2 Structures MMC
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1MK03 : Calcul des structures
Utiliser le bon outil pour dimensionner une structure
MK03 : Calcul des structuresMK03 : Calcul des structures
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2MK03 : Calcul des structures
1 - Approche nergtique du comportement des structuresnergie de dformation dans les modles poutre.Thorme de Castigliano.Thorme de Mnabra (Rsolution de problmes hyperstatiques)
Thorme de Muller Breslau (charge fictive)
2 - Introduction la Mcanique des Milieux Continus (MMC)Contrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Dformation (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de MohrDensit dnergie de dformation.
quation dquilibreCritre de dimensionnement des structures.
Objectifs du coursObjectifs du cours
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3MK03 : Calcul des structures
BibliographieBibliographie
Bac +2 Bac +5
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4/89 4MK03 : Calcul des structures
ModalitModalit du coursdu cours
Cours : 15,5 h
TD : 4,5 h
valuation : Exam crit 2 h
Critres dvaluations :
Modlisation des problmes 35 % Choix de la mthode de rsolution 15 % Rsolution 15 %Analyse critique des rsultats 35 %
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5/89 5MK03 : Calcul des structures
Chapitre 1 : ApprocheChapitre 1 : Approche nergnergtique dans les modtique dans les modles poutreles poutre
But : Dcouvrir lapproche nergtique dans le calcul des poutres
Contexte : Structure pouvant se dcomposer en lment poutre afin de
raliser un dimensionnement simple et rapide papier crayon .
Avantages :
Calcul de flche sur des structures complexesSimplification des calculs
viter les erreurs de signe
Dterminations de inconnues hyperstatiques
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6/89 6MK03 : Calcul des structures
1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre
2 Les sol lici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion
Flexion
3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression
Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)
Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1
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7/89 7MK03 : Calcul des structures
QuQuest ce quest ce quune poutre ?une poutre ?
Langage commun :Poutre : Quelque chose dallong.
Langage mathmatique :
Poutre : Objet dont les dimensions respectent : largeur = o(longueur)hauteur = o(longueur)
Langage Mcanicien :
Toute structure dont la modlisation en modlepoutre permettra de rpondre au cahier des charges.
Arbre de transmission Chssis mcano-soud Dent dengrenage
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8/89 8MK03 : Calcul des structures
HypothHypothses gses gomomtriquestriques
Fibre neutre :Courbe comprenant lensembledes centres de gravit dessections droites
Section droite (s) :
Surface perpendiculaire la fibre neutre
Centre de gravit G(s) :
Associ chaque section droite
Orientation de la fibre neutreParamtre par labscisse curviligne s
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9/899MK03 : Calcul des structures
DDfinitions du repfinitions du repre localre local
)(sxr Premier vecteur unitaire : tangent la fibre neutre
perpendiculaire la section droite
)(sy
r
)(szr
Second et troisime vecteurs unitaires : inclus la section droite
tridre orthonorm direct respectant les ventuellesgomtries particuliresde la section droite
Attention : Le repAttention : Le repre R(s) =(G,x,y,z) est local.re R(s) =(G,x,y,z) est local.
CCestest----dire qudire qu il dil dpend de s !!!pend de s !!!
)(sx
r
)(syr
)(szr)(sG
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10/8910MK03 : Calcul des structures
HypothHypothses complses complmentairesmentaires
1 Petites dformationsOn effectue les calculs sur la structure non dforme. Ilfaut donc que les dformations soient petites au regarddes dimensions de la poutre. De plus, on considre queles dformations ne modifient pas la position des efforts.
3 Hypothse de Saint-Venant :Les rsultats obtenus ne sont valables qu' unedistance suffisamment grande des points d'application
des chargements et des conditions aux limites.
2 Section discontinueLes changements brusque de section ne sont pas pris en
compte. Les rsultats dans ces zones sont fortementdiscutables. On introduit alors des facteurs correctifs deconcentration de contraintes (entre autres ).
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11/8911MK03 : Calcul des structures
Torseur cinTorseur cinmatiquematique
On suppose que localement chaquesection droite S se comporte comme unsolide se dplaant par rapport unrepre de rfrence O.
On peut alors dfinir un torseurcinmatique analogue celui utilis enmcanique des solides.
{ })(0/
0/0/ )(
)(
sGG sV
sV
=
rr
0)(0/ sr
)(0/ sVG r
Vecteur rotation de S par rapport 0
Vecteur vitesse du point G appartenant S par rapport 0
)(0/ sr
)(0/ sVG r
)(sxr
)(syr
)(szr
)(sG
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12MK03 : Calcul des structures
Torseur des petits dTorseur des petits dplacementsplacements
On intgre par rapport au temps le torseurcinmatique entre la position initiale et laposition dforme.
On peut alors dfinir le torseur desdplacements.
