2. FUNKCIONISANJE LOKOMOTORNOG SISTEMA 1. Kruto telo. Uslovi ravnoteže krutog tela

Šta je kruto telo?

Kruto telo predstavlja telo kod koga se meñusobni položaj pojedinih tačaka ne menja. Takvo telo se ne deformiše pod dejstvom sile. Kruto telo je model - fizička apstrakcija, jer takvih tela u prirodi nema, mada se neka tela po svojim osobinama približavaju definiciji krutog tela (kosti, na primer).

Pod dejstvom sile kruto telo se može kretati translaciono i/ili rotaciono.

Translacija. Pri translacionom kretanju sve tačke tela prelaze iste puteve

pod dejstvom rezultujuće sile i imaju istu brzinu v i ubrzanje a:

i

Uslov za translacionu ravnotežu tela glasi: vektroski zbir sila koje deluju na telo jednak je nuli, tj.

Fi = 0 i

i

i

m a F

TRANSLACIONA RAVNOTEŽA

(a) (b)

Dejstvo sila na osobu koja stoji (a);

vektorski dijagram sila (b).

F1

F2

F2

F1

Q

Q

F1 F2 Q 0

F2 x 0 i F1 y F2 y Q 0 F1x

USLOVI RAVNOTEŽE KRUTOG TELA. ROTACIJA

Rotacija krutog tela oko nepokretne ose

O pod dejstvom sile Fi.

hi

ri

Fi

i

O

Najjednostavniji slučaj je rotacija tela oko

nepokretne ose, kada se tačke kreću po

krugovima čiji centri leže na pravoj koju

nazivamo osa rotacije.

Ako u nekoj i-toj tački krutog tela deluje sila F u

ravni normalnoj na osu rotacije, njeno dejstvo će

se manifestovati momentom sile, koji se definiše

kao vektorski proizvod radijus vektora te tačke i

sile:

Vektor momenta sile leži duž ose rotacije, a smer mu se određuje pravilom desnog zavrtnja. Intenzitet momenta sile je

sin , sin ,i i i i i i i iM Fr r h M Fh

i i i M r F

hi je krak sile

USLOV RAVNOTEŽE KRUTOG TELA.

Telo se neće kretati translatorno i neće rotirati ako su ispunjeni

uslovi:

Fi = 0 i M i = 0 i i

Ako na kruto telo deluje više sila istovremeno, za svaku od njih se može

definisati moment sile. Rotaciona ravnoteža krutog tela se postiže kada je

ispunjen uslov: algebarski zbir svih momenata sila je jednak nuli

0i i i

i i

M r F

Balansirajuća stena, Arches Nacionalni park Utah

3 000 000 kg teška stena koja se nalazi u stabilnoj ravnoteži nekoliko milenijuma

POLUGE I SISTEMI POLUGA Model funkcionisanja lokomotornog

sistema Osnovnu predstavu o funkcionisanju lokomotornog sistema možemo dobiti ako kosti (ili grupu čvrsto povezanih kostiju) posmatramo kao poluge.

Poluge su fizički posmatrano kruta tela, tj. tela koja se ne deformišu pod dejstvom sile.

Deformacija realnih kostiju pod dejstvom sila koje se generišu u mišićima relativno je mala, pa se u prvoj aproksimaciji one mogu uspešno modelirati polugom.

(a)

A

B

A'

B'

s 1

F

Q

(b)

A

B F

Q

O

a b

•(a) poluge sile – k > 1

•(b) poluge brzine – k<1

F a = Q b

Q a

F b k = =

Poluge ... nastavak

Na slici prikazana je poluga AB, koja može da

rotira oko ose O. N jednom kraju poluge deluje

sila F (u slučaju lokomotornog sistema ona

potiče od mišića), a na drugom kraju

opterećenje Q. Normalno rastojanje od tačke

oslonca do napadne tačke sile naziva se krak

sila a, dok normalno rastojanje od oslonca do

napadne linije tereta krak tereta b.

