20106 I ילמיסטיניפניא ןובשחimg2.tapuz.co.il/forums/1_128650653.pdf ·...

a ה א ו נ י ב ר ס י ט ה ה פ ת ו ח ה

ליאת פרידלנדר: כתבה

ט"תשס - אביבסמסטר - 2009מרץ

20106

Iחשבון אינפיניטסימלי 2009אביב -חוברת הקורס

. לא להפצה –פנימי

. כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה @

תוכן העניינים

א יםאל הסטודנט

מתכונת הקורס

ה מרכיבי הקורס . 1

ה הלימוד בקורס חומרפירוט . 2

ח מפגשים קבוצתיים עם מנחה . 3

ט תכנון לוח זמנים . 4

ט בחינת ביניים .5

י בחינות הגמר . 6

י התנאים לקבלת נקודות זכות . 7

יא לוח זמנים ופעילויות .8

יג רס באינטרנטלמידה מתוקשבת ואתר הקו. 9

מטלות הקורס

יט פירוט המטלות בקורס

כ נוהל הגשת מטלות

1 11ן "ממ

3 01ח "ממ

7 12ן "ממ

9 13ן "ממ

11 02ח "ממ

15 14ן "ממ

17 15ן "ממ

19 03ח "ממ

23 16ן "ממ

25 04ח "ממ

31 17ן "ממ

33 18ן "ממ

35 19ן "ממ

א

,אל הסטודנטים

".Iחשבון אינפיניטסימלי "אנו מקדמים אתכם בברכה עם הצטרפותכם אל תלמידי הקורס

) שאינם קורסי פתיחה(שקורס זה הוא מבין הקורסים הראשונים במתמטיקה קרוב לודאי

יהיה עליכם להשקיע מאמץ ניכר כדי ללמוד את הקורס ולהתרגל לעולם , לכן. שהנכם לומדים

.מושגים חדש

תיאור . השקענו מאמץ בבניית מערכת מסייעת ללימוד עצמי, כדי להקל עליכם את הלימוד

.כמו כן תמצאו כאן את לוח הזמנים של הקורס ואת המטלות. המערכת כלול בחוברת זו

.פרטים לגבי נהלים המקובלים באוניברסיטה הפתוחה מפורטים בידיעון האקדמי

.תיאורי הקורסים מופיעים בקטלוג הקורסים

.עדכונים והשלמות לקטלוג הקורסים ולידיעון האקדמי יישלחו מדי סמסטר

.ר גוני אורשן"וד ת פרידלנדרליא הםההוראה בקורס ימרכז

. 14:30 - 12:30בין השעות ', בבימי , 09-7781427בטלפון לליאת ניתן לפנות

.דרך אתר הקורס •

. [email protected] -בדואר אלקטרוני •

.09-7780631: בפקס •

.14:30 - 12:30בין השעות ', בימי ה 09-7781426לגוני ניתן לפנות בטלפון

.הקורס דרך אתר •

. [email protected] -בדואר אלקטרוני •

.09-7780631: בפקס •

,בברכה

.צוות הקורס

ג

מתכונת הקורס

ה

מרכיבי הקורס. 1

יחידות לימוד אותן תלמדו 12הוא " Iיניטסימלי חשבון אינפ"המרכיב העיקרי של הקורס

.מתוגברת באמצעות נספח וקלטת וידאו הנמצאת באתר הקורס 3יחידה . בעצמכם

:להלן נמנה מרכיבים נוספים של הקורס

ידי -ידי האוניברסיטה הפתוחה או על-שייבדקו ויוערכו על) ח"ממ-ן"ממ(הכנת עבודות בית −

.המנחים שלכם

.עם מנחה מפגשים קבוצתיים −

.הנחיה טלפונית שבועית −

.בחינת ביניים שתיערך במהלך הקורס −

.בחינת גמר שתיערך בסוף הקורס −

הלימוד בקורס חומרפירוט . 2

:והם, שיעורים 6יש " Iחשבון אינפיניטסימלי " יחידות הלימוד של הקורסב

גבולות ורציפות, פונקציות – Iשיעור

ת הקבוצותמושגים בסיסיים מתור - I.1פרק

1יחידה פונקציות - I.2פרק

הצגה גיאומטרית של פונקציות - I.3פרק

פעולות אלגבריות בין פונקציות - I.4פרק

הרכבה של פונקציות - I.5פרק

2יחידה פונקציות הפוכות - I.6פרק

טריגונומטריה - I.7פרק

גבול ורציפות - I.8פרק

3יחידה בחישוב גבולות כללים בסיסיים - I.9פרק

הרחבת מושגי הגבול והרציפות - I.10פרק

תיאור מפורט של השיעור והמלצה. יש שיעור תגבור באתר הקורס 3ליחידה

.2לאופן השימוש בו מופיעים בהמשך סעיף

ו

קבוצות חסומות ופונקציות חסומות – IIשיעור

מקסימום ומינימום – II.1פרק

4יחידה החסם העליוןאקסיומת – II.2פרק

חסמים וערכי קיצון של פונקציות – II.3פרק

תכונות של פונקציות רציפות – IIIשיעור

,סיווג נקודות אי רציפות, רציפות בנקודה – III.1פרק

רציפות בקטע

5יחידה משפט ערך הביניים – III.2פרק

רציפות במידה שווה – III.3פרק

תכונות נוספות של פונקציות רציפות – III.4פרק

הנגזרת – VIשיעור

רקע למושג הנגזרת – VI.1פרק

6יחידה הגדרת הנגזרת ומסקנות ראשוניות – VI.2פרק

מכפלה ומנה, הפרש, נגזרות של סכום – VI.3פרק

7יחידה כלל השרשרת ונגזרת הפונקציה ההפוכה – VI.4פרק

יאלמשיק ודיפרנצ – VI.5פרק

המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי – VI.6פרק

8יחידה חקירת פונקציה לפי תכונותיה – VI.7פרק

הדיפרנציאליות

שימושים בנגזרת לפתרון בעיות – VI.8פרק

האינטגרל המסוים – Vשיעור

בעיית השטח – V.1פרק

9יחידה סכומים עליונים וסכומים תחתונים – V.2פרק

הגדרת האינטגרל המסוים – V.3רק פ

משפטי קיום והנוסחה היסודית – V.4פרק

תכונות האינטגרל המסוים ומשפט הערך – V.5פרק

הממוצע

10יחידה המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי – V.6פרק

אינטגרל רימן – 10נספח ליחידה

ז

פונקציית הלוגריתם הטבעי – V.7פרק

11יחידה יית האקספוננטפונקצ –V.8פרק

פונקציות מעריכיות – V.9פרק

לוגריתמים – V.10פרק

שיטות אינטגרציה – IVשיעור

פונקציות קדומות – IV.1פרק

12יחידה נוסחות אינטגרציה וכללים בסיסיים – IV.2פרק

שיטות אינטגרציה – IV.3פרק

בחזרה אל אינטגרל מסוים -IV.4פרק

. מצא אינדקס מונחים לקורס כולונ 12בסוף יחידה

נספח שאלות ותשובות

. נספח השאלות והתשובות לקורס הוא חלק בלתי נפרד מחומר הלימוד בקורס

ויש לקרוא אותן עם סיום קריאת , השאלות בנספח מחולקות בהתאם ליחידות הלימוד בקורס

.יחידות הלימוד המתאימות

נספח ליחידות הלימוד

.חלק בלתי נפרד מיחידות הלימוד גם נספח זה הוא

.ודפי תיקונים לכל יחידות הקורס, 6/7כמה הערות ליחידות , 8-ו 3תמצאו שם הרחבות ליחידות

3שיעור תגבור ליחידה

.בקורס 3ביחידה באתר הקורס תמצאו שיעור מוסרט הדן בנושאים הנלמדים

. והוא אינו קל להבנה, לקורס כולו הוא אבן היסוד) שהוא עיקר הדיון ביחידה זו(הגבול מושג

השיעור אינו . להבהרת הנושא, באמצעות מדיום נוסף 3מטרת השיעור לתגבר את הנלמד ביחידה

לשפר ולהעמיק את , ומטרתו לסייע, מהווה תחליף לחומר הלימוד הכתוב או למפגשי ההנחיה

. הידע וההבנה בנושא הגבולות

:ואמשך השיעור הוא כשעתיים ותוכנו ה

.הקדמה . 1

.מושג הגבול בנקודה . 2

).I.57משפט (משפט יחידות הגבול . 3

ח

).I .63משפט (משפט האריתמטיקה של גבולות . 4

.גבולות אינסופיים . 5

.שלילת טענות . 6

:המלצה לאופן השימוש בשיעור

.ורק אז פנו לצפייה בשיעור, באופן יסודי 3קראו את יחידה

, לפתור את התרגיל בעצמכם, את מהלך ההקרנההנכם מוזמנים לעצור , לאחר כל תרגיל שמוצג

אם במהלך הצפייה קטע . ולאחר מכן לשוב להמשך הצפייה ולהתבונן בפתרון המופיע בסרט

.לחזור ולצפות בקטע פעם נוספת, תוכלו לעצור, מסוים או נושא מסוים אינו מובן די הצורך

מפגשים קבוצתיים עם מנחה. 3

לכל קבוצה יש מנחה ובמשך . ות לימוד לפי אזורי מגוריםהסטודנטים בקורס מחולקים לקבוצ

בכל מפגש קבוצתי ייסב הדיון על יחידות הלימוד שהיה עליכם ללמוד . הקורס יתקיימו מפגשים

פרטים נוספים . פיגור בלימודים יגרום לכך שלא תוכלו לנצל את המפגש כיאות. עד לאותו מפגש

".לוח מפגשים ומנחים"ב

אנו . ואת החומר עצמו אתם אמורים ללמוד בעצמכם, את חומר הלימוד תרגללהמפגשים נועדו

בסוף הלימוד של כל . ממליצים מאוד כי תרשמו תוך כדי לימוד את אותן הנקודות בהן התקשיתם

. ייתכן שתוכלו לצמצם את רשימותיכם, "בלתי ברורות"חזרו ועיינו ברשימת הנקודות ה - *שיעור

.פתורות תוכלו להעלות במפגשי הלימודאותן בעיות שנותרו בלתי

וכן על , כהכנה למפגש הקבוצתי כדאי לעבור על השאלות להערכה עצמית שבסוף השיעור הנדון

