ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1

ΠΛΗ20

ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2

Μάθηµα 5.1:

Παραστάσεις Γραφηµάτων

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Θεωρία

1. Πίνακας Γειτνίασης

1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα

2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα

3. Θεώρηµα Υπολογισµού Μονοπατιών

2. Πίνακας Προσπτώσεως

1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα

2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα

Γ. Λυµένες Ασκήσεις

∆. Ασκήσεις

1. Ασκήσεις Κατανόησης

2. Ερωτήσεις

3. Εφαρµογές

2 ∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α

Νέοι Ορισµοί (Πίνακας Γειτνίασης – Πίνακας Πρόσπτωσης)

Ασκήσεις: Ερωτήσεις

Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης

Επίπεδο Β

Ασκήσεις: Εφαρµογές

Επίπεδο Γ

Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις


Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:

B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


Ορισµός:

Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος

G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:

Α , 1, , ∈ 0, , ∉

Α

0111101011001001

B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε απλά µη

κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:

• Συµµετρικός ως προς

την κύρια διαγώνιο

κορυφές

κορυφές

Το στοιχείο , είναι

0: αν δεν υπάρχει η ακµή που συνδέει τις , 1: αν υπάρχει η ακµή που συνδέει τις ,

Άθροισµα των στοιχείων της

γραµµής i ισούται µε d Άθροισµα των στοιχείων της

στήλης j ισούται µε d Άθροισµα όλων των στοιχεί-

ων του πίνακα ισούται µε d 2

ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:

B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


Ορισµός:

Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος

G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:

Α , 1, , ∈ 0, , ∉

Α

0101000011000001

B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε

κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:

κορυφές

κορυφές

Το στοιχείο , είναι

0: αν δεν υπάρχει η ακµή από την στην 1: αν υπάρχει η ακµή από την στην

Άθροισµα των στοιχείων της

γραµµής i ισούται µε έξω

βαθµό κορυφής !" Άθροισµα των στοιχείων της

στήλης j µε έσω βαθµό κορυφής !#

Άθροισµα όλων των στοιχεί-

ων του πίνακα ισούται µε !"

ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2

B. Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 3. Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών)


Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών):

Το στοιχείο $, % του πίνακα Α& (ο πίνακας γειτνίασης υψωµένος στην k δυναµη) δίνει

πόσα µονοπάτια µήκους k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή

Πόρισµα 1:

Το στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α (⋯( Α& δίνει πόσα µονοπάτια µήκους το πολύ k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή

Πόρισµα 2:

Αν ένα µη διαγώνιο στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α (⋯( Α# (όπου n=|V| ) είναι 0,

τότε το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο.

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής

B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


Ορισµός:

Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός µη κατευθυνόµενου

γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:

Α* , +1, ,-./01,23 3-/.4,560, 773ώ5

666669Α

00011001110010100110

6 6 6 6 69

B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα πρόσπτωσης σε απλά

µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:

Κορυφές

Ακµές

6 Το στοιχείο , είναι

0: αν η ακµή 6 δεν είναι

άκρο της 1: αν η ακµή 6 είναι

άκρο της Άθροισµα των στοιχείων της

γραµµής i ισούται µε d Μία στήλη έχει:

• 2 άσσους

• n-2 µηδενικά

Άθροισµα όλων των στοιχεί-

ων του πίνακα ισούται µε 2 ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: nm

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής

B. Θεωρία 2. Πίνακας Πρόσπτωσης 2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα


Ορισµός:

Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός κατευθυνόµενου

γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:

Α* , : 1, ,-./01, 23 3/;,4,56<1, ,-./01,23 3=2/54,560, 773ώ5

666669Α

0<101 <1001

<1100 10<10

01<10

6 6 6 6 69

∆. Ασκήσεις Άσκηση Κατανόησης 1


∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους

πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n≥2)

1. Α a, +0, $ ? %2, $ %

2. Α a, +1, $ ? %0, $ %

3. Α a, :1, $ % ( 1, % 1, … , C < 11, $ % < 1, % 2,…C0, 773D5



∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους

πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n:άρτιος≥2)

1. Α a, 0 $ %1, $ ? %, 1 E $ E , 1 E % E 1, $ ? %, F $ E C, F % E C0, 773D5

2. Α a, G0, 1 E $ E , 1 E % E 0, F $ E C, F % E C1, 773D5



Να σχεδιαστεί ένα απλό συνδεδεµένο µη-κατευθυνόµενο γράφηµα, χωρίς

ανακυκλώσεις, για το οποίο ο πίνακας γειτνίασης και ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ίδιοι

όταν τηρείται η ίδια διάταξη των κορυφών και στους δύο πίνακες (εξαιρείται το τετριµµένο

γράφηµα).



Για µη-κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις, αν Μ είναι ο πίνακας

πρόσπτωσης, να εξετάσετε τι αναπαριστούν (i) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Μ·ΜΤ,

και (ii) τα µη διαγώνια στοιχεία του Μ·ΜΤ. Υπενθυµίζεται ότι ΜΤ είναι ο ανάστροφος

πίνακας του Μ.

∆. Ασκήσεις Ερωτήσεις 1


Στο ακόλουθο γράφηµα εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες

Προτάσεις που αφορούν τον πίνακα γειτνίασης Α του γραφήµατος:

1. Το άθροισµα των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 8

2. Το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α2 ισούται µε 8

3. Το στοιχείο (2,2) του πίνακα Α3 ισούται µε 2

4. Κανένα στοιχείο του πίνακα Α+Α2 δεν είναι ίσο µε 0



Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη

κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος.

1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των

στοιχείων της i-οστης στήλης.

2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος.

3. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Π είναι ίσο µε το άθροισµα των

στοιχείων της i-οστης στήλης.

4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε µηδενικά.



Έστω Kn το πλήρες γράφηµα µε n ≥ 3 κορυφές, Α ο πίνακας γειτνίασης του Kn, και Μ ο

πίνακας πρόσπτωσης του Kn. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες

όχι;

1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1.

2. Ο αριθµός των στοιχείων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε n2(n–1) / 2.

3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε3 .

4. Το αθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α ισούται µε n

∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 1


Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του Κ5. Συµβολίζουµε µε dn την κοινή τιµή των διαγωνίων

στοιχείων του Αn και µε an την κοινή τιµή των µη διαγωνίων στοιχείων του Αn. ∆είξτε µε

µαθηµατική επαγωγή ότι ισχύουν τα εξής (α) an+1=dn+3an (β) dn+1=4an

∆. Ασκήσεις Εφαρµογή 2


Γράψτε τον πίνακα γειτνίασης Α για το γράφηµα G που απεικονίζεται στο παρακάτω

σχήµα και εξετάστε τη σχέση

(i) των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α2 µε τους βαθµούς των κορυφών

του G και

(ii) του ίχνους του πίνακα Α3 (ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισµα των

διαγώνιων στοιχείων του) µε τον αριθµό των τριγώνων (κύκλων µήκους 3)

του G .

V3

V4

V2

V1

V5

G

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1

Education

Transcript of ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1