Na ovu polugu deluju dva momenta: moment

sile F i moment tereta Q. Poluga će biti u

ravnoteži ako su ova dva momenta međusobo

jednaka, a suprotnog smera:

Odnos tereta koji se podiže polugom i

upotrebljene sile definiše se kao koeficijent

prenosa poluge k:

F a Q b

Q ak

F b

Podela poluga prema vrednosti

koeficijenta k

Prema vrednosti koeficijenta k, koji može biti veći ili manji od jedan, poluge se dele na: * poluge sile, k>1 (sila F kojom se deluje na polugu manja od tereta Q); * poluge brzine, k<1 (sila F je veća od tereta Q). U lokmotornom sistemu čoveka mogu se naći obe pomenute vrste poluga. Dok se u slučaju poluga sile koristi manja sila da bi se savladalo opterećenje samog tela ili spoljašnjeg tereta, poluge brzine pojačavaju efekte ograničene kontrakcije naših mišića i omogućuju veće i brže kretanje ekstremiteta.

POLUGE

Za analizu funkcionisanja poluga u telu čoveka potrebno je znati

tačan položaj napadne tačke sile mišića, tačke oslonca i napadne

tačke tereta.

U odnosu na međusobni položaj ovih elemenata poluge se dele na:

poluge I vrste

poluge II vrste

poluge III vrste.

Poluge prve vrste

Poluge prve vrste su dvokrake poluge kod kojih se tačka oslonca nalazi između

napadnih tačaka sila F i Q. Dužine krakova mogu biti iste ili različite. Mogu

delovati kao poluge sile i kao poluge brzine, zavisno od toga da li je veći krak sile

ili krak tereta.

Primer poluge prve vrste koja deluje kao poluga sile je glava čoveka u uspravnom

položaju (vidi sliku). U težištu (tačka T) deluje težina Q. Tačka oslonca O je na

spoju lobanje i prvog vratnog pršljena. Ravnotežu održava sila F kojom vratni

mišić deluje na mestu njegovog pripajanja sa lobanjom. Sila vratnog mišića je

manja od težine glave, jer je krak sile veći od kraka tereta.

F

T O

F

Q

O

k 1

k 1

Primer poluge I vrste u organizmu i njen šematski prikaz.

Q

Poluge druge vrste su jednokrake poluge. Kod ove vrste poluge oslonac se

nalazi na jednom kraju poluge, a napadna tačka sile na drugom. Napadna tačka

tereta je između njih. Ovde je krak sile uvek veći od kraka tereta, što znači da su

poluge druge vrste UVEK poluge sile pa je koeficijent prenosa uvek veći od

jedinice (k>1).

Primer poluge II vrste je stopalo čoveka koji se popeo na prste (vidi sliku 2.21).

Tačka oslonca O je na prednjem delu stopala. Napadna tačka težine tela Q je u

skočnom zglobu, dok sila lisnog mišića F deluje na petnu kost preko Ahilove

tetive. Kako je krak sile veći od kraka tereta dovoljno je ne tako velika sila mišića

da uravnoteži težinu čoveka.

Poluga druge vrste

POLUGE II VRSTE. Primer 2

Poluga III vrste

U ljudskom organizmu se najčešće mogu naći poluge III vrste. Primer je

podlakt kod koga je osonac O u lakatnom zglobu, napadna tačka sile F je

mesto pripajanja mišić bicepsa za podlakt, a napadna tačka tereta Qr je

težište podlakta (slika). Kako je krak sile nekoliko puta manji od kraka

tereta, sila bicepsa mora biti velika, pogotovu ako se u šaci drži neki

predmet. Biceps je zbog toga dvostruko vezan za kosti podlakta.

Q

F

F

Q

O

k 1

O

Primer poluge II vrste u organizmu i njen šematski

prikaz.

F

O

QR

F

QR O

k 1

Primer poluge III vrste u organizmu i njen šematski

prikaz.

Primer 1.-raznokraka poluga I vrste Dejstvo glave čoveka na prvi vratni pršljen

FM

Q

O

FM

Q

5cm 3cm

FC

Q mg 30 N

T

5

FM Q FC

FM 5cm Q 3cm

3 FM Q 18 N

FC 18 N 30 N 48 N

Da bi čovek držao glavu u vertikalnom položaju, ravnotežu težini glave Q, održava sila vratnog mišića FM.

Izračunaćemo veličinu ove sile za slučaj kada je masa glave m=3 kg, kao i silu reakcije prvog cervikalnog

pršljena Fc.

