2. FINANTSMATEMAATIKA ELEMENDID · 2012-08-19 · kus inflatsioon või deflatsioon on arvesse...

1

2. FINANTSMATEMAATIKA ELEMENDID

Sissejuhatus

Vastavas õpiku osas esitatud õppematerjal on koostatud nii, et selle põhjal saaks koostada

vähemalt kaks 12 tunnist kursust, milledest üks baseeruks kitsale matemaatikale ja teine laiale

matemaatikale. Märgime, et antud teema käsitlemiseks ette nähtud 12 tunnine ajamaht ei

võimalda läbi töötada kõiki õpikus käsitletud teemasid. Seetõttu oleme teemad, mis küll tundusid

autoritele huvitavad, kuid Eesti praktikas vähest tähtsust omavad (näiteks pangaline ehk

kommertsdiskonteerimine) või mille vahelejätmine ei takista järgneva materjali omandamist,

esitanud õpikus väiksemas kirjas. Siis on antud temaatika vastu suuremat huvi tundvatel

õpilastel võimalik need teemad omandada iseseisvalt.

Õppematerjal sisaldab arvukalt erinevaid näiteid. Eesmärgiks on, et tugevama või vähemalt

keskmise tasemega õpilane oleks antud õppematerjalile tuginedes võimeline antud teemad

(vähemalt osaliselt) omandama ka iseseisvalt.

Rõhutame, et õppetunnis ei pea läbi lahendama kõiki õpikus antud näiteid; suur hulk näiteid on

mõeldud selleks, et nendele tuginedes oleks õpilane suuteline iseseisvalt ülesandeid lahendama.

Laiale matemaatikale baseeruvas kursuses on arvestatud seda, et eelnevatest matemaatika

kursustest on juba tuttavad liht- ja liitintresside mõisted ning loodetud, et keskmise või tugevama

tasemega õpilased on võimelised liht- ja liitintressidega arvutamisega, diskonteerimisega ning

maksete asendamise ja ühendamisega seotud teemad kiiremini läbima. Seetõttu on laiale

matematikale baseeruvas kursuses enam tähelepanu pöörata autorite arvates enam

huvipakkuvatele teemadele nagu inflatsioon, erinevat tüüpi laenud ning liisingud ning nende

võrdlus, mitmesugust tüüpi hoiused, samuti on püütud tutvustada pankade internetilehekülgedel

leiduva informatsiooni ning mitmesuguste laenukalkulaatorite kasutusvõimalusi.

Kitsale matemaatikale baseeruvas kursuses käsitletakse pikemalt ning aeglasemas tempos liht- ja

liitintresside arvutamisega seonduvat. Laenude, liisingute ning hoiustega seonduvates teemades

püütakse maksimaalselt vältida matemaatilist keerukust, keskenduda püütakse pankade

2

internetilehekülgedel leiduva informatsiooni ning mitmesuguste laenukalkulaatorite

kasutusvõimaluste tutvustamisele.

Järgnevalt esitame nii laiale kui ka kitsale matematikale baseeruvate kursuste laiendatud

aineprogrammi.

3

Laiale matemaatikale baseeruv finantsmatemaatika kursus

12 tundi

I. Kaks olulist finantsmatemaatika printsiipi. Liht- ja liitintressid, nende arvutamine.

Raha nüüdisväärtus ja tähtpäevaväärtus. Diskonteerimine. Maksete asendamine ja

ühendamine. (4 tundi)

Õpetamise eesmärgid, õpitulemused ja teema olulisuse kirjeldus:

1. Õpilane mõistab kahte olulisemat finantsmatemaatika printsiipi: sama nominaal- ehk

nimiväärtusega raha reaalse väärtuse erinevust erinevatel ajamomentidel ning finantsilise

ekvivalentsuse printsiipi.

2. Õpilane teab põhimõisteid (liht- ja liitintress, intressimäär, intresside lisamine

põhisummale ehk kapitalisatsioon, lihtne diskonteerimine, tehingu põhisumma ehk

nimiväärtus ning lõppsumma ehk tähtpäevaväärtus ehk tulevikuväärtus, raha nüüdisväärtus,

raha ajaväärtus, fookuspäev, võlakiri, lihtne diskonteerimine, diskonto).

