2 Onde Meccaniche - · Onde materiali, o meccaniche: sono perturbazioni del mezzo materiale in cui...

29

2 Onde Meccaniche Le onde sono un fenomeno perturbativo che si propaga trasportando energia.

La velocità v con la quale la perturbazione si propaga dipende dal mezzo in cui l’onda si

propaga. Si possono distinguere due casi:

Onde materiali, o meccaniche: sono perturbazioni del mezzo materiale in cui si propagano e la velocità di propagazione dipende dalla proprietà elastiche del mezzo.

Onde non materiali: sono una perturbazione di campi, tipicamente elettromagnetici 1. La velocità di propagazione dipende dalle propprietà elettromagnetiche del mezzo

in cui la perturbazione si propaga, esplicitate attraversoi e (0 e 0 nel vuoto).

Le onde possono essere trasversali o longitudinali, a seconda che la perturbazione sia ortogonale alle direzione del moto o ad essa congruente

La propagazione di un'onda può avvenire in una sola direzione: onde piane (oppure unidimensionali), ovvero in tutte le direzioni: onde sferiche (o anche cilindriche).

La propagazione determina la forma del fronte d'onda che in generale è piano o sferico

Figure 1.2 ‐ a) Onde trasversali in una corda. b) Onde longitudinali in una molla. c) Impulso su una corda

1 Il campo elettrico E ed il campo magnetico B sono generati da densità di carica e di corrente. E e B sono tra loro collegati dalle Equazioni di Maxwell. Le proprietà del mezzo in cui si propagano i campi sono rappresentate dalla permeabilità magnetica e dalla costante dielettrica . Le onde elettromagnetiche sono una conseguenza delle Equazioni di Maxwell e la loro velocità di propagazione dipende da e secondo la relazione: v2 = 1/( ). Nel vuoto v = c = 1/( ) ≡ 2.99792458·108 m/s = costante universale.

30

2.1 Funzione d'onda ed equazione delle onde

La forma della perturbazione e la sua dipendenza da P(x,y,z) e t la descrivo con una funzione detta funzione d'onda

cartesianecoordinatein),,,(=),( tzyxtP

),( tP è una funzione d'onda, cioè rappresenta un'onda che si propaga, se è soluzione

dell'equazione di d'Alambert

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22 1

=1

=tzyxt

vv

Questa equazione, in coordinate cartesiane, fornisce un'onda piana con una sola direzione di propagazione. Se scegliamo x nella direzione di propagazione (rotazione del generico sistema cartesiano di coordinate) l'equazione precedente diventa ``unidimensionale'' o piana 2:

2

2

22

2 ),(1=

),(

t

tx

x

tx

v

La stessa equazione vale anche ovviamente per un caso prettamente monodimensionale come quello della corda tesa. Si dimostra che le soluzioni “unidimensionali” sono del tipo:

)(=),(oppure)(=),( txtxtxtx vv

le variabili x e t non sono indipendenti, ma compaiono sempre accoppiate nella forma x ± vt. Nel caso )(=),( txtx v l’onda si dice progressiva perché si propaga nella direzione delle

x posotive, se invece )(=),( txtx v l’onda si propaga nel verso opposto ed è detta

regressiva. Dimostrazione: poniamo txu v= , onda progressiva

)('=)(

=)(

=)(

=)(

=),(

uu

u

x

u

u

u

x

u

x

tx

x

tx

v

)("=)('

=)('

=)(

2

2

ux

u

u

u

x

u

x

u

))(('=)(

=)( v

ut

u

u

u

t

u

22

2

"=)()('),( vv

t

u

t

tx

2

2

22

2

2

22

2

2 1==

txxt

vv

2 Onda piana: tutti i punti su un piano costx = , detta superficie di propagazione, hanno lo stesso valore di

),( tx per ogni y e z .

31

Analogamente per l'onda regressiva in cui txu v= . La funzione d'onda piana )(=),( txtx v può rappresentare una grandezza qualunque che si propaga con velocità

v, dando origine ad un'onda. In particolare può essere scalare o vettoriale.

Esempi:

etrasversalpiananeticaelettromagonda)(=),(

etrasversalpiananeticaelettromagonda)(=),(

etrasversalospostamentdimeccanicaonda)(=),(

alelongitudinospostamentdiacusticaonda)(=),(

alelongitudindensitàdiacusticaonda)(=),(

alelongitudinpressionediacusticaonda)(=),(

txBtx

txEtx

txytx

txstx

txtx

txptx

vvvvvv

L'equazione delle onde da cui derivano è sempre la stessa equazione di d'Alambert.

Notiamo che per la linearità dell'equazione delle onde vale il principio di sovrapposizione

degli effetti. Quindi se )( txi v sono funzioni d'onda, anche

)(=)(=),( txtxtx ii

vv

rappresenta un'onda.

Questa proprietà fondamentale ci permette di trattare fenomeni come l'interferenza, l'onda stazionaria e i battimenti. Ma soprattutto, ci permette di utilizzare la serie o la trasformata di Fourier per trattare forme d'onda complicate attraverso:

• la serie di Fourier se la forma d'onda è periodica • la trasformata di Fourier se la forma d'onda è impulsiva

Consideriamo il caso di un'onda impulsiva su una corda tesa e analizziamo la propagazione descritta da )( tx v , facendo riferimento alla Figura 2‐2.

Spostando il sistema di coordinate in txx v' e posto ttt =' si dimostra

facilmente che

)(=)]()[(=)','(

aprogressivèondalesempio,lnelcomese,)','(=),(

txtttxtx

txtx

vvv

quindi la funzione d'onda )( tx v rappresenta un'onda progressiva mentre )( tx v

rappresenta un'onda regressiva.

Esempio di funzioni d'onda. Perché ),( tx sia una funziona d'onda è condizione necessaria

e sufficiente che le variabili x e t siano legate dalla relazione tx v e tx v . Nessuna delle due variabili può apparire in modo indipendente da una di queste relazioni. Esempi:

)(cos= txkA v è una funzione d'onda e k serve per mettere a posto le

dimensioni.

ondadfunzioneunaè 1)(

=2tx

A

v

32

Figura 2.2 ‐ Propagazione di un impulso su una corda

La velocità v è detta velocità di fase dell'onda. Essa è la velocità di propagazione di ogni specifico punto della forma d'onda.

2.2 Onde piane armoniche

Le onde piane armoniche sono espresse dalle funzioni seno e coseno.

][sino)]([sin=),(

][coso)]([cos=),(

txktxktx

tkxtxktx

mm

mm

vv

In generale al gruppo )( txk si aggiunge una fase che indica appunto il valore

dell'argomento in 0== xt . Ovviamente la è diversa se si usano il seno o il coseno e il suo

valore dipende dallo specifico sistema di riferimento che è stato scelto.

Si noti che la funzione d’onda ),( tx è periodica sia rispetto alla coordinata spaziaòe x,

che a quella temporale t. La periodicità temporale T è detta periodo e quella spaziale è detta lunghezza d’onda.

ttnxtx

ttnxtx

xnTtxtx

xnTtxtx

tttt

xcostxxcostx

),(=),(

|),(=|),(

),(=),(

|),(=|),(

00=0=

00==0==

33

Figura 3.2 ‐ Onde piane armoniche

Siccome per x il valore della funzione si ripete al variare di t di un numero intero di periodi T si ha:

)(2=)())((cos=)(cos ntnTtTntxktxk

2=2

=2= ovveroT

nTn

2

=ovvero1

=ovvero TT

Lo stesso si può fare per t considerando la lunghezza d'onda . Infatti:

)(2=)()(cos=)(cos nxknxktnxktxk

k

knnk

2

=2

=2= ovvero

Esplicitando T e nella funzione d'onda si scrive:

T

txt

Txtx mm

2cos=

22cos=),(

34

2.2.1 Velocità e accelerazione trasversali

Nel caso di un’onda trasversale armonica che propaga su una corda tesa è immediato ricavare la velocità e l’accelerazione trasversali di un generico punto della corda al passaggio della perturbazione. Con semplici passaggi abbiamo:

0=)(cos=),(=),( yytkxytxytx mm

mmymcostxy ytxkydt

txdy

t

txytx =)(sin=|

),(=

),(=),( ,= vv

mmymcostxyy

y yatxkydt

txd

t

txtxa 2

,2

= =)(cos=|),(

=),(

=),(

vv

2.2.2 Digressione sulla fase

E’ importante notare che l’eventuale fase che compare nell’argomento della funzione

armonica seno o coseno è equivalente ad uno spostamento dell’origine del sistema di assi cartesiani. Partendo infatti dalla funzione d’onda scriviamo:

=22

cos=cos=)(,

Txytxkyt mm

Si tratta ora di associare la fase ad uno spostamento dell’origine della cordinata

spaziale o di quella temporale. Nei due casi, con semplici passaggi, otteniamo:

t

Txxytx m

22

cos=),( 0

dove

2==

200 xx

oppure

0

22cos=),( tt

Txytx m

dove

TttT

2

==2

00

2.3 Velocità di propagazione su una corda tesa

I parametri caratteristici del mezzo di propagazione sono la tensione T N e la densità

lineare ][]/[=/ 23 mSmkgmkgl dove è la densità del materiale di cui è fatta la corda

e ][ 2mS è la sua sezione . La velocità di propagazione v sm/ dipende solo dalle proprietà

del mezzo in cui l’onda propaga, v sm/ può essere funzione solo di T e l .

35

Sulla base di questa considerazione la velocità di propagazione dell’onda può essere ricavata utilizzando tre metodi completamente differenti che vengono sviluppati nel seguito.

