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Riesgo, Retorno y Diversificación

Finanzas II

Facultad de Economía y Negocios Ingeniería Comercial

Teoría de Portafolios: Introducción al Riesgo

- ¿Qué es el Riesgo?

- Definición aceptable de riesgo: existencia de múltiples posibles resultados

excluyentes entre sí. Hay más resultados de los que efectivamente pueden ocurrir.

- El riesgo reduce la utilidad de las personas, debido a que generalmente son aversas

al riesgo: prefieren un resultado cierto a un resultado incierto pero de igual valor

esperado.

- Costo de oportunidad corresponde a la rentabilidad disponible para activos del mismo

riesgo.

- A mayor riesgo, mayor será la rentabilidad exigida

- Esto no implica que los activos más riesgosos sean efectivamente más

rentables.

- La rentabilidad exigida se evalúa a través del valor esperado de la rentabilidad.

- Esto implica que la rentabilidad real generalmente será distinta a la esperada

inicialmente.

- Opciones para definir daño.

- Riesgo versus potencial de ganancias. Finanzas II 2015-2 2


- Conclusiones:

- Daño o pérdida en el caso de riesgo de una inversión debe estar asociado a

diferencias en contra de que se exige (espera) más que a la probabilidad de

obtener retorno negativo.

- Una definición aceptable de riesgo debe considerar el potencial de

ganancias de la inversión.

- ¿Cómo se mide el riesgo de un instrumento financiero?

Bajo distribución normal, a través de la varianza y desviación estándar de sus

retornos históricos.

-¿Cómo clasificaría el riesgo de los instrumentos financieros?

- Análisis técnico.

- Análisis fundamental.

- Análisis de riesgo de crédito.

Finanzas II 2015-2 3


- Elección en condiciones de incertidumbre:

- ¿Cómo escogemos cuando variables que se conocen con seguridad, como por

ejemplo la renta y los precios, son inciertas? ¿Cómo elegir en condiciones de

incertidumbre? ¿Cómo llevar a cabo elecciones que conllevan cierto grado de

riesgo?

- Para describir cuantitativamente el riesgo, debemos conocer:

i. Todos los resultados posibles.

ii. La probabilidad de que se produzca cada resultado.

- Interpretación de probabilidad: posibilidad de que se produzca un

determinado resultado.

- Medidas que ayuden a consumidores e inversores, en la descripción y

comparación de elecciones inciertas:

1. El valor esperado: media de los valores correspondientes a todos los

resultados posibles, ponderado por las probabilidades.

2. La variabilidad: grado en que pueden variar los posibles resultados de

un acontecimiento incierto.




- Ejemplo Valor Esperado – Variabilidad:

Una persona está eligiendo entre dos puestos de trabajo de vendedor a tiempo

parcial, los que tienen la misma renta esperada, de US$1.500.

- El primero se basa enteramente en comisiones: dos rendimientos

igualmente probables, US$2.000 en el caso de que las ventas sean altas, y

US$1.000 en el caso de que sean bajas.

- El segundo es asalariado (remuneración fija): es muy probable (probabilidad

de 99%) que la persona gane US$1.510, pero hay una probabilidad de 1% de

que la compañía quiebre, en cuyo caso se percibiría una indemnización por

desempleo de US$510.

- ¿Qué trabajo aceptaría esta persona?

-¿El que ofrece mayor renta esperada o el que ofrece menor riesgo?

-¿Qué empleo aceptarían ustedes?¿de qué dependerá la elección?




- Se puede extender la evaluación de una elección arriesgada si consideramos la

utilidad asociada al riesgo:

- Un consumidor obtiene utilidad por su renta.

- Los pagos están medidos en términos de utilidad.

- Preferencia por el riesgo – ejemplo:

Una persona que gana US$15.000 y recibe una utilidad de 13,5 por su trabajo,

está considerando cambiarse de empleo, pero es arriesgado, dado que en el

nuevo trabajo tiene una probabilidad de 50% de ganar US$30.000 (otorga utilidad

de 18), y una probabilidad del 50% de ganar US$10.000 (da una utilidad de 10).

Se debe comparar la utilidad del empleo arriesgado con la utilidad del empleo

actual, que es de 13,5.