לפני כל מפגש קבוצתי עיינו במטלות העומדות על . השאלות המתאימות בנספח השאלות לקורס

ם בהבנת שאלה בגלל קשיי(כדי שתוכלו לברר במפגש נקודות שמצאתם בלתי ברורות , הפרק

).'וכד, קשיים בניסוח הפתרון, ניסוח

אנו ממליצים מאוד להשתתף במפגשים אלה ורואים בהם , אם כי הנוכחות במפגשים אינה חובה

מתוך ניסיון קודם מתברר כי מידת ההצלחה בקורסים במתמטיקה . חלק אינטגרלי של הקורס

. ובפרט במפגשים הקבוצתיים, לות השונותעומדת ביחס ישר למידת מעורבותו של הסטודנט במט

. מהווים המפגשים אמת מידה למידת הבנתכם את החומר, בין השאר

____________________

.שיעור הוא קבוצה של יחידות שכולן יחד דנות בנושא מסוים*

ט

תכנון לוח זמנים . 4

. מתבצעות במשך הקורסבלוח הזמנים מרוכזת כל האינפורמציה הרלוונטית ביחס לפעילויות ה

, אץ מועדי המפגשים(מטלות מחשב ומועדי המפגשים , מועדי הגשת מטלות מנחה –הווי אומר

).מומלץ למלא בעמודה המתאימה, הנשלחים אליכם בנפרד

אם . שמירה קפדנית על לוח הזמנים תעזור לכם לעמוד בדרישות הקורס ולאתר בעיות בזמן

תוכלו כמובן להשלים את החסר , סוימת בשבוע שנועד לכךאינכם מספיקים ללמוד יחידה מ

החומר , הקורס שלנו עמוס. אך הקפידו שלא ייווצרו פיגורים רציניים מדי, בשבוע שלאחר מכן

אפשר לדחות נושא לסוף או לדלג על נושא -ולכן אי, המאוחר יותר נסמך כולו על החומר הקודם

מומלץ להתקשר אל מרכזת הקורס –הולך וגדל אם אתם מוצאים את עצמכם בפיגור. לחלוטין

.כדי להיוועץ מה ניתן לעשות

בחינת ביניים. 5

בחינה זו . 7-3לסמסטר תיערך בחינת ביניים על החומר הכלול ביחידות 9-בסביבות השבוע ה

. הודעה על מועד הבחינה תקבלו בתחילת הסמסטר. אינה חובה

.פניותהמוקד באו "פ"קול האו"או ב "שאילתא"נה בלבחילהירשם צריכים להיבחן המעוניינים

").בחינת הגמר"ראו סעיף (הבחינה תיערך במתכונת דומה לזו של בחינת הגמר

ומחברות הבחינה ישלחו אליכם אחרי בדיקתן עם הערות , ידי צוות הקורס-הבחינה תיבדק על

.וציון

נו ממליצים מאוד לגשת לבחינה א, בכל זאת. ההשתתפות בבחינת הביניים אינה חובה, כאמור

:מכמה סיבות

ההתנסות בבחינת הביניים . כל בחינה מעמידה את הסטודנט מול מצב של לחץ והתרגשות −

;תעזור לכם להתמודד עם מצב דומה בבחינת הגמר

ותורם לא רק להבנת החומר שכבר נלמד אלא גם , "מסדר את החומר בראש"הלימוד לבחינה −

;ר על ההמשךיות" מבוגרת"להסתכלות

תמצאו שההכנה לבחינת הביניים משמשת חזרה טובה על חומר הלימוד ואת הזמן −

למרות שבחינת הגמר , כאשר תתכוננו לבחינת הגמר" תחסכו"והמאמצים שתקדישו לכך

;היא בזמן מאוחר יותר

כמו כן תראו כיצד נבדקת בחינה וכיצד . מן השאלות בבחינה תוכלו ללמוד מהן הציפיות שלנו −

;היא מוערכת

שהתועלת שמפיק הסטודנט מההשתתפות בבחינת הביניים היא , מן הניסיון בקורס למדנו −

נראה שהסיכויים של המשתתפים בבחינה להצליח בבחינת הגמר עולים על . גדולה ביותר

;אלה של האחרים

י

דו הצלחה בבחינת הביניים עשויה גם לתרום לשיפור הציון הסופי של אותם הסטודנטים שיעמ

יגישו מכסה מספקת של מטלות ויעמדו בבחינת הגמר , כלומר(בדרישות הרגילות של הקורס

20בחישוב הציון הסופי של סטודנטים כאלה יינתן לבחינת הביניים משקל של ). לפחות 60בציון

רק בתנאי שציון בחינת –וזאת , נקודות 20-נקודות על חשבון הפחתת המשקל של בחינת הגמר ב

פירוש הדבר הוא שההשתתפות בבחינת הביניים עשויה לשפר . גבוה מציון בחינת הגמר הביניים

.את הציון הסופי ויחד עם זאת בשום מקרה אינה יכולה להזיק

בחינות הגמר. 6

תידרשו , בנוסף. השאלות שיופיעו בבחינת הגמר יהיו ברוח השאלות המופיעות בחוברת הקורס

הבחינה . בהוכחת משפטים וטענות המופיעים ביחידות הלימודלהוכיח בקיאות בניסוח הגדרות ו

דוגמאות רבות של בחינות גמר מסמסטרים קודמים תמצאו באתר . כל חומר עזר ללאתיערך

. הקורס

, מועד הבחינה לפנידרישות הקורס בכלהנכם זכאים לגשת לבחינת גמר בקורס רק אם עמדתם

. ומעלהנקודות 15כלומר הגשתם מטלות במשקל של

הודעה על המועדים המדויקים תישלח . בחינות הגמר יחלו כשבוע ימים לאחר תום הסמסטר

.ידי מרכז ההישגים הלימודיים כחודשיים לאחר תחילת הסמסטר-לסטודנטים על

.מועדי בחינות הגמר שנקבעו לסמסטרים הבאים מפורטים בידיעון האקדמי

!לתשומת לבכם

במועדים של הסמסטר הנוכחי ובמועדים של הסמסטר : רס פעמייםכל סטודנט זכאי להיבחן בקו

.ובכך מיציתם את זכותכם להיבחן בקורס, הבא בו נלמד הקורס

להירשם לקורס זה פעם ויוכל, בשניהם יםלבחינות גמר בשני מועדים ונכשל יםשניגש יםסטודנט

.פרטים בידיעון האקדמי. נוספת ולקבל הנחה בשכר הלימוד

לקבלת נקודות זכותתנאים . 7

:עליכם, על מנת לקבל נקודות זכות בקורס

.נקודות לפחות 15להגיש מטלות במשקל של .א

.לפחות 60לקבל בבחינת הגמר ציון .ב

.לפחות 60לקבל בציון הסופי .ג

יא

)ב2009/ 20106(לוח זמנים ופעילויות . 8

למשלוח תאריך אחרון שבוע

לימודהיחידת הלימוד תאריכי שבוע הלימוד

המומלצת ח "ממ *ההנחיה מפגשי

)פ"לאו( ן "ממ

)למנחה(

1

20.3.2009-15.3.2009

2 -ו 1יחידות

2

27.3.2009-22.3.2009

3יחידה

11ן "ממ

27.3.2009

3

3.4.2009-29.3.2009

3יחידה

והתוספת

3ליחידה

01ח "ממ

3.4.2009

4

10.4.2009-5.4.2009

)ו פסח-ה(

3יחידה

והתוספת

4יחידה

12ן "ממ

8.4.2009

5

17.4.2009-12.4.2009

)ד פסח-א(

4יחידה

5יחידה

13ן "ממ

17.4.2009

6

24.4.2009-19.4.2009

)ג יום הזכרון לשואה(

5יחידה

02ח "ממ

24.4.2009

7

1.5.2009-26.4.2009

)ג יום הזכרון(

)ד יום העצמאות(

5יחידה

14ן "ממ

1.5.2009

8

8.5.2009-3.5.2009

7 -ו 6יחידות

15ן "ממ

8.5.2009

9

15.5.2009-10.5.2009

)מרג בעו"ג ל(

חזרה

בשבוע זה תערך

בחינת הביניים

שבצו אותםאנא ". לוח מפגשים ומנחים"מופיעים ב התאריכים המדויקים של המפגשים הקבוצתיים*

.שירותי הוראה ממערך שקיבלתם מצוינים בהודעה ללומד הקבוצה ומספרמרכז הלימוד . ידכםבכתב

יב

המשך -לוח זמנים ופעילויות

למשלוח תאריך אחרון שבוע

לימודהיחידת הלימוד תאריכי שבוע הלימוד

המומלצת ח "ממ *ההנחיה מפגשי

)פ"לאו( ן "ממ

)למנחה(

10

22.5.2009-17.5.2009

)ו יום ירושלים(

8יחידה

11

29.5.2009-24.5.2009

)ו שבועות-ה(

8יחידה

03ח "ממ

27.5.2009

12

5.6.2009-31.5.2009

10 -ו 9יחידות

16ן "ממ

5.6.2009

13

12.6.2009-7.6.2009

10 -ו 9יחידות

04ח "ממ

12.6.2009

14

19.6.2009-14.6.2009

11יחידה

17ן "ממ

19.6.2009

15

26.6.2009-21.6.2009

12יחידה

18ן "ממ

26.6.2009

19ן "ממ

3.7.2009

מועדי בחינות הגמר יפורסמו בנפרד

שבצו אותםאנא ". לוח מפגשים ומנחים"מופיעים ב התאריכים המדויקים של המפגשים הקבוצתיים*

.הוראהשירותי ערךממ שקיבלתם מצוינים בהודעה ללומד הקבוצה ומספרמרכז הלימוד . ידכםבכתב

יג

למידה מתוקשבת ואתר הקורס באינטרנט . 9http://telem.openu.ac.il

הפועל כמעין מרכז באינטרנט קיים אתר יםלומד םבו אתשלקורס

עם ערוץ תקשורת עבורכם האתר מהווה . לימוד וירטואלי של הקורס

ומאפשר לכם ליהנות , הוראהצוות האחרים בקורס ועם סטודנטים

ההשתתפות בפעילות . מרכז ההוראהמחומרי למידה נוספים שמפרסם

הכניסה לאתר . המתוקשבת באתר אינה דורשת הרשמה מיוחדת

במקום , בבית(מכל עמדת מחשב שיש בה חיבור לאינטרנט מתבצעת

.לכםבשעות ובימים הנוחים , )ממחשב של חבר, העבודה

?אתרבכדי לגלוש יםהציוד והתוכנה הנדרש םמה Microsoft Internetגישה למחשב המסוגל להריץ לבקר באתר ולהשתתף בפעילות נדרשת כדי

Explorer 6 תמלילים מעבד ההכולל , ומעלהMicrosoft Word 7.0 תוכנות . ומעלהOffice אחרות

.מומלצות

?כיצד מגיעים לאתר הקורס http://telem.openu.ac.il :בכתובת שוהםלהיכנס לאתר הראשי של עליכםתחילה

