2.-PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

5/9/2018 2.-PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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NOTASP R O ' B ' " A D ' f . I ' L l ' : A D i Y ' " E " S T A D " I 'ST1'CA; , . ' , . . . . . ~ , . , 1 l . '.[ "',' J " , ' " . . , ' , ' ~ ; . '.J' .".

M. I. Isabel Patricia Aguilar Juarez

,FaeultaddePrograma de Posg rado~U..J..lL~"".J. ...to de S istemas

Marzo 2005


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Contenldo

1. Estadistica deseriptiva " .. " '.. " . " .. " " "" " .. " .... 1

"

2,.Conjuntos "" .. " " .. " .'" ' " .. " ". 163. Experimentes aleatorios "."." " """,, 274. Probabllidad condicional e lndependeneia .. ' . . .. 34

. 5 . Variables aleatorias "" ' " . " .. ' ' . " . 40

6. Funciones de varlablesaleatorias bivariadas ". "..687.,Distribucion~s especiales " " ... . . ... . . .85


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1. ESTADIs1'lCA DESCRIPTIVALa. e sta dist;ic a d es er ip tiv a e s u n cpnj u l1 to de t ecn ic a s. que t ien en por ob je to o rg ani za r Ypresentar'de manera conveniente para su analisis, la informacion contenida en una muestra. Existenb asic am en tc tres tip os d e { 6cn ica s:

D :istribuci6n de frecuencias (agrupamiente de datos). G ra tioa s (pie, b arra s, polig ona tes, etc ..) . P aram etres num ericos.

Uestadistica descriptiva, en general. es bastante sepci11a,au1)que no porsllo deja de sermtetesante y sobre tode importante. Es esi, que si a traves de 1a estadistfea buscamos obtenerconclasiones acerca de toda una poblacion a partir de la inform acion contenida en una m uestra ,pareee cla ro que no es posible haeerlo si no somas capaces primeramente de describir elcom portam iente del conjunto de datos que tenem es a la m ano. E sto eS ,UQ podem os pretenderdescrihir 0 intuit to que oeurre con 1 0 desconocido, si no somos capaces de describir y analiza!prim ero 1@que. sucede con 10 qu e 51 sonecem os. D e a 'hi la im pertancia de la esta disticade:scriptiva.Com o se menci(:));1(),a es tad is ti ca descriptiva es un co njun to d e teo nica s, p ero c ab e; a cla ra r qued ic ha s te cn ic as no son excluY?l,!tes, sino o ern piem en ta ria s, s in em ba rg o, d ep en dien qo d el tipo deda tos que se desee m aneja r, ne siem pre es posib le utiliza rla s toda s . .

1.1. Tipos de DatosE s n ec es ario id en tific ar e ntr e d ato s c ua lita tiv os y cuantitttivos.Los datos eualitativos se refieren, como B U ndmbl 'e 1 0 dice, a informacion sabre cualidades Qca ra ete ristica s d el e xp erim en to , m a s qu e a v al ores numeri cos , Pa ra deso ri 6i r datos cualnativos 10u su ale s u tiliz ar m e to do s g ci.fic os.L os da tos cua ntita tieos, son datos numericos 'Ipara analiserles puedoo aplicaFse lo s tr es t ip os detecmGas mencisnadas, y eneste easo, como se dijti antes, se apoyan unas CDnotras, para lograru na m e jo r y mas a ~p lia d escrip cion de l conjunto d~ da to s.D eserib ire m os a co ntinu aeio n e ad a u na d e la s te en ic as de la esta distiea d escriptiv a,

1.2 DistribuciDn de FrecuenclasEs una tecnica muy usual en la estadistiea, ya gue hace maseficiente el analisis de eonjuntosg ra nd es d e d ato s.De fin ic io n 1 .2 .1 .Una tabla dedistribuci6n de fre eu ea cta s e s una clasificaci6n de los datos (numericos) enclases 0 categorias deacuerdo con sus va lo res .E ste tipo de cla sifiea cio n es ce rm in e n la presen ta ci6 n d e ( }a to s econemicos c en sa le s . .

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Ejemplo 1.Un ca so tipico de un a ta bla de d istrlb uc io n de fte cu en cia s e s 1a q ue se m ue stra a co ntin ua ciot:J..

Intervslos de da:se Marc as Freeueneiade Clase Freeueneia Frecucocia rel~tlvaEimifes Frenteras Frecuencia acumulada relativa acu.IDuladaXi t. Fi r,I' Fl . .de Clase de clase2-6 . . " '\ 2 : 2 2 0.05 0 . .05-~;6.5

~~_ _ _ . 7- IS 6-5 - 15 .5 11 4 6 0 .1 fJ.15

16 - 24 15.5 -24.5 2 0 . 7 13 O.l7S 0.325/oQ. q- 25 - 33 24.5 -31.5 29 14 27 0..35 0.6750 3 4 - 4: 2 33.5 -'42.5 38 , 8 35 0 . : 2 Q.g?5f

43 - 5 1 42.5 - 5 1.5 47 5 4 0 . , 0..125 L o . O DTotal: 40

Como se puede observer, una tabla c omp le ta d e d is tr ib uc ie n de frecuencias consta de sietecolumnas cuyo contenido seexplieara ensegnida.Si aeeptamos queen 1aconstruceion de una tab la de distribuei6n de frecueneias se rea l iza ra unacla sifie ae ie n d e [a s d ato s, resulta cla re q ue es ind ispe nsa ble co nta r, p rim e ra m ea te, co n el criteriode elasificacien a utilizer, mismo que se define a traves de los limites de olase 6 bien mediantela s fro ntera s d e cla se.Umites de elaser Son los valores menor :y mayoli que de eUc'0niraFse com o da tos en lamaestrap erten ec en a la clase encuestidn, L os lim ites de clase tendran la m ism a aprox im aci6n que losdatos y el limite superior de una clase diferini: del limite inlerier de la clase siguiente,en unaunidad de aproximaciones decir:

datos 1imi~tes difeF,encia( 11 m . in f d e la e ra se s ig !lie ilte Illn . SII p . d e In era se)

enter:os enteros 1deeimascentesirnas

decimas O Jcentesimas 0.Q1

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F ronteras de elase: 80 n los puntas m edias entre Iimites d e. c la se s a d ya e en te s, Note que losHm ites d e u na clase es ta ra n siern pre c on te nid os en tre lasfrQnt~ras de la m ism a elase.

Fl '@n~ainferiorI

Pronterasuperior

. .Limiteinieril!)r

t J r r u ' t esupenet

M area de elase (Xi); E s el punto m edio del interva le de clase y S6 c on sid er s r ep re se nta tiv e d elos datos en dicha clase, V ale la pena aclarar que, deb ido a .lacoQ sttllcci6nta nto d lo s limitescomo de Il lSfront eras , es ia distinto ca leu la r la s m area s de olase a partir de los lim ites de class 0de las fronteras, sin em barg o, se deb en utilizer unos 0 lo s otros, pero nnnca un limite y unafrontera.Freeuencia (f;): lis el m rm ero de da tos d 'e la m uestra que carrespond!?TI ala D ia se 'e n cuesfion.Para determ inar la freeuencia de una clase, basta con rea liza r un eonteo del m itnero deobservaciones en I - a muestra, que se encuentran enel range determinadc ya sea p'Qt lo s limites 0pet las ftorneras, esto ultim o ls deb idoa que a mb os { liID ites Y ITGlntlras) determinanexactameate la m i sm a clasificacidn,Frecuencia aeumulada ( Fi): Es el num ero de datos en la muestra cuye valor noexcede Iafrontera superior de la clase en cuestion. Para calcular F c b asta c on ta biliz ar la s fre eu en cia so b se rv a da s e n la clase d e in te re s y l a s qnwrio tes.Frecuencia relativa (fi7): lis la prepctcion de los datQS en la mu e stt a que per te ne cen a la elasee n c ue stio n .. Si denotam os par n al num ero de datos 'en la m uestra y a icomo el m im ero de lac la se , ia frec ue nc ia re la tiv e se e xp re sa c om o sig ue :

f ; = _ ~ i = i f iW

P edria nros ha blar ta l vez de una psim era rela cion entre la prob ab ilida d y la esta distica , ya que sirecordamos, la interpretacion frecuen:fista de la probahilidad define laprobabilidad de u n ev en toco mo la frecuen oia rela tiva co nla que dicho eventoocurre en un rtlim ero grande de repeficionesd el e xp erim e nto b ajo estud io , por ]0 tanto,si nuestra muestra fuera grande, podria mos pensar:que la fr eo ue ne ia d e Gl!:1:sese aproximaria a la probapilidad de dicha c la se .E vid en tem e nte , setendra una m ejor a prox im acion ca anto m a s g ra nde sea la cla se.

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Freeueneia relatrva acumuJada ( F/): Es Ia proporcion d los da tos en la m1, !est ra que noexceden la frcntera superior de la clase en cueti6B~

Por extension, se podria dede que la freeuencia acumulada re1a:, tivaS6 asem eja a la funcion dedistribucien, yque la semsjanza sl1Jra.mayor s iem pr e q ue la muestra se a mas grande.

1. La ta b la d e d is tr ib u ci on de:frecuencias cOI):stara de entre 5 y 20 clases, inclusive.2. Todas las clases serim de I i i . mis rn a l ang it ud .

Longitad d.e Ia clase: Se denotapor C ' f l es la diferencia entre lafrontera superior y la inferior del a c la se ,Para la construccion de una tabla de distribueion de frecuencias es conveniente tamar enconsideraci6n ta s s igu ien tes rerromenda .c ionesempi r icas :

En este punto cabe aclarar quela que aquise presenta es uaa f om i a p a rt icu la r de C\oI):struccioll deuna tab la de distrib ucion de freeuencias, no as! Ia tinica, ya que: e n este punto no hay oensense ..Existen algunas formas al temas de constrecciorr, sinembargo, las diferencias, en g en era l, so ndiferencias de forma y no de fondo, por 10 cual es relativamente sencillo interpreter la.infonaacien conterrida en otra tabla de distrib uc i6 n d e frec usa eia s coastmidade alguna otraforma, y los resultados que de dicho analisis se obtengan no tendran diferencias radicalesatribuihles a la form a de re aliz er I a agrnpaeion.

C on side re lo s m im e ro s de inseripcion de a lgunos es tud ian tes de la Facultad de. lngenieria,EJemplo 2.

1045 802 2265 120 639 lSS2 21 0 12023 784 8 4 7 1123 1249 5 26 1370 1767193 491 1029 1305 923 1313 2772 14654 6 0 3073 2 0 0 2 93 3 98 5 1565 947 13031706 650 55 5 3 1 2181 2004 5308 1800445 415 1400 946 1703 2039

Construir una tabla de distribuei6n de fteouenciaspara dishes datos:Solndon:Para que Ia tabla que se censtruyase pueda considera r adecuada para ana liza f los datos, S6requiem qu e conteng a a todos los datos e n Ia m ue stra . Asi. es necesafio conocet el t angO' en . e lque seencuentra n los datos, pa ra 10 c ua l se tie ne la s ig uie nte d efin ie ie n:

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R ang o de la m uestra : E s la diferencia en tre los va lores (da tes) m ayor y menor de la m uestra . Rango:Longitu(j 11:Itnimapermit ida de l;/mNtLongitud maxima permitida de dase: 5 3H 8 - 5 5"" 5 25 352 53120 " "l6 2 .6S>5253/5 = 10 5 0 . 6En tre "estes des va l ores cada uno decidira de m anerii persona l, la long itud de clase 'q u e re sn l tem as co nvenien te pa ra ; 8 1 4 p ro blem a fla rtiG : ula r, c on sid era nd s q ue si c decrees; el amllisis sera maspreciso,pero m em o s e ficien te, E n nuestro casoconsideremos C "" 5 0 0 .A eontinuaci6n se de-bera deeidir eual sera el lim ite inferior de la prim era clase. B ste limite serecomienda qU sea un valor un poco inferior a l data mensr de la znuestra , Sea 5 {l el limitein fe rio r d e la p ritr te ra clase, la ta b la r esul tan te s eta la que-se muestta:

mtervalqs de claseLimltes Ii Fj Ii ,> F; >Frunteras x,50- 5 49 49.5 - 5 49.5 299.5 8 & . 0 .1739 0 .1739