2.3.1 Analisi dimensionale

Un'analisi dimensionale ci dice che la soluzione può essere solo del tipo l

T

=v . Infatti 3

]=[=e]=[ 1232 mkgmmkgSsmkgNT l

222221

2

==

smsm

mkg

smkgT

l

v

2.3.2 Equilibrio dinamico delle forze – 1° metodo

Primo ricavo analitico. Si considera un elementino di corda tesa, la cui proiezione è dx, al passaggio della perturbazione. La deformazione prodotta dall’impulso rompe l’equilibrio

delle forze agenti sull’elementino di corda, la risultante F delle forze agenti sull’elementino

non è più nulla e produce quindi un’accelerazione, cioè un movimento: la perturbazione si propaga.

Con riferimento alla Figura 4.2, detta F la risultante delle forze agenti sull’elementino di

corda tesa si ottiene:

jFiFTTF yx

==

sinsin=;coscos= TFTF yx

Figura 4.2 ‐ Elemento dl di un corda sottoposto alla tensione T . TTT |=|=||

.

Sviluppando le funzioni sin , tan e cos in serie di Taylor si ha:

3 S

TST

T

l == lS =

36

dispari5!3!

=tan

pari4!2!

1=cos

dispari5!3!

=sin

53

42

53

Facendo ora l’ipotesi che la perturbazione sia piccola, cioè che 1 , i secondi termini e tutti i termini successivi sono trascurabili 4 e risulta quindi:

1=cos

=tan=sin

Notiamo che l’approssimazione << 1 è valida se l’ampiezza della perturbazione prodotta dall'onda è molto piccola rispetto alla lunghezza d'onda. In queste condizione si ha:

tantan=tantan=0= TTTFF yx

D'altra parte possiamo esprimere tan in funzione di tan , facendo ancora uno sviluppo al primo ordine poiché i due valori sono molto vicini (dl molto piccolo e trattabile come un infinitesimo). In pratica:

x

y

x

sdx

x

=tanancheetan

tan=tan

e sostituendo si ottiene

0=tantan= 2

2

dxx

yTdx

x

y

xTFy

Poiché la componente verticale yF della forza risultante è diversa da zero, essa produce

un'accelerazione della massa dell'elementino: amF

= e quindi

dxdmdxt

y

t

ydmF lly

con==2

2

2

2

Eguagliando i termini ed eliminando dx si ottiene

2

2

22

2

2

2

2

2 1==

t

y

x

y

t

y

x

yT l

v

avendo posto

l

T

=v

2.3.3 Equilibrio dinamico delle forze – 2° metodo

Si ricava la velocità dalla considerazione che la forza che agisce sul ventre dell'onda è di tipo centripeto, come quella di un moto circolare.

Con riferimento alla figura 5.2 si scrive:

4 per o50.1= l'errore sul seno e sulla tangente è circa del 1.7 00

0 / e sul coseno è 5%

37

R

lTTFF y

=sin2==

Poiché la forza è di tipo centripeto, possiamo anche scrivere

Rl

RmF ly

22

==vv

Eguagliando le due espressioni di yF e semplificando l e R si ottiene infine

ll

l

TTT

=== 22 vvv

L'elementino non si muove lungo la direzione di propagazione x e quindi è un'onda

trasversale.

Figura 5.2 ‐ Propagazione di un impulso su una corda. In figura sono illustrate le

forze di tensione su un tratto l centrato sul ventre dell’onda.

2.3.4 Propagazione dell'energia in una corda

La perturbazione che si propaga (onda) trasporta energia. Consideriamo il caso di un'onda armonica che si propaga su una corda tesa con

parametri caratteristici T e l .

k

tkxcosytxytx m

=0=con=),(=),( v

Anche la velocità e l'accelerazione trasversali si propagano con al stessa velocità di propagazione v

mmymy ytkxyt

txy =sin=),(

= ,vv

mmymy

y yatkxyt

a 2,

2 =cos== v

E' interessante notare che velocità e accelerazione si possono scriver anche come:

2

dianticipoin 2

cos= ,

tkxmyy vv

fasedieopposizionincos= , txkaa myy

38

Al passaggio della perturbazione ogni elementino della corda riceve energia dall'elemento che lo precede, l'immagazzina e la ritrasmette a quello successivo: l'energia è trasportata.

Ogni elementino immagazzina energia sotto forma di energia cinetica K ed energia potenziale U .

Figura 6.2 ‐ (a) Elementi A e B di una corda separati da /4T . (b) Ingrandimento di

un elemento della corda.

Consideriamo un'onda armonica agli istanti 0=t e 4/= Tt e analizziamo gli elementi nei punti 0=x e 4/= x . Al passare della perturbazione il punto A si muove in A' e B in B'.

Si nota che in A e B' sono nulle sia l'energia potenziale (allungamento elastico dell'elemento) che l'energia cinetica (associata alla velocità trasversale dell'elemento). Viceversa in A' e B entrambe hanno il valore massimo.

L'energia che transita non è costante, ma varia nel tempo da zero ad un valore massimo secondo una legge del tipo cos2 o sin2.

Consideriamo un elementino dl (vedi figura 6.2) e calcoliamo il valore dell'energia cinetica dK e potenziale dU ad esso associate.

39

moinfinitesiessendo=

sin2

1==

sin2

1=

2

1=

222

22

dxdt

dx

txkydt

dKP

txkydxdmdK

mlK

mly

v

v

v

11==2

x

ydxTdxdlTdU

avendo posto 2

22 1==

x

ydxdydxdl . Poiché 1

x

y possiamo sviluppare la

radice quadrata con Taylor, fermandoci al primo ordine: znz n 1=1 per 1z . Applicando lo sviluppo al nostro caso si ottiene:

22

2

11=1

x

y

x

y

e quindi

222

sin2

1=

2

1=

2

1= txkkydxTdx

x

yT

x

ydxTdU m

txkykTdt

dUP mU sin

2

1= 222v

Si nota subito che UP e KP sono identiche! Infatti hanno la stessa dipendenza temporale e

spaziale attraverso la funzione txk sin2 e hanno anche la stessa ampiezza:

2222

2

1=

2

1mlm yykT vv

Infatti dalle relazioni: l

T

=v e

k

=v si ottiene:

v

v =e= 2 kT l

2222

2222

2

1=

2

1=

2

1mlmlm yyykT v

vvvv

UKUKtot PPPPPP 2=2===

txkyml sin= 222v

txkykT m sin= 222v

In conclusione, relativamente ad un'oda armonica descritta dalla funzione d’onda (x,t) :

txkytx m cos=),(

40

la potenza ),( txP si propaga con la stessa velocità k

=v e ha la forma

2cos=sin=),( 22 txkPtxkPtxP maxmax

2222 == mmlmax ykTyP vv

Figura 7.2 ‐ Propagazione di un'onda e della potenza ad essa associata.

La potenza media trasportata è la media della potenza trasportata in un periodo:

22220

0 2

1=

2

1=

2

1=),(

1=][ mmlmax

Tt

tykTyPdttxP

TWP vv

In generale si definisce intensità la potenza media che transita per unità di superficie. Detta S la superficie:

S

P

m

WI =

2

2.3.5 Onda longitudinale in una barra di sezione S

I due parametri in questo caso sono il modulo di Young E e la densità volumica :

32

/

/

mkgmN

ll

SFE

La perturbazione è longitudinale, del tipo )(=),( txtx v . L'analisi dimensionale ci

dice che E

=v , ma questa relazione la possiamo anche dimostrare.

41

Poiché il problema è unidimensionale, prendo un elementino della barra di sezione S e di spessore dx, come indicato nella Figura 8.2.

Figura 8.2 ‐ Propagazione di un'onda in una barra di sezione S .

A causa dell'onda (perturbazione che si propaga), all'istante t si ha:

dxx

dxtxtxxdxxdxxdx

tdxxdxxdxx

txxx

=),(),(=

),(

),(

Adesso l'unica cosa che dobbiamo fare è inserire queste relazioni nel nostro problema, considerando che:

x

SEFxE

SF

l

l

=cuida=/

=

La variazione della forza F ai capi dell'elementino è quella che, secondo Newton, produce l'accelerazione della massa dm dell'elementino stesso. Scriviamo quindi:

2

2

2

2

==),(

=,,=t

dxSdxx

SEdxx

txFtxFtdxxFdF

Eliminando S e dx si ha infine:

EE

txtxE ==con

1== 2

2

2

22

2

2

2

2

2

vvv

Analogamente a quanto visto per la corda in cui si propaga un'onda meccanica

trasversale, possiamo ricavare ),( txP , P e I per una barra in cui si propaga un'onda

meccanica longitudinale. Semplicemente nel caso dell'onda armonica, basta pensare che y

e hanno le stesse dimensioni ][m e che EST = e S

l = . Partendo quindi dalla funzione

d’onda )(cos=),( tkxtx m e facendo le sostituzioni di cui sopra si ottiene:

)(sin=),( 2 tkxPtxP max con 2222 == mmmax kSESP vv

Relativamente alla potenza media e all’intensità si avrà:

42

2222

2222max

2

1=

2

1=

2

1=

2

1=

2

1

mm

mm

kES

PI

kSESPP

vv

vv

Verifica dimensionale:

][=][][][][

][=][][][][

][=][=][=][

32221222

3222123

32121

smkgmmsmmmsmkg

smkgmssmmmkg

smkgsmsmkgsJWP

2.4 Interferenza di onde armoniche

Consideriamo il fenomeno dell'interferenza tra due onde armoniche copropaganti

(trasversali o longitudinali) )(1 tx v e )(2 tx v . Anche la loro somma 21=),( tx è

u'onda che è soluzione della stessa equazione delle onde, purché le onde siano della stessa

natura. Infatti la velocità v dipende dal mezzo di propagazione e la somma vale per la

linearità dell'equazione: sovrapposizione degli effetti 5 . Corollario: l'onda ),(=),( txtx i

può essere riscomposta nelle onde che l'hanno generata.

Consideriamo due onde armoniche copropaganti di uguale frequenza e uguale

ampiezza 0 . La differenza sarà soltanto relativa alla fase.