על שם צומתאימה ולחבמחלקה ה בחרו, שמות המחלקות באוניברסיטהעל המסך מופיעים

. ים או לחילופין הקלידו את מספר הקורס בחלון החיפושלומד םהקורס אותו את

?מה כוללים אתרי הקורסים הוראה לבין כל השותפים ללמידה ו תקשורת זמינה ושוטפתאתרי הקורסים מאפשרים לקיים

.בקורס

תרגול ,עדכונים ליחידות הלימוד :ןכגו חומרי לימודבאתרי הקורסים מתפרסמים , נוסף על כך

: כגון חומרי העשרה. לומדות ועוד, המחשות, נים"משובים לממ, דוגמאות של מבחנים, נוסף

, מבחני רב ברירה עם משוב מיידי, נושאים אקטואליים ,של סטודנטיםלדוגמה עבודות , מצגות

.ועוד קישורים למאגרי מידע ולאתרים שונים ברשת האינטרנט

מוקלטים המחולקים לפרקים והמזמנים לימוד הדומה שיעורי וידיאובחלק מהאתרים משולבים

ובמיוחד חזרה על פרקים , החלוקה לפרקים מאפשרת צפייה נוחה בשיעור. במקצת לשיעור חי

. בדקו האם יש הפניה לשיעורי וידיאו בקורס שלכם והיעזרו בהם ללמידה. ספציפיים מתוך הרצף

החומרים באתר של כל קורס בוחר מרכז ההוראה להציג את -בלבד גמאותאלה הן דוכל

.המתאימים לתכני הקורס

הפנקס האישי המאפשר לכם לרכז הערות אישיות לחומרים שתבחרו " פנקס אישי" משולבבאתרי הקורסים

ס אותו פנק. רק אתם מורשים לצפות בו. אישי -כשמו כן הוא , הפנקס האישי. מתוך אתר הקורס

. ילווה אתכם בכל תקופת לימודיכם באוניברסיטה הפתוחה וישרת אתכם בכל הקורסים שתלמדו

.בתנאי שיש לכם הרשאה אליהם, שונים יםתוכלו לאסוף לפנקס האישי פריטי תוכן מאתרי קורס

אזור מידע לסטודנטים או ישירות , פרטים על הפנקס האישי והמלצות לשימוש בו ראו באתר תלם

http://telem.openu.ac.il/personal_notes: תובתבכ

.יהיה לכם לעזר במהלך לימודיכם באוניברסיטה הפתוחה שהפנקס האישימקווים

יד

?כיצד מתבצעת התקשורת באתר

ההוראה בו מתפרסמות הודעות שוטפות מטעם צוות לוח הודעות בדף הבית באתר פרוס

.בנושאים ואירועים הקשורים לקורס. המאפשרת שיח שוטף בין כל משתתפי הקורס באמצעות חילופי טקסט קבוצת דיון יש באתר

לשאול שאלות ולקיים שיח לימודי , להעלות קשיים, לדון בחומר הלימוד, אפשר לשתף ולהתייעץ

. מדים ומלמדים בקורסקבוצת הדיון פתוחה רק בפני הסטודנטים והמנחים הלו. וחברתי .מאפשר קיום תקשורת בינאישית בין הסטודנטים ומול צוות ההוראההדואר האלקטרוני

בזמן אמת באמצעות הודעות " שוחחל", לומדים ומלמדים, מאפשר לכל משתתפי הקורס ט'הצ

.טקסט במועד שנקבע מראש

ביקור ראשון באתר הקורס במדורים השונים לשוטט התחילו -רוך עימו הכרות באתר הוא לע כםהצעד הראשון בביקור

. שנמצאים בובאתר בצורה חופשית כדי להכיר את המבנה שלו ואת התכנים הנמצאים

:את הפעולות הבאות וובצע ל והיכנס

לקבל דואר ממרכז וכדי שתוכל שלכם עדכנו את כתובת הדואר האלקטרוני •

. ההוראה

נטים באתר כדי שסטודנטים אחרים יוכלו בדף רשימות הסטוד כםפרסום שמ ואשר •

. ישירות אליכםלפנות

).אם היא מסובכת מדי לזכירה(לשנות את סיסמת הגישה האישית לאתר תוכלו •

על לספר מעט ותוכל ,בפני צוות הקורס וחברי הקבוצה כםעצמ וגיבקבוצת הדיון והצ ובקר

נצלו את קבוצת הדיון , ם באתרבביקורים הבאי. מהקורס כםבציפיות של אחריםולשתף עצמכם

.להציע רעיונות ולשתף אחרים בחוויות ובפתרונות, להעלות שאלות

אליו ניתן , סביבת הלמידהקיים באתר מדריך למשתמש הכולל הנחיות טכניות לתפעול כםלרשות

.בראש דף הבית להגיע מהקישור

תדירות הביקור באתר ולמה כדאי לחזור ולבקר בו אחד מהם הוא האפשרות לעדכן את המידע , כידוע הוא מדיום בעל יתרונות רבים האינטרנט

היתרון הזה בא לידי ביטוי באתרי הקורסים ומאפשר לצוות ההוראה . באופן שוטף ובמהירות

דוגמאות ב, חידושיםב, באופן שוטף בפרסומים, הסטודנטים, לעדכן את האתר ואתכם

אתר הקורס כפי שמוצג , גוד ליחידות הלימוד הכתובותבני, במילים אחרות. אקטואליות ועוד

אתרי הקורסים מתרחבים . בראשית הסמסטר אינו דומה כלל וכלל לאתר הקורס בסוף הסמסטר

. כםמנהג לבקר באתר באופן שגרתי ולהפנות אליו את שאלותי כםלעצמ ועש. ומתעדכנים כל העת

אמצעי כםכי עומד לרשות וזמן תיווכחעם ה, מכביד או מאולץאולי גם אם בהתחלה הדבר יהיה

.עזר יעיל ללמידה

האתר נועד . היעזרו בתכנים השונים וכמובן השתתפו באופן פעיל, היכנסו לאתר

.לכם ושימוש נכון בו יכול להקל עליכם את הלמידה

!להתראות באתר

טו

?כיצד מקבלים סיסמת גישה לאתר הקורס ח באוניברסיטה חשבון אישי הכולל סיסמת גישה נפת, לכל סטודנט הרשום לקורס מתוקשב

בכל אתכםותשרת , הסיסמה מופקת פעם אחת לכל תקופת הלימודים. לאתר הקורס באינטרנט

חשוב לשמור את הסיסמה גם לקורסים . מיםרשו םהקורסים המתוקשבים שאליהם את

כםיתתישלח לב, בקורס מתוקשב יםלומד םאם זו פעם ראשונה שאת. ולסמסטרים הבאים

!אנא הקפידו לשמור פרטים אלה .כםהודעה שתכלול את שם המשתמש והסיסמה המקורית של

את םאם שינית. כפתור לשנות את הסיסמה האישית באתר הקורס ב ותוכל

ליצור קשר עם מוקד כםעלי, אותה םאם שכחת .כםלרשום אותה לפני ואנא הקפיד, הסיסמה

ואו תוכל [email protected]: אמצעות דואר אלקטרוניב, 09-7782222 הפניות והמידע בטלפון

.09-7781111 פ בטלפון"להשתמש גם בשירותי קול האו

היא , בכל מקרה של דרישת סיסמה. מטעמי סודיות לא ניתן לקבל את הסיסמה בטלפון !שימו לב

.תישלח בדואר לכתובת המעודכנת במחשב האוניברסיטה הפתוחה

ות מערכת המטלותנים באמצע"שליחת ממ מערכת . באמצעות האינטרנט) נים"ממ(לשלוח מטלות בחלק מקבוצות הלימוד קיימת אפשרות

כל שיידרש . שליחת המטלות קלה להפעלה וחוסכת את הצורך במילוי טפסים או במשלוח דואר

או (להצביע על מספר המטלה ולצרף קובץ , מכם יהיה להתחבר לאינטרנט לאתר הבית של הקורס

, פרטיכם האישיים או תאריך המשלוח, שאר הפרטים(מהמחשב האישי שלכם ) קבצים' מס

.המטלה המתוקנת והציון יוחזרו אף הם באמצעות האינטרנט). יילקחו אוטומטית מהמערכת

.מטלות בדרך זוהשליחת תבהן מתאפשרשקבוצות לימוד מ תישלח לסטודנטים הודעה נפרדת

תמיכה טכנית ובירורים

הפניות והמידע מוקד

[email protected]: דואר אלקטרוני , 09-7782222טלפון רב קווי :שעות הפעילות של מוקד הפניות הן 19:00 - 8:30: בימי ראשון עד חמישי בין השעות 12:30 - 8:30: בימי שישי וערבי חג בין השעות

.שיז וקוד אי"הנכם מתבקשים להצטייד במספר ת, בעת הפנייה למוקד :יש לפנות למוקד בנושאים

פ "בשירותי קול האוניתן גם להשתמש גם . לקבלה או שחזור סיסמה(סיסמת המשתמש • )09-7781111 בטלפון

הודעת שגיאה המודיעה כי אינכם מורשים לגשת לדף כלשהו באתר •

במידה שקיבלתם הודעה שבקורס נעשה שימוש (קשיים בהפעלת מערכת שליחת מטלות • ) במערכת

למשל דף משובש או (לות כלליות על אתרי הקורסים ודיווח על תקלות טכניות באתר שא •

)שגויה URLכתובת .עליכם לפנות לצוות ההוראה בקורס, בכל הנושאים הקשורים לתכנים באתר הקורס

יז

ת הקורסמטלו

יט

פירוט המטלות בקורס

.נים"ממ 9 -ו חים"ממ I 4חשבון אינפיניטסימלי בקורס

היחידות בהן הם עוסקים , סימוליהם, חים"נים והממ"בטבלה שלהלן מופיעה רשימת הממ

.ומשקליהם

משקל המטלה נושא המטלה שם המטלה

נקודות 2 3והתוספת ליחידה 3יחידה 01ח "ממ

נקודות 2 5-ו 4יחידות 02ח "ממ

נקודות 2 8 -ו 7, 6יחידות 03ח "ממ

נקודות 2 10 -ו 9יחידות 04ח "ממ

נקודות 2 3כהכנה ליחידה , 2 -ו 1יחידות 11ן "ממ

נקודות 2 3והתוספת ליחידה 3יחידה 12ן "ממ

3התוספת ליחידה , 4, 3יחידות 13ן "ממ

81עד עמוד 5ויחידה

נקודות 2

נקודות 3 5יחידה 14ן "ממ

נקודות 2 7 -ו 6, 5 יחידות 15ן "ממ


נקודות 3 11ויחידה 10, 9יחידות 17ן "ממ


נקודות 2 12 -ו 11יחידות 19ן "ממ

לב כי מושי. וכן על גבי המטלות עצמן "לוח זמנים ופעילויות"תאריכי הגשת המטלות מופיעים ב