5 5 0 - 1 049 5 49 .5 - 10 49.5 799.5 12 2~ 0. .26 '09 0 .4348tQ5 0 - 15 49 1 !'l4 9.5 - 1 5 49 .5 1299.5 9 29 0.1957 [ ) .6~f]415 5 0 - 20 49 1549.5 -2049.5 1799.5 10 39 0 .2114 0 .841820 5 0 .-25 49 20 49.5 - 25 49.5 2299 .5 3 42 0 . 0 652 0..91325 5 0 .-3 0 49 25 49.5 - 3 0 49.5 2799.5 43 0 .0 .2174 0 .9348e 3f)5o.- 3549 3 0 49.5 - 3 5 4'9.5 3 299.5 1 44 O.C l ;2174 0. .95653550-4049 3 5 49 .5 - '4 04 9.$ 3799.5 0 44 6 .0.956:540 5 0 -45 49 40 49.5 - 45 49.~ 4299.5 0 44 c 0.9$654$5 0 - .5 049 45 49.5 - 5 049.5 4799.5 45 0.0.2174 0.97825 0.5 0- 5 549 5 049 .5 - 5 519.5 52!\19.5 46 0.02174 1

Tota1: 4 6

1.3. Descripeion Gnitica de los DatosG en era lm en te , cua ndo se desea hacer una presentacicn clara de un conjunto de da tos, se elig eu na , fo rm a g ra tic a. Asi, lo s resultados de un a co mpa flia se a costu mb ra presen ta rlos g ra fica men te,se hac e m graficas eem parativas de las utilida des de una em presa, se ha cen g r a f i . G a s que.muestrenla cm :m p osic io B d e u na p ob la ci6 n (% de h om bres a du ltos, % de mujere:sadultas , % de ni:5.os),entre otrOg.E n re alid ad para todoses m as, clare comprendetcucil e se l compo rtam ientq de un con junto dedatos si este se presenta de m anera g ra fica que si se m uestraua icam ente a traves de valoresnumerieos . P ar e lla , ex isten un a g ran va riedad de g ra ficas, sin em b arg o, utilizaremos solamentea lg un as d e ella s. 1.3.1. His tograma d.~ ll ' recuenciasE s una gtafica fo rmada p or b ar ra s re cta ng ula re s cuyas bases se eentran en las m arcas de clase de


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una distribuci6n d e f re cu en cia s y sus: areas representan la s freceenoia s a bsolutes o rela tivesc orte sp on die nte s, N o te se q ue de a cu erd o c on estadefinici6n nose Fequiere m ils que uneje, en eleual se identificatan las rna rcas de clase conform e a las clases que s e h a ya n cousnuido.C ab e insistir en queen este caso tambien e s so lo u na d e la sc on stru cc io nes p osib les o co nn cid as,sin em bargo, tiene Ia venta ja de quees faeilencontra r la sim iIitud entre, el histog ram a def recuenei as r el a ti va s y elhistog ra ma lie prob ab ijida d que S6 construye en prob ab ilida d pa ra la sfunciom :s de preb ab ilidad, P or otro lade, se m a nfiene Ia -concepcia n de la proaabilidad de unevento com o atea , que resulta utH p a r . a , fad! ' ta r Ia cornprensiof del concepto de funcion ded en sid ad 'e n e 1 c aso d e v aria ble s a le ate ria s oontinuas.A c en tin ua cio n se m n estra e l h ~ sto gt~m a d e fre eu en eia s a bso lu ta :s p ara lo s d ato s d el e je m plo ,Fig.I.I. His tograma de f re cuenci as absolnt a s

M.sn:as de claseT am bieft es com un trazarlaea una g ra fica con dOg e je sco m o sig ue :F ig , 1.2. H istog ra ma de frecuencia s con dos ejes.

299.5 799.5 1 ; 2 , 1 ) 9 . 5 1,199.5 2.299.5 2,799.5 3,299,5 3,799,5 4,299,5 4,799.5 5.29!MM areas de elasl!

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Polizono de frecuencias

1.3.2. Poligono de FrecuenciasEs una grafica poligonal que representa para cada marca de clase la frecuencia de dicha clase yse construye uniendo, mediante lineas rectas, los puntas medias de las bases superiores de lasbarras del histograma de freeuencias, Es clare que tampoco se requiere trazar mas que un eje,para h ac er la g ra fic a de l p olig on o d e fre cu en eia s ..Como caso particular se presenta acontinuacion la grafica del poligono de frecuencias de losdatos del ejemplo anterior.

Figura. 1.3

299.5 ,99'.5 129~.~ '199.5 22~9:5 2?~9.5; 3299.5 37~9.~ 4299.5 4799.S 5299.5Harcas d~ etas es

Poligono de frecuencraseon dos eies

De la misma manera que el histograma, existe una forma altemativa de realizar Ia grafica delpoligono de frecuencias, simplemente agregando un eje vertical en la grafica par 1 0 que ya nor eq uie re e I histograrna. Observe la siguiente grafica.

Figura. 1 .4fFecu.endas12

10 ~ ...

299.5 799.5 r a s s s 1799.5 2m.~ 2m.5 3m.S 3 1 9 ' 9 . 5 4299.5 479'3.5 ~9.5Kilteas a~ cIas e1


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1.3 .3 . O JivaEs una g rafica pefig onal que representapara cada frontera de clase la frecueneia acumulada 0 laf recuene ia re la t iva acumulada h as ta d ic ha f t rtm t er a,Cuando la que se represem aes la IrecuenGiarelativa aeumulada se Ie nama o jiv a po reentu al, A d iferenc ia de la s g ra fica s a nte rio res, paratr az ar e sta g n if ic a S 1 e s in disp en sa ble c ou ta l' e on I l l s dos e je s coerdenados.Esclare que la diferencia entre la ojiva y la ojiv.a porcerrtual no es la forma de ellas, sinosolamente que una de ell as es 6 1 resnltado de trasladar a la otrahacia ardb& 0 bcia abajo,dependieado de em l] se este tom ande com o base,La ojiva porcentuales, adem as, una aprox im acion a la grafi.ca de la funci6 n de distrib uci6 n de laVlariablealeatoria que representa ala poblacion,

Ejemplo 3C on sid ere la s ig uie nte ta bla d e d istrib uc i6 n d e fre cu en cia s. T ra ce Ia ojiva correspondiente.

fj Ii * Fimites Fronteras Xi r,27 - 29.9 26.95 - 29.~5 28.45 2 ; 2 0 .6 67 0 .0 6 6-,3 0 - 32.9 29..95 - 32.'~5 31 . 4 5 3 5 Od 0 .1673 3 - 3$:.9 32 .@5 - 35..95 3'4.45 ~ 14 CU 0 . 4 < 1 73 6 - 3 8,9 35 .. 9 5 - 3 8 . . . 9 5 3 7 0 4 5 5 19 0 .167 0 . 6 3 33 9 - 41.9 38.95 - 41.95 4 0 . . 4 5 2 21 0 ..66 7 0.7

, 4 2 - 4 4,.9 41.95 - 44.95 43 .45 4 25 0 .13 3 0 .83 34 5 ,- 4 7.9 44.95 _47.95 46 .45 3 2 8 0 .1 0.93348 - 5 0 .9 47.95 - 50.95 49.45 1 2 9 0,03.3 0 .967

, 51 - 5 3.9 5 0,95 - 53,95 52.45 1 30 0 . 0 3 3 1Total : 30

Figura 1.5 Ojiva. 30,

2 . 5

2: 0

1S

10

o26.,95, .29,95 a;t,9535 .9'5 38,.95, 41,95 44,95 47 .9 Ii 5Q,95 53,95___ F:ronien!,$


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Desde luego es posible ya, mediante la tabla de distribucion de frecuencias y las graficas, hacercierta descripcion del comportamiento de los datos en la muestra, perc conviene estar consciented e q ue sa bem os que las g ra fi ea s pueden mentir, en el sentida de que simplementecon un cambiade eseala, variaciones que probablemente sean pequefias se pueden vet muy grandee y viceverea,y l a ob ten eion de valares que ca ra c te ri cen a toda l a r nu es tr a pueden solamente aproximarse, yaque como dijimes antes, una representaoioa grafiea puede no ser 10 precisa que uno deseade, per10 que ademes de Una g ra fic a r eq ue rim o s de valores que sean representativos de leomportamiento de los datos y que dependan nniaamente de dichos datos, A estos valores se lesllama ''parametros numericos" y se utilizan para ayudar a deseribir el cornportamienjo de lamuestra can un pOCG> mas de precision.

1.4 Pararnetros NumericosLos pmametros numericos, porel tipo de informacion que dan, se clasifiean en:

Medidas de fendencia central Medidas de dispersion Parametres d e fo rma

P re se nt ar emo s s olament e los pasametros numericos que mas comunmente se utilizan,

1.4.1. Medidas de Tendencla Central.Son valores q ue s e e no ue ntra n deIitro del rango de l a mu e str a y que se puedenconsiderar comorepresentatives de la misma. Es importante aclarar que no necesariamente coinciden can algunode lo s datos observados, Entre las mas usuales estan la media aritmetica, la mediana y la moda,que e stu dia rem o s a continuacion.Media aritmetica _Es pro-ijablemente la medida d tendencia central de usa mas generalizado, se denota per x (esn,luy impertante que la x sea mimiscula, ya que la mayascula se utilizara mas adelaate parac lenot ar a l ge d if er ent e} y s e de fi ne de la siguiente forma:Q. Si Xl , X2 , X3 , '" ,Xn son los datos contenidos en una muestra, y se encuentran sin agrupar,

entonces:/IL X i: x = = 1= 1ndonde n es el tamaf io de la muestra.

Notese que es Ia definicion que conocemos para el promedro usual de los datos en 1 amuestra.

b. Si los datos se errcuentranagrupados en una tabla de distribucion de frecuencias, Yuti l izamos el mismo concepto que para los datos sin agmpar, se define la media antmetiea

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p ue sto q ue = f'n

como:

endondem : es el m im ero de clasesXi: 1amaroa de elase de Ia elase i, y.f i : Ia frecuencia de la cla se i

Media.naB s el valor que divide alconjunto de datos de la m uestra en dos conjlU1tos de igual tam afio, esdeeir, esaquel va lo r pa ra el cual existen el mismo nurnero de datos menores 0 iguales a til quemayores 0 iguales ael, E n arras palabras, la medians es aqU'el valor para elcua l el 5 0% de losd ato s s on m e no re s 0 ig uales a 6 1.P a ra e alc ula r Ia mediana de la m uestra cuando los da tos nc se encuent:tan a grupa dos en una tablad e d istrib ue io n d e fre cu en cia s, s sd eb en s eg uir lo s. s ig uie nte s p aso s:1. Se orden an lo s dates en-forma creeiente 6,deereciente,2. Una VI?;Z srdenados se tienen des ' 0 < 18 08 :a. 8i el mimero de datos es impar, la mediana es el va lo r cent ra l; aq1!J :e iue seencuen tre en ellug ar(n+l)!2 en laordenaeion. E sto es:

b. Si el numero de datos es par,Ia mediana sera e1promedio de los dos datos centrales en laordenacion, es deeir, de la da tos que se encuenaen en los lug ares nJ2 y (n!21 + 1.

