2013-05-21Lezione Corrente Elettrica · Corrente Elettrica • Consideriamo una situazione statica...
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Corrente elettrica
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Corrente elettrica
Conduttore • Un conduttore metallico puo’ essere
pensato come una struttura reticolare tridimensionale di atomi fissi con un grandissimo numero di elettroni liberi (detti ELETTRONI DI CONDUZIONE) di muoversi all’interno del conduttore e, salve condizioni particolari, impossibilitati ad uscire dal conduttore stesso.
Nota: In un cm3 di Cu (rame) vi sono circa 1023 elettroni
In assenza di E
• Gli elettroni di conduzione sono animati dalla sola agitazione termica.
• Moto caotico
Corrente Elettrica • Consideriamo una situazione statica in cui due
elementi, A e B, siano ugualmente elettricamente caricati ma di segno opposto.
• Tra di essi vi è una d.d.p. ΔV ; • Tra A e B è presente un campo elettrico E • Supponiamo che sia costruito il circuito in figura
e che ad un certo istante l’interruttore T venga chiuso
Corrente Elettrica (2)
Si osserva che: • La d.d.p. ΔV decresce rapidamente; • Anche le cariche presenti in A e B decrescono, “come se” le
cariche positive si spostassero da A a B. • Il filo conduttore si riscalda • Un ago magnetico , posto nelle vicinanze si muove…. • ecc. ecc.
Corrente Elettrica (3)
In realtà sono gli elettroni di conduzione a muoversi in senso inverso, ma per ragioni storiche, il fenomeno viene descritto come un movimento di cariche positive.
• Quando si ha un moto ORDINATO di cariche elettriche che
si spostano da una posizione ad un’altra si usa dire che tra le due posizioni si è avuto un passaggio di:
CORRENTE ELETTRICA.
Corrente Elettrica (4)
Nell’esempio considerato il fenomeno dura pochi istanti, non è un fenomeno STAZIONARIO.
Un dispositivo capace di mantenere la d.d.p. tra i punti A e B costante nel tempo, anche in presenza di movimento di cariche elettriche, in un circuito che li collega, viene detto GENERATORE DI FORZA ELETTROMOTRICE.
(Pile, accumulatori, ecc. )
G Adesso , si è in regime
stazionario
Corrente Elettrica (4)
Se consideriamo un filo (o una sbarretta) di materiale conduttore internamente al quale si abbia, per effetto di un campo elettrico , un movimento ordinato di cariche, si definisce CORRENTE ELETTRICA i che passa nel filo
il rapporto tra la carica elettrica dQ che fluisce nel tempo
infinitesimo dt attraverso una sezione S del filo e l’intervallo di tempo dt stesso.
Nel S.I. l’unità della corrente è l’AMPERE (A) pari ad un Coulomb per secondo
111CAs
=
dQi=dt
Corrente Elettrica (5)
Microscopicamente l’azione del campo elettrico dovuto alla d.d.p. è quello di sovrapporre all’agitazione termica degli elettroni liberi, un moto di deriva nella direzione del campo elettrico. Tale moto di deriva, ordinato, avviene con velocità media vd che è molto minore della velocita media termica.
NOTA: vd è dell’ordine di qualche millimetro al secondo;
mentre la velocità termica è dell’ordine di qualche Km al secondo !
La d.d.p. fra due punti A e B, è ΔV= VB-VA=24V. Trovare la variazione di energia potenziale elettrica ΔU, per una carica Q1=2.2 10-6 mC che si muove dal punto A al punto B. Ripetere il calcolo per Q1=2.2 106 mC.
R…52nJ et 52 mJ Un lettore MP3 è collegato ad una batteria che fornisce una corrente di 0.22 A. Trovare il numero di elettroni che attraversano il lettore in 4.5s.
R. 6.2 10+18 elettroni
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica
OHM Georg Simon nacque ad Erlangen nel 1787 e morì a Monaco nel 1854.