3. Õpilane oskab arvutada liht- ja liitintressi erinevalt antud ajaperioodide (aastates,

kvartalites, kuudes, päevades) ja erineva ajaperioodi kohta antud intressimäära korral; oskab

arvutada liitintressi erinevate kapitalisatsiooniperioodide korral.

4. Õpilane oskab arvutada võlakirja tähtpäevaväärtust ja nimiväärtust, oskab arvutada

võlakirja hetkeväärtust selle lihtsal diskonteerimisel, oskab arvutada diskontot.

5. Õpilane oskab etteantud maksegraafikut asendada uue maksegraafikuga.

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: protsendi mõiste, selle arvutamine.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse koduse kontrolltööga.

Õppesisu:

1. tund.

Sissejuhatuseks tuleks selgitada finantsmatemaatika olulisust igapäevases elus. Võib esitada ühe

näite õpiku sissejuhatuses esitatud probleemidest.

Seejärel kirjeldada kahte finantsmatemaatika olulist printsiipi. Finantsilise ekvivalentsuse

printsiibi juures võiks rõhutada ka selle suhtelisust: finantsilise ekvivalentsuse määrab turul

4

kehtiv või lepingupoolte vahel kokkulepitud intressimäär, mis võib sama tüüpi tehingute korral

olla erinevates pankades või erinevate lepinguosaliste puhul erinev.

Järgnevalt tuleks meelde tuletada raha lõppsumma arvutamise valemid liht- ja liitintresside

korral:

(1 )S P r t , (1 )nS P i

(vt valemid (2.2.7) ja (2.4.1) õpikust) ning esitada ka vastavad intresside arvutusvalemid

I P r t , (1 ) 1 .nI P i

Näitena võiks lahendada ülesande:

Näide 2.1.1. Investeeringu põhisumma või nimiväärtus on 10 000 EUR-i. Kui suur on selle

investeeringu lõppsumma ehk tähtpäevaväärtus 2 aasta pärast ning kui suur on intress, kui

a) aastane intressimäär r on 10% ning intressi arvutatakse lihtintresside reegli järgi,, st

intressid makstakse iga aasta lõpus välja,

b) aastane intressimäär i on 10% ning intressid lisatakse kontole iga aasta lõpus?

Lahendus.

Lahenduse juures tutvustada ka mõisteid põhisumma või nimiväärtus ning lõppsumma ehk

tähtpäevaväärtus ehk tulevikuväärtus.

a) 10000 (1 0,1 2) 12000S EUR-i; intress 12000 10000 2000I EUR-i

b) 210000 (1 0,1) 12100S EUR-i; ; intress 12100 10000 2100I EUR-i.

Järgnevalt tutvustada intresside arvutamist, kui ajaperiood on antud päevades, kuudes, kvartalites

või kui ajaperiood on antud algus- ja lõppkuupäevaga ning intressimäär on antud aastast erineva

ajaperioodi kohta. Soovitame valida lahendamiseks järgmiste näidetes esitatud ülesanded toodud

järjekorras: näide 2.2.5 (valida alaülesannetest üks, näiteks b)), näide 2.2.4, näide 2.2.14, näide

2.4.2.

Vaadelda liitintresside puhul lõppsumma arvutamist juhul, kui intressimäär on antud

kapitalisatsiooniperioodi pikkusest erineva ajaperioodi kohta. Soovitame lahendada näites 2.4.6

esitatud ülesanne.

5

Järgnevalt võrrelda liht- ja liitintressi intressimäära ja põhisumma samade väärtuste korral aastast

lühemate ja aastast pikemate tähtaegade korral; näidata vastavat animatsiooni. Seejärel

soovitame lahendada näites 2.4.16 esitatud ülesanne.

Kui jääb veel aega, võib lahendada ülesandeid tehingu tähtaja, intressimäära ja põhisumma

leidmise kohta, kui ülejäänud komponendid on antud.

2. tund.

Selgitada raha nüüdisväärtuse ja raha ajaväärtuse mõistet. Selleks kasutada näidet 2.2.15.

Siinkohal rõhutada, et rahasummade ekvivalentsus erinevatel ajahetkedel on määratud vaid

kokkulepitud või turul kehtiva intressimäära kaudu. Veel kord tuletada meelde selle mõiste

suhtelisust, mida sai kirjeldatud juba esimeses tunnis. Samuti tuua esile, et arvesse pole võetud

inflatsiooni.