2 :Ejemplo4.En un.proceso de m anufactura , se observa el m im ero de veces al m es que se detiene el pfocesodurante u n l1 erio do d e I J:n afio , d eb id o a fa lla s n re ca nib as d e la m a qum aria Leis da to s ob ten ido ss en l os s ig u ie ate s: 7~4, 1,3,9,2., 7, 8, .0 , 7,3,2 ..Obten ga la m ed ia na del numerode-fallas.Solucion:1. Ordenando los datos de rnenor a m ayor se tiene: 0 , 1,2,2:,3,3,4, 7, 7, 7, 8, 9.2. D ado que el num erede datos es par, la mediana sera el prom edio de los da tos que ocupan los

lugares n l2 y (n/2) + 1 en 1a ordenacion, es decir, la media na s era el prom edio de lo s datos-1 :&-


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q,ue ocupen lo s lug ares 6 y 7 en Ia erdenacien,

x = 3+42 "" 3.5S i lo s d ates se en cu entra a a gru pa des, pa ra ob ten er la m e dia na se d eb e re aliz er u na interp ola cieae n la o jiv a, c om o se in dic a a c on tin ua cio n:1 . Identifica r la clase en la 'C luese a lcanza el 5 0 % de los da tos. E s:ta clas~ recib e el hom bre a e

clase medians ,2 . G ta fica r la ojiva correspondiente a la c la se med ia n a

FreeuenciaacumuladaFj+]

50%Fi

....._---r-- ...........j,........ Fronterat Li+lMedians

zi, F s O % - F , n= Fso%Li+l- L, Pi+1-F i ;2

x-L,L;+I-1;

x =n" 2 - F ) (L ;+1 - Li)=-----+LiFtwF,

e n d en de ;L: es la fro nte ra in fe rio r d e I a.c la se m e dia naL;+I: es la fr on te ra s up er io r lie la ela se m e d ia naF,,,i, es la frecu en cia a oumu la da b asta L i


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F i+ 1 : es l a frecuen'Cia a c U t rt u l a d a 1 1 .a s ta .L i - f 1n: s el t am'if iel t ie la 'IDu: : ;t tl i

Se oeooia. como. JI4, y es aquella ObSePil8Cion que, se re,pitecon ma.yorfrecuencia dentro tie 1amties1ta. Puede existlrrilas de unji t110d! en una miStna ntus.tra . D e los datos agrupados sepuede cnn si ds ra r coraomeda, la mama de e lase .de l intervalo COlt rna;[email protected] imponante haoer n ota l' g _n e a difereneia de ia media ~ritn'l:etfea y la rnediana,: la 'mona nonetesanamente eElun valor unico, Esto s igt ti fica ql. teen un m ism oc@ njuuto de datos, puedene xis tir v aria s J :tJ 'o cla s,.n nq ue tam b ie n p ue de se r 6:nica.

Medi.das,de dispersionE-x is ten va rias me did as d e d is pe rs io n, y algtlJila&aeel1as (l a maYCl lr la1s e r ni de n con respect"Gl ala.media pot ser esta ultima un a meCli& qu ~ s e e nc ue ntr :a a lr .e de dQ f di;ll c te .n tr o d el r


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en tan to que si los da tos se tienen en form a ag rupada , se calculara la varianza com o s indica11 continuacion : _ . -

2S

In

L(;Ki -'i) fi

ef l donde, nueva thente, m es e l tll.lm ew d e c la se s,x j es la marca d ill. c la se i- es im a , y fire pre se nta la fre cu en cia d e Ia misma slase,La varianza present! el preb lem a de que sus unidades no ooinciden con las de los datos de lam uestra , :ya que 3 :1 e leva! ' al cuadrado se ob tienen unidades cuadradas, per 10 que Stlin te rp re ta cio n p od ria re su lta r u ri ta nto c on fu sa , sin em ba rg o, la fo rm a q ue s e h a e nc on tra do d ereso lv erd ich n p ro blem a d e u nid ad es,co nsiste s implemen te en extraen la ra iz cuadrad a de;d ic ha med id a ,c on 10 cual el resultado se encontrara en unidades lineales" por ta l raz6n sed e fin e .l a d es vi ac io n e st an d ar de lo s d a to s ..

b) Desviaci6n eSlilndar.Se, de fi n e 1 a desv ia c ion estandar de una mue str a, como la ra iz .cu adra da de la varianza de lam i sm a mu estra , y se denota ~or s. B sto es :

sc ) Coeflc ien te de v~riaci6b,

Evita e l te ne r qu e re fe rirse a lo s datos p ara d ete rth in ar la m a :g nitu d d e h i v aria cio n,sC.V.==xEjemplo 5.Una mnestra de 20 t rabajadores de. una Cia. obtuvieron lo s siguienfes salaries e < U un mesdeterminado: $240.000, $240,000, $240,000,$240,000, $240 , 0 0 0 , $240,000, $~40>OOO,$ 24 0 ;0 0 0 , $ 25 5 ,0 0 0 , $ 25 5 ,0 0 0 ,$ 26 5 ,0 0 0 , $280 ,000 , $280 , 0 00 , $ 29 0 ,0 0 0 ., $ 30 0 ,0 0 0 , $ 30 5 ,0 0 Q ,$325 ,OOb , $ 33 0 .,0 0 0 , $ 34 0 ,0 0 0 ..Calcular la media, mooiana ,moda, . varianz~ desviacion e sta nd ar ,.e oe fic ie nte d e variacion yraago. G on estes m ism es da tos, censtruir u na ta bla d e d isttib uc i6 n d e fre cu en cia s y r ep etir lo sc lilc ulo s d e la s n te did as s olic ita d aa , l O U e p ued e d ecir a cerca d e lo s sa la ries?Soluci6n:a) Media.

{ ~(2 40 0 0 0 ) + 2(2 5 50 0 0 ) - + - 265 0 00 + 2(280 0 00 ) + 290 00 + JOOOOO+ 30 50 00 + 3 2 5 0 0C l +3 3 0 0 0 0 - + - 3 4 0 0 0 0 } 120

-13-x = = 270 . 5 0 0


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b J Media na .x."+x.

)(=:2 ;-'1 ee 2 5 5 0 0 0 + 2 6 5 0 0 0 = 260 , , 0002 : 2c) M oda :: 240 ,0 00

2 02:(XI- X )2

d) Va'..ianza: S 2 = 1=1 = 1,155,000,000. ,~"A ." 20e) Desvlaetsn ESblo'dar: s = 33,985.29

s. .(}Ceeflelente de variacion: C.V.= = = 0 .1256 = 1 2.5 6% ..Estees que los datos se alejan de laitm edia un 12.:5 6 %.

g) Rango= 100;000It) Construccidn de la tabla de distribucion de frecuencias.Rango= 100,000Longitud maxima.: 10 0 , 0 0 01 5 = 20 , 0 0 0Lnngitud nnnima: 100,000120 =5,000e = lO,90QLimlte 'inferinr deIa primera clase = 235 , 0 0 0

Limites :Ft,ooteras X i Ii fi* r. Fi*235000 -144000 : 2 450B '--244500 239500 8 0.400 8 O A O O245000 - 254000 244500- 254500 249500 0 0.000 8 0.400255000 - 264000 254500- 264500 259500 2 0.100 10 .0 .500265000- 274000 2 64 5 0! J. i - 27450'0 269500 2 0.100 12 0.600275000- 28~OOO 274500- 28lf500 279500 2 . 0.]00 14 0.700285000 - 294000 284500 - 294500 289500 1 0 . ' 0 5 0 15 0.750295000 - 304tlOO 294500 - 3'04500 1 9 9 5 ( ) Q 1 0.050 16 0.80030.5000 - 314000 30450Q- 314500 309500 1 0.050 17 0 ..8 5 03 15 0 0 0 - 3 240 0 0 314500 -324500 3195'00 0 0.000 17 0..8503 2.5 '0 00 - 3 340 0 0 3 245 0 0:_ 3 345 (10 3295 0 0 2 0 . 1 0 0 19 0..950335000 - 344000 3 3 45 0 0 - 3 445 0 0 32 .9500 1 0 . 0 5 0 20 1.000

Total: 20-14-


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n" x.f.. 11i= IMedia: x = = 5,43Q~OOO20 = 271,500j = 1

Moda: Primera marca de lase.Mo = 239,500

._ (22 - 8)c264,500 - 254,500)Medlanal )( - + 254,500 = 264,50010-8

Range = 100,000IIIX i - 271,500)2 f; 22,520,000,000 = 1 126 000 00020 ", ., ..arianza: ~?= _ , _ i = . : _ l - - - - -- - " - - - 20

Desvlaeion estandar: s = 33,555 ..92347

sc.v. == = 0.123594 = 12.3594%x

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Un coujunto esuna coleceien de ebjetos que tienen alguna earaoteristica en cemun'.

2. CON JUNTOSDentro delestudio de la teoria lie la probabtlidad los conjuntos juegan un papel preponderante,ya que el objeto I.eestudiQS una ccleccion de hechos cuya caraoterisfisa eomun es el serposibles resultados de unmismo experimento,Aunque el estudie de los conju:ntQS no es propiamente del area de la probabilidad, sino mas bienle corresponds al algebra, s e e c:m sic i1 er oo nv en ie nte h ac er u n r ep as e breve de algunos ooneeptesde la teoria de eonjuntos, los cuales seran de urilidad en nuestroestudio futuro.

:2 .1 . A lg eb ra yop era cio ne s c on con ju nto s

UEFINICtON:

3. Todos son personas.b. Todes son mexicanos,

Ejempln 1.Con sid ere e1 c onjun to d e la s personas rnexieanas mayores de edad, Las caractertsticas ccmuaesde los elementos deeste conjunto son:

e, Todos tienen 18 0 mas afies de edad ..

Ejemplo2.E1oonjunto de los vertebrados. Las earaeteristicas comunes de los objetos de este-eenjunro SOIl:a. Todos pertenecen.al reino animal .b. Tedos tiene vertebras

No te se q ue p ue de ns er a nim a le s irr ac io na le s 0 s er es h uma n cs ,

Ilis c am ':m d en a ta r a . l os c onj un to s l li@d ia n te I etr as mayU~cu la s.-16-


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DEFINICION:Un objeto que tiene las caractedsticas que definen al conjuntQ A se llama elemento de A 2.

Existen dos fonnas de definir un conjunto:

Ejemplo 3.Considere el conjunto A que consta de todos los colores basicos del espectro de colores. El verdeno es elemento de A ( verde ~ A) y el azul sf es elemento de A, esto es azul EA.

1. Per extensi6n:enumera, entre Haves, todos los elementos del conjunto,2. Por comprensien: define lafs) propiedadtes) que caracteriza(n) a los elementos del conjunto.

Ejemplo 4.Definamos 6 1 conjunte A como sigue:e Por comprension: A = {Las cualidades deseab1es en una persona}.Por extension: A ={presencia, inteligencia, capacidad de trabajo, buenos sentimientos,

gracia, caracter agradable, docilidad }.Sin embargo, no siempre es posible utilizer ambas formas de -definicion de un conjunto. En esecaso, se utiliza la que sea posible.

EjempJo 5..Sea el conjunto P que contiene a todos los puntos en lR2 que pertenecen aI circulo de radio 1 ycentro en el origen.Porertenslou: No es posible definir al conjunto de esta manera, ya que tiene una infinidadde elementos,Por comprensi6n: P = {(x, y) E ! R 2 I x2 + y2 ~ I}2 Se acostumbra denotar a los elementos de un conjunto, mediante letras rninusculas, Asi, si x es un elernenro de unconjunto A, este hecho se denota por xE A. Pot e1contrario, six no es elemento de A, se denota par x e o A.

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Ejemp,lo6.Sea N e1oonjunto de Iosnumeros reales 1/3,0,2 Y 10/4.POf exteaslon: N:=o { 0 , 1/3 , 2~ 1 0 /4}

Por comprenslon: No se puede definir a1 conjunto de esta man era. ya que no existe unacaracteristica rnatematica que los distinga completamente a todos.Existen algunos conjuntos que, par sus ca rac te ri st ic as recien un nombre propio. Estes son e1conjunto vacio y el conjunto universal.

DEFINICION:Se llama conjunto universal 0 conjunto universe al conjunto que contienecomoelementos a todos los objetos bajo consideracion, y se acostumbra denatarlo por U.

DEFINICION: .Se llama conjunto vaeio al cenjunto que no posee ningun elemento. Se acostumbra denotara este conjunto como 1 2 \ {elL0bien {} .

E s co rm in y de granutilidad identificar re la cio ne s a es ta ble ce r v in cu lo s entre c on j u nto s . E sta srelaciones 0 vinoulos se conocen como operaciones entre conjuntes. Algunas de. ellas, a s : i comolas principales propiedades que poseen, se menoioaan a continua cion.

DEFINICION:Sean A YB dos conjuntos definidos dentro del conjunto universal U. La interseccion entreA y B es el conjuntl de todos los elementos. que pertenecen, tanto a A como a B,. y sedenota como AnB. Esto es,

AnB= {XEU IXEA Y xEB}

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Ejemplo 7.Considere el eonjunto A de todas las personas asegurables y el conjunto B de todas las personasmayores de 18 afios. .