Cuando las opciones son inciertas: los consumidores maximizan su utilidad

esperada. Los individuos difieren en su actitud ante el riesgo: pueden ser

aversos al riesgo, neutrales o amantes del riesgo.




- Averso al riesgo:

- Persona que prefiere una renta segura a una renta arriesgada que tenga el

mismo valor esperado.

- El individuo tiene una renta cuya utilidad marginal es decreciente.

- La contratación de un seguro refleja la actitud más común frente al riesgo.

- Neutral al riesgo:

- Un individuo es neutral frente al riesgo cuando muestra indiferencia entre

una renta segura y una renta incierta que tiene el mismo valor esperado.

- La renta tiene una utilidad marginal constante.

- Preferente al riesgo:

- Una persona es amante del riesgo cuando prefiere una renta arriesgada a

una renta segura que tenga el mismo valor esperado.

- Ejemplo: las apuestas.

- La renta tiene una utilidad marginal creciente.




- Prima por el riesgo: cantidad máxima de dinero que está dispuesta a pagar una

persona aversa al riesgo, para evitarlo.

- Dependerá de las alternativas arriesgadas a las que se enfrente.

- La variabilidad de los rendimientos potenciales aumenta la prima por el riesgo.

- El grado de aversión al riesgo se puede representar mediante curvas de

indiferencia que reflejen las combinaciones de renta esperada y desviación típica

de la renta que reportan al individuo la misma cantidad de utilidad. Como el riesgo

no es deseable (es un mal) las curvas de indiferencia tienen pendiente positiva.

- Una persona que es muy renuente al riesgo: un aumento de la desviación típica

de la renta de esta persona exige un gran aumento de la renta esperada para que

su bienestar no varíe.

- Una persona que tiene una baja aversión al riesgo: un aumento de la desviación

típica de la renta sólo exige un pequeño aumento de la renta esperada para que

su bienestar no varíe.



Ejemplo:

Un individuo tiene una riqueza actual de $100.000.

El próximo año puede perder su automóvil valorado en $20.000 con probabilidad

25% como consecuencia de un robo.

Función de Utilidad: U(W)=ln(W).

Hallar:

i) Utilidad Esperada.

ii) Prima Justa (aquella que sólo cubre los costos de indemnizaciones, costos de

administración = 0).

iii) Máxima Prima dispuesto a pagar.


Teoría de Portafolios: Diversificación entre Instrumentos

- ¿Qué significa diversificación?

- Sentido común: no poner todos los huevos en la misma canasta.

- Invertir todo el patrimonio en un solo activo: riesgo máximo dado que si el activo

invertido disminuye su valor de mercado, se pierde rentabilidad sobre el total invertido,

y viceversa.

- La diversificación disminuye el riesgo, pero no lo elimina. Caso Torres Gemelas en

EE.UU. y acciones de aerolíneas vs. empresas de telecomunicaciones.

- Retorno y riesgo de un portafolio “p” compuesto por dos activos A y B:

E(Rp) = xA * E(RA) + xB * E(RB)

¿ sP = xA * sA + xB * sB ? Faltaría ver la forma como se correlacionan (Cov(RA,RB)).

¿Cómo calibramos el riesgo? sp2 = xA

2 sA2 + xB

2 sB2 + 2xAxBrsAsB

¿Y desviación estándar?

Coeficiente de correlación (r):

-1 0 +1

- Invertir en mercados acoplados no ayuda a diversificar el riesgo.



Repaso Estadísticas:

Varianza donde R es una variable.

Algunas propiedades de la varianza:

donde a y b son constantes.

Covarianza

Algunas propiedades de la covarianza:

COVAR(R, a) = ? , donde “a” es una constante.

COVAR(R, R) = ?

COVAR(R, S) = ?

COVAR(aR, bS) = ab COVAR(R,S) , donde “a” y ”b” son constantes.

