20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03
-
Upload
computer-science-club -
Category
Documents
-
view
253 -
download
1
description
Transcript of 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03
![Page 1: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/1.jpg)
Слова Штурма
Анна (Эдуардовна) Фрид
ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск[email protected]
Лекция 3, 16.10.2011
Лекция 3 Слова Штурма 1/32
![Page 2: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/2.jpg)
Источник
Опять пользуемся книгой
M. Lothaire, Algebraic Combinatorics on Words. Cambridge Univ. Press,2002.
Глава 2, Sturmian words (J. Berstel, P. Seebold)Книга полностью выложена в сеть
Лекция 3 Слова Штурма 2/32
![Page 3: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/3.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 4: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/4.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.
Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 5: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/5.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.
Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 6: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/6.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.
Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 7: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/7.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.
Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 8: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/8.jpg)
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
![Page 9: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/9.jpg)
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 3 Слова Штурма 4/32
![Page 10: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/10.jpg)
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 3 Слова Штурма 4/32
![Page 11: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/11.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
![Page 12: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/12.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;
Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
![Page 13: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/13.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;
Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
![Page 14: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/14.jpg)
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
![Page 15: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/15.jpg)
Лемма Морса-Хедлунда и первое определение
LemmaСледующие утверждения эквивалентны:
Слово w не является со временем периодическим;pw (n) ≥ n + 1.
DefinitionСлово w называется словом Штурма, если pw (n) = n + 1 для всех n.
Лекция 3 Слова Штурма 6/32
![Page 16: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/16.jpg)
Лемма Морса-Хедлунда и первое определение
LemmaСледующие утверждения эквивалентны:
Слово w не является со временем периодическим;pw (n) ≥ n + 1.
DefinitionСлово w называется словом Штурма, если pw (n) = n + 1 для всех n.
Лекция 3 Слова Штурма 6/32
![Page 17: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/17.jpg)
Пример: слово Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
Предел: слово Фибоначчи
ϕ∞(a) = 0100101001001010010100100101001001 · · ·
LemmaСлово Фибоначчи является словом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 7/32
![Page 18: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/18.jpg)
Пример: слово Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
Предел: слово Фибоначчи
ϕ∞(a) = 0100101001001010010100100101001001 · · ·
LemmaСлово Фибоначчи является словом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 7/32
![Page 19: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/19.jpg)
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .
Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
![Page 20: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/20.jpg)
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
![Page 21: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/21.jpg)
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
![Page 22: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/22.jpg)
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия
подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
![Page 23: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/23.jpg)
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.
2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятияподслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
![Page 24: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/24.jpg)
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия
подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
![Page 25: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/25.jpg)
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.
Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
![Page 26: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/26.jpg)
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
![Page 27: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/27.jpg)
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
![Page 28: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/28.jpg)
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
![Page 29: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/29.jpg)
Пример
Example
01001 01001 01001 01001 · · ·
периодическое уравновешенное слово с наклоном 2/5.
Лекция 3 Слова Штурма 11/32
![Page 30: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/30.jpg)
Наклон слова Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
ϕ∞(a) = 0 1 0 01 010 01001 01001010 0100101001001 · · ·
π(w) = limn→∞
|ϕn(a)|1|ϕn(a)|
= limn→∞
Fn−2
Fn=
1
τ2,
где τ = (1 +√
5)/2,
π(w) =1
τ2= 0, 38 · · · .
Лекция 3 Слова Штурма 12/32
![Page 31: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/31.jpg)
Механические слова
y = σx + ρ, 0 ≤ σ, ρ < 1.
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
w = w1w2 · · ·
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.
Лекция 3 Слова Штурма 13/32
![Page 32: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/32.jpg)
Тонкость
?1 0
0 1
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.
или
wn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.
Лекция 3 Слова Штурма 14/32
![Page 33: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/33.jpg)
Формальное определение
DefinitionБесконечное слово w = w1w2 · · · над алфавитом {0, 1} называетсямеханическим, если для всех n > 0 верно одно из двух: либо
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc,
либоwn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.
Лекция 3 Слова Штурма 15/32
![Page 34: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/34.jpg)
Три эквивалентных определения
TheoremДля слова x над алфавитом {0, 1} следующие условия эквивалентны:
px(n) = n + 1 ∀n;x — уравновешенное непериодичное слово;x — механическое слово с иррациональным наклоном σ.