12201021 sinsin=),( tkxtkxtx

210 sinsin=),( tkxtkxtx

Ricordando che

2cos

2

1sin2=sinsin

otteniamo che:

2

cos2

sin2=),( 12210

tkxtx

Se ora definiamo 0= 12 e 2

= 21 possiamo riscrivere la nostra

espressione come:

tkxtx sin

2cos2=),( 0

e chiamando A l’ampiezza della funzione d’onda,

2cos2= 0

A , otteniamo:

tkxAtx sin=),( 21

5 La presenza di più sorgenti non deve modificare il comportamento delle singole sorgenti .

43

In sostanza la somma 21=),( tx ha le stesse caratteristiche ( ke ) delle due funzioni d’onda co‐propaganti che l’hanno generata, con un’ampiezza che dipende dalla differenza di fase tra le due onde.

Analizziamo l'influenza dello sfasamento si notano i seguenti casi estremi:

faseinonde2=2=

fasedieopposizioninonde0=1)(2=

0

Am

Am

Se le ampiezze delle due onde sono uguali, abbiamo certe condizioni di differenza di fase

in cui l'ampiezza della risultante è 0 e altre in cui è doppia: 02A . In generale l'ampiezza

sarà un valore intermedio.

Se le ampiezze sono diverse non si può mai avere la condizione 0=A e l'ampiezza varierà da un minimo ad un massimo:

02010201 A

Si noti che questa relazione deriva dal vatto che si può sempre, per il pricipio della sovrapposizione degli effetti, scomporre l’onda che ha maggiore ampiezza in due conde di cui una con ampiezza uguale a quella della seconda onda.

2.4.1 Onda stazionaria

Consideriamo ora il caso di due onde di uguali caratteristiche e ampiezza ma contro‐propaganti. La funzione d’onda sarà:

2010=),( tkxtkxtx

Riprendendo il procedimento utilizzato precedentemente possiamo scrivere l'onda come:

2cossin2=

2cossin2=),(

0

0

tkx

tkxtx

Consideriamo il caso m20== 21 . Questa condizione implica che 0= e 0= .

L’espressione della funzione d’onda diventa:

tkxtx cossin2=),( 0

Notiamo che nei punti 2

0=

x la ),( tx è nulla con le sue derivate. Infatti le singole

onde nel punto 2

=

mx hanno espressione:

tmtx

tmtm

tx

mx

mx

sin==|),(

sin=2

2sin=|),(

0

2=

2

00

2=

1

44

Figura 9.2 ‐ Onde stazionarie a diversi t . Nella figura si è preso 021

Mentre nel punto 2

=

mx l’espressione dell'onda risultante ),( tx diventa:

0

sinsin1=

sinsin=|),(

0

0

2=

tt

tmtmtx

m

mx

E’ importante notare che ),( tx è nulla in quanto somma di grandezze uguali ed opposte.

Lo stesso vale per la velocità e l'accelerazione. Infatti per la velocità si ha:

0=

coscos1=

coscos=|=

0

0

2=

tt

tmtmt

m

mx

v

e per l'accelerazione

0=

sinsin1=

sinsin=|=

10

2

02

2=2

2

tt

tmtmt

a

m

mx

La condizione 0=),(=),(=),( txatxtx v è la condizione di nodo e si ha per 2

=

mx

con 0,1,2,=m .

45

La condizione di ventre, che si ha per 4

12=22

12=

m

mx , implica invece che

),(=),(=),( txatxtx v abbiano valore pari al doppio di quello della singola onda. Infatti,

sostituendo si ricava:

ventrexventrexventrex



tttxa

tttx

txtxtx

=22

2

=21

2

=

=2

=1

=

=2=1=

|2=|2=|),(

|2=|2=|),(

|),(2=|),(2=|),(

v

Nota: Alcune formule trigonometriche utilizzate nelle semplificazioni precedenti:

sinsincoscos=cos

sincoscossin=sin

1=)cos(

mm

2.4.2 Onde su una corda tesa

Per imporre un nodo alla corda tesa basta fissarla in un punto P in modo che non si possa

muovere e quindi imporre in quel punto che 0=),( tx , 0=),( txv e 0=),( txa .

Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivata in P si riflette sfasandosi di .

Per imporre un ventre alla corda tesa sarebbe necessario fissarla in modo che mantenga la tensione ma si possa liberamente muovere in y (o ) senza alcun attrito. Corollario: l'onda che si propaga nella direzione delle x positive arrivata in P si riflette ma non cambia fase.

Pizzicando una corda di lunghezza L fissata tra 2 nodi, dopo un breve transitorio in cui si annullano interferendo le altre frequenze, si formano le onde stazionarie che soddisfano alle condizioni al contorno imposte nei due nodi.

Poiché i punti estremali della corda rappresentano i nodi, la lunghezza della corda corrisponde almeno a mezza lunghezza d'onda. Infatti

m

LmL m

m 2=ovvero

2=

Conoscendo la velocità l

T

=v , la frequenza dell'oscillazione fondamentale è data da

11 =

v

. Le armoniche superiori sono date dalla relazione

L

m

mm 2

==vv

L'ampiezza dell'oscillazione del moto armonico è data da

46

xkxxmA mm

sin2=2

sin2=2

sin2= 001

0

Nel caso in cui le condizioni siano di nodo‐ventre si ha:

...,2,1,012dove12

45

4

3

44 531

mmnLm

LLL

n

Le frequenze corrispondenti sono

2

1-n=m=

4=

4

1)(2==

.........

1=m3=4

3=

4

1)(2==

0=m4

=4

1)(2==

1

13

3

11

nL

n

L

m

LL

mLL

m

nn

vvv

vvv

vvv

In questo caso 1 è l'armonica fondamentale, detta anche 0 , e le altre sono solo dispari. Il

numero dell'armonica è dato da n e NON da m .

2.5 Strumenti musicali

Gli strumenti musicali permettono di generare onde stazionarie su una corda tesa (strumenti a corda) ovvero in una colonna d'aria che può essere:

• aperta‐aperta corrispondente a nodo‐modo di pressione e densità

• aperta‐chiusa corrispondente a nodo‐ventre di pressione e densità

Oltre all'armonica fondamentale, lo strumento genera anche le armoniche superiori (solo le dispari nel caso nodo‐ventre) con ampiezze e fasi che derivano da come lo strumento è concepito.

Figura 10.2 ‐ Forma d'onda prodotta da a) un flauto e b) un oboe che producono la stessa nota con la medesima prima armonica

47

La vibrazione della corda o della colonna d'aria trasferiscono energia all'aria circostante producendo un'onda sonora che si propaga. Le frequenze (fondamentale e armoniche) non possono cambiare, mentre le lunghezze d'onda dipendono dalla velocità di propagazione imposta dal mezzo (aria).

2.5.1 Note musicali

L'orecchio percepisce suoni ``simili'' se le frequenze associate sono legate da una potenza di 2. Da questo deriva la divisione delle frequenze in ottave, ciascuna delle quali è divisa in 12 semitoni o note.

HzLaLaHzLadef

110=42=2440=4 2

Figura 11.2 ‐ Scala musicale e rispettivi strumenti

In ogni ottava i 12 semitoni sono collegati secondo una progressione geometrica di

ragione 12

1

2 . Ogni 12 semitoni la frequenza raddoppia e si completa un'ottava, ottava che parte sempre dal Do. Le stesse note in due ottave successive hanno frequenze una doppia dell'altra.

Esempio: Frequenza del Do5 che è 3 semitoni più alta di quella del La4.

Hzff LaDo 523.252= 12

3

45

48

2.6 Riflessione e Trasmissione

Consideriamo un'onda su di una corda tesa infinita la cui densità lineare l cambia ad

un certo punto, 0=x , dal valore 1l al valore 2l . La tensione T sarà comune in tutta la

corda.

Per la continuità della funzione d'onda ),( tx , con tutte le sue derivate, e della forza

),( txF che la produce, si avrà che, nel punto di discontinuità del mezzo, 0=x , l'onda

incidente txtx i ,=),( si dividerà in due onde, una che passa al secondo mezzo, ),( txt

(detta trasmessa o rifratta) ed una che viene riflessa, ),( txr , che trona indietro con

ir vv = , propagando nello stesso messo dell'onda incidente.

Figura 12.2 ‐ Riflessione e trasmissione di un'onda all'interfaccai tra due mezzi.

In sintesi:

• T e sono comuni per tutte le corde • v, e k dipendono dal mezzo in cui propaga l'onda.

La continuità della funzione d'onda nel punto di discontinuità del mezzo, 0=x , impone le seguenti condizioni alle funzioni d'onda e alle forze che la producono:

x

txTtxFtFtFtFttt tritri

),(

=),(con)(0,)(0,=)(0,)(0,)(0,=)(0,

Facendo i conti si ottiene

ttxkt

ttxkt

ttxkt

txtt

rxrr

ixii

sin=|sin=)(0,

sin=|sin=)(0,

sin=|sin=)(0,

00=20

00=10

00=10

tTkxx

txTtF

tTkxx

txTtF

tTkxx

txTtF

tt

t

rr

r

ii

i

cos=0=|),(

=)(0,

cos=0=|),(

=)(0,

cos=0=|),(

=)(0,

02

01

01

49

Sostituendo nel sistema iniziale si ottiene: tritri kkk 020101000 ==

che possiamo riscrivere come tritri kk 02001000 ==

Possiamo ora definire

i

tdef

i

rdef

tr0

0

0

0 ==

e sostituendo nuovamente otteniamo per la riflessione

12

1221

21

2121

2

00202001

<per0>

>per0<=

=

)(1=)(1

==

kkr

kkrkk

kkr

kkkkr

rkrk

kkk

i

ritri

mentre per la trasmissione

sempre0>

2=

2=

=)(2

=

21

1

121

2

020001

tkk

kt

ktkk

tktk

kk

i

ttii

Notando che k e l dipendono entrambi dal mezzo e sono legati da una costante 6 si

ha anche

21

1

21

21

2=

=

ll

l

ll

ll

t

r

Consideriamo i casi limite per 2k e 02 k , che è lo stesso che dire che 2l

e 02 l .