Coeficiente de correlación

𝑉𝐴𝑅 𝑅 = 𝐸 (𝑅 − 𝐸 𝑅 )2 = 𝜎2

𝑉𝐴𝑅 𝑅 ≥ 0

𝑉𝐴𝑅 𝑎𝑅 + 𝑏 = 𝑎2𝑉𝐴𝑅 𝑅

𝑉𝐴𝑅 𝑅 + 𝑆 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅 + 𝑉𝐴𝑅 𝑆 + 2𝐶𝑂𝑉(𝑅, 𝑆)

𝐶𝑂𝑉𝐴𝑅 𝑅; 𝑆 = 𝐸 𝑅 − 𝐸 𝑅 (𝑆 − 𝐸 𝑆 ) = 𝜎𝑅;𝑆

𝜌𝑅;𝑆 =𝜎𝑅;𝑆

𝜎𝑅𝜎𝑆=

𝐸 𝑅 − 𝐸(𝑅) 𝑆 − 𝐸(𝑆)

𝐸 𝑅 − 𝐸 𝑅 2 𝐸 𝑆 − 𝐸 𝑆

2



- Efectos de la diversificación en el riesgo de la cartera

- Cómputo del riesgo promedio ponderado de la cartera

- Mientras más disímil es el comportamiento entre activos, menor será el

riesgo del portafolio.

- El riesgo de portafolio será igual o menor que el promedio ponderado de

activos por separado.

- Activos perfectamente correlacionados en forma positiva (r = 1) Caso de 2 activos

- Activo A: E(RA) = 10% ; sA = 10%

- Activo B: E(RB) = 20% ; sB = 15%

Algunos resultados posibles:

XA XB E(Rp) sp

1 0 10% 10%

0,8 0,2 12% 11%

0,6 0,4 14% 12%

0,4 0,6 16% 13%

0,2 0,8 18% 14%

0 1 20% 15%



- Combinaciones de riesgo y rentabilidad para un portafolio de 2 activos.

- Caso de 2 activos perfectamente correlacionados en forma negativa (r = -1)

- Activo A: E(RA) = 10% ; sA = 10%

- Activo B: E(RB) = 20% ; sB = 15%


- Caso de 2 activos con correlación imperfecta (-1 < r < 1), ejemplo de r = 0,1

- Activo A: E(RA) = 10% ; sA = 10%

- Activo B: E(RB) = 20% ; sB = 15%


XA XB E(Rp) sp

0 1 20% 15,0%

0,3 0,7 17% 7,5%

0,5 0,5 15% 2,5%

0,6 0,4 14% 0,0%

0,9 0,1 11% 7,5%

1 0 10% 10,0%

XA XB E(Rp) sp

1 0 10% 10,0%

0,8 0,2 12% 8,8%

0,6 0,4 14% 8,9%

0,5 0,5 15% 9,4%

0,4 0,6 16% 10,2%

0,2 0,8 18% 12,4%

0 1 20% 15,0%Finanzas II 2015-2 13

Retorno y desviación estándar




- Disminución del coeficiente de correlación (ejemplo con rAB = 0,1 y rAB = -0,1)

- Obtención del portafolio de mínima varianza entre dos activos.

XA´ = (sB2 – r sAsB ) / (sA

2 + sB2 – 2 r sA sB)

- Diversificación en un mundo de “n” activos

- Retorno Esperado de un portafolio p:

E(Rp) = x1 * E(R1) + x2 * E(R2) + … + xi * E(Ri) + … + xn * E(Rn)

- Riesgo (varianza) de un portafolio “p” : sp2

x12s1

2 + x1x2s12 + x1x3s13 + … + x1xns1n +

x2x1s21 + x22s2

2 + x2x3s23 + … + x2xns2n +

sp2 = x3x1s31 + x3x2s32 + x3

2s32 + … + x3xns3n +

. . . . .

. . . . .

xnx1sn1 + xnx2sn2 + xnx3sn3 + … + xn2sn

2

Descomposición del riesgo de una cartera:

N° Activos 2 3 10 25 50 100

N° de riesgos individuales 2 3 10 25 50 100

N° de covarianzas 2 6 90 600 2.450 9.900

Total 4 9 100 625 2.500 10.000

% Covar. / Total 50% 67% 90% 96% 98% 99%Finanzas II 2015-2 15


- Medición de riesgo relativo en un portafolio:

- Ejemplo: portafolio p formado por tres activos (1, 2 y 3).

Correlaciones entre activos:

- Contribución absoluta de cada uno de los activos al riesgo del portafolio.

