2. Semester, NatBas, 14.2 Gruppe 4 Pizza …rapporter.hersing.dk/2/2semester.pdf2. Semester, NatBas,...
Transcript of 2. Semester, NatBas, 14.2 Gruppe 4 Pizza …rapporter.hersing.dk/2/2semester.pdf2. Semester, NatBas,...
2. Semester,
NatBas, 14.2
Gruppe 4
Pizza-TermodynamikTroels Christensen, Sofie Søe, Mikkel Hartmann
Dan Albrechtsen, Daniel Hersing
Vejleder:
Tina Hecksher
i
Abstrakt
Dette projekt omhandler varmetransport i tomater og oste. Motivationen bag dette projekt
kommer af en undren over, hvorfor to forskellige materialer med samme temperatur kan
føles som om de har forskellig temperaturer. De forskellige mekanismer i varmeoverførsel,
bliver forklaret og varmeledning viser sig at beskrive varmetransporten i faste stoffer.
Varmeledningsligningen er omskrevet til sfærisk geometri og løst de for opstillede rand-
betingelser, for at beskrive varmetransporten gennem en tomat og en ost som funktion
af tiden. Dette gør det muligt at bestemme varmediffusionskonstanten, hvilken spiller en
vigtigt rolle i tidsvarierende varmetransports problemer.
Effusiviteten som fungerer som en reciprok modstand for varmeoverførsel, og kan bruges til
at udregne komtakttemperatur mellem to flader, udregnes nar varmediffusionskonstanten
er kendt.
Vi designede et forsøg for at validere antagelsen om at det kun er varmdiffusion som spiller
en vigtigt rolle ved varmetransport gennem tomater og ost samt finde varmediffusionskon-
stanten for disse.
Resultaterne fra eksperimenterne er brugt til at finde effusiviteten af tomat og ost, sa
vi kan beregne kontakt temperaturen mellem huden og tomat/ost. Tomaten ved 80oC er
fundet til at føles 5oC varmere end Havati osten og 4oC varmere end den mellemlagrede
ost, i berøring med huden pa 34oC
Abstract
The project deals with heat transfer in tomato and cheese. The motivation behind this
project emerged after considering why two different materials with the same temperature
can feel as if they have different temperatures. The different mechanisms for heat transfer
are explained and thermal diffusion has proven to be the relevant mechanism for further
examination of the phenomenon. The heat diffusion equation is rewritten in spherical
geometri and solved with known boundery conditions to describe the heat transfer, through
a tomato and a cheese over time.
This makes it possible to determine the thermal diffusivity, which plays an important role
in time varying heat transfer problems. Furthermore it is shown that it is in fact thermal
effusivity which is the relevant factor when dealing with contact temperatures.
An experiment was designed, in order to verify the assumption that heat diffusion is the
ii
relevant mechanism for heat transfer in tomato and cheese and determine the diffusivity
of tomato and cheese. The results are used to find the effusivity of tomato and cheese so
we can calculate the contact temperature between human skin and tomato/cheese.
The experiments show that heat diffusion does in fact describe the heat transfer in tomato
and cheese. The tomato, at 80◦C, is found to feel 5◦C hotter than the Havarti cheese and
4◦C hotter than the ’mellemlagret’ cheese, when touched by human skin at 34◦C.
Indhold
1 Indledning 1
1.1 Problemformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Problemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Varmeoverførsel & Varmediffusion 3
2.1 Termodynamikkens love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Varmeoverførselsmekanismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Varmediffusionsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Effusivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Model 13
3.1 Den sfæriske tomat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Sfæriske polærkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Den eksperimentelle del 21
4.1 Forsøgsopstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Resultater & databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1 Mellemlagret ost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.2 Havarti ost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.3 Tomat 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.4 Tomat 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Effusivitetsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Fejlkilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Diskussion 35
iii
iv INDHOLD
6 Konklusion 37
7 Perspektivering 39
8 Appendix 41
8.0.1 Differentialligning af 1. orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.0.2 Differentialligning af 2. orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.0.3 L’Hopital’s regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.1 MatLab kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.1.1 Fil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.1.2 Fil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.3 Fil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.1.4 Fil 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2 Udregnelse af varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2.1 Udregnelse af varians for tomatforsøg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2.2 Udregnelse af varians for tomatforsøg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2.3 Udregnelse af varians for Havarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2.4 Udregnelse af varians for den mellemlagret ost . . . . . . . . . . . . 48
Kapitel 1
Indledning
To forskellige materialer med samme temperatur kan føles som om, de har forskellige
temperaturer. Tag for eksempel et bord der har staet længe i et lokale med konstant
temperatur, sa alle materialer i bordet har indstillet sig til samme temperatur. Her føles
bordpladen af træ varmere end bordbenet af metal. Det samme er tilfældet pa en pizza -
pizzaen har været i ovnen lang tid og hele pizzaen har samme temperatur. Idet man tager
en bid af den meget varme pizza, vil man brænde sig mere pa tomaten, end man gør pa
osten.
Motivationen bag denne rapport er skabt af en undren over dette naturvidenskablige fæ-
nomen og en generel interesse for matematik og fysik.
Vi har valgt at tage udgangspunkt i det sidste af de to ovennævnte eksempler.
1.1 Problemformulering
Hvorfor brænder vi os pa tomaten, i højere grad end pa osten, nar vi spiser pizza?
1.2 Problemanalyse
Nar et materiale bliver udsat for en temperaturændring, vil det optage/afgive varme, ind-
til det har samme temperatur som sine omgivelser. Nar to forskellige materialer har naet
en ligevægtstemperatur med omgivelserne, vil disse saledes have samme temperatur. Men
selvom materialerne har samme temperatur, vil de ikke nødvendigvis føles sadan. Det skyl-
des effusiviteten (en konstant, der hjælper os til at bestemme den temperatur vi føler ved
berøring med et materiale), som bliver beskrevet nærmere i afsnit 2,8. Varmeeffusiviteten
1
2 KAPITEL 1. INDLEDNING
har direkte sammenhæng med varmediffusionen gennem materialet. Vi har designet vores
forsøg, sa vi kan male temperaturen ift. afstanden og tiden. Denne kan beskrives med
varmediffusionligningen, som vi vil analysere: Hvordan fremkommer ligningen, og hvilke
løsninger knytter sig til denne. Vores problem lyder pa, hvorfor tomaten pa en pizza føles
varmere end osten. Vi vil derfor sende varme gennem en tomat og en ost, og bruge vores
forsøgsresultater til at finde en diffusionskonstant for hhv. tomaten og osten.
1.3 Metode
I 2. semester pa den Naturvidenskablige basisuddannelse pa RUC lægger semesterbindin-
gen op til et samspil mellem teori, model og eksperiment. Dette sammenspil er ikke altid
abenlyst, derfor redegøres der nu for samspillet i dette projekt.
Figur 1.1: Figuren viser samspillet mellem model, teori og eksperiment.
Vi undrer os over et virkeligt fænomen fra hverdagen. Dette fænomen er meget komplekst
da en række faktorer som er svære at kvantificere spiller ind. Vi ser bort fra mange af disse
faktorer, og dette medfører en forsimpling af fænomenet (model, pil 1 fra figur 1.1). Mo-
dellen sætter nogle rammer for, hvilket eksperiment der skal udføres (pil 2). Eksperimentet
udføres for at se om denne model kan beskrive det virkelige fænomen tilfredsstillende (pil
3). Hvis modellen ikke kan dette, ma en ny model laves og testes (pil 4), osv. 3.
Kapitel 2
Varmeoverførsel & Varmediffusion
I dette kapitel vil de grundlæggende egenskaber ved varme blive beskrevet med termody-
namikkens love. Idet varme kan overføres pa flere forskellige mader, vil der blive redegjort
for, hvilken type varmeoverførsel vi i vores projekt beskæftiger os med. Vi fortsætter med
udledningen af varmediffusionsligningen, da denne beskriver netop vores eksperiments ty-
pe varmeoverførsel. Teorien bag kontakttemperaturen som man føler ved berøring af et
materiale, vil ogsa blive gennemgaet.
2.1 Termodynamikkens love
Inden der tages fat pa en gennemgang af varmediffusionsligningen, er det vigtigt at forsta,
hvordan varme opfører sig. Til at beskrive dette fænomen benyttes termodynamikkens 3
første hovedsætninger. Følgende afsnit er baseret pa [Both and Christiansen]
Termodynamikkens 0. hovedsætning
Denne hovedsætning beskriver den termiske ligevægt mellem materialer.