tozasfasamenetotalesenriflessionventre,1=lim

diπsfasamentoetotaleconriflessionnodo,1=lim

02

2

r

r

r

l

l

6

ll

l

CT

kTv

k

=2

=/

2=

2=

2=

50

Figura 13.2 ‐ (a) Riflessione di un impulso su una parete fissa. L'onda riflessa è sfasata di

rispetto all'onda incidente. (b) Riflessione di un impulso su un'estremità libera.

ventre:ppiaampiezzadondandou

oinfasesasisommannteeriflesondaincide2=lim

smissionenonsihatra0=lim

02

2

t

t

t

l

l

r e t non hanno un nome specifico. Si definiscono invece i coefficienti di riflessione R e di trasmissione o rifrazione T come i rapporti:

i

t

i

tdef

i

r

i

rdef

I

I

P

PT

I

I

P

PR

==

==

Con semplici passaggi si ottiene:

2= rR

1

22

1

22 ==l

ltk

ktT

51

basta ricordare che v20

2

2

1= lP ovvero v2

02

2

1 SP e che:

‐ nel calcolo di R , l e v sono gli stessi per le due onde

‐ nel calcolo di T , oltre al rapporto

2

0

0

i

t

si ha 1

2

1

2

2

1

11

22 ==k

k

l

l

l

l

vv

vv

Si verifica infine che 1=RT . Infatti:

14

=

2=

221

212

21

221

221

21

1

22

21

221

kk

kk

kk

kk

kk

k

k

k

kk

kkTR

2.7 Accenno alla serie di Fourier (e trasformata)

Una funzione periodica )(=)( mTtftf con m intero può sempre essere scritta come

la somma di funzioni armoniche.

realie

superiori armoniche=

lefondamentapulsazione2

=

)(dimediovalor)(1

=

sincos=)(

1

1

0

00

1=0

nn

n

Tt

t

nnnnn

ba

nT

tfdttfT

a

tbtaatf

Per l'ortogonalità delle funzioni seno e coseno è facile dimostrare che

dtttfT

b

dtttfT

a

n

Tt

tn

n

Tt

tn

sin)(2

=

cos)(2

=

0

0

0

0

Un altro modo di scrivere la f(t) si ottiene dall’egaglianza, che vale sempre utilizzando

opportuni valori delle costanti, tctbta cos=sincos . Possiamo quindi scrivere:

n

nn

nnn

nnnn

a

b

baC

aC

tCCtf

arctan=

=

=

cos=)(

22

00

1=0

52

Se notiamo infine che 2

=cos

ii ee (forma di Eulero), l'espressione precedente

può essere scritta come

dtetfT

c

tCecec

cc

eC

c

ectf

tniTt

tn

nnn

tni

n

tni

n

nn

nn

nin

n

tni

nn

n

)(1

=

cos=

=

=

faselacontengonoperchècomplessi2

=)(

0

0

*

=

Se la periodicità è in x allora )(=)( mxfxf . Tutto rimane uguale, basta sostituire t con x , T con e con k . Lo sviluppo in serie di Fourier diventa quindi

dxexfcecxf

xkCCxf

xkbxkaaxf

xnikx

xn

xnki

nn

nnnn

nnnnn

)(1

==)(

cos=)(

sincos=)(

0

0=

1=0

1=0

Nel caso di in cui la funzione f(t) non sia periodica, la serie di Fourier si trasforma nella

trasformata di Fourier, )( , che è collegata bi‐unuvocamente alla funzione f(t). In particolare si può pensare che una funzione non periodica sia una funzione periodica con il periodo T che tende all’infinito. Facendo i fari passaggi al limite si ottiene:

dtetf

detf

ti

ti

)()(

)()(

Poiché il periodo T è infinito, la differenza tra due pulsazioni successive, = diventa infinitesima, d In sostanza i coefficienti cn sono sostituiti dalla densità spettrale

)( (trasformata di Fourier della funzione di partenza) moltiplicata per de la sommatoria che fornisce la funzione f(t) diventa un integrale. Ovviamente, come nel caso della serie di Fourier, possiamo fare la trasformata di Fourier, )(k di una f(x) non periodica.

53

3 Onde Acustiche

3.1 Onde acustiche in una colonna di gas

Supponiamo di avere una colonna infinita di gas e di applicare una perturbazione (onda) con un pistone. Questa perturbazione si propaga nel tubo e genera un'onda acustica. Le molecole del gas subiscono un moto oscillatorio attorno alla loro posizione di equilibrio.

Figure 1: Perturbazione in una colonna di gas.

La perturbazione sarà di: posizione (spostamento), di pressione e di densità. Quindi

possiamo descrivere la perturbazione con una delle differenti rappresentazioni.

54

Figure 2: Perturbazione di posizione, pressione e densità.

Consideriamo ora un elementino della colonna di sezione S e lunghezza dx tale che

=dx e ),( txsdx? dove s è lo spostamento causato dalla perturbazione.

Figure 3: Elementino di una colonna di gas sottoposto a perturbazione.

Al passaggio della perturbazione varia il volumetto, perché varia la distanza tra le sue

facce. Di conseguenza varia anche al densità, ma non la massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che

55

x

txstx

),(

=),( 0

Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino la scriviamo come

),(,

2

,,== 0 txsxtdxxsdxxS

txtdxxSdxdm

La densità la possiamo scrivere come ),(=),( 0 txtx

e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo:

),(=2

),(),(

0

00

txtxdx

xtx

per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere

x

sdxtxsdx

x

txstxsdx 1=),(

),(),(

La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come

0=

),(1),(==

00

00

x

sSdx

x

txstxSdxSdxdm

e quindi si ottiene

x

txstx

x

txstx

),(=),(

),(),(= 0000

come si voleva dimostrare.

3.1.1 Equilibrio dinamico dell'elementino dm

dxx

txpS

txpdxx

ptxpS

txptdxxpS

txptdxxpStxFtdxxFdF

),(=

),(),(=

),(),(=

),(),(=),(),(=

ma in x vale la legge di elastictà e nell'intorno di x si ha anche costV = e quindi

V

dVddVVdVdcostV =0=0==

La costante di comprimibilità è definita da

VdVdp

= e quindi

x

txsd

V

dVpdp

),(

=====0

0

0

da cui segue

x

txsp

),(

=

dove ),( tx e ),( txp sono in fase.

56

Sostituendo si ottiene

dxt

txsS

t

txsdm

dxx

txsS

dxx

txs

xSdF

2

2

0

2

2

2

2

),(=

),(=

),(=

),(=

Eliminando da entrambe i membri dx e S si ottiene

02

2

2

2

2

0

2

2

=con),(1

=

),(

1=

),(

vt

txs

v

ttxsx

txs

Oltre all'onda di spostamento ),( txs abbiamo anche le onde di pressione ),( txp e di

densità ),( tx , ovviamente co‐propaganti con la stessa velocità:

2

2

22

2

2

2

22

2

),(1=

),(

),(1=

),(

t

tx

vx

txt

txp

vx

txp

Dimostriamo per la pressione:

2

2

2

2

2

2

==x

s

xx

s

xx

p

2

2

2

2

22

2

22

2

2=

1=

1=

1

x

s

xt

s

vxx

s

tvt

p

v

Siccomei secondi termini sono uguali, allora lo sono anche i primi. La stessa dimostrazione la possiamo fare per la densità. Abbiamo visto che anche la potenza trasferita dall'onda si propaga e rispetta

l'equazione delle onde. Nel caso specifico, siccome abbiamo l'onda di pressione ),( txp ,

possiamo subito scrivere l'onda di potenza t

sStxptxP

),(=),( istantanea notando che

Stxp ),( è la forza e t

s

è lo spostamento nell'unità di tempo cioè la velocità. Espressa in

),( txs :

t

txs

x

txsStxP

),(),(

=),(

Se consideriamo un'onda armonica )(sin=),( tkxstxs m ricaviamo

2

sin=cos==),( tkxkstkxks

x

stxp mm

57

2

sin=cos==),( 000

tkxkstkxksx

stx mm

dalle quali possiamo definire

mm

mm

ks

ksp

0=

=

Le onde di pressione e densità sono in fase tra di loro e in anticipo di 2

rispetto all'onda

di spostamento. L'onda di potenza diventa:

)(cos=

)(cos=

=)(cos=

)(cos)(cos=),(

2220

222

22

2

tkxvSsm

tkxvkSs

tkxv

Ss

tkxstkxksStxP

m

m

mm

Possiamo calcolare anche la potenza media:

S

v

p

vkSs

vSsP

m

m

m

0

2

22

220

2=

2

1=

2

1=

L'intesità dell'onda acustica è quindi data da

20

2

2==

m

W

v

p

S

PI m

L'orecchio umano percepisce come suono la frequenza tra 20 Hz e 20 kHz di intensità

compresa (a 1 kHz) tra la soglia di udibilità I = 212 /10 mW e la soglia del dolore I = 2/1 mW .

3.1.2 Accenni di termodinamica L'equazione da cui partiamo è quella dei gas perfetti ][= JnRTpV

La costante ][8.31== 11 molJkkNR A è detta costante di gas. La trasformazione che avviene nel volumetto di massa dm al passaggio della

perturbazione ondosa è, in senso termodinamico, adiabatica, cioè avviene senza scambio di energia con il mondo esterno. Per le trasformazioni adiabatiche la relazione tra p e V è

data da

V

dV

V

dVpdppVdcostpV ==0==

e quindi la relazione tra la costante di comprimibilità e la pressione è data da 0= P

e quindi

0

0=p

v

58

Applicando la legge dei gas perfetti e notando che la massa M , associata la volume V , è

301 An 7 e che vale sempre la relazione V

M= si ha:

TTA

R

nA

nRT

VM

V

nRTv

=10=10

== 33

La costante per l'aria in condizioni standard 8 è 20.055. Riportiamo ora le velocità di propagazione del segnale sonoro in diversi gas

smvA

smvA

smvA

smvA

smvA

smvA

Cariaaria

Cariaaria

CHeHe

CHH

COO

CNN

/343=28.926=20.055=

/331=28.926=20.055=

/970=4=58.9=

/1260=2=76.3=

/315=32=19.07=

/337=28=20.28=

20°

0°

0°

0°22

0°22

0°22

3.2 Onde sferiche Il fronte d'onda è una sfera centrata sulla sorgente (puntiforme).

Figure 4: Onda sferica centrata su una sorgente puntiforme.

