კულტურული და შემოქმედებითი ... · 2018-01-02 · 3 სარჩევი სარჩევი 3 1. მოკლე აღწერა
NPLG · 2007-09-14 · 2 სარჩევი შესავალი I. თავი...
78
1 ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მელიქიძე ზაზა მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული ვეივლეტ-სისტემების ბაზისობისა და ნული ზომის სიმრავლეებზე განშლადობის ზოგიერთი საკითხი ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატის სამეცნიერო ხარისხის მოსაპოვებლად წარმოდგენილი დისერტაცია 01.01.01 – მათემატიკური ანალიზი სამეცნიერო ხელმძღვანელი: ფიზ._მათ. მეცნიერებათა კანდიდატი, დოცენტი თ. კოპალიანი 2006
Transcript of NPLG · 2007-09-14 · 2 სარჩევი შესავალი I. თავი...
1 ივანე ჯავახიშვილის სახელობის
თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტი
მელიქიძე ზაზა
მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული ვეივლეტ-სისტემების ბაზისობისა და ნული ზომის სიმრავლეებზე განშლადობის ზოგიერთი საკითხი
ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატის სამეცნიერო ხარისხის მოსაპოვებლად წარმოდგენილი
დისერტაცია
01.01.01 – მათემატიკური ანალიზი
სამეცნიერო ხელმძღვანელი: ფიზ._მათ. მეცნიერებათა კანდიდატი, დოცენტი თ. კოპალიანი
2006
2
სარჩევი შესავალი I. თავი არასრული მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული ვეივლეტ – სისტემების მულტიპლიკაციური
დამატების შესახებ pQL , ∞<≤ p1 , სივრცის ბაზისამდე და ბაზისობის
შესახებ წონიან ( )( )dxxLpQ ψ , ∞<≤ p1 , სივრცეებში
§ 1.1.მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ვეივლეტ – სისტემების განსაზღვრა § 1.2. დამხმარე დებულებები § 1.3. ძირითადი თეორემები და შედეგები თავიII. მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული
ვეივლეტ–სისტემების ბაზისობის შესახებ ( )μdLpQ , ∞<≤ p1 ,სივრცეებში
§ 2.1. წინასწარი განმარტებები და გამოყენებული აღნიშვნები § 2.2. დამხმარე დებულებები § 2.3.ძირითადი თეორემები და შედეგები თავი III. შემოსაზღვრულ ფუნქციათა ფურიე–ჰაარის ტიპის მწკრივების განშლადობის შესახებ ნული ზომის სიმრავლეებზე § 3.1.გამოყენებული აღნიშვნები და დამხმარე დებულებები § 3.2. ძირითადი თეორემა ლიტერატურა
3
შესავალი
1972 წელს ბენ-ამი ბრაუნმა [ ]12 დაამტკიცა შემდეგი
თეორემა. ვთქვათ ( ){ }∞=0nn xφ - ფუნქციათა სისტემა,
განსაზღვრული [ ]1,0⊂E , ( ) 0>Eμ , ზომად სიმრავლეზე, ბაზისია ( )ELp ,
∞<< p1 , სივრცეში. ყოველი ნატურალური 0N რიცხვისათვის არსებობს ( )xM , ( ) 10 ≤≤ xM , ზომადი ფუნქცია ისეთი, რომ ნებისმიერი f
ფუნქციისათვის ( )ELp სივრციდან, მოიძებნება მწკრივი ( )∑∞
= 0Nkkk Ma φ
( ka - ნამდვილი რიცხვებია), რომელიც კრებადია f ფუნქციისაკენ
( )ELp სივრცის მეტრიკით.
აღნიშნული თეორემასთან დაკავშირებით ისმის კითხვა: შეიძლება თუ არა, რომ სისტემა { }∞= 0NnnMφ , სადაც M _ რაიმე ზომადი
ფუნქციაა, იყოს pL , ∞<≤ p1 , სივრცის ბაზისი?
1976 წელს კაზარიანმა [ ]2 აჩვენა, რომ პასუხი ამ კითხვაზე დამოკიდებულია როგორც თავდაპირველად აღებულ სისტემაზე, ასევე მისგან მოშორებულ ფუნქციებზე. მან აჩვენა, რომ ( ){ }∞=1nn xχ ჰაარის სისტემისათვის, თუ მას მოვაშორებთ ნებისმიერ სასრულ რაოდენობა ფუნქციებს, აღნიშნულ კითხვაზე პასუხი დადებითია, ხოლო ტრიგონომეტრიული და უოლშის ( ){ }∞=1nn xW სისტემებისთვის _
უარყოფითი. ამ ფაქტებიდან მარტივად ვღებულობთ, რომ ( ){ }∞=1nn xg
ორთონორმირებული სისტემისათვის, რომელიც განიმარტება შემდეგნაირად
( )( ) [ ]
( ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∈
∈=−
1,21,0
21,0,22
12
x
xxxg
nn
χ
და
roca
roca
4
( )[ ]
( ) ( ] ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∈−
∈=
,,2,11,21,122
21,0,0
2
KnxxW
xxg
n
n
აღნიშნულ კითხვაზე პასუხი დამოკიდებულია მისგან მოშორებულ
ფუნქციებზე. თუ ( ){ }∞=1nn xg სისტემას მოვაშორებთ სასრულ რაოდენობა კენტნომრიან ფუნქციებს, მაშინ შესაძლებელია დარჩენილი ფუნქციათა
სისტემის მულტიპლიკაციური გასრულება pL , ∞<≤ p1 , სივრცის
ბაზისამდე, წინააღმდეგ შემთხვევაში ამის გაკეთება შეუძლებელია. ამავე ნაშრომში იგი ამტკიცებს, რომ შესაძლოა ჰაარის სისტემას
მოვაშოროთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა ისე, რომ დარჩენილი ნაწილის რომელიღაც ზომად, შემოსაზღვრულ ფუნქციაზე
გადამრავლების შედეგად მივიღოთ ბაზისი [ ]pL 1,0 , ∞<≤ p1 სივრცეში.
წინამდებარე ნაშრომის პირველ თავში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ კლასიკური ჰაარის სისტემის ზემოთ აღნიშნული თვისებები სამართლიანია აგრეთვე ზოგადად ჰაარის ტიპის მრავალგანზომილებიან ვეივლეტ-სისტემებისათვის, კერძოდ დამტკიცებულია შემდეგი თეორემები:
თეორემა 1.3.1. ვთქვათ { }∞=1)( nn xχ ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-
სისტემაა, მაშინ ( ){ }∞ += 1)( NnnN xxM χ სისტემა, სადაც ( )11 −≤≤ δN და
( )( )( )( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤≤+∈
≤≤≤≤=∈=
+−−
−
δ
δδ
δ
iNQx
iNnkQxxM
i
inkk
N
k
1,1
2;1,...;3,2,1
1
11
1
,
ბაზისია ყველა pQL , ( )∞<≤ p1 სივრცეში.
თეორემა 1.3.2. ვთქვათ ( ){ }∞=1nn xχ ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემაა და N ნებისმიერი ნატურალური რიცხვია. არსებობს ზომადი, შემოსაზღვრული ( )xM ფუნქცია ისეთი, რომ ( ) ( ){ }∞ += 1Nnn xxM χ სისტემა
ბაზისია ყველა pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში.
თეორემა 1.3.3. ვთქვათ, ( ){ }∞=1nn xχ ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემაა, არსებობს ზომადი შემოსაზღვრული ( )xM ფუნქცია ისეთი,
roca
roca
5
რომ ( ) ( ){ }∞=2nn xxM χ ჩაკეტილი და მინიმალურია pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში,
მაგრამ არ არის pQL , ∞<≤ p1 სივრცის ბაზისი.
თეორემა 1.3.4. ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემას ( ){ }∞=1nn xχ
შეიძლება ჩამოვაშოროთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა ისე, რომ დარჩენილი ნაწილის რომელიღაც ზომად, შემოსაზღვრულ ფუნქციაზე
გადამრავლების შედეგად მივიღოთ ბაზისი ყველა pQL , ∞<≤ p1
სივრცეში. შედეგი 1.3.1. თუ ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემას მოვაცილებთ
ფუნქციების სასრულ რაოდენობას, მაშინ არსებობს ( ) 0>xψ ფუნქცია
ისეთი, რომ სისტემის დარჩენილი ნაწილი ბაზისია წონიან ( )( )dxxLpQ ψ ,
∞<≤ p1 სივრცეში. შედეგი 1.3.2. ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემას შეიძლება
მოვაცილოთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა ისე, რომ სისტემის
დარჩენილი ნაწილი იყოს ბაზისი წონიან ( )( )dxxLpQ ψ , ∞<≤ p1
სივრცეში, რომელიღაც ( ) 0>xψ ფუნქციისათვის. 1948 წელს ბაბენკომ [ ]13 აჩვენა, რომ სისტემა, რომელიც მიიღება
ტრიგონომეტრიული სისტემის { }∞ −∞=ninxe გადამრავლებით ( ) α
α xxM = ,
210 <<α , ფუნქციაზე ქმნის ბაზისს [ ]
pL ππ ,− სივრცეში.
აქვე შევნიშნოთ, რომ თუ ( ){ }xfn სისტემის გადამრავლებით
რაიმე ( )xM ფუნქციაზე მიიღება pL , ∞<≤ p1 , სივრცის ბაზისი, მაშინ
თვითონ ეს სისტემა ბაზისია წონიან ( )( )dxxLp ψ სივრცეში, სადაც წონის
ფუნქცია ( ) ( ) pxMx =ψ , და პირიქით.
1972 წელს ჰანტმა, მაკენჰაუპტმა და ვედენმა [ ]16 მოძებნეს ფუნქციათა კლასი, რომლის გადამრავლებით ტრიგონომეტრიულ
სისტემაზე მიიღება [ ]pL π2,0 სივრცის ბაზისი.
თეორემა (ჰანტი, მაკენჰაუპტი, ვედენი). ვთქვათ ( )xW
არაუარყოფითი π2 -პერიოდული ფუნქციაა. ტრიგონომეტრიული
სისტემა { }∞ −∞=ninxe ბაზისია [ ] ( )( )dxxWLp
π2,0 , ∞<≤ p1 სივრცეში მაშინ და
6 მხოლოდ მაშინ, როცა არსებობს აბსოლუტური მუდმივა pK ისეთი,
რომ შემდეგი შეფასება სამართლიანია ყოველი I ინტერვალისათვის:
( ) ( )( ) p
p
II
KdxxWI
dxxWI
p ≤⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
∫∫ −−
1
1111
,
I აღნიშნავს I ინტერვალის სიგრძეს. 1971 წელს კრანცბერგმა [ ]15 აღწერა ყველა დადებითი ბორელის
μ ზომა, რომლისთვისაც კლასიკური ჰაარის სისტემა ბაზისია [ ]( )μdLp1,0 ,
∞<≤ p1 , სივრცეში. თეორემა (კრანცბერგი). ვთქვათ μ იყოს დადებითი ბორელის
ზომა [ ]1,0 -ზე. ჰაარის სისტემა ( ){ }∞=1nxχ ბაზისია ( )μdLp , ∞<≤ p1 ,
სივრცეში, მასინ და მხოლოდ მაშინ, როცა μ არის შემდეგი სახის ( ) ( )dxxxd ψμ = ,
სადაც ( )xψ არის არაუარყოფითი ლებეგის აზრით ინტეგრებადი
ფუნქცია, რომელიც ყოველ ორობით ინტერვალზე ( )( )nn mm 2/,2/1−=Δ
( )nmn 2,,1;,2,1 KK == აკმაყოფილებს შეფასებას
( ) ( )( ) p
p
Kdxxdxx p ≤⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ
−
ΔΔ∫∫ −
−
1
1111 ψψ ,
pK არის მხოლოდ p -ზე დამოკიდებული აბსოლუტური მუდმივა.
ჰაარის ტიპის მრავალგანზომილებიანი ვეივლეტ-სისტემიებისათვის მსგავსი ტიპის საკითხებს ჩვენ განვიხილავთ მეორე თავში და ვაჩვენებთ, რომ ანალოგიური თეორემა სამართლიანია მათთვისაც, კერძოდ დამტკიცებულია შემდეგი თეორემები:
თეორემა 2.2.1. ვთქვათ ( ){ } ∞∞= ∈ Qnn Lx 1ϕ მინიმალურია ამავე
სივრცეში და ტოტალურია 1QL -ს მიმართ, ( ){ }∞=1nn xψ იყოს მისი
შეუღლებული სისტემა. შემდეგი პირობა არის აუცილებელი და
საკმარისი იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა იყოს ( )( )dxxLpQ ψ ,
∞<≤ p1 , ( ( ) 1QLx ∈ψ , ( ) 0>xψ თითქმის ყველგან Q -ზე) სივრცის ფართო
აზრით ბაზისი: ყველა ნატურალური n რიცხვისთვის
( )[ ] ( )[ ] ( )111 −∈− pQ
pn Lxx ψψ .
7 თეორემა 2.3.1. შემდეგი პირობები (ა)-(დ) არიან აუცილებელი და
საკმარისი იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემა იყოს ( )μdLpQ , ∞<≤ p1 ,
სივრცის ბაზისი: (ა) არსებობს ლებეგის აზრით ინტეგრებადი ( )xψ ფუნქცია
ისეთი, რომ ( ) ( )dxxxd ψμ = ;
(ბ) ( ) 0>xψ თითქმის ყველგან Q -ზე;
(გ) ( )[ ] ( )11
1 −− ∈ pQLxψ ;
(დ) არსებობს 0>pM მუდმივი ისეთი, რომ ყოველი ჰაარის
სიმრავლისათვის ( )mnQ , K,2,1=n , nm δ,,1K= , გვაქვს
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
p
p
Q
pm
nQm
nMdxx
Qdxx
Q mn
mn
≤⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−
∫∫1
1111 ψψ .
თეორემა 2.3.2. იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემა იყოს ( )μdLpQ ,
∞<≤ p1 , სივრცის ფართო აზრით ბაზისი აუცილებელი და საკმარისია შესრულდეს 2.3.1. თეორემის (ა), (ბ) და (გ) პირობები.
ვ. ბუღაძემ [ ]5 1990 წელს დაამტკიცა, რომ ყოველი ნული ზომის სიმრავლისათვის [ ]1,0 მონაკვეთიდან არსებობს ზომადი შემოსაზღვრული ფუნქცია, რომლის ფურიე-ჰაარის მწკრივი განშლადია აღნიშნულ სიმრავლეზე.
ჩვენთვის საინტერესო იყო ჰაარის სისტემის აღნიშნული თვისება რა ფორმით გავრცელდებოდა ზოგადად ჰაარის ტიპის სისტემებისთვის. ჩვენ ამ საკითხს შევეხებით მესამე თავში და ვაჩვენებთ შემდეგი თეორემის სამართლიანობას:
თეორემა 3.2.1. ნებისმიერი QE ⊂ , ( ) 0=Eμ სიმრავლისათვის, არსებობს შემოსაზღვრული ზომადი ფუნქცია, რომლის ფურიეს მწკრივი { }∞=1nnχ სისტემის მიმართ განშლადია E სიმრავლეზე.
8 თავი I
არასრული მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული ვეივლეტ-სისტემების მულტიპლიკაციური
დამატების შესახებ pQL , ∞<≤ p1 , სივრცის ბაზისამდე და
ბაზისობის შესახებ წონიან ( )( )dxxLpQ ψ , ∞<≤ p1 , სივრცეებში
§ 1.1. მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემების განსაზღვრა
ვთქვათ, nRQ ⊂ ზომადი სიმრავლეა. pQL , ∞<≤ p1 იყოს ბანახის
სივრცე ყველა ისეთი f ფუნქციისა, რომლისთვისაც
∞<⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ∫
p
Q
pL dxf(x)f p
Q
1
.
გარდა ამისა )(supess xff
QxLQ ∈
=∞ .
ასევე ( )( )dxxLpQ ψ , ( ) 0≥xψ , ∞<≤ p1 , იყოს ბანახის სივრცე ყველა
ისეთი f ფუნქციისა, რომლისთვისაც
( )( ) ( ) ∞<⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ∫
p
Q
pdxxL dxxf(x)f p
Q
1
ψψ ,
და
( )( ) )(supess xffQx
dxxLQ ∈=∞ ψ .
nZ -ით აღვნიშნავთ n განზომილებიან ვექტორთა სიმრავლეს, რომელთა კომპონენტები მთელი რიცხვებია.
nn RRA →: იყოს წრფივი გარდაქმნა ისეთი, რომ nn ZZA ⊂)( და A -ს ყველა (კომპლექსური) მახასიათებელი რიცხვები აბსოლუტური სიდიდით მეტია 1-ზე.
ვთქვათ δ=Adet . A -ს ზემოთ აღნიშნული თვისებებიდან მარტივად გამომდინარეობს, რომ 2≥δ ნატურალური რიცხვია.
9
ჩვენ განვიხილავთ nZ -ს როგორც ადიციურ ჯგუფს. )( nZA არის
მისი ნორმალური ქვეჯგუფი, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია nZ დავშალოთ
)( nZA -ის კოსიმრავლეებად. ცხადია ისინი ქმნიან ჯგუფს. nZ -ის
ქვესიმრავლეს, რომელიც შეიცავს )( nZA -ის კოსიმრავლეებიდან თითო ელემენტს ვუწოდოთ ნაშთთა სრული სისტემა მოდულით A .
ცნობილია, რომ ([1] წინადადება 5.5) )( nZA -ის განსხვავებული კოსიმრავლეების რაოდენობა უდრის δ=Adet .
დავაფიქსიროთ ნაშთთა სრული სისტემა { }δkkS ,...,1= და განვსაზღვროთ სიმრავლე
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∑∞
=∈−=∈=
1 ,:
jSjsjsjAxnRxQ . (1.1.1)
მარტივი შესამოწმებელია, რომ (1.1.1) ტოლობაში მოყვანილი მწკრივი ყოველთვის აბსოლუტურად კრებადია.
გამოირკვა, რომ განსხვავებული ნაშთთა სრული სისტემები გვაძლევენ ძალზე განსხვავებულ Q სიმრავლეებს. ზოგიერთი ნაშთთა სრული სისტემისთვის სიმრავლე Q შეიძლება იყოს ძალზე რთული. ასეთი ტიპის სიმრავლეებს ეწოდებათ ფრაქტალები.