Hvis et legeme A er i termisk ligevægt med at andet legeme B, og hvis et legeme
C er i termisk ligevægt med legemet B, da vil A være i termisk ligevægt med
C.
Termisk ligevægt vil sige, at de to materialer ikke udveksler energi med hinanden.
3
4 KAPITEL 2. VARMEOVERFØRSEL & VARMEDIFFUSION
Termodynamikkens 1. hovedsætning
Denne hovedsætning beskriver ændringen af et materiales indre energi, hvilken afhænger
af den tilførte varme og det udførte arbejde.
dE = dQ+ dW (2.1)
hvor dE er en ændring i den indre energi, dQ er varmetilførslen og dW er det udførte ar-
bejde. Det skal ogsa nævnes, at denne hovedsætning definerer selve varmebegrebet saledes:
Varme defineres som den form for energi der overføres fra et system til et
andet, pa grund af temperaturforskellen mellem systemerne
Termodynamikkens 2. hovedsætning
Denne lov beskriver mængden af entropien i et system. Alle energiformer kan omdannes
fuldstændigt til varme, men det er ikke muligt at omdanne varme fuldstændigt tilbage til
den energiform den kom fra. Det er derfor umuligt at formindske entropien, eller sagt med
andre ord:
∆S ≥ 0 (2.2)
Hvor ∆S er en ændringen af systemets entropi.
2.2 Varmeoverførselsmekanismer
Der er tre forskellige mekanismer, der kan overføre varme; konvektion, straling og varme-
ledning.
Konvektion
Konvektion opstar nar der sker en strømning af et eller flere fluide stoffer. Da partiklerne
kan bevæge sig frit mellem hinanden, kan varmen udbrede sig langt hurtigere. F.eks. opstar
konvektion nar suppe varmes op i en gryde under omrøring.
Det antages, at bade tomaten og osten er faste stoffer sa de enkelte partikler er bundet i
et fast gitter, og dermed er uden mulighed for at danne konvektion.
Varmestraling
Varmestraling er betegnelsen for den energioverførsel der foregar, nar der sker en lys-
udveksling i forbindelse med varmeoverførslen. Alle legemer genererer elektromagnetiske
2.3. VARMEDIFFUSIONSLIGNINGEN 5
bølger pa grund af termiske molekylebevægelser, denne straling bliver dog først betydende
ved høje temperaturer (ca. 700 K).[Both and Christiansen]
I vores tilfælde opererer vi ved temperaturer mellem 0oC og 100oC, derfor har varme-
straling en meget lille indflydelse og denne antages at være uden betydning.
Varmeledning
Varmeledning er betegnelsen for den varmeoverførsel der foregar, nar atomare partikler
støder sammen, uden at der foregar en udveksling af stof. Det er saledes kun varme der
overføres. Dette er den relevante mekanisme i vores tilfælde, da det netop er denne, der
beskriver varmetransporten i et fast stof. Denne kan dog ikke besvare vores problemfor-
mulering, da denne kun beskriver det tidsuafhængige fænomen. Ved hjælp af varmeled-
ningsligningen kan vi finde varmediffusionsligningen, som beskriver varmediffusion som
funktion af tiden og positionen. Der er altsa en klar sammenhæng mellem varmeledning
og varmediffusion. Dette bliver yderligere uddybet i følgende afsnit.
2.3 Varmediffusionsligningen
I det følgende afsnit vil vi udlede varmediffusionen for en-dimensionelle legemer.
Afsnittet er skrevet udfra [redwoods.].
Udtryk 1
Eksperimenter har vist, at tilvæksten af varmen ∆Q i et volumen ∆V kan udtrykkes ved:
∆Q = cρT∆V (2.3)
Hvor c er den specifikke varmekapacitet, ρ er densiteten, T er temperaturen og ∆V er et
volumen. Nu betragtes en cylinder, som er perfekt isoleret langs dens længde; der kan altsa
kun udveksles varme gennem endefladerne. Cylinderen bestar af et homogent materiale.
Cylinderens længde kaldes L og et punkt x pa cylinderen vælges saledes at 0 ≤ x ≤ L. (Se
figur 2.1).
Den eneste parameter der afhænger af positionen og tiden, er temperaturen. Derfor kan
der skrives:
∆Q = cρT (x, t)∆V (2.4)
Tværsnitsarealet af cylinderen defineres som S. En ændring i positionen x fra x1 til x2
betragtes. Da vil ∆V = ∆xS (se figur 2.2).
6 KAPITEL 2. VARMEOVERFØRSEL & VARMEDIFFUSION
Figur 2.1: Figuren viser cylinderen med længden L og et uafhængigt punkt x
Figur 2.2: Det skraverede omrade pa cylinderen repræsenterer volumenet ∆V
Derfor kan mængden af varmen i volumenet beskrives ved:
∆Q = cρT (x, t)∆xS (2.5)
For at finde mængden af varmen i volumenet ∆V i forhold til tiden t, tages intergralet af
S fra x1 til x2.
Q(t) =∫ x2
x1
cρT (x, t)Sdx (2.6)
Nu findes ændringen i energi i forhold til tiden, dette gøres ved at differentiere i forhold
til t pa begge sider:dQ
dt=∫ x2
x1
cρ∂T
∂tSdx (2.7)
Konstanterne sættes uden for intergralet, og der fas:
dQ
dt= cρS
∫ x2
x1
∂T
∂tdx (2.8)
Dette er den ene made at udtrykke ændringen i varme over tid.
Udtryk 2
Til den anden metode beskrives ændringen af temperaturen i et materiale vha. Fouriers
lov, som er skabt ud fra eksperimentielle erfaringer:
∆Q = −λ∂T∂x
(x, t)S (2.9)
2.3. VARMEDIFFUSIONSLIGNINGEN 7
Hvor ∆Q er ændringen i varme, λ er varmeledningsevnen, ∂T∂x er temperaturen diffentieret
i forhold til x, S er tværsnitsarealet, x er positionen og t er tiden.
Figur 2.3: Figuren viser retningen af varmen som strømmer gennem volumenet ∆V , hvor
x2 er varmere end x1
Ser vi pa 2.3, vil varmen der løber ind ved x2 være givet ved:
λ∂T
∂x(x2, t)S (2.10)
Samtidig vil varmen der løber ud ved x1 være givet ved:
−λ∂T∂x
(x1, t)S (2.11)
Pa grund af termodynamikkens 2. hovedsætning og cylinderens perfekte isolering, sammen
med 1. hovedsætnings definition af energibevarelse ved vi, at varmestrømmen i volumenet
∆V vil være lig med differencen af varmestrømmen gennem x1 og x2.
dQ
dt= λ
[∂T
∂x(x2, t)−
∂T
∂x(x1, t)
]S (2.12)
Ved at benytte intergralregningens fundementalsætning, kan denne omskrives til:
dQ
dt=∫ x2
x1
∂
∂x
(λ∂T
∂xS
)dx (2.13)
Da S og λ er konstanter, kan vi rykke disse udenfor:
dQ
dt= λS
∫ x2
x1
∂2T
∂x2dx (2.14)
Dette er den anden made at udtrykke ændringen i varme over tid pa.
8 KAPITEL 2. VARMEOVERFØRSEL & VARMEDIFFUSION
Kombinationen af disse to udtryk
Vi har nu to udtryk der er givet ved:
dQ
dt= cρS
∫ x2
x1
∂T
∂tdx (2.15)
dQ
dt= λS
∫ x2
x1
∂2T
∂x2dx (2.16)
Disse to kan sammensættes og skrives som:
cρS
∫ x2
x1
∂T
∂tdx = λS
∫ x2
x1
∂2T
∂x2dx (2.17)
Det ses her, at S gar ud, og der divideres pa begge sider med cρ:∫ x2
x1
∂T
∂tdx =
λ
cρ
∫ x2
x1
∂2T
∂x2dx⇐⇒ (2.18)
∫ x2
x1
(∂T
∂t− λ
cρ
∂2T
∂x2
)dx = 0 (2.19)
Den eneste made dette udtryk kan give nul, uanset værdierne af x1 og x2, vil være idet,
funktionen i intergralet giver nul:
∂T
∂t− λ
cρ
∂2T
∂x2dx = 0 (2.20)
hvilket leder til den kendte varmediffusionsligning, hvor λcρ = D, der angiver ændringen i
temperaturen i et volumen:∂T
∂t−D∂
2T
∂x2= 0⇐⇒ (2.21)
∂T
∂t= D
∂2T
∂x2(2.22)
I tre dimentioner vil denne være givet ved:
∂T
∂t= DOT (2.23)
Denne er forarsaget af en mængde af varme, der flyder gennem et areal med en bestemt
tykkelse i løbet af en tid, som har en temperaturforskel mellem materialets overflade og
resten af materialet.