{ })(0/
0/0/ )(
)(
sGG sU
s
U
=
r
r
Vecteur dorientation de la section
Vecteur de dplacement du point G
)(0/ sr
)(0/ sUG r
0
)(sxr
)(syr
)(szr
)(sG
)(0/ sr
)(0/ sUG
r
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13MK03 : Calcul des structures
Torseur des petits dTorseur des petits dplacementsplacements
Attention les dAttention les dplacements peuvent se mettre sous la forme dplacements peuvent se mettre sous la forme dunun
torseur uniquement avec ltorseur uniquement avec l hypothhypothse des petits dse des petits dplacementsplacements
)(sUr
Position initiale
Position dforme
)(sxr
)(syr
)(sz
r
x
y
z
zyx zyxrrrr
++=
T d h i
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14MK03 : Calcul des structures
Torseur de cohTorseur de cohsionsion
Soit une poutre P en quilibre sous l'action defforts extrieurs {Aext->p}.
On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section droite S labscisse s0.
On peut isoler 2 demies poutres :
P- suivant les abscisses infrieures s0. ( gauche)P+ suivant les abscisses infrieures s0. ( droite)
{ }PextA
{ }+PextAP-
P+
On dfinit alors le torseur de cohsion comme :
{ } { } { }+ == PextPextc AAT
T d hT d h ii
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15MK03 : Calcul des structures
Torseur de cohTorseur de cohsionsion
En exprimant le torseur au point G dans le repre(G,x,y,z) on dfinit les diffrents types de sollicitations : { }
)(sGfz
fy
t
z
yc
M
M
M
T
T
N
T
xNr
xMtr
zMfzr
yMfyr
yTyr
zTzr
G
+PextAr
G
PextM +
r
Effort normal
Effort tranchant
xNr
zMyM fzfyrr
+zTyT zyrr
+
Moment de torsion
Moment de flexion
xMtr
ti dti d ilibilib
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16MK03 : Calcul des structures
quation dquation dquilibrequilibre
ds
On isole un tronon de poutre de largeur ds en dynamique.
Bilan des actions mcaniques :
- Torseur de cohsion en s
Torseur de cohsion en s+ds Glisseur des actions extrieures rparties (ds trop petite pour exercer un moment)
{ } )(sTc
{ } )( dssTc +
{ } )(0
)( sdsfsA rr
= r
r
xr
ti dquation d ilib d lquilibre de la r lt tsultante
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17MK03 : Calcul des structures
quation dquation dquilibre de la rquilibre de la rsultantesultante
Thorme de la rsultante dynamique :
En supposant que le rfrentiel est Galilen
On applique le Principe Fondamental de la Dynamique au tronon :
{ } { } { } { } )()()()( sDsAsTdssT rcc =++
dssSdssfsRdssR RgSGr /)()()()( =++ rrrr
RgSGr Sfds
Rd/=+
rrr
quation dquation dquilibre du momentquil ibre du moment
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18MK03 : Calcul des structures
quation dquation dquilibre du momentquil ibre du moment
Thorme du moment dynamique exprim au point G(s)
dsdMsGsMdssRdssGsGdssM RgSMM
=++++
/)()()()()()( r
rrr
=+
dGMRxdsMd
RgSM
SM
/ rrr
r
Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1
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19MK03 : Calcul des structures
1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre
2 Les sol lici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion
Flexion
3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression
Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)
Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1
Exemple de structures sollicitExemple de structures sollicites en traction/compressiones en traction/compression
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20MK03 : Calcul des structures
Exemple de structures sollicitExemple de structures sollicites en traction/compressiones en traction/compression
Les bielles
Les liens souples (courroie, cble)
Pylnes en bton
ModModle dle dune poutre en traction / compressionune poutre en traction / compression
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21MK03 : Calcul des structures
ModModle dle d une poutre en traction / compressionune poutre en traction / compression
{ }iG
RA
=0
11 r
r
{ }fG
RA
=0
22 r
r
Dans une poutre sollicite en traction / compression :
la fibre neutre est ncessairement rectiligne
les sollicitations sont ncessairement colinaires
la section peut ventuellement varier
Dfinit ion :
Une poutre est soumise une sollicitation de traction / compressionsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :
{ })(
0xG
c
xNT
r
r
{ }G
r
r
xfA
=0r
r
xr
)(xS
xs=
Traction ou compression ?Traction ou compression ?
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22MK03 : Calcul des structures
Traction ou compression ?Traction ou compression ?
Si N > 0 on parle de la sollicitation de traction
2Rr
1Rr
xNr
Si N < 0 on parle de la sollicitation de compression
2Rr
1Rr
xNr
Expression des contraintes de traction compressionExpression des contraintes de traction compression
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23MK03 : Calcul des structures
Expression des contraintes de traction compressionExpression des contraintes de traction compression
On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actions
surfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)
Hypothse :les contraintes sont uniformessur la section droite
xr
),( xMr
xxN r)(
)()()(),()()(
sSxdSxdSxMxNsSMsSM
rrrr
===
x
xS
xNx
rr
)(
)()( = Les contraintes sont colinaires x
r
)(xGM
Expression des dExpression des dformations de traction compressionformations de traction compression
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24MK03 : Calcul des structures
Expression des dExpression des dformations de traction compressionformations de traction compression
On sintresse ici Lallongement relatif dun tronon de poutre de longueur ds.