7le moli sono definite in grammi e la massa in kg 8

1.4=

/1.29=

1.0132510=

273.15=deg0=

3

5

mkg

Pap

KCT

59

La scelta tra onde piane o sferiche dipende dalla distanza della sorgente e dalla zona di osservazione. Per noi sulla terra le onde luminose che ci arrivano dal sole sono piane! Nel caso sferico

)(sin=),( 00 tkrrtrr

e soddisfa un'equazione delle onde in coordinate sferiche

2

2

22

2 ),(1=

),(

t

trr

vr

trr

in cui

r

rrrtkr

r

rrtr 0

000000 )(=)()(sin)(

=),(

L'intensità della perturbazione dipende dal quadrato dell'ampiezza della perturbazione

)()( 20 rrI e quindi

)(=)( 02

20 rI

r

rrI

Per ricordarlo basta pensare che la potenza media che attraversa un fronte d'onda (sferico) è la stessa qualunque sia il fronte d'onda che consideriamo (supponendo nulla l'attenuazione). Vediamo ora la potenza media

222

211 )4(=)4(= rrIrrIP

da cui l'intensità diventa

)(=)(4

4=)( 12

2

21

122

21

2 rIr

rrI

r

rrI

Figure 5: Potenza media di un'onda sferica.

La potenza che si propaga in un certo angolo solido si conserva (a meno

dell'attenuazione). Se l'angolo solido è tutto lo spazio (sfera) esso vale 4 .

60

Se c'è attenuazione essa si scrive come re e moltiplica l'intensità. è la costante

di attenuazione ][ 1m . Nota l'intensità in 0= rr , o la P della sorgente puntiforme si

scrive, con l'attenuazione:

r

rro

er

PrI

erIr

rrI

2

02

2

4=)(

)(=)(

avendo posto ormenteèpuntif0selasorgeconr)(4= 00

20 rIrP

In generale, se la sorgente emette una potenza media P in un angolo solido [sterad] 4 si ha:

rer

PrI

2=)(

Nelle onde acustiche l'intensità si esprime in rapporto ad una intensità di riferimento, che

convenzionalmente, coincide con la soglia di udibilità del suono ed è pari a 2120 /10= mWI

def .

L'intensità in rapporto alla soglia convenzionale di udibilità si chiama livello sonoro L quando è espresso in dB

2120

010

0

/10=10=][= mWII

IlogdB

I

IL

defdefdef

Figure 6: Livello sonoro per l'orecchio umano.

3.3 Interferenza di onde sferiche armoniche Abbiamo visto il fenomeno nel caso dele onde piane e notato che non è altro che

uno degli effetti della linearità (sovrapposizione degli effetti)

61

)2

(cos2=

2=

=

>

)(sin)2

(cos2=

)(sin)(sin=

),(),(=),(

0

21

12

12

0

2010

21

A

tkx

tkxtkx

txtxtx

La somma è un'onda con ampiezza che dipende dalla differenza di fase tra le onde co‐propaganti ed in particolare

in:ondeinfase2=per2truttivainterf.dis:s.difaseondeinoppo1)(2=per0= 0 mmA

Se le ampiezza non sono uguali, l'ampiezza dell'onda di interferenza non varierà più da 0

a 02 ma :

||)(|| 02010201 A

con il minimo e il massimo agli stessi . Nel caso delle onde sferiche è lo stesso ,basta pensare ai fronti d'onda sferici, che

rappresentano le superfici di propagazione sulle quali la fase dell'onda è costante. Per semplici considerazioni geometriche ci saranno punti dello spazio in cui l'intensità è costruttiva e altri in cui è distruttiva.

Figure 7: Interferenza di onde sferiche. Nei punti cP le onde sono in fase mentre nei

punti dP sono in opposizione di fase.

Preso un punto P , la differenza di cammino percorso dalle due onde è |=| 21 rrL

e la differenza di fase tra le onde dipende da L . Infatti:

ivazadistruttinterferen2

12=ivazacostruttinterferen==

2

m

LmLL

62

3.4 Onde Stazionarie Come nel caso della corda, due onde armoniche simili contropropaganti danno

origine a onde stazionarie. Nel caso delle canne oltre alle condizioni di nodo‐nodo è possibile anche la configurazione nodo‐ventre (vd. Figura 8).

Figure 8: Onde stazionarie in una canna. A sinistra è rappresentata l'onda di

pressione nel caso di nodo‐nodo (a) e nodo ventre(b). A destra l'onda di spostamento nel caso ventre‐ventre (a) e ventre‐nodo (b). Si noti che la canna aperta presenta una

condizione di nodo per l'onda di pressione e di ventre per l'onda di spostamento. Viceversa per la canna chiusa.

3.5 Battimenti I battimenti sono l'effetto sonoro che si percepisce nel caso di onde co‐propaganti di

frequenza molto simile. Consideriamo due onde piane di questo tipo, di eguale ampiezza, e vediamo cosa percepisce un osservatore che si trovi in un punto fisso P. In un punto P qualunque ma fissato, l'ampiezza dell'onda varia secondo la legge dell'oscillatore armonico

tt costx sin=|)( 0= con opportuna scelta di 0=t per non avere una fase aggiuntiva.

Consideriamo ora due onde di ampiezza uguale e frequenza diversa ma simile, 1 e

2 . Siccome l'effetto è sonoro, prendiamo per esempio due onde di pressione

tptp mcostx 1=1 sin=|)( e tptp mcostx 2=2 sin=|)( allora:

63

tptA

ttp

ttp

ttptp

m

m

m

m

cos2=)(2

|=

2=sincos2=

2sin

2cos2=

sinsin=)(

21

2121

2121

21

Figure 9: Battimenti di due onde sonore. La risultante ha pulsazione .

L'ampiezza dell'oscillazione di frequenza 2

che percepiamo in P varia nel tempo da

0 a mp2 come )(tA . Siccome il nostro orecchio è sensibile all'intensità, non facendo

nessuna analisi di fase, possiamo scrivere l'intensità in P come

22 δpendedapoichèIdipcos= tII max

Poiché il periodo della funzione tcos 2 è la metà di quello di tcos , la frequenza con cui varia l'intensità, frequenza di battimento

|=|2

2= 21

bat

3.6 Effetto Doppler Se la sorgente e l'ascoltatore sono in moto tra di loro, cioè la loro distanza varia con

una velocità che è minore di quella di propagazione ma non trascurabile, la frequenza percepita dall'ascoltatore è diversa da quella che viene emessa dalla sorgente.

64

Figure 10: Effetto Doppler.

E' importante fissare le convenzioni di segno. Le formule che si ottengono dipendono

dalle convenzioni di segno! Usiamo le convenzioni implicitamente usate dal Mazzoldi che prendono come

positive tutte le velocità se congruenti con la velocità di propagazione v (vd. Figura 11). Sia S la sorgente e R il rivelatore (o ascoltatore).

Figure 11: Convenzioni di segno per le velocità nell'effetto Doppler.

Con queste convenzioni per sv positiva la distanza tra S e R si riduce mentre per Rv

positiva la distanza tra S e R aumenta. 1. R fermo e S si avvicina a R. Allora 0=rv e 0>Sv .

La distanza temporale tra due fonti d'onda emessi da una sorgente ferma è 0T ,

mentre la loro distanza spaziale è 0 .Possiamo immaginare che R riveli la frequenza

``contando'' i fronti d'onda che lo raggiungono nell'unità di tempo (p.es. 1 s). Se nel tempo

0T la sorgente si avvicina di 0TvS , perché si muove verso R con velocità sv , i due fronti

d'onda successivi arriveranno a R, muovendosi entrambi con velocità v , avendo una

65

distanza ridotta 00= TvsR e la frequenza percepita da R quando lo raggiungeranno con

velocità v sarà

0

00

00

====

sssR

R vv

vvv

v

Tv

vv

Se S si allontana, sv è negativa e la relazione resta la stessa.

2. S fissa e R si allontana (per avere 0>rv secondo le nostre convenzioni) allora

0=sv , 0>Rv e vvr < .

Poiché S è ferma, la distanza tra i fronti d'onda non cambia, ma poiché l'osservatore si allontana da S e quindi dai fronti d'onda che stanno arrivando, per l'osservatore è come se

la velocità di propagazione dell'onda fosse ridotta di Rv e quindi

00

==

v

vvvv RRR

3. Se si muovono entrambi, sempre secondo le convenzioni di segno applicate, si

scrive la relazione generale

.= 0S

RR vv

vv

Poiché le onde sono sferiche e si propagano in tutte le direzioni con superfici sferiche di

propagazione, è evidente che con Rv e Sv si intendono le componenti di Rv e Sv nella

direzione della retta congiungente S e R e con il verso da S a R per le convenzioni di segno prese.