מטלות שיישלחו לאחר המועד שנקבע בלוח . למשלוח אחרוניםתאריכים אלה הם תאריכים

מטלות המנחה יבדקו על . לא יילקחו בחשבון בחישוב הציון הסופיבדרך כלל , הזמנים של הקורס

עמידה בלוח -ים של איבמקרים מיוחד . לבתיכם, עם הערות, ידי צוות הקורס וישלחו בדוקות

ח "ודחייה בהגשת ממ, ן מהמנחים שלכם"ניתן לנסות ולבקש דחייה בהגשת ממ –הזמנים

. קורסבההוראה יממרכז

הודעה על היום המדויק (זמן מה לאחר מועד הגשתן , בקורס שלנו נפרסם באתר פתרונות למטלות

ש את המטלה לאחר אפשר להגי-מובן מאליו שבשום מקרה אי). שבאתר" לוח המודעות"תופיע ב

.שפתרונה פורסם

כ

)ן"ממ(נוהל הגשת מטלות מנחה

:קיימות שתי חלופות להגשת מטלות

המקוונת באמצעות מערכת המטלות מטלותליחת ש •

במשלוח דואר, חוסכת את הצורך במילוי טפסים היא, מערכת שליחת המטלות קלה להפעלה

. ומאפשרת מעקב אחר המטלה, ובשמירת עותק של המטלה

מערכת "הגישה למערכת המטלות המקוונת היא דרך אתר הבית של הקורס בקישור

".המטלות

אמצעות הדואר או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהשליחת מטלות ב •

.לכל מטלת מנחה עליכם לצרף טופס נלווה אחד

על כל חלקיו (הכניסו את הטופס . הקפידו למלא את כל הפרטים בחלק א של הטופס

יחד עם המטלה למעטפה המיועדת לכך ורשמו בכתב יד ברור את כתובתכם ) הצבעוניים

.עד לכךבמקום המיו!) כולל מיקוד(

).ן ראו בהמשך"דוגמה לטופס נלווה לממ. (רשמו את שם המנחה וכתובתו באופן מדויק

!השאירו עותק של המטלה בידכם

מועדי הגשה ומשלוח מטלות בדואר

מועד האחרון "יש לשלוח את המטלה עד ל. בעמוד הראשון של כל מטלה מצוין מועד הגשתה

המועד "ר על המעטפה תישא תאריך מאוחר מאסור שחותמת הדוא. המצוין עבורה" להגשה

.ן"להגשת הממ" האחרון

!אין לשלוח מטלות בדואר רשום: שימו לב

.הקפידו לרשום את כתובת המנחה בצורה מדויקת כולל מיקוד

ן שיישלח למנחה "ממ. רק למנחה שלקבוצתו אתם משובציםן עליכם לשלוח לבדיקה "את הממ

.הוראה ציונו לא ייחשבאחר ללא אישור מראש של מרכז ה

ן לא "אם הממ. ן"ן ייבדק ויוחזר לכם תוך שלושה שבועות מהתאריך האחרון להגשת הממ"הממ

.סיבת העיכובלבירור אנא התקשרו עם המנחה, יוחזר אליכם במועד זה

דחייה בהגשת מטלות

יית מועד תוכלו לפנות למנחה שלכם לקבלת אישור לדח, כגון שירות מילואים, במקרים מיוחדים

. אישור המנמק את סיבת האיחור/לכל מטלה המוגשת באיחור צרפו מכתב. ההגשה

אלא אם קיבל הנחיות (ן "בסמכותו של המנחה שלכם לאשר לכם איחור של עד שבוע בהגשת ממ

במקרה חריג ביותר שנדרש איחור בהגשה של למעלה מזה יש לבקש ). אחרות ממרכז ההוראה

ידי המנחה -מטלות שתגענה באיחור וללא אישור תיבדקנה על. בקורסאישור של מרכז ההוראה

.אך לא יינתן להן ציון והן לא תובאנה בחשבון המטלות המוגשות

ן"ערעור על ציון בממ

תוכלו להגיש ערעור מנומק בכתב למנחה שלכם , ן"אם יש לכם השגות על הציון שקיבלתם בממ

ואם המטלה נשלחה , ן הבדוק"ש לצרף את הממלערעור י. ן"תוך שבוע ימים מיום קבלת הממ

).ההעתק הצהוב(בדואר יש לצרף גם את הטופס המלווה

הרשות בידכם לערער בפני מרכז ההוראה בקורס בצירוף , אם המנחה לא יקבל את ערעורכם

החלטת מרכז . תוך שבוע מיום קבלת תשובת המנחה על ערעורכם, ן והטופס המלווה"הממ

.ההוראה היא סופית

כא

!שימו לב

כתבו על ). שורות(נים הנכם מתבקשים לכתוב על דפי פוליו "את התשובות לממ

).מ"ס 5לפחות (צדו האחד של העמוד והשאירו שוליים רחבים להערות המנחה

ן"דוגמה למילוי טופס מלווה לממ

כב

ח"ממ -מטלות מחשב

.הנבדק באמצעות מחשב, ")מבחן אמריקאי" ("ברירה-מבחן רב"ח הוא "הממ

יותר התשובותבמשלוח מואל תקדי. ח במועד שנקבע"יש להקפיד לשלוח את התשובות לממ

. ח"לאותו ממ הנקוב בלוח הזמנים ךמשבוע לפני התארי

:הודעה שתכלול כםלבית ותקבל, מניםהמצוין בלוח הז, בתוך שלושה שבועות מהתאריך האחרון

.כםח לעומת תשובותי"התשובות הנכונות לממ .א

.כםהמתייחסות לתשובותי) אם תהיינה כאלה(הערות .ב

.ח זה בחישוב הציון הסופי בקורס"ח ומשקלו של ממ"בממ כםציונ .ג

ח"הנחיות לפתרון הממ

והבנה מדויקת של קריאה זהירה . יש לקרוא כל שאלה פעמים מספר ולהתייחס לכל מלה בה

.ח"בממ כםמשמעות כל משפט בשאלה הן תנאי ראשון להצלחת

מהי וטיהחל, תחילה את כל האפשרויות הנתונות וקרא. לכל שאלה יש רק תשובה נכונה אחת

.אפשרות זו נוהאפשרות הנכונה ביותר מבין כל האפשרויות ואז סמ

לאחר קריאת , וייתכן כי תגל, שלוש או אף, שיש לשאלה אחת שתי תשובות נכונות כםאם נדמה ל

מובן , במקרה כזה". שלוש התשובות הקודמות נכונות"תשובה אחת האומרת , כל התשובות

הרי רק אחת התשובות , אם לא מופיע משפט מסוג זה. תשובה זו ואותה בלבד כנכונה נושתסמ

.נכונה

שרות לסמן כנכונה את אפ כםובמקרה כזה תינתן ל, קיימת גם אפשרות שאין כל תשובה נכונה

".אין אף תשובה נכונה: "התשובה

ח"משלוח הממ

שירותים אינטראקטיביים ( שאילתאח באמצעות מערכת "יש לשלוח את התשובות לממ

).לסטודנטים באמצעות תקשורת ואינטרנט :פ באינטרנט בכתובת"הסבר על המערכת ניתן למצוא בחוברת הקורס וכן באתר האו

www.openu.ac.il/sheilta

.ח מיד עם פרסומן"במערכת ניתן לראות את תוצאות בדיקת הממ

כג

שאילתא ח באמצעות מערכת"למילוי תשובות ומשלוח ממהוראות

פ בכתובת "הכניסה היא מאתר הבית של האו. (למערכת שאילתא והיכנס .1

www.openu.ac.il/sheilta כםבאמצעות שם המשתמש והסיסמה שנשלחה אלי(.

".קורסים"לתפריט והיכנס .2

.הקורס המבוקש" פירוט"ב ובחר, בדף הקורסים .3

".מטלת מחשב"לקישור והיכנס, בפירוט הקורס .4

הזנת "על צוח ולח"י הקלקה על הכפתור שמימין לממ"לשלוח ע כםח שברצונ"בממ ובחר .5

".תשובות

).על החץ שבכל תיבה צולבחירת התשובה לח. (את התשובות לכל השאלות ינוהז .6

".שלח"ידי לחיצה על לחצן -על כםאת תשובותי ושלח .7

.םח ששלחת"לראות את פרטי הממ ותוכל" פניות"בתפריט .8

ח"ערעור על ציון בממ

תוך שבוע מיום קבלת תוצאות דייםלמרכז ההישגים הלימוח יוגש "בממ םערעור על ציון שקיבלת

).או צילומה(מהמחשב םובצירוף ההודעה על הציון שקיבלת, ח"הממ

.אין ערעור נוסף על ההחלטה בערעור זה

כד

!ת לתשומת לבכםהערות חשובו

להגיש מטלות רבות להשתדל ולכן מומלץ , פתרון המטלות הוא מרכיב מרכזי בתהליך הלמידה

.להשיב רק באופן חלקיהצלחתם כולל מטלות שעליהן , ככל האפשר

:הנהגנו הקלה כדלהלן ,מספר רב של מטלותהגשת כדי לעודד

ציוני . והים מהציון בבחינת הגמרבחישוב הציון הסופי נשקלל את כל המטלות שציוניהן גב

.מטלות כאלה תורמים לשיפור הציון הסופי

מתוכן נבחר רק את הטובות ביותר עד להשלמת . ליתר המטלות נתייחס במידת הצורך בלבד

.משאר המטלות נתעלם. המינימום ההכרחי לעמידה בתנאי הגשת מטלות

ומעלה והגישו מטלות 60ת הגמר בציון ציון סופי מחושב רק לסטודנטים שעברו את בחינ! זכרו

.נקודות ומעלה 15שמשקלן

לדון עם עמיתים ועם סגל ההוראה של הקורס על נושאי הלימוד ועל , ואפילו מומלץ, מותר

. מטלה שסטודנט מגיש לבדיקה אמורה להיות פרי עמלו, עם זאת. השאלות המופיעות במטלות

היא עבירת ,ידי המגיש-או שלא נוסחה אישית על, עצמיתהגשת מטלה שפתרונה אינו עבודה

.משמעת

.העתק של המטלה עליכם להשאיר לעצמכם

אין האוניברסיטה הפתוחה אחראית

.למטלה שתאבד בשל תקלות בדואר

1

11) ן"ממ(מטלת מנחה Iחשבון אינפיניטסימלי - 20106 :הקורס

3כהכנה ליחידה 2 -ו 1יחידות : חומר הלימוד למטלה

נקודות 2: משקל המטלה 6 :מספר השאלות

27.3.2009: מועד אחרון להגשה ב2009: סמסטר

:קיימות שתי חלופות להגשת מטלות מנחה

ות באמצעות הדואר או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהמטלשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •

".נוהל הגשת מטלות מנחה"הסבר מפורט ב

:לב מושי

וההכנה ליחידה 2,1גם את השאלות השייכות ליחידות ולפתרון מטלה זו קרא יםניגש םלפני שאת

.ותשובותבנספח שאלות 3

.ולהקפיד על ניסוחים נכונים ומדויקים כםאת תשובותי לנמק כםעלי

)נקודות 15( 1שאלה

:את תחום ההגדרה המקסימלי של כל אחד מהפונקציות ואצִמ

)2 .א ) 4 1 tanf x x x= − + −.