xr
)(xur
)()()(
)( x
dx
ud
dx
xudxxux
rrrr
=+
=Lallongement relatif :
dx
xr
)( dxxu +r
)(xG )( dxxG + )(xG )( dxxG +
Loi de comportementLoi de comportement
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25MK03 : Calcul des structures
Loi de comportementLoi de comportement
On rajoute des hypothses ici sur le matriau utilis (ELHI) : lastique Linaire Homogne Isotrope E est le module dYoung ou module
dlasticit homogne une pression
x
xS
xNx
rr
)(
)()( =
)()( xdx
udx
rr
= )()(
)(x
dx
ud
xES
xN r
=
Loi de comportement
)()( xEx rr=Loi de Hooke
Dformation
Contrainte
AAppppll iiccaatt iioonnss
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Ascenseur cble Tour de Babel
MK03 : Calcul des struc tures 26
Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en cisaillement pure en cisaillement pur
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27MK03 : Calcul des structures
Exemple de structure sollicitp e en cisaillement purp
Cisaillage de barre
Les rivets
Les clavettes
ModModle du cisaillement purle du cisaillement pur
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28MK03 : Calcul des structures
pp
{ }1
110
G
RA
= r
r
{ }2
22
0G
RA
= r
r
Cette poutre soumise est ncessairement soumise 2 glisseurs perpendiculaires la fibre neutre
Le cisaillement pur nexiste pas car ilny a pas quilibre de la structure.
G1G2
On modlise le cisaillement purcomme la limite G2 G1
Dfinition :
Une poutre est soumise une sollicitation de cisaillementsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :
{ })(
0sG
c
zTzyTyT
+ r
rr
Expression des contraintes de CisaillementExpression des contraintes de Cisaillement
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29MK03 : Calcul des structures
pp
On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actions
surfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)
Hypothse :les contraintes sont uniformessur la section droite
G x
r
M
)(MrT
r
SdSdSMTSMSM
rrrr
=== )(
S
Tr
rr== Les contraintes sont colinaires et ne dpendent que de ST
r
Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en torsione en torsion
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30MK03 : Calcul des structures
pp
Les arbres de transmission
Les ressorts
ModModle dle dune poutre en torsionune poutre en torsion
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31MK03 : Calcul des structures
{ }
=
1
10
MA r
r
{ }
=2
2 0M
A r
r
Nous ntudierons que les poutres rectilignes cylindriques dervolution (ventuellement creuses) soumises 2 torseurs couples.
Dfinition :
Une poutre est soumise une sollicitation de torsionsi et seulement si le torseur de cohsion scrit :
{ })(
0
xGt
cxM
T
r
r
xr
En appliquant le TMS : xMxMMtrrrr
.. 12 ==Le moment de torsion est constantsur toute la longueur de la poutre.
Expression des contraintes de torsionExpression des contraintes de torsion
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32MK03 : Calcul des structures
On sintresse ici la rpartition des contraintes sur une section droite (actionssurfaciques lmentaires agissant sur une petite surface dS)
xr
)(Mr
= SMt dSMGMxM )(
rr
xMtr
G
Il manque une hypothse pour trouver lexpression des contraintes
On intgre les moments des contraintesafin de calculer le moment de torsion
Angle de rotation dAngle de rotation dune poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion
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33MK03 : Calcul des structures
Si on trace une ligne sur la poutre, aprs dformation cette ligne senroule
autour delle. Langle final mesur est appel angle de torsion t.
L
La rotation semble uniforme tout au long de la poutre.On peut donc dfinir un angle unitaire u de rotation (deg.m-1 ou rad.m-1) L
tu
=
t
DDformation dformation dune poutre circulaire en torsionune poutre circulaire en torsion
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34MK03 : Calcul des structures
On considre la dformation dun petit lment de matire. (dx,dr,r d)
d
dxr u
On exprime alors langle de
distorsion de llment
uu rdx
dxrr
==)(
dxdx
dr
r
Loi de comportementLoi de comportement
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35MK03 : Calcul des structures
Expression de la contrainte decisaillement grce la loi de Hooke :
ururr urrr
== )()(
Module de Coulomb :
( )
+==
12
EG
Coefficient de Poisson :
Expression du moment de torsion en fonction de langle de torsion
00 IL
IM tut
==
=SM
dSrI 20
On dfinit linertie de surface Loi de comportement
===SM
u
SM
ur
SM
t dSrxdSururdSMGMxM2)(
rrrrr
Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max
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36MK03 : Calcul des structures
urr urr
=)(0IM ut =
0IMtu =
Contrainte de cisaillement
uI
rMr t
rr
0
)( =
La contrainte de cisaillement varie demanire linaire par rapport au rayon
Loi de comportement de la poutre
On trouve alors la contrainte max en r = R
0max
I
RMt=r
zr
yr
Exemple de structure sollicitExemple de structure sollicite en flexion simplee en flexion simple
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37MK03 : Calcul des structures
Aile davion
plongeoir
Chssis de vhicule
ModModle dle dune poutre en flexion pureune poutre en flexion pure
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38MK03 : Calcul des structures
On se limitera au poutre rectiligne soumise 2torseurs couple perpendiculaires la fibre neutre
{ }
=1
1
0
MA r
r
{ }
=2
2
0
MA r
r
Dfinition :
Une poutre est soumise une sollicitation de flexion puresi et seulement si le torseur de cohsion scrit :
{ })(
0
xGfzfy
czMyM
T
+
rr
r
En pratique on ne trouve trs rarement de la flexion pure
{ }
= extext
MA r
r
0
ModModle dle dune poutre en flexion simpleune poutre en flexion simple
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39MK03 : Calcul des structures
On se limitera au poutre rectiligne de section ventuellement variable.