3.7 Velocità di fase e velocità di gruppo In tutte le nostre ipotesi il mezzo è perfettamente elastico, o meglio non dispersivo,

cioè il comportamento non dipende dalla frequenza dell'onda e v è la stessa per tutte le frequenze. Se il mezzo è ``dispersivo'' e l''onda è formata da un pacchetto che, con Fourier,

contiene molte frequenze, allora k

vp

= è la velocità di fase che dipende da . In generale

si usa scrivere )(= k con kkvk )(=)( . Si definiscono quindi

gruppovelocitàdi

)(=

fasevelocitàdi)(

=

dk

kdv

k

kv

g

p

66

Esercizi e temi d’esame sulle onde meccaniche ( 2012‐2007 )

1. Si consideri un’onda trasversale, di equazione y(x,t) = ym cos(kx‐t+/3), che si propaga su una corda infinita. Sapendo che: la densità della corda è � = 7.80∙103 [kg/m3], la sua sezione S = 1.00

[mm2], la frequenza dell’onda � = 200 Hz, la sua lunghezza d’onda �= 1.00 m e che la potenza media trasportata dall’onda è Pt = 100 W, si determini:

a) le grandezze: , k, v e ym; [1.26∙103 s‐1, 6.28 m‐1, 200 m/s, 9.0 mm]

b) la velocità e l’accelerazione trasversale dell’onda, vy(x,t) e ay(x,t);

[ )3/cos(),(;)3/sin(),( 2 tkxytxatkxytxv mymy ]

c) disegnare su uno stesso grafico le grandezze: y(x,0), vy (x,0), ay (x,0).

2. Due corde identiche, aventi la stessa lunghezza L, sono vincolate ai loro estremi. La tensione della seconda corda è maggiore del 2% di quella della prima. La frequenza di oscillazione fondamentale della prima corda è di 880 Hz. Il livello sonoro a 10,0 m di distanza dalle corde è pari a 40 dB e la temperatura dell’aria è pari a 20°C. Si determinino:

a) le lunghezze d’onda delle onde acustiche emesse dalle due corde quando vibrano alla loro

frequenza fondamentale; [ 1 = 0.390 m, 2 = 0.386m]

b) le frequenze di battimento tra le onde emesse dalle due corde sulla fondamentale e sulle

successive due armoniche; [ 1=8.8 Hz, 2=17.5 Hz, 3=26.3 Hz]

c) la distanza alla quale il suono emesso dalle corde risulta appena percettibile (si trascuri l’attenuazione per assorbimento dell’aria). [ D0 = 1 km ]

3. Una corda di contrabbasso è lunga 80 cm, ha una massa pari a 4.00 g ed è accordata sul la2 (110

Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 15 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 50 dB, si determini a) la tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [ T=155 N, v=176

m/s ] b) la potenza media emessa dal violoncello sul la2 ; [ P = 1.57 mW ] c) il livello sonoro percepito a 20 m dallo strumento; [ L = 58 dB ]

d) l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza dell’ascoltatore. [ p50m = 9.4 mPa ]

4. Una sirena emette un’onda acustica sferica entro un angolo solido di π/2 steradianti. Un ascoltatore posto a distanza R dalla sirena rileva livello sonoro pari a 110 dB. Avvicinandosi di 10 m alla sirena l’ascoltatore rileva un livello sonoro pari a 115 dB. a) Determinare la potenza della sorgente e la distanza R dall’ascoltatore; [ PS = 82 W; R = 22‐8

m ] b) Tenendo conto dell’attenuazione per assorbimento dell’aria (3dB/km), determinare il livello

sonoro percepito ad una distanza di 2.0 km dalla sorgente. [ L2km = 65.2 dB ]

5. In assenza di gravità, due corde semi‐infinite sono collegate tra loro e sottoposte alla stessa

tensione. Un’onda armonica progressiva di frequenza = 100 Hz si propaga da sinistra a destra, provenendo dalla prima corda. Sapendo che: i) la densità lineica della prima corda, l1=9 g/m, è un fattore 9 più grande di quella della seconda, ii) la velocità di propagazione sulla prima corda è v1 = 100 m/s, iii) la potenza media dell’onda trasmessa è Pt = 3 W, determinare:

a) la tensione applicata alle corde; [ T = 90 N ]

b) i coefficienti di trasmissione e riflessione di potenza; [ R = 1/4 = 0..25 , T = 3/4 = 0.75 ]

c) i coefficienti di trasmissione e riflessione di ampiezza; [ r = 1/2 = 0.5 , t = 3/2 = 1.5 ]

67

d) le funzioni d’onda delle tre onde, incidente, trasmessa e riflessa, indicando i valori di tutti i

parametri che in esse compaiono.[=628 s‐

1; ;)(cos;)(cos 1,1, txktxk mrrmii

)(cos 2, txkmtt ; i,m=4.75 mm, r,m=2.37 mm,t,m=7.12 mm, k1=6.28 m‐1, k2=2.09 m‐1]

6. Un ascoltatore munito della necessaria strumentazione lascia cadere, a t = 0, una piccola sirena a batteria, che emette un segnale a 525 Hz, da un grattacielo alto 100 m. Sapendo che la temperature ambiente è 20 °C, trascurando l’attrito dell’aria e supponendo che all’impatto con il suolo la sirena smetta di funzionare si determini:

a) La frequenza più bassa percepita dall’ascoltatore [min =4 65 Hz] b) Il tempo t al quale l’ascoltatore sente il segnale interrompersi [t = (4.52+0.29) s = 4.82 s ] c) La distanza dal suolo della sirena nel momento in cui l’ascoltatore percepisce la frequenza di

480 Hz. [ d = 42 m, non 47 m che è senza ritardo, t = (3.28+0.15) s = 3.43 s ]

39. In assenza di gravità, un’onda armonica di frequenza = 200 Hz si propaga, alla velocità v = 200 m/s, su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x=0 la densità lineare della corda cambia, la velocità di propagazione si dimezza e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1.2 cm:

a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m] b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di

tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28

m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s

‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9 c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,

Pt=50.5W, Pr=6.3W]

8. La corda di un violoncello è lunga 70 cm, ha una massa pari a 1.20 g ed è accordata sul La3 (220

Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 20 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 60 dB, si determini

a) La tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [T = 162.6 N, v = 308 m/s]

b) La potenza media emessa dal violoncello sul La3 [P = 15.7 mW] c) L’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione a 20 m dallo strumento [I20m = 6.25∙10

‐6 W/m2,

pm = 74 mPa ] d) Si dimostri che i risultati non sono inficiati dalla tipica attenuazione del suono in aria. [‐

5dB/km in 50 m danno una variazione del 5,6% dell’intensità e del 2.9% dell’ampiezza ]

9. Data un’onda trasversale, di equazione y(x,t)=ym cos(kx‐t+/3), che si propaga su una corda

cilindrica infinita, sapendo che: = 7.8‧103 [kg m‐3], Sc = 1 [mm2], = 200 Hz, = 1 m e che la

potenza media trasportata dall’onda è 100W, si determini:

a) le grandezze: , k, v e ym. b) la velocità e l’accelerazione trasversale dell’onda

c) la potenza istantanea che transita nel punto x = /4 all’stante t = T/2 d) disegnare su uno stesso grafico le grandezze y(x,0), vy (x,0), ay (x,0) e Ptot (x,0)

38. Data un’onda longitudinale, di equazione (x,t) = m cos(kx‐t‐/3), che si propaga in una barra

cilindrica infinita, sapendo che: = 7.8‧103 [kg m‐3], Sb = 1[dm2], = 200Hz, ‧1011 [Pa] e che la potenza media trasportata dall’onda è 100 W, si determini:

a) le grandezze: , k, v, T, e m. b) la velocità e l’accelerazione longitudinale dell’onda

68

c) la potenza istantanea che transita nel punto x = /4 all’stante t = T/2 d) disegnare su uno stesso grafico le grandezze (x,0), v(x,0), a(x,0) e Ptot(x,0)

11. Data un onda trasversale armonica che si propaga su una corda tesa e infinita, sapendo che

l = 5 g/m, v = 200 m/s, = 800 Hz e ym = 1 cm, scrivere l’equazione dell’onda e determinare:

a) la tensione a cui è sottoposta la corda

b) la potenza media che l’onda trasporta

c) la lunghezza d’onda

d) la velocità e l’accelerazione trasversale

12. Un’onda trasversale armonica di ampiezza ym = 1 cm e frequenza 80 Hz propaga su una corda infinita trasportando la potenza di 10W. Sapendo che il valore del numero d’onda è k = 25.1 [m‐1], determinare:

a) la lunghezza d’onda e la velocità di fase dell’onda b) la tensione a cui è sottoposta la corda e la sua densità lineare c) l’ ampiezza che deve avere un’onda a 20Hz per trasportare la metà della potenza

(cioè 5W).

13. Una corda orizzontale (senza peso) di massa pari a 600 g e lunghezza pari a 50 m è sottoposta ad una tensione di 592 N. Un’estremità della corda viene fatta oscillare verticalmente con un’ampiezza di oscillazione pari a 1,14 cm. Il moto dell’estremità è continuo e viene ripetuto 120 volte al secondo. Si determinino:

a) la funzione d’onda che descrive l’onda progressiva originata all’estremità oscillante

b) il valore massimo del modulo della velocità trasversale della corda

c) il valore massimo della componente trasversale della tensione

d) la potenza massima trasportata dalla corda

14. Un’onda armonica progressiva propaga su una corda omogenea infinita, in assenza di gravità. Rispetto ad un certo sistema di riferimento la funzione d’onda è data da y(x,t)= 0.01 sin(12.56 x ‐ 62.8 t ‐ 1.57), dove le lunghezze sono espresse in metri e i tempi in secondi. Sapendo che la

ipotetica corda ha un diametro di 1 mm ed è fatta di acciaio (=7.8 kg/dm3), determinare:

a) la lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità di fase dell’onda.

b) la tensione applicata alla corda

c) la potenza media trasportata dall’onda

d) l’ampiezza in centimetri della perturbazione ondosa a 1 m dal punto di riferimento e al tempo t = 1 s.