2.4. EFFUSIVITET 9
2.4 Effusivitet
I det forrige afsnit udledte vi varmediffusionsligningen, som skal bruges til at bestemme D.
Dette lægger nu op til muligheden for at kunne bestemme effusiviteten. Effusivitet siger
noget om, hvor stor admitansen (den reciprokke modstand) ved varmeoverførelse, fra et
legeme til et andet, bliver. Det vil i vores tilfælde f.eks. sige, at effusiviteten kan bruges
til at fortælle, hvad temperaturen mellem vores handflade og overfladen pa en tomat er.
Det er altsa effusiviteten, som giver os det endelige svar pa vores problemformulering.
Effusiviteten er givet ved:
ε =√λρc =
λ√D
= ρc√D (2.24)
hvor λ er varmeledningsevnen, ρ er densiteten, c er den specifikke varmekapacitet og D er
varmediffusionskonstanten. Effusiviteten er altsa proportional med, hvor meget varmee-
nergi der er pr. masse (c), hvor tæt pakket denne masse er (ρ) og kvadratet af, hvor hurtigt
temperaturen ændrer sig i volumenet (√D)
For at vise, hvordan effusiviteten spiller en rolle nar ens hand er i berøring med et andet
materiale, vil vi analysere et halv uendeligt materiale med starttemperatur T0, hvor over-
fladen bliver udsat for temperaturen T1
Vi starter med at se pa varmediffusionsligningen:
∂T
∂t= D
∂2T
∂x2(2.25)
For et halvuendeligt materiale har vi grænserne T (x = 0, t ≥ 0) = T1 og T (x > 0, t = 0) =
T0
Løsningen pa varmediffusionsligningen bliver da [Marin, 2006]:
T (x, t) = T1 + (T0 − T1)erfx
2√Dt (2.26)
Fouriers lov om varmeledning er:
Jq = −λ∂T (x, t)∂x
, (2.27)
hvor Jq er varmefluxen.
Indsætter vi løsningen pa varmediffusionsligningen i denne, far vi [Marin, 2006]:
Jq =λ(T1 − T0)√
πDtex2
4Dt (2.28)
10 KAPITEL 2. VARMEOVERFØRSEL & VARMEDIFFUSION
Da det er en overfladetemperatur vi er interesserede i, indsættes x = 0:
jqλ(T1 − T0)√
πDt(2.29)
λ√D
=ε, sa vi kan skrive:
jq =ε(T1 − T0)√
πt(2.30)
Hvis man nu forstiller sig at sætte to halvuendelige materialer mod hinanden, ma var-
meledningen fra det ene materiale til det andet være lig hinanden. Samtidig vil de fa en
fælles kontakttemperatur pa deres overflade. Altsa den temperatur der vil være mellem
ens handflade og hvad man sætter den op imod. Denne sættes til TK og erstatter T0. Det
giver os altsa:ε1(T1 − TK)√
πt=ε1(T2 − TK)√
πt(2.31)
TK isoleres og giver ligningen:
TK =ε1T1 + ε2T2
ε1 + ε2(2.32)
hvor ε1 og T1 er hhv. effusiviteten og temperaturen af det ene legeme og ε2 og T2 er hhv.
effusiviteten og temperaturen af det andet legeme. Hvis ε1 = ε2, ligger TK midt mellem T1
og T2, men hvis ε1 > ε2 vil TK være tættere pa T1. Tilsvarende hvis ε1 < ε2, vil TK ligge
tættere pa T2.
Dette er grunden til, at to materialer med samme temperatur, men med forskellig effusi-
viteter, kan føles som om de har forskellige temperaturer.
Vi benytter eksemplet fra tidligere og udregner forskellen pa at sætte handen pa et stykke
træ og et stykke metal, der har den samme temperatur. I begge tilfælde repræsenterer vi
vores hand ved at sætte ε1 til at have værdien for menneskehud og T1 til 37oC (310K),
som er almindelig kropstemperatur. T2 bliver i begge tilfælde valgt til 25oC (298K). ε2
sættes til de respektive værdier for hhv. træ og metal (Se tabel 2.1).
1120Jm−2K−1s−1/2 · (37K + 273K) + 380Jm−2K−1s−1/2 · (25K + 273K)1120Jm−2K−1s−1/2 + 380Jm−2K−1s−1/2
= 307K = 34oC
(2.33)
Nu udregnes kontakttemperaturen for et metal; vi kan se at ε ligger omkring 15.000Jm−2K−1s−1/2
for metallerne:
2.4. EFFUSIVITET 11
Tabel 2.1: Egenskaber for forskellige homogene materialer ved stuetemperatur[Salazar,
2003]
Materiale K(Wm1K−1
)D(106m2s−1
)ε(Jm−2K−1s−1/2
)ρc(10−6Jm−3K−1
)Diamant 2300 1290 64040 1.78
Cu 400 116 37140 3.45
K 102 158 8150 0.65
Co 100 24.6 20150 4.05
Ni 91 23 19400 3.95
Pb 35 23 7300 1.52
Glas 1.11 0.56 1480 1.98
PVC 0.20 0.15 515 1.33
Hardt træ 0.16 1.77 380 0.09
Menneskehud 0.37 0.109 1120 3.39
1120Jm−2K−1s−1/2 · (37K + 273K) + 15000Jm−2K−1s−1/2 · (25K + 273K)1120Jm−2K−1s−1/2 + 15000Jm−2K−1s−1/2
= 299K = 26oC
(2.34)
Vi kan altsa se, at metal ved berøring vil føles som om det er 8oC koldere end træ, selvom
begge materialer har en temperatur pa 25oC.
Kapitel 3
Model
Vi har lavet følgende antagelser: Legemet der undersøges er kugleformet og homogent.
Temperaturen T1 omkring legemet er konstant under hele forsøget, og legemet har en uni-
form temperatur T0 ved starten af forsøget. Disse antagelser er valgt, fordi det muliggør
et forholdsvist simpelt eksperiment.
Vi har antaget, at varmediffusion alene beskriver den varmetransport der sker i en tomat og
ost. Derfor findes en løsning for varmediffusionsligningen med ovenstaende randbetingelser.
Saledes vil vi være i stand til at teste, om modellen stemmer overens med virkeligheden.
Derudover antages der, at det er to halvuendenlige materialer der er i berøring med hin-
anden, idet kontakttemperaturen findes.
Sidst antages det, at varmekapaciteten er konstant under temperaturforandringer.
3.1 Den sfæriske tomat
Følgende afsnit er udarbejdet efter [Blundell and Blundell, 2006], og tager udgangspunkt
i en tomat, som ligesa godt kunne have været erstattet af en ost
En tomat placeres i et termokar. Tomaten har en starttemperatur pa T0 og vandet omkring
tomaten antages at have temperaturen T1. Disse antagelser leder til følgende grænsevær-
dier:
T (a, t) = T1 ∧ T (r, 0) = T0 (3.1)
Der stræbes efter en løsning med disse grænseværdier, som beskriver varmediffusionen
gennem tomaten som funktion af tid (t) og afstand fra centrum (r). Vi starter med at lave
et matematisk trick:
T (r, t) = T ⇐⇒ T (r, t) = T + T1 − T1 (3.2)
13
14 KAPITEL 3. MODEL
Figur 3.1: Modellen viser vores randbetingelser.
T (r, t) = T1 + (T − T1)⇐⇒ T (r, t) = T1 +r (T − T1)
r(3.3)
Vi definerer nu B = r (T − T1), og derfor kan man lave følgende omskrivning:
T (r, t) = T1 +B (r, t)r
(3.4)
Denne differentieres i forhold til r og t, først udføres differentationen i forhold til t:
∂T
∂t=
1r
∂B
∂t(3.5)
Og sa r:
∂T
∂r= −B
r2+
1r
∂B
∂r(3.6)
Vi ganger igennem med r2:
r2∂T
∂r= −B + r
∂B
∂r(3.7)
Der differentieres i forhold til r:
3.1. DEN SFÆRISKE TOMAT 15
∂
∂r
[r2∂T
∂r
]= −∂B
∂r+ r
∂2B
∂r2+ 1
∂B
∂r⇐⇒ (3.8)
∂
∂r
[r2∂T
∂r
]= r
∂2B
∂r2(3.9)
Denne ligning vil blive brugt senere til at lave en smart omskrivning. Først skal vi se pa
O2T for sfæriske, polære koordinater.
