2 Sz+¦veges feladatok

S Z V E G E S F E L A DAT O K

1. Egyenletek alkalmazsa feladatmegoldsban (emlkeztet)

1. plda Andinak hromszor annyi knyve van, mint Gyurinak. Kettejknek sszesen 844 knyvk van. Hny knyve van Gyurinak s Andinak? 1. megolds Rajzoljunk!Gyuri knyvei Andi knyvei

15253x + 3x = 844 4x = 844 x = 211 _________ _________ /4

844

Ltjuk, hogy a 844 knyv ppen Gyuri knyveinek 4-szerese. gy 844 Gyurinak = 211 knyve, Andinak pedig 3 211 = 633 knyve van. 4844 1555552555553 x 844 xAndi knyvei Gyuri knyvei

Ellenrzs: 211 + 633 valban 844.

2. megolds rjunk fel egyenletet!Legyen Gyuri knyveinek szma x; Andi knyveinek szma 3x. Gyuri s Andi knyveinek szma 844, ezrt

Andi knyveinek szmt 844 x alakban is rhattuk volna. Ekkor az egyenlet felrshoz azt az informcit hasznljuk fel, hogy 3-szor annyi knyve van, mint Gyurinak: 3x = 844 x.

Vlasz: Gyurinak 211, Andinak pedig 3 211 = 633 knyve van.50

2. plda A bfben az albbi hirdetmnyt lttuk:A hirdetmnyben szerepl hrom sszeg a feladat megoldsa szempontjbl hrom felttelnek tekinthet.

Mennyibe kerl a sti, a pizzaszelet s az dt kln-kln?

1. megolds Legyen az dt ra x forint. Az 1. felttelbl: a sti ra 470 x forint; a 2. felttelbl: a pizzaszelet ra 530 x forint; a 3. felttelbl: a kett ra egytt 470 x + 530 x = 560.470 x + 530 x = 560 1000 2x = 560 2x = 440 x = 220 Ellenrzs: Az dt ra 220 Ft. Az 1. felttelbl: a sti ra 470 220 = 250 (Ft); a 2. felttelbl: a pizzaszelet ra 530 220 = 310 (Ft); a 3. felttelbl: a sti s a pizza ra sszesen 560 (Ft). Vlasz: Egy sti ra 250 Ft, egy pizzaszelet 310 Ft, egy dt pedig 220 Ft. / 1000 / (2)

Az egyenlet felrsakor minden felttelt figyelembe kell venni.

2. megolds Legyen a sti ra s. Ekkor az dt s a pizzaszelet rnak sszege:(470 s) + (560 s) = 530 1030 2s = 530 2s = 500 s = 250 / 1030 / (2)

gy a sti ra 250 Ft. Egy dt 470 250 = 220 Ft-ba, a pizzaszelet pedig 560 250 = 310 Ft-ba kerl.

A 2. pldban az egyik ru rt jelltk ismeretlennel. Ennek segtsgvel a feladatban szerepl felttelek alapjn egyenletet rtunk fel, amelybl az ismeretlent meghatroztuk. Ezt felhasznlva a feladat tbbi krdsre is vlaszoltunk. Brmelyik ru rt tekinthettk volna ismeretlennek, mindhrom vlaszts ugyanahhoz az eredmnyhez vezetett volna.51


3. plda Egy kosrlabda-egyesletbe 20-szal tbb lny jr, mint fi. Ha csak feleennyi lny jrna, a fik 5-tel tbben lennnek. Hny sportol van sszesen az egyesletben? Hny fi s hny lny jr az egyesletbe? 1. megolds Rajzoljunk!a fik szma 20 a lnyok szma

3555555525555555135555555255555551a lnyok szmnak fele 25

A rajzrl leolvashat, hogy a lnyok szmnak fele 25. Vagyis a lnyok szma 50, a fik szma 50 20 = 30. Ellenrzs: A lnyok szmnak fele 25, ez valban 5-tel kevesebb a fik szmnl. Vlasz: gy az egyesletbe 50 lny s 30 fi, sszesen 80 sportol jr.

2. megolds rjunk fel egyenletet! Legyen a fik szma f. Ekkor a lnyok szma f + 20. f + 20 Ha feleennyi lny lenne, akkor -en lennnek. 2 A fik szma ennl 5-tel tbb.Az egyenletet ktflekppen is felrhatjuk: f + 20 +5=f 2 f + 20 + 10 = 2f f + 30 = 2f 30 = f ________ ________ /f /2 f + 20 =f5 2 f + 10 = f 5 2 f + 15 = f 2 f 15 = 2 30 = f ________ ________

Ellenrzs: a msik megoldssal. Vlasz: A fik szma teht 30, a lnyok f + 20 = 30 + 20 = 50. sszesen 30 + 50 = 80 sportol jr az egyesletbe.52

3555552555551

5

/ +5 / f 2

/ + 10

Kt mennyisg kapcsolatt ltalban tbbflekppen is felrhatjuk.a 5 1552553 b

a-nl 5-tel nagyobb a b a 5-tel kevesebb, mint a b b s a klnbsge 5

a+5=b a=b5 ba=5

4. plda Egy teleplsen a szmtgp-tulajdonosok 30%-a az AlfaNet, egynegyed rsze a BtaNet, a szmtgp-tulajdonosok 20%-nl 1600-zal kevesebben a GammaNet szolgltattl rendeltek internetet. 4800 szmtgp-tulajdonos mg nem rendelkezik internet-elfizetssel. Hny szmtgp-tulajdonos van ezen a teleplsen? Megolds Legyen a szmtgp-tulajdonosok szma x.Az AlfaNetnl rendelt internetszolgltatst: 0,3 x 1 A BtaNetnl rendelt internetszolgltatst: x 4 A GammaNetnl rendelt internetszolgltatst: 0,2 x 1600 Nem rendelkezik internet-elfizetssel: 4800

x

A szmtgp-tulajdonosok szmt ktflekppen is felrhatjuk: 0,3 x + 1 x + 0,2 x 1600 + 4800 = x 4 3 x + 3200 = x 4 1 3200 = x 4 12 800 = x ____________ ____________

3 x 4 / 4 /

Ellenrzs: AlfaNetnl: BtaNetnl: GammaNetnl:

0,3 12 800 = 3840 1 12 800 = 3200 4 0,2 12 800 1600 = 3960

Nem elfizet: 4800 ____________________________________________________ A szmtgp-tulajdonosok szma: 12 800

Vlasz: Ezen a teleplsen 12 800 szmtgp-tulajdonos van. Szveges feladatokat tbbfle mdszerrel is meg lehet oldani, pl. bra ksztsvel, kvetkeztetssel vagy egyenletek megoldsval. Nem mindig az egyenletek felrsval trtn megolds a legrvidebb. Hogy mikor melyik mdszert hasznljuk, azt feladatonknt eldnthetjk.53


Feladatok1. dm s Brigi zsebben sszesen 3700 Ft van. Brigi zsebben 100 Ft-tal tbb van, mint az dm zsebben lv pnz tszrse. Melyikk zsebben mennyi pnz van? 2. Gerg s goston kitzket gyjtenek. gostonnak hromszor annyi kitzje volt, mint Gergnek. goston elvesztett 5-t, Gerg pedig kapott mg 25-t, gy most ugyanannyi kitzjk van. Melyikknek hny volt eredetileg? 3. Ngy rabl osztozik a zskmnyolt 520 aranyon. A frabl ngyszer annyi aranyat kap, mint a msik hrom sszesen. A msodik szm rabl hromszor annyit kap, mint a 3. s 4. sszesen. A 3. rabl ktszer annyi aranyat kap, mint a 4. rabl. Mennyit kaptak az egyes rablk, ha tudjuk, hogy ngyen sszesen 100 aranyat jtkony clra fordtanak? 4. Eszti szlinapi tortjnak 2 1 -t az nnepelt, -t pedig testvre, Dvid ette meg. 5 3 A csald tbbi tagja a maradk 200 grammon osztozott. Mekkora volt a torta? Hny gramm tortt evett Eszti s Dvid kln-kln?