- Contribución relativa de cada uno de los activos al riesgo del portafolio.

x1 24% E(R1) 15% s1 28%

x2 43% E(R2) 20% s2 22%

x3 33% E(R3) 10% s3 14%

r 1 2 3

1 1 -0,4 0,2

2 -0,4 1 0,5

3 0,2 0,5 1



- Concepto de riesgo sistemático o de mercado: riesgo “macro” capaz de afectar a

todos los instrumentos financieros de la economía. No puede ser eliminado por la

diversificación.

-Ejemplos de potenciales riesgos sistemáticos.

a) Inflación no anticipada.

b) Incertidumbre acerca del crecimiento económico agregado de largo plazo.

c) Cambios en la disposición del mercado a asumir riesgos.

d) Cambios en las tasa de interés.

- Concepto de riesgo no sistemático (propio o único): riesgo “micro” que afecta

únicamente a un instrumento financiero, empresa, industria o sector. Este riesgo puede

ser eliminado por la diversificación.

a) Huelgas.

b) Litigios judiciales.

c) Vencimientos de patentes.

d) Siniestros.

e) Capacidad de un gerente.

f) Complicaciones financieras de un emisor.

Riesgo total de un portafolio = riesgo sistemático + riesgo no sistemático.

¿Es relevante el riesgo no sistemático para los inversionistas?

𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖

2𝜎𝑚2 + 𝜎𝜀

2


Un activo financiero es…

• Un derecho sobre flujos de caja futuros

Pero estos flujos son riesgosos por lo que podemos ver el patrón de pagos como una lotería



Loterías

W = $ 100000

P = 0,6

1-P = 0,4

W1 = $ 150000

W2 = $ 80000

E(W) = p W1 + (1-p)W2 = 0,6 x 150000 + 0,4 x $ 80000

= $ 122000

2 2 2

2 2

0.5

( 1 ( )) (1 )( 2 ( ))

0.6(150000 122000) 0.4(80000 122000)

1176000.2470

1176000247 $34192.86

p W E W p W E Ws

s

= - - -

= - -

=

= =



Invertir en activo riesgoso VS libre de riesgo

W = $ 100000

P = 0,6

1-P = 0,4

Beneficio1 = $ 50000

Beneficio2 = -$ 20000

E(Beneficio) = $ 22000 (por activo riesgoso)

E(Beneficio) = beneficio = $ 5000 (por activo libre de riesgo)

Premio por riesgo ofrecido = $ 17000 (¿Ud. lo acepta?)

Prospecto

riesgoso

Prospecto

libre de

riesgo

Beneficio = $ 5000



En retorno…

premiorr =

Compensación por diferir

consumo presente por

consumo futuro

Compensación por riesgo

En el ejemplo, comparemos 22% con

5%



Un portafolio entre un activo riesgoso y uno libre de riesgo

Supongamos que: E(rp)=15% y rf = 7%.

Luego, el retorno del portafolio (rc) es:



La varianza del portafolio:

2

( ) ( (1 ) )

( )

rc rp

V rc V yrp y Rf

y V rp

ys s

= -

=

=

En el ejemplo supongamos que: 22%rps =

Luego, ( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )c

p

E rc rf y E rp rf

E rc rf E rp rfs

s

= -

= -



( ) ( ( ) )

( ) 0.07 (0.15 0.07)0.22

c

p

c

E rc rf E rp rf

E rc

s

s

s

= -

= -



El ratio de Sharpe:

( ) ( ( ) )

( ( ) )( )

c

p

c

p

E rc rf E rp rf

E rp rfE rc rf

s

s

ss

= -

-=

El precio del riesgo En el ejemplo,

S=0,08/0,22



Ejemplo de una posición apalancada (con posición corta en rf)

Supongamos que tenemos un presupuesto de $ 300.000 y

que podemos pedir prestado a rf $ 120.000 adicionales.

Pero…¿Puede este inversionista emitir deuda a la misma tasa

que el BC o el gobierno?



Si no fuese el caso:

Se quiebra la recta. Por ejemplo: 9%B

fr =



La curva de indiferencia



Frontera eficiente y portafolio de mercado



Portafolio óptimo (Markowitz)



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