3.1.1 Sfæriske polærkoordinater
Under antagelse af, at tomaten er en perfekt kugle, vil det være meget anvendeligt at
ændre koordinatsystemet til et sfærisk, polært koordinatsystem. Den dobbelte gradient til
T er givet ved følgende:
O2T =1r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)+(
1r2 sin θ
)∂
∂θ
(sin θ
∂T
∂θ
)+
1r2
sin θ∂2T
∂φ2(3.10)
Det smarte ved at ændre koordinatsystemet er nu, at T hverken afhænger af θ eller φ
da det er en perfekt symmetrisk kugle, sa de to sidste led i ligning 3.10 forsvinder. Den
dobbelte gradient til T kan skrives som:
O2T =1r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)(3.11)
16 KAPITEL 3. MODEL
Ved at udnytte ligning 2.22 fra 2.3, kan denne omskrives til:
∂T
∂t= D
1r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)⇐⇒ (3.12)
∂T
∂t
1Dr2 =
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)(3.13)
Denne kan nu indsættes i ligning 3.5.
∂
∂r
[r2∂T
∂r
]= r
∂2B
∂r2⇐⇒ ∂T
∂t
1Dr2 = r
∂2B
∂r2(3.14)
Nu kan ligning 3.9 indsættes sa man kommer frem til det pæne svar:
1r
∂B
∂t
1Dr2 = r
∂2B
∂r2⇐⇒ (3.15)
∂B
∂t= D
∂2B
∂r2(3.16)
Hvor D er varmediffusionskonstanten. Da problemet er blevet skrevet om i et nyt koordi-
natsystem, vil der ogsa opsta nye grænser. Disse grænser kommer udfra vores definition
B = r(T − T1)
1) r = 0→ B(0, t) = 0
2) a = r → T = T1 og B(a, t) = 0, hvor a er radius af legemet.
3) t = 0→ T = T0 og B(r, 0) = r(T0 − T1)
Nar tiden er 0, er der endnu ikke sket nogen ændring, og dermed er temperaturen i legemet
den samme som starttemperaturen.
Løsning
Vi tager udgangspunkt i ligning 3.16. Vi antager, at vores løsning kan skrives op som
to funktioner, hvor den ene kun afhænger af r og den anden kun af t. Dvs: B (r, t) =
R (r)T (t) . Dette sætter vi ind i ligning 3.16
∂T (t) ·R (r)∂t
= D∂2R (r) · T (t)
∂r2(3.17)
3.1. DEN SFÆRISKE TOMAT 17
Vi dividerer igennem med R (r) · T (t) og med D, og far:
R′′
R=
T ′
DT= −γ2 (3.18)
Her har vi skiftet notationsform fradf (t)dt
til f ′ for overskuelighedens skyld.
Da venstre side kun er afhængig af R og højre side kun er afhængig af T, er de to sider
uafhængige af hinanden og lig en konstant. Denne konstant kalder vi: −γ2
Gør vi dette far vi de to ligninger:
R′′ = −Rγ2 ⇐⇒ R′′ +Rγ2 = 0 (3.19)
T ′ = −DTγ2 ⇐⇒ T ′ +DTγ2 = 0 (3.20)
Ligning 3.19 er en 2. ordens differentialligning og har løsningen (Se appendix):
R(r) = A cos(γr) +B sin (γr) (3.21)
Ligning 3.20 er en 1. orden differentialligning og har løsningen (Se appendix):
T (t) = Ce(−Dγ2t) (3.22)
Det giver os ligningen:
B (r, t) = R (r)T (t) = (A cos (γr) +B sin (γr))Ce(−Dγ2t) (3.23)
Dette er løsningen pa ligning 3.16, vi skal nu bruge vores randbetingelser pa denne.
Randbetingelse 1
Randbetingelse 1 siger at r = 0→ B(0, t) = 0
Indsætter vi dette far vi:
B (0, t) = (A cos (γ0) +B sin (γ0))Ce(−γ2Dt) = 0 (3.24)
B (0, t) = (A cos (γ0) + 0)Ce(−γ2Dt) = 0 (3.25)
Det ses, at hvis udtrykket skal give 0, er A nødt til at være 0. Det giver os udtrykket:
B (r, t) = An sin (γr) e(−γ2Dt) (3.26)
Hvor An = BC
18 KAPITEL 3. MODEL
Randbetingelse 2
Randbetingelse 2 siger, at a = r → T = T1 og B (a, t) = 0. Hvis det skal kunne lade sig
gøre, skal sin (γa) = 0. Dermed skal γ = nπa , hvor n er et helt tal. Vi far:
B (r, t) = An sin(nπar)e
“−(nπa )2
Dt”
(3.27)
Den generelle løsning fas ved at summere over alle n og kan skrives:
B (r, t) =∞∑n=0
An sin(nπar)e
“−(nπa )2
Dt”
(3.28)
Randbetingelse 3
Randbetingelse 3 siger, at nar t = 0, er T = T0 og B (r, 0) = r (T0 − T1).
t = 0 indsættes:
B (r, t) = r (T0 − T1) =∞∑n=1
An sin(nπar)
(3.29)
Dette er en fourierrække og An kan udregnes ved hjælp af standardformlen for en fourier-
konstant:
br =2L
∫ x0+L
x0
f (x) sin(πrxL
)dx (3.30)
Her er br = An, L = a, f (x) = r (T0 − T1) , r = n, x = r og x0 = 0.
Det giver os:
An =2a
∫ a
0r (T0 − T1) sin
(πnra
)dr (3.31)
An =2a
(T0 − T1)∫ a
0r sin
(πnra
)dr (3.32)
=2a
(T0 − T1)[a2
n2π2sin(πnra
)− ar
nπcos(πnra
)]a0
(3.33)
=2a
(T0 − T1)(− a
2
nπcos (πn)
)=
2a
(T1 − T0) (−1)na2
nπ(3.34)
An = (T1 − T0) (−1)n2anπ
(3.35)
Vi har nu et udtryk for An som opfylder vores tredje og sidste randbetingelse. Vi kan nu
opstille det endelige udtryk for B (r, t):
B (r, t) = r (T − T1) = (T1 − T0)2aπ
∞∑n=1
(−1)n
nsin(nπra
)e
“−(nπa )2
Dt”
(3.36)
Da vi ønsker en ligning for temperaturen, isolerer vi T og opstiller det endelige udtryk:
T = T1 + (T1 − T0)2aπ
∞∑n=1
(−1)n
n
sin(nπra
)r
e
“−(nπa )2
Dt”
(3.37)
3.1. DEN SFÆRISKE TOMAT 19
Ligning 3.37 giver os mulighed for at udregne temperaturen i et kugleformet legeme, ved
en bestemt afstand fra centrum, for r 0 til et bestemt tidspunkt. Se figur 3.2 for et plot af
denne funktion med 3 forskellige værdier for r sadan, at det danner et billede af, hvordan
vores forsøgsresultater forhabentligt vil se ud.
Figur 3.2: Figuren viser et plot af T = T1 + (T1 − T0) 2aπ
∑∞n=1
(−1)n
n
sin(nπra )r e
“−(nπa )2
Dt”
hvor a = 4, T1 = 37C0, T0 = 27C0 og D = 0.000019. r er valgt til 1, 2 og 3.
For r = 0 har vi særtilfældet, hvor vi vil dividere med 0, hvis vi bruger ligning 3.37. For
at undga dette, findes grænsen nar r→0. Dette kan vi gøre ved at finde grænsen for det
led som indeholder r:sin(nπra
)r
(3.38)
Vi benytter her L’Hopital’s grænseregel (se appendix 2) til at fa:
limr→0
sin(nπra
)r
= limr→0
nπ
a
cos(nπra
)1
=nπ
a(3.39)
Indsættes denne grænse, kommer vi frem til:
T = T1 + (T1 − T0)2aπ
∞∑n=1
(−1)n
n
nπ
ae
“−(nπa )2
Dt”⇐⇒ (3.40)
20 KAPITEL 3. MODEL
T = T1 + (T1 − T0) 2∞∑n=1
(−1)n e“−(nπa )2
Dt”
(3.41)
Ligning 3.41 giver os mulighed for at udregne temperaturen i centrum af et kugleformet
legeme til en given tid.