Erinevatel ajahetkedel tehtavate maksete võrdlemist võib kirjeldada näitega 2.2.17.

Tutvustada mõistet fookuspäev. Selgitada antud maksegraafiku asendamist ekvivalentse

maksegraafikuga näidete 2.2.19 ja 2.4.12 abil. Märkida ära, et lihtintresside puhul oleneb

tulemus vähesel määral kokkulepitud fookuspäevast, liitintresside puhul aga mitte. Kui jääb veel

aega, siis lahendada toodud näidetega sarnaseid ülesandeid antud teemade lõppu lisatud

ülesannete osast.

3. tund.

Kirjeldada lihtsat diskonteerimist nii liht- kui ka liitintresside korral. Esitada võlakirja mõiste

(intressi kandvad ja intressi mittekandvad võlakirjad) ning sellega seonduvad mõisted. Märkida,

et võlakirja nimiväärtuse ning tähtpäevaväärtuse arvutamine toimub tavaliste finantstehingu

nüüdisväärtuse ja tähtpäevaväärtuse arvutamise valemite järgi. Õpilastele võib soovitada

iseseisvalt läbi töötada näited 2.3.1-2.3.3.

Selgitada harilikku diskonteerimist; valida näited 2.3.4 ja 2.4.10 või nendes näidetes esitatud

ülesannetega analoogilised ülesanded

Rõhutada, et investori tulu intressi mittekandva võlakirja korral tuleneb sellest, et investor

maksab võlakirja väljaandjale nimiväärtusest (mis on võrdne tähtpäevaväärtusega) mingi

protsendi võrra väiksema summa ehk teisiti öeldes võlakirja nüüdisväärtus selle väljalaske

kuupäeval on väiksem võlakirja nimiväärtusest. Sisuliselt toimub juba väljaandmise kuupäeval

6

nimiväärtuse diskonteerimine võlakirja väljaandja ja võlakirja saaja vahel kokku lepitud

intressimäära abil.

Samuti peaks rõhutama, et, kui võlakiri diskonteeritakse mingil kuupäeval väljalaske kuupäeva

ja võlakirja perioodi lõpukuupäeva vahel, siis diskonteerimine toimub sel kuupäeval turul

kehtiva intressimäära järgi, mitte võlakirjale märgitud intressimäära järgi.

Kui aega jääb üle, siis lahendada mõni ülesanne diskonteerimise kohta antud teema lõpus

esitatud ülesannete valikust.

4. tund.

Ülesannete lahendamine esimeses kolmes tunnis läbi võetud teemade kohta. Anda kodune

kontrolltöö esimese kolme tunni materjali kohta.

II. Maksud ja inflatsioon. (1 tund)


1. Õpilane teab põhimõisteid (investeeringu nominaalne tulevikuväärtus ja

puhastulevikuväärtus, inflatsiooni ja deflatsiooni mõisted, hoiuse või investeeringu reaalne

tulevikuväärtus, reaalne ja nominaalne juurdekasv hinnaindeks, inflatsiooni tempo).

2. Õpilane oskab arvutada investeeringu puhastulevikuväärtust, kus saadud intressidelt on

maksud maha arvutatud (nii liht- kui ka liitintresside korral) ning reaalset tulevikuväärtust,

kus inflatsioon või deflatsioon on arvesse võetud, oskab arvutada hinnaindeksit ja

inflatsioonitempot.

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: investeeringu lõppsumma ja intresside

arvutamise valemid nii liht- kui ka liitintresside korral.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse koduse tööga.

Õppesisu:

5. tund.

Investeeringu puhastulevikuväärtuse arvutamine, arvestades intressidelt tasutavat maksu (nii liht-

kui ka liitintresside korral). Selgitada näite 2.5.1 abil.

Selgitada inflatsiooni ja deflatsiooni ning hinnaindeksi mõisteid. Selgitada investeeringu või

hoiuse reaalse tulevikuväärtuse arvutamist. Selgitada näite 2.5.2 abil.

7

Kirjeldada inflatsioonitempo mõistet. Lahendada valikuliselt näidetes 2.5.3 -2.5.5 esitaud

ülesanded või nendele analoogsed ülesanded teema lõpul esitatud ülesannete valikust.