15. Un’onda armonica progressiva propaga su una corda omogenea tesa semi infinita. La funzione d’onda è data da y(x,t) = 0,25 cos(17,3 x‐ 82 t), dove le lunghezze sono espresse in metri e i tempi in secondi. La corda è collegata in x = 0 con una seconda corda omogenea semi infinita collocata alla sua destra e sottoposta alla stessa tensione.

a) determinare lunghezza d’onda, frequenza e velocità di fase dell’onda progressiva.

b) sapendo che la potenza dell’onda riflessa è ¼ della potenza dell’onda incidente e che l’ampiezza dell’onda trasmessa è pari a metà di quella dell’onda incidente determinare: lunghezza d’onda, frequenza e velocità dell’onda trasmessa.

c) Quale tratto di corda è caratterizzato dalla densità di massa maggiore?

6. Un’onda armonica con = 200 rad/s si propaga su una corda infinita sottoposta ad una tensione di 100 N. Sapendo che nel punto x = 0 la densità lineare della corda aumenta di un

69

fattore 9, che l‘onda trasmessa trasporta una potenza media di 3 W e che l’ampiezza dell’onda incidente è pari a 1 cm: a) calcolare la potenza media trasportata dall'onda incidente e riflessa; b) calcolare la velocità di propagazione delle onde incidente, trasmessa e riflessa e la

lunghezza d’onda ad asse associata; c) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde, indicando i valori delle grandezze che in esse

compaiono.

7. Un’onda progressiva armonica propaga su una corda infinita. La corda è sottoposta ad una tensione di 400 N ed è caratterizzata da una densità lineare di 1.6 kg/m. La frequenza dell’onda è pari a 60.0 Hz e la potenza media trasportata è di 180.00 W. All’istante t=0 s lo spostamento della corda nell’origine è di 0.72 cm. Determinare: a) la lunghezza d’onda e la velocità di propagazione dell’onda. b) la funzione d’onda, indicando i valori di tutti i parametri che in essa compaiono. c) la funzione d’onda che sovrapposta all’onda data dà luogo a un’onda stazionaria.

18. Un filo metallico con gli estremi fissi lungo L=60 cm ha una massa M=0.6 g ed e' teso con una tensione T=90 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema. Calcolare quanto deve valere

la tensione per produrre una seconda armonica '=450 Hz e come cambiano i risultati se sul filo viene avvolto un altro filo metallico in modo da fare raddoppiare la massa. Se la temperatura dell’aria è di 20 °C, calcolare al lunghezza d’onda in aria per la fondamentale e la seconda armonica nella prima ipotesi del problema (v=343 m/s).

19. Una canna d’organo risuona alle tre successive frequenze di 256.9 Hz e 330.3 Hz e 403.7 Hz. Stabilire in base ai dati se la canna è aperta‐aperta oppure aperta‐chiusa e determinarne la frequenza fondamentale.

20. La corda di una chitarra, lunga L = 60 cm e di massa M = 1.5 g, è accordata sul “la”, con fondamentale a 110 Hz. a) Calcolare il valore della tensione applicata alla corda.

b) Calcolare il valore della la tensione per produrre una seconda armonica '2 = 240 Hz. c) Calcolare le lunghezze d’onda in aria delle prime 3 armoniche emesse nei due casi (con

va=343 m/s). d) Discutere i risultati precedenti nel caso in cui, a parità di tensioni applicate, sul filo venga

avvolto un altro filo sottile che ne raddoppi la massa.

21. Un filo metallico con gli estremi fissi lungo L = 60 cm ha una massa M = 0.6 g ed e' teso con una tensione T = 90 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema e le due armoniche successive. Se la temperatura dell’aria è di 20 °C, calcolare al lunghezza d’onda in aria per la fondamentale e la seconda armonica (v = 343 m/s). Sapendo inoltre che un organo che risuona

sulla fondamentale della corda risuona anche alle frequenze = 350 Hz e = 450 Hz stabilire se la canna dell’organo è aperta oppure chiusa.

22. Un filo metallico con gli estremi fissi ha una massa m = 1.2 g, è lungo L = 60 cm ed è teso con una tensione T = 115.2 N. Calcolare la frequenza fondamentale del sistema e la più alta armonica prodotta dallo stesso che può essere udita da un ascoltatore che riesce a percepire al massimo la

frequenza = 15 kHz. Calcolare quanto deve valere la tensione applicata alla corda per produrre in aria una lunghezza d’onda di 155 cm, sapendo che la velocità del suono a 20 °C è 343 m/s. Calcolare infine la frequenza delle prime tre armoniche in quest’ultime condizioni.

23. Tre successive armoniche di una canna d'organo sono rispettivamente: 171.5 Hz, 285.8 Hz e 400.2 Hz. Stabilire in base ai dati:

70

a) se la canna, che da un lato è sempre aperta, all’altro estremo è aperta o chiusa e di che armoniche si tratta;

b) determinarne la lunghezza sapendo che la temperatura dell’aria è di 20 °C (vS=343 m/s).

24. Due corde infinite caratterizzate dalla stessa densità lineare di massa =0.1 kg/m e sottoposte alla stessa tensione T=100 N giacciono nello stesso piano, l’una disposta perpendicolarmente all’altra. Le corde sono annodate tra loro nell’origine. Su uno dei quattro rami di corda propaga un’onda armonica diretta verso l’origine. Le oscillazioni avvengono in direzione perpendicolare al

piano formato dalle due corde, con ampiezza pari a 3 cm e frequenza =5 Hz. Determinare:

a) le lunghezze d’onda, le frequenze e le velocità di fase delle onde trasmesse e dell’onda riflessa.

b) le ampiezze delle onde trasmesse e dell’onda riflessa

c) la potenza media delle onde trasmesse e dell’onda riflessa


a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m]

b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28

m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s

‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9]

c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,

Pt=50.5W, Pr=6.3W].

26. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 1 W in un angolo solido

pari a /4. Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=50 dB (L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10

‐12 W/m2) se l’attenuazione dell’aria fosse nulla. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a ‐3 dB/km, determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.

27. Una sorgente emette un’onda acustica sferica entro un angolo solido pari a 2 steradianti. A una certa distanza R dalla sorgente un osservatore rileva livello sonoro pari a 112dB. Avvicinandosi di 5.70 m alla sorgente l’osservatore rileva un livello sonoro pari a 117dB. a) Si determini la potenza della sorgente e la distanza R dall’osservatore. b) Tenendo conto dell’attenuazione per assorbimento dell’aria (3dB/km), si determini il livello

sonoro percepito ad una distanza di 5 km dalla sorgente.

28. Un altoparlante ha una superficie di 500 cm2 ed emette energia sonora con la potenza di 1W a) Determinare il livello sonoro nelle immediate vicinanze dell’altoparlante b) Supponendo che l’altoparlante emetta l’energia sonora uniformemente, in tutte le

direzioni all’interno di una semisfera, a quale distanza il livello sonoro risulta essere pari a 20 dB?

c) Supponendo ora che il suono subisca inoltre un’attenuazione per assorbimento di 3 dB/km determinare il livello sonoro effettivamente percepito alla distanza valutata al punto b). Il suono risulta essere udibile?


pari a /2. Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=40

71

dB (L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10‐12 W/m2) se l’attenuazione dell’aria

fosse nulla. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 6 dB/km, determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.


pari a /4. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 3 dB/km, determinare il livello sonoro L percepito da un osservatore che si trovi alla distanza di 4500 m (si ricorda che il livello sonoro L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10

‐12 W/m2).


pari a /8. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 3 dB/km, determinare il livello sonoro L percepito da un osservatore che si trovi alla distanza di 3000 m (si ricorda che il livello sonoro L è l’intensità riferita all’intensità di riferimento I0=10

‐12 W/m2).

32. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 5 W su un ottavo di angolo

solido. In assenza di attenuazione, un osservatore posto ad un distanza D percepirebbe un livello

sonoro L1 = 45 dB. Calcolare l’attenuazione del mezzo se lo stesso osservatore percepisce un

livello sonoro reale L = 38 dB.

33. Una sorgente sonora emette un’onda sferica di potenza media pari a 1 W in un angolo solido di

steradianti. Sapendo che alla frequenza emessa l’attenuazione dell’aria è pari a 5 dB/km:

a) Determinare la distanza alla quale un osservatore percepirebbe un livello sonoro L=50 dB se l’attenuazione dell’aria fosse nulla.

b) determinare il livello sonoro effettivamente percepito dall’osservatore che si trova nella posizione calcolata in precedenza.

34. La corda di un violino, lunga L = 40 cm e di massa M = 2.5 g, è accordata sul “la3”, con fondamentale a 220 Hz. Calcolare:

a) la tensione applicata alla corda; [ T=194 N ]

b) la lunghezza d’onda in aria delle prime 3 armoniche, supponendo di sonare il violino alla

temperatura esterna di 0 °C; [ 1=1.50 m, 2=0.75 m, 3=0.50 m ]

c) l’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza di un ascoltatore che percepisce un livello sonoro pari a 70 dB. Si supponga che tutta la potenza trasportata dall’onda sia

associata al modo fondamentale e che la densità dell’aria sia o = 1.29 kg/m3. [ I=10‐5 W/m2,

pm=92∙10‐3 Pa ]

35. Una canna d’organo, che opera alla temperatura ambiente di 20 °C, è accordata per emettere sull’armonica fondamentale una frequenza pari 110 Hz (la2). Sapendo che tra le armoniche emesse dalla canna esiste anche il la4 (440 Hz), determinare:

a) la lunghezza della canna giustificando la risposta; [aperta/aperta, v = 343 m/s, 3.12 m, L =

1.56 m]

b) il livello sonoro percepito da un ascoltatore a 20 m, sapendo che la potenza è emessa in un

angolo solido di 2 steradianti ed è pari a 0.50 W; [ 83 dB ]

c) l’ampiezza dell’onda di pressione alla distanza dell’ascoltatore. [ pm = 0.42 Pa ]

36. Una sirena emette un’onda acustica di frequenza 400 Hz e potenza 1.0 W entro un angolo solido di π/4 steradianti. Un ascoltatore si trova a una distanza R ignota dalla sorgente. Avvicinandosi di 100 m alla sorgente l’ascoltatore rileva un incremento di intensità di 5 dB. Trascurando