სურათი 1. «ტყუპი დრაკონის» სახელით ცნობილი Q სიმრავლე.
მიიღება, როცა ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1111
A და ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00
1k , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
01
2k
sadac
10
სურათი 2. სამკუთხედის ფორმის Q სიმრავლე. მიიღება, როცა
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2002
A და ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00
1k , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
01
2k , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
3k , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=11
4k .
{ }δkkS ,...,1= ნაშთთა სრული სისტემისთვის განვსაზღვროთ
ვექტორები:
θ=)1(0k , (სადაც θ ნულოვანი ვექტორია) ( ) ( ) )(1)()1(
1 inm
nim
n kAkk +−+−+ +=δ , δδ ,...,1,...,1,...1,0 === imn n
და სიმრავლეები ( ) ( )m
nnm
n kQAQ += − )( ,...1,0=n .,...,1 nm δ=
ვთქვათ Q არის (1.1.1) ტოლობით განსაზღვრული სიმრავლე. ცნობილია, რომ ([1] წინადადება 5.19) ა) Q არის nR -ის კომპაქტური ქვესიმრავლე;
ბ) Un
m
mnQQ
δ
1
)(
=
= , ,...1,0=n ;
გ) UnZ
nRQ
∈
≡+
γ
γ )( ;
დ) Q შეიცავს ღია სიმრავლეს;
11 ვთქვათ გარდა ამისა { }δkkS ,...,1= ნაშთთა სრული სისტემა შერჩეულია ისე, რომ სრულდება პირობა: ე) ( ) 1=Qμ .
თუ Q სიმრავლეს მოვაშორებთ თავის საზღვარს (მისი ზომა ნულის ტოლია), მივიღებთ ღია სიმრავლეს, რომელსაც აღვნიშნავთ Q
სიმბოლოთი. ასევე თითოეული ( )mnQ , ( )nmn δ,...,1,...;1,0 ==
სიმრავლისათვის, თუ მას მოვაშორებთ თავის საზღვარს (ზომა აქაც ნულის ტოლია) მიღებულ ღია სიმრავლეს აღვნიშნავთ ( )m
nQ
სიმბოლოთი. შემდგომში ჩვენ ( )mnQ სიმრავლეებს ვუწოდებთ ჰაარის
სიმრავლეებს. ვთქვათ ( )jiA ,αδ = , 1,...,0 −= δi δ,...,1=j არის მატრიცა,
რომელსაც გააჩნია შემდეგი თვისებები: 1,0 =jα , δ,...,1=j და
∑=
=δ
δδαα1
,,,j
mnjmjn , სადაც mn,δ კრონეკერის დელტაა. განვსაზღვროთ
ფუნქციათა სისტემა:
( ) ( )xx Q1)0(0 =χ ,
( )( ) ( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−==∈
∈=
+
++
,,...11,...,1,...1,0,\,0
,
1
)(1,2
)(
δδδ
αδχ
δ
jmnQQx
Qxx
nn
jnji
nm
nl
l
სადაც ( ) ( ) 11mod1 +−−= δmi და ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=11
δm
l ([ ]a არის a ნამდვილი
რიცხვის მთელი ნაწილი) და გადავნომროთ შემდეგი სახით:
( ) ( )xx )0(01 χχ = და როცა jn k += δ ( ) ( )xx j
kn)(χχ = . (1.1.2)
{ }∞=1)( nn xχ ფუნქციათა სისტემის მნიშვნელობა წყვეტის წერტილებზე (ცხადია მათი ზომა ნულის ტოლია) ჩვენთვის არ არის საინტერესო და ჩვენ მათ აქ არ მოვიყვანთ.
(1.1.2) ტოლობით განსაზღვრულ სისტემას ეწოდება ჰაარის ტიპის
და იგი ორთონორმირებული ბაზისია ყველა pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში.
( ){ }xfn ფუნქციათა სისტემას ვუწოდებთ ჩაკეტილს pQL ,
∞<≤ p1 , სივრცეში თუ pQL სივრცის ყოველ ფუნქციას შეიძლება
roca
roca
12 ამავე სივრცის ნორმით აპროქსიმაცია გაუკეთოთ ( )xfn ფუნქციების
სასრული წრფივი კომბინაციით. ( ){ } qQn Lxf ∈ , q აღნიშნავს p -ს
შეუღლებულ ხარისხს, სისტემას ვუწოდოთ ტოტალური pQL -ს მიმართ,
თუ pQL სივრცის ერთადერთი ფუნქცია, რომელიც ორთოგონალურია
ყველა nf -თან არის ნულოვანი ფუნქცია. ვიტყვით, რომ ( )xf ფუნქციას აქვს 1≥p რიგის
განსაკუთრებულობა ზომად E სიმრავლეზე, თუ ( ) pELxf ∉ .
ზომადი QE ⊂ სიმრავლისათვის CE სიმბოლოთი აღვნიშნავთ
EQ \ სიმრავლეს.
§ 1.2. დამხმარე დებულებები
თეორემა 1.2.1. (კაზარიანი [ ]2 ): ვთქვათ E სიმრავლეზე
განსაზღვრული ( ){ }∞=1nn xf ფუნქციათა ორთონორმირებული სისტემა
ტოტალურია 1EL სივრცეში, ∞∈ En Lf , ,...2,1=n . გარდა ამისა, ვთქვათ N
ნატურალური რიცხვია და ( ) pELxM ∈ , ∞<≤ p1 . იმისათვის, რომ
( ) ( ){ }∞ += 1Nnn xfxM იყოს pEL სივრცის ჩაკეტილი მინიმალური სისტემა,
აუცილებელი და საკმარისია, რომ შესრულდეს შემდეგი ორი პირობა:
( )1 ( )[ ] ( )∑=
−N
nnn xfaxM
1
1 ფუნქცია, სადაც na ( )Nn ≤≤1 ნამდვილი
რიცხვებია, მაშინ და მხოლოდ მაშინ ეკუთვნის qEL სივრცეს, როცა
ყველა na უდრის ნულს; ( )2 ყოველი k -სთვის ( ),...2,1 ++= NNk არსებობენ ერთადერთი
( )kna ( )Nn ,...,2,1= ნამდვილი რიცხვები, ისეთი, რომ:
( ) ( )[ ] ( ) ( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−N
nkn
knk xfxfaxMx
1
1ψ
ფუნქცია ეკუთვნის qEL სივრცეს.
ეს თეორემა დაგვეხმარება ერთი მნიშვნელოვანი ლემის დასამტკიცებლად.
13
ლემა 1.2.1. ვთქვათ, { }∞=1)( nn xχ ( ).2.1.1 ტოლობით განსაზღვრული სისტემაა. შემდეგი ორი პირობა არის აუცილებელი და საკმარისი იმისათვის, რომ სისტემა ( ) ( ){ }∞ += 1Nnn xxM χ , სადაც 11 −≤≤ δN და
( ) pQLxM ∈ , ∞<≤ p1 , იყოს ჩაკეტილი და მინიმალური p
QL სივრცეში:
ა) არსებობს ჰაარის სიმრავლეთა N ცალი განსხვავებული მიმდევრობა
( ) ( )
( ) ( ) ......
.....................................
......
,1,
,11,1
1
1
⊃⊃⊃
⊃⊃⊃
kNN
k
ik
i
ik
i
, ( )1.2.1
სადაც ყოველი kni , ( ),...2,1;1 =<≤ kNn არის ერთ-ერთი შემდეგი
რიცხვებიდან kδ,...,1 რომელთათვისაც ( ) ( )
∅=1,1,11
mn ii QQ I , როცა mn ≠ ( )Nmn ≤≤ ,1 ( )2.2.1
და
( )[ ] ( )q
Q knik
LxM,
1∉− , ( )[ ] ( )q
QCN
n
knik
LxMU
1
,
1
=
∈− ( ),...2,1;1 =≤≤ kNn , ( )3.2.1
სადაც 111 =+ −− qp ;
ბ) ( )1;...;11 =V
( )
( )1,1,1
1,1,1
,1,1
,1,12
;...;......................................
;...;
N
N
iNiNN
ii
V
V
−−=
=
αα
αα
( )4.2.1
ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია (ბაზისია NR
სივრცეში). დამტკიცება. აუცილებლობა. დავამტკიცოთ ინდუქციის
მეთოდით. ვთქვათ, ( ) ( ){ }∞ += 1Nnn xxM χ სისტემა ჩაკეტილი და
მინიმალურია pQL სივრცეში. თეორემა 1.2.1 –ის ( )1 პირობის თანახმად
N
nnn LxaxM ∉∑
=
−
1
1 χ , სადაც 01
2 ≠∑=
N
nna .
14
რადგან ( )∑=
N
nnn xa
1
χ ფუნქცია ღებულობს მუდმივ მნიშვნელობებს
თითოეულ ( )kQ1 ( )δ≤≤ k1 სიმრავლეზე, ამოტომ გასაგებია, რომ ( )[ ] 1−xM
ფუნქციას გააჩნია q რიგის განსაკუთრებულობა აღნიშნული სიმრავლეებიდან რამოდენიმეზე. ვთქვათ, მათი რაოდენობაა r ანუ
( )[ ] ( )qQ ki
LxM1
1∉− ( )rk ≤≤1 და ( )[ ]( )
q
QCr
kki
LxMU
11
1
=
∈− , სადაც δ≤≤ r1
ფიქსირებული ნატურალური რიცხვებია. ვაჩვენოთ, რომ Nr ≥ . მართლაც, ვთქვათ Nr < . განვიხილოთ
ვექტორთა სისტემა ( )1;...;11 =I
( )
( )r
r
iNiNN
ii
I
I
,1,1
,1,12
;...;..................................
;...;
1
1
−−=
=
αα
αα
რადგან Nr < , ამიტომ აღნიშნული ვექტორთა სისტემა წერფივად
დამოკიდებულია და შესაბამისად არსებობენ Naa ;...;1 ნამდვილი რიცხვები, რომელთათვისაც
01
=∑=
N
nnnIa , სადაც 0
1
2 ≠∑=
N
nna
ეს კი თავის მხრივ ნიშნავს, რომ ( )[ ] ( )∑=
−N
nnn xaxM
1
1 χ ფუნქცია ნულის
ტოლია ( )Ur
k
kiQ1
1=
სიმრავლეზე და ამიტომ
( )[ ] ( )( )
q
Q
N
nnn r
kki
LxaxMU
111
1
=
∈∑=
− χ ( )5.2.1
მეორეს მხრივ
( )[ ]( )
q
QCr
kki
LxMU
11
1
=
∈−
და აქედან გამომდინარე
15
( )[ ] ( )( )
q
QC
N
nnn r
kki
LxaxMU
111
1
=
∈∑=
− χ ( )6.2.1
( )5.2.1 და ( )6.2.1 პირობებიდან მარტივად ვღებულობთ, რომ
N
nnn LxaxM ∈∑
=
−
1
1 χ
სადაც 01
2 ≠∑=
N
nna . მიღებული წინააღმდეგობა ამტკიცებს, რომ Nr ≥ და
NII ,...,1 ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. ეხლა დავამტკიცოთ, რომ Nr ≤ . მართლაც ვთქვათ Nr > . თეორემა 1.2.1-ის ( )2
პირობის თანახმად ყოველი m -ისათვის ( ),...2,1 ++= NNm არსებობენ
ერთადერთი ( )mna ( )Nn ,...,1= ნამდვილი რიცხვები, რომ
N
nmn
mnm LxxaxMx ∈
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−
1
1 χχψ .
რადგან ( ) ( ) ( )∑=
+N
nmn
mn xxa
1
χχ ფუნქცია ( )δ≤≤+ mN 1 ღებულობს მუდმივ
მნიშვნელობებს ( )kiQ1 ( )rk ,...,1= სიმრავლეებზე და რადგან
( )[ ] ( )qQ ki
LxM1
1∉− rk ≤≤1 , ამიტომ მარტივი დასანახია, რომ ყოველი m -
ისთვის ( )δ≤≤+ mN 1 ( ) ( ) ( )∑=
+N
nmn
mn xxa
1
χχ ფუნქცია ნულის ტოლია
( )kiQ1 ( )rk ,...,1= სიმრავლეებზე. განვიხილოთ ვექტორთა სისტემა
( )1;...;11 =I
( )
( )
( )r
r
r
ii
iNiNN
ii
I
I
I
,1,1
,1,1
,1,12
;...;.......................................
;...;................................
;...;
1
1
1
−−
−−
=
=
=
δδδ αα
αα
αα
ზემოთ მოყვანილი ( )mna ( )NnmN ≤≤≤≤+ 1;1 δ რიცხვებისათვის გვაქვს
16
( ) 01
=+∑=
N
nmn
mn IIa ( )δ≤≤+ mN 1
გარდა ამისა, რადგან ზემოთ დამტკიცებულის თანახმად NII ,...,1
ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ამიტომ δII ,...,1
სისტემის რანგია N . ეხლა თუ გავითვალისწინებთ, რომ Nr > , ამიტომ არსებობს r განზომილებიანი ვექტორი I , რომელიც არ გამოისახება
NII ,...,1 და მაშასადამე δII ,...,1 ვექტორების წრფივი კომბინაციით,
მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება იმას, რომ ( )1;...;11 =W
( )
( )δδδδ
δ
αα
αα
,11,1
,11,12
;...;.............................
;...;
−−=
=
W
W
( )7.2.1
ვექტორთა სისტემა ბაზისია δR სივრცეში. მიღებული წინააღმდეგობა ამტკიცებს, რომ Nr ≤ .
ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ Nr ≥ და Nr ≤ ე.ი. Nr = . ანუ
არსებობს ზუსტად N ცალი ( ) ( )Nii QQ 11 ,...,1 ჰაარის სიმრავლე,
რომელთათვისაც ( )[ ] ( )qQ ki
LxM1
1∉− ( )Nk ≤≤1 და ( )[ ]( )
q
QCN
kki
LxMU
11
1
=
∈− .
ეხლა ინდუქციის მეთოდის თანახმად დაუშვათ, რომ არსებობს ჰაარის სიმრავლეები
( ) ( )
( ) ( )mNN
m
im
i
im
i
,1,
,11,1
...
................................
...
1
1
⊃⊃
⊃⊃
რომელთათვისაც სრულდება ( )2.2.1 და ( )3.2.1 პირობები, როცა mk ≤≤1 .
( )3.2.1 პირობის თანახმად, რადგან თითოეული n -ისთვის ( )Nn ≤≤1
( )[ ] ( )qQ mni
mLxM
,1∉− , ამიტომ ( )[ ] 1−xM ფუნქციას გააჩნია q რიგის
განსაკუთებულობა ( )kmQ 1+ ( )( )mnmn iki ,, 11 δδ ≤≤+− სიმრავლეებიდან
რამოდენიმეზე. ვთქვათ, მათი რაოდენობაა s ანუ არსებობს ზუსტად s
ცალი ( ) ( )mnkn i
mj
m QQ ,,1 ⊂+ ( )sk ≤≤1 სიმრავლე, რომელთათვისაც
17
( )[ ] ( )q
knjmQ
LxM,1
1
+
∉− ( )sk ≤≤1 და ( )[ ] ( ) ( )q
s
k
knjmQmni
mQLxM
U1
,1\,
1
=+
∈− , სადაც δ≤≤ s1
ფიქსირებული ნატურალური რიცხვია. ვაჩვენოთ, რომ 1=s . მართლაც, ვთქვათ 1>s . თეორემა 1.2.1.-ის
( )2 პირობის თანახმად ყოველი ν -სათვის
( )( ) ( )( )11111 ,, +−+≤≤+−−+ mnm
mnm ii δδνδδ არსებობენ ერთადერთი ( )ν
ηa
( )N,...,1=η ნამდვილი რიცხვები, რომ
NLxxaxMx ∈
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−
1
1
ηνη
νην χχψ
და შესაბამისად
N
mnim
LxxaxMx,
1
1 ∈⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−
ηνη
νην χχψ .
რადგან ( ) ( ) ( )∑=
+N
xxa1η
νηνη χχ ფუნქცია
( )( ) ( )( )11111 ,, +−+≤≤+−−+ mnm
mnm ii δδνδδ ღებულობს მუდმივ
მნიშვნელობებს ( )knjmQ ,
1+ ( )sk ≤≤1 სიმრავლეებზე და რადგან
( )[ ] ( )q
knjmQ
LxM,1
1
+
∉− ( )sk ≤≤1 , ამიტომ ადვილი მისახვედრია, რომ ყოველი
ν -სათვის ( )( ) ( )( )11111 ,, +−+≤≤+−−+ mnm
mnm ii δδνδδ
( ) ( ) ( )∑=
+N
xxa1η
νηνη χχ ფუნქცია ნულის ტოლია
( )knjmQ ,
1+ ( )sk ≤≤1
სიმრავლეებზე. ( )8.2.1
განვიხილოთ ვექტორთა სისტემა ( )1;...;11, =nU
( )
( )snn
snn
iin
iin
U
U
,1,
,1,
,1,1,
,1,12,
;...;.....................................