{ }
=1
11
M
TA r
r
{ }
=2
2M
TA r
r
Dfinition :
Une poutre est soumise une sollicitation de flexion puresi et seulement si le torseur de cohsion scrit :
{ })(xGfzfy
zy
c zMyMzTyTT
++ rr
rr
En pratique on ne trouve trs souvent de la flexion simple
{ }
=
ext
extext
MTA r
r
HypothHypothse de Bernoull ise de Bernoulli
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40MK03 : Calcul des structures
Les sections droites restent planes et perpendiculaires la fibre neutre aprs la dformation.
ConsConsquences de lquences de l hypothhypothse de Bernoull ise de Bernoulli
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41MK03 : Calcul des structures
xr
yr
zr
dx
)(xUz)( dxxUz + )(sy
dx
)(xUy)( dxxUy + )(xz
dx
yr
xr
zr
xr
)()tan()( xdx
dux
y
zz =
)()tan()( x
dx
dux zyy =
DDformations des poutres en flexionformations des poutres en flexion
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42MK03 : Calcul des structures
dx
yr
x
r
xr
yr
zr
zr
xr
xx
dx
dzx
dx
dyzyx
yz rr
+= )()(),,(
dx
moyyy dxx + )(
))()(( xdxxz yy +
moy
yy x )(
dx
Avant dformation
2
)()( xdxx zzmoyz
+=
2
)()( xdxx yymoyy
+=
))()(( xdxxy zz +
moy
zz x )(moy
zz dxx + )(
Loi de HookeLoi de Hooke
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43MK03 : Calcul des structures
Application de la loi de Hooke :
xxdx
udEzx
dx
udEyzyxEzyx z
y rrr
+== )()(),,(),,(
2
2
2
2
xxdx
udzxdx
udyzyx zy rr
= )()(),,( 2
2
2
2
Rpartition linaire desdformations dans la section :
)()tan()( xdx
dux
y
zz =
)()tan()( xdx
du
x z
yy =
Bernoulli : Relation de dformation
xxdx
dzx
dx
dyzyx
yz rr
+= )()(),,(
Rpartition linaire descontraintes dans la section :
Contraintes de flexion et moment flContraintes de flexion et moment flchissantchissant
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44MK03 : Calcul des structures
xr
yr
zr G
M
dSxxdx
udEzGMxM
xSM
zfy
rr
)()(
)(
2
2
=
ydSzxdx
udEdSxx
dx
udEzzz
xSM
z
xSM
z rrr
==
)(
22
2
)(2
2
)()(
dSxxdx
udEyGMxM
xSM
y
fz
rr)()(
)(2
2
=
zdSyx
dx
udEdSxx
dx
udEyyy
xSM
y
xSM
y rrr
==
)(2
2
2
)( 2
2
)()(
zdx
udEIy
dx
udEIM
y
zz
yf
rrr
2
2
2
2
+=dSyxI
xSM
z
=)(
2)(
dSzxIxSM
y
=)(
2)(
Hypothse de symtrie de la section
Calcul de la contrainte maxCalcul de la contrainte max
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45MK03 : Calcul des structures
z
fzy
EI
M
dx
ud=
2
2
y
fyz
EIM
dxud =2
2
Expression de la contrainte normale
xxdx
udzx
dx
udyEzyx z
y rr
+= )()(),,(
2
2
2
2
Loi de comportement de la poutre
xxI
Mzx
I
Myzyx
y
fy
z
fz rr
+= )()(),,(
xr
yr
zr
xr
yr
zr
Plan du Chapitre 1Plan du Chapitre 1
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46MK03 : Calcul des structures
1 Rappel des hypothses de la thorie des poutresQuest quune poutre ?Torseurs : Vitesses / Dplacements / de Cohsionquation dquilibre
2 Les sollici tations simplesTraction / compressionCisaillement purTorsion
Flexion
3 nergie de dformationExemple dune poutre en traction compression
Dfinition de lnergie de dformationsThorme de CastiglianoThorme de Mnabra (problmes hyperstatiques)Thorme de Muller-Breslau (de la charge fictive)
AnalogieAnalogie nergnergtiquetique
-
7/23/2019 2 Structures MMC
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47MK03 : Calcul des structures
RrU
r
On tire rgulirement lextrmit dune poutre avec un effort .
Le dplacement u peut tre considr comme quasi-statique.