A= {x Ixtiene 12 anos 0mas} .B = {x Ix tiene 18 afios 0m as }Entonces,A (\ B = {x I x tien e 18 a fio s 0mas }

DEFINICI6N:Sean A y B dos conjuntos definidos dentro del conjunto universe U. La union de A y B ese1 conjuntc de todos los elementos de Uque perteneoen almenos a uno de losconjuntosA 0B. Se.acostumbra denotar a la uni6nde A y B como A uB. Es decir,

A u B = {xEU I x E A 0 X E B 0 ambos}Ejemple 8.Sean los siguientes eonjuntos:

A={XE~ IX :$5} B = {l, 3, 4,6, 7, 10 }Entonees,

A vB 0 {0, 1,2,3,4,5,6, 7, 10 }Netese que 2, 3 y 4 - son elementos tanto de.A como de E, este es, 2, 3 Y4 son elementos, tanto deAu B como de An B.

DEFINICION:Si A es un oonjunto definido dentro del conjunto universal U, se define el complemento deA (cen respecto aU) como el conjunto de todos los elementos de U que no pertenecen a A, yse deaota como AC Esto es,

Ejemplo 9.e Considefeel conjunto universal U = 91y sea A =91+entonces AC = lJr-19-


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2.2 Diagramas. de Venn y aplicadoncsE n rnuchas ccasiones lav isua lizac iO u g rafia del (? bijetoque se define e se ..describ e facilita lac:Qh1prensi6 'n . Et caso de los conJunto$ Pia es la ex:c.epci6h.. En muehas @Ga.siabes larepresentasien .graf iea o{ t i l f ' 1 s c () nj 1ln to s~ e rm j te ia en tiiic ar c on cla~ad aguenq~ e l e t l J e " h t o s quenos inseresan, La fO Im a g ra fic:a m a s generalizada para representar a loscffnjuntoS' san losdiagramas, de Venn 0 de Venn-Euler, los euales deben su nombee a 19s materna-lieos quedes 'a r ro l la rone{ lt e t ipo degrci fi cos .En un iJ l:apama de Venn- Euler se representa. a] cOfijuhto universal cIhedj:ant'e un r e c t 1 U 1 g r t i adentro del cual se aocsunnbra imdi~a:ta sea por extension 0 1 " ' 0 1 ' comprensi6n , a los elementos dedicho conJunta, AqueHos.e lementos que satisfacea la condiciea que define al conjsntc A se,


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DEFINICIQN:Sean A y B dos G Q n j lJ ! lt o . s . Se dice que A e s subco"jIjnnto de B,si t o


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DEFIN IC ION:Sean les conjuntos: A y B. Se dice que A y B e son mutua:mente excluyentes, si y s610 si:AnB=0.

Con base en la definicion de conjuntos iguales se puede distinguir entre dos tipos desubconjuntos: los propios y los impropios.

DEFIN IC ION:Un conjunto A es un subconjunto propio de B, si existe al menos un elemento en B que noes elernento de A. Se acostumbra.denotar este hecho como A cB.

DEFIN IC ION:Un cenjunto A es un subeonjunto imp.ropio de B, si no se.cumple que A sea un subc;onjuntopropio de :8 , pero A c B. Se deneta a los subconjuntos imprepios como A < ; ; ; ; R

Ejemplo 4.Considerelos co nju nto s : A = {O, 2, 4,6,8,10} ; B = *2, 4 } C{ 2, 4}.Se c,lJU1p,leque Be A , G c A , B =G , B ; ; ; G , C cJ3.Graficamente, el heche de que un oonjunto sea subconjunto de otro, semuestra enla Figura 2.2 .

Figura 2.2. Representaciongrafica de un subconjuntopropw.

BcA~22-


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PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOSq. Para cualquier conjunto A se cumple que 0 cA .h. Para un canjunto universal U y un eonjunto A definido sabre D, se tiene que A cU.c. Para cualquier conjunto A, se cumple la propiedad reflexiva A c A.d. Si A, Bye son conjuntos definidos en el mismo conjunto universal D, se tiene que si AcB

Y Bee, entonces Ace. Esta propiedad se conoce como propiedad transitiva,Tambien es posible demostrar que las operaciones entre conjuntos satisfacen las propiedades quese enuncian en el teorema siguiente,

TEOREMA:Sean A, Bye tres conjuntos definidos en el mismo conjunto universal U. Se curnplen lassiguientes propiedades:Reglas de identidad1. Au0=A, AnU=A.2. AuD=D, An0=0Leyes de D e Morgan3. (A u B )c =AC nBC4. (A nB t= ACuBePropiedades asoeiatlvas5. Au (B u C )=(Au B ) u C6. A n (B n C ) =(A n B ) (ICPropiedades distributivas7. Au (B n C) =(A u B) n (C u A)8. An (B u C )=(An B )u ( Cn A)

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Considers un canjunto universal que consiste de las cnteros dell al 10. Sean los conjuntos:A = {2, 3, if}, B "'"{3, 4,5 } Y C = = { 5, 6, 7}.

Describa par extension los siguientes eonjuntos:G. A nBb. ACuBc. (Ac n BC)cd. [An (BnC)]Ce. [ A n (B u C ) r CSelueien;Q.. An B= {3, 4 }...h. AC 0 B = { 1,3,4,5,6, 7, 8,9,10 L pues AC = { 1,5,6, 7., 8, 9, 10 }.

"c. (A C nBC )C = (A C )C u(B C )C =AvB por Leyes de Deidorgan

= {2, 3,. 4,5 }

d. [A rl(B nC) ]c=0c = { t, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8,9, 10 },pues, BnC= {5}; An(BnC)=0

e. [A rl(B u C) ] C = [ (A nB) u(A n C) ] C por propiedades de distributividad=(A rlB ) C n ( A rlC ) C por Leyes de DeMorgan= (A C v B c)n(Aeve c) por Leyes de DeMorgan={ 1,2,5,6, 7,8,9, IO}

yaqueAC = { L, 5, 6, 7,8,9., 10 }BC = {I, 2, 6, 7, 8, 9, 10 }CC = { 1,2,3,4,8,9, 10 }

AcuB C = { 1,.2.,5,6, 7, 8,9,10}ACu c C = { 1,2,3,4,5,6,7,.8,9, 1O}


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DEFINICION:Si A y B son conjuntos, se define el produeto cartesiano de A y 13 ( A x B ) como elconjunto de todos los pares orden ados (a, b) tales que aE A y b E B. Es decir,

AxB={(a,b) I aEAy bEB}.Se puede demostrar que el producto cartesiano es asociativo, es decir,

AxBxC=(AxB)xC=Ax(BxC),Aunque no es conmutativo, esto es, A x B xC*- A x C x B .

DEFINICION:Si A es un conjunto, se define su conjunto potencia denotado como { 0, 1 }A como elconjunto de todos los subconjuntos de A.

I

EjempJo 6.Considere el conjunto D={0, 10, 20,. 30 }. El conjunto potencia de Des:{0,1 }D = {0, {O}, { 10 }., {20 }, {30 }, {O, 10 }, {O, 20}, {O, 30 }., { 10, 20 }, { 10,30 },

{20, 30}, {O, 10,20}, {O, 10,30 }, {O, 20, 30}, { 10,20,30 }, {O, 10,20,30 } }.

Finalmente, es importante clasificar a los conjuntos de acuerdo con el nurnero de elementos quecontienen,

DEFINICION:Un conjunto es un conjunto finito, si tiene una cantidad finita de elementos (cardinahdadfinita).


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DEFINICION:Un conjunto es un conjuoto iufinito numerable, si tiene una cantidad infinita deelementos, pero e5 t01$ se pueden poner en correspondencia uno a uno con los numerosnatnraleaes decir, la cardinalidad es infinita, pero los elementos se pueden contar,

DEFINICI()N:Un conjunto es un conjunto infmito no numerable siposee una cantidad infinita deelementos, y estes no se pueden contar ,

DEFIN1CJ6N:Un conjunto es un conjunto discrete, si es finite 0 infinite numerable.

DEFINICION:Un conjunto es un conjunto 'continuo, si es infinitt() no numerable.

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3. EXPERIMENTOS ALEAI:0R10STal vez el estudio de la probahilidad toma sentido cuando se percibe y se acepta la existeneia de1~ aleatoriedad en diversos aspectos de la vida: diaria, Sin embargo, si considerarnos aleatoricaquello que bajo las mismas circunstancias no tiene un resultado unico, cabria ladiscusion entreq:uienes aceptan la existencia de la aleatoriedad y qnienes no, por eonsiderar que todo estade te rr ai na do pe r las circunstancias.En realidad, ya sea que el mundo sea 0 no determinista, dado que muchisimas circunstancias quese pueden presenter estan fuera de nuestro control, existe la posibilidad de que al repetir ciertassituaciones contrelables; obtengamos resultados distintos, caso que se puedeanalizar a traves deIa p robab il idad ,3 .1 Espaeio Muestral.Eventos.Para definir nuestro objeto deestudio, precisaremos primeroalgunos terminos que utilizaremosen adelante ,Entenderemos como experimento cualquier procedimiento capaz de generar resultadosobservables, Sin embargo" podemos encontrar experimentos tales que al repetirse bajo lasmismaseendiciones controlables presentan siempre el mismo resultado, los ouales reciben elHombre de ex:perimen.tos deterministas , 0 bien aquellos que pueden presentar resultadosd is ti nt os , a l r ep e ti rs e bajo las mismas condiciones eontrolables, Estos ultimos se conocen comoerperimen tos aleatorios.En nuestra vida diaria nos enfrentamos tanto a los experimentos deterministas como a losaleatorics, y necesitamos analizarlos para tomar decisiones adecuadas.pero mientras en el cased,e los e xp er im e nto s d ete rm i nis t a s basta con una observacion paraconocer e l r esu lta do que sepresentara siempre, en e1caso aleatoric no es asi , y para analizarlo se.requerira de un modele quePQSea,t amb i en, la c a ra c te ri st ic a de producirresultados distintos en circunstancias iguales. Por ta lraz6n, cs clare que los modelos probabilistas no permiten predecir e1 resultado de unexperimento, sino que solarnente indican la frecueaeia que cabe esperar cuando ocurra unresultado especifico, al repetir el experimento un elevado numero de veces, 0 bien 1acertidumbreque se tiene con respecto ala obtenoion de ese resultado en una sola ejecucion del experirnento.Debido a la gran importancia y necesidad de estudiar este tipo de modelos se ha desarrolladotoda una diseiplina de las matematicas, Ia Probabilidad. No obstante, se utiliza el mismotermino de probabilidadpara denominar a la medida del grade de certidumbre que se tiene en laceurrencia de un resultado especffico del experimento aleatorio.Part iendo entonces de que nuestro objeto de estudio seran los experimentos aleatorios, el primerpaso sera identificar a todos los resultados posihles del experirnento, para posteriorrnenteseleccionar aquellos que sean de interes ..Esto da lugar a una serie de definiciones que son lapiedra angular de la teoria de la Probabilidad ..


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I""

DEFINICION:E1 conjunto de tcdos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama EspacioMuestral y se denota par S.

Ejemplo 1.C onsidere el experimento que consiste en observar el resultado que se obtiene al lanzar un dado.El espacio muestral de dicho experimento es S ={ 1,2,3,4,5,6 }.

Ejemplo 2.Considere el experimento que consiste en observar el mes de nacimiento de tres personas. E lespacio muestral correspondiente a dicho experimento es el conjunto de ternas ordenadas

S =-,{ (1 , 1 , 1), (1 , 1 ,2 ), (1, 1, 3 ), .... }o de aka manera,

S = { (a, b, c) 1 1 ~ a: 12 , 1:::; b s 12 , 1:::; c::; 12 , a, b, c EN}

DEFINICION:Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Se acostumbra denotar a los eventos mediante letras mayusculas, preferentemente las primerasdel alfabeto.Desde esta concepci6n es util identificar y definir algunos eventos notables, que por suimportancia reciben un nombre propio. Algunos de ellos los de:finimos a continuaci6n.EVENT OS NOTABLESEventos simples. Son aquellos que constan de un solo resultado posible, esto es, son deca rdina lida d 1.Eventos compuestos. Son los que constan de m as de un resultado posible.Evento seguro. Es aquel que con seguridad ocurrira. Es, por tanto, el espacio muestral y sedenota par S.