5. Gondoltam egy szmra. Hozzadtam 3-at, majd az eredmnyt elosztottam 5-tel. A kapott szmhoz hozzadtam a gondolt szm felt. gy a gondolt szmnl 9-cel kisebb szmot kaptam. Melyik szmra gondoltam? 6. Hrom nyuszi megevett egy halom kposztt. A legkisebb megette az sszes felt. A kzps a kposztk harmadnl 2-vel kevesebbet evett meg, mg a legnagyobb a kposztk hetednl 4-gyel tbbet. Hny kposztt ettek meg egytt s kln-kln? 7. Egy koncertre a jegyek 35%-t az interneten keresztl, egyharmadt a jegyirodkban, 2300 darab jegyet pedig a helysznen rtkestettek. A jegyek 10%-nl 300-zal tbb jegyet nem sikerlt eladni. Hny jegy volt sszesen, s ebbl hnyat adtak el? 8. Apa s Peti egytt 51 vesek. Anya s Peti egytt 49 vesek. Apa s Anya egytt 74 vesek. Melyikk hny ves? 9. Alskukutyin, Nagykukutyin s Kukutyin hrom szomszdos falu, amelyeknek sszesen 4200 lakosa van. Alskukutyinban 100-zal tbben laknak, mint Kukutyin llekszmnak fele, Nagykukutyinban viszont 100-zal kevesebben, mint Kukutyin llekszmnak ktszerese. Melyik falunak hny lakosa van? 10. t egymst kvet pros szm sszege 210. Melyek ezek a szmok?Rejtvny

6 tirp 4 plikket s 6 plokkot r, 12 tirp viszont 9 plikket s 7 plokkot. Hny plokkot r egy plikk? 54

2. Hny ves a kapitny?

1. plda Zsolti 7 ves, desanyja 29 ves. Hny v mlva lesz Zsolti desanyja ppen ktszer annyi ids, mint Zsolti? Megolds Jelljk a keresett vek szmt x-szel! Kt idpontban van informcink Zsolti s desanyja letkorrl: most s x v mlva. Ezeket az albbi tblzatban foglalhatjuk ssze:most Zsolti desanyja 7 29 x v mlva 7+x 29 + x

x v mlva az anya letkora Zsolti letkornak 2-szerese lesz. Az egyenlsg felrshoz vagy a kisebb kifejezst szorozzuk 2-vel, vagy a nagyobbat osztjuk 2-vel. 2 (7 + x) = 29 + x 14 + 2x = 29 + x 14 + x = 29 x = 15 /x / 14 29 + x 2 14 + 2x = 29 + x 14 + x = 29 x = 15 7+x= /2 /x / 14A kt felrsi md ugyanarra az egyenletre vezetett.

Ellenrzs: 15 v mlva Zsolti 7 + 15 = 22 ves; desanyja 29 + 15 = 44 ves lesz. 2 22 valban 44. Vlasz: Zsolti desanyja 15 v mlva lesz ktszer annyi ves, mint Zsolti. Az adatok s a kztk lv kapcsolatok lejegyzshez gyakran hasznlunk tblzatot. Kt vagy tbb dolog klnbz llapotnak alakulst tlthatv teszi a tblzatos lejegyzs.55


2. plda Egy matektanr 10 vvel ezeltt ppen hromszor annyi ids volt, mint a tantvnyai most. (A tantvnyok azonos letkorak.) Amikor a tantvnyai megszlettek, a tanr 32 ves volt. Hny ves most? Hny vesek a tantvnyok? 1. megoldsKsztsnk brt!32 a tanr letkora most

1552553a tantvnyok kora

A korklnbsg lland. Ha a tantvnyok szletsekor a tanr 32 ves volt, akkor most is 32 vvel idsebb nluk.

a tanr letkora 10 vvel ezeltt

155255315525531552553 15253a tantvnyok a tantvnyok a tantvnyok kora kora kora

35555552555555122 = 2 a tantvnyok kora

Vlasz: A tantvnyok 11 vesek, a tanr 43 ves most.

2. megolds Jelljk x-szel a tantvnyok jelenlegi letkort, s ksztsnk tblzatot!a tantvnyok kora most 10 vvel ezeltt x x 10 a tanr letkora x + 32 x + 22

A matektanr 10 vvel ezeltt ppen hromszor annyi ids volt, mint a tantvnyai most. Ez alapjn felrhatjuk a kvetkez egyenletet: x + 22 = 3 x 2x = 22 x = 11 /x /2

Ellenrzs: A tanr tantvnyai most 11 vesek. 10 vvel ezeltt a tanr 3 11 = 33 ves volt, teht most 43 ves. A tantvnyok 11 ve szlettek, akkor a tanr valban 43 11 = 32 ves volt. Vlasz: A tanr 43 ves, a dikok 11 vesek.56

3555555555525555555555110 32 10 = 22

15253

155555525555553

10

3. plda Amikor a hajsinas feleannyi ids lesz, mint a kapitny most, akkor a kapitny 75 vvel lesz idsebb, mint a hajsinas most. A kapitny s a hajsinas egytt most 85 vesek. Hny ves a kapitny? Megolds Jellje a kapitny mostani letkort x! Mivel az letkoruk sszege 85 v, a hajsinas 85 x ves.Ksztsnk tblzatot!kapitny most majd x 85 x + 75 hajsinas 85 x x 2

a hajsinas feleannyi ves lesz, mint a kapitny most

a kapitny 75 vvel lesz idsebb, mint a hajsinas most

Ltszlag minden felttelt felhasznltunk. Ha ez gy lenne, nem tudnnk egyenletet felrni. Azonban azt is tudjuk, hogy a kapitny s a hajsinas letkornak klnbsge mindig ugyanannyi. Ebbl kvetkezen: x x (85 x) = (85 x + 75) 2 x x 85 + x = 160 x 2 3 2x 85 = 160 x 2 4x 170 = 320 3x 7x 170 = 320 7x = 490 x = 70 Ellenrzs: Ha a kapitny 70 ves, a hajsinas 85 70 = 15. A kapitny mostani letkornak a fele 70 2 = 35, teht a hajsinas 20 v mlva lesz feleannyi ids, mint a kapitny most. 20 v mlva a kapitny 90 ves lesz, ami valban 75-tel tbb, mint a 15. Vlasz: A kapitny 70 ves. Gyakran elfordul, hogy a tblzat kitltsnl vagy az egyenlet felrsnl olyan sszefggseket is hasznlni kell, amelyek a szvegben nincsenek benne, de tudjuk, hogy teljeslnek. Ilyen volt itt az, hogy kt ember letkornak klnbsge az letk sorn mindig ugyanannyi.57x (85 x) = = x 1 (85 x) = = x 85 + x

/2 / + 3x / + 170 /7


4. plda Egy anya ezt mondja: Kt gyermekem letkora, tovbb letkoruk sszege is prmszm. letkoruk szorzata ppen az n letkorom fele. Mr elmltam 25 ves. Hny ves vagyok? Hny vesek a gyerekeim? MegoldsHa kt prmszm klnbsge 2, ezeket ikerprmeknek nevezzk. Az, hogy van-e ezek kztt legnagyobb, nyitott matematikai problma.

Az egyenletek hasznlata nem mindig clravezet, gy ms mdszert kell alkalmaznunk. Kt pozitv prmszm sszege csak gy lehet prmszm, ha az egyik szm a 2. (Mivel a 2 az egyetlen pros prmszm, minden ms esetben mindkt prmszm pratlan, ezrt az sszegk pros lenne, vagyis nem lehetne prm.) Az egyik gyerek teht 2 ves. Ksztsnk tblzatot, amelybe berjuk az sszes olyan prmet, amelyre a nla 2-vel nagyobb szm is prm. A szveges feladatoknl fontos, hogy az eredmnyek valszerek legyenek, teht addig rdemes folytatni a felrst, amg az anya letkora nem tl nagy.anya kisebb gyerek nagyobb gyerek gyerekek kornak gyerekek kornak szorzata letkora letkora letkora sszege 2 2 2 2 2 2 3 5 7 11 13 17 5 7 9 nem prm 13 15 nem prm 19 34 68 22 44 6 10 12 20

A tblzatot jabb sorokkal nem rdemes bvteni, hiszen egy 68 ves anynak mr nem lehet 2 ves gyereke, ennl idsebbnek pedig mg kevsb. Mivel az anya 25 ves elmlt, csak egyetlen lehetsges megolds van: az anya 44, a gyerekek pedig 2 s 11 vesek.Ksztsetek hasonl feladatot csaldtagjaitok letkorrl!

