septianari.blogdetik.com

2. Integral Berulang (Lipat)

Teorema (Integral Berulang Fubini)

Jika 𝑓 𝑥, 𝑦 kontinu pada persegi panjang R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, maka

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

= 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦

𝑑

𝑐

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑑𝑦

𝑑

𝑐

Contoh

Hitunglah 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝐴𝑅

jika 𝑓 𝑥,𝑦 = 1 + 6𝑥2 atas persegi panjang R : 0 ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤

1.

Penyelesaian

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

= (1 + 6𝑥2)𝑑𝑥

2

0

𝑑𝑦

1

−1

Terlebih dahulu selesaikan integral bagian dalam yaitu terhadap :

1 + 6𝑥2 𝑑𝑥

2

0

= 𝑥 + 2𝑥3 02

= 2 + 2 2 3 − 0 + 2 0 3

= 2 + 16 + 0 = 14

Akibatnya,

1 + 6𝑥2 𝑑𝑥

2

0

𝑑𝑦

1

−1

septianari.blogdetik.com

= 14

1

−1

𝑑𝑦 = 14𝑦 −11

= (14 1 − 14 −1 = 14 + 14 = 28

Contoh

Hitunglah 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦2

0

1

0𝑑𝑥

Penyelesaian

Diintegralkan terhadap y lebih dahulu, baru terhadap x.

(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦

2

0

𝑑𝑥

1

0

Pada integral bagian dalam x berupa konstanta.

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦

2

0

= 𝑥𝑦 +1

2𝑦2

0

2

= 𝑥 2 +1

2 2 2 − 0

= 2𝑥 + 2

Akibatnya,

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦

2

0

𝑑𝑥

1

0

= 2𝑥 + 2

1

0

𝑑𝑥

= 2 𝑥 + 1

1

0

𝑑𝑥

septianari.blogdetik.com

= 2 𝑥 + 1

1

0

𝑑𝑥

= 2 1

2𝑥2 + 𝑥

0

1

= 2 1

2 1 2 + 1 −

1

2 0 2 + 0

= 2 3

2− 0 = 2

3

2 = 3

Contoh

Hitunglah 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥1

0

2

0𝑑𝑦

Penyelesaian

Diintegralkan terhadap x lebih dahulu, baru terhadap y.

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥

1

0

𝑑𝑦

2

0

Pada integral bagian dalam y berupa konstanta.

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥

1

0

= 1

2𝑥2 + 𝑦𝑥

0

1

= 1

2 1 2 + 𝑦 1 −

1

2 0 2 + 𝑦 0

=1

2+ 𝑦 − 0

=1

2+ 𝑦

septianari.blogdetik.com

Akibatnya,

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥

1

0

𝑑𝑦

2

0

= 1

2+ 𝑦

2

0

𝑑𝑦

= 1

2𝑦 +

1

2𝑦2

0

2

= 1

2 2 +

1

2 2 2 −

1

2 0 +

1

2 0 2

= 1 + 2 − 0 = 3

Latihan

1.Tentukan volume benda pejal dibawah bidang z = 4 – x – y, di atas persegi panjang R:

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Lakukan dengan integral terhadap y kemudian terhadap x.

Kemudian dengan urutan dibalik.

Hitung integral lipat dua berikut ini

2. 𝑥2𝑦 𝑑𝑦

3

1

2

0

𝑑𝑥

3. 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑑𝑥

3

0

2

1

𝑑𝑦

4. 𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥

1

0

𝜋

0

𝑑𝑦

5. Buktikan bahwa

2𝑥𝑦 + 6𝑦2 𝑑𝑥

4

0

2

−2

𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦 + 6𝑦2 𝑑𝑦

2

−2

4

0

𝑑𝑥