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Evento Impnslble, Es aquel que nunca ocurrira. Se denota por 0.Eventos excluyentes 0mutuameuteexeluyentes, Son aquelles cuya interseceion es vacia,

Ejemplo 3.Censideremos el siguiente espacio muestral

Ay B no son excluyentes.

C es u n even to S 'im ple.C esta eon ten id o en B.Ay D so n e ue nto s m u tu a me nte e xclu ye nte s.By D son eventos mutua men t e e xc lu y en t e s.Fes e l e ve n t o impo sib l e.

3.2 Definicion chisica de probabUidad.Existen tres formas distintas de asignar probabilidades a .los eventos, Estas formas se conocencomunmente como interpretacioues de probabilidad, aunque en algunos casos cualquiera deelias se podria utilizer, esa posibilidad no siempre existe, Por tal razones importante conocercada una de estas interpretaciones, as i como las premises de cada una de ellas, no solo paraaplicarlas adecuadamente, sino tambien para tratar de encontrar coincidencias entre ellas, quenos permitan desarrollar una.teoria general.

1) InterpretacionelaslcaSi un experimento tiene un espacio muestral finite y todos los resultados son igaalmentefactibles, entonces la probabilidad de que oeurra el evento Aes e1cociente entre el mimero deeventos simples en A y el mimero de eventos simples en el espacio rnuestral S. Esto se denota

#Acomo P I( A ) = -#S

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Ejemp.lo4.En un tiroal blanco setienen 12 resultados pcsibles, a saber:

-15, -4, 0,1, 15,40,50, 100, 150,300,500, 1000,todos igualmente probables, Determine:a. La probabilidad de acertar a un numero negative.

Llamemos A al evento de acertar a un numero negative ..EntoncesP(A)= 2/12.b. La prcbabilidad de que el resultado sea un rnirnero positive ..

Sea B elevento de a ce rta r a u n m a ne ro p ositiv o, Entonces P(B)= 9'/12..c. La probabilidad de aeertar al cere.

S ea C el evento de aeertar al cero,entonces, PtC) =: lI12 ,d. La prebabilidad de acertar a ' U n . m im ero no negative.

P(B uC) = #(Bu C) = 10/12#S

2) Interpretaelen frecuentlstaDe aeuerdo can esta interpretacion la probabilidad de evento es la frecuencia relativa can la quese presents dichoevento en un mimero grande de-experimentaciones, Esto es,

_ . n (A)peA ) - iim.-----" ...." ndonde, n(A) es el mimero de veces que se observa el evento Aen n repeticiones del experimento.Ante la imposibilidad de realizar una infinidad de experimentaciones se aproxirna la.probabilidadde A medianteel cociente n(A) con n suticientemente grande. Es decir,n

P(A) ~ n(A)nEs importanteinsistir en que entre m as grande sea 11 , me-jar sera la aproximaci6n.

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EJemplo 5.Se tienen 200 oilindros de concreto y se someten a una prueba de compresion. Todos loscilindres son iguales y estan bajo las mismas condiciones de humedad y temperatura. Losresultados observades son los siguientes:

Limites171 - 180181 - 190191 - 200201 - 210211 - 220

Freenenctas16122513221

La resistenoia esta medida en kg/cm'', Determinar la probabilidad de cada uno de los siguienteseventos:A: Un cilindro resiste entre 191 y 200 kg/em2.B: Un oilindro resiste entre 201 y 210 kg! em2C' Un cilindroresiste entre 19 '1 y 210 kg/cm 2.D: Un cilindro resistea 10 sumo 200 kg/em'.

Soluehin:PCA) = 25 /200 = 0.125PCB) = 132/200 =0.66P C C ) = 157 / 200 = 0.785P(D) = 47 / 200= 0.235

3) Interpretacion SubjetivaDe acuerdo con esta interpretacion la probabilidad de un evento es el grade de certidumbre

que tiene quien asigna Ia probabilidad, en la ocurrenoia de un evento, Una prebahilidad igual acera indica laeerteza absoluta de que elevento no. ocurrira y una. probabilidad igual a uno. indicala certeza absoluta de que el evento ocurrira,A pesar de ser ttes concepciones diferentes de la probabilidad, es posible encontrar aspectoscomunes, los cuales permiten desarrollar una sola teoria


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3.3. Axiomasde ProbabUidad

De 1 0 anterior se desprende que 1 8 1 ptobabilidad es una funcion deconjunto cuyo dominic es elconjunto potencia del espacio muestral (conocido como cr - algebra de eventos) y sucontradominio los numeros reales ..La probabilidad se denota por P y satisface las siguientes propiedades.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD1) Si A es un evento, entonces 0::; peA) s 12) peS)= 1

n n3) Si Al lA 2 , ... An son eventos mutuamente exc1uyentes, entonces P( i~! A;) = ? = P(Ai)1= 1

A partir de estos axiomas es posible desarrollar y demostrar los siguientes teoremas, de loscua1es ornitirnos la demostraci6n, aunque en general es bastante sencilIa, ya que basta con laaplicaci6n, en ocasiones reiterada de los axiomas de probabilidad.

TEOREMAS:1. P(0) = o .2. Si A es un evento, entonces AC tambien 10 es, y P( AC ) =1 - peA) .3. Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces: P (A uB) =peA) + PCB)- peA n B)

Ejercicio 6.Recientemente se ha cuestionado la aceptabilidad de un acueducto ya existente para transportarflujo anticipado. Mediante simulacion el ingeniero ha estimado tasas de flujo maximo anual asicomo sus probabilidades de ocurrencia (suponiendo que el flujo maximo posible es 12 cm2/s ),como srgue:EventosA: EI flujo que se presenta esta entre 5 y 10 cm2/s , inclusive.B: El flujo que se presenta esta entre 8 y 12 crr/ls ) inclusiveC=AuB

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Probabilldades de ocurrenciapeA ) =0 .6 ; P C B ) = 0 .6 P C C ) = 0.7

Determinar las siguientes probabilidades:a) P (An B)b) P(Ane)c) P C A c u Be)d) P (AC)e) P (B u AC)

Soluci6na) P(A () B)

P (Au) =peA) +P(B) - P(An B)= > P I (A (1B ) =peA ) + P{B ) - peA u) = 0 ..6 + 0 .6 - 0 .7 = 0 .5

b ) P (A () C ) =P( A (1A u B =P A () A ) u (A n B= P(A (1A) +P(AnB)- P(A nAn B )= P ( A ) + P ( A n ) - P ( A nB)=P (A) =0,6

c) P (A e u B C ) =P (A n B ) C = 1 - P (A n B ) = 1 - 0 .5 = 0 .5d) P CAe) = 1- P ( A) =1 - 0.6 =0.4e) P(BuAC)=P(B)+P(AC)-P(BnAC)

= 0 .6 + 0 .4 - P ( B ) + P (A () B )=0.6 + 0.4 - 0.6 + 0.5= 0.9

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4. PROBABILIDAD CONDICIONALE INUEPENDENCIAEs cormin en Ia vida cotidiana, que quien esta hacienda el analisis de una situacion, ya seaproblematica 0 no, tenga alguna informacion acerca del comporramiento aleatoric de lexperimento, 10 eual puede haeer que la probabilidad de un evento sea diferente a la que tendriaante un desconocimieato total de la situacien,Dado que estasprobabilidades son quienes nos daran la pauta para la toma de decisiones, esimportante que seamos capaces de involucrar en nuestros calculos, Ia informacionque se vagenerando durante el desarrollo delexperimento, de manera que nuestras conelusiones sean m ascerteras y las decisiones mas e fi ci en te s,Par 1 0 expuesto anteriormente, es necesario tratarel tema de probabilidad condicional, lo cualnos permitira, ademas, analizsr algunas relaeienes que podrtan existir entre los eventos,

4.1 Teo.rema de Bayes

P(A); t :O

DEFINICION :.Si A YD son doseventos, se define la probabilidad de A dado D, como Ia probahilidad deque ocurra el evento A, cuando el evento B ya ocurrio 0 se tiene la certeza de que ocurrira,y se calcula como

peA IB)= P(AnB). PCB) P(B);t :ODe la misma manera, se define la probabilidad de B dado A, como la probabilidad de queocurra el evento D, cuando elevento A ocurrio 0 se tiene la certeza que de ocurrira ..Estaprobabilidad se calcula como:

P(8 IA)= P(AnB)P (A )

A partir de esta definicion de probabilidad condicional.es posible obtener una forma de calculopara la probabilidad de la interseccion de dos eventos, cuando se desconoce la probabilidad de BUunion, de acuerdo con el siguiente resultado,

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TEOREMA: (Regia de la muitiplicad6n)Si A Y B SOh dos eventos, entonces.

y tambien, P(AnB)=P(B)P(A IB)P(AnB)=P(A)P(B IA)

Ejemplo 1.En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades:a) La prebabilidad de que los dos hijos sean varones,b) La probabilidad de que sinno de los bijosesvaron, los dos 1 0 sean.Para poder resolver e1problema es necesario empezar por definir algunos eventos.Sean:

A : el evento de que los d os h ijo s sean v aro nes, YB:el evento de que al menos uno de lo s hijos sea varon.

Si observamos en el espacio muestral: S = { (h, h), (h. m), (m, h), (m, m) } y consideramosque todos los eventos simples son igualmente probables, es claro que P ( A) = 1 / 4 = 0.25 yP ( B ) =3 / 4 =0.75 ..Utilizando la definicion deprobabilidad condicional, laprobabilidad que se nos pide calcular ene l in c iso (Q), la p od emo s e xp re sa r como P (A I B ), que se obtiene como:

P (A IB ) = P ( An. B) = _114-lP (B) 3/ 4 3Pero analicemos ahora 1 0 que pasaal imponer una condicion, En este mismo eJemploconsideremos la condicion impuesta de que al menos uno de los hijos es varon, entonces, e levento ( m, m) no es factible, con 10 cual.el espacio muestral se modifiea, es mas , se reduce aloonjunto:

S B = { (h, h), (h, ill), (m, h) }..Si ca lculamos ahorala P (A) a partir de este espacio muestral reducido, se puede observar cantad a claridad que P ( A ) = 1/3. [Exactamente 1 0 que habiamos calculado usando 1adefinicion'.Esto se debe a que en absolutamente todos los cases, el heche de imponer una condicionequivale a restringir al espacio muestral unicamente alevento que esta dando la condicicn. Esteheche puede hacer que la probabilidad buscada cambie con respecto a la que esta referida a1espacio muestral original S, aunque tambien puede no haber cambio alguno.

- . 3 5 , .


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.Ejemplo 2.Se lanzan dos dados balanceados y se definen los eventos:A:el resultado de] lanzamiento del primer dado es par.B:el resultado del lanzamiento del segundo dado es 4.C: el resultado del lanzamiento del primer dado ,es3.

Determiner:a) P (A 'I B)

S> { ( i, j) I 1 : ; : ; , i::::;., 1:;;j ~6} ;. #S =36.Entonees, P (A I B) =1 12 . .

b) P (B Ie ) = II 6 .c) P (A Ic)=o -,,d ) P(C IA )=0e) P(A)"'"1120 P(B)=l/6.g) P(C)=1/6

DEFINICION:Dos eventos A y B son in .depemUentes, si la probabilidad de A dado B es igual a laprobabilidad de A,.y tambien la prebabilidad de B dado A es igual a Ia probabilidad de H,esd ec ir, si la o eu rre nc ia 0 no ocu rr en c ia de un evento no m odifica en nada 1a p robab ilidad deocurrencia de otro, Esto es, A y B sonmdependientes si

y tambien, P C A IB)=P(A)PCB iA)=P(B)

En el ejemplo anterior, A y B son independientes a l ig ua l que Bye, mientras que A y C no 1 0s o r t

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TEOREMA.:D os eventos A y B son eventos independientes si y s610 si peA nB) =peA ) PC B).

TEOREMA: (Formula de Probabilidad Total)Sean los eventos B, , B2 , B, una particion colectivamente exhaustiva del espaciomuestral S, y sea A otro evento, entonees,

peA) :; P[ (A n B1) u (A n B2) u ,..u (A n Bn) ]11= LP(AnBJi=l

Perc sabemos que peA (l Bi) ;:::P(Bj) peA I Bi), de donde se ohtiene el siguiente resultado ..