В случае выполнения любого из этих условий слово x называетсясловом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 16/32
![Page 35: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/35.jpg)
Механические слова и вращения
σ
0=1
ρ
Лекция 3 Слова Штурма 17/32
![Page 36: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/36.jpg)
Механические слова и вращения
σ
0=1
ρ
ρ+σ
w = 1 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 18/32
![Page 37: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/37.jpg)
Механические слова и вращения
0=1
σ
ρ
ρ+σρ+2σ
w = 10 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 19/32
![Page 38: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/38.jpg)
Механические слова и вращения
0=1
σ
ρ
ρ+σρ+2σ
ρ+3σ
ρ+4σ
ρ+5σ
w = 10001 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 20/32
![Page 39: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/39.jpg)
Сложность механических слов
w1 = 1⇐⇒ 1− σ < ρ < 1
−σ
0=1
2 интервала, в каком ρ — такой и первый символpw (1) = 2
Лекция 3 Слова Штурма 21/32
![Page 40: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/40.jpg)
Сложность механических слов
wk = 1⇐⇒ −(k − 1)σ < ρ < −kσ
−σ
0=1
−2σ
−κσ−3σ
k + 1 интервалов, в каком ρ — такой и префикс длины kpw (k) = k + 1.
Лекция 3 Слова Штурма 22/32
![Page 41: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/41.jpg)
Еще одно определение
00 0 0 0 0 01 111111
Лекция 3 Слова Штурма 23/32
![Page 42: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/42.jpg)
Бильярды
0
0
1
0
1
0
010001 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 24/32
![Page 43: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/43.jpg)
Это тоже слова Штурма
0
0
1
0
1
0
010001 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 25/32
![Page 44: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/44.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaНи одно слово Штурма не является автоматным.
У слов Штурма частота символов иррациональна (и равнанаклону), а у автоматных — рациональна.
Лекция 3 Слова Штурма 26/32
![Page 45: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/45.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaНи одно слово Штурма не является автоматным.
У слов Штурма частота символов иррациональна (и равнанаклону), а у автоматных — рациональна.
Лекция 3 Слова Штурма 26/32
![Page 46: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/46.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaМножество подслов слова Штурма зависит только от его наклона.
Значит, для многих рассуждений можно считать, что ρ = 0 или —даже лучше — ρ = σ. Такие слова Штурма называютсяхарактеристическими.
Лекция 3 Слова Штурма 27/32
![Page 47: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/47.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaМножество подслов слова Штурма зависит только от его наклона.
Значит, для многих рассуждений можно считать, что ρ = 0 или —даже лучше — ρ = σ. Такие слова Штурма называютсяхарактеристическими.
Лекция 3 Слова Штурма 27/32
![Page 48: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/48.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
![Page 49: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/49.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
![Page 50: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/50.jpg)
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
![Page 51: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/51.jpg)
Пример: слово Фибоначчи
Наклон слова Фибоначчи равен
1
τ2= [0, 2, 1, 1, 1, 1, · · · ], где τ =
1 +√
5
2.
s−1 = 1
s0 = 0
s1 = 01
s2 = 01 0
s3 = 010 01
s4 = 01001 010
Это действительно слово Фибоначчи.
Лекция 3 Слова Штурма 29/32
![Page 52: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/52.jpg)
Пример: слово Фибоначчи
Наклон слова Фибоначчи равен
1
τ2= [0, 2, 1, 1, 1, 1, · · · ], где τ =
1 +√
5
2.
s−1 = 1
s0 = 0
s1 = 01
s2 = 01 0
s3 = 010 01
s4 = 01001 010
Это действительно слово Фибоначчи.
Лекция 3 Слова Штурма 29/32
![Page 53: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/53.jpg)
Ограниченность степеней
CorollaryСлово Штурма избегает достаточно больших степеней тогда и толькотогда, когда числа mn в разложении σ = [0,m1 + 1,m2,m3 · · · ]ограничены.
Лекция 3 Слова Штурма 30/32
![Page 54: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/54.jpg)
Штурмовские неподвижные точки морфизмов
TheoremХарактеристическое слово Штурма с наклоном σ являетсянеподвижной точкой морфизма тогда и только тогда, когда
σ = [0, 1, a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0
илиσ = [0, 1 + a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0 ≥ 1.
ЗамечаниеВсе такие числа — квадратические иррациональные. Число σ(0 < σ < 1) дает штурмовскую неподвижную точку морфизма тогда итолько тогда, когда 1/σ < 1.
Лекция 3 Слова Штурма 31/32
![Page 55: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/55.jpg)
Штурмовские неподвижные точки морфизмов
TheoremХарактеристическое слово Штурма с наклоном σ являетсянеподвижной точкой морфизма тогда и только тогда, когда
σ = [0, 1, a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0
илиσ = [0, 1 + a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0 ≥ 1.
ЗамечаниеВсе такие числа — квадратические иррациональные. Число σ(0 < σ < 1) дает штурмовскую неподвижную точку морфизма тогда итолько тогда, когда 1/σ < 1.
Лекция 3 Слова Штурма 31/32
![Page 56: 20111016 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture03](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051412/54bbad014a7959d2488b4583/html5/thumbnails/56.jpg)
После перерыва
Количество всех слов Штурма.Вращательные слова.Перекладывание отрезков.
Лекция 3 Слова Штурма 32/32