Fisico tedesco, studiò presso l'università della città natale e dal 1833 al 1849 diresse il Politecnico di Norimberga; dal 1852 fino alla morte fu professore di fisica speri-mentale all'università di Mo-naco.
• Sperimentalmente è possibile ricavare una legge che lega la d.d.p. ai capi di un filo conduttore con la corrente che lo attraversa
+
-
A
V Generatore
di tensione
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (2)
A = Amperometro ( serve a misurare la corrente elettrica che circola in un circuito)
V = Voltmetro ( serve a misurare le d i f ferenze d i po tenz ia le a i cap i d i un conduttore percorso da corrente elettrica)
1a legge di Ohm:
• “R” esprime una proprietà intrinseca del conduttore nelle condizioni considerate e prende il nome di resistenza elettrica
RIV=
I
V
AmpereVoltOhm =
AV111 =Ωtang ϑ = 1/R
RIV
IV
IV
==== costante33
22
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (3)
• 2a legge di Ohm:
• “ρ” è una costante di proporzionalità detta resistività, dipendente dalla natura fisica del conduttore
• Per i metalli si trova che ρ aumenta con la temperatura secondo una legge lineare:
SlR ρ=
)1(20 tΔ⋅+= αρρ
Leggi di Ohm e la Resistenza Elettrica (4)
Legge di KIRCHHOFF Definendo una superficie che racchiuda un singolo nodo (il punto di un circuito in cui convergono più conduttori) del circuito, si può dire che in esso la somma delle correnti entranti (+ie) è uguale alla somma delle correnti uscenti (-iu) :
Resistori in serie
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine con resistenze R1 e R2.
1 2
1 2 1 2
1 2 3 ...
ac ab bc
eq eq
eq
deve essere I cost per cui V V V V IR IRquindi V IR IR IR R R Rin generale R R R R
= Δ = = + = +
Δ = = + → = +
= + + +
Resistori in parallelo
L’inverso della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo è uguale alla somma dell’inverso delle singole resistenze ed è sempre minore del più piccolo resistore
1 21 2 1 2
1 2 1 2 3
1 1
1 1 1 1 1 1 1 ...
eq
eq eq
V V Vdeve essere V cost I I I VR R R R R
quindi in generaleR R R R R R R
⎛ ⎞Δ Δ ΔΔ = = + = + = Δ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + = + + +
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e due lampadine collegate in parallelo con resistenze R1 e R2.
Esempio Le lampadine collegate al generatore in questo modo, sono tutte eguali:
1) quale sarà, nell’ordine, la loro luminosità ?
2) cosa succede se si interrompe A (si rompe il filamento) ?
3) se si interrompe C ? 4) se si interrompe D ?
1. in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà più luminosa di A o B, che hanno la stessa luminosità; D non si accenderà mai (ha i terminali in corto-circuito)
2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta
3. A e B più luminose, D sempre spenta
Esempio
Req =14Ω
a) trovare la resistenza equivalente della rete di resistori in grafico
b) qual è la corrente in ciascun resistore se la d.d.p. tra a e c vale Vac=42V
Applicando le relazioni per collegamento in serie e parallelo di resistenze
La corrente nelle resistenze da 8Ω e 4Ω è = cost usando ΔV = IR si ha
I =ΔVacReq
=42V14Ω
= 3A Ai capi b e c ΔV = cost quindi
6Ω I 1 = 3Ω I 2 da cui I 2 =2 I 1 , inoltre I 1 + I 2 = I = 3A → I 1 =1A e I 2 = 2A
Capacità elettrica
Capacità elettrica ⇒ Condensatore
Condensatore = sistema per immagazzinare energia (elettrica)
Capacità elettrica
La capacità è una misura di quanta carica debba possedere un certo tipo di condensatore per avere una data differenza di potenziale tra le armature: • maggiore capacità, • maggiore è la carica necessaria.
(la capacità è sempre positiva !)
Unità di Misura
1 Farad = 1 F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V
Definizione QCV
≡Δ
Capacità di una sfera isolata Tesi:
La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche geometriche dei conduttori.
