(2a2+6ab+3b2) +q0x’=ー(q0/6ℓ)( 2a2+6ab+3b2ー6ℓx’)
a≦x≦ℓ
a bℓ
A B
q0
xRB
RA
Cx'
q0
RB
B
x'Qx
MxC
x'/2
q0x'
0≦x≦a
a≦x≦ℓ
MX= (q0/6ℓ){x( a2+3ab+3b2) ーx3 (ℓ/a)}QX= (q0/6ℓ){(a2+3ab+3b2)ー3x2(ℓ/a)}
MX= (q0/6ℓ){( 2a2+6ab+3b2) x’ー 3ℓx’2}QX=ー (q0/6ℓ)( 2a2+6ab+3b2+6ℓx’)
Q-図
M-図
ABRA +
ー
AB
+
最大せん断力および最大曲げモーメントの生じる位置は、dQ/dx=0およびdM/dx=0より求められる。そのx座標を代入することで各最大値を求めることができる(以下省略)。
同様にしてP2、P3によるせん断力と曲げモーメントを求
める
RA=P2 + P2
MA= ーP2・b ー
P3RA=P3 +
MA= ーP3・c ー
P1からP3 による
せん断力と 曲げモーメントを重ね合
わせる
a
A B
ℓ ℓ
D
ゲルバーヒンジ
C
E
ℓ/2 ℓ/2
P=1x
ME=ーRD(a+ℓ/2)+RBℓ/2= ー RD(a+ℓ/2)+RD(ℓ+a)(ℓ/2)/ℓ
=-Rda/2=ー(ax/2ℓ)
RA
Aℓ
D
P=1x
RD
0≦x≦ℓRD=x/ℓ
RB=RD(ℓ+a)/ℓ
aB
ℓD
RD
RC
ℓ/2
RB
10kN
A B2m 6m
5kN1kN/m
2mC D
宿題3 下に示す(a)片持ちばり、(b)張出しばりのせん断力図
と曲げモーメント図を描き、最大曲げモーメントの値を求めなさい。
AB
6m
10kN1kN/m
2mC
10kN
A B2m 6m
5kN1kN/m
2mC D
宿題3下に示す(a)片持ちばり、(b)張出しばりのせん断力図と
曲げモーメント図を描き、最大曲げモーメントの値を求めなさい。
AB
6m
10kN1kN/m
2mC
構造材料力学 第3回 -宿題の解説-
宿題3-1
支点反力RA=鉛直力の総和=6m×1kN/m+10kN=16kN
A点回りのモーメントの釣合いΣM=より、MA=18kN・m+80kN・m=98kN・m
AB
6m
10kN1kN/m
2mC
RA
MA
0≦x≦6m Qx= RAーqx=16ーxq=1
RAx
C
Qx
Mx
x/2
qx
MA Mx= RAxーMAーqx(x/2)=16xー98ー x2/2
6m≦x≦8m Qx= ー10Mx= ー10×(8-x)
せん断力
曲げモーメント
0≦x≦6mQx= RAーqx=16ーx
Mx= RAxーMAーqx(x/2)=16xー98ー x2/2
6m≦x≦8mQx= ー10
Mx= ー10×(8-x)
0≦x≦6m
6m≦x≦8m
AB
6m
10kN1kN/m
2mC
16kN10kN
+
ー98kN・m
ー20kN・m-
10kN
A B2m 6m
5kN1kN/m
2mC D
B点回りのモーメントの釣合いより、-10×8+RA×6-1×6×3+5×2=0 RA=44/3(kN)
同様に、A点回りのモーメントの釣合いより、-10×2+1×6×3-RB×6+5×8=0 RB=19/3(kN)
C~A区間 -2≦x≦0
Q=-10 (kN)
M=10×x (kN・m)
B~D区間 6≦x≦8
Q=5 (kN)
M=5×(8-x) (kN・m)
A~B区間 0≦x≦6
Mx= ー10(2+x)+RAxーqx(x/2)=ー10(2+x)+44x/3ー x2/2
= ー20+14x/3ー x2/2
Qx= -10+RAーqx=-10+44/3ーx
10kN
A B2m 6m
5kNq=1kN/m
2mC D
x
面積 S (mm2)図心までの高さ
h (mm)
Gx=S×h(mm3)
① 80×6= 480 3 1,440② 5×138= 690 75 51,750③ 80×6= 480 147 70,560④ 150×6= 900 153 137,700
⑤+⑥ 20×100= 2,000 153 306,000ΣS= 4,550 ΣSh= 567,450
上の表より、下端からの図心の高さは、y0=ΣSh/ΣS=567,450/4,550=124.7(mm)