TEOREMA: tTeoremade Bayes)Sean los eventos B, , B2 , ... , B, una partici6n colectivamente exhaustiva del espaciomuestral S, y sea A otro evento, entonces,

p(BIIA)= nP(BJP(A\BJLP(B.k)P(AIBk)'k=l

4.2. Aplkaciones.Ejemplo 3.Una fabrica de articuloselectricos recibe un cierto tipo de partes de tres proveedores conocidoscomo A, B, C . De aouerdo can las pruebas de calidsd que, efectiia Ia fabrica al recibir cadaremesa, se sabe que el 10% de las partes recibidas de A no satisface las especifioaciones,mientras que por parte de Bye dichos porcentajes son 5% y 8% respectivamente, Ante talexperieneia, Ia pelitiea de la fabrica ha side requerir el 20% de los pedidos a A, el 50% a B y el30% a C. Una vez recibidas y revisadas las remesas se juntan todas las partes recibidas ..Si sese lec cio na a le ato riam en te u na p arte d e la s a lm a cen ad as,

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a. l ,Cual es laprobabilidad de que cumpla con las especificaciones ?b. 81 la parte seleccionada no cumple con las especificaciones.vcnal es la probabilidad de que

haya sido vendida par A ?So.luci6.n:Definamos los ssguienteseventcs:

A: La parte seleccionada fue fabricada por AB: La parte seleccionada fue fabricada par BC: La parte seleccionada fu e fabricada por CD : E l producto s ele cc ionado e st a def ec tuo so .

D eI ennnciado sab em os que:PCA ) =0 ..20 ; PCB );:;; 0 ..5 0 ; P(C);; 0 ..3 0 ; P {D I A ) =O.lO;P(D I B ) = 0 ,0 5 P(D I C) = 0 . 08 .g. peDe) =1 - peD ) -,

P(D) = = P(A)P(DI A ) +PCB) peD I B ) + P{C ) P{D I C)= 0.2 (0.1) + 0.5 (0.05) + OJ (0.08) = 0.069

b pe A I D ) =. . .. peA) p{n I A ). . = 0 .20 ( 0 .1 0 ) ;;:::0.2898 .._ . P{C) peD I C) + P(E) P(D I B ) + PCC) P(D I C) 0 . 0 69

Ejemplo 4.En una ciudad determinada, el 30% de las personas son conservadores, e150% liberales y el 20%son independientes. Los registros muestran que e n unaselecciones concretas votaron 65% de L o sconservadores, el 82% de los liberales, y el 50% de los independientes ..a. Si se selecciona al azar una persona de la 'Ciudad,l.cuaI es la probabilidad de que haya

votado?b. Si se selecciona al azar una personade la ciudad y se sabe que no VOtD en las eleccionespasadaagcual es la probabilidad de que sea un liberal ?

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Soluci6n:Definamos los eventos siguientes:A: La persona seleccionada al azar es conservadora,B:.La.persona seleccionada al azares liberalC: La persona seleccionadaal azar es independisnte,D: La persona seleccionada alazar voto en lsselecciones pasadas.

g. peD) = 7. Usando un diagrama de arbol:

P(A nD ) ~ PCA ) P(D I A ) = 0. .J95(D C I A ) = 0...35

pe A nOC)= peA) P(DC IIA) =0..10.5PCB( lD) =PCB) P(D ! B) =0..41

P(A)=O.30

=0 . . 5 0 .

P(C) = 0.20 . PCB nDC) = PCB) p e D C l I B ) = 0.0.9PCC nD) =P(C) p(DI C) =0.10.

PCC nD C) = P(C) p(De I C)= 0..10.

Entonces, peD) = 0. .195 + QA1 + 0..10.= 0.,70.5

1 2 . PC B I D~) = 0 . . .0 9 / 0 ..295 =0. .30 .5 .-39-


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5. VARIABLESALEATORIASEl objetivo de este terna es conocer y utilizar el concepto de variable aleatoria para resolverproblemas probabilistas,i _ , Q u e es fa variable aleatoria? En el tema anterior, se describieron los resultados de un experimento(eventos), en palabras; claramente esto dificultaba el analisis de algunos problemas. Es mncho masfacil describir y manejar problemas cuando se utilizan mrmeros.El prop6sito de la variable aleatoria es transfonnar cada punta de un espacio muestral en un punto deun eje real, de tal manera que dicha transformacion sea una funcion.5.1. Funciones de densidad y probabilidad y de distribuci6n casos discreto y continuo.Los fenomenos que mas interesan a los ingenieros son aquellos que pueden seTidentificados pornumeros, los cuales recibenel nombre.de eventos numericos. Por ejemplo, un medico esta interesadoen el evento de que diez de diez pacientes se curen de eierta enfermedad.

-,

x

Una variable aleatoria (v.a.) es una funcion, cuyos valores sonmirneros reales, definida enun espacio muestral. De una manera simple puede denotarse por X.' S ~ g{ .

DEFINICION:

En otras palabras una variable aleatoria es una funci6n que asigna numeros reales a cada posibleresultado de un experimento aleatorio; esto es, es una funci6n cuyo dominio de definicion es elespacio muestral de un experimento y cuyo range es el eje real.Usualrnente, se denotan a las variables aleatorias (v.a.) utilizando las ultimas letras mayusculas delalfabeto.Los valores de laimagen de dichafuncion, se conocen como valores de la variable aleatoria (v.a..) yse denotan con la misma letra que 1afunci6n, pero con mimisculas, y todos ellos se agrupan en unconjunto llarnado rango de 1avariable.

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Ejemplo LEn e1lanzamiento de dos dados se desea calcular 1aprobabilidad de que la suma de los dados seapar.a) Definir e1espacio muestral del experimento.b) Definir una variable aleatoria adecuada para e1problema.c) Calcular la probabilidad,Solucien:

(1,1) (1,2.) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

s=(3,1 ) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

f! ) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,.,3) (6,4) (6,.5) (6,'6

Ii) La definicion es la siguiente:Sea X 1avariable aleatoria que representa la suma de los resultados en el lanzamiento de losdados, Los posibles valores x de X son entonees:

2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ) Sea A e1evento en el eua11a suma de los resultados es par, esevidente que:

A={ X=2,X=4,X=6,X=8,X=10,X=12}Por lo que

P (A) =P (X =2) + P (X =4) + P (X =6) + P e x = 8) + P (X = 10) + P ( x =12 )P(A)=_l +2_+2_+2_+2_+~=!.36 36 36 36 36 36 2

EjempJo 2.En una ciudad se observa el tiempo transcurre de un sismo a otro, el cual se representa mediante lav.a. T. Obtener el range de T .

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Solucion:C on sid era nd o q ue u n sism o a o tro debe de t ranscurrir algun tiem p o, y que no se sab e cuanto tardaraen ocurrir el nuevo sismo, se tiene:

RT={ tit> 0 : ts: iR }Las variables aleatorias pueden clasifiearseen discretas, continuas 0mi:xtas .. Se estudiaran lascaracterist icas de l a s d i sc ret a s y de las c on tinu es, de ja nd o la s m ix ta s co m o u na com bin acio n de losc a so s a n te ri or es . ..

_ {DiscretasV ariab les a lea torias .'! Continuas

Una variable aleatoria discreta toma valores de un conjunto discrete, mientras que una variablea lea to ria co ntin ua lo s to m a en u n co njun to co ntin uo .Variables aleatorias discretasDEFINICION:.Una v aria ble a lea to ria se d ice d iscrete si su ra ng o es u n co nju nto d iscrete .Un a v ez d efin id a una v aria ble a le ato ria d is cre te , la p ro ba bilid ad d e c ad a u no de lo s elementosde BU rang e queda descrito pa r una funcion ..

DEFINICION:Sea X una v.a ..d iscreta , se define su fu ncio n d e probabilidad' f x ( X )2 como:

f x ( X )=p ( X = x )donde , f: Rx ~ [ 0 , 1 ]

Tambien Hamada: funci6n masa de probabilidad, 0 distribuci6n de probabilidad,E sm u y c om u n la n ota cio n px ( x ), donde se resa lta el h eche de que la f uncion proporci ona probabilidad,flu estasnctas se utiliza la notacion f x ( X ) para haeerenfasis en que e s u na fu nc i6 n ..

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Para cualquier funci6n de probabilidad de una v.a. discreta debe cumplirse 1 0 siguiente:'ropledades de una funcion de Probabilidad

o : : : ;I,( ) :::;1 , V xIfx ( x )=1

b) P ( a s X :::;b ) = L Ix ( x )x=a

Debe observarse la analcgia de estas propiedades con los axiomas de la probabilidad. Paradeterminar si una funci6n es una funci6n de probabilidad, se deben cumplir las propiedadesanteriores, en particular se deben probar (1) y (2).Ejemplo 3.Considerese el lanzamiento de una moneda. Se desea observar el numero de lanzamientos basta que"caiga" por primera vez un sol. Obtener una expresi6n para la funcion de probabilidad y verificarque curnple con las primeras dos propiedades ..Soluclon:Sea X la v.a. que representa e l n umer o de lanzamientos necesarios para observar por primera vezun sol.El rango de la v.a. es Rx ={ 1 , 2 , 3 , 4 , ... }

1i.(l)=P (X = 1 )=-x 2111f (2) =P ( X = 2 )=- .- =-x 2 2 41Ix (3)=P ( X = 3)=8

En general

f x ( x )=; x=l , 2 , 3. , .

o ; enafro caso.-43-


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Verificando la propiedad (1)

s ( ~ r ~ l'tixVerificando la propiedad (2)Debe curnplirse que L : fx (x ) =1

1 : / . Y)=P (X= l, Y=O )+P ( X=2, Y =D )+ P ( X= 2 , Y= l )

=0'.2+0.2+0'.08 = 0'.48b)

0 . 2

0.40

f Xy ( x ,Y ) r, (y)O . . l D 0.200'.0'4 0'.08

Y 0.06 0 .. 12Ix ( x ) 0 .20 ' 0.40

0.20 0 .50.08

0.3' .12

Variables aleatorias conjuntas contlnuasDiremos que dos 0m a s variables aleatoriaseonjuntas son continuas, si de manera individual cadauna de las variables consideradas, es continua de acuerdo con la definicion presentada enel temaanterior.

DEFINlCI6N:Si Xl, X 2 ,X 3 , . ,X 11 son variables aleatorias conjuntas continuas, entonces su funcion dedensidad conjunta se define como una funci6ncon las siguientes earacteristicas:1) Ix x ,,( x,, X 2 , ... ,X n )~ 0 "i f xi ,X 2 , '" X nI z,;1, n

2) J J . . . J fX,X2'''X. (x., X 2 , ... X n) d x, dX 2 n. dx,Rx\ RX 2 Rx.

3) P(XeA)= J j . . . J f X 1 X 2 ..x, (Xj,X2, ... X.n)dAA

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Ejemple 3.Sean X, Y dos variables aieatoriasconjuntas con funcion de densidad,a) Calcular el valor de k para el cual fx yes funcion de densidadb) p( O.5~X~] ,O.5~Y~l )c) p f X+YS I )Solucion:a) Para el caso de des variables aleatorias la propiedad 2 puede reescribirse como:

S : I:f xy(x,y) dxdyPor 1 0 que

. [ 1 2 ] 1 . ( 1 1 )=k ._:_y+L=k -=-+-. =k(l)=> k=l2 2 2 2eb)

1 1P ( 0.5 SX $1 ,O.SSY $1 ) = J J (x+ y)dxdy =

0.5 0.5

I . [ 2 ] 1 I [ ( ) ( ) ]. x . 1 ,1 r ,= J _ . , + .xy ~ dy = J - + y - - +- I dy =OJ 2_ 0.5 0.5 2 8 2

1, [ 3 y ] [ - 3 l ] 1 _ 4 6 4 _ 6 ' .= J -+- dy= -.Y+~' --,+-,--, . --I":jO.375. 8 2 8 4 16 16 16 16~ . ",.. ~c) Para obtener P ( X + Y $1 ). se dibuja la region de integracion

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[ ]

Y=-x+lP(X+Y~1)=.J .1J-X+l(X+Y)dydx= i ..X + X y . dx=o 0 J o 2 y = oiI [ : , ( - X + l ) ? . . . ] . . . f C I ( - X 2 + 1 J' +x(-x + 1) dx = dx =o 2 0 2

Funciou de densidad marginalA I ig ua l que para la s variables a le ato ria s co nju nta s d isc re ta s, p ara la s c on tin ues tam bien se d efin e lafunci6n d e d en sid ad m a rg in al.