;...;
−−=
=
δδδ αα
αα
ზემოთ მოყვნილი ( )νηa ( )( ) ( )( )Nii mn
mmn
m ≤≤+−+≤≤+−−+ ηδδνδδ 1;11111 ,,
რიცხვებისათვის შემოვიღოთ აღნიშვნა
18
( )∑=
=N
aA1
,η
ξηνην α ,
სადაც 11
1, +
−=
−mmni
δξ (მარტივი შესამოწმებელია, რომ ( )xηχ ( )N≤≤η1
ფუნქციის მნიშვნელობა ( )mnimQ , სიმრავლეზე არის სწორედ ξηα , ). ( )8.2.1
პირობის გათვალისწინებით გვაქვს 0=+ νν UA ( )( ) ( )( )11111 ,, +−+≤≤+−−+ mn
mmn
m ii δδνδδ ,
მაგრამ ეს ნიშნავს, რომ თითოეული νU ვექტორი მუდმივია (ანუ მისი თითოეული კომპონენტი ერთმანეთის ტოლია), რაც ეწინააღმდეგება იმას, რომ ( )7.2.1 ტოლობით განსაზღვრული δWW ,...,1 ვექტორტა
სისტემა ბაზისია δR სივრცეში. მაშასადამე მივიღეთ, რომ 1=s . ანუ
თითოეული n -ისათვის Nn ≤≤1 არსებობს ერთადერთი ( ) ( )mnmn i
mi
m QQ ,1,1 ⊂++ ჰაარის სიმრავლე, რომელთათვისაც ( )[ ] ( )
q
Q mnim
LxM1,
1
1+
+
∉−
და ( )[ ] ( ) ( )q
QQ mnim
mnim
LxM1,
1, \
1+
+
∈− . ეხლა რადგან ( )[ ] ( )q
QCN
n
mnim
LxMU
1
,
1
=
∈− და
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=+
=+
=
++ UUUUN
n
im
N
n
im
im
N
n
im
mnmnmnmn QCQQQC1
11
11
1,1,,, \ ,
ამიტომ მარტივად მივიღებთ, რომ არსებობს ზუსტად N ცალი ( ) ( )mnmn i
mi
m QQ ,1,1 ⊂++ ( )Nn ≤≤1 ჰაარის სიმრავლე რომელთათვისაც
( )[ ] ( )q
Q mnim
LxM1,
1
1+
+
∉− ( )Nn ≤≤1 და ( )[ ] ( )q
QCN
n
mnim
LxMU
1
1,1
1
=
++
∈− . აუცილებლობა
დამტკიცებულია. საკმარისობა. დაუშვათ სრულდება ლემისა 1.2.1-ის (ა) და (ბ)
პირობები (მარტივი შესამოწმებელია, რომ ყოველთვის მოიძებნება δ≤<<≤ 1,1,1 ...1 Nii ნატურალური რიცხვები, რომელთათვისაც სრულდება
(ბ) პირობა). საჭიროა მხოლოდ დამტკიცდეს, რომ ამ შემთხვევაში შესრულდება თეორემა 1.2.1-ის ( )1 და ( )2 პირობები, როცა 11 −≤≤ δN .
19
რადგან ( )[ ] ( )q
Q niLxM
1,1
1∉− ( )Nn ≤≤1 და ( )[ ] ( )q
QCN
n
niLxM
U1
1,1
1
=
∈− ,
ამიტომ ( )[ ] ( )∑=
−N
nnn xaxM
1
1 χ ფუნქცია მაშინ და მხოლოდ მაშინ ეკუთვნის
qQL სივრცეს, როცა ( )∑
=
N
nnn xa
1
χ ფუნქცია ნულის ტოლია ( )1,1
niQ ( )Nn ≤≤1
სიმრავლეებიდან თითოეულზე. მაგრამ ეს ნიშნავს, რომ θ=∑=
N
nnnVa
1
(სადაც NVV ,...,1 ( )4.2.1 ტოლობით განსაზღვრული ვექტორთა სისტემაა, ხოლო θ ნულოვანი ვექტორია). ეხლა, რადგან NVV ,...,1 ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ამიტომ ეს მოხერხდება მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა თითოეული 0=na ( )Nn ≤≤1 . ანუ ადგილი აქვს თეორემა 1.2.1-ის ( )1 პირობას.
თითოეული m -ისათვის ( ),...2,1 ++= NNm განვიხილოთ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−N
nmn
mnm xxaxMx
1
1 χχψ
ფუნქცია. ვთქვათ, jm k += δ ( )( )11,...;1,0 −≤≤= δδ kjk ანუ ( ) ( )( )xx jkm χχ = ,
რადგან ( )[ ] ( )q
Q knik
LxM1,
1
1+
+
∉− ( )Nn ≤≤1 და ( )[ ] ( )q
QCN
n
knik
LxMU
1
1,1
1
=
++
∈− ამიტომ
( )xmψ ფუნქცია მაშინ და მხოლოდ მაშინ ეკუთვნის qQL სივრცეს (და ამ
შემთხვევაში ( ){ }∞ += 1Nmm xψ სისტემა არის ( ) ( ){ }∞ += 1Nmm xxM χ ფუნქციათა
სისტემის შეუღლებული), როცა ( ) ( ) ( )∑=
+N
nmn
mn xxa
1
χχ ფუნქცია ნულის
ტოლია თითოეულ ( )1,
1+
+kni
kQ ( )Nn ≤≤1 სიმრავლეზე, ანუ როცა
( ) 01
=+∑=
N
nn
mn VVa ,
სადაც ( )NvvV ;...;1= და ( ) nm vx =χ , როცა ( )1,
1+
+∈ knikQx ( )Nn ≤≤1 . ეხლა
რადგან NVV ,...,1 ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია
20
(ბაზისია NR სივრცეში), ამიტომ თითოეული m -ისათვის ( ),...2,1 ++= NNm არსებობენ ერთადერთი ნამდვილი რიცხვები ( )m
na
( )Nn ≤≤1 , რომ
( ) 01
=+∑=
N
nn
mn VVa
და შესაბამისად
N
nmn
mnm LxxaxMx ∈
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−
1
1 χχψ ( )9.2.1
ლემა 1.2.1 დამტკიცებულია.
§ 1.3. ძირითადი თეორემები და შედეგები
თეორემა 1.3.1. ვთქვათ { }∞=1)( nn xχ ( )2.1.1 ტოლობით
განსაზღვრული სისტემაა (ზოგადობის შეუზღუდავად ვიგულისხმოთ,
რომ ( ) ( )NNNNN JJ ,11,1,01,01 ;...;;...;;...; −−== αααα წრფივად
დამოუკიდებელი ვექტორთა სისტემაა. თუ ეს ასე არ არის δχχ ;...;1
ფუნქციების ნუმერაციის შეცვლით ამის მიღწევა შესაძლებელია). მაშინ ( ){ }∞ += 1)( NnnN xxM χ სისტემა, სადაც ( )11 −≤≤ δN და
( )( )( )( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤≤+∈
≤≤≤≤=∈=
+−−
−
δ
δδ
δ
iNQx
iNnkQxxM
i
inkk
N
k
1,1
2;1,...;3,2,1
1
11
1
, ( )1.3.1
ბაზისია ყველა pQL , ( )∞<≤ p1 სივრცეში.
დამტკიცება. ვთქვათ ( ) ( )( )in
ki
kkkn QQ +− −
≡1, 1 δ . მარტივი
შესამოწმებელია, რომ ( )xM N ფუნქციისათვის და ყოველი q -სთვის ( )∞≤< q1 , სრულდება ლემა 1.2.1-ის ( )1.2.1 , ( )2.2.1 , ( )3.2.1 პირობები.
შესაბამისად ( ){ }∞ += 1)( NnnN xxM χ ფუნქციათა სისტემა ჩაკეტილი და
მინიმალურია ყველა pQL , ( )∞<≤ p1 სივრცეში. თეორემის
დასამტკიცებლად საჭიროა ვაჩვენოთ ისეთი 0>pM რიცხვის არსებობა,
რომლისთვისაც
roca
roca
21
( ) pQp
Q
LpL
n
NkkNk
nfMxxMc ≤∑
+= 1
)(sup χ ( )2.3.1
ნებისმიერი ( ) pQLxf ∈ ფუნქციისათვის, სადაც ( ) ( )∫=
Qkk dtttfc ψ ,
{ }∞ += 1)( Nkk xψ შეუღლებული სისტემაა ( ){ }∞ += 1)( NkkN xxM χ ფუნქციათა
სისტემის. ( ){ }∞ += 1)( NkkN xxM χ ფუნქციათა სისტემის შეუღლებული
{ }∞ += 1)( Nkk xψ სისტემა ( )9.2.1 -ის თანახმად განისაზღვრება შემდეგი ტოლობით
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= ∑
=
−N
nkn
knNk xxaxMx
1
1 χχψ .
ადვილი შესამოწმებელია, რომ როცა ( ) 211 δδδ ≤≤++− kN jk m += δ ,
სადაც ( ) ( ) inj m +−−= − 11 1 δδ ( )( )Nnim m ≤≤−≤≤= − 1;1,...;3,2 1 δδδ , მაშინ
ყველა ( ) 0=kna Nn ≤≤1 და შესაბამისად ( ) ( )[ ] ( )xxMx kNk χψ 1−= ეხლა
რადგან აღნიშნული k რიცხვებისთვის ( )xkχ ფუნქციის სუპორტზე ( )xM N ფუნქცია ღებულობს მუდმივ მნიშვნელობებს, ამიტომ
( ) )()( xbxxMc kkkNk χχ ≡ ( )3.3.1
სადაც
( ) ( )∫=Q
kk dtttfc ψ , ( ) ( )∫=Q
kk dtttfb χ .
ინდუქციის მეთოდით დავამტკიცოთ, რომ ჯამი
( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )NnmxxMc
xxMcxS
m
i j
jniN
jni
NiiNi
nm
ii≤≤≥+
+=
∑∑
∑
=
−
=
+−−+−−
+=
−−11)(
)(
1
1
1
1111
1
11δδδδδ
δ
χ
χ
ღებულობს შემდეგ მნიშვნელობებს
( )( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
kjnjQ
jnm dttfxS
δ
δ
11
1 როცა ( )( )knj
jQx +−
+∈ δ11 ( )δ≤≤ k2 mj ≤≤1 ( )4.3.1
22 და
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )111
1
1
\
11
1
1111
+−+
+=
+
−+
∈
Δ∇
−
−−=
∑ ∫
∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
m
j
mnm
n
nm
Nj Q
Nj
nm
NNmn
m
Qx
dttftM
dttftMxMxS
δ
δδ
δ
δ
( )5.3.1
სადაც ( ) n
NNN
jNj
N
jn
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∇
−
−
−
,1,0
,1,0
1,11,0
......................
......................
...
det
αα
αα
αα
და ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Δ
−
−
NNN
N
,1,0
1,11,0
......................
...
detαα
αα
ხოლო ( ) ( )∑+=
=δ
χ1
0 )(Ni
iNi xxMcxS ღებულობს შემდეგ მნიშვნელობებს
( ) ( )( )∫=
kQ
dttfxS
1
0 δ როცა ( )kQx 1∈ ( )δ≤≤+ kN 1 ( )6.3.1
და ( )( )
( ) ( )( )
( )n
Nj Q
Nj
n QxdttfxMxSj
11
0
1
∈Δ
∇−= ∑ ∫
+=
δδ Nn ≤≤1 .
გამოვთვალოთ ჯამი ( )∑+=
δχ
1
)(Nk
kNk xxMc
roca
roca
23
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )∫∑ ∑
∫∑ ∑
∫ ∑
+= =−−
+= =−−
=
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔ
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+=
i
i
QNi
N
nin
kn
ik
QNi
N
nin
knik
Q
N
nn
knkNk
dttf
dttfa
dttftattMc
1
1
1 1,1,1
1 1,1,1
1
1
δ
δ
αα
αα
χχ
სადაც ( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Δ
−−
−−
NNNkN
Nn
kkn
,1,1,0
1,11,11,0det
ααα
ααα
KK
MMMMM
KK
როცა ( )mQx 1∈
( )δ≤≤+ mN 1 .
( )
( )( )
( )
( )( )
( )∑ ∫∑ ∑∑
∑ ∫∑ ∑∑
∑
+= = +=−−
+=−−
+= += =−−
+=−−
+=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔ
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔ
−=
=
δ δδ
δ δδ
δ
αααα
αααα
χ
1 1 1,1,1
1,1,1
1 1 1,1,1
1,1,1
1
1
1
)(
Ni Q
N
n Nkmk
kn
inNk
mkik
Ni QNk
N
nmkin
kn
Nkmkik
NkkNk
i
i
dttf
dttf
xxMc
რადგან ( )nk
kn ,δ=Δ , ( )Nnk ≤≤ ,1 , სადაც nk ,δ კრონეკერის დელტაა,
ამიტომ
( )
( )( )
( )∑ ∫∑ ∑∑
∑
+= =−
=−−
+=−−
+=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
ΔΔ
−=
=
δ δδ
δ
ααααα
χ
1 1,1
1,1,1
1,1,1
1
1
)(
Ni Q
N
nmn
kmk
kn
inNk
mkik
NkkNk
i
dttf
xxMc
გამოვთვალოთ ჯამი
24 ( )
011
1 1,1,1,1
1 1,1,1,1
1,1 =
Δ=
Δ=
ΔΔ ∑ ∑∑∑∑
= =−−−
= =−−−
=−
N
j kmkjkjn
k
N
jmkjnjk
kmk
kn AA
δδδααααα
რადგან mj ≠ . (სადაც jnA ,1− ( )Njn ≤≤ ,1 ალგებრული დამატებაა) ე.ი.
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
.
)(
11
1
1 1,1,1
1 1,1,1
1,1,1
1
∫∑ ∫∑
∑ ∫∑∑∑
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+=
+= =−−
+= =−−
+=−−
+=
mi
i
QNi Qkmkik
Ni Q
N
nmnin
Nkmkik
NkkNk
dttfdttf
dttfxxMc
δαα
ααααχ
δ δ
δ δδ
( )
( )( )
( )( )
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔ
−=
=
∑ ∫∑ ∑∑
∑
+= += =−−
+=−−
+=δ δδ
δ
αααα
χ
1 1 1,1,1
1,1,1
1
1
)(
Ni QNk
N
nmkin
kn
NkmkikN
NkkNk
i
dttfxM
xxMc
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
∑ ∫∑ ∑∑
∑ ∫∑ ∑∑
+= = =−−−
+=−−
+= = +=−−
+=−−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
ΔΔ
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
ΔΔ
−=
δ δδ
δ δδ
ααααα
αααα
1 1 1,1,1,1
1,1,1
1 1 1,1,1
1,1,1
1
1
Ni Q
N
n kmnmk
kn
inNk
mkikN
Ni Q
N
n Nkmk
kn
inNk
mkikN
i
i
dttfxM
dttfxM
განვიხილოთ ჯამი ( )
Δ=
=Δ
=Δ
=ΔΔ
−
= =−−−
= =−−−
=− ∑ ∑∑∑∑
mn
N
j kmkjkjn
k
N
jmkjnjk
kmk
kn
A
AA
,1
1 1,1,1,1
1 1,1,1,1
1,1
11
δ
αααααδδδ
ე.ი.
25
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )∑ ∫
∑ ∫∑
∑ ∫∑∑∑
∑
+=
+= =−−
+= =
−−
=−−
+=−−
+=
Δ∇
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Δ∇
−=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
Δ−+=
=
δ
δ δ
δ δ
δ
δ
δαα
αδαααα
χ
1
1 1,1,1
1 1
,1,1
1,1,1
1,1,1
1
1
1
1
)(
Ni Q
Ni
m
Ni Q
im
kmkikN
Ni Q
N
n
mninN
nmnin
NkmkikN
NkkNk
i
i
i
dttfxM
dttfxM
dttfA
xM
xxMc
როცა ( )knQx +∈ δ2 ( )δ≤≤ k2 ( )10 −≤≤ Nn
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Δ
−
+−+
−
+
NNN
nNin
Nl
nil
,1,0
1,11,1,0
1,11,0
1,
0
0
det
αα
ααα
αα
KK
MMMMM
KK
MMMMM
KK
გამოვითვალოთ ჯამი
( )( ) ( ) ( )( )( )∑−
=
+−+−1
1
11
11
δδδ χ
i
inN
in xxMC
( )( ) ( )[ ] ( )( )
( )[ ]( )
( )( )
∑ ∫ ∑
∑ ∫
+= =
+−
=
−+−
Δ
Δ−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
+
δ
δδ
αδ
αδαδδ
1 1
,1,
1
21,,
111
1
21
2
21
21
Nj Q
N
l
ilni
lN
j Q
ijiNin
j
jn
dttftM
dttftMC
26
( )( ) ( ) ( )( )
[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )∫∑∫
∫∑ ∑∫
∫∑ ∑∑∫
∫∑ ∑ ∑
∫∑ ∑∑
∫∑ ∑ ∑
∑∑ ∫
∑
+=+
+= =+
+=
−
==+
+= =
−
=+
−
=
−
=
−
=
−−
= += =
+
−
= =
−
−
=
+−+−
∇Δ
+=
=Δ
+=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
Δ−
−−=
=
+
+
+
+
+
jkn
jkn
jkn
j
jn
j
jn
Q
NNj
jn
Q
Q
NNj
N
llnjl
Q
Q
NNj i
kii
N
llnjl
Q
Q
NNj
N
l ilnkiijl
Q
Nj i
kiii
kiji
Q
Ni
NNj
N
ljlki
nil
i j Q
NNkiikiji
i
inN
in
dttfxMdttf
dttfxMAdttf
dttfxMAdttf
dttfxMA
dttftMxM
dttftMxM
dttftMxM
xMC
12
12
12
1
2
1
2
11
2
1 1,1,
2
1
1
0,1,
1,1,
2
1 1
1
1,1,1,,
1
2
1
0,1,
1
0,,
11
1 1 1,,
1,
1
1 2
1,1,,,
1
1
11
11
1
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δδ
δ δ
δ δ
δδδ
δδ
αδδ
αααδδ
αααδ
ααααδ
ααδ
ααααδ
χ
δ
δ
δ
δ
δ
ამიტომ
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( )( )∫
∫∑∫∑∫
+−
+−
=
=Δ∇
−Δ∇
+=+=+=
kn
jjkn
Q
Q
NNj
jn
Q
NNj
jn
Q
n
dttf
dttfxMdttfxMdttfxS
δ
δ
δ
δδδδδ
12
111
2
2
11
21
როცა ( )( )112
+−∈ δnQx ( )Nn ≤≤1
27
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) =∑−
=
+−−+−−1
1
111
111
δδδ χ
i
inN
in xxMC
( )( )( ) ( )[ ] ( )( )( )
( )[ ]( )
( )( )
∑ ∫ ∑
∑ ∫
+= =
−
=
−+−−
Δ
Δ−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
+−
δ
δδ
αδ
αδαδδ
1 1
,,
1
21,,
1111
1
21
12
21
21
Nj Q
N
l
ilni
lN
j Q
ijiNin
j
jn
dttftM
dttftMC
( )( )( ) ( ) ( )( )( )
[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( )( )
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
Δ−
−−=
=
∫∑ ∑ ∑
∫∑ ∑∑
∫∑ ∑ ∑
∑∑ ∫
∑
+= =
−
=
−
=
−
=
−
=
−−
= += =
−
= =
−
−
=
+−−+−−
+−
+−
j
jn
j
jn
Q
NNj
N
l ilniijl
Q
NNj i
iii
iji
Q
Ni
NNj
N
ljli
nil
i j Q
NNiiiji
i
inN
in
dttfxMA
dttftMxM
dttftMxM
dttftMxM
xMC
1
12
1
12
1 1
1
1,1,1,,
1
2
1
01,1,
1
01,,
11
1 1 1,1,
,
1
1 2
11,1,1,,
1
1
111
111
δ δ
δ δδ
δ δ
δ δ
δδδ
αααδ
ααααδ
ααδ
ααααδ
χ
δ
δ
( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( )( )
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
−−=
∫∑ ∑∑
∑ ∫
+=
−
==
=
−
+−
j
jn
Q
NNj i
ii
N
llnjl
j Q
NN
dttfxMA
dttftMxM
1
12
1
1
01,1,
1,,
2
12
1δ δ
δ
αααδ
δδ
28
( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∑∫
∫∑ ∑∫
+=
=
+−
−
+= =
=
+−
−
∇Δ−
−−=
=−Δ
−−=
j
j
Q
NNj
jn
j
jnQ
NN
Q
NNj
N
llnjl
j
jnQ
NN
dttfxMdttftMxM
dttfxMAdttftMxM
1
1
1
2
12
12
1 1,,
2
12
12
1
1
δ
δ δ
δ
δ δ
δδδ
δαδδ
U
U
აქედან
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )( )
( )( ) ( )
( )∫∑
∫∫∑
∫∑∫
+=
=
+−
−
+=
+=
=
+−
−
Δ∇
−
−−=∇Δ
−
−∇Δ−
−−=
j
j
j
Q
NNj
jn
j
jnQ
N
Q
NNj
jn
j
Q
NNj
jn
j
jnQ
NNn
dttfxM
dttftMxMdttfxM
dttfxMdttftMxMxS
1
1
1
1
2
2
12
10
2
1
1
2
12
121
1
δ
δ δ
δ
δ
δ δ
δ
δδ
δδδ
U
U
დავუშვათ, რომ სამართლიანია ( )4.3.1 ( )5.3.1 ტოლობები. დავთვალოთ
ჯამი ( ) ( )xS nm 1+ .