各断面の図心軸回りのIx0
(=BH 3/12) (mm4)面積 S (mm2)
図心までの距離 d (mm)
I‘=S× d 2
(mm4)Ix0+I‘
(=BH 3/12+Sd 2) (mm4)
① 80×63/12=1,440 80×6= 480 121.7 7,109,227 7,110,667② 5×1383/12=1,095,030 5×138= 690 49.7 1,704,362 2,799,392③ 80×63/12=3,060 80×6= 480 22.3 238,699 241,759④ 150×63/12=2,700 150×6= 900 28.3 720,801 723,501
⑤+⑥ 20×1003/12=1,666,667 20×100= 2,000 28.3 1,601,780 3,268,447Σ(Ix0+I‘)= 14,143,766
[宿題5-1] 同一寸法の2つのI型鋼を並べて、その図心軸(x軸,y軸)に関する断面2次モーメントIxとIyとが
互いに等しくなるように、eの値を決めなさい!
5
(unit : mm)
5
150
80
5
80
e
y
x
y
xO
[宿題5] 同一寸法の2つのI型鋼を並べて、その図心軸(x軸,y軸)に関する断面2次モーメントIxとIyとが互いに等しくなるように、
eの値を決めなさい!
前回の宿題の解説
5
(unit : mm)
5150
80
5
80
e
y
x
y
xO
41
b
h
X X
Y
Y
eyex
xo xo
yo
yo
図心
図心を通るxo-xo軸回りの断面2次モーメントIxoは、Ixo=bh3/12
同様に、図心を通るyo-yo軸回りの断面2次モーメントIyoは、Iyo=hb3/12
図心軸からexだけ偏心したY-Y軸回りの断面2次モーメントIYは、
IY=hb3/12+(b・h)ex2
長方形断面の断面2次モーメント
図心軸からeyだけ偏心したX-X軸回りの断面2次モーメントIxは、
Ix=bh3/12+(b・h)ey2
先ずy-y軸より左側の断面Aについて、x-x軸に関する断面2次モーメントIxを考える。
よって、2つの断面AとBについてのx-x軸に関する断面2次モーメントIxは、
①+③ ②
5
(unit : mm)
5150
80
5
80
e
y
x
y
xO
①
②
③
A B
次に、断面AとBについてのy-y軸に関する断面2次モーメントIyの総和を求める。
=5,350,000 (mm4)
Ix=2×5,350,000=10,700,000 (mm4)
Ix=Iy となるためには、750e2+856,250=10,700,000
これを解くと、e≒114.6(mm)
44
L
wA B
RA RBx
L-x
w
A B
x
w(L-x)/L
RB=wL/6RA=wL/3 (L-x)/3
w(L-x)2/(2L)
任意の位置xより右側の反力・荷重による曲げモーメントを求める方が計算は楽!
45
xwLxwxLw
dxydEIM
xwLxwxLwxL
LxxLw
xLLLxLw
LxLwxLwL
xLLxLwxRMx
wLRwLR
B
BA
326
3262
6)(
)(6
)(6
)(6
)(
3/)()2/()()(
6,
3
232
2
23
223
2
③たわみの微分方程式
-L
る.より右側の外力を考えめる.②曲げモーメントを求
①支点反力を求める.
L-x
w
A B
x
w(L-x)/L
RB=wL/6RA=wL/3 (L-x)/3
w(L-x)2/(2L)
46
21345
1234
232
2
1824120
6624
326
CxCxwLxwxLwEIy
CxwLxwxLw
dxdyEI
xwLxwxLw
dxydEIM
④積分すると
EIwLy
EIwL
dxdy
Lx
4
3
7685576072
たわみ
たわみ角
)においてはよって、梁中央(
xwLxwLxwxLwEIy
wLxwLxwxLw
dxdyEI
CC
451824120
4566243
345
3234
21
を代入して,⑥
0,45
000 2
3
1 CwLCyLxyx より で,で
⑤境界条件として、L
w
A B
x
演習問題 ■円形断面の核
47
Ax
y
R
R
右図の円形断面(半径=R)の核の位置を求めてみよう!