Ligning 3.37 og 3.41 kan bruges til at fitte vores eksperimentelle data udfra. Dette gi-
ver os en mulighed for at fastsla en værdi af varmediffusionskonstanten D for forskellige
kugleformede materialer.
Kapitel 4
Den eksperimentelle del
Dette kapitel omhandler vores forsøg. De forskellige komponenter af forsøget vil blive
beskrevet individuelt og et overordnet billede af forsøget vil blive dannet.
4.1 Forsøgsopstilling
For at udføre vores forsøg har vi gjort brug af følgende komponenter:
• 2 Termokar. (figur 4.2)
• Stativ. (figur 4.3)
• 4 Elektroniske termometre. (figur 4.5)
• Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit. (figur 4.6)
• Computer med Agilent BenchLink Data Logger. (figur 4.7)
• Tomat.
• Flødehavarti.
• Mellemlagret ost.
• Demineraliseret vand.
Osten/tomaten er placeret i stativet. Stativet stilles i termokarret, i kassen der sidder
fast til en bevægende arm se figur 4.1. I tomaten/osten er der sat termometre i bestemte
intervaller fra centrum og ud mod kanten af osten/tomaten. Disse termometre er forbundet
til Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit’en, der er forbundet til computeren. Pa
computeren køres programmet Agilent BenchLink Data Logger.
21
22 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
Figur 4.1: Forsøgsopstilling. Figuren viser en skitse af vores eksperimentet.
Termokar
Der er brugt to termokar til at udføre forsøget. Det ene blev sat til starttemperaturen T0
og det andet til sluttemperaturen T1. Termokarrene blev benyttet for at holde vandets
temperatur konstant over tid. I bunden af termokarret er der placeret et varmelegeme.
Udfra den indre side af termokaret stikker en arm ud, denne kan bevæge sig frem og
tilbage med en ønsket frekvens. Pa denne arm er der monteret en mindre kasse. Denne
kasse har store runde huller i bunden, sa vandet har let ved at strømme gennem kassen. I
hver af de korte sider af kassen stikker der sma flader ud, sadan at vandet bliver holdt i
bevægelse, nar armen bevæger sig. Se figur 4.2. Denne bevægelse gør, at vi kan antage at
temperaturen i termokarret er konstant.
Figur 4.2: Termokar. Billedet viser termokarrene der er blevet benyttet til eksperimentet.
Stativ
Stativet bruges til at holde tomaten/osten fast under forsøget. Stativet bestar af plexiglas,
plast og metal. Basen af stativet er lavet af plexiglas (se figur 4.3). Der er runde huller i den
4.1. FORSØGSOPSTILLING 23
for, at vandet kan flyde frit rundt om tomaten/osten. Derudover er der en udhulning i den
sa tomaten/osten holdes bedre fast. Pa basen er der placeret to søjler af metal, som bærer
en stang over basen. Fra denne stang nedsænkes en holder som spænder tomaten/osten
fast.
Figur 4.3: Stativet. Billedet viser stativet der bliver brugt til at holde tomaten/osten fast
under vandet.
Elektroniske termometre
I forsøget bruges der fire elektriske termometre til at male temperaturen ind gennem to-
maten/osten.
Termometeropbygning: Termometrene er opbygget af termoelementer. Termoelementer
bestar af to metaller, som er loddet sat sammen i to punkter. Se figur 4.4. Vores termoe-
lement er af typen k, opbygget af Nickel belagt med henholdsvis Chrom og Aluminium,
og kan male fra omkring -200C til 1250C, med en absolut præcision pa 1-1,5oC. Nar man
sætter de to punkter til forskellige temperaturer, vil der bliver skabt en spænding mellem
dem. Denne spænding ændrer sig proportionalt med temperaturforskellen pa de to punk-
ter. Temperaturen i et punkt kan altsa let beregnes ved at sætte det andet punkt til en
kendt temperatur, og sa male spændingen mellem de to punkter.
I vores system bliver det kendte punkt styret af computerprogrammet Agilent BenchLink
Data Logger. Her kan vi ved hjælp af programmet kunstigt ændre temperaturen af punk-
tet. Pa den made er det muligt at give samme referencepunkt til alle fire termometre vi
benytter.
24 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
Figur 4.4: Figuren viser opbygningen af termometeret
Figur 4.5: Termometre. Billedet viser termometrene brugt til at udføre forsøget.
Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit
Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit styrer termometrene (se figur 4.6). Den
er forbundet til computeren sadan, at den kan styres ved hjælp af programmet Agilent
BenchLink Data Logger.
Figur 4.6: Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit
Agilent BenchLink Data Logger
Computerprogrammet vi har brugt til at styre vores forsøg hedder Agilent BenchLink Data
Logger. Programmet gør det muligt at styre hastigheden hvormed termometrene maler.
Derudover viser programmet termperaturen malt af hvert af de enkelte termometre, samt
plotter malingerne som en funktion af tid og temperatur (se figur 4.7 for at se programmets
interface).
4.1. FORSØGSOPSTILLING 25
Figur 4.7: Agilent BenchLink Data Logger. Billedet viser programmets interface.
Tomaten
Tomaterne brugt i forsøget er tomater af almindelig standard fra supermarkedet. Vi har
dog prøvet at udvælge de tomater, som havde den mest kuglerunde form.
Osten
Vi har udført forsøget med to forskellige oste, en Havarti og en Klovborg.
Havarti er en mild flødehavarti 60+ (38 % fedt) fra Mejlyst. Ekstra fuldfed, modnet og
uden skorpe. Ingredienser: 98% mælk, salt mælkesyrekultur og osteløbe. Saltindhold: 1,7
gr. pr. 100 gr.
Den anden ost der blev brugt, er en klovborg mellemlageret 45+ (25% fedt) fra arla.
Ingredienser: Mælk, salt, mælkesyrekultur og osteløbe. Saltindhold 2 gr. pr. 100 gr. For
at fa flødehavartien til at blive kuglerund, varmede vi den først i hænderne, hvorefter den
blev sa blød, at man med lidt masen med fingrene kunne forme den til en kugle. Klovborg
mellemlagret var dog ikke ligesa medgørelig. Grundet det lavere fedtindhold var den mere
fast, og skulle derfor snittes til den kuglerunde form.
26 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
Figur 4.8: Ostene. Billedet viser de oste der blev brugt til at udføre forsøget.
Demineraliseret vand
I forsøget bruges der demineraliseret vand i termokarret for at undga rustning af termokar-
ret.
4.2. RESULTATER & DATABEHANDLING 27
4.2 Resultater & databehandling
De forskellige malinger der blev foretaget ved hvert enkelt forsøg er blevet plottet og ved
hjælp af mindste kvadraters metode, blev der fittet en værdi af D. Matlab koden er at
finde i appendix.
4.2.1 Mellemlagret ost
0 500 1000 1500 2000 2500 300015
20
25
30
35
40mellem1
time [s]
tem
pera
ture
[C]
Figur 4.9: Kurven viser de fire termometres maledata. De røde linjer viser de udregnede
kurver, som er fundne med den fittede gennemsnitsværdi for D = 8.62 · 10−8m2s−1.
Konstanterne er malt og sat til: T0 = 18oC, T1 = 37oC og a = 0.025m.
Malingerne blev foretaget for: r1 = 0m, r2 = 0.005m, r3 = 0.01m og r4 = 0.015m.
Tabel 4.1: r og D for alle fire termometre.
r[m] D[10−8m2s1]
0 8.21
0.005 8.27
0.010 7.7
0.015 10.3
28 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
Gennemsnitsværdien af D findes til (8.62 ± 0.1) · 10−8m2s−1. Se appendix for udregning
af variansen.
4.2.2 Havarti ost
0 2000 4000 6000 8000 100005
10
15
20
25
30
35
40Havarti1
time [s]
tem
pera
ture
[C]
Figur 4.10: Kurven viser de fire termometres maledata. De røde linjer viser de udregnede
kurver fundne med den fittede gennemsnitsværdi af D = 7.1 · 10−8m2s−1.
Konstanterne er malt og sat til: T0 = 8.2oC, T1 = 37oC og a = 0.04m.
Malingerne er foretaget i: r1 = 0m, r2 = 0.01m, r3 = 0.02m og r4 = 0.03m.