DEFINICHJN:Si X y Y so n d os v aria ble s a le ato ria s c on ju nta s c on tin ua s, entonces se define: L a funcionde densidad marginal de X (funcion de probabilidad de X al margen de Y ) como:

f x (x)= r o o f x v ( x . y )dy.L a funcion de densidad m arg ina l de Y .(funcion d e pro ba bilid ad d e Y al m argen de X )como :

I, { y ) = i : o o In (x,)I )dx.

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P ara la fu nc io n d e d is trib uc io n conjuntadiserete es tud iada an te r io rmen te , dellanzamieato de desdados, obtener las margina tes ,

1 1 0 0 0 0 236 3 6 . 36.i, _.1_ _.1_ 0 0 o 336 36 36 361 1 1 _.1_ 0 0 4as 36 36 36 361 ...1_ 1 1 1 0 536 36 36 36 36 361 I 1 1 1 1 1 '636 36 36 3 6 g6 36 3 60 1 1 1 _.1_ 1 2_36 36 , 36 36 36 360 0 _.1_ _.1_ 1 1 436 36 36 36I) 0 0 _.1_ 336 360 0 1 0 0 1 1 1 ..L36 36 360 0 0 0 0 1 136 3613 6 6 6 6 636 36 36 36 36 36

Ej;emplo 5 . ,Sean X J Y X .2 las proporciones de dos sustancias distintas que se encuentran en una muestra deuna m ez cla dereactivos que se usa c omo in se ctic id a. S u po ng a se que X J YX 2 tienen una densidadde probabilidad conjunta representada por

en otro caso

( 3 3 )a) Calcular P X I : : ; ' 4 ' X 2 : : : ; " 4 "b) Determinar P ( X I s~,X 2 s~).

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Soluci6n:

La region es:

34

-- -'-----'-,"" IIIIII

34 x .I

E jemp lQ 6 .Sea la funcion de densidad conjunta

{

23 xyX + ~..~f xy e x ; y) =' a o s x,::; 1,0 ::; y ::;2;en otro caso

a) Obtener el valor de aE 91.b) Calcular P (X S Y) .c) Obtener las funciones marginales f x (x) y f y (y).

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So.lucion:a) Para que la funcion sea una funcion de densidad conjunta debe de cumplirse que

J o n f " a J ixr(x,y)dxdy=l,-a':J -copor 1 0 que:

de donde:

J 2 ! _ ( a +2l J . dy ! _ ( . 3 a + 8 ) , : ; : : 10 4 a 6 a 8a=~,3b) La region de integracion es:

y

. 0.4 0.6 0.8 1

Por 10 que:

J 2 J l ( 3 ) S : I J ' Y ( 3 . )(X sY) = 1'0 x3+gXJ/ dxdy+ 0 0 x3 +gX l dx dy-77-


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o bien, utilizando el complemento:

11 ( 3 )P(X ~ Y) =1-P(X > Y) =1- f a L x3 + " 8 x/ dx dyCo ) f l ( 1 3 2 7 4 )(X~Y =1-. -+-y --y dyo 4 16 16

9 31P(X ~ Y)=1--==-40 40c) Las marginales se obtienen de:

f x ( x ) =r . . , Iy (x,y) dyf y (y ) =C.. f x y (x, y) dx

Para la marginal de x:

J ~ 3 3 2 ) 3fx(X) = x +-xy dy = 2x +xo 8{2 X 3 + xIx (x) = o ; O~x~1; en otro caso.

Para 1a m a rg ina l de y :

J l ( 3 .32 ) 132I,y) = x +-.xy dx = - +- yo 8 . 4 16

11 3 ,-+-y-4 16jy(y) ~ 0

;en otro caso

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6..2. Fund6n die distribution coojuntaProporciona el comportamiento probabilista aeumulado conjunto de una sncesion de variablesaleaterias,

DEFINICION:S i X Y Y so n d es v aria ble s a le ato ria s c on ju nta s s e d efin e F XI ' (x,y) como:

Fxy(X,Y)=p( X~X ,.Y~y ) .Si X y Y son des variables a le a to ri as c en jun ta s d is cr eta s 0 continuas, entonces:

~ yF XI' (x,y) = L L f X I' (u , v) , paravv.aa ..discretas

u~ .....o V::;=-DQpa ra v .v. a .a . .con tinues .

y Fxy (x,y) tieae las siguientes propiedades:1) Fxr es una funcion no dec rec ien te2) Fxy(-oo,Y)=O

FXI' (x,-oo) = 0FXl (0 0 , 0 0 ) = 1

3) F I' (00 , Y)=F y (y)FxI' (x, 00 ) = Fx(x)

5) Para vv.aa, ccntinuas, si F Xy tiene derivadas parciales de orden superior ados.

f (.. )= a 2pXy(x ,y)XI' x, y. a y a x

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Independencia de variables aleatoriasconj antasDespues de estudiar las fanciones de probabilidad y de densidad marginales, se observa que elconocimiento (0 la informacion) sobre el valor de una de las variables aleatorias puede modificar eleomportamiento probabilista de la otra variable ..Esto solo suoede si las variables conjuntas sondependientes,

para todo x e y.

TEOREMA:Si X y Y son variables a le at or ia s con juma s , se dice que son independientes 8 1 y 5 6 1 0 si

f xy (x, y) =f x (x) f y (Y)

Ejemple 7. -,

Determinar si las vv.aa. conjuntas X y Y con funcien de densidad conjunta dada por:

(~x(x+ y)

!xr(x,y) = 3o

; OS;xs;l; OS ;y S ; x

; en otro caso.son independientes no.Solution;Para determiner si las vv. aa, son independientes no, deben obtenerse primero las marginales.Para la marginal de z :

Jx 8 8 ( 3 x3 J 3ix{X)=. -x(x+y)dy=-.x +-'=4x .o : 3 3 2de donde:

{4 if x(x)=. 0 ; O S;xS ;.l; en otro caso

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Para la marginal de y:r 18t,y) ;::;;J -x(x + y)dxy3

[3 ] 1 38 X x2 y _ 8 4 20 yf(Y)~-::- -+-. --+-y-~~

y 332 93 9y

de donde:8 . 4 . 20y)~+~y-~~.9 3 9 ; osy s ;

o ; en o tro ca se.ypuesto que:

( 32 3 16 3 80 3 3F" x) fy (Y) =-. x+- x Y - - x y =fXy.{x,y)A . . 9 3 9se concluye que las variables X"y Y no son independientes (son dependientes),Caractertsncasnumericas de las variables. aleatorias conjuntasLas caracteristicas numerieas de las variables aleatorias conjuntas son valores que describen elcomportamiento probabilista conjunto.6.4. AplicacionesValor esperado de funciones de variab le s aleatorias conjuntasDEFINICION:Si X, Y son variables aleatorias ccnjuntas con funcion de probabilidad 0 de densidadconjunta f x y (x, y) y s ig(x.y) es una funci6n dichas variables aleatorias, Entonces elvaloresperado de g (x, y) se define como:

E(g(x,y)) ;::;; Ig(x,Y)fxy(x,y)VRx ItR~ ; case discreteI:J:g(x,y) fxr (X ,y) dx dy ; en otto caso.-81-


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Propledades del v al or esperadoa) E(c)=cb) E(X+Y)=E(X )+E(Y )c) Si X , Y son variables aleatorias independientes, entonces:

EjemploS.En. e ierto p ro eeso p ara ela bora r u na su sta ncia qu im iea i ndu st ri al e 1p roduc to r esu lta n te cont ie n e dostipos de impurezas, En una muestra especlfica de este proceso, Y I denota la propercion deimpurezas en la m uestra y Y 2 la proporcion de la irnpureza tipo r entre todas las impurezasencontradas ..Supongase que se puede elaborar un modele de la distribucion conjunta de Y l Y Y 2mediante la funcion de densidad de probabilidad siguiente:

. O '


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CovarianciaLa covariancia es una medida de dispersion que indica, en promedio, que tanto se alejanconjuntamente los valores de sus medias respectivas, i.e. que tanto varian en conjunto (que tantocovarian).

DEFIN IC ION:Si X Y Y son 2 variables aleatorias conjuntas, entonces se define la covarianciaCov(X ,Y ) como:

Aplicando las propiedades del valor esperado, se tiene que la covariancia se puede calcularmediante:

TEOREMA:Si X y Y son dos variables aleatorias conjuntas independientes, entonces:

Cov(X ,Y )=0

El valor esperado de la covariancia depende de la escala en la que estan X y Y . Para referir larelacion entre X y Y a una escala fija se debe utilizar el coeficiente de correlaci6n.

DEF IN I C ION :El coeficiente de correlaci6n, denotado por pes:

p = . Cov (X ,Y ) _ aXY. J Var ( X ) . J Var{ Y) ax a

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E l co eficien te d e c or re la cio n e s u na c an tid ad a dim e n sio na l que m ide la asociacion linea l en tre la s dosvariables aleatorias, e e l valor de pesta contenido en e] intervale [-1 ,1 ] . .EI eoeficiente de correlaeton tiene las siguientes propi.edades.

1) Si X, Y so n vv.aa, in de pe nd ie nte s, e nto nc es p =02) Pa ra cua lesqniera vv .aa . conjuntas -1 :S :;psI3) P = 1, si y so lo si Y =m X + b para m y b constantes .Ejemplo 9.Dada Ia fund e n de densidad conjunta

fX'(X'Y)={-,

2 24xy e-


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7. DlSTRlBUCIONES ESPECIALKSFrecuentemeate, al analizar situaeiones reales, se hacen suposiciones acerca de las problemas,mismas que Bevan a deseripcienes analogas y par tanto, a modelos maternatioos esencialmenteiguales, en los que. solamente los numeeos, los valores de los parametres y sus interpretaciones,difieren de aplicacion a aplicacion,Dentro de la teoria de la probabilidad tambien existen rnodelos, llamadas distribucrones, queaparecen can tantafrecueneia que han recibido un nornbre propio, y que pueden serdesarrollados y estudiados independientemente de fa aplicacion especifica 'que se les de.Ya se ha dicho que el modela probabilista que se seleceiona debe representar de maneraadecuada ala situacion real, que puede ser discrete 0 continua. Resulta logico, entonces, esperarque el modele sea del mismo tipa\es decir, discrete a continuo. De aqui, que los modelosprobabilistas mas comunes se clasifiqpen COIDO, discretos ycoutinuos.La identificacion del modelo apropiado para analizar un problema es un punta de vitalimportancia en la.solucion del mismo, y puede atacarse comparando el histograma de frecuenciasde los datos reccpilados, con las graficas de las distribuciones conocidas, para determiner cual deellas es Ia que mejor se aproxima, 0 bien, reconociendo que en esencia la variable aleatoriaasociada al problema tiene alguna de las fonnas que se definenen dichos modelos,

MODELOS PROBABILISTAS PARA VARIABLES ALEATORlAS DISCRETAS.

7.1 Dtstrfbuclen BernoulliSin Ingar a dudas, el caso mas sencillo de fen6meno aleatorio es aquel que tiene unicamente dosresultados posibles -satisfactorio 0 insatisfactorio, alto a bajo, lentoo rapido, buena a malo, etc.~ q ue ~ n g en era l p ue de de nom in ars e exito (e) y fracaso (1 ) teh iend o a so cia da , ca da un o de ellos,una probabilidad de ocurrenoia p y q= 1 ~ P respectivamente, Este tipo de fenomeno recibe elnornbre de exper imemo 0 e n 8 ay o d e B er n o u lli.Si denotamos con X ala v, a. que representael mimero de exitos que se presentan al realizar unensayo de Bernoulli, se puede detenninar inmediatamente que esta imicamente puede tamar losvalores 0 y LN6tese que la probabilidad de que no se observe ningtin exito es exactamente la probabilidad deque el resultadc sea; un fraeaso, es decir, 1 ...,p, y la probabilidad de obtener un exito esp, esto es:

P(X=O)=l~p y P (X = 1 ) =p.