Ellenrzs: 2 s 2 + 11 = 13 is prm. 2 11 valban a 44 fele. Vlasz: Az anya 44, a gyerekek pedig 2 s 11 vesek.

Fontos odafigyelni a szvegben lv nyilvnval s rejtett sszefggseken kvl arra is, hogy az eredmny valsgszer legyen. A fenti pldnak enlkl nagyon sok megoldsa lenne.58

Feladatok1. Egy apa 45 ves, a lnya 19. Hny ves volt a lny, amikor az apja ppen hromszor annyi ids volt, mint ? 2. Egy 29 ves anynak 5 ves a fia. Hny v mlva lesz az anya ppen ktszer annyi ids, mint a fi? 3. dm 4 vvel idsebb, mint az ccse, Barnus. 3 v mlva dm ppen msflszer annyi ids lesz, mint Barnus. Melyikk hny ves? 4. Mi a foglalkozsa annak, aki 11 v mlva 5-szr annyi ves lesz, mint amennyi 9 vvel ezeltt volt? 5. Egy apa 1 vvel idsebb, mint fia letkornak ktszerese. 12 vvel ezeltt ppen 3-szor annyi ves volt, mint a fia. Melyikk hny ves most? 6. Balzs 4-szer annyi ves, mint a kutyja, Rex volt akkor, amikor Balzs 3 vvel volt idsebb, mint Rex most. Kettejk letkornak sszege most 18 v. Melyikk hny ves? Melyik fot brzolhatja ket?

7. Egy 50 vesnl fiatalabb apa 5 vvel idsebb, mint a legidsebb fia letkornak 7-szerese. Az apa s a fi letkornak sszege oszthat 5-tel. Hny vesek? 8. Egy anya 51 ves, lnyai 18 s 24 vesek. Hny vvel ezeltt volt az anya letkora ppen ktszer annyi, mint a lnyok letkora egytt? 9. Btym 6-szor annyi ids, mint n. 4 v mlva mr csak ktszer annyi ids lesz. Hny ves vagyok? Mi a baj ezzel a feladattal? 10. Egy apa 3 vvel ezeltt 2-szer annyi ids volt, mint a fia lesz 4 v mlva. A fia 3 vvel ezeltt tdannyi ids volt, mint az apa lesz 4 v mlva. Melyikk hny ves most?Rejtvny

A hajskapitny s a fia letkornak, tovbb a kapitny hajja (mterekben mrt) hossznak szorzata 172 159. Hny ves a kapitny? 59


3. Gondoltam egy szmra...

1. plda Gondoltam egy ktjegy pozitv egsz szmra, jegyeinek sszege 10. Ha szmjegyeit felcserljk, a kapott szm 1-gyel kisebb, mint az eredeti szm ktszerese. Melyik szmra gondoltam? 1. megolds rjuk fel a lehetsges szmokat!a szm 19 28 37 46 55 64 73 82 91 a jegyeit felcserlve 91 82 73 64 55 46 37 28 19 a szm 2-szerese 38 56 74 92 110 128 146 164 182itt teljesl a felttel

Mivel nincs sok olyan ktjegy szm, amelyre igaz, hogy jegyeinek sszege 10, megtehetjk, hogy minden lehetsget felrunk.

Vlasz: Egy szm felel meg a feltteleknek. A gondolt szm a 37.

2. megolds Jelljk a keresett szm els szmjegyt x-szel! Mivel a szmjegyek sszege 10, a msodik szmjegy 10 x.A szm rtkt gy kapjuk meg, hogy a tzes helyi rtken ll szmjegyet megszorozzuk 10-zel, s hozzadjuk az egyes helyi rtken ll szmjegyet: 10x + (10 x).60

Ksztsnk ismt tblzatot!tzes az eredeti szm a jegyek felcserlsvel kapott szm x 10 x egyes 10 x x a szm 10 x + 10 x = 9x + 10 10(10 x) + x = = 100 10x + x = 100 9x

Mivel tudjuk, hogy a msodik szm az eredeti ktszeresnl 1-gyel kisebb, a kvetkez egyenletet rhatjuk fel: 2(9x + 10) 1 = 100 9x 18x + 20 1 = 100 9x 18x + 19 = 100 9x 27x + 19 = 100 27x = 81 x=3

/ + 9x / 19 / 27

Ellenrzs: Az els szmjegy a 3, a msodik 10 3 = 7. A szmjegyeket felcserlve: 73 = 37 2 1 = 74 1. Vlasz: A keresett szm a 37.

Ha egy egsz szm szmjegyeirl van informcink, akkor rendszerint a helyi rtkek segtsgvel fel tudjuk rni a szm rtkt, amely olyan tpus adat, amelyik nem szerepel a szvegben. A ktjegy szmok felrsa a tzes szmrendszerben: 25 = 10 2 + 5; 37 = 10 3 + 7; 50 = 10 5 + 0 = 10 5. ltalnosan: ab = 10a + b Az abc hromjegy szmok felrsa tzes szmrendszerben: abc = 100a +10b + c.

Ahol a = 1; 2... 9 (9 szmjegy), b = 0; 1... 9 (10 szmjegy). gy 9 10 = 90 ktjegy szm van.

2. plda Egy ktjegy szm egyik szmjegye a msik ktszerese. Ha a szmhoz hozzadjuk a jegyei felcserlsvel kapott szmot, majd az eredmnyt elosztjuk 3-mal, akkor az eredeti szmnl 30-cal kisebb szmot kapunk. Melyik ez a szm?61


Megolds Most nem tudjuk, hogy a kt szmjegy kzl melyik a msik ktszerese. ppen ezrt kt esetet kell megvizsglnunk.1. Ha a msodik szmjegy az els ktszerese. Jellje az els szmjegyet x, ekkor a msodik 2x.tzes az eredeti szm a kapott szm x 2x egyes 2x x a szm 10x + 2x = 12x 10 2x + x = 21x

Az eredeti s a felcserlt szm sszegnek harmada amely 30-cal kisebb, mint az eredeti szm. Felrhatjuk a kvetkez egyenletet: 12 x + 21x = 12x 30 3 33 x = 12x 30 3 11x = 12x 30 11x + 30 = 12x 30 = x / + 30 / 11x

12 x + 21x , 3

x-szel egy szmjegyet jelltnk, ezrt ez nem lehet megolds. 2. Ha az els szmjegy a msodik ktszerese. Jelljk a msodik szmjegyet x-szel! Ekkor az els szmjegy 2x.tzes az eredeti szm a kapott szm 2x x egyes x 2x a szm 10 2x + x = 21x 10x + 2x = 12x

Felrhatjuk a kvetkez egyenletet: 21x + 12 x = 21x 30 3 33 x = 21x 30 3 11x = 21x 30 10x = 30 x=3 / 21x / (10)

Ha a msodik szmjegy 3, az els 2 3 = 6, a keresett szm a 63. Ellenrzs: 63 + 36 99 = = 33 , amely valban 30-cal kisebb, mint a 63. 3 3