Tabel 4.2: r og D for alle fire termometre.
r[m] D[10−8m2s1]
0 7
0.01 7.6
0.02 7.2
0.03 6.5
Gennemsnitsværdien af D findes til (7.1± 0.0645) · 10−8m2s−1. Se appendix for udregning
af variansen.
4.2. RESULTATER & DATABEHANDLING 29
4.2.3 Tomat 1
0 500 1000 1500 2000 2500 300020
25
30
35
40Tomat1
time [s]
tem
pera
ture
[C]
Figur 4.11: Kurven viser de fire termometres maledata. De røde linjer viser de udregnede
kurver fundne med den fittede gennemsnitsværdi af D = 1.62 · 10−7m2s−1.
Konstanterne er malt og sat til: T0 = 25oC, T1 = 37oC og a = 0.036m.
Malingerne er foretaget i: r1 = 0m, r2 = 0.007m, r3 = 0.014m og r4 = 0.021m.
Tabel 4.3: r og D for alle fire termometre.
r[m] D[10−7m2s1]
0 1.61
0.007 1.61
0.014 1.68
0.021 1.58
Gennemsnitsværdien af D findes til (1.62±0.0262) ·10−7m2s−1. Se appendix for udregning
af variansen.
30 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
4.2.4 Tomat 2
0 500 1000 1500 2000 2500 30005
10
15
20
25
30
35
40Tomat2
time [s]
tem
pera
ture
[C]
Figur 4.12: Kurven viser de fire termometres maledata. De røde linjer viser de udregnede
kurver fundne med den fittede gennemsnitsværdi af D = 1.58 · 10−7m2s−1.
Konstanterne er malt og sat til: T0 = 9.5oC, T1 = 37oC og a = 0.036m.
Malingerne er foretaget i: r1 = 0m, r2 = 0.01m, r3 = 0.02m og r4 = 0.027m.
Tabel 4.4: D for alle fire termometrer[m] D[10−7m2s1]
0 1.52
0.01 1.62
0.02 1.56
0.027 1.63
Gennemsnitsværdien af D findes til (1.58±0.0329) ·10−7m2s−1 Se appendix for udregning
af variansen.
4.3. EFFUSIVITETSBEREGNING 31
4.3 Effusivitetsberegning
Vi vil benytte vores fundne D-værdier til at udregne en teoretisk effusivitet for tomat og
ost, hvilken kan give svaret pa, hvad der føles varmest ved berøring.
Af de to tomatforsøg far vi en gennemsnitsværdi af D pa 1.6 · 10−7m2s−1.
Mellemlagret ost: D = 8.62 · 10−8m2s−1
Havarti ost D = 7.1 · 10−8m2s−1.
Vi benytter formlen:
Tk =ε1T1 + ε2T2
ε1 + ε2(4.1)
Da det ikke lykkedes os at finde ρc eksperimentielt, vil vi beregne effusiviteten ved hjælp
af værdier vi har fundet i litteraturen.
ctomat = 3980J
kg ·K, ρtomat = 960
kg
m3, cost = 3250
J
Kg ·Kog ρost = 1030
kg
m3
Disse værdier er tager fra følgende hjemmesider:
http : //www.engineeringtoolbox.com/specific− heat− capacity − food− d295.html
http : //www.person.sdu.dk/kvc/2007fall/V armetransmission/opgavetekst/Opgavetekst2007.pdf
http : //www.springerlink.com/content/6479372833621247/fulltext.pdf
http : //da.wikipedia.org/wiki/Massefylde
Vi sætter ε1 = 1120J ·m−2K−1s−1/2, som er værdien for menneskehud T1 = 310K. Pizza-
ens temperatur sætter vi til T2 = 353K og ε beregnes for osten og tomaten.
Først udregnes ε for tomaten:
εtomat = 3980J
Kg ·K· 960
kg
m3·√
1.6 · 10−7m2s−1 = 1528.3J ·m−2K−1s−1/2 (4.2)
ε for Havartiosten:
εHavarti = 3250J
Kg ·K· 1030
kg
m3·√
7.1 · 10−8m2s−1 = 892J ·m−2K−1s−1/2 (4.3)
ε for den mellemlagrede ost:
εmellem = 3250J
Kg ·K· 1030
kg
m3·√
8.62 · 10−8m2s−1 = 983J ·m−2K−1s−1/2 (4.4)
Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og tomat:
TK =1120 · 310 + 1528.3 · 353
1120 + 1528.3K = 334K = 61oC (4.5)
32 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL
Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og Havartiosten:
TK =1120 · 310 + 892 · 353
1120 + 892K = 329K = 56oC (4.6)
Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og den mellemlagrede ost:
TK =1120 · 310 + 983 · 353
1120 + 983K = 330K = 57oC (4.7)
Ved 800C vil tomaten føles som om den er 40C varmere end den mellemlagrede ost og 50C
varmere end Flødehavartien.
4.4 Fejlkilder
Usikkerhed i male-radius
Der vil være en maleusikkerhed idet radius af tomaten/osten males og ogsa en usikkerhed
idet, der males med hvilken afstand termometeret nedsættes. For at fa omrørt vandet var
tomaten placeret i en rystekasse, hvilket gjorde at termometerne bevægede sig lidt. Da
tomaten er rund vil termometerne sidde bedre fast jo tættere de sidder pa centrum, sa
de yderste termometre kan risikere at rive sig løs. Altsa vil termometerne ikke male tem-
peraturen i den afstand fra centrum, som er noteret, og usikkerheden vil blive større som
radius bliver større. Et eksempel pa, at termometrene har revet sig løs, ses pa4.13.
I dette forsøg revnede skallen pa tomaten og termometerne rev sig løst og bevægede sig
frem og tilbage. Dette betød at temperaturerne svang meget mere i malingerne og samtidig
steg meget hurtigere for nogle af termometrene.
Usikkerhed i geometri
I modellen antages det, at bade tomaten og osten er kuglerunde. Dette er tydeligvis ikke
i virkeligheden, og dette kan føre til en ikke-uniform opvarmning af tomaten og osten.
Usikkerhed i materialet
Vi antager, at tomaten er homogen. Dette er ikke helt sandt, da tomaten er delt op i
kamre med kerner og saft, og disse kamre er adskildt med vægge af frugtkød. Dette kan
gøre opvarmningen ikke-uniform. Hvis to termometre er blevet stukket ned pa hver sin
side af en sadan væg kan det medføre, at varmen er længere tid om at komme ind til det
ene termometer end det andet. Osten vil heller ikke være helt homogen.
4.4. FEJLKILDER 33
Figur 4.13: Kurven viser forsøgsresultater fra et forsøg, hvor termometrene har revet sig
løs.
Varians
Vi finder i vores forsøgsresultater meget sma varianser. Det betyder, at vores fejlkilder
har haft en lille betydning for vores resultater og at resultaterne kan bruges til videre
beregning.
Kapitel 5
Diskussion
Vi har gennem dette projekt fundet ud af, at varmeledning er det fænomen, som i vores til-
fælde hovedsageligt beskriver varmetransporten, mens konvektionens og varmestralingens
indflydelse har vist sig at være ubetydelig. Vha. varmeledningsligningen og termodynamik-
kens love har vi opstillet varmediffusionsligningen, som beskriver varmestrømmen gennem
et materiale i forhold til tid og sted. Effusiviteten viste sig at være den faktor, der giver
det endelige svar pa den opstillede problemformulering. Effusiviteten fortæller, hvor varme
forskellige materialer føles ved berøring og er afhængig af varmediffusionskonstanten D,
den specifikke varmekapacitet c, og densiteten ρ. Kun D blev bestemt udfra vores ekspe-
riment; c ρ er tabelværdier.
Vi har udregnet en effusivitet ε (med enheden J ·m−2K−1s−1/2) for tomat og ost, og faet
resultaterne 1528.3 for tomat, 983 for mellemlagret og 892 for flødehavartien. Ved udreg-
ning har det vist sig, at tomaten føles 5oC varmere end havartiosten, og 4oC varmere end
den mellemlagrede ost. Dette svarer pa vores problemformulering;
Man brænder sig mere pa tomaten end pa osten, fordi dens effusivitet er større
end ostens.
Vi har gjort den antagelse, at effusiviten er konstant, dog varierer denne med temperaturen
da bade ρ og varmekapaciteten er temperaturafhængige. Vi har udregnet vores effusivitet
ved 80oC, hvor de reelle værdier for ρ og c er gældende ved lavere temperaturer (15oC).