Dimostrazione: Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q. Per simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un guscio sferico concentrico di raggio infinito. Essendo V=0 sul guscio di raggio infinito, la capacità della sfera sarà:
La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla differenza di potenziale.
04sfera eee
Q Q Q RV k C RQR V kk Rπε= ⇒ = = = =
Δ
Carica di un condensatore
• Inizialmente potenziale nullo
• Chiusura interruttore
• Campo elettrico “spinge” gli elettroni • Piatto h perde elettroni • Piatto l acquisisce elettroni
• Al crescere della carica (su C) cresce d.d.p. fino a V
• h e (+) batteria allo stesso potenziale, campo nullo, flusso elettroni nullo
• Il condensatore è carico
Calcolo capacità elettrica
ε0 = 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)
0
0 0
0
Legge di Gauss d q
q quindiA
d e cost q EA
ε
σε ε
ε
=
= =
= ⇒ =
∫ E A
E
E A E
g—
0
0 0
. . .f d
f i id d p V V d da cui V E ds E ds Ed
Aq CV EA C E d Cd
ε ε
+
−− = − = = =
= ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫E sg
Condensatore cilindrico
Legge Gauss sup. cilindrica E = cost e radiale( )ΦE = Eid A =∫ E dA∫ = E 2πrL( ) = q
ε0
da cui E =q
2ε0πrL
Vb −Va = − Er dra
b∫ = −
q2ε0πL
drra
b∫ =
q2ε0πL
ln ab$
%&
'
()
C =qΔV
= 2πε0L
ln b a( )C ∝L lungh . cilindro( )
Condensatore sferico
( )20 0 20
20
0 0
0
144
41 1
4 4
4
b b
b a ra a
Legge Gauss sup. sfericaqq EA E r Er
q drV V E drr
q q a ba b ab
q abCV b a
ε ε ππε
πε
πε πε
πε
= = ⇒ =
− = − = − =
−⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= =Δ −
∫ ∫
0
0
41
4
aSfera isolata Ca b
per b e ponendo a R
C R
πε
πε
=−
→∞ =
=
Collegamento di condensatori simboli circuitali
esempio di circuito ↓
Condensatori in parallelo
( )
( )
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1
eq
n
eq jj
q CV q C V q C Vq q q q C C C V
qC C C CV
C C
n condensatori in parallelo=
= = =
= + + = + +
= = + +
=∑
Condensatori in serie
( )
1 1 2 2 3 3
1 2 31 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1 1 1
11 1 1
1 1 1 1
1 1
eq
eq
n
jeq j
V q C V q C V q C
V V V V qC C C
qCV C C C
C C C C
n condensatori in serieC C=
= = =
⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =+ +
= + +
=∑
Energia di un Condensatore Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ?
– Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare un condensatore a +/- Q:
Calcolare il lavoro incrementale dL necessario per aggiungere una carica dq al condensatore alla tensione V :
dL =V (q ) ⋅dq = qC"
#$
%
&'⋅dq
- +
Il lavoro totale L per caricare a Q è quindi dato da:
In termini della tensione V usando si ha:
0piatti paralleliACd
ε=
L ≡ 1C
q dq0
Q∫ = 1
2
Q 2
C QCV
≡ L ≡ 12CV
2
Dove è immagazzinata l’ ENERGIA ? L’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso. Pensiamo all’energia necessaria per caricare il condensatore come all’energia necessaria per creare il campo
Dielettrici Osservazione sperimentale:
Inserendo un materiale non-conduttore tra i piatti di un condensatore si modifica il VALORE della capacità.
Definizione: La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le capacità in presenza e quella in assenza di un dielettrico, cioè
– i valori di εr sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78) (acqua distillata)
– essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto “positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)
– essi permettono di immagazzinare una maggiore quantità di energia (rispetto al caso del vuoto, ovvero aria)
0r
CC
ε ≡
Fisica II - Informatica
Condensatori reali