Anda koduülesanne, milles õpilased peavad leidma lahenduse reaalsetele andmetele tuginedes.

III. Lihtne tavaannuiteet ja lihtne avanssannuiteet. Nende tulevikuväärtused ja

nüüdisväärtused. Perpetuiteet. Laenu kustutamine võrdsete osamaksetega. Liisingud.

Krediitkaardid, kiirlaenud. Erinevate laenude võrdlemine. Krediidi kulukuse määr.

Hüpoteek. Hoiused, säästmine (6 tundi).


1. Õpilane teab põhimõisteid (lihtne tavaannuiteet ja lihtne avanssannuiteet, nende tuleviku-

ja nüüdisväärtused, perpetuiteet, liising, krediidi kulukuse määr, hüpoteek, EURIBOR,

arvelduskonto, tähtajaline hoius).

2. Õpilane oskab arvutada tavaannuiteedi tuleviku- ja nüüdisväärtust, oskab tavaannuiteedi

arvutusvalemeid kasutada rakendusliku sisuga ülesannete lahendamisel, oskab arvutada

perpetuiteedi nüüdisväärtust,

3. Õpilane oskab arvutada tavaannuiteedina kustutatava laenu osamakse suurust, kui

laenutähtaeg on teada, oskab arvutada kogu laenu kustutamiseks kuluvat nominaalset

rahasummat ning nominaalset intressi, laenujääki peale k-ndat osamakset, k-nda osamakse

laenu nimiväärtuse kustutamiseks minevat osa ning intressi; oskab arvutada laenumaksete

graafikut.

4. Õpilane oskab arvutada liisingu osamakse suurust erinevate variantide korral.

Õpilane teab, kuidas kasutada pankade laenukalkulaatoreid laenude ja liisingute osamaksete,

intressikulu, tulumaksutagastuse ning laenugraafikute leidmiseks erineva intressimäära ja

tähtaja puhul, oskab laenukalkulaatorite abil leida maksimaalset võimalikku laenatavat

summat, lähtudes sissetulekust ning ülalpeetavate arvust. Oskab kasutada pankade

õppelaenukalkulaatorit, väikelaenukalkulaatorit, püsimaksega krediitkaardi kalkulaatorit

ning järelmaksukalkulaatorit.

6. Õpilane oskab hinnata laenuintressi muutuse mõju laenukuludele, oskab võrrelda

erinevate laenude nagu krediitkaardi, järelmaksu ning sms-laenu erinevusi; oskab võrrelda

tavalist arvelduskontot ja tähtajalist hoiust ning teab, kuidas pankade internetilehekülgedelt

leida arvelduskonto ning erinevate tähtajaliste hoiuste intressimäärasid.

8

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: investeeringu nüüdis- ja tulevikuväärtuse

arvutamise valemid.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse auditoorse kontrolltööga.

Õppesisu:

6. tund.

Selgitada lihtsa tava- ja avanssannuiteedi mõisteid ning tuletada valemid nende nüüdis- ja

tulevikuväärtuste arvutamiseks. Lahendada näidetes 2.6.1, 2.6.2, 2.6.7 ning 2.6.12 antud või

nendega analoogilised ülesanded. Viimases näites toodud ülesandes saab arutleda erinevate

investeerimisvariantide kasulikkuse üle (vt Märkus 2.6.3).

Kirjeldada perpetuiteedi mõistet ja illustreerida seda näites 2.6.13 esitatud ülesande või sellega

analoogse ülesandega.

7. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Kirjeldada laenu kustutamist võrdsete osamaksete meetodil,

kasutades vaid esimest varianti, milles kõigepealt määratakse kindlaks laenutähtaeg ja seejärel

arvutatakse osamakse suurus, mis täielikult kustutab kogu võla valitud tähtaja lõpuks. Lahendada

näites 2.7.1 esitatud või sellega analoogne ülesanne. Seejärel näites 2.7.2 esitatud ülesande või

sellega analoogse ülesande näitel selgitada laenugraafiku koostamise põhimõtet. Selgitada

pankade koduleheküljel paiknevate laenukalkulaatorite kasutamise võimalusi

8. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Liisingud. Kirjeldada liisinguga seotud põhimõisteid ning

arvutusvalemeid. Ajapuudusel ei ole vaja tuletada kõiki õpikus antud valemeid (2.7.8)- (2.7.12).