Vlasz: A keresett szm a 63.62

Feladatok1. Egy ktjegy szm egyik szmjegye a msik hromszorosa. Soroljuk fel az sszes ilyen szmot! 2. Egy ktjegy szm egyik szmjegye a msik hromszorosa. Ha a szmhoz hozzadjuk a szmjegyei felcserlsvel kapott szmot, 88-at kapunk. a) Melyik lehet ez a szm? b) Mdostsuk gy a feladat szvegt, hogy csak egy megoldsa legyen! 3. Egy ktjegy szm els szmjegye 2-vel nagyobb, mint a msodik. A szmot megszorozva a szmjegyei felcserlsvel kapott szmmal az eredmny 1855. Melyik ez a szm? 4. Egy ktjegy szm szmjegyeinek sszege 8. A szmot a szmjegyei felcserlsvel kapott szmbl kivonva az eredmny 36. Melyik ez a szm? 5. Egy ktjegy szm els szmjegye 3-mal kisebb, mint a msodik. A szmjegyek felcserlsvel kapott szm ktszerest a szmhoz adva az eredmny 133. Melyik ez a szm? 6. Gondoltam egy ktjegy szmra. Szmjegyeinek sszege 7. A szmbl a szmjegyeinek felcserlsvel kapott szmot kivonva, majd az eredmnyt 2-vel megszorozva az eredeti szmnl 2-vel nagyobb szmot kapunk. Melyik szmra gondoltam? 7. Egy ktjegy szm msodik szmjegye 1. A szm jegyeinek klnbsgt a szm jegyeinek felcserlsvel kapott szmhoz adva az eredmny 15. Melyik ez a szm? *8. Tibi szmkdos kulcstartjt egy olyan hromjegy szm nyitja, amelynek els szmjegye a harmadik szmjegy hromszorosa. A msodik szmjegy 2-vel kisebb, mint az els. Ha az els s a harmadik szmjegyt felcserljk, majd az gy kapott szmot az eredetihez adjuk, az sszeg 888. Melyik hromjegy szm nyitja a kulcstartt? *9. Egy hromjegy szm els jegye 1-gyel, utols jegye 3-mal kisebb, mint a kzps jegy. Az els s msodik szmjegy felcserlsvel kapott szm az eredeti szmnl 180-nal kisebb. Melyik ez a szm? *10. Egy hromjegy szm msodik szmjegye fele a harmadiknak. Az els jegy 1-gyel nagyobb a msodiknl. Ha az els s harmadik szmjegyt felcserljk, az eredeti s a kapott szm sszege 1070. Melyik ez a hromjegy szm?

Rejtvny

Van-e olyan hromjegy szm, amelynek els s utols szmjegyt felcserlve ppen a szm ktszerest kapjuk? 63


4. Fogcska matematikus szemmel

Ha nem is rjuk ki mindig kln, sebessgen a feladatokban tlagsebessget rtnk.

1. plda Rme s Jlia tallkoznak. Amikor megpillantjk egymst, tvolsguk 60 mter. Termszetesen azonnal elkezdenek egyms fel m m szaladni: Rme 5 sebessggel, Jlia 3 sebessggel. Hny s s msodperc elteltvel rkeznek meg egymshoz? MegoldsRme 5 m s tallkozsi pont 3 m s Jlia

A sebessg egyenl a megtett t s az t megttelhez szksges id hnyadosval s t v t = s, s t= v v=

m , azt jelenti, hogy 1 msodperc alatt s 5 mtert tesz meg. Hasonlan, Jlia 1 msodperc alatt 3 mtert fut. Mivel egymssal szemben futnak, a kztk lv tvolsg msodpercenknt 5 + 3 = 8 mterrel cskken. Az, hogy Rme sebessge 5 A tallkozsig eltelt idt x-szel jellve felrhatjuk, hogy x msodperc alatt a tvolsguk 8x = 60 mterrel cskken. 8x = 60 60 x= 8 x = 7,5 Ellenrzs: Rme 7,5 msodperc alatt 5 m 7,5 = 37,5 mtert tesz meg. Jlia 7,5 msodperc alatt 3 m 7,5 = 22,5 mtert tesz meg. 37,5 m + 22,5 m = 60 mter. Ilyen messze voltak egymstl, amikor megpillantottk egymst. Vlasz: Rme s Jlia 7,5 msodperc mlva tallkoznak.64

/8

2. plda Egy macska 40 m tvolsgbl ldzbe vett egy egeret. Az egr azonnal futni kezdett az egrlyuk fel, a macska utna. A macska hromszor olyan gyorsan futott, mint az egr, gy ppen a lyuk eltt utolrte. Az ldzs mindssze 5 msodpercig tartott. Mekkora sebessggel futott a macska s az egr? Hny mtert futottak? 1. megolds Jelljk az egr sebessgt x-szel, s ksztsnk tblzatot a feladat adataival!t (s) egr macska 5 5 m v s x 3x

( )

s (m) 5x 5 3x = 15x

A macska 40 mterrel nagyobb utat tett meg, mint az egr. gy felrhatjuk a kvetkez egyenletet: 15x 5x = 40 10x = 40 x=4 Ellenrzs: Az egr tja: m 5 s = 20 m; s 60 20 = 40 (m) m 5 s = 60 m. a macska tja: sm = 12 s m m Vlasz: Az egr 4 sebessggel 20 mtert, a macska 12 sebess s sggel 60 mtert futott. se = 4 / 10

2. megolds Mivel a 40 mter tvolsg 5 msodperc alatt fogyott el, 1 msodperc alatt 8 mterrel kerlt kzelebb a macska az egrhez. Ez azt jelenti, m hogy a macska sebessge 8 -mal volt nagyobb, mint az egr. s Jellje az egr sebessgt x!A macsk ekkor 3x. 3x x = 8 2x = 8 x=4 Ellenrzs: A msik megoldssal. m m sebessggel 20 mtert, a macska 12 sebess s sggel 60 mtert futott. Vlasz: Az egr 465Ha egy feladatnak kt egymstl fggetlen megoldst is megadjuk, akkor az egyik megolds a msik ellenrzsnek is tekinthet.


3. plda Balatonfredrl dleltt 10 rakor indul egy szemlyhaj Sifokra, a menetideje 50 perc. Sifokrl ugyanakkor indul egy gyorsjrat, amely 20 perc alatt r Balatonfredre. Mikor lesz a kt haj egymstl (kzel) 1 km-re, ha a hajt 11 km, s a hajk vgig egyenletes sebessggel haladnak? Megolds A kt haj kt esetben lesz 1 km-re egymstl.11 km 655555555555555555575555555555555555558 Sifok Balatonfred 1 km a gyorsjrat tjamiutn elhaladtak egyms mellett

szembe haladnak egymssal

1. eset:

a szemlyhaj tja 1 km Balatonfred

2. eset:

Sifok a gyorsjrat tja

a szemlyhaj tja

A menetrend alapjn tudjuk a kt haj sebessgt:vszemly = 11 000 m 11 000 m m m ; vgyors = = 220 = 550 50 perc 20 perc perc perc

1. eset: Legyen a hajk mozgsideje a krdses tvolsgig x perc!m v perc

(

)

t (perc) x x

s (km) 220x 550x

szemlyhaj gyorsjrat

220 550

Ha a kt haj 1 km-re van egymstl, akkor egytt mr 10 km-t, azaz 10 000 m-t tettek meg, gy 220x + 550x = 10 000 770x = 10 000 x = 12,98 x 13 Ellenrzs: 13 perc alatt a szemlyhaj: sszemly = 200 13 = 2860 mtert, a gyorsjrat: Ekkor a tvolsguk: 11 000 (2860 + 7150) = 11 000 10 010 = 990 (m) 1 km. Vlasz: Elszr 13 perc mlva lesznek kzel 1 km-re egymstl.66

/ 770

sgyors = 550 13 = 7150 mtert tesz meg.