Uzajamno dejstvo glave čoveka i prvog

cervikalnog pršljena na kome leži glava; sila

vratnog mišića održava glavu u uspravnom

položaju

Primer 2. Izračunavanje sile u Ahilovoj tetivi

Q

FT

FK

Tibia

Fibula

a b

FT

Q

FK

70

Ovde ćemo izračunati silu FT koja se javlja u Ahilovoj tetivi prilikom

stajanja čoveka na jednoj nozi (slika 2.24) u odnosu na težinu tela Q Ovde ćemo izračunati silu FT koja se javlja u Ahilovoj

tetivi prilikom stajanja čoveka na jednoj nozi u odnosu

na težinu tela Q. Situaciju ćemo uprostiti time što ćemo

smatrati da je telo rigidno, zanemarićemo unutrašnje

sile u stopalu i posmatrati stopalo kao kruto telo.

Težinu stopala ćemo takođe zanemariti.

Položaj Ahilove tetive je oko 70 u odnosu na vertikalu

kada se čovek nalaziu stanju ravnoteže, dok su

vrednosti za a i b za neku prosečnu osobu 5.6 cm i 10

cm, respektivno. Iz raspoloživih podataka možemo

izračunati i silu kojom kosti noge (tibia i fibula) deluju

na stopalo, ako i ugao pod kojim ta sila deluje.

Iz uslova translacione ravnoteže imamo:

Iz uslova rvnoteže momenata sila možemo pisati

Ako ovu vrednost zamenimo u prve dve jednačine, pa dobijene

jednačine kvadriramo dobija se Fk=2.8Q. Prostom algebrom se dobija da je

0

0

cos7 cos 0

sin 7 sin 0

T k

T k

F Q F

F F

010 5.6 cos7 0

1.8

T

T

Q F

F Q

04.5

SISTEMI POLUGA

Za proučavanje lokomotornog sistema čoveka neophodno je

poznavanje funkcionisanja sistema poluga. Sistem poluga

predstavljaju dve ili više poluga ma koje vrste, međusobno

povezanih tako da pomeranje jedne od njih utiče na pomeranje

celog sistema.

Ovakav sistem poluga predstavlja model međusobno

uzglobljenih kostiju u lokomotornom sistemu, čije je

jedinstveno funkcionisanje ostvareno pomoću mišića koji su za

njih pripojeni.

Odnos sile i tereta zavisiće ne samo od karakteristika pojedinih

poluga, već i od ugla koji poluge, odnosno kosi, međusobno

zaklapaju.

SISTEMI POLUGA - Model ruke

O

Fb

Qp

Q

4

14

30

biceps

deltoi

d

O

Fd

Qr

Q

18

36

72

a

Fdsina

4cm x Fb = 14cm x Qp + 30cm x Q Fb = 3,5 x 15N + 7,5 x 30N

Fb = 277,5 N

18cm x Fd sina = 36cm x Qr + 72cm x Q Fd = (2 x 60N + 4 x 30N)/ sin160

Fd = 870,7 N

Zavisnost sile mišića od uzajamnog položaja kostiju može se prikazati na primeru ruke sa teretom Q: a) Ugao između podlaktne i nadlaktne kosti je 90; b) 180

Proračun za model

ruke...objašnjenje

U računu su korišćene prosečne vrednosti težine podlakta (Qp=15N) i cele ruke

(Qr=60N), kao i rastojanje od tačke oslonca do napadnih tačaka sile mišića, težine

podlakta, težine ruke i težine tela Q (čija je težina u ovom slučaju 30 N). Sva

rastojanja su izražena u santimetrima. Napadne tačke sila Qp i Qr nalaze se u

težištima podlakta i cele ruke, respektivno.

U prvom slučaju ravnotežu dejstvu težine podlakta i tela u šaci održava sila

bicepsa F. Ako bi se u računu zanemarila težina podlakta, vidi se da sila potrebna

da održi ravnotežu u tereta u šaci mora biti 7.5 puta veća od težine tela u šaci.

Kada je ruka ispružena ne postoji dejstvo bicepsa, koji sada nema uslova za

kontrakciju. Funkciju preuzima deltoidni mišić veće mase i snažnije kontrakcije,

koji može generisati silu Fd nekoliko desetina puta veću od težine tela u šaci. Sila

mora biti velika jer deluje pod malim uglom u odnsou na polugu.

Uporedna analiza dva navedena slučaja pokazuje da se sile, potrebne za

održavanje istog tereta u šaci, razlikuju za više od tri puta.

SISTEMI POLUGA - Model noge

F'

F femu

r

tibi

a

mišić

kvadriceps

C

O

A

B

Analiza delovanja butnog mišića: delovi noge koji učestvuju u uspravljanju (a);

analogan fizički model (b).

r

F

D

B

A

s

s

/2

O

C

(b) (a) F r F ' DO

r

DO s cos

2

s

cos

F F '

2

2

r

s cos F

F '

k

Za vrednosti ugla 0<<160۫ koeficijent k<1,

što znači da poluga deluje kao poluga brzine

pa sila F mora biti znatno veća od tezine

tereta Q/2. Iznad 160۫ , poluga deluje kao

poluga sile što znači da je sila F manja od

tezine tereta.