Rr
2max
00 2
1maxmaxu
L
ESudu
L
ESRduW
uu
ext ===
2
2
1R
ES
LWext=
ES
LRu =max
On calcule le travail des efforts extrieurs
AnalogieAnalogie nergnergtiquetique
-
7/23/2019 2 Structures MMC
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48MK03 : Calcul des structures
R
rU)(xVxr
)(xNr
===LLL
x dx
ES
xN
dt
ddx
dt
xdN
ES
xNdx
dt
xdxNP
0
2
00
int
)(
2
1)()()()(
On calcule la puissance des inters efforts
dtPW
t
t
=1
0
intint =L
dxES
xNW
0
2
int
)(
2
1
On calcule le travail des inters efforts 0)0,( ==txN x
ThThororme de lme de l nergie cinnergie cintiquetique
-
7/23/2019 2 Structures MMC
49/89
49MK03 : Calcul des structures
extc WWE += int
En statique, la variation de lnergie cintique est nulle
extWW = int
2
0
2
2
1)(
2
1R
ES
Ldx
ES
xNE
L
d ==
On dfinit alors lnergie potentielle lastique ounergie de dformation dune poutre en traction
On applique le thorme de lnergie cintique
nergie de dnergie de dformationformation
-
7/23/2019 2 Structures MMC
50/89
50MK03 : Calcul des structures
Soit une poutre dont le torseur de cohsion est { }
=
fz
fy
t
z
yc
M
M
M
T
T
N
r
r
r
r
r
r
On dfinit son nergie de dformation
++++=
L
z
fz
y
fytd ds
EI
M
EI
M
GI
M
GS
T
ES
NE
0
22
0
222
2
1
ThThororme de Castiglianome de Castigliano
-
7/23/2019 2 Structures MMC
51/89
51MK03 : Calcul des structures
Alberto Castigliano1847-1884
i
Ar
jAr
kAr
kk AdArr
+
iAr
jA
r
kAdrkd
r
iA
r
jA
r
dE dEd2
kk AdArr
+
dd dEE +
kr
dd dEE +
kkd AddErr
=
noncnonc du thdu thororme de Castiglianome de Castigliano
S it t t t t i ELHI h P
-
7/23/2019 2 Structures MMC
52/89
52MK03 : Calcul des structures
i
Mr
kA
rk
r
ir
Soit une structure poutre, en matriau ELHI, charge par : Des efforts rpartis Des forces aux points Des couples ponctuels aux points
kAr
iMr
Chaque point dapplication des forces se dplace de
Chaque repre au point dapplication des couples tourne de
kP
iP
kP kr
kP
iP
),,,( iiii zyxP rrr
Cette structure emmagasine de lnergie potentielle de
dformation qui scrit :
ir
++++=
L
z
fz
y
fytd ds
EI
M
EI
M
GI
M
GS
T
ES
NE
0
22
0
222
2
1
k
dkk
A
Eu
=
rr
.k
kk
A
Au r
rr
=
i
dii
M
Eu
=
rr.
i
ii
M
Mu r
rr
=
Alors, ces dplacements sexpriment en fonction de lnergie de dformation
Application directe du thApplication directe du thororme de Castiglianome de Castiglianor
-
7/23/2019 2 Structures MMC
53/89
53MK03 : Calcul des structures
0xr
0
yr
0z
r
A
Ar
E = 200 GPa
G = 77 GPa
Nombre de spires : N
Diamtre denroulement :
Angle denroulement :
Surface circulaire de rayon : r
Charg par deux glisseurs :
Calculer sa raideur en utilisantlnergie de dformation
Un ressort spiral en acier
O
ParamParamtragetrager
-
7/23/2019 2 Structures MMC
54/89
54MK03 : Calcul des structures
0xr
0
yr
0z
r
A
Ar
ru
r
ur
On paramtre le systme par langle cylindrique
O
G
R
Langle denroulement est faible rad1,0=
)tan(
Les coordonnes du point G sont
0
zRuROGr
rr+=
2
1 += Rs
Labscisse curviligne scrit
R
R
s
Torseur de cohTorseur de cohsionsion
Ar r r
-
7/23/2019 2 Structures MMC
55/89
55MK03 : Calcul des structures
0xr
0
yr
0z
r
A
Ar
ru
r
ur
O
G
0xr
0y
rur
ur
rusz rr=)(
0zr
)(sx
r
ur
)(syr
0zr
0zRuROG rrr
+=
{ }
G
G
A
csM
As
=)(
)( r
r
0zAA rr
=
Calcul de lCalcul de l nergie de dnergie de dformationformation
-
7/23/2019 2 Structures MMC
56/89
56MK03 : Calcul des structures
{ }))(),(),(,(
0)sin(
)cos(
0)cos(
)sin(
)()(
szsysxGG
G
A
c AR
AR
A
A
sMAs
rrr
r
r
=
=
+++=
L
fytd ds
IEM
GIM
GST
ESNE
0
2
0
222
21
=
+
+++=
N
d dRIE
RA
GI
RA
GS
A
ES
AE
2
0
2222
0
2222222
1)(sin)(cos)(cos)(sin
2
1
++
+
+=
6,2
)(sin2)(cos
2
)(cos
26,2
)(sin1 222222
0
232
R
r
R
r
GI
RNAEd
21 += RsChangement de variable :
Calcul de la raideurCalcul de la raideur
RNA 32
-
7/23/2019 2 Structures MMC
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57MK03 : Calcul des structures
GI
RNAEd
0
=
Thorme de Castigliano
AGd
ND
GI
NAR
A
EdA 4
3
0
3 82==
=
Calcul de la raideurdu ressort
ND
GdAk
A
3
4
8==
3max
2
r
AR
=r
ARMt=
Vrification de lacontrainte max
ThThororme deme de MMnabrnabraa (structures hyperstatiques)(structures hyperstatiques)
Soit une structure poutre en matriau ELHI :
-
7/23/2019 2 Structures MMC
58/89
58MK03 : Calcul des structures
Pour connatre les efforts aux conditions aux limites, on y applique le
thorme de Castigliano :