2. eset: Legyen a hajk mozgsideje a krdses tvolsgig y perc!m v perc

(

)

t (perc) y y

s (km) 220y 550y

szemlyhaj gyorsjrat

220 550

Ha a kt haj egyms mellett elhaladva ismt 1 km-re lesz egymstl, akkor az ltaluk egytt megtett t 12 km = 12 000 m, gy 220y + 550y = 12 000 770y = 12 000 y = 15,58 y 15,6. Ellenrzs: 15,6 perc alatt a szemlyhaj: sszemly = 200 15,6 = 3430 mtert, a gyorsjrat: Ekkor a tvolsguk: (3430 + 8580) 11 000 = 12 010 11 000 = 1010 (m) 1 km. Vlasz: Msodszor 15,6 perc mlva lesznek kzel 1 km-re egymstl. sgyors = 550 15,6 = 8580 mtert tesz meg. / 770

Feladatok1. Hny kilomtert tesz meg 4 ra 45 perc alatt az a csiga, amely 2 ra 30 perc alatt m km 3 mtert halad? Fejezzk ki a csiga sebessgt -ban s -ban is! s h 2. Egy 12 cm hossz kukac 8 msodperc alatt halad t egy nyitott ajtn. Mekkora sebessggel halad a kukac? (Az ajt vastagsgtl tekintsnk el.) 3. Piroska s a farkas versenyt futnak: az nyer, aki elbb r a nagymama hzhoz. Piroska km km 8 tlagsebessggel halad, a farkas 10 tlagsebessggel. Piroska 22 s fl perc h h alatt r oda. a) Milyen messze van a nagymama hza? b) Mennyi id alatt r oda a farkas? c) Hny mter elnyt adjon a farkas Pirosknak, hogy egyszerre rjenek a nagymama hzhoz? 4. Egy replgp 2 ra alatt r Budapestrl Brsszelbe. Egy aut ugyanezt az utat 15 ra alatt teszi meg. Ha egyszerre indulnak, az autnak mg 1300 km tja lesz htra, mikor a replgp mr Brsszelbe r. a) Milyen messze van Brsszel Budapesttl? b) Mekkora a replgp, ill. az aut tlagsebessge?67


5. Egy fizikai ksrletben kt kiskocsit egyszerre indtanak el egy 7 m hossz egyenes pkm km lya kt vgrl. A kocsik sebessge 7,2 , illetve 5,4 . h h m a) Fejezzk ki a kocsik sebessgt -ban! s b) Mennyi id elteltvel tkznek ssze? 6. Baja 100 km-re van Szegedtl. Reggel 8 rakor Pisti elindul Szegedrl biciklivel Bajra, Andi ugyanekkor elindul Pisti el Bajrl Szegedre autval. Pisti tlagsebessge km 18 . Bajtl 77,75 km-re tallkoznak. h a) Hny rakor tallkoznak? b) Mekkora tlagsebessggel haladt Andi? c) Ha ekkor Andi felveszi Pistit biciklistl, majd elviszi Bajra, hny rra rnek oda? 7. A Keln elnevezs haj elindul Badacsonybl Fonydra. Ugyanekkor indul Fonydrl km Badacsonyba a Sifok nev haj, amelynek tlagsebessge 12 -val nagyobb, mint h a Keln. A hajk 15 perc mlva, Fonydtl 4 km tvolsgra tallkoznak. a) Mekkora sebessggel haladnak a hajk? b) Milyen tvol van Fonyd Badacsonytl? 8. Andris az asztal krl kergeti az ccst, Lacikt. Laciknak kezdetben 3 mter elnye van. Andris sebessge Lacika sebessgnek a ktszerese. Andris 6 msodperc alatt utolri csintalan ccst. Mekkora sebessggel szalad Lacika, illetve Andris? 9. Kukutyinbl Budapestre 10 ra 30 perckor elindul egy szemlyvonat. 11 rakor egy gyorsvonat is elindul. Egyszerre rnek Budapestre negyed kettkor. A gyorsvonat km tlagsebessge 30 -val tbb, mint a szemlyvonat. h a) Milyen messze van Budapest Kukutyintl? b) Mekkora a vonatok tlagsebessge? *10. Egy kerkprversenyen a rsztvevk egy 4 km hossz krplyn haladtak. A rajtnl km egyszerre indult mindenki. A gyztes tlagsebessge 38 , az utols helyezett h km 36 volt. Mennyi id elteltvel krzte le elszr a gyztes az utolst? Hny krt h tettek meg ekzben?Rejtvny

km h tlagsebessggel megy. A kutya ekzben oda-vissza rohangszik Balzs s a hzuk kztt (elrohan km a hzhoz, visszarohan Balzshoz, aztn megint haza s gy tovbb). A kutya tlagsebessge 10 . h Mekkora utat tesz meg a kutya, mg mindketten hazarnek? Balzs a kutyjt, Farkast stltatja. Mikor elindulnak hazafel, 6 km-t kell megtennik. Balzs 4

68

5. Mregkevers egyenletekkel

1. plda 6 kg vzbl 25 tmeg%-os soldatot szeretnnk kszteni. Mennyi sra lesz szksgnk ehhez? 1. megolds Az, hogy az oldat 25 tmeg%-os, azt jelenti, hogy az oldat tmegnek 25%-a az oldott anyag tmege (amely most a s).Ksztsnk rajzot!oldat355552555551

vz s

75% 25%

6 kg 2 kg

Vlasz: Az oldathoz 2 kg s szksges.

2. megolds Jelljk x-szel a keresett s mennyisgt!6 kg 0%-a s + x kg 100%-a s = (6 + x) kg 25%-a s

Az oldott s mennyisge sszentskor nem vltozik. 0 kg + x kg = (6 + x) 0,25 kg / 0,25 x / 0,75 x = (6 + x) 0,25 x = 1,5 + 0,25 x 0,75 x = 1,5 x=2

Ellenrzs: Az oldott anyag tmege 2 kg, az oldat 2 kg + 6 kg = 8 kg. 2 = 0,25, ami valban 25%. 8 Vlasz: 2 kg st kell 6 kg vzhez keverni, hogy 25 tmeg%-os oldatot kapjunk.69


2. plda Hny trfogat%-os szibaracklt kapunk, ha sszekevernk 2 liter 40%-os s 3 liter 50%-os szibaracklt? Megolds Ksztsnk rajzot!2 liter 40%-os Az oldott anyag: 0,4 2 liter + 0,5 3 liter = x 5 liter 100 + 3 liter 50%-os = 5 liter x %-os

0,8 + 1,5 = 0,05 x 2,3 = 0,05 x 46 = x _______ _______

/ 0,05

Ellenrzs: Az oldott anyag: 1. ednyben: 0,8 liter; 2. ednyben: 1,5 liter; _________________________ sszentve: 2,3 liter. 5 liter 46%-os oldatban az oldott anyag trfogata: 46 5 liter = 2,3 liter. 100 Vlasz: A keverk 46 trfogat%-os.

3. plda Mennyi vzre s ecetre van szksgnk 4 deciliter 8 szzalkos ecetoldat elksztshez, ha a konyhban csak 20%-os ecetoldatunk van? Megolds Ksztsnk rajzot! vzx dl 0%-os +

ecet (4 x) dl 20%-os = 4 dl 8%-os

Az oldott anyag mennyisge: 0 x dl + 0,2 (4 x) dl = 0,08 4 dl

0,2 (4 x) = 0,08 4 0,8 0,2x = 0,32 0,2x = 0,48 x = 2,4 ________ ________70

/ 0,8 / (0,2)

Ellenrzs: A vz trfogata: 2,4 dl, az oldott anyag 0 dl; a 20%-os ecet trfogata: 1,6 dl, az oldott anyag 0,32 dl; _________________________________________________________________ a 8%-os keverk trfogata: 4 dl, az oldott anyag 0,32 dl.

Vlasz: 2,4 dl vzre s 1,6 dl 20%-os ecetre van szksg.