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )∑−
=
+−−+
+−−++ +=
1
1
111
1111
δδδδδ χ
i
inmN
inm
nm
nm
mmxMCxSxS
( )( )( ) ( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )[ ]( )
( )( )
∑ ∫ ∑∫
∑ ∫
+= =
−−
=
−+−−+
Δ
Δ−−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
++
δ
δδδ
αδαδ
αδαδ
δ
δ
1 1,
,11
1,
21,,
1111
1
21
111\1
21
11
2
21
21
Nj Q
N
lil
nil
NNi
jQ
ijiNin
m
j
m
mnmQnQ
m
jnm
m
mmm
dttftMdttftM
dttftMC
როცა ( )( )knm
mQx +−
++
∈ 12
1δ ( )δ≤≤ k2
29
( )( )( ) ( ) ( )( )( )
[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
−+
+−
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
Δ−
−−
−−=
=
∫
∫∑
∫∑ ∑∑
∫∑ ∑ ∑
∫∑
∑∑ ∫
∑
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
−+
−−
=
+
−
=
−
=
−
=
+
−−
= += =
+
−−
=
+
−
= =
−+
−
=
+−−+
+−−+
111\1
111\1
11
2
1
111\1
11
2
11
11
0,1,
1
1
2
1
0,1,
1
0,,
1
11
1 1 1,,
,1
11
1,1,
1
1
1 2
1,1,,,
1
1
1
111
111
mnmQnQ
mnmQnQ
jnm
j
mnmQnQ
jnm
mm
dttftMtM
dttftMtM
dttftMxM
dttftMxM
dttftMtM
dttftMxM
xMC
NNm
NNi
kiim
Q
NNj i
kiii
kijim
Q
Ni
NNj
N
ljlki
nil
m
NNi
kiim
i jQ
NNkiikijim
i
inmN
inm
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ααδ
ααααδ
ααδ
ααδ
ααααδ
χ
δ
δ δδ
δ δ
δ
δ δ
δδδδδ
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
−+=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
∫∑ ∑∑
∫∫
∫∑ ∑ ∑
+=
−
==
+
−++
+= =
−
=
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
j
mnmQnQ
knm
m
j
Q
NNj i
kii
N
llnjl
m
NNm
Q
m
Q
NNj
N
l ilnkiijl
m
dttfxMA
dttftMtMdttf
dttfxMA
1
111\1
11
2
1
1
1
0,1,
1,,
1
112
1 1
1
1,,1,,
1
1δ δ
δ δ
αααδ
δδ
αααδ
δδ
30
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )∫∑∫
∫∫∑ ∑
∫∫
+=
+−+
+
+= =
+
−++
Δ∇
++
+=Δ
−
++=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
jmnmQnQ
knm
m
j
mnmQnQ
knm
m
Q
NNj
jnm
NNm
Q
m
Q
NNj
N
llnjl
m
NNm
Q
m
dttfxMdttftMtM
dttfdttfxMA
dttftMtMdttf
1111\1
11
21
111\1
11
2
1
111
2
1 1,,
1
112
δ
δ
δδ
δαδ
δδ
δ
δ
δδ
აქედან კი მარტივად ვღებულობთ, რომ
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )∫∫∑
∫∫
∫∑∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+
+=
+
−++
+=
+−++
=Δ
∇+
+++
+Δ
∇−−=
knm
m
j
mnmQnQ
knm
m
jmnmQnQ
Q
m
Q
NNj
jnm
NNm
Q
m
Q
NNj
jnm
NNmn
m
dttfdttfxM
dttftMtMdttf
dttfxMdttftMtMS
11
21
111\1
11
2
1111\1
2
1
1
112
1
1111
δ
δδ
δ
δδ
δδ
δδ
δ
δ
როცა ( )( )knm
mQx +−
++
∈ 12
1δ ( )δ≤≤ k2 .
როცა ( )( )knm
mQx +−
++
∈ 12
1δ
( )( )( ) ( ) ( )( )( )
[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )
∑∑ ∫
∑−
= =
−+
−
=
+−−+
+−−+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
−−=
=
1
1 2
11,1,,,
1
1
1
111
111
11
2
δ δ
δδδδδ
δ
ααααδ
χ
i jQ
NNiikijim
i
inmN
inm
jnm
m
mm
dttftMxM
xMC
31
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
−+
+−−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
−+
+−
−⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Δ
Δ−
−−
∫
∫∫
∫∑ ∑ ∑
∫
∫∑
∫∑ ∑∑
∫∑ ∑ ∑
∫∑
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
−+
−+−+
+= =
−
=
+
−+
−−
=
+
−
=
−
=
−
=
+
−−
= += =
+
−−
=
+
111\1
111\1
2
11
2
1
111\1
111\1
11
2
1
111\1
11
1212
1 1
1
1,1,1,,
1
11
11
01,1,
1
1
2
1
01,1,
1
01,,
1
11
1 1 1,1,
,1
11
11,1,
1
mnmQnQ
mnmQnQ
j
knm
mQ
j
mnmQnQ
mnmQnQ
jnm
m
j
mnmQnQ
dttftMtM
dttftMtMdttftMxM
dttfxMA
dttftMtM
dttftMtM
dttftMxM
dttftMxM
dttftMtM
NNm
NNm
NNm
Q
NNj
N
l ilniijl
m
NNm
NNi
iim
Q
NNj i
iii
ijim
Q
Ni
NNj
N
ljli
nil
m
NNi
iim
δ
δδ δ
δ
δ
δ
δ
δ
δδ
αααδ
δ
ααδ
ααααδ
ααδ
ααδ
δ δ
δ
δ δδ
δ δ
δ
U
32
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
−+−=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ−
∫∫
∫∑ ∑∑
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
−+−+
+=
−
==
+
111\1
111\1
1
1112
1
1
01,1,
1,,
11
mnmQnQ
mnmQnQ
j
dttftMtMdttftMxM
dttfxMA
NNm
NNm
Q
NNj i
ii
N
llnjl
m
δδ
δδ
αααδδ δ
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )∑ ∫∑ ∫
∫∫
∑ ∫∑∑ ∫∑
+=
+
+=
+
−+−+
+= =
+
+= =
+
Δ∇
+Δ
∇−
−+−=
=Δ
−Δ
−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
δδ
δδ
δδ
δδ
αδαδ
δδ
1
1
1
2
1112
1 1,,
1
1 1,,
2
11
111\1
111
2\1
11
Nj Q
Nj
nm
Nj Q
Nj
nm
NNm
NNm
Nj Q
N
N
llnjl
m
Nj Q
N
N
llnjl
m
jj
mnmQnQ
nm
mQnQ
jj
dttfxMdttfxM
dttftMtMdttftMxM
dttfxMAdttfxMA
და შესაბამისად
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )∑ ∫∫
∑ ∫∑ ∫
∫∫
∫∑∫
+=
+−+
+=
+
+=
+
−+−+
+=
+−++
Δ∇
−−=
=Δ
∇+
Δ∇
−
−+−
−Δ
∇−−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δ
δδ
δ
δδ
δδ
δδ
δδ
δ
δδ
δ
1
212
1
1
1
2
1112
1
1111
1111\1
11
111\1
111
2\1
1111\1
Nj Q
Nj
nmNN
m
Nj Q
Nj
nm
Nj Q
Nj
nm
NNm
NNm
Q
NNj
jnm
NNmn
m
jnm
mQnQ
jj
mnmQnQ
nm
mQnQ
jmnmQnQ
dttfxMdttftMxM
dttfxMdttfxM
dttftMxMdttftMxM
dttfxMdttftMxMxS
( )5.3.1 ტოლობის გამოყენებით შევაფასოთ ( )( )xS nm ( )Nn ≤≤1 ჯამის
ნორმა ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
111
mnmQ
δ სიმრავლეზე. ამისათვის შევნიშნოთ, რომ
33
( )( )
( )
( )( )( )( )
( )( )
( )pp
pp
pp
p
mnm
pm
p
mp
p
mpm
p
p
mpp
mp
mkkp
mkpkk
Q
pN dxxM
11
11
11
1
111
111
11
111
11
11
1111
111111
1
1
111
11
11
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
+
+
+++
++
∞
+=+
∞
+=+ ∑∑∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δδδδ
δδδ
δδδ
δδ
δδδ
δ
δδ
δ
δδδ
δδδ
δ
( )7.3.1
და როცა 1>p , 111 =+ −− pq ,
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
.1
11
111
11
11
111
11
1
111
11
1
11
0
1
01
11
\
qp
m
qqq
p
mnm
n
q
q
qm
q
qmm
k
kq
m
kk
qkm
kk
qk
qN dttM
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−<⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −<⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
−+
−
−+
=
−
=+
=+
−
∑
∑∑∫
δδδδ
δδδδ
δδ
δδδ
δδ
δδδ
δδδ
δ
ყოველი n და j -სთვის ( )δ≤≤+≤≤ jNNn 1;1 ცხადია ( ) Njn BN!<∇ ,
სადაც ( )jiB ,max α= ( )NjNNi ≤≤+−≤≤ 1;10 , ამიტომ
( )( )
( )( )
( )( )
( )≤
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ≤
Δ<
Δ∇ ∑ ∫∑ ∫∑ ∫
+=+=+=
p
jjj Nj Q
pN
Nj Q
N
Nj Q
jn dttfBNdttfBNdttf
1
111111
1!!δδδ
δ
34
( ) ( )( )
p
mnmCQ
pNdttfNBN
1
111
!
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−≤ ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δδδ
ეხლა, რადგან
( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
p
mnm
j
p
mnm
mnm
n
p
mnm
j
p
mnm
mnm
n
p
mnm
dxxMdttf
dttMdttftM
dttfxM
dxdttftMxMdxxS
p
Q
NNj Q
jnm
Q
pN
Nm
p
QNj Q
jn
Nm
Q
p
NNm
Q
pnm
1
111
1
1
111
1111
1
111
1
1
111
1111
1
111
1
1
\
11
1
1
\
11
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ∇
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ∇
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∑ ∫
∫∫
∫ ∑ ∫
∫ ∫∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
+
−+
+=
+
−+
δ
δδ
δ
δ δδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
და
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤ ∫∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
−−
q
mnm
n
p
mnm
nmn
mn QQ
qN
p
N dttMdttfdttftM
1
1111
1
1111
1111 \\\
1
δδδ
35
( )( )
( )[ ]( )
q
mnm
p
mnm CQ
qN
CQ
p dttMdttf
1
111
1
111
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤ ∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
−
δδ
ამიტომ, როცა 1>p ვღებულობთ
( )( )( )
( )( )
( )[ ]
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
<
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−+
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−<
<
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫
∫
∫∫
∫∫∫
∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
++++
++++
+
−+
p
mnmCQ
p
p
mnmCQ
pqp
m
p
mnmQ
p
mnmCQ
p
mnmQ
q
mnmQnQ
p
mnmCQ
p
mnmQ
dttfNBN
dttf
xMdttfNBN
dttMdttMdttf
dxxS
ppm
p
m
Nm
ppm
p
mqm
pN
pNm
pN
qN
pm
pnm
1
111
1
1
111
111
1
111
1
111
1
111
1
111\1
1
111
1
111
111!
1111
!
1111
1111
1
1
δ
δ
δδ
δδδ
δ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδδδ
δδδ
δ
36
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
p
mnmCQ
pqpdttfNBN p
pm
pN
qp
p
1
111
111
11!1
11 111
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−< ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+++δ
δδ
δδδδ
δδδ
δδ
ანუ
( )( )( )
( )( )
p
mnmCQ
p
mnmQ
dttfdxxS pp
pnm
1
111
1
111
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
<
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δδ
α ( )8.3.1
სადაც
( ) ( ) ( )( )
pqp
pm
pN
qp
pp
NBN111
11!1
11 111 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=
+++ δδδδ
δδ
δδδδδα ,
ხოლო, როცა 1=p ( )5.3.1 ტოლობიდან ვღებულობთ
( )( )( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
p
mnm
j
p
mnm
mnm
n
p
mnmQ
dxxMdxxf
dxxMdttftMdxxS
p
Q
NNj Q
jnm
Q
pN
Nmpn
m
1
111
1
1
111
1111
1
111
1
1
\
11
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Δ∇
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∑ ∫
∫∫∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
+
−+
δ
δδδ
δδ
δ
სადაც ( )xM N ფუნქციის განმარტების თანახმად
( )[ ] mN xM δ≤−1 , როცა ( ) ( )( )11
11 \ +−+∈
mnm
n QQx δ
ამ უტოლობებიდან და ( )6.3.1 დამოკიდებულებიდან, როცა 1=p ,
ვღებულობთ
( )( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) +−
−≤
+++ ∫∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
111211
1
111\1
111
δδδδ
δδδ
δδ
mmmmpn
mmn
mQnQmn
mQ
dttfdxxS
37
( ) ( )( )
( )( )<−
−−+
+++ ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
111! 211
1
111
δδδδ
δδδ
δ
mmNm
mnmCQ
dttfNBN
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+
<
111
1!1
mnmCQ
dttfNBN N
δδ
δ
ანუ ( )( )( )
( )( )∫∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
<
111
111
1mn
mCQmn
mQ
dttfdxxSpn
m
δδ
α სადაც ( )1
!11 +
−+=
δδα NBN N
( )9.3.1
ეხლა ( )4.3.1 ტოლობიდან გვაქვს
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
===
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤==
==
∑∑ ∫∑∑ ∫
∑∑ ∫∫
∑∑ ∫∑∑ ∫∫
∑∑ ∫ ∫∫
= == = ++
+
= =+
+
= =+
+
= =
+
= =
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
m
j k
pm
j k
p
jj
pj
m
j k
pj
pj
m
j k
p
j
pjm
j k
p
pj
m
j k
p
pjpnm
kjnjQ
kjnjQ
qp
qp
kjnjQ
kjnjQ
kjnjQ
kjnjQ
kjnjQ
kjnjQ
kjnjQ
mnmQnQ
dttfdttf
dtdttf
dttfdxdttf
dxdttfdxxS
1 21 2 11
1
1 21
1
1 21
1
1 2
1
1 2
1
11
11
11
11
11
11
11
11
11
111\1
1δδ
δ
δδ
δ
δδ
δδ
δδδ
δ δδ
δδ
δ
δδ
δδδ
δ
( )
( ) ( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
111\1
mnmQnQ
dttf p
δ
( )10.3.1
38 ასევე ( )6.3.1 -დან ვღებულობთ, რომ
( )[ ]( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
∫∑ ∫∑ ∫
∑ ∫∫∑ ∫
∑ ∫∫∑ ∫ ∫∫
+=
+=
===
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤=
===
+=+=
+=+=
+=+=
U
U
δ
δ
δδ
δδ
δδ
δδ
δ
δδ
δδ
δδ
1111
111
111 11
1
11
11
110
Nk
kQkQkQq
p
qp
kQkQkQ
kQkQkQ kQNk
kQ
dttfdttfdttf
dxdttfdttf
dxdttfdxdttfdxxS
p
Nk
p
Nk
pp
Nk
pp
Nk
pp
Nk
p
p
Nk
p
pp
( )11.3.1
შევაფასოთ
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )∑∑∑∑= =
−
=
+−−+−−
+=
−−+=
m
i
N
n j
jniN
jni
NiiNim xxMcxxMcxS
ii
1 1
1
1
1111
1
11ˆδ
δδδδδ
χχ
ჯამის ნორმა ( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
111
mnmQ
δ ( )Nn ≤≤1 და
( )UN
n
mnmQQ
1
111\
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
δ
სიმრავლეებზე. რადგან ( ) ( )( )xSxS n
mm =ˆ , როცა ( )nQx 1∈ ( )Nn ≤≤1 და ( ) ( )xSxSm 0ˆ = ,
როცა ( )kQx 1∈ ( )δ≤≤+ kN 1 ამიტომ ( )8.3.1 და ( )9.3.1 -ის თანახმად
( )( )
( )( )
p
mnmCQ
mnmQ
dttfdxxS pp
pm
1
111
111
ˆ
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
< ∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δδ
α 1≥p ( )12.3.1
და ( )10.3.1 და ( )11.3.1 -ის თანახმად
( )( )
( )( )( )
( )( )
≤+= ∫∑ ∫∫+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=U
U
δδδ1
111
1\1
111\
01
ˆ
Nk
kQmn
mQQN
n
mnmQQ
dxxSdxxSdxxS pN
n
pnm
pm
39
( )( )
( )( )
( )( )∫∫∑ ∫
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
++==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=+≤=
UU
UN
n
mnmQQNk
kQN
n
mnmQQ
dttfdtxfdttf ppN
n
p
1
111\1
11
111\
1 δδδ
საიდანაც მარტივად ვღებულობთ, რომ
( )( )
( )( )
p
N
n
mnmQQ
p
N
n
mnmQQ
dttfdxxS ppm
1
1
111\
1
1
111\
ˆ
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+ UUδδ
( )13.3.1
ეხლა ( )12.3.1 და ( )13.3.1 -დან გვაქვს
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) .1
ˆˆ
ˆˆˆ
11
1
1
1
111\
1
111
1
1
111\
1
111
1
1
111\
111
1
1
1
1
p
Q
p
Q
p
Q
p
N
n
mnmQQ
p
mnmCQ
p
N
n
mnmQQ
p
mnmQ
p
N
n
mnmQQ
mnmQ
p
Q
dttfNdttf
dttfNdttfdttf
dxxSdxxS
dxxSdxxSdxxS
pp
p
pp
pN
n
pp
pm
N
n
pm
pm
N
n
pm
pm
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
<
<
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫
∫∫∑ ∫
∫∑ ∫
∫∑ ∫∫
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
=
=
α
αα
δδ
δδ
δδ
U
U
U
ვთქვათ, ( )( ) rsl m +−−+= 11 δδ ( )20;1,...;1,0 −≤≤≤≤= δδ rsm m . ჯერ
განვიხილოთ ის შემთხვევა, როცა 11 +≥ −mNs δ . გვაქვს
40
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )pQ
pQ
pQ
L
l
NkkNk
l
kkk
L
l
kkk
L
l
NkkNk
xxMcxbxb
xxMc
∑∑∑
∑
+===
+=
−+≤
≤
111
1
χχχ
χ
( )14.3.1
( )3.3.1 ტოლობიდან გამომდინარე
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
= =
−
=
+−−+−−
+== =
−
=
+−−+−−
=+==
−−
−−
−
−−+
+=−
m
i
N
n j
jniN
jni
NkkNk
m
i
N
n j
jni
jni
kkk
l
NkkNk
l
kkk
xxMc
xxMcxb
xbxxMcxb
ii
ii
1 1
1
1
1111
11 1
1
1
1111
111
11
11
δδδδδ
δδδδδδ
δ
χ
χχ
χχχ
( )15.3.1
ინდუქციის მეთოდით ასევე შეიძლება დამტკიცდეს, რომ ჯამი
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )∑∑∑∑= =
−
=
+−−+−−
=
−−+=
m
i
N
n j
jni
jni
kkkm xbxbxB
ii
1 1
1
1
1111
1
11ˆδ
δδδδδ
χχ
ღებულობს შემდეგ მნიშვნელობებს
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
kjnjQ
dttfxB jm
δ
δ
11
1ˆ , როცა ( )( )knj
jQx +−
+∈ δ11 ( )δ≤≤ k2 ( )mj ≤≤1
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
111
1ˆ
mnmQ
dttfxB mm
δ
δ , როცა ( )( )111
+−+∈
mnmQx δ ( )Nn ≤≤1
და ( ) ( )( )∫=kQ
dttfxBm
1
ˆ δ , როცა ( )kQx 1∈ ( )δ≤≤ kN
შესაბამისად
( ) ( )pp
Q
p
Q
pm dttfdxxB
11
ˆ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫ ( )K,1,0=m ( )16.3.1
41
( ) ( ) ( ) pQ
pQ
LpLmm fNxsxB 2ˆˆ +≤− α ( )17.3.1
და რადგან
( ) pQp
Q
LL
n
kkk fxb ≤∑
=1
χ ( )18.3.1
ყოველივე ამის შემდეგ ( )14.3.1 , ( )15.3.1 , ( )17.3.1 და ( )18.3.1 -დან ვღებულობთ ( )2.3.1 უტოლობას, სადაც 3+= pp NM α .