Dette har vi dog ikke taget højde for i vores resultater.
Desuden har vi ved vores forsøg malt D ved 8-37oC, og bade osten og tomaten har haft
en fast struktur under malingerne.
Ved 80oC vil osten være smeltet, og dermed ga fra fast form til flydende. Tomatens struk-
35
36 KAPITEL 5. DISKUSSION
tur vil ogsa ændre sig. Det kan altsa være, at D ville have ændret sig, hvis vi havde malt
ved højere temperaturer.
Vores problem var bare dels, at termokarrene ikke kunne indstilles til den temperatur og
dels, at vores legemer ikke ville holde samme struktur, og de derfor ikke længere ville være
kuglerunde nar de smeltede/fordampede. Pa den anden side var vi nødt til at udregne
kontakttemperaturen ved 80oC og ikke 37oC, da det er en mere realistisk temperatur for
pizzaen, nar den tages ud af ovnen, og da 37oC er vores referencepunkt i forhold til krop-
pens temperatur, og vi derfor ville have faet samme resultat af TK for alle tre legemer,
nemlig 37oC.
Vi er altsa klar over, at bade D, ρ og c kan have haft en anden værdi ved højere tempe-
raturer, som vi ikke har været i stand til at inddrage i vores beregninger.
Vi opstillede en model, som vi ville teste eksperimentielt. Vi omskrev varmediffusionslig-
ningen til sfærisk geometri og løste den med kendte randbetingelser, sa den underbyggede
vores model.
Vores forsøg gav nogle gode, brugbare data, som vi kunne bearbejde ved hjælp af mat-
lab og løsningen for varmediffusionsligningen, og danne et fit af varmediffusionskonstanten
med.
Vi fandt resultater for D, som kun har haft sma afvigelser af værdien ved hvert ter-
mometer, sa forsøgene har altsa været vellykkede, og vores model har fungeret.
Man kan undre sig over, at effusiviteten/diffusiviteten er forskellig i de to oste (flødehavartien
føles 0,5oC koldere end den mellemlagrede ost). Havartien indeholder mere fedt end den
mellemlagrede ost, og føles mere fugtig end den mellemlagrede ost. Forklaringen kan være,
at den mellemlagrede ost indeholder mere vand end havartien, hvis man sammenholder
fedtindhold i den oprindelige ost med fedtindhold i tørstoffet. Vandindholdet i den mel-
lemlagrede ost er altsa grunden til at flødehavartien føles koldere end den mellemlagrede
ost.
Kapitel 6
Konklusion
Arsagen til, at to materialer med samme temperatur føles som om de har forskellige
temperaturer er, at der opstar forskellige kontakttemperaturer mellem forskellige materi-
aler. Kontakttemperaturen bestemmes af effusiviteten, som er givet ved ε = cρ√D hvor
D = λcρ , λ er varmeledningsevnen, c er varmekapaciteten og ρ er densiteten. Varmedif-
fusionskonstanten blev bestemt eksperimentielt, mens der blev fundet data i litteraturen
for varmekapaciteten og densiteten af ostene og tomaten. Kontakttemperaturen mellem
to materialer vil nærme sig temperaturen af det materiale der har den højeste effusivitet.
Vores beregninger af effusiviteten viste, at tomaten havde den højeste effusivitetskonstant,
og resultaterne viste, at tomaten føltes 4◦C varmere end den mellemlagrede ost og 5◦C
varmere end flødehavartien ved 80◦C. Grundet den højere effusivitet, brænder man sig
altsa mere pa tomaten end man vil gøre pa osten.
37
Kapitel 7
Perspektivering
Perspektiveringen er delt op i tre dele: Hvad vi kunne gøre hvis vi havde mere tid, hvad
vi kunne have gjort anderledes fra starten og hvad der vil være interessant for videre un-
dersøgelse.
Hvis vi havde mere tid.
Man kunne have valgt at bestemme densiteten og varmekapacatiten for tomaten og osten
med to forholdsvist simple forsøg. Dette ville maske gøre den udregnede effusivitet mere
realistisk.
Derudover kunne ekstra osteforsøg laves med samme ost for at bekræfte resultaterne fra
det første forsøg, ligesom det er gjort med tomaten. Evt. med forskellige radier og andre
start- og sluttemperaturer.
Hvad kunne man have gjort anderledes fra starten?
Man kunne have valgt at designe eksperimentet anderledes ved at styre varmestrømmen i
stedet for temperaturen. Havde man gjort dette, ville man kunne fa varmeledningsevnen
ud af eksperimentet sammen med varmediffusionskonstanten og det ville være muligt at
udregne effusiviteten derfra. Pa denne made ville det ikke være nødvendigt at kende hver-
ken densiteten eller varmekapaciteten for tomaten og osten.
Det kunne f.eks. tænkes løst ved at placere en modstand i midten af tomaten eller osten
og sa sende en strøm igennem, sa man fandt en effekt. Dette ville muliggøre at fa alle de
ønskede oplysninger i et enkelt forsøg.
39
40 KAPITEL 7. PERSPEKTIVERING
Hvad kan undersøges nu?
Det ville være interessant at udføre lignende forsøg ved højere temperaturer. Dette ville
give svar pa, hvorvidt det er okay at antage, at effusiviteten er uændret i temperatursprin-
get fra 40◦C som vores forsøg er udført ved, til de 80◦C, som vi antager pizzaen er i vores
effusivitetsberegninger.
Vi har mistanke om, at ostens effusivitet ændrer sig nar osten bliver flydende, ligesom den
er pa pizzaen. Dette kan man fa svar pa ved at lave forsøg ved temperaturer, hvor osten
vil være flydende.
Det vil ligeledes være interessant at lave lignende forsøg med en tomat der er skaret i
skiver, som den er pa en pizza. Dette ville give indsigt i, hvor stor en betydning tomatens
skal har for effusiviteten.
Vores forsøg blev udført med en Havarti og en mellemlagret ost fra Klovborg. Dette er
ikke standardost til pizza. Man kunne udføre forsøg med ost fra et pizzeria for at komme
tættere pa det virkelige fænomen. Da der er forskel pa effusiviteten for Havarti og den
mellemlagrede ost, kan der ogsa være det for osten pa et pizzeria.
Kapitel 8
Appendix
8.0.1 Differentialligning af 1. orden
En homogen første ordens differentialligning kan skrives pa formen:
dy (t)dt− ky (t) = 0 (8.1)
Hvor k er en konstant. Dvs.dy (t)dt
= ky (t) (8.2)
Dividere vi igennem med y (t) og integere pa begge sider far vi:
∫ dy(t)dt
y (t)=∫ky (t)y (t)
(8.3)
Laver vi en substitution med y = y (t) pa venstre siden far vi at
dy =dy (t)dt
dt (8.4)
Det giver os: ∫1ydy =
∫kdt (8.5)
Vi integrere og far:
ln |y|+ c1 = kt+ c2 (8.6)
ln |y| = kt+ c2 − c1 = kt+ c (8.7)
Tager vi eksponentialfunktionen pa begge sider fas:
y = ekt+c = ektec (8.8)
41
42 KAPITEL 8. APPENDIX
Da c er konstant kan vi sætte ec = C, hvor C bliver en ny konstant. Hvis vi samtidig
substituere tilbage med y = y (t) far vi det endelige svar:
y = Cekt (8.9)
I vores tilfælde har vi:
T ′ +DTγ2 = 0 (8.10)
Her kan man uden at regne se at svaret er:
T (t) = Ce−Dγ2t (8.11)
8.0.2 Differentialligning af 2. orden
En homogen 2 ordens differentialligning skrives pa formen:
ad2y (t)dt2
+ bdy (t)dt
+ cy (t) = 0 (8.12)
Den løses ved at omskrive ligningen til det man kalder den karakteristiske ligning: ar2 +
br + c Rødderne bruges til at finde en løsning til differentialligningen og findes som i en
almindelig anden gradsligning:
r1 = −b+√b2−4ac
2a og r2 = −b−√b2−4ac
2a Vi kan her fa tre forskellige tilfælde alt efter hvilke
rødder vi far:
1 To forskellige reelle rødder giver os løsningen: y (t) = Aer1t +Ber2t
2 En dobbelt rod giver os løsningen: y (t) = Aert +Btert
3 Hvis vi far komplekse rødder bliver de to rødder hinandens konjugerede dvs: r1 =
u+ iv og r2 = u− iv.