Feladatok1. Tltsk ki az albbi tblzatot a hinyz adatokkal! (Az egyes sorok klnbz oldatokra vonatkoznak.)az oldott anyag tmege 1. oldat 2. oldat 3. oldat 12 kg 6 dkg 150 dkg az oldat tmege 48 kg 15 % 70 % tmegszzalk

2. Mennyi vz (oldszer) van abban a 45 tmegszzalkos cukoroldatban, amelynek cukortartalma 235g? 3. Hny kilogramm tiszta alkohol van 15 kilogramm 25%-os alkoholban? 4. Mennyi vizet ntsnk 4 liter 100%-os almalhez, hogy 60%-os almalevet kapjunk? 5. Mennyi cukrot adjunk 8 kilogramm vzhez, hogy 60%-os cukoroldatot kapjunk? 6. Mennyi vizet kell elprologtatni 15 kilogramm 20%-os cukoroldatbl, hogy 40%-os oldatot kapjunk? 7. Hny liter 100%-os narancslevet adjunk 1,8 liter 30%-os narancslhez, hogy 50%-os narancslevet kapjunk? 8. Mennyi vizet adjunk 8 kg 16%-os soldathoz, hogy az oldat tmnysge 5%-ra cskkenjen? 9. sszekevertnk 6 liter 80%-os s 8 liter 60%-os alkoholt. Hny szzalkos a keverk? 10. 10 kilogramm 40%-os soldathoz mennyi 60%-os soldatot adjunk, hogy a keverk 50%-os legyen? 11. Hny szzalkos volt az az ecet, amelybl 6 decilitert kevertnk 4 deciliter 45%-os ecethez, s a keverk 30%-os lett?Rejtvny

A fge 92 szzalka vz. Az aszalt fgnek 20%-a vz. Hny kilogramm fgbl lesz 10 kilogramm aszalt fge? 71


6. A fnymsolstl a fnyrsig: egyttes munkavgzs

1. plda Egy fnymsolgp 40 perc alatt 800 sznes fnymsolatot kszt. Egy msik fnymsolgp percenknt 30 sznes fnymsolatot kszt. 600 sznes fnymsolatot szeretnnk elkszteni. a) Mennyi id alatt kszten el a msolatokat az els gp? b) Mennyi id alatt kszten el a msolatokat a msodik gp? c) Mennyi id alatt kszlnek el a msolatok, ha mindkt gpet egyszerre mkdtetjk? Megolds a) A fnymsolatok szma s az elkszlskhz szksges id kztt egyenes arnyossg ll fenn. 40 30 40 perc alatt 01 perc alatt 30 perc alatt 800 msolat 20 msolat 600 msolat 40 30

Az els msolgp teht 30 perc alatt kszl el a msolatokkal. b) A msodik fnymsol 20 perc alatt kszlne el a msolatokkal.Ha egytt dolgoznak, termszetesen rvidebb id alatt vgeznek, mint brmelyikk kln.

c) Az elzek alapjn tudjuk, hogy 1 perc alatt az els gp 20, a msodik 30 msolatot kszt. Jelljk x-szel azt az idt, amely alatt a kt gp egyszerre mkdve elkszti a 600 msolatot. x perc alatt az els gp 20x, a msodik gp 30x msolatot kszt. x perc alatt az egytt elksztett msolatok szma: 20x + 30x = 600 50x = 600 x = 12 / 50

A kt gp egytt 12 perc alatt kszten el a 600 msolatot.72

2. plda Pkember egyedl 30 perc alatt, Pkasszony 20 perc alatt szne meg egy pkhlt. Hny perc alatt lesznek ksz, ha egytt dolgoznak? Megolds Tekintsk a hl elksztshez szksges munkt 1 egsznek! 1 Pkember egyedl 1 perc alatt a munka rszt vgzi el. 30 1 Pkasszony 1 perc alatt a munka rszt vgzi el. 20 Jelljk x-szel azt az idt, amennyi alatt egytt megszvik a hlt, s ksztsnk tblzatot!!egsz Pkember Pkasszony 30 perc 20 perc 1 perc alatt 1 rsz 30 1 rsz 20 x perc alatt x rsz 30 x rsz 20

szrevehetjk, hogy az adatok megegyeznek az 1. plda adataival. Ennek alapjn azt vrjuk, hogy az eredmny 12 perc lesz. Most azonban nem tudjuk, mekkora a hl, teht az elznl kevesebb adat ll rendelkezsnkre.

Egytt dolgozva x perc alatt elvgzik az egsz munkt, gy: x x + =1 30 20 2x + 3x = 60 5x = 60 x = 12. Ellenrzs: Pkember 12 perc alatt elkszt 2 12 = rszt 5 30 3 12 = rszt 5 20 2 3 + =1 5 5Valban ugyanazt az eredmnyt kaptuk, mint az 1. pldban.

/ 60

/5

Pkasszony 12 perc alatt elkszt

Vlasz: Ketten egytt 12 perc alatt szvik meg a hlt.

3. plda Dani s Levente egy kicsi vllalkozst zemeltetnek: lenyrjk a fvet brmelyik szomszdnl. Mivel mindkettejknek van sajt fnyrja, nagyon hatkonyan dolgoznak. Jska bcsi kertjben pldul Dani 2 ra alatt, Levente 80 perc alatt szokott vgezni egyedl a fnyrssal. A mlt szombaton gy beszltk meg, hogy egytt nyrjk le Jska bcsinl a fvet, s 9 rakor kezdenek. Levente azonban flrt ksett, ezrt Dani addig egyedl dolgozott.Hny rra lettek kszen, ha ezutn mr egytt fejeztk be a munkt?73

Az ilyen tpus feladatoknl felttelezzk, hogy kln-kln ugyanolyan sebessggel dolgoznak a szereplk, mint amikor egytt dolgoznak.


Megolds Jelljk x-szel azt az idt, ameddig egytt dolgoztak, s ksztsnk tblzatot!egsz Dani Levente 80 perc 120 perc 1 perc alatt 1 rsz 80 1 rsz 120 30 perc alatt 30 rsz 80 x perc alatt x rsz 80 x rsz 120

Az egsz fvet lenyrtk, gy a kettejk ltal elvgzett munka: 30 x x + + =1 80 80 120 90 + 3x + 2x = 240 5x = 150 x = 30. Ellenrzs: Dani x + 30 = 60 perc alatt lenyrt Levente 30 perc alatt lenyrt 60 3 = rszt 80 4 1 30 = rszt 120 4 1 3 + =1 4 4 / 240 / 90 /5

Vlasz: Mlt szombaton 10 rra lettek kszen a fnyrssal.

4. plda Egy kdat a meleg vizes csap 45 perc alatt tlt meg. Ha a meleg s a hideg vizes csapot egyszerre nyitjuk meg, a kd 18 perc alatt telik meg. Mennyi id alatt telik meg a kd, ha csak a hideg vizes csap van nyitva? Megolds Legyen x az az id, amennyi alatt a hidegvizes csap megtlti a kdat!egsz meleg vizes 45 perc x perc 1 perc alatt 1 rsz 45 1 rsz x 18 perc alatt 18 rsz 45 18 rsz x

A feladat szvegbl kvetkezik, hogy x 0.

hideg vizes

A kt csap egytt 18 perc alatt tlti meg az egsz kdat, gy: 18 18 + =1 45 x 2 18 + =1 5 x74

egyszerstnk 9-cel / 2 5

3 18 = 5 x 90 = 3x x = 30. Ellenrzs: 18 perc alatt

/ 5x (x 0)

18 6 = rszt 45 15 18 9 a hideg vizes csap megtlti a kd = rszt 30 15 a meleg vizes csap megtlti a kd

6 9 + =1 15 15

Vlasz: A hideg vizes csapon keresztl 30 perc alatt telik meg a kd.

Feladatok1. Kovcsk karcsonyra 300 dvzlapot kldenek ismerseiknek s zletfeleiknek. Ha Kovcs r egyedl rja meg a lapokat, 4 ra alatt vgez a feladattal. Ha a felesge is segt, 1 ra 20 perc alatt vgeznek. Mennyi id alatt rn meg Kovcsn a lapokat egyedl? 2. Egy adag hst Lajos hentes 2 perc alatt darl le, Bla hentes pedig 3 perc alatt. Mennyi id alatt darljk le a hst, ha a kt darlval egyszerre dolgoznak? 3. Az udvaron egy nagy halom fa van. Ha Tibi egyedl hordja be, 24 perc alatt vgez a munkval. Ha btyja, Zoli hordja be a ft egyedl, 16 perc alatt kszl el. Mennyi id alatt vgeznek, ha egytt hordjk be a ft? 4. Egy metralagt-szakaszt egy frpajzs 12 nap alatt, egy msik 15 nap alatt fr ki. Mennyi id mlva tallkozik a kt frpajzs, ha egymssal szemben egyszerre indtjk ket a leend alagt kt vgrl? 5. Egy elnttt pinchez kt szivattyval vonult ki a tzoltsg. Az egyik szivatty 1,2 ra alatt szivattyzn ki a vizet, a kt szivatty egytt 40 perc alatt. Mennyi id alatt szivattyzn ki a vizet a msodik szivatty? 6. Apa 4 s fl ra alatt ssa fel a kertet egyedl. Ha Peti segt neki, 2 ra 42 perc alatt vgeznek. Mennyi id alatt sn fel a kertet Peti egyedl? *7. Egy frdkdat gy tltttnk meg, hogy a hideg s meleg vizes csapot is nyitva hagytuk 5 percig, majd a hideg vizest elzrtuk. A meleg vizes csap tovbbi 25 percig volt nyitva, s gy a kd ppen tele lett. Tudjuk, hogy a hideg vizes csap 20 perc alatt tlti meg a kdat. Mennyi id alatt tlti meg a kdat a meleg vizes csap?Rejtvny