) .ב )x

xgcos11sinArc

+=.


21ים הממשיים שעבורם מתקיים -x -את כל ה וצאִמ .א xxx ≤++.

אם : וחיהוכ .ב4

tanArc π≤x , אזxx cos2sin ≤.


211 אם :וחיהוכ .ממשי מספר aיהי −+≤− aa ,1 אז=a.

121 -תחילה ש וארה :הדרכה −≤−+ aa.

הזהות על כוסתמהלשם כך ( )( )

yxyx

yxyxyx

yx+

−=

+

+−=−,

.תשובותהשאלות והבנספח 4ועל שאלה

2


) .א )i אם : וחיהוכ411 <−x ,אז

2112 ≥−x.

( )ii ומצא δ > :כך שיתקיים 0

xהמקיים xלכל − <1 δ מתקייםxx+−

− <32 1 4 1

100.

1000 תקייםמ x > M כך שלכל M > 0 ומצא .בcos222

>+−

xxxx

.


]הפונקציה ]x ) הערך השלם שלx ( בנספח השאלות והתשובות המצורף 3מוגדרת בשאלה

.לקורס

:את המשוואות רותּפִ

][4 .א 2 =x. 4 .ב][ 2 =x. ג. [ ]xx =][ 2.


xxgfהמקיימות R -ל R -מ פונקציות g -ו fיהיו .R -ב xלכל )(=

:שלהלןכל אחת מהטענות יכואו הפר וחיהוכ

.ערכית-חד-היא חד f .א

.ערכית-חד-היא חד g .ב

.היא על f .ג

.היא על g .ד

xxfg .ה .R -ב xלכל )(=

xxfgאז , היא על gאם .ו .R -ב xלכל )(=

:האלה נקציותלהיעזר בפו ובחלק מסעיפי השאלה תוכל :רמז

0( )

1 0

x xh x

x x

≤⎧⎪= ⎨⎪ − <⎩

-ו

0( )

1 0

x xk x

x x

≤⎧⎪= ⎨⎪ + <⎩

.

3

01) ח"ממ(מטלת מחשב Iחשבון אינפיניטסימלי - 20106 :הקורס

3והתוספת ליחידה 3יחידה : חומר הלימוד למטלה

נקודות 2 : משקל המטלה 16: מספר השאלות


שאילתאת מערכת ח יש לשלוח באמצעו"את התשובות לממ

www.openu.ac.il/sheiltaבכתובת

!לב מושי

,3בעיון את התוספת ליחידה וקרא, לפתרון מטלה זו יםניגש םלפני שאת

.ואת השאלות המתאימות בנספח השאלות והתשובות לקורס

.בכל שאלה במטלה זו מופיעות שתי טענות

,נכונה 1אם רק טענה - א :נומס

,נכונה 2אם רק טענה -ב

,אם שתי הטענות נכונות - ג

.אם שתי הטענות אינן נכונות – ד

1שאלה

1. 0)1(lim 2 =−+∞→

xxx

2. 2lim ( 1 ) 0x

x x→−∞

+ − =

2שאלה

1. 4

1lim4 2x

xx x→

⎛ ⎞− = ∞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2. limx

xx→

=0

21

4

3שאלה

1. 0

sin(sin )lim 0sin(3 )x

xx→

=

2. ( )

12sinsin

lim0

=−

→ xxx

x

4שאלה

1. 2

25 6lim 16 8x

x xx x→∞

− +=

− +

2. 2

22

5 6lim 16 8x

x xx x→

− +=

− +

5שאלה

1. 1lim tan

xx

x→∞ .אינו קיים

2. ( ) xxx

sin12lim +∞→

.אינו קיים

6שאלה

1. ∞=∞→

)tan(Arctanlim xx

.

2. 2

)Arctan(tanlim

2

ππ

=→

xx

.

7שאלה

] -פונקציה המוגדרת ב fתהי lim ומקיימת 0,∞( ( )x

f x→∞

= 0.

)אם .1 )1)( +> xfxf לכלx ב- [ )(0אז , 0,∞( >xf לכלx ב- [ )∞,0.

)(0אם .2 >xf לכלx ב- [ ] -מונוטונית יורדת ב f-כך ש M > 0אז קיים , 0,∞( )∞,M.

5

8שאלה

limומקיימת R-פונקציה המוגדרת ב fתהי ( )x a

f x L→

=.

.a -רציפה ב fאז , R-מונוטונית ב fאם .1

f אם .2 x( ) > axלכל 0 )(0 -ו > <xf לכלax .L=0אז , <

9שאלה

0xxואם לכל R-הן פונקציות רציפות ב g -ו fאם .1 )מתקיים ≠ ) ( )xgxf >,

)אז ) ( )00 xgxf >.

)ואם a -רציפה ב fאם .2 ) 0≥af,

)בסביבה זו מתקיים xכך שלכל aאז קיימת סביבה של ) 0≥xf.

10שאלה

ומקיימות a ה נקובה שלפונקציות המוגדרות בסביב g -ו fיהיו

0)(lim =→

xfax

=∞ -ו →

)(lim xgax

.

1. ))()((lim xgxfax

⋅→

.−∞ -או ל ∞ -או ל 0 -שווה ל

2. 0)()(lim =

→ xgxf

ax.

11שאלה

a ה נקובה שלפונקציות המוגדרות בסביב g -ו fיהיו

lim)(0ומקיימות =→

xfax

=∞ -ו →

)(lim xgax

.

)בה xכך שלכל aאם יש סביבה נקובה של .1 ) 0≠xf ,

=∞אז → )(

)(limxfxg

ax=∞− או

→ )()(lim

xfxg

ax.

⋅=∞אם .2→

))()((lim xgxfax

=∞אז , → )(

)(limxfxg

ax.

6

12שאלה

.מספר ממשי a≠0יהי

1. limx

ax

xa→

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

00.

2. limx a

ax

xa→

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 1.

13שאלה

.מספר ממשי a≠0יהי

1. limx

ax

xa→∞

⎡⎣⎢⎤⎦⎥= 1.

2. limx

ax

xa→−∞

⎡⎣⎢⎤⎦⎥= −1.

14שאלה

limנניח כי ( )x

f x→

=3

2.

>−>δהמקיים xכך שלכל δ<0קיים .1 30 x מתקיים1512)( <−xf.

>−>δהמקיים xיש δ<0כך שלכל ε<0קיים .2 30 x וגםε≥− 5)(xf.

15שאלה

lim)(2נניח כי 3

=→

xfx

.

>−>δהמקיים xיש δ<0כך שלכל M<0קיים .1 30 x וגםMxf ≤)(.

−>εכך שאם δ<0קיים ε<0לכל .2 2)(xf אזδ<−< 30 x .

16שאלה

.aפונקציות המוגדרות בסביבת g -ו fיהיו

gfאם .1 .a -אינן רציפות ב g -ו fאו a -רציפות ב g -ו fאז או , a -רציפה ב ⋅

gfאם .2 .a -אינן רציפות ב g -ו fאו a -ב רציפות g -ו fאז או , a -רציפה ב +

7


)בנספח ליחידות הלימוד( 3והתוספת ליחידה 3יחידה : חומר הלימוד למטלה



:מנחהקיימות שתי חלופות להגשת מטלות

מטלות באמצעות הדואר או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •



.R-בפונקציה המוגדרת fתהי .א) 'נק 5(

εδבלשון ( ונסח ,:(

( )i 1)(lim0

≠→

xfxx

).67שאלה , 67עמוד , 3יחידה ורא(

( )ii לא קיים ל- f גבול סופי כש- x 0 -שואף לx.

)(iii ∞≠→

)(lim0

xfxx

.)0x -שואף ל x -כש fאינו הגבול של ∞, כלומר(

ומבלי להסתמך על אף ) ε,δבלשון (באופן ישיר לפי הגדרת הגבול וחיהוכ .ב) 'נק 40(

:כל אחת מהטענות, 3משפט אחר ביחידה

( )i limx

x→

+ =1

2 3 2.

( )ii [ ] 1sin

lim0

=−+→ xx

xx

] -ו ] 0sin

lim0

=−−→ xx

xx

.

( )iii 1sin

lim 22

2=

+∞→ xxx

x.

( )iv ∞≠→ xx cos

1lim

2π

.

8


.שאינו קיים וחיאו הוכ, את הגבול ובכל אחד מהסעיפים הבאים חשב

lim .א tansinx

xx→0

53

20 .ב

coscoslimx

xxx

−→

.

.גxxxxxxxx

x 342

234

5sin2lim

+−++

∞→.

lim .דx

x xx x→

+−0

3

3 472

.

] .ה ]xxkx

sin2

coslim

2π

→ , 3,2,1,0=k )גבולות ארבעה בדוקכלומר יש ל(.


.מספר ממשי ויהי x0פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של g -ו fיהיו

⋅=נניח כי →

))((lim0

xgfxx

.

:כל אחת מהטענות יכואו הפר יחוהוכ

lim)( .א0

xfxx→

lim)(קיים או 0

xgxx→

.קיים

lim)(אם .ב0

xfxx→

lim)(אז , קיים 0

xgxx→

.קיים

mxfאם .גxx

=→

)(lim0

)0≠m (אז , )מספר ממשי(lim0

xgxx→

.קיים

=∞ם א .ד→

)(lim0

xfxx

lim)(אז , 0

xgxx→

.קיים

9


81עד עמוד 5ויחידה , 3התוספת ליחידה , 4, 3יחידות : חומר הלימוד למטלה



:מטלות מנחהקיימות שתי חלופות להגשת




)תהי )f x 0 -ברציפה פונקציה 0x =.

)נגדיר ) ( ) ( )g x f x D x= , כאשר( )xD 3ביחידה 66פונקציית דיריכלה המוגדרת בעמוד היא.