ეხლა განვიხილოთ შემთხვევა, როცა 1−≤ mNs δ . გამოვყოთ ორი ქვეშემთხვევა. პირველი, როცა ( ) 11 21 −− ≤≤+− mm vsv δδ ( )Nv ≤≤1 . გვაქვს
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )pQ
pQ
pQ
L
l
NkkNk
l
kkk
L
l
kkk
L
l
NkkNk
xxMcxbxb
xxMc
∑∑∑
∑
+===
+=
−+≤
≤
111
1
χχχ
χ
( )19.3.1
( )3.3.1 ტოლობიდან გამომდინარე
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) −−
−−+
++
+=−
∑∑∑
∑∑ ∑ ∑
∑∑∑
∑∑∑
= =
−
=
+−−+−−
+== +=
−
=
+−−+−−
= =
−
=
+−−+−−
=+==
−−
−−
−−
m
i
v
n j
jniN
jni
NkkNk
m
i
N
vn j
jni
jni
m
i
v
n j
jni
jni
kkk
l
NkkNk
l
kkk
xxMc
xxMcxb
xb
xbxxMcxb
ii
ii
ii
1 1
1
1
1111
11 1
1
1
1111
1 1
1
1
1111
111
11
11
11
δδδδδ
δδδδδδ
δδδδδ
δ
χ
χχ
χ
χχχ
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )∑ ∑ ∑= +=
−
=
+−−+−− −−−
m
i
N
vn j
jniN
jni xxMc
ii
1 1
1
1
1111 11δδδδδ χ ( )20.3.1
ინდუქციის მეთოდით ასევე შეიძლება დამტკიცდეს, რომ ჯამი
42
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )∑ ∑ ∑
∑∑∑∑
= +=
−
=
+−−+−−
= =
−
=
+−−+−−
=
−−
−−
+
++=
m
i
N
vn j
jni
jni
m
i
v
n j
jni
jni
kkkm
xb
xbxbxB
ii
ii
1 1
1
1
1111
1 1
1
1
1111
1
11
11~
δδδδδ
δδδδδ
δ
χ
χχ
ღებულობს შემდეგ მნიშვნელობებს
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
kjnjQ
dttfxB jm
δ
δ
11
1~, როცა ( )( )kn
jj
Qx +−+∈ δ1
1 ( )δ≤≤ k2 ( )vnmj ≤≤≤≤ 1;1
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
111
1~
mnmQ
dttfxB mm
δ
δ , როცა ( )( )111
+−+∈
mnmQx δ ( )vn ≤≤1
( ) ( )( )∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
=
111
~
mnmQ
dttfxB mm
δ
δ , როცა ( )( )11 1+− −∈
mnmQx δ ( )Nnv ≤≤+1
და ( ) ( )( )∫=kQ
dttfxBm
1
~ δ , როცა ( )kQx 1∈ ( )δ≤≤+ kN 1
შესაბამისად
( ) ( )pp
Q
p
Q
pm dttfdxxB
11
~
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫ ( )K,1,0=m ( )21.3.1
შევაფასოთ
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ++
+=
∑∑∑
∑
= =
−
=
+−−+−−
+=
−−m
i
v
n j
jniN
jni
NiiNkm
xxMc
xxMcxS
ii
1 1
1
1
1111
1
11
~
δδδδδ
δ
χ
χ
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )∑ ∑ ∑−
= +=
−
=
+−−+−− −−+
1
1 1
1
1
1111 11m
i
N
vn j
jniN
jni xxMc
iiδδδδδ χ
43
ჯამის ნორმა ( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
111
mnmQ
δ ( )vn ≤≤1 ,
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
+
111
mnmQ
δ
( )Nnv ≤≤+1 და ( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +−−
+
+−
++==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
UUUN
vn
v
n
mnmQ
mnmQQ
11
1111
111\
δδ
სიმრავლეებზე. რადგან ( ) ( )( )xSxS nmm =~
, როცა ( )nQx 1∈ ( )vn ≤≤1 ,
( ) ( ) ( )xSxS nmm 1
~−= , როცა ( )nQx 1∈ ( )Nnv ≤≤+1 და ( ) ( )xSxSm 0
~ = , როცა ( )kQx 1∈ ( )δ≤≤+ kN 1 , ამიტომ ( )8.3.1 და ( )9.3.1 -ის თანახმად
( )( )
( )( )
p
mnmCQ
mnmQ
dttfdxxS pp
pm
1
111
111
~
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
< ∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
δδ
α ( )1;1 ≥≤≤ pvn ;
( )( )
( )( )
p
mnmCQ
mnmQ
dttfdxxS pp
pm
1
111
111
~
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
< ∫∫⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−− δδ
α ( )1;1 ≥≤≤+ pNnv ( )22.3.1
და ( )10.3.1 და ( )11.3.1 -ის თანახმად
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
≤+
+=
∫∑ ∫
∑ ∫∫
+=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
=
U
UUU
δδ
δδδ
11
111\1
111\1
1
1111
1
111\
01
1
~
Nk
kQmn
mQnQ
mnmQnQ
N
vn
mnmQ
v
n
mnmQQ
dxxSdxxS
dxxSdxxS
pN
vn
pnm
v
n
pnm
pm
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
=++≤ ∫∑ ∫∑ ∫+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
==Uδδδ
11
111\1
111\1
11
Nk
kQmn
mQnQmn
mQnQ
dtxfdttfdttf pv
n
pv
n
p
44
( )( ) ( )
∫⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
UUUN
vn
mnmQ
v
n
mnmQQ
dttf p
1
111
1
111\
δδ
საიდანაც მარტივად ვღებულობთ, რომ
( )( ) ( )
( )( ) ( )
pp
N
vn
mn
mQv
n
mn
mQQN
vn
mn
mQv
n
mn
mQQ
dxxfdxxS ppm
11
1
111
1
11
1\1
111
1
11
1\
~
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
+=
+−−
=
+−
++=
+−−
=
+−
+ UUUUUU
δδδδ
( )23.3.1
ეხლა ( )22.3.1 და ( )23.3.1 -დან გვაქვს
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
<
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑ ∫∫
∑ ∑ ∫∫
∫∑ ∫∑ ∫
∫
=
= +=
+==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
+=
+−−
=
+−
+
+=
+−−
=
+−
+
v
nCQ
pp
pm
v
n
N
vn
pm
pm
pm
N
vn
pm
v
n
pm
pm
p
mnm
p
p
mnmQ
p
mnmQ
p
mnmQ
mnmQ
p
Q
dttfdxxS
dxxSdxxS
dxxSdxxSdxxS
dxxS
N
vn
mn
mQv
n
mn
mQQ
N
vn
mn
mQv
n
mn
mQQ
1
1 1
11
1
111
1
1
111
1
111
1
111111
1
1
111
1
11
1\
1
111
1
11
1\
~
~~
~~~
~
δ
δδ
δδ
α
δδ
δδ
UUU
UUU
45
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )p
ppp
p
p
mnm
Q
pp
Q
p
Q
pp
Q
pp
pN
vnCQ
pp
dttfN
dttfdttfvNdttfv
dxxfdttf
N
vn
mn
mQv
n
mn
mQQ
1
111
1
1
111
1
1
111
1
11
1\
1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
∫
∫∫∫
∫∑ ∫⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
+=
+−−
=
+−
+
+=
α
αα
α
δδδUUU
( )24.3.1
( )21.3.1 და ( )24.3.1 -დან გვაქვს ( ) ( ) ( ) p
QpQ
LpLmm fNxSxB 2~~ +≤− α ( )25.3.1
და რადგან
( ) pQp
Q
LL
l
kkk fxb ≤∑
=1
χ ( )26.3.1
ყოველივე ამის შემდეგ ( )19.3.1 , ( )20.3.1 , ( )25.3.1 და ( )26.3.1 -დან ვღებულობთ ( )2.3.1 უტოლობას, სადაც 3+= pp NM α .
განვიხილოთ მეორე ქვეშემთხვევა, როცა 1−≤ mNs δ და 11 +≤ −mvs δ ( )10 −≤≤ Nv . გვაქვს
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )pQ
pQ
pQ
L
l
NkkNk
l
kkk
L
l
kkk
L
l
NkkNk
xxMcxbxb
xxMc
∑∑∑
∑
+===
+=
−+≤
≤
111
1
χχχ
χ
( )27.3.1
( )3.3.1 ტოლობიდან გამომდინარე
46
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑∑∑
∑∑
∑ ∑ ∑
∑∑∑
∑∑∑
=
+−+−
=
+−+−
=
+−+−
= +=
−
=
+−−+−−
= =
−
=
+−−+−−
+==
+−+−
= +=
−
=
+−−+−−
= =
−
=
+−−+−−
=+==
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−−+=
=−
−−
−−
−−+
++
++
+=−
r
j
jvm
jvm
m
r
j
jvm
jvmm
r
j
jvm
jvm
m
i
N
vn j
jniN
jni
m
i
v
n j
jniN
jni
NkkNk
r
j
jvm
jvm
m
i
N
vn j
jni
jni
m
i
v
n j
jni
jni
kkk
l
NkkNk
l
kkk
mm
mm
mm
ii
ii
mm
ii
ii
c
xSxbxB
xc
xxMc
xxMc
xxMcxb
xb
xb
xbxxMcxb
1
11
1
11
1
11
1 1
1
1
1111
1 1
1
1
1111
11
11
1 1
1
1
1111
1 1
1
1
1111
111
11
11
11
11
11
11
11
11
~~
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δ
χ
χ
χ
χ
χ
χχ
χ
χ
χχχ
( )28.3.1
შევაფასოთ ( )( ) ( )( )( )∑=
+−+− −−r
j
jvm
jvm xb
mm
1
11 11 δδδδ χ და
( )( ) ( ) ( )( )∑=
+−+− −−r
j
jvmN
jvm
mmxMc
1
11 11 δδδδ χ ჯამების ნორმები. გვაქვს:
( )( ) ( )( )( ) ≤⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∑=
+−+− −−
pmm
Q
pr
j
jvm
jvm dxxb
1
11
1
11 δδδδ χ
47
( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( )( )∑ ∫ ∫
∑ ∫ ∫
∑ ∫
=
+−+−
=
+−+−
=
+−+−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
≤
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
−−
−−
−−
r
j Q
p
jvm
Q
jvm
r
j Q
p
jvm
Q
jvm
r
j Q
pjv
mjv
m
p
mm
p
mm
pmm
dxxdttft
dxxdttft
dxxb
1
11
1
11
1
11
1
11
1
11
1
11
δδδδ
δδδδ
δδδδ
χχ
χχ
χ
ეხლა, რადგან ( )( )( ) Bxjvm
m≤+−− 11 δδχ , სადაც { }jiB ,max α=
( )δδ ≤≤−≤≤ ji 1;10 , ამიტომ
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )p
pp
pmm
Q
p
r
j QQ
pr
j Q
p
Q
Q
pr
j
jvm
jvm
dttfrB
dxdttfBdxdttfB
dxxb
1
11
1
11
2
1
2
1
2
1
11
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≤
≤⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫
∑ ∫∫∑ ∫ ∫
∫∑
==
=
+−+− −− δδδδ χ
( )29.3.1
და
( )( ) ( ) ( )( )( ) ≤⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∑=
+−+− −−
pmm
Q
pr
j
jvmN
jvm dxxxMc
1
11
1
11 δδδδ χ
48
( )( ) ( )( )( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )
( )[ ]( )
( )( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( )( )
( ) ≤
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ΔΔ
−
−−
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
∫∫
∫∫
∫∑ ∑ ∫
∫∑ ∫ ∑
∫
∑ ∫∑
∑ ∫
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
−−
−
= =
−
+= =
+−
−
=
−
=
=
+−+−
p
vm
mNk
kQ
p
vm
mvm
mv
p
vm
mvm
m
m
p
vm
m
k
m
vm
mv
m
kvm
m
mmm
p
vm
m
mm
Q
pN
Nm
Q
pN
Nm
Q
pN
r
j kQ
N
Q
pNkn
Nk Q
N
n
vjn
N
Nj
kQ
jkjN
r
j
r
jQ
pjv
mjv
m
dtxMdttfNBNB
dtxMdttftMB
dtxMdttftMB
dtxMdttftM
dttftM
dttftMB
dxxb
1
11
11
1
11111
1
1
1111
2
1
111
2
111
1
2
1
222
1
11
11
!
2
2
\
12
1 2
12
,1 1
1,1
\
11,
21,,
1
1
1
11
δδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
αδ
αδ
αδαδδ
χ
δ
δ
δ
δδδδ
U
49
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) +⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−≤
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
≤
∫
∫∑
∫
∫
∑ ∑ ∫
∫∫
∫∫∫
∫∑ ∑ ∫
+
=++
++
+
+= =
+
−
= =
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
p
Q
p
p
Q
p
qm
pp
Q
p
p
vm
mv
p
p
kvm
m
qm
p
vm
m
p
Q
p
vm
m
q
vm
mvvm
mv
p
vm
mkvm
m
dttfB
dttfB
dttfNNB
dttfB
dttfB
dtxMdttfNNB
dxxMdtxMdttfB
dxxMdttfB
ppq
p
pr
jpm
pm
pm
p
mpNm
pq
p
m
pm
pm
p
m
r
j kQ
pm
Q
pN
pNm
Q
pN
qN
m
Q
pN
r
j kQ
m
11
11
1
11
1
1
111
1
1
1
11
1
11
1
1
11
1
111
111
11
1
111
11
1112
111!
111
1112
!
2
12
111
22
12
1
\
2
11 2
22
2
\\
2
1 2
22
δδδδδ
δδδδδ
δ
δδ
δδδδ
δδ
δδδδδ
δδ
δδδδ
δδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δδδ
δδ
δ
δ
50
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
p
Q
p
Q
p
p
Q
p
p
Q
p
p
Q
p
p
Q
p
p
Q
p
pm
qm
p
Q
p
dttfdttfNNB
dttfB
dttfB
dttfNNB
dttfB
dttfB
dttfNNB
pp
pp
pN
ppq
p
pp
pp
pN
ppq
p
pp
m
pp
pN
111
11
11
11
11
11
11
11
11!
11
1112
11!
11
1112
11!
12
12
12
12
12
1
12
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−≤
≤⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−+
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−≤
≤⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
++
+
+
++
+
+
++
++
βδδ
δδ
δδδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδδ
δδδ
δ
δ
δ
δδ
δδδδ
სადაც
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
p
pp
p
pN
pq
p
pp
NNB
BB
1
11
11!