Soit une structure poutre, en matriau ELHI :
Cette structure est charge par des efforts extrieurs etelle emmagasine de lnergie potentielle dedformation qui scrit :
++++=
L
z
fz
y
fytd ds
EI
M
EI
M
GI
M
GS
T
ES
NE
0
22
0
222
2
1
iAr kM
r
0. =
=
k
dkk
A
Eurr
0. =
=
i
dii
M
Eurr
ThThororme deme de MullerMuller--BreslauBreslau (de la charge virtuelle)(de la charge virtuelle)
Soit une structure poutre, en matriau ELHI :pMr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
59/89
59MK03 : Calcul des structures
Pour connatre les dplacements en un point P o il ny a pas deffort, on place un
effort virtuel en ce point ou et on y applique le thorme de Castigliano :
Soit une structure poutre, en matriau ELHI :
Cette structure est charge par des efforts extrieurs etelle emmagasine de lnergie potentielle dedformation qui scrit :
++++=
L
z
fz
y
fytd ds
EI
M
EI
M
GI
M
GS
T
ES
NE
0
22
0
222
2
1
pA
r
)0(. =
= p
p
dPP A
A
Eurr
)0(. =
= p
p
dpp M
M
Eurr
p
pM
r
pA
r
Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)
-
7/23/2019 2 Structures MMC
60/89
60MK03 : Calcul des structures
But :
Savoir interprter correctement des mesures ou des simulations en termedeffort ou de dformation.
Appliquer des critres de rsistance des matriaux afin de garantir la tenue etla rigidit des structures complexes.
Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)
-
7/23/2019 2 Structures MMC
61/89
61MK03 : Calcul des structures
Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibre
Dformation (scalaire, vecteur, tenseur).
Loi de comportementlasticitLoi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.
Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses
Vecteur contrainteVecteur contrainte
On se place dans une structure quelconque lintrieur de la matire au point M.
-
7/23/2019 2 Structures MMC
62/89
62MK03 : Calcul des structures
21n
dS
M
1
2
On choisit une surface dS quipartage lespace en deuxparties 1 et 2.
On dfinit la normale la
surface de 1 vers 2 21nr
12Adr
La contrainte scrit alors
dS
AdnM 1221 ),(
=
rrr
PropriPropritt du vecteur contraintedu vecteur contrainte
-
7/23/2019 2 Structures MMC
63/89
63MK03 : Calcul des structures
21nr
ds
M
1
2
12Adr
dSAdnM 1221 ),( =
rrr
La contrainte ne dpend pas du choix de 1 et 2.
La contrainte dpend du point M.
Le vecteur contrainte EST UN VECTEUR.
La contrainte dpend de lorientation de ds.
Le vecteur contrainte est une fonction vectorielle de lespace 6 paramtres.
Contraintes normale et tangentielleContraintes normale et tangentielle
)( nMrr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
64/89
64MK03 : Calcul des structures
21nr
dS
M
2121 )).,((),( = nnnMnMnrrrrrr
2121 )).,((),(),( = nnnMnMnMrrrrrrrr
On dcompose la contrainte
en deux composantes
),(),(),( nMnMnM nrrrrrr
+=
),( nMn
),( nMrr
),( nMrr
Contrainte normale Contrainte de cisaillement
TTtratradre de Cauchydre de Cauchy
3xr
r On cherche dterminer une expression de :
-
7/23/2019 2 Structures MMC
65/89
65MK03 : Calcul des structures
1xr
n
r
2xr
dS
2Adr
Le vecteur normal se dcomposeen 3 composantes
332211 xnxnxnn rrrr
++=
Chaque effort sexprime enfonction des coordonnes
des contraintes :
3131212111111 xdSxdSxdSAd
rrrr
=
3Adr
1Adr
Adr
3232222212122 xdSxdSxdSAd rrrr
=
3233222313133
xdSxdSxdSAd rrrr
=
p
dS
AdnM
r
rr=),(
Tenseur des contraintesTenseur des contraintes
On isole le ttradre : 0321rrrrr
=+++ AdAdAdAd
-
7/23/2019 2 Structures MMC
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66MK03 : Calcul des structures
On isole le ttradre : 321
dS
dS
dS
dS
dS
dSxnM 313
212
1111).,( ++=
rrr
dS
dS
dS
dS
dS
dSxnM 3232221212).,( ++=rrr
dS
dS
dS
dS
dS
dSxnM 333
232
1313).,( ++=
rrr
nnM
M
rrr.),(
33
23
13
32
22
12
31
21
11
=
TRS
Ltat de contrainte au point M se caractrise par un tenseur (matrice)
SymSymtrie du tenseur des contraintestrie du tenseur des contraintes
2xr
O i l l tt d
-
7/23/2019 2 Structures MMC
67/89
67MK03 : Calcul des structures
1xr
2dx
1dx
21
21
12
12
03211232121 = dxdxdxdxdxdx
On isole le ttradre
TMS en projection sur 3xr
1221 =
On montre de mme
1331 = 2332 =
Le tenseur des contraintes est symtrique
M
Cercle deCercle de MohrMohr
Pour simplifier, on se place en deux dimensions (contraintes planes).