(0)אם כי וחיהוכ .א 0f )אז = )g x 0 -רציפה ב 0x =.

: ε ,δבלשון בלשון ונסח .0xהמוגדרת בסביבת פונקציה fתהי .ב

f 0 -אינה רציפה בx.

) אם כיהוכיחו .ג )0 1f )אז = )g x 00 -אינה רציפה ב =x ,שתי דרכיםב:

( )i של סעיף ב לפי ההגדרה ישירות'

( )ii 68.משפט ( יות רציפות בעזרת אריתמטיקה של פונקצI.(


f תהי x x xx x

( ) = + −+ +

2

211

.

), כלומר( N -חסומה ב fכי וחיהוכ .א )Nf היא קבוצה חסומה(.

}: להזכירכם }1, 2,3,N = ….

supאת ומצא .ב ( )Nf ואתinf ( )Nf.

?N -מקבלת מקסימום ומינימום ב fהאם .ג

10


.R-בפונקציות חסומות g -ו fיהיו

)sup :וחיהוכ .א )( ) sup ( )R Rf g f≤ .

.'שעבורן מתקיים שוויון בסעיף א g -ו fדוגמא לפונקציות נות .ב

.'בסעיף א) >(חזק שוויון -אישעבורן מתקיים g -ו fא לפונקציות דוגמ נות .ג


|10 :וחיהוכ1

sinsup =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

+x

xxx

.


,רציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות-את נקודות הרציפות והאי ומצא

.רציפות-האי את נקודות נומייו

) .א )xxxxxf−

=π

2sin)(.

.ב

1( )

0f x

⎧⎪= ⎨⎪⎩

.

0 -אל תשכחו לבדוק מה קורה ב( 0x = ( !

1 -טבעי כך ש nקיים n

x =

אחרת

11


5 -ו 4יחידות : חומר הלימוד למטלה


24.4.2009 :מועד אחרון להגשה ב2009: סמסטר

ילתאשאח יש לשלוח באמצעות מערכת "את התשובות לממ



,נכונה 1אם רק טענה - א :נוסמ



.אם שתי הטענות אינן נכונות - ד

1שאלה

תהי ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈−+

+= Nn

nnA n)1(1

.

1. 25max,0min == AA.

2. 25sup,0inf == AA.

2שאלה

,היא קבוצת מספרים חסומה ולא ריקה שאין לה מקסימום Aאם .1

.היא קבוצה אינסופית Aאז

.אינה חסומה Aאז , ואין לה מינימוםהיא קבוצה אינסופית Aאם .2

12

3שאלה

BAקבוצות חסומות ולא ריקות של מספרים ממשיים המקיימות B -ו Aיהיו infsup ≤.

1. BA infsup −>ε -כך ש ∋Bb -ו ∋Aaקיימים ε<0אם ורק אם לכל = ab.

2. BA infsup .היא בעלת איבר אחד ∩BAאם ורק אם =

4שאלה

.ת ולא ריקות של מספרים ממשייםקבוצות חסומו B -ו Aיהיו .1

∩≠∅ אם BA , אז{ }BABA inf,infmax)(inf =∩ .

,יהיו .2 : R Rf g .פונקציות חסומות →

sup( )( ) sup ( ) sup ( )R R Rf g f g+ = + .

5שאלה

1)(1ומקיימת −]1,1[רציפה בקטע fאם .1 ≤≤− xf לכלxבקטע,

00 -כך ש −]1,1[ -ב 0xאז קיים )( xxf =.

,:]1,1[]1,1[אם .2 −→−gf ו, הן פונקציות רציפות- g היא על,

)()( -כך ש −]1,1[ -ב 0xאז קיים 00 xgxf = .

6שאלה

.R-פונקציה רציפה ב fתהי

)(1אם .1 <− xxf לכלx ב- R , אזf מקבלת ב-R כל ערך ממשי.

)אם .2 ) 1f x x− .R-ב רציפה במידה שווה fאז , R -ב xלכל >

7שאלה

)ערכית בקטע -חד-כל פונקציה שהיא רציפה וחד .1 )ba, היא גם מונוטונית בקטע.

)רציפה ומונוטונית בקטע fאם .2 )ba,,

.אז היא אינה מקבלת בו ערך מקסימלי וערך מינימלי

13

8שאלה

),[מוגדרת ורציפה בקטע fאם .1 ba ל והגבו)(lim xfax +→

,קיים וסופי

),[-רציפה במידה שווה ב fאז ba.

.R-מוגדרת ב fתהי : הגדרה .2

0Lאם קיים תנאי ליפשיץמקיימת את f-נאמר ש >

yxLyfxfמתקיים R-ב y -ו x לכלש כך −≤− )()(.

.R-רציפה במידה שווה ב fאז מקיימת את תנאי ליפשיץ fם א

9שאלה

.R-רציפה במידה שווה ב xsinהפונקציה .1

.מספר ממשי c<0יהי .2

cxfמתקיים I -ב xולכל Iרציפה במידה שווה בקטע fאם ≥)(,

אז f1

.I -רציפה במידה שווה ב

10שאלה

) -רציפה במידה שווה ב fאם .1 )ba,,

) -אז היא רציפה במידה שווה בכל קטע חלקי ל )ba,.

,ורציפה במידה שווה בכל קטע סופי R-מוגדרת בfאם .2

.R-רציפה במידה שווה ב fאז

11שאלה

.אז היא חסומה שם, )1,0(רציפה במידה שווה בקטע fאם .1

.R-אז היא רציפה במידה שווה ב, R-רציפה וחסומה ב fאם .2

14

12שאלה

.)1,0( -אז היא גם רציפה במידה שווה ב, )1,0( -רציפה וחסומה ב fאם .1

.)1,0( -אז היא רציפה במידה שווה ב )1,0(-רציפה ומונוטונית ב, חסומה fאם .2

13שאלה

.R-פונקציה מונוטונית עולה ב fתהי

.היא ממין ראשון fרציפות של -כל נקודת אי .1

=∞אז , אינה חסומה מלעיל fאם .2∞→

)(lim xfx

.

14שאלה

,:],[→Rיהיו bagf פונקציות המקיימות)()( xgxf ],[ לכל < bax∈.

),( -רציפות ב g-ו fאם .1 ba ו-f חסומה ב- ],[ ba , אז)),((sup)),((sup bagbaf >.

],[ -רציפות ב g-ו fאם .2 ba , אז]),([sup]),([sup bagbaf >.

15שאלה

1. )0(f הוא מינימום מקומי של הפונקציה

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

00

011sin)(

2

x

xx

xxf.

)( -ו 0xהמכיל את Iמוגדרת בקטע fאם .2 0xf הוא מינימום מקומי שלf,

.מונוטונית עולה במובן הרחב fשבה 0xאז קיימת סביבה ימנית של

y -ו xאם לכל Iבקטע מונוטונית עולה במובן הרחבנקראת fפונקציה :הערה

yxאם : בקטע מתקיים )אז , < ) ( )yfxf ≥.

15


5יחידה : חומר הלימוד למטלה




שה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהמטלות באמצעות הדואר או הגשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •


.לקרוא את השאלות המתאימות בנספח השאלות והתשובות ואל תשכח


כי הפונקציה וחיהוכx

xcos

1tan2 (בקטע הפתוח מקבלת −2

,2

( ππ .כל ערך ממשי −


.R -ברציפה פונקציה fתהי .א

) -כך ש R -ב xכי קיים וחיהוכ ) ( ) 01 ≥+xfxf.

) :ומקיימת R -בהמוגדרת fה פונקצי ימוהדג .ב ) ( ) 01 <+xfxf , לכלx ב- R.


)המקיימת , )1,0( קטעפונקציה רציפה ב fתהי ) 1lim0

−=+→

xfx

) -ו ) 1lim1

=−→

xfx

.

) :נסמן ){ }0|)1,0( =∈= xfxA.

. אינה ריקה Aכי וחיהוכ .א

.קיים Asupכי וקיהסו, חסומה מלעיל Aכי וחיהוכ .ב

As: נסמן .ג sup= .כי וחיהוכ( ) 0=sf.

.בדיוק פעם אחתמתאפסת fשבו )1,0( -כי יש קטע סגור החלקי ל והרא .ד

16


.0xהמקבלת מקסימום מקומי בנקודה R -פונקציה רציפה ב fתהי

.0x -מקבלת מקסימום ב fאז , נקודות קיצון נוספות f -כי אם אין ל וחיהוכ

.על המשפט השני של ויירשטראס כוהסתמ :רמז


.R -בציפה רפונקציה fתהי

)אם כי וחיהוכ ) 2xxf ) אז, R -ב xלכל ≤ )xf 0] -ב מינימום תמקבל, )∞.

17


7 -ו 6, 5יחידות : חומר הלימוד למטלה




או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיה מטלות באמצעות הדוארשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •


.לקרוא את השאלות המתאימות בנספח השאלות והתשובות ואל תשכח


:את הטענות וחיהוכ

xהפונקציה .אx

2

1+]רציפה במידה שווה בקטע , )0 ∞.

הפונקציה .בx

xcos

sin1−( -רציפה במידה שווה ב

2,0( π

.

הפונקציה .גx

x 1sin רציפה במידה שווה ב- ( )0,∞.

]0,( -במידה שווה ברציפה xהפונקציה .ד ∞.


כי לכל וחיהוכ .אπ3

≥≥ xy מתקיים:

( )2

1cos1cos1cos22

2222 xyx

xyx

xy

y −≥−≥−.

כדי להוכיח שהפונקציה ' אבסעיף והיעזר .בx

x 1cos2 אינה רציפה במידה שווה ב- ( )∞,0.

,5יחידה ( 2xשל R -רציפות במידה שווה ב-בדיון על האי נוהתבונ :הדרכה

). 95, 94 עמודים

18


תחום הרציפות ותחום , את תחום ההגדרה המקסימלי ולכל אחת מהפונקציות הבאות מצא

.את הנגזרת המתאימה ומצא, חום הגזירותכן לכל נקודה בת-כמו. הגזירות

.א⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

00

01sin)(

x

xx

xxf.

.ב⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=

00

01sin)(

2

x

xx

xxf.

xxxf .ג sin)( =.


) ותהי R∈aיהי )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<++

≤+++−=

xaxaaxa

xaxxxf

02cossin

0643

2

2

.

)שעבורם aערכי את כל ומצא .א )xf 0 -רציפה ב=x.

)שעבורם aערכי את כל ומצא .ב )xf 0 -גזירה ב=x.