Analiza zavisnosti sile mišića od uzajamnog položaja kostiju nogu može se

izvršiti pomoću fizičkog modela prikazanog na slici b). U procesu prelaska

čoveka iz čučnja u stojeći položaj, noga koja je bila savijena u kolenu, ispravlja

se zahvaljujući kontrakciji butnog mišića. Na slici a) prikazani su i elementi

noge koji učestvuju u ovom procesu.

Analogni fizički model noge

Kosti noge su modelirane dvema polugama OA i OB jednakih dužina s (radi pojednostavljenja

analize), koje su međusobno uzglobljene u tački O i mogu da rotiraju oko ose normalne na ravan

crteža.

Kada je koleno savijeno u čučanj, ugao između poluga je mali. Pri uspravljanju ovaj ugao raste

ka vrednosti od 1800 . Sistem poluga je fiksiran u tački A, dok je u tački B opterećen tegom koji

odgovara polovini telesne težine (Q/2).

Mišić je modeliran jednom niti koja je na donjem kraju fiksirna za donju polugu u tački C, koja

odgovara mestu pripajanja mišića za potkoleničnu kost. Nit je prebačena preko kotura

poluprečnika r, koji odgovara profilu prednjeg kraja butne kosti (tj. kolena).

Drugi kraj niti je prebačen preko drugog kotura i može se zatezati silom F, koja odgovara sili

mišića kvadricepsa pri njegovoj konrakciji. Ako se na slobodni kraj niti deluje silom F , sistem

poluga će da podiže teret.

Poluga OB zajedno sa čvrsto povezanim koturom predstavlja, u suštini polugu I vrste sa

osloncem u tački O i silama F i F’, koje deluju na njenim krajevima. Matematička analiza

ravnotežnog stanja sistema je data na slici. Polazeći od jednačine ravnoteže poluge i

transformacija, koje se mogu izvesti na osnovu slike b, dobija se izraz za silu mšića F i

koeficijent prenosa poluge k.

Model kičmenog stuba pri podizanju tereta

Najugroženiji deo kičmenog stuba je lumbalni region kičme.

Lumbalni pršljeni a naročito peti lumbalni pršljen, često su

izloženi dejstvu sila od nekoliko hiljada njutna. Na slici 2.27

prikazana je analiza dejstva sile FR na peti lumbalni pršljen kada

je telo nagnuto za 600 u odnosu na vertikalnu osu. Pri podizanju

tereta od 225 N sila koja deluje na ovaj pršljen iznosi preko 3600

N, što je pet do šest puta više od težine samog ljudskog tela.

Vektorska analiza ovog primera daće nam vredsnot rezultujuće

sile koja deluje na peti lubalni pršljen i ugao pod kojim ona deluje.

nastavak ...

Iz jednačine ravnoteže poluge može se izračunati vrednost FM, koja predstavllja

aproksimaciju sila svih mšića koji učestvju u procesu:

Razlaganjem svih sila koje se javljaju u anlaizi na komponente duž x i y ose

možemo izračunati odgovarajuće komponente rezultujuće sile FR

Konačno se dobija

0 0

1 2

2 1cos78 cos30

3 2

3385

M

M

F AB Q AB Q AB

F N

0 0

1 2( ) cos18 3220 , ( ) cos72 1748R x M M y MF F N F F Q Q N

2 2

3664R R Rx yF F F N

0( )

28.5( )

R y

R x

Farctg

F

53

Q1 - težina trupa (320 N)

Q2 - težina ruku, glave i tereta (382 N)

A - tačka oslonca na L.5

AB - poluga kojom se modelira trup

AC = 1/2 AB

AD = 2/3 AB

FM - sila naprezanja u leñnim mišićima

FR - rezultujuća sila koja deluje na L.5

FR = 3664 N

D

A

B

C

300

120

Q2

Q1

FM

28,50

FR

y

x

B

A

peti lumbalni

pršljen (L.5)

Q = 225 N

Analiza dejstva sile na peti lumbalni pršljen pri podizanju

tereta.

Leonardo da Vinci

Anatomical study of the arm,

(c.1510)