Da bliver løsningen: y (t) = Aeut cos (vt) +Beut sin (vt)
I vores tilfælde har vi ligningen:
R′′ +Rγ2 = 0 (8.13)
Den karakteristiske ligning er da:
r2 + γ2 = 0 (8.14)
Rødderne findes til: iγ og−iγ Det giver os altsa løsning 3:R (r) = Ae0r cos (γr)+Be0r sin (γr) =
A cos (γr) +B sin (γr)
8.1. MATLAB KODE 43
8.0.3 L’Hopital’s regel
I udledningen af varmedifusionen for en kugle postulerer vi at:
limx→0
sin (x)x
= 1 (8.15)
For finde denne, benytter vi os af L’Hopital’s regel for grænseværdier. Den siger at hvis
limx→0
f (x) = limx→0
g (x) = 0 (8.16)
og
limx→0
f ′ (x)g′ (x)
= L (8.17)
Hvor L kan være endeligt, ∞ eller −∞
I vores tilfælde er f (x) = sinx og g (x) = x sa:
limx→0
sin (x)dxxdx
=cos (x)
1= 1 (8.18)
8.1 MatLab kode
8.1.1 Fil 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Databehandling af tomat-ost forsøget
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
tomat=load(’ost.txt’);%loader data text fil
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Konstanter
%%%%%%%%%%%%%%%%%
T0 = 8.2; % temperatur før forsøg
T1 = 37; % temperatur efter
D = 0.0000002; % gæt pa diffusionskonstanten
a = 0.04; % radius i m
44 KAPITEL 8. APPENDIX
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Justerer for t0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ind = find(tomat(:,1)); % bestemmer t¿0
t = tomat(ind,1); % tidsvektor
Tr0 = tomat(ind,2); % temperaturvektor for r = 0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fitter D
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
r = 0.0; % radius for kurve der fittes til
Dfit = FitDiff(t,Tr0,D,T0,T1,a,r); % kalder fittefunktionen med relevante parametre
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Teoretisk fittet kurve for r=0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
T = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1); %for r=0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Teoretiske kurver for øvrige radier ved brug af samme D
% - til gengæld gætter jeg pa r her...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
r = 0.01; % gæt pa radius
T2 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);
r = 0.02; % gæt pa radius
T3 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);
r = 0.03; % gæt pa radius
T4 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);
8.1. MATLAB KODE 45
%%%%%%%%%%%%%%%%
% Plotter resultatet
%%%%%%%%%%%%%%%%
figure01=figure(’PaperSize’,[20.98 29.68],’InvertHardcopy’,’off’,...
’Color’,[1 1 1]);
% Create axes
axes01=axes(’Parent’,figure01,’FontSize’,20);
title([’Havarti ost, D=’ num2str(7.1e-8)])
xlabel(’time [s]’)
ylabel(’temperature [C]’)
xlim([0 11000])
ylim([5 40])
hold on
box(’on’)
grid(’on’)
plot(t,Tr0,’k.’)
plot(t,T,’r–’,’LineWidth’,2)
plot(t,tomat(ind,[3 5 4]),’k.’)
plot(t,T2,’r–’,’LineWidth’,2)
plot(t,T3,’r–’,’LineWidth’,2)
plot(t,T4,’r–’,’LineWidth’,2)
legend(’data’,’fit’)
exportfig(figure01,’tomat’,’Color’,’cmyk’)
8.1.2 Fil 2
function T = calT(t,D,r,a,T0,T1)
if r==0
r = r+eps;
end
s1 = zeros(size(t));
46 KAPITEL 8. APPENDIX
for i=1:15
s1 = s1 + (-1).(i)/i ∗ sin(i ∗ pi ∗ r/a)/r. ∗ exp(−D ∗ (i ∗ pi/a).2. ∗ t);
end
T = T1 + 2 ∗ a/pi ∗ (T1− T0). ∗ s1;
8.1.3 Fil 3
function koeff = FitDiff(x,y,Guesses,T0,T1,a,r)
% options=optimset(’Display’,’iter’,’tolx’,1e-7,’tolfun’,1e-7,’MaxFunEvals’,1e5,’MaxIter’,1e5);
options=optimset(’Display’,’off’,’tolx’,1e-7,’tolfun’,1e-7,’MaxFunEvals’,10e5,’MaxIter’,10e5);
% i options kan man foretage et utal af valg om ens fminsearch funktion
koeff=fminsearch(’fitfnktDiff’, Guesses, options, x,y,T0,T1,a,r);
% her findes minimum af funktionen ’parameterfit, med startværdierne givet ved ’Star-
ting’,
% options definerer formen af kapacitans, mens ’Temp’ og ’lpfr’ er fastholdte parametrer.
8.1.4 Fil 4
% denne funktion er et delprogram af fittealgoritmen, som givet
% funktion og parametrene i funktionen kan udregne afstandskvadratet
% mellem funktionen og maleværdierne
function sse = fitfnktDiff(param, input, output,T0,T1,a,r)
%parameten som indgar i funktionen
D = param;
%funktion der skal fittes til.
T = calT(input,D,r,a,T0,T1);
error-vector = (T-output);
% kvadratsummen af forskellen
sse = sum(error-vector.2);
8.2. UDREGNELSE AF VARIANS 47
8.2 Udregnelse af varians
Variansen udregnes ved hjælp af formlen [Kelley et al.]:
s =
√∑ni=1
(Xi −X
)2n− 1
(8.19)
Hvor n er antal malinger, Xi er de malte værdier, og X er den gennemsnitlige værdi af
den malte variabel.
8.2.1 Udregnelse af varians for tomatforsøg 1
s =
√(1.61 · 10−7 −Dt1
)2 +(1.61 · 10−7 −Dt1
)2 +(1.68 · 10−7 −Dt1
)2 +(1.58 · 10−7 −Dt1
)23
= 4.242640687 · 10−9 (8.20)
Hvor Dt1 = 1.62 · 10−7.
Dt1 = Dt1 ±s
Dt1
= 1.62 · 10−7 ± 4.242640687 · 10−9
1.62 · 10−7= 1.62± 0.0262 · 10−7 (8.21)
8.2.2 Udregnelse af varians for tomatforsøg 2
s =
√(1.52 · 10−7 −Dt2
)2 +(1.62 · 10−7 −Dt2
)2 +(1.56 · 10−7 −Dt2
)2 +(1.63 · 10−7 −Dt2
)23
= 5.196152423 · 10−9 (8.22)
Hvor Dt2 = 1.58 · 10−7
Dt2 = Dt2 ±s
Dt2
= 1.58 · 10−7 ± 5.196152423 · 10−9
1.58 · 10−7= 1.58± 0.0329 · 10−7 (8.23)
8.2.3 Udregnelse af varians for Havarti
s =
√(7 · 10−7 −Dh
)2 +(7.6 · 10−7 −Dh
)2 +(7.2 · 10−7 −Dh
)2 +(6.5 · 10−7 −Dh
)23
= 4.582575695 · 10−9 (8.24)
Hvor Dh = 7.1 · 10−8.
Dh = Dh ±s
Dh
= 7.1 · 10−8 ± 4.582575695 · 10−9
7.1 · 10−8= 7.1± 0.0645 · 10−8 (8.25)
48 KAPITEL 8. APPENDIX
8.2.4 Udregnelse af varians for den mellemlagret ost
s =
√(8.21 · 10−8 −Dm
)2 +(8.27 · 10−8 −Dm
)2 +(7.7 · 10−8 −Dm
)2 +(1.03 · 10−8 −Dtm )23
= 1.148825487 · 10−8 (8.26)
Hvor Dm = 8.62 · 10−8.
Dm = Dm ±s
Dm
= 8.62 · 10−8 ± 1.148825487 · 10−8
8.62 · 10−8= 8.62± 0.13 · 10−8 (8.27)
Litteratur
Stephen J. Blundell and Kathrine M. Blundell. Concepts in Thermal Physics. Oxford
University Press, 2006. ISBN 0198567707.
Erik Both and Gunnar Christiansen. Termodynamik.
William D. Kelley, Thomas A. Ratliff jr., and Charles Nenadic. Basic Statistics for Labo-
ratories.
E Marin. The role of thermal properties in periodic time-varying phenomena. European
Journal of Physics, 2006.
redwoods. The one dimensional heat equation. URL
http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/DEProj/sp02/AbeRichards/paper.pdf.
Agustin Salazar. On thermal diffusivity. European Journal of Physics, 2003.
49