1 Aunque existen discretos que pueden representarse adecuadamente, mediante algun modelo continuo.-85 -


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La funcion de probabilidad asociada a la v. a..X, definida anteriormente, es la funcien:

{PX(1_P)(l_X} ; sit x= O,l

fx ('x)= ; en etre case,que tiene a p (la probabilidad de exito), como tinioo parametro, y se conoce como DistribucU)Dde Berno.ulli.Las caracteristicas numericas de una v. a. que tenga esta distribucion estaran en funcum de lparametro p. Asi, es posible, partiendo de la definicion, demostrar que E{X) =P Y tambienque Var(X) =p (1 - p) ..Tambien se concluye que Ia funoitin generadora de mementos de Xes:M ( H )_ ; c - -eal+( l~) .- =p .. p.La importancia de este modele radica en 8M gran utilidad dentro del desarrollo de otros modelosun poco mas sofisticados, como los que presentaremos mas adelante.

7.2 D~sldbnci6nBinom'iat.U n expertm eate 0 ensaye bin.omiales una sucesrcn de ensayos de Bernoulli, todosin dep en dien tes en tre sf y con la m ism a probab ilidad de exito p.Dentro de un ensayobinomialesposible plantearse varias preguntas tipo, que reguIarmenteresultan de interes, como son:

i. C uantosexitos se ob servaran a l rea liz a r .f t re pe tic io ne s in de pe nd ie nte s -d e u n ensayo deBernoull i ? ;_,Cuantas repetieiones delexperimento se necesitaran para lograr obtenerel primer e X I l i o ? L Cuantas veces se tendra que repetir el experimento, si se desea observar lOIS prirnem r

exitos?

DistribuclOD binomialLlamemos X ala v. a . que representa el numero de exitos que se observan al realizar n ensayosindependientes de Bernoul l i , cada uno con la misrna probabilidad de exito p, que todos losdemas.Observemos que, por la forma en que se defmi6 la v, a., los valores que pueda tomar X son,solamente los enteros positives entre uno y n, inclusive,

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Peru 1 0 que hasta ahara sabemes acerca de X no es suficiente para dar una respuesta sarisfactcriaa 1a pregunta concreta, Necesitamos conocer la distribueion ; y para lcgrarlo calcularemaa la ~probabilidad de que Ia v. a . X tome un valor x cualquiera, perofijo.En n ensayos de Bernoulli independientes, la forma de obtener exactamente x exitos.en generalno es unica, puesto que si acomodamos en un arreglo los resultados obtenidos en cada ensayo,nosdaremos cnenta de que ex isten exaetamente (:) urreglos diferentes que contenganel mismo mimero de exitos, La anterior significa que la probabilidad buscada es la SU1;na de lasprobabilidades de cada uno de los arreglos COl1 la propiedad deseada, Se puede observar,mediante el calculo de lasprobabilidades de algunos de estes resultados que, debido a Laindependencia de los ensayos, la probabilidad de ocurrencia es la misma para todos los arreglosmencionados, la cual es pJ((l-p) (n"x). Por 1 0 tanto, 1a funcion de probabilidad asociada a estavariable aleatoria es:

(x (x) =(:}, (l-p)'"-~ , X~O,l, ....,n

'. o ,. en otro case

conocida como Distribu:cioil Binomial can parametros n y p, 10 cual se denota como;X '-< Bin (.n, p )

Para esta distribuoion se cumple que E(X) = np y Var(X) =np(I-p)

Ejemplo 1.Suponga que los motores de avron operan en forma. independiente y que fallan con unaprobabilidad igual a 0.4. Considerando que un avnrn realiza un vuelo can toda seguridad, si pot1 0 menos trabaj6 la mitad de sus motores.Determine si 1H1 avi6n cuatrimotor a uno bimotor tiene la probabilidad m as alta de efectuar unvuelo sin problemas.

Solucion:Sea X la v, a. Que representael mimero de motores que fallan cuando el avion realiza un vuelo.Se observe que X es de .la fo rm a descrita en esta seccion (numero de exitos en n ensayos), Portanto, X - Bin(n, p)

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Caso 1: Si el avian es bimotor, n = 2 Y P = 0.4. La probabilidad de que realice un vueloseguro es P'(X'< 1).. Perc P(X1.1)=P( X=O)+P(X=l).

P(X ~O)+P(X~ l)~ ( ~ } ol_p)o-Ol + G } ' (1-p)o-1) ~O.84Caso 2 : Si e1avion es tetramotor, n>4 y P = 0. .4 . La probabilidad de que realice un vuelosegurces P ( X ~ 2),pero:

p ( X s : ; 2) = = P ( X = , 0) + P ( X = 1) + P (' X = 2)

( 4 ) ( 4 ) . . ( 4 J '= O . p'' (l_p/4-0) + . 1 . pI (l_p)t4-1) + 2:p2 (l_p)(4-2)=0.8208.

Por 10 tanto la probabilidad de realizar un vuelo segura es mas alta para el avian bimotor quepara el tetrameter, aunque Ia diferencia es bastante pequefia,7.3 Dlstrfbuclen PoissonEl Proceso de Poisson consiste en la ocurrencia aleatoria de eventes a 10 largo de un intervalecontinuo, de manera que se reunen las siguientes caracteristicas:1. E:stacionalidad: La probabilidad de que ocurra un evento en un intervale de longitud

pequefia t, es A t , con A constante .2. Unicidad:La probabilidad de que ocurra mas de un evento en un intervale muy pequefio de

longitud h es despreciable comparada con la probabilidad de que eeurra solo uno.3. Independenda. : : La ocurrencia de un evento en un intervale dado, no dependede la

ocurrenciaen in terv alo s a nterio re s, n i pesteriores,Existe n mu ch os e jemplo s de p ro ce so s d e Poisson.eotao son: Las llegadas de los clientes a un autoservicio. La llegada de Ilamadas telefonicas a un conmutador. Los electrones producidos por el cheque de particulas ..

Sea X 1 8 v.a, que representa el numero total de eventos que oeurren 'en un intervale de longitud t.Como se puede ver, X es una v...3 .. discreta, y su funci6n de probabilidad es

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fx (x)==(AtY -At--ex! x =0,1,2, .....

o en otro caso

Una caracteristica muy especial de esta distribucion es que, tanto la media como 1avarianza soniguales a A t .

Ejemplo 2.Suponga que las moleculas de un gas raro se encuenttan a razon promedio de tres por pie cubicode aire. Si se supone que las moleculas estan distribuidas independientemente y al azar en el aire,l,cmll es 1a probabilidad de que, en una muestra de un pie ctibico de aire, se encuentre comomaximo una molecula de dicho gas?Solution:Sea X la v. a. que representa el numero de moleculas del gas raro, que se encuentran en un piecubico de aire. X tiene distribucion de Poisson con parametro A=3, 10 cual se denota comoX ~ P (At) con A= 3 y t = 1 . La probabilidad que se desea calcular es P ( X ~ 1), 1 0 cual seobtiene como sigue:

p (X.~ 1):;: P (X = 0) + P (X =1)

Se puede demostrar que,en general, la distribucion de Poisson resulta una buena aproxirnacion aladistribuci6n binomial, si n es grande y p pequefia, Una regla practica admisible es utilizar dichaaproximaci6n, si n ~ 20 y P s 0.05.

MODELOS PROBABILISTASPARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS7A Distribucion ExponencialEn la seccion anterior se habl6 del proceso de Poisson, y se tipific6 una v. a. discreta,en relacioncon dicho proceso. Sin embargo, en el marco de ese mismo proceso es posible defrnir otrasvariables aleatorias, solo que, en este caso, se habla de variables aleatorias continuas, las cualesson de gran importancia en el campo de las aplicaciones de la probabilidad. Una de esasvariables es la distribucion exponencial.

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Definamos a la v, a. T como e1 tiempo que transcurre entre dos ocurrencias sucesivas de unevento, en un proceso de Poisson. N6tese que la variable aleatoria puede adoptar cualquier valor-real positivo,Una forma sencilla para conocer su distribuci6n de probabilidad, consiste en relacionarla con lav. a. X con distribucion de Poisson analizada antes. Al hacerlo, construyendo la funcion dedistribucion (acumulativa) de T y derivando can respecto a t, se obtiene la funci6n de densidadde T, como:

t > 0

en otro caso

Conocida como Distribucien Exponencial con parametro X. El heche de que una v. a. T tengaesta distribuci6n se indica como T - exp ( A ). Ademas si una v. a. T tiene este tipo dedistribuci6n, se puede calcular que,

E(T)'::::1 / A y Var(T) = 1 / A 2Ejemplo 3:Sup6ngase que un disefiador puede tamar una decision entre dos procesos de manufactura para lafabricaci6n de cierto componente. Empleando el proceso A cuesta C dolares par unidad fabricarun compcnente, Emp1eando e1proceso B, cuesta kC dolares, por unidad, fabricar un componentecuando k > 1. En promedio, los componentes sufren 200-1 fallas por hora para el proceso A; y300-1 fallas por hora para el proceso B. Debido a una clausula de garantia, 5 1 un componente duramenos de 400 horas, el fabric ante debe pagar una pena de R d6lares. l,Cmil proceso debera elegirel disefiador?Solueion: SeanTA: la v. a. que representa el tiempo que dura el componente fabricado par e1proceso A .Tn: la v. a. que representa el tiempo que dura el componente fabricado par el proceso B.EJ costa total CA en que incurre el fabric ante al utilizar el proceso A es: C si TA;:::400, 0bien, C + R si TA< 400. Por 10 tanto,

E(CA)=C[P(TA;:::400)] + (C+R)[ P(TA < 400)]= Ce-2 + (C + R )(1 - e2)

De manera similar se tiene que el costa total CB en el que incurre el fabricante al utilizar elproceso B es: kC si TB;:::400 0bien kC + R si TB< 400. Por 10tanto,

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ECCB) =kC ; [P (T B ~ 40 0)] + (kC+R)[ P(Ts


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De donde,1C~----.b)2i

Par 10 que la expresion de la funcion de densidad normales :

SI - co


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Buscando en la tabla; en el renglon correspondiente a z =0.8 en donde cruza con.la columna del7, tenemos que: P C Z < 0.87 ) = 0.8078. De la misma forma, si seleccionamos el valor que _aparece en e1cruce del renglon z = 1.2 y la columna 8, se obtiene:

P C Z < 1.28 ) =0.8997.De donde, P C 0.87


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TEOREMA:Si X I ,. X 2 , ... .X, son variables aleatorias independientes, y todas can distribucion normal cadauna can media ].ij y varianza dX i' i= 1,2,...,n, 1 0 1 v.a, X definida como

n nTambien tiene distribucion normal, can media L CjNi Yvarianza Ii'O"~i ..';=0 ;= 1

Demostraeien:Para demostrar el teorema, basta can construir Ia funcion generatriz de mementos de X, a travesde las funcioaes generatriees de mementos para. las Xi 'S , e identificarla con la funciongeneratrizasociada a una distribucion normaL

que corresponde a 1 0 1 funcion generatriz de mementos de una v.a, con distribucion normal) conmedia y var ianza de sc ri ta s ,Bste resultado es valido tmicamcnte cuando las variables aleatorias que se suman, tienendistribucion normal, Sin embargo, existe un teerema fundamental en 1 0 1 probabilidad, que es unresultado mucho mas general que enunciamos a continuacien ..TEOREMA DEL LiMITE C'ENTRALSean XbX2, .....xn son variables aleatorias independientes, yean la misma distribucion (ya sea

IIdisereta 0 continua), cada una con media J l y varianza 0'2. La v.a S, definida como: L X i .i= 1Cuendo " tiende a infinite, tiene aproximadamente una distribucion normal con media nJ l Y

va rianza 1m 2., es deeir,n 'I X i -11ftZ .: ..:.:i~:.:_I_--=-_aJ;;

tiene aproximadamente, una distribucion normalestandar cuando n tiende a infinite.Este resultado pennite aproximar adecuadamente, distribuciones tanto discretas como continuas,mediante la distribucion normal, Un ejemplo es el caso concreto de la distribucion binomial quepara un valor grande de n se logra una buena aproximacion .

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2.-PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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