11
1112
12
12
12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−=
++
++
δδδδ
δδδδδ
δδδδβ
( )30.3.1
( )25.3.1 , ( )28.3.1 , ( )29.3.1 და ( )30.3.1 -ს გამოყენებით გვაქვს
( ) ( ) ( ) ( ) pQp
Q
LppL
l
NkkNk
l
kkk frBNxxMcxb βαχχ +++≤− ∑∑
+==
2
11
2 ( )31.3.1
და რადგან
51
( ) pQp
Q
LL
l
kkk fxb ≤∑
=1
χ ( )32.3.1
ყოველივე ამის შემდეგ ( )27.3.1 , ( )31.3.1 და ( )32.3.1 -დან ვღებულობთ
( )2.3.1 უტოლობას სადაც ppp rBNM βα +++= 23 . ეხლა, რადგან
33 2 +>+++ ppp NrBN αβα
ამიტომ ნებისმიერი l -ისთვის ( )2.3.1 უტოლობა სამართლიანი იქნება,
როცა ppp rBNM βα +++= 23 . თეორემა დამტკიცებულია.
თეორემა 1.3.2. ვთქვათ ( ){ }∞=1nn xχ ( )2.1.1 ტოლობით
განსაზღვრული სისტემაა და N ნებისმიერი ნატურალური რიცხვია. არსებობს ზომადი, შემოსაზღვრული ( )xM ფუნქცია ისეთი, რომ
( ) ( ){ }∞ += 1Nnn xxM χ სისტემა ბაზისია ყველა pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში.
დამტკიცება. ვთქვათ, ( )( ) rlN m +−−+= 11 δδ ( ;1,...;1,0 mlm δ≤≤=
)20 −≤≤ δr ზოგადობის შეუზღუდავად ვიგულისხმოთ, რომ ( )1,01,01 ;...; += rV αα ;...; ( )1,1,1 ;...; ++ = rrrrV αα წრფივად დამოუკიდებელი
ვექტორთა სისტემაა. თეორემა 1.3.2-ის პირობებს აკმაყოფილებს ( )xM
ფუნქცია, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად
( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )( ) ( )⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤≤+∈−
∈−
−≤≤∈−
= +
+++
mim
im
m
lm
lm
mr
im
im
m
ilQxKxAM
QxKxAM
liQxKxAM
xM
δ
δ
1,
,
11,
)(1
)(1
)(11
11
სადაც ( )xM N ( )11 −≤≤ δN წინა თეორემაში მოყვანილი ფუნქციაა. თეორემა 1.3.2. გამომდინარეობს თეორემა 1.3.1-დან, საჭიროა მხოლოდ
შევნიშნოთ, რომ ( ){ }∞ += 1Nnn xχ სისტემა შედგება ( )( )11 −−+ δδ lm ცალი
{ }kn,χ ( )( )( )111 −−+≤≤ δδ lk m ქვესისტემისაგან
( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−≤≤∈
−≤≤∈−= ++
++
K,3,211,0
11,
)(
)(11
1
,2
1
nliCQx
liQxKxAx
im
im
im
mn
kn
m
δ
δχδχ
roca
roca
roca
roca
roca
52
( ) ( )( )( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=∈
∈−=+−
K,3,2,0
,
)(
)(
11,2
rrnCQx
QxKxAx
lm
lm
lm
mn
ln
mχδ
χ δ
( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=≤≤+∈
−−+≤≤+−∈−=
K,3,21,0
1121,
)(
)(
,2
nilCQx
lklQxKxAx
mim
mim
im
mn
kn
m
δ
δδδχδχ
თეორემა 1.3.3. ვთქვათ, ( ){ }∞=1nn xχ ( )2.1.1 ტოლობით
განსაზღვრული ფუნქციათა სისტემაა. არსებობს ზომადი შემოსაზღვრული ( )xM ფუნქცია ისეთი, რომ ( ) ( ){ }∞=2nn xxM χ ჩაკეტილი
და მინიმალურია pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში, მაგრამ არ არის p
QL , ∞<≤ p1
სივრცის ბაზისი. დამტკიცება. ვაჩვენოთ, რომ ფუნქცია
( )( )
( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=∈
∈=
++
+=+
K
U
,2,1,1
,1
11
2
21
nQx
QxxM
nn
k
kn
δ
δ
δ
δ
აკმაყოფილებს თეორემა 1.3.3-ის პირობებს. როცა ∞≤< q1
( ) ∞=≥∑∫∞
=+
−
11
1
kk
k
Q
q dxxMδ
δ
აქედან გამომდინარე
( )[ ] qQLxM ∉−1 ∞≤< q1 .
რადგან ნებისმიერი ნატურალური n რიცხვისათვის
( )[ ] ( )qQn
LxM 11∉− და ( )[ ] ( )
qCQn
LxM 11∈−
ამიტომ ლემა 1.2.1.-ის თანახმად ( ) ( ){ }∞=2nn xxM χ სისტემა ჩაკეტილი და
მინიმალურია pQL , ∞<≤ p1 . ვთქვათ kn m +=δ , ( )( )11 −≤≤ δδ mk
( ) ( ){ }∞=2nn xxM χ სისტემის შეუღლებული ( ){ }∞=2nn xψ სისტემა განისაზღვრება შემდეგნაირად
( ) ( )[ ] ( )[ ]1,1
lm
nn xxMx αδχψ −= − სადაც ( ) ( ) 11mod1 +−−= δkl
ვაჩვენოთ, რომ მწკრივი
roca
roca
roca
roca
roca
roca
53
( ) ( ) ( )∑∞
=
=2n
nnn xxMaxS χ
სადაც ( ) ( )dtttaQ
nn ∫= ψχ1 განშლადია ყველა pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში.
მართლაც, შევაფასოთ ( ) ( ) ( )( )∑−
=
1
1
δχ
i
im
im xxMa ჯამის ნორმა
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )
( )[ ]( )∫
∑ ∫∫
−
=
−−
−
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
+
1
2
1
22
11,
2
11,,1,
1
m
m
jm
mm
Q
i
j Q
ijiQ
ii
mi
m
dttM
dttMdttMa
αδ
ααδαδχδ
როცა ( )11+∈ mQx
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( )[ ]( ) ⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=+
+−=+
+−−=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
=
∫∫∫
∫∫∫
∑ ∫∑∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
∑
−−+−
−+−+−
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
+
=+
+
+
111
1
1
21
1
11
11
1111
11111
1
0
121,
2
1
0
121,,
1
1
121,
2
121,,
1
1
mmm
mj
jmQm
mj
m
mj
m
CQ
m
CQ
m
CQ
m
CQ
mm
CQ
m
i CQ
im
j i Q
ijim
i CQ
im
j Q
ijim
i
im
im
dttMdttMxMdttMxM
dttMxMdttMxMdttMxM
dttMxMdttMxM
dttMxMdttMxM
xxMa
δδδ
δδδ
αδααδ
αδααδ
χ
δ
δδ δ
δ δ
δ
U
54
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
( )[ ]( )
p
mm
p
mmmm
p
mmm
p
m
p
m
p
Q
p
CQ
m
Q
p
CQ
m
CQ
m
CQ
m
Q
p
CQ
m
CQ
m
Q
p
i
im
im
Q
p
i
im
im
Q
p
i
im
im
dtxMdttM
dtxMdttMdttMdttM
dtxMdttMdttM
dxxxMa
dxxxMadxxxMa
1
11
11
1
11
111
11
1
11
111
1
11
1
1
1
1
111
111
1
1
1
1
1
1
1
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
>
>⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
>
>⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
∫ ∑
∫ ∑∫∑
++
+++
++
+
−
−−−
−−+
−
=
−
=
−
=
δ
δδδδ
δδ
χ
χχ
δ
δδ
რადგან ( )[ ]( )
11
1
1 >∫+
−
mCQ
dttM ამიტომ
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
−−=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−=
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
>⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∑∑
∑
∫∫∑
∞
=+++
∞
=+
∞
=+++
−
=+
p
p
p
m
p
kpkkpk
kkk
m
mkkpkk
m
Q
pm
Q
p
i
im
im dtxMdxxxMa
1
1
1
11
1
0132
03
2
323
2
1
1
11111
111
δδδδδδδδ
δδδδδδ
δχδ
55
( ) ( )
( )( )
( )pp
p
p
ppmmp
ppmpmmm
pkpkk
m
11
1
1
23
2
23223
21
23223
2
1323
2
111
1111
11
11111
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−>⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−
−−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−
−−=
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
+
−−=
++−
++
++++
δδδδ
δδδδδδδδ
δδδδδδδδδδ
δδδ
δδ
δδδ
ე.ი. მივიღებთ, რომ როცა p
1
23
2 1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−=
δδδδε , ნებისმიერი N
ნატურალური რიცხვისთვის არსებობენ 1−+= δδ mu და mv δ=
ნატურალური რიცხვები (სადაც Nmδ
log> ნატურალური რიცხვია)
რომელთათვისაც
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) εχδ
>=− ∑−
= pQ
pQ
Li
im
imLvu xxMaxSxS
1
1
ანუ სრულდება კოშის პირობა და შესაბამისად ( ) ( )∑∞
=
=2n
nnn xxMaS χ
მწკრივი განშლადია ყველა pQL , ∞<≤ p1 სივრცეში.
თეორემა 1.3.3. დამტკიცებულია. ლემა 1.2.1. და შესაბამისად თეორემა1.3.1. შეიძლება განზოგადდეს
იმ შემთხვევისათვის, როდესაც ჰაარის ტიპის ( ){ }∞=1nn xχ სისტემისგან მოშორებულია ნებისმიერი სასრული რაოდენობა ფუნქციებისა. ჩვენ ამაზე არ შევჩერდებით, არამედ დავამტკიცებთ, რომ ჰაარის ტიპის სისტემას შეიძლება მოვაცილოთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა
ისე რომ შეიძლებოდეს მისი მულტიპლიკაციური გასრულება pQL
სივრცის ბაზისამდე. თეორემა 1.3.4. ( )2.1.1 ტოლობით განსაზვრულ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემას
შეიძლება ჩამოვაშოროთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა ისე, რომ დარჩენილი ნაწილის რომელიღაც ზომად, შემოსაზღვრულ ფუნქციაზე
56
გადამრავლების შედეგად მივიღოთ ბაზისი ყველა pQL , ∞<≤ p1
სივრცეში. დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ ფუნქციათა სისტემა
( ) ( )( ){ }xxM nkχ , ( )knk δδ ≤≤= ;,2,1 K ( )33.3.1
სადაც ( ) ( )( )( )i
jj kxAMxM −= 1 , როცა ( )i
jQx∈ ( )δ≤≤= ij 2;,2,1 K
და ( )xM1 თეორემა 1.3.1.-დან აღებული ფუნქციაა, ბაზისია ყველა pQL ,
∞<≤ p1 სივრცეში. ( )33.3.1 სისტემის ჩაკეტილობა და მინიმალურობა
გამომდინარეობს ( ) ( ){ }∞=21 nk xxM ψ სისტემის ჩაკეტილობიდან და
მინიმალურობიდან. ვთქვათ, ( ) pQLxf ∈ ნებისმიერი ფუნქციაა.
განვიხილოთ ( )33.3.1 სისტემა ( )ijQ სიმრავლეზე ( )δ≤≤= ij 2;,2,1 K . ijk ,
( )δ≤≤= ik 2;,3,2 K სიმბოლოთი ავღნიშნოთ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემის ყველა
იმ ფუნქციის ინდექსი, რომელთათვისაც ( )ijn QQ ⊂ . გვაქვს
( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∈
∈−−=
K,3,2\0
,1,
kQQx
QxkxAkxAMxxM
ij
ij
ij
jk
ij
j
ijk
χχ
ვთქვათ, ( )xfS mij −,, ფუქნქციის m -ური კერძო ჯამია ( ) ( ){ }∞=2, kij xxM kχ
სისტემის მიმართ. ( )2.3.1 პირობიდან ვრებულობთ, რომ
( )( )
( )( )∫∫ ≤
ij
ij Q
ppp
Q
pmij
mdxxfMdxxS ,,sup .
აქედან მარტივად გამომდინარეობს, რომ
pQ
pQ LpLn
nfMS ≤sup
სადაც, nS ( ) pQLxf ∈ ფუნქციის გაშლაა ( )33.3.1 სისტემის მიმართ.
თეორემა 1.3.4. დამტკიცებულია. შედეგი 1.3.1. თუ ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემას მოვაცილებთ
ფუნქციების სასრულ რაოდენობას, მაშინ არსებობს ( ) 0>xψ ფუნქცია
ისეთი, რომ სისტემის დარჩენილი ნაწილი ბაზისია წონიან ( )( )dxxLpQ ψ ,
∞<≤ p1 სივრცეში.
57 შედეგი 1.3.2. ჰაარის ტიპის ვეივლეტ-სისტემას შეიძლება
მოვაცილოთ უსასრულო რაოდენობა ფუნქციებისა ისე, რომ სისტემის
დარჩენილი ნაწილი იყოს ბაზისი წონიან ( )( )dxxLpQ ψ , ∞<≤ p1
სივრცეში, რომელიღაც ( ) 0>xψ ფუნქციისათვის.
58 თავი II
მრავალგანზომილებიანი ჰაარის ტიპის ორთონორმირებული ვეივლეტ-სისტემების ბაზისობის შესახებ ( )μdLp
Q , ∞<≤ p1 ,
სივრცეებში
§ 2.1. წინასწარი განმარტებები და გამოყენებული აღნიშვნები
ვთქვათ E არის nR -ის ბორელის სიმრავლე და μ არის
სასრული დადებითი ბორელის ზომა E -ზე. ( )μdLpE , ∞<≤ p1 , იყოს
ბანახის სივრცე ყველა ისეთი f ფუნქციისა, რომლისთვისაც
( ) ( ) ∞<⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ∫
p
pE
E
pdL dxff
1
μμ ,
გარდა ამისა
( ) ( )xffEx
dLE ∈=∞ supessμ .
იმ შემთხვევაში, როცა μ არის ლებეგის ზომა ჩვენ ვიხმართ pEL
აღნიშვნას ( )μdLpE -ს ნაცვლად.
ამ თავში ჩვენ საქმე გვექნება ზოგად ბორელის ზომასთან, ამიტომ ( )2.1.1 ფუნქციათა სისტემის მნიშვნელობები წყვეტის წერტილებზე ძალზე მნიშვნელოვანია. ამრიგად ( )2.1.1 ფუნქციათა სისტემის მნიშვნელობები წყვეტის წერტილებში განვმარტოთ ისე, რომ მივიღოთ QC სივრცის ბაზისი ( QC აღნიშნავს Q სიმრავლეზე
განსაზღვრულ უწყვეტ ფუნქციათა სივრცეს). კერძოდ ( )( )xmnχ , K,1,0=n ,
( )1,,1 −= δδ nm K , ფუნქციის მნიშვნელობები წყვეტის 0x წერტილში
იყოს საშუალო არითმეტიკული ყველა jin
,2αδ რიცხვისა,
რომელთათვისაც ( )jlnQx ++∈ δ
10 , δ,,1K=j სადაც i და l შერჩეულია ისე,
რომ 11 −≤≤ δi , ( ) ( )( )1mod11 −−≡− δmi და ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−
=11
δml ([ ]a აღნიშნავს a
ნამდვილი რიცხვის მთელ ნაწილს).
ჩვენ ვუწოდებთ ( ){ }xfn ფუნქციათა სისტემას ( )μdLp , ∞<≤ p1 ,
სივრცის ფართო აზრით ბაზისს თუ ეს სისტემა ჩაკეტილი და
59
მინიმალურია ( )μdLp -ში, ხოლო მისი შეუღლებული სისტემა
ტოტალურია ( )μdLp -ს მიმართ.
§ 2.2. დამხმარე დებულებები
თეორემა 2.2.1. ვთქვათ ( ){ } ∞∞= ∈ Qnn Lx 1ϕ მინიმალურია ამავე
სივრცეში და ტოტალურია 1QL -ს მიმართ, ( ){ }∞=1nn xψ იყოს მისი
შეუღლებული სისტემა. შემდეგი პირობა არის აუცილებელი და
საკმარისი იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა იყოს ( )( )dxxLpQ ψ ,
∞<≤ p1 , ( ( ) 1QLx ∈ψ , ( ) 0>xψ თითქმის ყველგან Q -ზე) სივრცის ფართო
აზრით ბაზისი: ყველა ნატურალური n რიცხვისთვის
( )[ ] ( )[ ] ( )111 −∈− pQ
pn Lxx ψψ .
დამტკიცება. აუცილებლობა. რადგან ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა
( )( )dxxLpQ ψ სივრცის ფართო აზრით ბაზისია, ამიტომ მოიძებნება მისი
ბიორთონორმირებული ( ){ } ( )( )dxxLxf qQnn ψ∈∞
=1 სისტემა ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+ 111
qp,
( ) ( ) ( )∫ =
Qknkn dxxxfx ,δψϕ , K,2,1=n , K,2,1=k
ცხადია ყველა ნატურალური n რიცხვისთვის
( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )∫ =− −
Qnkk dxxxxxxf 01 ψϕϕϕ .
ამიტომ
( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ =−
Qnkk dxxxxxf 0ϕψψ .
რადგან ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა ტოტალურია 1QL -ს მიმართ გამოდის, რომ
( ) ( ) ( )[ ] 1−= xxxf kk ψψ
და გვაქვს
( ) ( )[ ] ( )( )dxxLxx qQn ψψψ ∈−1
60 ანუ რაც იგივეა ყოველი ნატურალური n რიცხვისთვის
( )[ ] ( )[ ] ( )111 −∈− pQ
pn Lxx ψψ .
აუცილებლობა დამტკიცებულია. საკმარისობა. ვთქვათ,
( )[ ] ( )[ ] ( )111 −∈− pQ
pn Lxx ψψ
ანუ
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )dxxLxxxf qQnn ψψψ ∈= −1 .
შევნიშნოთ, რომ ( ){ }∞=1nn xf არის ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემის შეუღლებული და
აქედან გამომდინარე ( ){ }∞=1nn xϕ მინიმალურია ( )( )dxxLpQ ψ -ში.