.x=1 -פונקציה גזירה ב fתהי

אם יחו שהוכ( ) 11lim

0=

+→ h

hfh

)1(0אז , =f 1(1 -ו( =′f.

19


8 -ו 7, 6יחידות : חומר הלימוד למטלה



שאילתא ח יש לשלוח באמצעות מערכת"את התשובות לממ







1שאלה

אם .1x

xf 1Arccos)( ומתקיים x<1גזירה לכל fאז , =12

1)(−

=′xx

xf.

הפונקציה .2⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤+=

03

0sin2)(

xx

xxxxg גזירה לכלx,

ומתקיים ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤+=′

03

01cos2)(

x

xxxg.

2שאלה

)אם .1 ) [ ] ( )xxxf π2sin= , אז לכלx שאינו שלם מתקיים:

[ ] ( ) ( )xxxxf πππ 2sin2sin)( +=′.

)הפונקציה .2 ) xxxg .x=0 -גזירה ב =

20

3שאלה

ותהי , R∈cיהי .1

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠−

=

0

0cos1

)(xc

xx

x

xf.

.R -גזירה ב fאז , R -רציפה ב fאם

הפונקציה . מספר טבעי nיהי .2nxxf 1)( .n≤2אם ורק אם R -ב xגזירה בכל =+

4שאלה

)הפונקציה .1 )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

xx

xxxg

רציונליאי

רציונלי

2

2

.x=0 -גזירה ב

RRתהי .2 →:f פונקציה ויהיR∈a.

.רציפה fשבה aאז קיימת סביבה של , a -גזירה ב fאם

5שאלה

.R -גזירה ב fאז , R -היא פונקציה מונוטונית עולה ורציפה ב fאם .1

) -ה גזירה בהיא פונקצי fאם .2 )ba, , אזf ) -רציפה ב ′ )ba,.

6שאלה

.x=0וגזירה בסביבה נקובה של ) x=0כולל ( x=0פונקציה רציפה בסביבת fתהי .1

lim)(lim)(אם מתקיים 00

xfxfxx

′<′−+ →→

,)כאשר שני גבולות אלה קיימים וסופיים(

.x=0 -אינה גזירה ב fאז

fונגזרתה R -היא פונקציה גזירה ב fאם .2 fאז , R -ת במונוטוני ′ .R -רציפה ב ′

7שאלה

.R∈0xותהי R -פונקציה המוגדרת ב fתהי

)( אז מתקיים, 0x -גזירה ב fאם .12

)()(lim 0

000

xfh

hxfhxfh

′=−−+

→.

=אם קיים הגבול .2−−+

→ hhxfhxf

h 2)()(

lim 000

,ממשי -ו

′= -ו 0x -גזירה ב fאז )( 0xf.

21

8שאלה

תהי .12

)(3

+=

xxxf.

1−= xy היא אסימפטוטה משופעת ל- f ב- ∞.

תהי .211)(

+−

=xxxf.

1מקביל לישר fכל הנקודות שבהן המשיק לגרף של 2+=

xy הן( ) -ו 0,1( )2,3−.

9שאלה

.R -פונקציה גזירה ב fתהי

fיש לכל היותר שורש אחד של fבין כל שני שורשים עוקבים של .1 ′.

fבין כל שני שורשים עוקבים של .2 ′ .fיש לכל היותר שורש אחד של

10שאלה

)אז לפולינום , זוגי-אי nאם .1 ) baxxxP n ++= יש לכל היותר שלושה שורשים 2

.ממשיים

)אז לפולינום , זוגי nאם .2 ) baxxxP n ++= .שורשים ממשייםיש לכל היותר שני 2

11שאלה

xxבין כל שני פתרונות של המשוואה .1 sinArctan יש לפחות פתרון אחד של המשוואה =

xxx coscos1 2=−.

מתקיים x<0לכל .22

1tanArctanArc π=+

xx.

12שאלה

⎦⎥הפונקציה המוגדרת בקטע fתהי ⎤

⎢⎣⎡

2,0 π

: ידי-על

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<

≤≤

=

24sin

40cos

)(ππ

π

xx

xx

xf.

1. )2

()0( πff ⎟ -ב cולכן לפי משפט רול קיימת נקודה =⎠⎞

⎜⎝⎛

2,0 π

)(0שבה =′ cf.

⎦⎥יש מינימום מקומי בקטע f -ל .2⎤

⎢⎣⎡

2,0 π

.

22

13שאלה

)אם .1 ) xxf Arctan= ו- xxxg +=3

)(3

,

1אז עבור 34

−±=π

c מתקיים)()(

)1()1()1()1(

cgcf

ggff

′′

=−−−−

.

)המקיימת R -היא פונקציה גזירה ב fאם .2 ) 00 =f,

)בקטע cקיים nאז לכל מספר טבעי עבורו מתקיים 1,0(1)()1(−

′= nnc

cff.

14שאלה

) -פונקציה גזירה ב fתהי )∞,0.

)(0אם .1 >′ xf לכלx ב- ( =∞אז , 0,∞(∞→

)(lim xfx

.

cxf -כך ש cאם קיים קבוע חיובי .2 ≥′ ) -ב xלכל )( =∞אז , 0,∞(∞→

)(lim xfx

.

15שאלה

]ציה גזירה בקטע פונק fתהי 0)(1המקיימת 1,0[ ≤′≤ xf לכלx.

]בקטע cקיימת נקודה .1 ccf -כך ש 1,0[ =′ )(.

]בקטע cקיימת נקודה .2 -כך ש 1,0[2

)1()0()( ffcf′+′

=′.

] גזירה בקטע הסגור fפונקציה :הערה ]ba, אםf גזירה בקטע הפתוח( )ba,,

הגבולות , כלומר(צדדי בקצות הקטע -וגזירה באופן חד( ) ( )

0lim

h

f a h f ah+→

+ −

-ו( ) ( )

0lim

h

f b h f bh−→

+ − ).קיימים במובן הסופי

16שאלה

מתקיים R -ב xלכל .12

1cos2xx −≥.

.מספרים ממשיים β -ו αיהיו .2

10אם <<α, אז למשוואהβα =− xx cos יש פתרון יחיד.

23






שה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהמטלות באמצעות הדואר או הגשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •



f תהי a b:[ , ]→ R רציפה ב פונקציה- [ , ]a b וגזירה ב- ( ,a b) .קיימת נקודה ש נניחc a b∈( , )

) -כך ש ( ) ( ))( ( ) ( ))f c f a f b f c− − < 0.

dקיימת נקודה ש וחיהוכ a b∈( , ′ -כך ש ( =f d( ) 0.


) -פונקציה גזירה ב fתהי )∞,0 .

)כי אם וחיהוכ )x

xf 1) -אינה רציפה במידה שווה ב fאז , x<0לכל ′< )∞,0.

baתחילה כי לכל וחיהוכ :הדרכה )מתקיים 0>> ) ( )b

abafbf −>−.


]פונקציה גזירה בקטע fתהי 0המקיימת 0,1[ ( ) 1f x′≤ .בקטע xלכל ≥

] -ב xכי קיימת נקודה וחיהוכ ) -כך ש 0,1[ )63

32 +

=′x

xxf.

) -לב ש מושי: רמז ) ( )( )xgxgxg

2′

=′

.


2cossin למשוואהש וחיהוכ xxxx .יחידחיובי יש פתרון +=

24


] -פונקציה גזירה ב fתהי .א )∞,a.

( )i 0כי אם קיים קבוע וחיהוכ>m כך ש( ) mxf ] -ב xלכל ′≤ )∞,a ,

)אז ) ∞=∞→

xfxlim.

( )ii 0כי אם קיים קבוע וחיהוכ>m כך ש( ) mxf ] -ב xלכל ′≥− )∞,a,

)אז ) −∞=∞→

xfxlim.

) -פונקציה גזירה פעמיים ב fתהי .ב ) -כך ש 0,∞( ) 0>′′ xf לכלx ב- ( )∞,0.

)כי אם וחיהוכ ) =∞→

xfxlim ) אז, )סופי: ( )i ( ) 0<′ xf לכלx ב- ( )∞,0.

( )ii ( )( ) 0,0sup =∞′f.

( )iii ( ) 0lim =′∞→

xfx

.


.וחיהוכ -אם הגבול אינו קיים . את הגבולות הבאים וחשב

lim(cot .א )x

xx→

−0

1 .

.בxx

x 3tantanlim

2π

→.


fאת הפונקציה וקרִח xx

x( ) =

−1 :לפי הסעיפים הבאים 2

.fאת תחום ההגדרה המקסימלי של ומצא .א

.ודות החיתוך עם הציריםאת נק ומצא .ב

.אם קיימות, )משופעות ואנכיות( fאסימפטוטות לגרף של ומצא .ג

. fאת תחום הרציפות ואת תחום הגזירות של ומצא .ד

.תחומי עלייה וירידה ומצא .ה

).אם קיימות(נקודות קיצון ומצא .ו

ואת אלה שבהם היא קמורה כלפי , קמורה כלפי מעלה fאת התחומים שבהם ומצא .ז

.מטה

).אם קיימות(נקודות פיתול ומצא .ח

.ח-על סמך הסעיפים א, את גרף הפונקציה ושרטט .ט

25


10והנספח ליחידה 10, 9יחידות : חומר הלימוד למטלה


12.6.2009 :מועד אחרון להגשה ב2009: סמסטר

שאילתאבאמצעות מערכת ח יש לשלוח"את התשובות לממ







1לה שא

]הפונקציה המוגדרת בקטע fתהי )ידי -על 8,0[ ) 52)( 2 +−= xxf.

}נתבונן בחלוקה }8,5,3,1,0=P של[ ]8,0.

1. ( ) 172=PS.

2. ( ) 70=Ps.

2שאלה

]הפונקציה המוגדרת בקטע fתהי : ידי-על 5,0[⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<

≤≤−=

52

208)(

2 xx

xxxf.

}נתבונן בחלוקה }5,3,2,1,0=P של[ ]5,0.

1. ( ) 74=PS.

2. ∫ =5

0

53)( dxxf.

26

3שאלה

] -ונקציה המוגדרת בהפ fתהי ⎦⎥ידי -על 6,0[⎤

⎢⎣⎡=

3)( xxf.

]של Pעבור כל חלוקה .1 )מתקיים 6,0[ ) 0>PS.

2. ∫ =6

0

3)( dxxf.

4שאלה

]קטע הפונקציה המוגדרת ב fתהי :ידי-על 2,0[

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<+

≤≤=

211

10)(

2 xx

xxxf.

] -אינטגרבילית ב fהפונקציה .1 ]2,0.

כך שהפונקציה 2c -ו 1cקיימים קבועים .2

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤<++

≤≤+

=

213

102

)(

2

3

1

2

xcxx

xcx

xF

] -ב f -היא פונקציה קדומה ל ]2,0.