72

l’attenuazione per assorbimento dell’aria e assumendo che la temperatura dell’aria sia 20 oC, si

determini:

a) la distanza R dell’ascoltatore dalla sorgente; [R=228m]

b) il livello sonoro percepito dall’ascoltatore alla distanza R; [L(R)=73.9 dB]

c) il livello sonoro percepito alla distanza R dalla sorgente nel caso in cui l’ascoltatore si stia avvicinando ad essa con una velocità di 200 km/h . [L’(R)=(73.9+0.65)dB=74.5 dB]

37. Una canna d’organo è accordata per emettere sull’armonica fondamentale una frequenza pari

220 Hz (la3). Sapendo che tra le armoniche emessa dalla canna esiste anche il la5 a 880 Hz, e che la temperatura dell’aria è di 20° C, determinare:

a) la lunghezza della canna; giustificando la risposta; [ L = 0.78 m]

b) il livello sonoro percepito da un ascoltatore a 20 m, sapendo che la potenza è emessa in un

angolo solido di 2 ed è pari a 100 mW; [I = 4.0 ∙10‐5 W/m2, L = 76.0 dB]

c) l’ampiezza delle onde di pressione e di spostamento alla distanza dell’ascoltatore. [ pm = 0.19 Pa, sm = 0.31 m ]

38. Due corde identiche, aventi la stessa lunghezza, sono vincolate ai loro estremi. La tensione della seconda corda e dell’1% maggiore di quella della prima. La frequenza di oscillazione fondamentale della prima corda è di 440 Hz. Il livello sonoro a 2,0 m di distanza dalle corde è pari a 40 dB e la temperatura dell’aria è pari a 0oC. Si determinino:

a) le lunghezze d’onda delle onde acustiche emesse dalle due corde quando vibrano alla loro

frequenza fondamentale; [ 1=0.752 m , 2=0.748 m b) le frequenze di battimento tra le onde emesse dalle due corde sulla fondamentale e sulle

successive due armoniche; [ b1=2.2 Hz, b2=4.4 Hz, b3=6.6 Hz ] c) la distanza alla quale il suono emesso dalle corde risulta appena percettibile. [ 200 m ]


a) determinare il valore della densità lineare dei due tratti di corda; [1 = 2.5 g/m e 2 = 10 g/m] b) scrivere le funzioni d'onda delle tre onde (incidente, trasmessa e riflessa) indicando i valori di

tutte le grandezze che in esse compaiono [ ym,i = 1.2 cm, ym,t = 0.8 cm, ym,r = ‐0.4 cm, k1 = 6.28

m‐1, k2 = 12.57 m‐1, 1=2=1257 s

‐1, t=2/3, r=‐1/3, T=8/9, R=1/9 c) calcolare la potenza media trasportata dalle onde incidente, trasmessa e riflessa. [Pi=56.8W,

Pt=50.5W, Pr=6.3W]

40. La corda di un violoncello è lunga 70 cm, ha una massa pari a 1.20 g ed è accordata sul La3 (220

Hz). Supponendo: i) che tutta la potenza dell’onda acustica sia emessa in un angolo solido =2 e sia trasportata dal modo fondamentale, ii) che la temperatura ambiente sia 20 °C e sia 0 = 1.29 kg/m3, iii) che un ascoltatore alla distanza di 50 m percepisca un livello sonoro di 60 dB, si determini

a) La tensione applicata alla corda e la velocità di propagazione sulla corda [T = 162.6 N, v = 308 m/s]

b) La potenza media emessa dal violoncello sul La3 [P = 15.7 mW] c) L’intensità e l’ampiezza dell’onda di pressione a 20 m dallo strumento [I20m = 6.25∙10

‐6 W/m2,

pm = 74 mPa ] d) Si dimostri che i risultati non sono inficiati dalla tipica attenuazione del suono in aria. [‐

5dB/km in 50 m danno una variazione del 5.6% dell’intensità e del 2.9% dell’ampiezza ]

73

41. Una sirena di massa M = 1,00 kg è sospesa ad una molla ed oscilla verticalmente senza attenuazione lungo l’asse y compiendo 2,00 oscillazioni al secondo. Lo spostamento iniziale dalla posizione di equilibrio è di 1,00m e la velocità iniziale è di 10,0 m/s. La frequenza emessa dalla sirena è pari a 440 Hz e la temperatura dell’aria è 20oC. Indicando i valori di tutte le costanti che compaiono nelle espressioni, si determino:

a) l’equazione differenziale che regge il moto; [ 0 kyyM , k=158 N/m]

b) l’ampiezza e la fase del moto oscillatorio; [1.28 m, 0.89 rad] c) la frequenza massima e la frequenza minima della sirena percepite da un ascoltatore fermo

posto al di sotto di essa; [462 Hz, 420 Hz]

42. Un ascoltatore munito della necessaria strumentazione lascia cadere, a t = 0, una piccola sirena a batteria, che emette un segnale a 525 Hz, da un grattacielo alto 100 m. Sapendo che la temperature ambiente è 20 °C, trascurando l’attrito dell’aria e supponendo che all’impatto con il suolo la sirena smetta di funzionare si determini:

a) La frequenza più bassa percepita dall’ascoltatore [min =4 65 Hz] b) Il tempo t al quale l’ascoltatore sente il segnale interrompersi [t = (4.52+0.29) s = 4.82 s ] c) La distanza dal suolo della sirena nel momento in cui l’ascoltatore percepisce la frequenza di

480 Hz. [ d = 42 m, non 47 m che è senza ritardo, t = (3.28+0.15) s = 3.43 s ]

43. Un osservatore fermo ai bordi di un rettilineo sente il suono della sirena di un'auto della polizia

che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=548 Hz, quando si allontana e' 2=460 Hz. Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in kilometri all’ora (vS=343 m/s). [500 Hz, 107 km/h]

44. Rimanendo fermi ad un semaforo si sente il suono della sirena di un'auto della polizia che passa.

Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1 = 580 Hz, quando si allontana è 2 = 505 Hz. Calcolare la velocità dell'auto assumendo che quella del suono sia 343 m/s.

45. Un sommergibile è in pattuglia fermo nell’oceano atlantico. Utilizza un sonar con una frequenza

di 5 kHz. La temperatura dell’acqua è di 20 °C (=2.2 109 N/m2, = 1000 kg/m3). Un secondo sommergibile si avvicina con una velocità di 5 m/s. Calcolare la frequenza ricevuta dal sommergibile in avvicinamento e quella riflessa ricevuta dal sommergibile di pattuglia. [5017 Hz, 5034 Hz]


che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=541 Hz, quando si allontana e' 2=465 Hz. Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in chilometri all’ora (vs=343 m/s).

47. Un’automobile si avvicina con velocità costante a un mezzo di soccorso fermo con la sirena accesa e lo oltrepassa proseguendo nella sua corsa. Sapendo che mentre l’auto si avvicina il guidatore percepisce una frequenza di 615Hz e quando si allontana una frequenza pari a 540Hz e assumendo che la velocità del suono sia pari a 343 m/s si determini la velocità dell’auto in moto. [ 22.3 m/s = 80 km/h ]

48. Un mezzo di soccorso con la sirena accesa si muove con una velocità di 70 km/h. La sirena

emette un’onda acustica con frequenza =1000 s‐1. Assumendo che la velocità del suono nell’aria sia pari a 343 m/s determinare:

a) la frequenza percepita da un osservatore fermo che veda il mezzo venire verso di lui.

b) la frequenza percepita dal guidatore di un’automobile che si muova incontro al mezzo di soccorso con una velocità relativa pari a 160 km/h.

74

49. Un sommergibile di pattuglia è fermo nell’oceano pacifico. Utilizza un sonar con una frequenza

di 6 kHz. La temperatura dell’acqua è di 20 °C (= 2.2 109 N/m2, = 1000 kg/m3). Un secondo sommergibile si avvicina alla velocità di 20 nodi (1 nodo = 1.852 km/ora). Calcolare la frequenza ricevuta dal sommergibile in avvicinamento e quella riflessa ricevuta dal sommergibile di pattuglia.

50. Rimanendo fermi ad un semaforo si sente il suono della sirena di un'auto della polizia che passa.

Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1 = 560 Hz, quando si allontana è 2 = 500 Hz. Calcolare la velocità dell'auto, in km all’ora, assumendo che quella del suono sia 343 m/s.


che passa a velocità costante. Mentre l'auto si avvicina la frequenza percepita è 1=538.6 Hz, quando si allontana è 2=466.6 Hz. a) Calcolare la frequenza del suono emesso dalla sirena e la velocità dell'auto in kilometri

all’ora, sapendo che la temperatura dell’aria è di 30 °C. b) Supponendo che la frequenza emessa dalla sirena e la velocità dell’auto siano sempre le

stesse, calcolare i valori delle due frequenze che percepirebbe l’osservatore alla temperatura di 0 °C.

21. Un’auto procede in autostrada alla velocità costante di 90 km/h mentre viene superata da

un’auto della polizia con la sirena accesa. Sapendo che la temperatura esterna è di 0 °C e che le

frequenze sonore percepite in avvicinamento e dopo il sorpasso sono rispettivamente pari a 578

e 528 Hz, determinare la velocità, in km/h, dell’auto della polizia e la frequenza emessa dalla

sirena.

53. Due corde identiche di un pianoforte sono tese con la stessa tensione T = 100 N in modo da produrre entrambe la frequenza fondamentale di 440 Hz. Determinare di quanto si deve aumentare la tensione di una delle due corde per udire battimenti a 4 Hz. [1.8 N]

2 Onde Meccaniche - · Onde materiali, o meccaniche: sono perturbazioni del mezzo materiale in cui...

Documents

Transcript of 2 Onde Meccaniche - · Onde materiali, o meccaniche: sono perturbazioni del mezzo materiale in cui...