-
7/23/2019 2 Structures MMC
68/89
68MK03 : Calcul des structures
p , p ( p )
Le vecteur normal est paramtr par langle
1xr
2xr
)(n
r
=
)sin()cos(.
)sin()cos(),(
2221
1211
M
n nMr
)(sin)2sin()(cos),( 222122
11 ++=nMnr
=
)cos()sin(.
)sin()cos(),(
2221
1211
M
nMr
On calcule la contrainte normale
On calcule la contrainte tangentielle
)2cos()2sin(
2
),( 122211
+
=nM
r
Cercle deCercle de MohrMohr
)(sin)2sin()(cos),( 222122
11 ++=nMnr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
69/89
69MK03 : Calcul des structures
221211n
)2sin()2cos(22
),( 1222112211
+
=
+nMn
r
)2cos()2sin(
2
),( 122211
+
=nM
r
( ) ( )212
2
221122
2211
2),(
2),(
+
=+
+ nMnM
n
rr
On reconnat que le point dcrit un cercle de centre
de rayon
( ) ;n
+
0;22211
( )2122
2211
2
+
=R
Cercle deCercle de MohrMohr
( )22
2211
+
R
-
7/23/2019 2 Structures MMC
70/89
70MK03 : Calcul des structures
)(
11
)(n 22
12
12
22211 +
( )122211
2
+
=R
R
2
n
Tri cercle deTri cercle de MohrMohr
Si on se replace en 3 dimensions, le tenseur est symtrique, il existe alors une baseth d l ll l t t di l
-
7/23/2019 2 Structures MMC
71/89
71MK03 : Calcul des structures
orthonorme dans laquelle le tenseur est diagonal.
On peut alors effectuer 3 cercles de Mohr en faisant tourner autour des 3 vecteurs propres.
p
11p
22p
33
nr
max
Si on orientede manire quelconqueon se trouve entre les 3cercles.
nr
n
On peut trouver lacontrainte de cisaillementmaximale
quation dquation dquilibrequilibre
3xr
2dx On isole le cube en dynamique :vfr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
72/89
72MK03 : Calcul des structures
1xr
2xr
M
1dx
3dx
Efforts volumiques : dVfvr
Efforts surfaciques sur les 6 facettes :
[ ]i
iiiiiii dx
dVxxxxxxA xdSext 332211 )()()()(rrrr ++=
[ ]i
iiiiiiiiiii dx
dVxdxxxdxxxdxxA dxxdSext 332211 )()()()(rrrr
+++++=+
TRD en projection sur kxr
kRgMkvi i
ikiiiki xdVxfdV
dx
dVxdxx
rrrr
..))()((/
3
1
=++
=
kRgdVMkv
i i
ki xxfx
rrrr
.. /3
1
=
=+
[ ] RgMvfdiv / rr
=+
[ ]3,1i
[ ]3,1k
quation dquilibre
Notion de dNotion de dformationformation
Au cours du chargement dune structure les particules subissent deux transformations :
-
7/23/2019 2 Structures MMC
73/89
73MK03 : Calcul des structures
g p
Un mouvement densemble
Des dformations des petits cubes lmentaires
),,( zyxur
),,( zyxr
M
M
dx
dy
xr
yr
),,( zyxur
),,( zyxr
DDformations vues en 2Dformations vues en 2D
yr ),(),( yxudyyxu
rr+ y
r uxxx
=
-
7/23/2019 2 Structures MMC
74/89
74MK03 : Calcul des structures
Mdx
dy
xr
),(),( yxuydxxu rr
+
M dx
dy
xr
M
dx
dy
xr
yr
x
y
uyyy
=
Mdx
dy
x
r
yr
x
u
y
u yxxy
+
== 2
Tenseur des dTenseur des dformationsformations
xzxyxx
-
7/23/2019 2 Structures MMC
75/89
75MK03 : Calcul des structures
[ ]
+=
= )()(21 ugradugrad T
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
rr
+
+
+
+
+
+
=
+
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
z
u
y
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
ugradugrad
zzyzx
zyyyx
zxyxx
T
2
1
2
1
21
21
2
1
2
1
)()(21 rr
Le tenseur des dformations est symtrique
Vecteur dVecteur dformationformation
),( nMnrr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
76/89
76MK03 : Calcul des structures
21nr
dS
M),( nM
rr
),( nMtrr
[ ] nnM M rrr =),(
tnMnnMnM tnrrrrrrrr
),(),(),( +=
De mme quavec le tenseur des contrainteson peut calculer les dformations en toutpoint avec le tenseur des dformations
On peut dcomposer la dformation en deuxcomposantes une normale et une tangentielle
Util isation des rosettesUtilisation des rosettes
On place une rosette 45 la surface dun matriau.