Ha kln-kln dolgoznak, az els kismalac 2 nap, a msodik 3 nap, a harmadik pedig 4 nap alatt pten fel a hzt. A malacok megtudjk, hogy a gonosz farkas pontosan 1 nap mlva rkezik. Ha most egytt elkezdik pteni a hzukat, tllik-e a farkas ltogatst: sikerl-e befejeznik a hzat 1 nap alatt? 75


7. Szgek, oldalak, tlk: geometriai szmtsok

1. plda Egy hromszg egyik bels szge egy msik bels szgnek ktszerese. A harmadik szg ppen 20-kal nagyobb, mint az els. Hatrozzuk meg a hromszg bels szgeit! Megolds Jelljk a feladatban szerepl egyik bels szget a -val! A msik bels szg ennek a ktszerese, teht 2a . A harmadik bels szg az elsnl 20-kal nagyobb, teht a + 20.Ksztsnk brt! Mivel brmely hromszg bels szgeinek sszege 180, felrhatjuk a kvetkez egyenletet:a + b + g = 180

a +20

a b = 2a g = a + 20

a

2a

a + 2a + (a + 20) = 180 4a + 20 = 180 4a = 160 a = 40 _______ _______Ellenrzs: 40 + 80 + 60 = 180.

/ 20 /4

Vlasz: A hromszg szgei: 40, 80 s 60.

Geometriai problmk megoldsakor rendszerint geometriai sszefggsek, ismeretek segtsgvel tudunk egyenletet felrni. (Az 1. pldban a hromszg bels szgeinek sszegt hasznltuk.)76

2. plda Egy teleplsen az voda s az iskola udvara is tglalap alak. Az voda udvarnak egyik oldala 6 m-rel hosszabb, mint a msik. Az iskolaudvar minden oldala 5 m-rel hosszabb, mint az voda ud2 varnak oldalai, gy a terlete 155 m -rel nagyobb. Hny ngyzetmter az iskolaudvar? 1. megoldsKsztsnk rajzot!x+6 x To

Legyen az vodaudvar rvidebb oldala x mter, gy a hosszabb oldala x + 6 mter.51555552555553

x+6 x 5 x + 11 To

x+5

Ekkor az iskolaudvar szomszdos oldalainak hossza x + 5 mter, ill. (x + 6) + 5 = x + 11 mter.

15555555255555553

A kt terlet klnbsgt bontsuk olyan kisebb tglalapokra, amelyeknek a terlett ki tudjuk fejezni x-szel! 5x + 5(x + 6) + 25 = 155 5x + 5x + 30 + 25 = 155 10x + 55 = 155 /55 10x = 100 / 10 x = 10

x 5

To 5 (x + 6) x+6

5x 55 5

Az egyenlet gyke itt mg nem adja meg a krdsre a vlaszt.

1555552555553 1 3 2

Ellenrzs: Az vodaudvar oldalai 10 m s 16 m hosszak. To = 10 m 16 m Ti = 15 m 21 m To = 160 m2 Ti = 315 m2

Az iskolaudvar oldalai 15 m s 21 m hosszak. A 315 m2 155 m2-rel nagyobb, mint a 160 m2.2 Vlasz: Az iskolaudvar terlete 315 m .

77


2. megolds A rajzok alapjn felrhat az iskolaudvar terlete:(x + 5) (x + 11), az vodaudvar terlete: x (x + 6). Az iskolaudvar terlete az vodaudvar terletnl 155 m2-rel nagyobb, ezrt: (x + 5) (x + 11) = x (x + 6) + 155Kttag sszegek szorzsakor az egyik tnyez minden tagjt szorozzuk a msik tnyez minden tagjval, a szorzatokat sszeadjuk.2 x + 11x + 5x + 55 = x + 6x + 155 2

x2 + 16x + 55 = x2 + 6x + 155 16x + 55 = 6x + 155 10x + 55 = 155 10x = 100 x = 10.

/ x2 / 6x / 55 / 10

gy is megkaptuk az vodaudvar rvidebb oldalnak hosszt. Ebbl az els megoldshoz hasonlan kiszmolhat, hogy az iskolaudvar 2 terlete 315 m .

3. plda Egy szablyos sokszg egy bels szge 150. Hny oldal a sokszg?b g g a b

1. megolds Tudjuk, hogy brmely konvex sokszg kls szgeinek sszege 360.Ha a szablyos sokszg bels szgei 150-osak, akkor a kls szgek nagysga 180 150 = 30. Mivel szablyos sokszgnl a kls szgek is egyenlk, gy a sokszg oldalainak szmt megkaphatjuk gy is, hogy a kls szgek 360 sszegt elosztjuk egy szg nagysgval: = 12 . 30 Vlasz: A szablyos sokszg 12 oldal.

d d

a a

2. megolds Egy n oldal sokszg bels szgeinek sszege (n 2) 180. A szablyos sokszgek minden bels szge egyenl, amit gy kaphatunk meg, hogy a bels szgek sszegt elosztjuk az oldalak szmval.A sokszg egy bels szge gy78

( n 2 ) 180 , ami egyenl 150-kal.n

( n 2 ) 180n

= 150

/n

n 0, mert ltezik a sokszg.

(n 2) 180 = 150 n 180 n 360 = 150 n / 150n 30 n 360 = 0 / + 360 30 n = 360 / 30 n = 12 a sokszg oldalainak szma Ellenrzs: A tizenktszg bels szgeinek sszege (12 2) 180 = 1800. A szablyos tizenktszg egy bels szge 1800 = 150 . 12

Vlasz: A feladatban szerepl sokszg 12 oldal.

4. plda Hny oldal az a sokszg, amelyiknek kilencszer annyi tlja van, mint ahny oldala? MegoldsLegyen a sokszg oldalszma n, sszes tlinak szma Az tlk szma 9-szerese az oldalak szmnak, ezrt:

n ( n 3) . 2

n ( n 3) = 9n 2n (n 3) = 18n n ( n 3) n1 1 1

/2 /nn 0, mert ltezik a sokszg.

