Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria

Coordenadas de puntosSon los puntos coordenados en la celda unitaria que indican la posicin de los tomos.

Direcciones de una celda unitariaSon vectores unitarios que indican la posicin de los tomos. Se determinan utilizando una notacin llamada ndices de Miller, se identifica con las letras h, k, l

Indices de Miller

Forma para determinar los ndices de Miller en el sistema ortogonal

Usar el sistema coordenado de la mano derecha, determinar las coordenadas de 2 puntos que se encuentren en la direccin.

Realizar la resta entre los dos puntos (cabeza con cola)

Eliminar las fracciones y/o reducir fracciones a los enteros mnimos.

La direccin se representa entre corchetes. Ej: [1 1 1]Indices de Miller

Consideraciones a tener en cuenta en los ndices de Miller para las direcciones.

Las direcciones son vectores, una direccin y su negativa no son idnticas. La direccin [100] es diferente a la direccin [-100].

Una direccin y su mltiplo son idnticos. La direccin [100] es idntica a [200],

Ciertos grupos de direcciones son equivalentes, tienen su ndices particulares dependiendo de la forma en que se definen las coordenadas y su origen. Ej. [100] = [010]

Indices de Miller

Indices de Miller para direcciones (h k l )11-21/2[1-21]x y z1/2 0

Reducir fracciones

(x2) 1 0

[2 1 0] 111/2

= [110][-1-10][101][-10-1][011][0-1-1][1-10][-110][10-1][-101][0-1-1][0-11]Familia de direcciones

Planos en la celda unitariaPara identificar los planos se utilizan los ndices de Miller de la siguiente forma:Identificar los puntos en donde el plano cruza los ejes x, y, z. Si el plano pasa por el origen del sistema de coordenadas. Este se debe cambiar.Sacar los recprocos de las interseccionesSimplificar las fracciones.Encerrar entre parntesis el resultado.

Consideraciones

1.Los planos y sus negativos son idnticos (diferente a las direcciones). Ej. (020) = (0-20)Los planos y sus mltiplos no son idnticos. 3. En los sistemas cbicos, una direccin que tiene los mismos ndices que un plano es perpendicular a ese plano.Indices de Miller

(020)TareaDemostrar que la familia de planos {1 1 1} en el sistema cbico forman un octaedro. (010)1/2

xzyxzX = 1y = -1z =

1/32/31Recprocos de la intersecciones x, y, z

3/2 1

Multiplicar x 2 ndices de Miller (6 3 2)

Recprocos de la intersecciones x, y, z

111

ndices de Miller ( 1 1 1) 111

Estructura Cristalina Hexagonal compacta

Indices de MillerIndices de Miller para la estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)

Una forma mas sencilla de representar los indices de Miller para la estructura HCP, es realizar una transformacion a ejes hexagonales.

Este sistema coordenado tiene cuatro ejes.

Las direcciones en el sistema hexagonal compacto utiliza tres el sistema de 3 ejes.

El procedimiento para determinar los ndices de planos es igual que en el sistema de tres ejes, con la salvedad que requiere de 4 intersecciones, obteniendo ndices de la forma (h i k l).

h, i, k corresponden a las intersecciones de a1, a2 y a3. Las direcciones se indican con el sistema de 3 o 4 ejes. Conversin de tres ejes a cuatro

Indices de Miller

Determinacin de los ndices de Miller en la red Hexagonal

Planos

Determinar las intersecciones de los ejes.Determinar los inversos de cada interseccinSimplificar fracciones

Direcciones

Determinar dos puntos de la direccinRestar cabeza con colaSimplificar fracciones

Plano APlano AInterseccionesa1=a2=1, a3= -1/2, c=1Inversosa1-1=a2-1, a3-1=-2, c-1=1Indices Miller plano(11-21)

Direccion 1Dos puntos: 0 0 1, 100 0 0 1 1 0 0 = -1 0 1No hay fracciones reducir[-1 0 1] h k lh= 1/3[(2*-1) (0)] = -2/3K= 1/3[(2*0)-(-1)]=1/3i=-1/3[(-1+0)]=1/3l= 13* [-2/3 1/3 1/3 1] h k i l[-2 1 1 3] Direccion 1Direccion 1

Densidad lineal

Cantidad de puntos equivalentes de red por unidad de longitud.