-
7/23/2019 2 Structures MMC
77/89
77MK03 : Calcul des structures
On mesure 3 valeurs de dformation :
yr
xr
1
2
3
[ ] nnnM Mnrrrr
.),( =
[ ] xxM xx == 1.rr
[ ] yyM yy ==
3.rr
[ ] xyyyxx
M yxyx
++
==++2
2/)).(( 2rrrr
On trouve alors les valeurs du tenseur 2D [ ]
=
yyxy
xyxx
Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)
-
7/23/2019 2 Structures MMC
78/89
78MK03 : Calcul des structures
Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibreDformation (scalaire, vecteur, tenseur).
Loi de comportementlasticit
Loi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.
Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses
Notion dNotion dlasticitlasticit
&
-
7/23/2019 2 Structures MMC
79/89
79MK03 : Calcul des structures
lastique non linaire
Visco lastique
inlastique
Inlastique avec
endommagement
Relaxation
t
Fluage
t
Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degrs 4)s 4)
On se place dans le cas dun matriau lastique, linaire, homogne, isotrope.
-
7/23/2019 2 Structures MMC
80/89
80MK03 : Calcul des structures
+
+
+
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
yz
xz
xy
zz
yy
xx
2
2
2
0
0
2
2
2
+
+
+
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
yz
xz
xy
zz
yy
xx
EEE
EEEEEE
2
12
12
1
0
0
1
11
Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrLoi de Hooke (formalisme tenseur de degrs 2)s 2)
Le matriau est caractris par deux paramtres que lon obtient par des essais mcaniques.
-
7/23/2019 2 Structures MMC
81/89
81MK03 : Calcul des structures
[ ] [ ] [ ] [ ] 2)( += IdTr
La loi de Hooke peut alors scrire :
E Module dYoung Coefficient de poisson
[ ] [ ] [ ] [ ]E
IdTrE
++=
1)(
On peut inverser la relation en faisant apparatre les coefficients de Lam :
+
+=
23E
)1(2
+=
E
On passe des coefficients de Lam aux paramtres de Hooke par les relations suivantes :
)21)(1(
+=
E
)(2
+=
Exemple une poutre en tractionExemple une poutre en traction
Fr
Fr
xr
-
7/23/2019 2 Structures MMC
82/89
82MK03 : Calcul des structures
[ ]
=
000
000
00xx
[ ] [ ] [ ] [ ]E
IdTrE
++= 1)( [ ]
=
E
E
E
xx
xx
xx
00
00
00
On retrouve les 2 rsultats bien connus :
xxxx E =
==
xx
zz
xx
yy
S
Fxx=
DensitDensit ddnergie de dnergie de dformation (pour la culture)formation (pour la culture)
Soit une structure en matriau ELHI sous contraintes, on peut calculer lnergie dedformation lastique accumule dans un lment infiniment petit de matire de volume dV.
-
7/23/2019 2 Structures MMC
83/89
83MK03 : Calcul des structures
q p
Cette nergie sexprime en fonction des tenseurs descontraintes et des dformations :
[ ][ ])(2
1Tr
dV
dEd =
[ ][ ]=V
d dVTrE )(2
1
De mme, on exprime lnergie totale de dformation lastique par :
Chapitre 2 : MChapitre 2 : Mcanique des milieux continus (les bases)canique des milieux continus (les bases)
-
7/23/2019 2 Structures MMC
84/89
84MK03 : Calcul des structures
Grandeurs de la mcanique des milieux continus solidesContrainte (scalaire, vecteur, tenseur).Cercle de Mohrquation dquilibreDformation (scalaire, vecteur, tenseur).
Loi de comportementlasticit
Loi de Hooke gnraliseDensit dnergie de dformation.
Critres de dimensionnement des structures.Critre de TrescaCritre de Von Misses
Essai de tractionEssai de traction
Rupture ductile
-
7/23/2019 2 Structures MMC
85/89
85MK03 : Calcul des structures
%2,0eR
%2,0
mR
%A
Rupture fragile
E
Cercle deCercle de MohrMohr
Rupture des matriauxductiles selon la plus grand
-
7/23/2019 2 Structures MMC
86/89
86MK03 : Calcul des structures
Rm
Rupture des matriaux fragilesselon la plus grand contrainte
normale :
contrainte tangentielle :
n
max
2maxmR=
La rupture des mtaux en
traction est due auxcontraintes de cisaillement
CritCritre dere de TrescaTresca
Il ny a pas de plastification tant que la contrainte de
cisaillement max ne dpasse pas la demie limite lastique :
-
7/23/2019 2 Structures MMC
87/89
87MK03 : Calcul des structures
p
11p
22p
33
max
n
2eR
e
P
jj
P
ii R
-
7/23/2019 2 Structures MMC
88/89
88MK03 : Calcul des structures
e
PPPPPP
VM R
-
7/23/2019 2 Structures MMC
89/89
89MK03 : Calcul des structures
5,1
6,1
Zn
reste0,150,10,18
0,28
2,1
2,90,1
1,2
2,20,200,15
AlautreTiCrMgMnCuFeSi
Composition chimique nominale % (selon norme EN 573-1) :
tat mtallurgique pour des tles de 1 30 mm : T7351
T73 Trempe + sur-revenu dsensibi lisant la corrosion sous contrainteTxx51 : dtentionnement par traction sans aucun dressage complmentaire aprs la traction.
Proprits mcaniques
2800728370470
(kg.m-3)E (GPa)A%Re0,2 (MPa)Rm (MPa)