ვთქვათ, ( ){ }∞=1nn xϕ არ არის ჩაკეტილი ( )( )dxxLpQ ψ -ში, მაშინ
მოიძებნება ( ) ( )( )dxxLxf pQ ψ∈ , ( ) 0≠xf ფუნქცია ისეთი, რომ ყოველი
ნატურალური n რიცხვისთვის
( ) ( ) ( )∫ =
Qn dxxxxf 0ψϕ
რადგან ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა ტოტალურია 1QL -ს მიმართ გამოდის, რომ
( ) ( ) 0≡xxf ψ ,
რაც წინააღმდეგობაა და ის ამტკიცებს ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემის
ჩაკეტილობას ( )( )dxxLpQ ψ სივრცეში.
დაგვრჩა დამტკიცება იმისა, რომ ( ){ }∞=1nn xϕ -ის შეუღლებული
( ){ }∞=1nn xf სისტემა ტოტალურია ( )( )dxxLpQ ψ -ის მიმართ.
ვთქვათ, ( ) ( )( )dxxLxf pQ ψ∈ და ყოველი ნატურალური n
რიცხვისთვის
( ) ( ) ( )∫ =
Qn dxxxfxf 0ψ
აქედან
( ) ( )∫ =
Qn dxxxf 0ϕ K,2,1=n
61
ეხლა რადგან ( ){ }∞=1nn xϕ სისტემა ტოტალურია 1QL -ს მიმართ, ამიტომ
გვაქვს ( ) 0≡xf
რაც ცხადია გულისხმობს, რომ ( ){ }∞=1nn xf სისტემა ტოტალურია
( )( )dxxLpQ ψ -ის მიმართ.
თეორემა 2.2.1. დამტკიცებულია. 1978 წელს კაზარიანმა დაამტკიცა ორი ლემა. ჩვენ ისინი
დაგვჭირდება ძირითადი თეორემის დასამტკიცებლად.
ლემა 2.2.1. ვთქვათ, ( ){ }∞=1nn xϕ ჩაკეტილი და მინიმალურია [ ]baC , -
ში და ( ){ }∞=1nn xψ არის მისი ბიორთონორმირებული სისტემა. გარდა ამისა ვთქვათ Ω არის ნატურალურ რიცხვთა სასრული (ან ცარიელი) სიმრავლე და CΩ აღნიშნავს Ω სიმრავლის დამატებას ნატურალურ
რიცხვთა სიმრავლემდე. თუ ( ){ } Cnn xΩ∈
ϕ სისტემა არის [ ]( )μdLpba, ,
∞<≤ p1 , სივრცის ფართო აზრით ბაზისი, რომელიღაც სასრული დადებითი ბორელის μ ზომისთვის, მაშინ μ აბსოლიტურად უწყვეტია.
ლემა 2.2.2. ვთქვათ, ( ){ }∞=1nn xϕ არის შემოსაზღვრულ ზომად
ფუნქციათა სისტემა, რომელიც ტოტალურია [ ]1
,baL -ს მიმართ და არის
[ ]p
baL , , ∞<≤ p1 , სივრცის ფართო აზრით ბაზისი. ვთქვათ, Ω -ს და CΩ -ს
აქვთ იგივე აზრი რაც ქონდათ ლემა 2.2.1.-ში. თუ ( ){ } Cnn xΩ∈
ϕ სისტემა
მინიმალურია [ ] ( )( )dxxLpba ψ, სივრცეში, რომელიღაც ლებეგის აზრით
ინტეგრებადი არაუარყოფითი ( )xψ ფუნქციისათვის, მაშინ ( )xψ
დადებითია თითქმის ყველგან [ ]ba, -ზე. აქვე სევნიშნავ, რომ ეს ლემები ჩამოყალიბებული და
დამტკიცებულია ერთგანზომილებიან შემთხვევაში, თუმცა მათი სამართლიანობა მრავალგანზომილებიან შემთხვევაში დამტკიცდება ანალოგიურად.
§ 2.3. ძირითადი თეორემები და შედეგები
62 თეორემა 2.3.1. შემდეგი პირობები (ა)-(დ) არიან აუცილებელი და
საკმარისი იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემა იყოს ( )μdLpQ , ∞<≤ p1 ,
სივრცის ბაზისი: (ა) არსებობს ლებეგის აზრით ინტეგრებადი ( )xψ ფუნქცია
ისეთი, რომ ( ) ( )dxxxd ψμ = ;
(ბ) ( ) 0>xψ თითქმის ყველგან Q -ზე;
(გ) ( )[ ] ( )11
1 −− ∈ pQLxψ ;
(დ) არსებობს 0>pM მუდმივი ისეთი, რომ ყოველი ჰაარის
სიმრავლისათვის ( )mnQ , K,2,1=n , nm δ,,1K= , გვაქვს
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )
p
p
Q
pm
nQm
nMdxx
Qdxx
Q mn
mn
≤⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
−−
∫∫1
1111 ψψ .
2.3.1. თეორემის დასამტკიცებლად ჩვენ გამოვიყენებთ შემდეგ ფაქტს, რომელიც უშუალოდ გამომდინარეობს თეორემა 2.2.1., ლემა 2.2.1. და ლემა 2.2.2.-დან.
თეორემა 2.3.2. იმისათვის, რომ ( ){ }∞=1nn xχ სისტემა იყოს ( )μdLpQ ,
∞<≤ p1 , სივრცის ფართო აზრით ბაზისი აუცილებელი და საკმარისია შესრულდეს 2.3.1. თეორემის (ა), (ბ) და (გ) პირობები.
ეხლა ჩვენ დავამტკიცებთ ლემას, რომელიც არის 2.3.1 თეორემის დამტკიცების საფინალო საფეხური. ვთქვათ μ ზომა აკმაყოფილებს (ა),
(ბ) და (გ) პირობებს. ეს გულისხმობს, რომ ( ){ }∞=1nn xχ არის ( )μdLp ,
∞<≤ p1 , სივრცის ფართო აზრით ბაზისი. ( )xfSn , -ით აღვნიშნოთ
( )μdLf p∈ ფუნქციის კერძო ჯამების მიმდევრობა ( ){ }∞=1nn xχ სისტემის
მიმართ. განვიხილოთ მაქსიმალური ზომის ჰაარის სიმრავლეები რომლებზედაც ყველა ( )xnχ , Nn ,,1K= ( )( )( )1mod1 −≡ δN არიან მუდმივები. ცხადია მოცემული 1≥N მთელი რიცხვისათვის ასეთი სიმრავლეების რაოდენობაა ზუსტად N . ეს სიმრავლეები აღვნიშნოთ
NΓΓ ,,1 K სიმრავლეებით.
ლემა 2.3.1. ვთქვათ μ აკმაყოფილებს 2.3.1. თეორემის ა), (ბ) და (გ) პირობებს, მაშინ ყოველი 1≥N -სთვის ( )( )( )1mod1 −≡ δN გვაქვს
63
( ) ( )∫Γ
Γ=
n
dttfxfSn
N1, , როცა nx Γ∈ , Nn ≤≤1 ( )1.3.2
დამტკიცება. ვინაიდან ( ){ }∞=1ii xχ არის ( )μdLp სივრცის ფართო
აზრით ბაზისი. ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ მისი შეუღლებული ( ){ }∞=1ii xψ
სისტემა. ცხადია ის ჩაიწერება შემდეგი სახით
( ) ( ) ( )[ ] 1−= xxx ii ψχψ ( )2.3.2
ყოველი 1≥N -სთვის ( )( )( )1mod1 −≡ δN და ( )μdLf p∈ -სთვის
გვაქვს
( ) ( )∑=
=N
iiiN xcxfS
1
, χ ,
სადაც
( ) ( )∫=Q
ii dxxfc μϕ . ( )3.3.2
ლემა დავამტკიცოთ ინდუქციით. 1=N -სთვის გვაქვს
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ == −
dxxfdxxxxxfc ψψχ 111
ანუ
( ) ( )∫=Q
dxxfxfS ,1 .
ეხლა დავუშვათ, რომ ( )1.3.2 ტოლობა სამართლიანია რომელიღაც ( )( )1mod1 −≡ δN -სთვის და გამოვთვალოთ ( )xfSN ,1−+δ :
( ) ( ) ( )∑−
=++−+ +=
1
11 ,,
δ
δ χi
iNiNNN xcxfSxfS .
δPP ,,1 K სიმრავლეებით აღვნიშნოთ ის ჰაარის სიმრავლეები რომლებზედაც ( )xiN +χ , 11 −≤≤ δi , ფუნქციები ღებულობენ შესაბამისად
21
21
,1, ,,−−
ΓΓ kiki δαα K მნიშვნელობებს, სადაც 0\1
=Γ=Uδ
jkjP . ( )2.3.2 და
( )3.3.2 ტოლობებიდან გვაქვს
64
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) .1
,
1
21∑ ∫
∫∫
=
+−
++
−Γ=
===
δα
χψψχ
j Pkji
QiN
QiNiN
j
dxxf
dxxxfdxxxxxfc
ეხლა, როცა nPx∈ , δ≤≤ n1 ,
( ) ( ) =ΓΓ=∑∑ ∫∑−
= =
−
=++
−−1
1 1,,
1
1
21
21
δ δδααχ
i j Pkjikji
iiNiN
j
dxxfxc
( ) ( ) .1
1
1,,
1
1
1
1,,
1 ∑ ∑∫∑∑ ∫=
−
=
−
=
−
=
− Γ=Γ=δ δδ δ
ααααj i
nijiP
kj i P
nijik
jj
dxxfdxxf
რადგან 1,
1
1,, −=∑
−
=nj
iniji δδαα
δ, ამიტომ გვაქვს
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
1
11
1
1
1,
1
1,
11
1
∫∫∑ ∫
∑ ∫∑ ∫∑
Γ
−−
=
−
=
−
=
−−
=++
Γ−Γ=Γ−
−Γ=−Γ=
knj
jj
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxfxc
kP
kj P
k
j Pnjk
j Pnjk
iiNiN
δ
δδδδχ
δ
δδδ
აქედან მარტივად ვღებულობთ
( ) ( )∫=−+
nPn
N dxxfP
xfS 1,1δ , როცა nPx∈ , δ≤≤ n1 . ( )4.3.2
რადგან iN +χ , 11 −≤≤ δi , ნულის ტოლია kΓ -ს გარეთ, ამიტომ ( )1.3.2
და ( )4.3.2 ტოლობებიდან გამომდინარეობს ინდუქციური ბიჯის სამართლიანობა. ლემა 2.3.1. დამტკიცებულია.
თეორემა 2.3.1.-ის დამტკიცება. კარგად არის ცნობილი, რომ
აუცილებელი და საკმარისი პირობა ( )μdLpQ სივრცის ფართო აზრით
ბაზისობისათვის, რომ იყოს ამავე სივრცის ბაზისი, საჭიროა ყოველი
( )μdLf pQ∈ ფუნქციის კერძო ჯამების მიმდევრობა ამავე სისტემის
მიმართ იყოს ერთობლივ შემოსაზღვრული. ამიტომ 2.3.2. თეორემის გათვალისწინებით, რომ დავადგინოთ (ა) – (დ) პირობების საკმარისობა საჭიროა მხოლოდ შევაფასოთ ( )xfSn , -ის ნორმა. ვთქვათ,
65 ( )( )1mod1 −≡ δN და 10 −≤≤ δk . ზემოთ განხილული ჰაარის
სიმრავლეებისათვის NΓΓ ,,1 K ზოგადობის სეუზღუდავად
ვიგულისხმოთ, რომ NΓ აღნიშნავს იმ ჰაარის სიმრავლეს, რომლისათვისაც kN +χ , 10 −≤≤ δk ფუნქციები ნულის ტოლია NΓ
სიმრავლის გარეთ. ლემა 2.3.1-დან გვაქვს
( ) ( ) ( ) ( ) ==∑∫∫= Γ
++
N
i
pkN
Q
pkN
i
dxxxfSdxxxfS1
,, ψψ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )( )( ) ( ) ( ) .211
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
∫
∫∫∫
∑ ∫∫∫
∫∑ ∫∫
∑ ∫∫
−++≤
≤⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Γ
++
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Γ≤
≤+Γ
+
+Γ
=
ΓΓΓ
−
= ΓΓΓ
Γ= Γ
++
Γ
−
= ΓΓ
−
−
Q
pp
p
pp
N
p
N
i
pp
i
pk
jjNjN
N
N
i
p
i
dxxxfMB
dxxdxxdxxxfBk
dxxdxxdxxxf
dxxxdxxxfdxxf
dxxdxxf
N
qp
N
p
N
i
qp
i
p
i
NNN
ii
ψδ
ψψψ
ψψψ
ψχχ
ψ
სადაც { }δδα ≤≤−≤≤= jiB ji 1,10:max , . საკმარისობა დამტკიცებულია.
რომ დავამტკიცოთ აუცილებლობა ჩვენ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ
თუ ( ){ }∞=1ii xχ არის ( )μdLpQ სივრცის ბაზისი, მასინ NS ოპერატორების
ნორმები ერთობლივად შემოსაზღვრულია: +∞<≤ MSN . ( )5.3.2
მეორეს მხრივ თეორემა 2.3.2.-დან და NS ოპერატორების შემოსაზღვრულობიდან, როცა ( )( )1mod1 −≡ δN , გვაქვს
( )
( ) ( ) ( ) ( )μμμ
dLNNidLN
fN p
QpQ
dpQL
xfSxfSS ,supmax,sup11 ≤≤≤
≥= ( )6.3.2
66 ბოლო სუპრემუმი აღებულია ყველა ისეთი f ფუნქციებიდან, რომლისათვისაც ( ) 1≤μdp
QLf და ( ) 0=xf , როცა iQx Γ∈ \ . ტოლობა
( )1.3.2 გვიჩვენებს, რომ როცა Ni ,,1K= ზემოთ მოყვანილი სუპრემუმი ტოლია
( )
( ) ( ) ( )( )
( )∫∫Γ
≤Γ
≤ Γ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
Γidp
QL
p
i
pidp
QL
dxxfdxxxfSif
dLNf
1sup,sup11
1
μμ
ψμ . ( )7.3.2
თუ ჩავწერთ
( ) ( ) ( )[ ] ( )xxxfxf ψψ 1−=
გვექნება, რომ
( )
( ) ( )[ ]( )
( )[ ] ( )
( )p
p
i
ppiidp
QL
dxxxdxxfdLf
1
111
1sup
−
−−
Γ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛== ∫∫
Γ
−
Γ≤
ψψμ
μ
აქედან და ( )5.3.2 - ( )7.3.2 დამოკიდებულებებიდან გამომდინარეობს (დ)
პირობის აუცილებლობა. თეორემა 2.3.1. დამტკიცებულია.
67 თავი III
შემოსაზღვრულ ფუნქციათა ფურიე-ჰაარის ტიპის მწკრივების განშლადობის შესახებ ნული ზომის
სიმრავლეებზე
§ 3.1. გამოყენებული აღნიშვნები და დამხმარე დებულებები
ამ თავში ჩვენ განვიხილავთ ფურიე-ჰაარის ტიპის მწკრივების განშლადობის საკითხს ნული ზომის სიმრავლეებზე 2det =A
შეზღუდვით. მოსახერხებელი იქნება ჰაარის სიმრავლეებისათვის შემდეგი აღნიშვნის შემოტანა:
( ) ( ) ( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡++= ∑∑
∞
+=
−∞
+=
−
12
11 ,
nj
mn
j
nj
mn
jmn kkAkkATQ
გარდა ამისა
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛++
∑∑
∑∑∞
+=
−∞
+=
−
∞
+=
−∞
+=
−
12
11
12
11
,\
,
nj
mn
j
nj
mn
jmn
nj
mn
j
nj
mn
j
kkAkkAQ
kkAkkAT
ნატურალური n რიცხვს ვუწოდოთ ( )mnQ ჰაარის სიმრავლის რანგი.
ლემა 3.1.1. ნებისმიერი 0>ε რიცხვისათვის და ნებისმიერი QM ∈
წერტილისათვის არსებობს ჰაარის ( )ikQ სიმრავლე ისეთი, რომ ( ) ( )ε,MBQM ik ⊂∈ ,
სადაც ( ) { }εε <−= nRxMxMB :, .
დამტკიცება. რადგან QM ∈ იგი წარმოდგება შემდეგი სახით
∑∞
=
−=1j
jj sAM ,
სადაც ყოველი js არის ფიქსირებული ვექტორი, ან 1k , ან 2k .
განვიხილოთ ორობით სიმრავლეთა მიმდევრობა
68
( ) ( ) ∑=
−− +=n
jj
jnin sAQAQ n
1
( ),...2,1=n .
ცხადია ყოველი n -ისათვის ( )ninQM ∈ . ვაჩვენოთ, რომ საკმარისად დიდი
n -ისთვის ( ) ( )ε,MBQ nin ⊂ , სადაც 0>ε ნებისმიერი წინასწარ ფიქსირებული რიცხვია. ამისათვის ვაჩვენოთ, რომ ε<− nRxM , სადაც
( )ninQx∈ ნებისმიერი ვექტორია. რადგან ( )ni
nQx∈ , ამიტომ
∑∑∞
+=
−
=
− +=11 nj
jj
n
jj
j rAsAx ,
სადაც ყოველი jr არის ფიქსირებული ვექტორი, ან 1k , ან 2k . გვაქვს
( ) ( ) ,1
211
211
111
∑∑∑
∑∑∑∞
+=
∞
+=
−∞
+=
−
∞
+=
−
=
−∞
=
−
−≤−≤−=
=−−=−
njR
j
njR
j
Rnjjj
j
Rnjj
jn
jj
j
jj
jR
nnn
n
n
kkckkArsA
rAsAsAxM
α
სადაც c რომელიღაც მუდმივია და 10 <<α . აქედან კი გასაგებია, რომ საკმაოდ დიდი n -ისათვის ε<− nRxM . ლემა 3.1.1. დამტკიცებულია.
ლემა 3.1.2. ნებისმიერი QH ⊂ ღია სიმრავლისათვის არსებობს
( ) ∞
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
1n
im
nn
Q ჰაარის სიმრავლეთა მიმდევრობა ისეთი, რომ
( ) ( ) ∅=ss
rr
im
im QQ I ( )sr ≠ და ( )U
∞
=
=1n
im
nn
QH .
დამტკიცება. რადგან H ღიაა, ამიტომ იგი მის ნებისმიერ x წერტილთან ერთად შეიცავს მის მომცველ ( )ε,xB ბირთვს, სადაც 0>ε
საკმაოდ მცირე რიცხვია. მეორეს მხრივ ლემა 2-ის თანახმად არსებობს ( )ninQ სიმრავლე ისეთი, რომ
( ) ( )ε,xBQx nin ⊂∈ .