Densidad lineal es Numero de atomos en la direccion por unidad de longitud.

Determinar la densidad lineal a lo largo de la direccion [1 1 1] en la estructura BCC y el adireccion [100] en la estructura FCCEstructura BCC, [1 1 1]

Densidad lineal en la direccion [110] para la estructura FCCDensidad planarCantidad de atomos contenido en un plano. Numero de atomos por unidad de areal

Determinar la densidad planar en los planos (0 1 0) y (0 2 0 ) de la estructura cubica simple.

Densidad en el plano (010)Densidad en el plano (020)

Tabla de direcciones y planos compactos

Comportamiento isotrpico y anisotrpico

Material anisostrpico: Variacin de las propiedades en la direcciones cristalogrfica.

Material isotrpico:Material que presenta las mismas propiedades en todas las direcciones cristalogrficas.

Ej: Mdulo de Young o rigidez(E) del aluminio =75.9 Gpa = 63.4 Gpa

EstructuraDireccionesPlanosSCNingunoBCCNingunoFCC{111}HCP, 0 (0001), (0002)

Distancia interplanar

Corresponde a la distancia entre dos planos adyacentes de tomos con los mismo ndices (familia de planos).

La distancia entre planos de la misma familia, es un parmetro nico para cada material.

Relaciona la distancia interplanar con el parmetro de red (a) y los ndices de Miller (h k l).

Ecuacin de la distancia interplanar de las estructuras cbicas

Relacin entre la distancia interplanar y los ndices de Miller de las estructuras cristalinas

La relacin entre la energa y la frecuencia de un fotn se denomina relacin de Planck: 6.626068x1 0-34 [J x s]4.135x 10-15 [eV x s]Ecuacion de PlanckFotones verdesPremio Nobel de fsica en 1928

1913: La ley de Bragg permite determinar los ngulos a los que los rayos X son difractados por un material con estructura atmica peridica. por los fsicos britnicos William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg. 1915 recibieron el premio Nobel de Fsica.Difraccin de Rayos X

es una tcnica utilizada para estudiar la estructura de los materiales.Henry Bragg (1862- 1942) determin una relacin entre la distancia interplanar, la longitud de onda de los rayos X y en ngulo de reflexin.A esta relacin se le conoce como ley de Bragg: es la mitad del ngulo que forma del haz difractado y el haz original.Lambda es la longitud de onda de los rayos X d la distancia interplanar

Difraccin de rayos X

DRX vidrioDRX cristalDifractorgramas de rayos X.

Patrn de difraccin de electrones Microscopia electrnica de transmisinTransformada inversa de Fourier de una imagen realImagen real de CdTe

Patrn de difraccin de electrones Microscopia electrnica de transmisinImagen real de CdTePatrn de difraccin de electrones CdTe, imagen de la derecha.

Ejercicio: Determinar el ngulo 2, al difractar el plano (111) del Cu, cuando se utiliza radiacin de Cu ( = 1,5406 A). El Cu presenta un parmetro de red de 3,6151 A.

Sitios intersticialesSon pequeos sitios (espacios vacios) entre los tomos que forman un estructura cristalina donde se pueden ubicar tomos mas pequeos. Se les conoce como sitios intersticiales.

Nmero de coordinacinSitio intersticial2Lineal3Centro de tringulo4Centro de tetraedro6Centro de octaedro8Centro de cubo

Sitios Intersticiales Se produce cuando se inserta un tomo en una estructura cristalina en un espacio producido por dos o mas tomos en una estructura cristalina. Los tomos intersticiales son de mayor tamao que los sitios intersticiales, por lo cual la regin cristalina vecina esta comprimida y distorsionada.

Sitios octaedricos para la estructura FCCRelacin entre los radios inico y catinico.

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