5שאלה

]הפונקציה המוגדרת בקטע fתהי xxfידי -על −3,1[ =)(.

הפונקציה .1

2

2x

] -ב f -היא פונקציה קדומה ל ]3,1−.

] -פונקציה קדומה ב אין f -ל .2 ]3,1−.

27

6שאלה

הפונקציה .1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤

<≤−

<≤

=

32

212

10

)(

2

2

xx

xxx

xx

xf אינטגרבילית בקטע[ ]3,0.

הפונקציה .2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≤<

=010

301cos

)(x

xx

xg אינטגרבילית בקטע[ ]3,0.

7שאלה

]פונקציות חסומות בקטע h -ו f ,gיהיו ]ba, כך שמתקיים:

( ) ( ) ( )xhxgxf ],[לכל , ≥≥ bax∈.

1. ∫∫∫ ≤≤b

a

b

a

b

adxxhdxxgdxxf )()()(.

] -אינטגרביליות ב h -ו fאם .2 ]ba, , אז גםg אינטגרבילית ב- [ ]ba,.

8 שאלה

] -ב fהם החסם העליון והחסם התחתון של m -ו Mאם .1 ]ba, בהתאמה,

)אז ) ( )abmPs f ) -ו ≤− ) ( )abMPS f ]של Pלכל חלוקה ≥− ]ba,.

]אינטגרבילית בקטע fאם .2 ]ba, ,אז היא רציפה בקטע זה.

9שאלה

]פונקציה חסומה בקטע fתהי ]ba,.

] -אינטגרבילית ב fאם .1 ]ba, , אז קיימת חלוקה של[ ]ba, כך ש- ( ) ( )PSPs =.

]של Pאם קיימת חלוקה .2 ]ba, כך ש- ( ) ( )PSPs ] -קבועה ב fאז , = ]ba,.

28

10שאלה

] -קציה אינטגרבילית בפונ fתהי ]ba,.

]של Pאם לכל חלוקה .1 ]ba, מתקיים( ) 0=Ps , 0אז)( =∫b

adttf.

]של Pאם לכל חלוקה .2 ]ba, מתקיים( ) 0>PS , 0אז)( >∫b

adttf.

11שאלה

=∫ותהי , ואינטגרבילית בכל קטע סגור R-פונקציה המוגדרת ב fתהי x

dttfxF0

)()(

!).R-מוגדרת ב F -ש לב מושי(

.R-רציפה במידה שווה ב Fאז , R-חסומה ב fאם .1

.R-רציפה במידה שווה ב Fאז , R-רציפה ב fאם .2

12שאלה

] -מונוטונית עולה ב fאם .1 ]ba,,

] -אינטגרבילית ב fאז ]ba, ומתקיים∫ −≤b

aabbfdxxf ))(()(.

] -מוגדרת ב fאם .2 ]ba, רציפה בו- ( )ba, , אזf אינטגרבילית ב- [ ]ba,.

13שאלה

] -פונקציה רציפה ב fאם .1 ]ba, 0המקיימת)( =∫b

adxxf ,

] -ב xאז קיים ]ba, ך שכ- ( ) 0=xf.

] -פונקציות אינטגרביליות ב g -ו fאם .2 ]ba, המקיימות

∫∫ =x

a

x

adttgdttf ] -ב xלכל )()( ]ba,,

)אז ) ( )xgxf ] -ב xל לכ = ]ba,.

29

14שאלה

]פונקציה אינטגרבילית בקטע fתהי ∫המקיימת 2,1[ >2

1

1)( dxxf.

] -ב aקיימת נקודה .1 ) -כך ש 2,1[ ) 1>af.

) -ב bקיימת נקודה .2 ∫ -כך ש 2,1( =b

dxxf1

1)(.

15שאלה

]פונקציות רציפות בקטע g -ו fיהיו .1 ]ba, ויהיוM ו- m מספרים ממשיים.

)אם ) 0≥xg )בקטע ואם xלכל ) Mxfm ,בקטע xלכל ≥≥

∫∫∫אז ≤≤b

a

b

a

b

adxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(.

2. 101

12101 1

0

9≤

+≤ ∫ dx

xx

.

16שאלה

)(3של הפונקציות השטח הכלוא בין הגרפים .1 xxf xxg -ו = -שווה ל )(=125

.

xxxhהנפח המתקבל מסיבובו של גרף הפונקציה .2 cossin)( בין הישרים =−

2,

2ππ

=−= xx סביב ציר ה- x 2הואπ.

31


)23עד עמוד ( 11 -ו 10, 9יחידות : חומר הלימוד למטלה







)תהי ) [ ]xxxf sin2 −=.

]2,0[ -טגרבילית באינ fכי הפונקציה וחיהוכ .א π.

]2,0[ -יש פונקציה קדומה ב f -האם ל .ב π ?

]0,[ -יש פונקציה קדומה ב f -האם ל .ג π ?

=∫במפורש את הפונקציה וחשב .דx

dttfxF0

]2,0[ בקטע )()( π.


0Mונניח שקיים , [0,1] -פונקציה אינטגרבילית ב fתהי ) -כך ש < )f x M> [0,1]לכלx∈ .

נסמן 1

0

1 ( )2

a f x dx= ∫ .

:את הטענות האלה וחיהוכ

( )i לכל, [0,1]x y∈ ,x y< , מתקיים( ) 0y

xf t dt >∫ .

( )ii [0,1]קיימת נקודהc∈ כך ש- 0

( )c

a f x dx= ∫ .

( )iii הנקודהc מסעיף( )ii היא יחידה.

32


]שלילית בקטע -פונקציה אינטגרבילית אי fתהי .א , ]a b .

)בקטע cאם קיימת נקודה ש וחיהוכ , )a b כך ש- f רציפה ב- c 0 -ו)( >cf,

∫אז >b

adxxf 0)(.

? בסעיף א cהאם ניתן לוותר על דרישת הרציפות בנקודה .ב


21 : וחיהוכ .א xe x .x<0לכל <+

)תהי .ב ) 2

0 0

01x

x

f x x xe

=⎧⎪

= ⎨≠⎪

⎩ −

.

( )i כי וחיהוכf 2,0[ -אינטגרבילית במוגדרת ו[.

( )ii מבלי לחשב את האינטגרל( וחיהוכ( : ( ) 22

0

<∫ dxxf.

)ודותנק 20( 5שאלה

]פונקציה חסומה בקטע הסגור fתהי ]1,0 .

) טבעי מתקיים nכי אם לכל וחיהוכ ) ( )1 1 1sup ,1 inf ,1n n nf f− <⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

] -אינטגרבילית ב fאז ]0,1.

33






גשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהמטלות באמצעות הדואר או השליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •



.R -פונקציה רציפה ב fותהי R -פונקציות גזירות ב h -ו gיהיו .א

)())(()())(()(כי וחיהוכ)(

)(

xgxgfxhxhfdttfdxd xh

xg

′−′=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫.

ובנוסף אפשר להסתמך על , 11מיחידה V.35על משפט כוהסתמ, במהלך ההוכחה

.פיניטסימליהנוסחה היסודית של החשבון האינ

10כי לכל וחיהוכ .ב << x 1מתקייםln −< xx.

תהי .ג

0 0

1( ) 0 1ln

1 1

x

xf x xx

x

=⎧⎪

−⎪= < <⎨⎪⎪ =⎩

.

( )i הפונקציה כי וחיהוכ ( ) ( )∫=x

dttfxG2sin

0

,R -במוגדרת וגזירה

.את נגזרתה ווחשב

( )ii תהי 1 0

( )( ) 0 1

xh x

f x x=⎧= ⎨ < ≤⎩

ונגדיר

2sin

0( ) ( )

x

H x h t dt= ∫ .

)האם הפונקציה )H x מוגדרת ב- R? האם היא גזירה ב- R?

34


):וחיהוכ –אם הגבול אינו קיים (מבין הגבולות הבאים חמישה וחשב

.אx

e x

x

1

0lim→

.ב0

ln(cos )limcos 1x

xx→ −

.ג0

1lim lnx

xx+→

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.ד1

1lim

sin

0 −

−→ x

x x

x

x .הx

x1

0)tanArc1(lim +

→

.ו)21ln()31ln(lim x

x

x +

+∞→

) .ז )0

limx

x xf t dt

→ −) כאשר, ∫ )

1 0

1 0

xe xxf x

x

⎧ −≠⎪

= ⎨⎪

=⎩

.


xeכי הפונקציה וחיהוכ x ln+ בלת מקב- ( .כל ערך ממשי בדיוק פעם אחת ∞,0(


)כי הפונקציה וחיהוכ )xx 22 cosln .R -ברציפה במידה שווה +


)תהי ) xexf x sin+= ] כי וחיהוכ. − )( ) 1,0inf −=∞f.

] -מקבלת מינימום ב fם הא !ונמק? 0,∞(

35


12 -ו 11יחידות : חומר הלימוד למטלה


3.7.2009: מועד אחרון להגשה ב2009 : סמסטר


או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיה מטלות באמצעות הדוארשליחת • המקוונת באתר הבית של הקורס המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •



dtexfתהי x

x

t∫+

−=1

2)(.

.fהרציפות והגזירות של , את תחומי ההגדרה ומצא .א

.x -אין נקודות חיתוך עם ציר ה fכי לגרף של וחיהוכ .ב

).אם קיימות(ואת נקודות הקיצון שלה , fתחומי עליה וירידה של ומצא .ג


:מבין האינטגרלים שלושה וחשב

∫ .א23

2

42 sincosπ

π

dxxx

.ב2 5

4 520

2 xx x

dx++ +∫

∫ .ג4

0

3tanπ

dxx

∫ .ד −

2

0 cos34

π

xdx

∫ .ה +

2/

0 cossinsinπ

dxxx

xxy וביהצ: רמז −=

2π

dx .וx

xx∫

−

21

04

2

1

)Arcsin(

36


:מבין האינטגרלים חמישה וחשב

∫ .א −dx

xx

12

3

.ב22−+∫ sin

sinxx dx

.גdx

x x x− + +∫ 2 1

∫ .ד +− 232 )42( xxdxx

∫ .ה dxxArctan

.וdx

x x( )1 2 2+∫

dx .זxx

∫+3

)1ln(

dx .חx

x∫

+4

2 )1ln(

20106 I ילמיסטיניפניא ןובשחimg2.tapuz.co.il/forums/1_128650653.pdf ·...

Documents

Transcript of 20106 I ילמיסטיניפניא ןובשחimg2.tapuz.co.il/forums/1_128650653.pdf ·...