საიდანაც მარტივად ვასკვნით, რომ ( ) HQ nin ⊂ . ეხლა, რადგან ( )i
nQ
)2,...,1,...;2,1( nin == სიმრავლეები თვლადია და ნებისმიერი ორი ( )inQ
69
და ( )jmQ ( )nm ≤ სიმრავლისთვის ან ( ) ( ) ∅=j
mi
n QQ I ან ( ) ( )jm
in QQ ⊂ ,
ამიტომ ამოირჩევა ისეთი ( ) ∞
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
1n
im
nn
Q სიმრავლეთა მიმდევრობა
რომელსაც გააჩნია ზემოთ აღნიშნული თვისებები. ლემა 3.1.2.
დამტკიცებულია.
§ 3.2. ძირითადი თეორემა
თეორემა 3.2.1. ნებისმიერი QE ⊂ , ( ) 0=Eμ სიმრავლისათვის, არსებობს შემოსაზღვრული ზომადი ფუნქცია, რომლის ფურიეს მწკრივი { }∞=1nnχ სისტემის მიმართ განშლადია E სიმრავლეზე.
დამტკიცება. ვთქვათ QE ⊂ , ( ) 0=Eμ ნებისმიერი სიმრავლეა. ჯერ
ინდუქციის მეთოდით ავაგოთ { }∞=1iiG სიმრავლეთა მიმდევრობა, რომელსაც გააჩნია შემდეგი თვისებები:
(ა) QGGG ii =⊂⊂+ 11 ( ),...2,1=i ;
(ბ) ყოველი iG ( ),...2,1=i სიმრავლე არის არაუმეტეს თვლადი
გაერთიანება ( ) ( ) ( )[ ]ik
ik
ik TT βα ,= ( ),...2,1=k ჰაარის სიმრავლეებისა,
რომელთაც წყვილწყვილად არ გააჩნიათ საერთო შიგა წერტილი; (გ) ნებისმიერი Ni∈ -სთვის ( ) EGG ii I1\ + სიმრავლის ყოველი
წერტილი არის ერთ-ერთი ( )ikα , ( )i
kβ ( ),...2,1=k წერტილებიდან.
(დ) ნებისმიერი Ni∈ -სთვის ყოველი ( ) ( )[ ]11 , ++ ik
ikT βα ( ),...2,1=k
სიმრავლე შედის ( ) ( )( )ij
ijT βα , ( ),...2,1=j სიმრავლეებიდან ერთ-ერთში.
(ე) ნებისმიერი Nki ∈, -სთვის და ( ) 1+≥ ikrl , Nl∈ , სადაც ( )i
kr
არის ( ) ( )[ ]ik
ikT βα , სიმრავლის რანგი, სრულდება შემდეგი უტოლობები
( ) ( ) ( )[ ]( ) 8121 2, −−−
+ <−+ llik
iki kkATG ααμ I და ( ) ( ) ( )[ ]( ) 8
121 2, −−−+ <−− li
kli
ki kkATG ββμ I .
ქვემოთ ყველგან ვიგულისხმებთ, რომ ( ) ( )( )[ ] 12log
−= i
ki
k Tr μ და
ვუწოდებთ ( )ikT Nki ∈, ჰაარის სიმრავლის რანგს.
70 ვთქვათ გვაქვს ,,...,, 21 mGGG 2≥m სიმრავლეები, რომლებიც
აკმაყოფილებენ (ბ) პირობას, როცა mi ≤≤1 და (ა), (გ), (დ), (ე) პირობებს, როცა 11 −≤≤ mi . ავაგოთ სიმრავლე 1+mG .
ვთქვათ Nk ∈ . სიმრავლე ( ) ( )( )mk
mkT βα , წარმოვადგინოთ
შემდეგნაირად
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ](( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ])121
12
11212
1
,
,,
kkAkkAT
kkAkkATT
jmk
jmk
rj
jmk
jmk
mk
mk
mk
−−−−
−+−+=
−−−
∞
+=
−−−
ββ
ααβα
U
UU
რადგან ( ) 0=Eμ , ამიტომ ყოველი ( ) 1+≥ mkrj არსებობენ ღია
სიმრავლეები ( )mjkE , და ( )m
jkF , ისეთი, რომ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )mjk
jmk
jmk EkkAkkATE ,1212
1 , ⊂−+−+ −−− ααI ;
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )mjk
jmk
jmk FkkAkkATE ,12
112 , ⊂−+−+ −−− ββI ;
( )( ) 10, 2 −−< jmjkEμ და ( )( ) 10
, 2 −−< jmjkFμ ( ) ( )( ),...2,1 ++= m
km
k rrj .
რადგან ( )mjkE , და ( )m
jkF , სიმრავლეები ღიაა, ამიტომ ლემა 3.1.2.-ის
თანახმად ისინი შეიძლება წარმოვადგინოთ ჰაარის სიმრავლეების გაერთიანების სახით, რომელთაც არ გააჩნიათ საერთო შიგა წერტილი.
განვიხილოთ სიმრავლეები ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )m
jkjm
kjm
km
jk EkkAkkATE ,12121
, ,~I−+−+= −−− αα .
რადგან ( )( ) 10, 2 −−< jmjkEμ , ამიტომ ( )m
jkE , სიმრავლის ჰაარის სიმრავლეებით
წარმოდგენაში თითოეული ჰაარის სიმრავლე ან მთლიანად შედის ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1212
1 , kkAkkAT jmk
jmk −+−+ −−− αα სიმრავლეში ან არ გააჩნია ამ
სიმრავლესთან საერთო შიგა წერტილი, ამიტომ ( )mjkE ,
~ წარმოდგება იმ
ჰაარის სიმრავლეების გაერთიანების სახით, რომლებიც მთლიანად
შედის როგორც ( )mjkE , , ასევე ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1212
1 , kkAkkAT jmk
jmk −+−+ −−− αα
სიმრავლეში. ანალოგიური მსჯელობით
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )mjk
jmk
jmk
mjk FkkAkkATF ,12
112, ,~
I−+−+= −−− ββ
71 სიმრავლეები შეიძლება წარმოვადგინოთ ჰაარის სიმრავლეების გაერთიანების სახით, რომელთაც არ გააჩნიათ საერთო შიგა წერტილი.
ვთქვათ,
( ) ( )( )( )
U U U
∞
=
∞
+=
+ =1 1
,,1~~
k rj
mjk
mjkm
mk
FEG .
ცხადია ეს სიმრავლე წარმოდგება წყვილწყვილად საერთო შიგაწერტილების არმქონე ჰაარის სიმრავლეების გაერთიანების სახით.
ვთქვათ, ( ) ( )[ ]U∞
=
+++ =
1
111 ,
k
mk
mkm TG βα ერთ-ერთი ასეთი წარმოდგენაა.
ცხადია 1+mG აკმაყოფილებს (ბ) პირობას, როცა 1+= mi და პირობებს (ა), (დ), როცა mi = . რადგან
( ) ( ) ( )[ ]( )( )U II
∞
=++ =
111 \,\
km
mk
mkmm EGTGGE βα ,
( ) ( )( ) 1, +⊂ mm
km
k GTE βαI
და ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )mk
mk
mk
mkm TTG βαβα ,,1 ⊂+ I ,
ამიტომ სრულდება პირობა (გ), როცა mi = . დაგვრჩა (ე) პირობის შემოწმება.
1+mG სიმრავლის აგების თანახმად
( ) ( ) ( )[ ] ( )UI
∞
−=
−+ ⊂−+
1,121
~,li
mjk
lmk
mkm EkkATG αα , როცა ( ) 1+> m
krl
და
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⊂−+
∞
=
−+ U UI
li
mlk
mjk
lmk
mkm FEkkATG ,,121
~~,αα , როცა ( ) 1+= mkrl ,
ამიტომ გვექნება
( ) ( ) ( )[ ]( ) 8
1
10121 22, −−
∞
−=
−−−+ =<−+ ∑ l
lj
jlmk
mkm kkATG ααμ I , როცა ( ) 1+> m
krl
და
72
( ) ( ) ( )[ ]( ) 81010121 222, −−
∞
=
−−−−−+ =+<−+ ∑ l
lj
ljlmk
mkm kkATG ααμ I , როცა
( ) 1+= mkrl .
ანალოგიურად შემოწმდება, რომ ( ) ( ) ( )[ ]( ) 8
121 2, −−−+ <−− lm
klm
km kkATG ββμ I , როცა ( ) 1+≥ mkrl .
ანუ სრულდება (ე) პირობა. ეს კი ნიშნავს, რომ გვაქვს { }∞=1iiG
სიმრავლეთა მიმდევრობა, რომელიც აკმაყოფილებს (ა) _ (ე) პირობებს. (ე) პირობიდან, როცა ( ) 1+≥ i
krl მარტივად ვღებულობთ, რომ ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( )i
ki
ki
ki
ki TTG βαμβαμ ,2, 81
−+ <I , ( ),...2,1=i ( )1.2.3
განვმარტოთ if , ,...2,1=i ფუნქციები შემდეგნაირად:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∈
−−≡∈
−+−+≡∈
=∞
=
−−+−−
∞
=
+−−−−
ii
nk
nrik
nriki
nk
nrik
nriki
i
BAQt
ATBt
kkAkkATAt
tfi
ki
k
ik
ik
U
U
U
\,0
2,,1
,,1
1,
212
1,12
1212
2
ββ
αα
( )2.2.3
და განვმარტოთ ფუნქცია f
( )
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∈
∈
= ∞
=
+
I1
1
,0
\,
ii
iii
Gt
GGttf
tf , ( ),...2,1=i ( )3.2.3
(ა) და (ბ) პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ ( )tf ფუნქციის განმარტება კორექტულია.
შევნიშნოთ, რომ 01
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ∞
=Ii
iGμ , მარტივი დასანახია აგრეთვე, რომ
f ფუნქცია არის ( )[ ]U U
∞
=+
11\
iiii GBA სიმრავლის მახასიათებელი
ფუნქცია.
roca
roca
roca
roca
roca
73 ვთქვათ, Ex∈ . (გ) პირობის თანახმად, ან 1) x არის ერთ-ერთი
( )ikα , ( )i
kβ ( ),...2,1, =ki წერტილებიდან ან 2) I∞
=
∈1i
iGx . ბოლო
შემთხვევაში ყოველი 1≥i -სთვის არსებობს ისეთი რიცხვი Nmi ∈ , რომ ( ) ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛∈ i
mi
m iiTx βα , ( ),...2,1=i .
ჯერ განვიხილოთ 1) შემთხვევა. ვთქვათ, რომელიღაც i და k -სთვის წერტილი x არის ( )i
kα . განვიხილოთ კოეფიციენტები
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎟
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−= ∫∫⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−−−+−−−+ 12,12
112
1,
22
kknpAikkknpAi
kTkknpAik
ikT
dttfdttffan
nn
pqp
αααα
, ( )4.2.3
სადაც ( ) nrp ikn 2+= , mqn = , m ნატურალური რიცხვი აღებულია
ტოლობიდან ( ) ( )∑∞
+=
− +=1
1sj
ms
jik kkAα .
( )1.2.3 , ( )2.2.3 , ( )3.2.3 და (ე) პირობების თანახმად პირველი ინტეგრალისთვის გვექნება
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
8
121
10
22
,
,,
24
2
,22
121
121
121
−−−
−−+
∞
=
−−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−≥
≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−≥
≥−−
−≥
∑
∫
∫∫
−−
−−−−
nn
nn
npik
ik
npik
ik
npik
ik
pp
pik
iki
j
jp
kkAT
i
kkAT
i
kkAT
kkATG
dttftf
dttfdttf
ααμ
αα
αααα
I
, ( ),...2,1=n ( )5.2.3
f ფუნქციის განმარტების თანახმად ვღებულოვთ, რომ
74
( )( ) ( ) ( ) ( )
0
12121 ,
=∫⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+ −−− kkAkkAT npi
knpi
k
dttf
αα
, ( ),...2,1=n
( )2.2.3 , ( )3.2.3 და (ე) პირობიდან ვღებულობთ
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )
≤−∫⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+ −−−
12121 , kkAkkAT
i
npik
npik
dttftf
αα
( ) ( ) ( ) 1121 2,2 −−−
+ ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+≤ nn ppi
ki
ki kkATG ααμ I , ( ),...2,1=n
და შესაბამისად
( )( ) ( ) ( ) ( )
7
,
2
12121
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
≤∫−−−
n
npik
npik
p
kkAkkAT
dttf
αα
, ( ),...2,1=n ( )6.2.3
ეხლა ( )4.2.3 , ( )5.2.3 და ( )6.2.3 ის გათვალისწინებით გვექნება
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )161
22 2
>≥ fafa nn
n
nn
nn
qp
pi
kq
pq
p αχ , ( ),...2,1=n .
თუ x არის რომელიმე ( )ikβ წერტილი Nik ∈, . ამ შემთხვევაშიც
მსჯელობა ჩატარდება ანალოგიურად. ანუ ( )( ) ( ) ( )( )
161
>ik
vu
vu
nn
nn
fa βχ , ( ),...2,1=n .
ეხლა განვიხილოთ 2) შემთხვევა
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−= ∫∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
−−−− iim
iliim
iliim
iim
ii
i
kkATkkAT
ld
l dttfdttffa
βααα ,,
2
121
121
2 ,
75
სადაც ( )imi i
rl = და mdi = , m ნატურალური რიცხვი აღებულია
ტოლობიდან ( ) ( )∑∞
+=
− +=1
1sj
mn
jin kkA
iα ( ),...2,1=i .
( )2.2.3 , ( )3.2.3 და (ე) პირობების ძალით გვექნება
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
+≥ ∫∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
−−−−12
112
1 ,, kkAT
i
kkAT iliim
iim
iliim
iim
dttfdttf
αααα
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 7212
11
0
2
,
22,22
121
−−−−−−+
∞
=
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
−≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−≥
≥−+
∑
∫−−
iiiii
i
iliim
iim
lllim
imi
j
l
kkAT
i
kkATG
dttftf
ααμ
αα
I
, ( ),...2,1=i
და
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 71012
11
10
,
,,
22,22
121
121
121
−−−−−−+
−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
+≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−≤
≤−+
+≤
∫
∫∫
−−
−−−−
iii
ii
i
iim
iliim
iim
iliim
iim
iliim
llim
limi
l
kkAT
i
kkAT
i
kkAT
kkATG
dttftf
dttfdttf
βαμ
βα
βαβα
I
, ( ),...2,1=i
ასე, რომ ( )( ) ( )( ) ( )1062 222 −−−−−− −−≥ iiii
ii
illl
id
ld
l Cxfa χ ,
სადაც iC არის ან ნული ან n
il2, n არის მაქსიმალური რაოდენობა
ერთნაირ ზომიანი ჩაკეტილი ჰაარის სიმრავლეებისა, რომელთაც გააჩნიათ არაცარიელი თანაკვეთა და რადგან ეს რაოდენობა კონკრეტული A წრფივი გარდაქმნისთვის (იხ. გვ. 6) ფიქსირებული
76 შემოსაზღვრული რიცხვია, ამიტომ iC მიმდევრობაში გვხვდება
უსასრულო რაოდენობა n
il2 რიცხვები და ზუსტად ამ i
ინდექსებისთვის ( )( ) ( )( )
nxfa i
ii
i
dl
dl 8
1≥χ , ( )K,2,1=i
შესაბამისად მივიღეთ, რომ f ფუნქციის ფურიეს მწკრივი { }∞=1nnχ
ჰაარის ტიპის სისტემის მიმართ განშლადია E სიმრავლის ყოველ
წერტილში. თეორემა დამტკიცებულია.
77 literatura
1. Wojtaszczyk P., A mathematical introduction to wavelets, Cambrige University
Press, 1977.
2. Казарян К. С., О мультипликативном дополнении некоторых неролных
ортонормированных систем до базисов в pL , ∞<≤ p1 , Analysis Math., 4,
No.1,1978, pp. 37-52.
3. Казарян К. С., О мультипликативном дополнении некоторых систем,
Изв. А Н Арм. ССР, #4, 1978, C. 315-351.
4. Kazarian K. S., On bases and unconditional bases in the spaces )( μdLp ,
∞<≤ p1 , Studia Math., 71, No.3, 1982, pp. 227-249.
5. Бугадзе В. М., О расходимости рядов Фурье-Хаара ограниченных функции
на множествах меры нуль, Мат. Заметки, 51, 1992, С 20-26.
6. Melikidze Z., On the multiplicative complementation of some incomplete Haar
type orthonormalized systems to bases in ,pQL ∞<≤ p1 , Bulletin of the
Georgian Academy of Sciences, v. 170, No. 1, 2004, pp. 30-32.
7. Melikidze Z., On the multiplicative complementation of some incomplete Haar
type orthonormalized wavelet systems to bases in ,pQL ∞<≤ p1 , Bulletin of
the Georgian Academy of Sciences, v. 172, No. 1, 2005, pp. 17-19.
8. Melikidze Z., On bases of multidimentional Haar type wavelet systems in the
spaces ( ),μdLpQ ∞<≤ p1 , Proc. A. Razmadze Math. Inst., v. 139, 2005, pp.
61-70.
9. Melikidze Z., On noncorvergence of Fourier-Haar type series of bounded
functions on the sets with measure zero, Bulletin of the Georgian Academy of
Sciences, v. 170, No. 3, 2004, pp. 450-451.
10. Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionen systeme, Math. Ann., 69,
1910, pp. 331-371.
78 11. Кашин Б. С., Саакян А. А., Ортогональные ряды, М. :Наука, 1984.
12. Braun Ben-Ami, On the multiplicative completion of certain basic sequences in
,pL ∞<< p1 , Trans. Amer. Math. Soc., 176, 1973, pp. 499-508.
13. Бабенко К. Н., О сопряженних функциях, Докл. АН СССР, 12, №2, 1948, С
157-160.
14. Банах С., Курс функцiонального аналiзу, Киiв, Радянська школа, 1948.
15. Кранцберг А. С., О базисах системы Хаара в весовом пространстве,
Моск. Инст. Электр. Мат., 24, 1971.
16. Hunt R., Muckenhoupt B. and Wheeden R., Weighted norm inequalities for the
conjugate function and Hilbert transform, Trans. Amer. Math. Soc., 176, 1973,
pp. 227-251.