Valikuliselt võiks lahendada näidetes 2.7.5 – 2.7.8 esitatud ülesannetest või nendega

analoogilistest ülesannetest näiteks vaid kaks ülesannet. Selgitada pankade koduleheküljel

paiknevate liisingukalkulaatorite kasutamise võimalusi.

9. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Krediitkaardid, kiirlaenud Laenude võrdlemine. Näidetele

2.7.9 ja 2.7.10 tuginedes selgitada krediitkartide ja sms-laenudega seonduvat. Loomulikult võib

õpikus esitatud kiirlaenufirma Smsraha andmete asemele leida internetist ka mingi muu

kiirlaenufirma andmed. Samuti tuleb arvestada, et internetilehekülgedelt kopeeritud andmed on

9

õppevahendi kirjutamise hetkel kehtinud seisuga. Ajaks, mil antud teema tuleb käsitlemisele

tunnis, võivad andmed olla loomulikult muutunud.

Kirjeldada krediidi kulukuse määra mõistet, mis on erinevate laenupakkumiste võrdlemisel eriti

olulise tähtsusega. Lahendada näites 2.7.11 esitatud või sellega analoogne ülesanne. Rõhutada

antud mõiste erilist kohta laenupakkumiste võrdlemisel.

Lahendada näites 2.7.13 esitatud või sellega analoogne ülesanne. Ülesanne võimaldab selgitada,

kuidas laenu intressimäära väikene tõus võib pikaajaliste laenude puhul põhjustada laenu

kustutamiseks makstavate intresside küllaltki suure tõusu.

Kirjeldada hüpoteeki ja sellega seonduvaid probleeme (vt märkus 2.7.1).

10. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Lahendada näites 2.7.14 esitatud või sellega analoogne

ülesanne sms-laenu, krediitkaart ja järelmaksu võrdluse kohta. Juhtida õpilase järeldusele, et

sms-laen on teiste laenuvõimalustega võrreldes äärmiselt kahjulik ( vt märkused 2.72 ja 2.7.3).

Kirjeldada hoiuste ja säästmisega seonduvat. Lahendada näites 2.7.15 esitatuga analoogne

ülesanne, võttes vastavad intressimäärad mingi panga koduleheküljelt.

11. tund.

Ülesannete lahendamine eelnevas viies tunnis läbi võetud teemade (annuiteedid, laenud,

liisingud, hoiused, säästmine) kohta.

12. tund.

Auditoorne kontrolltöö finantsmatemaatika kõigi läbitud teemade kohta.

10

Kitsale matemaatikale baseeruv finantsmatemaatika kursus

12 tundi

I. Kaks olulist finantsmatemaatika printsiipi. Lihtintressid, nende arvutamine. Raha

nüüdisväärtus ja tähtpäevaväärtus. Maksete asendamine ja ühendamine.

Diskonteerimine. (3 tundi)


1. Õpilane mõistab kahte olulisemat finantsmatemaatika printsiipi: sama nominaal- ehk

nimiväärtusega raha reaalse väärtuse erinevust erinevatel ajamomentidel ning finantsilise

ekvivalentsuse printsiipi.

2. Õpilane teab põhimõisteid (lihtintress, intressimäär, lihtne diskonteerimine, tehingu

põhisumma ehk nimiväärtus ning lõppsumma ehk tähtpäevaväärtus ehk tulevikuväärtus,

raha nüüdisväärtus, raha ajaväärtus, fookuspäev, võlakiri, lihtne diskonteerimine, diskonto).

3. Õpilane oskab arvutada lihtintressi erinevalt antud ajaperioodide (aastates, kvartalites,

kuudes, päevades) ja erineva ajaperioodi kohta antud intressimäära korral.

4. Õpilane oskab arvutada võlakirja tähtpäevaväärtust ja nimiväärtust, oskab arvutada

võlakirja hetkeväärtust selle lihtsal diskonteerimisel, oskab arvutada diskontot.

5. Õpilane oskab etteantud maksegraafikut asendada uue maksegraafikuga.



Õppesisu:

1. tund.

Sissejuhatuseks tuleks selgitada finantsmatemaatika olulisust igapäevases elus. Võib esitada ühe

näite õpiku sissejuhatuses esitatud probleemidest 2.0.1 -2.0.3.