ヒント
断面積A=πR2
断面2次モーメントIx=Iy=πR4/4
軸力による応力=P/A
曲げ応力=M・y/I(y軸回り)
■円形断面の核
48
44
0
0)(
4
2
4
2
4
RRR
R
ARIe
RIeP
AP
xIM
APRxA
RA
RII
x
x
yx
より=で点
右図において
Ax
y
R
R
R/4ex
教科書 p.201
■三角形断面の核
502
36
3
bhA
bhI x
122
2
363
23
)32(0
0)32(
3
h
hbh
bh
AhIe
hIeP
AP
yIeP
AP
hyA
xy
x
y
x
yy
y
より=で点
■三角形断面の核
512
36
3
bhA
bhI x
6
2
3633
3)(
0
)(
0)3
(
3
h
hbh
bh
AhIe
hIeP
AP
yIeP
AP
hyB
xy
x
y
x
yy
y
より=で点
522
48221
32
3622
3
23
bhA
hbbh
bbhI y
bbbh
hb
AbI
e
bIeP
AP
xIeP
AP
bxC
yx
y
x
y
xx
x
121
2
482
2
20
0)2
(
3
より=で点
第8回 長柱 ■演習問題8-1
54
244 4.118,6750,20200 cmAcmIcmI yx
下図のH型鋼による両端固定梁の座屈荷重と降伏荷重を求め,
座屈するかどうか調べよ.
ただし,断面諸量は
とし,材料特性は
22 /235,/200000 mmNmmNE y
とする.
また,材料の初期不整等は考慮しないものとする.
■演習問題8-1 回答
55
2
5.0
LEIP
AP
cr
yy
両端固定の座屈荷重は
降伏荷重は
kNL
EIPcr 297,2150005.0
1067502000005.0
24
2
座屈荷重
kNN
AP yy
783,2400,783,2104.118235 2
降伏荷重
に至る前に降伏する.となるので,梁は座屈降伏荷重座屈荷重 ycr PP
■演習問題8-2
56
ただし,椅子の脚は直径27.2mm,厚さ1.9mmの鋼管
(STK400)で作られており,体重は4本の脚に均等に作用
するものとする.
また,座面は十分に強度があり,椅子の脚上部は回転
しないように座面と強固に接続されているものとする.
椅子の自重は無視する.
STK400の許容応力度は道路橋示方書に示されている
SM400に対する値と同様とする.
鋼管の断面諸量
断面積:1.51cm2
断面2次モーメント:1.22cm4
断面2次半径:0.899cm
座面
脚
右図の椅子に体重85kgの人が座ったときに椅子の脚に生じる圧縮
応力度を求め,椅子の脚が安全かどうか調べよ.
■演習問題8-2 解説
57
ある.で,椅子の足は危険で許容応力度を越えるのとなり,作用応力度が>
は許容圧縮応力度
は細長比
椅子の脚の座屈長は
と,下側は自由と考える椅子の足の上側は固定
は作用圧縮力
本に作用する圧縮力は椅子の脚
なので,,椅子の脚本数は体重
cac
ca
ca
c
c
mmN
cmcmrl
cmcm
mmNAP
NP
kg
2
2
/1.133211.311.310088.01.3137.0140
1.31899.028/
280.740
/1.138)10051.1/(5.208/
5.2084/81.9*851
485
rl
rl
rlrl
rl
rlrl
ca
92;
390023.06.1140
9218;
210088.037.0140
18;140
2
2
許容応力度
60
X軸回りの断面2次モーメントIxは、
同様にしてy軸回りの断面2次モーメントIyは、
122
482
2
0)2
(
02
3
hbhh
bh
hAIe
hIeP
APy
IeP
AP
hy
xy
x
y
x
y
より=で
x
y
-h/2
-b/2 b/2
h/2
ey