18 n = n1

n 3 = 18

/+3

n = 21 a sokszg oldalainak szma Ellenrzs: A 21 oldal sokszg tlinak szma9

21 (21 3) 21 18 = = 189 , 2 21

189 = 9 21, ami valban 9-szerese az oldalak szmnak. Vlasz: A sokszg 21 oldal.79


Feladatok1. Egy paralelogramma egyik bels szge egy msik bels szgnek 5-szrse. Hatrozzuk meg a paralelogramma bels szgeit! 2. Egy hromszg egyik bels szge 49-kal nagyobb, egy msik 25-kal kisebb, mint a harmadik. Mekkork a hromszg bels szgei? 3. Egy derkszg hromszg egyik kls szge s a mellette fekv bels szg hromszorosa egytt 280. Mekkora a hromszg legkisebb bels szge? 4. Egy egyenl szr hromszg alapon fekv szgeinek sszege 10-kal nagyobb, mint a hromszg legnagyobb s legkisebb bels szge klnbsgnek hromszorosa. Mekkork lehetnek a hromszg bels szgei? 5. Az ABCD ngyszg A cscsnl fekv bels szge 60-kal nagyobb, mint a B cscsnl fekv szg harmada. A B cscsnl fekv szg megegyezik a C cscsnl fekv szggel s a D cscsnl fekv kls szggel. A ngyszg minden oldala 8 cm. Mekkora a terlete? 6. Egy tglalap egyik oldala 3 cm-rel rvidebb, mint a msik. A rvidebb oldallal mege2 gyez oldal ngyzet terlete 18 cm -rel kisebb, mint a tglalap terlete. Mekkork a ngyzet s a tglalap oldalai? *7. Marcik kertje ngyszg alak. A kert minden oldala ugyanolyan hossz. Marci egyszer megmrte, hogy a kert kt szemkzti sarka hromszor olyan messze van egymstl, 2 mint a msik kt szemkzti sarka. A telekknyvi kivonat szerint Marcik kertje 121,5 m alapterlet. Milyen messze vannak egymstl a szemkzti sarkok? 8. Egy tglalap egyik oldala 24 cm-rel rvidebb, a msik 30 cm-rel hosszabb, mint egy ngyzet oldala. A tglalap s a ngyzet terlete megegyezik. Mekkork az oldalaik? 9. Egy szablyos sokszg egy bels szge 165. Hny oldal a sokszg? 10. Egy sokszgnek 20-szor annyi tlja van, mint ahny oldala. Hny oldal ez a sokszg? 11. Hny oldal az a szablyos sokszg, amelynek egy bels szge ppen egy kls szgnek 14-szerese? 12. Egy tszg bels szgei szmtani sorozatot alkotnak (vagyis a nagysg szerint egymst kvet szgek klnbsge ugyanannyi). A legnagyobb s a legkisebb bels szg klnbsge 32. Mekkork az tszg bels szgei?

Rejtvny

Az ABC hromszgben AB = 6 cm, AC = 12 cm, az AC oldallal szemkzti szg pedig az AB oldallal szemkzti szg hromszorosa. Mekkork a hromszg bels szgei? 80

8. Vegyes feladatok1. Gondoltam egy szmot. Kivontam belle 3-at, az eredmnyt elosztottam 5-tel, a kapott szmhoz hozzadtam az eredetit, s 33-at kaptam. Melyik szmra gondoltam? 2. Bence megtakartott zsebpnznek 3 -t bankszmln, 15%-t rszvnyekben, a ma5 radk 260 forintot pedig a prnjba varrva tartja. Bence szeretne egy 1000 forintos kisautt vsrolni. Elg-e r a megtakartott zsebpnze? 3. A szrke egerek 72%-a, a fehr egerek 64%-a szereti az edmi sajtot. Egy laboratriumban az egerek egynegyede szrke, a tbbi fehr. A laboratrium egereinek hny szzalka szereti az edmi sajtot? 4. Zsanett, Laura, Alexa s Vani cukrszdba mentek. Zsanett evett egy krmest s egy gesztenys szeletet, Laura egy krmest s egy rtest, Alexa pedig egy gesztenys szeletet s egy rtest. Zsanett 250 forintot, Laura 270 forintot, Alexa pedig 280 forintot fizetett. Vani csak egy gesztenys szeletet evett. Mennyit fizetett rte? 5. Mnika 2 vvel idsebb ccsnl, Norbinl, aki ppen harmadannyi ids, mint desanyjuk. Hrman egytt 62 vesek. Melyikk hny ves? 6. Laci feleannyi ids, mint a btyja. Tz v mlva a btyja ngyszer annyi ids lesz, mint Laci egy vvel ezeltt volt. Hny ves most Laci? 7. Kati desapja egy vvel ezeltt ktszer annyi ids volt, mint Kati lesz akkor, amikor az desapja ngyszer annyi ids lesz, mint Kati most. Kati desapja 26 ves volt, amikor Kati szletett. Hny ves most Kati s az desapja? 8. Egy ktjegy szm els szmjegye 2-vel kisebb, mint a msodik. A szmjegyei felcserlsvel kapott szmot az eredetihez adva 88-at kapunk eredmnyl. Melyik ez a szm? 9. Gondoltam egy ktjegy szmra. Egyik jegye hrommal nagyobb, mint a msik. A szmbl a szmjegyei felcserlsvel kapott szmot kivonva az eredeti szm felnl 10-zel kisebb szmot kapunk. Melyik szmra gondoltam? *10. Szmzras lakatunkat egy olyan hromjegy szm nyitja, amelynek els s msodik szmjegye megegyezik, a harmadik szmjegy ezeknek ktszerese. Az els s harmadik szmjegy megcserlsvel kapott szmot az eredetihez hozzadva az sszeg 1292. Melyik ez a hromjegy szm? 11. Egy kerkpros vltversenyen egy hromtag csapat indult. Mindegyikk 50 km-t tekert. A 150 km-es tvot 4 ra alatt tettk meg. Az els kerkpros ktszer akkora tlagsebessggel haladt, mint a msodik. A harmadik tlagsebessge megegyezett az els kerkprosval. Melyikk mennyi id alatt tette meg a maga 50 km-t?81


12. A csata vgn, dlutn ngy rakor egy hrnk futva elindul 12

km tlagsebessggel, h hogy megvigye a j hrt a 40 km-re lv vrosba. Ugyanekkor a vrosbl is elindul egy km lovas a friss hrekrt 20 tlagsebessggel. Miutn tallkoznak, a lovas azonnal h visszavgtat a vrosba.

a) Hny rakor tallkoznak? b) Mikor kapjk meg a hreket a vrosban? 13. Panni meghvta nhny osztlytrst a nvnapjra. Meglepetsknt citromfagylaltot szeretne kszteni nekik. A Sztrszakcs honlapjn azt olvasta, hogy ehhez elszr 3 dl vzbl s cukorbl 40%-os cukoroldatot kell fzni. Ez a recept azonban 4 szemlyre szl. Hny dekagramm cukorbl fzze Panni a szirupot, ha 10 szemlyre szeretne fagylaltot kszteni? 14. sszekevernk 10 dl 10%-os s 200 ml 20%-os ssavoldatot. Hny szzalkos lesz az oldat? 15. Mennyi 40%-os alkoholt ntsnk fl liter 25%-os alkoholhoz, hogy a keverk a) 25%-os; b) 30%-os; c) 35%-os; d) 40%-os legyen?

16. Rebi nni olvasztott varjhjbl s mhpempbl kszt varzserej szptkencst. Hromfle kencse van, 10%-os, 20%-os s 40%-os mhpemp-tartalm. Prge Dani egy 50 grammos csodakenccsel szeretn meglepni a kedvest, Sink Tert. Tera rzkeny brre azonban 25%-os kencs kellene. Hogyan keverhetn ki Rebi nni hromfle kencsbl a szksges 50 grammot? Keressnk tbb megoldst! 17. Egy mzeskalcs-kszt mester nagyobb megrendelst kap. Egyedl 20 ra alatt vgezne vele. Ha az egszet az inasra bzn, az 30 ra alatt kszlne el. Mennyi id alatt vgeznnek egytt dolgozva? 18. A Fld napja alkalmbl rendezett szemtszedsi akciban Dani vllalta, hogy megtisztt egy rszt a tparton. Ha Dani egyedl vgezte volna a munkt, akkor 6 ra alatt lett volna ksz. Lili, a hga felajnlotta, hogy elmegy vele s segt a munkban. gy 4 ra alatt vgeztek a szemtszedssel. Mennyi id alatt tudta volna Lili egyedl sszeszedni a szemetet? 19. Egy szg a kiegszt szgnek hromszorosnl 20-kal kisebb. Mekkora ez a szg? 20. Egy hromszg egyik bels szge egy msik bels szg ngyszeresnl 10-kal nagyobb, a harmadiknl pedig 70-kal kisebb. Mekkork a hromszg bels szgei? 21. Egy sokszgnek 14-szer annyi tlja van, mint oldala. Hny oldal ez a sokszg? 22. Egy ktszobs laks mindkt szobja ngyzet alak. A nagyobbik szoba oldala 1,4 m2 terrel hosszabb, alapterlete pedig 12,04 m -rel nagyobb, mint a kisebbik szob. Hatrozzuk meg a szobk alapterlett!82

2 Sz+¦veges feladatok

Documents

Transcript of 2 Sz+¦veges feladatok