Seejärel kirjeldada kahte finantsmatemaatika olulist printsiipi. Finantsilise ekvivalentsuse

printsiibi juures võiks rõhutada ka selle suhtelisust: finantsilise ekvivalentsuse määrab turul

kehtiv või lepingupoolte vahel kokkulepitud intressimäär, mis võib sama tüüpi tehingute korral

olla erinevates pankades või erinevate lepinguosaliste puhul erinev.

Järgnevalt tuleks kirjeldada lihtintresside arvutamise valemit (vt valemit (2.2.1) õpikust)

11

I P r t

(vt valemid (2.2.7) ja (2.4.1) õpikust).

Järgnevalt tutvustada intresside arvutamist, kui ajaperiood on antud päevades, kuudes, kvartalites

või kui ajaperiood on antud algus- ja lõppkuupäevaga ning intressimäär on antud aastast erineva

ajaperioodi kohta. Soovitame valida lahendamiseks järgmiste näidetes esitatud ülesanded toodud

järjekorras: näide 2.2.2 (valida alaülesannetest üks, näiteks b)), näide 2.2.4, näide 2.2.5 (valida

alaülesannetest üks, näiteks b)), näide 2.2.6.

Kirjeldada lõppsumma arvutamise valemit (vt valem (2.2.7) õpikust)

(1 ).S P r t

Lahendada näidetes 2.2.12 ja 2.2.14 esitatud või nendega sarnased ülesanded.

2. tund.

Selgitada raha nüüdisväärtuse ja raha ajaväärtuse mõistet. Selleks kasutada näidet 2.2.15.

Siinkohal rõhutada, et rahasummade ekvivalentsus erinevatel ajahetkedel on määratud vaid

kokkulepitud või turul kehtiva intressimäära kaudu. Veel kord tuletada meelde selle mõiste

suhtelisust, mida sai kirjeldatud juba esimeses tunnis. Samuti tuua esile, et arvesse pole võetud

inflatsiooni.

Erinevatel ajahetkedel tehtavate maksete võrdlemist võib kirjeldada näitega 2.2.17.

Tutvustada mõistet fookuspäev. Selgitada antud maksegraafiku asendamist ekvivalentse

maksegraafikuga näidete 2.2.19 ja 2.2.20 abil. Märkida ära, et lihtintresside puhul oleneb

tulemus vähesel määral kokkulepitud fookuspäevast. Kui jääb veel aega, siis lahendada toodud

näidetega sarnaseid ülesandeid antud teemade lõppu lisatud ülesannete osast.

3. tund.

Kirjeldada lihtsat diskonteerimist. Esitada võlakirja mõiste (intressi kandvad ja intressi

mittekandvad võlakirjad) ning sellega seonduvad mõisted. Märkida, et võlakirja nimiväärtuse

ning tähtpäevaväärtuse arvutamine toimub tavaliste finantstehingu nüüdisväärtuse ja

tähtpäevaväärtuse arvutamise valemite järgi. Lahendada näites 2.3.1 esitatud või sellega sarnane

ülesanne

Selgitada harilikku diskonteerimist; lahendada näidetes 2.3.4 ja 2.3.5 esitatud või nendega

sarnased ülesanded.

12

Rõhutada, et investori tulu intressi mittekandva võlakirja korral tuleneb sellest, et investor

maksab võlakirja väljaandjale nimiväärtusest (mis on võrdne tähtpäevaväärtusega) mingi

protsendi võrra väiksema summa ehk teisiti öeldes võlakirja nüüdisväärtus selle väljalaske

kuupäeval on väiksem võlakirja nimiväärtusest. Sisuliselt toimub juba väljaandmise kuupäeval

nimiväärtuse diskonteerimine võlakirja väljaandja ja võlakirja saaja vahel kokku lepitud

intressimäära abil.

Samuti peaks rõhutama, et, kui võlakiri diskonteeritakse mingil kuupäeval väljalaske kuupäeva

ja võlakirja perioodi lõpukuupäeva vahel, siis diskonteerimine toimub sel kuupäeval turul

kehtiva intressimäära järgi, mitte võlakirjale märgitud intressimäära järgi.

Kui aega jääb üle, siis lahendada mõni ülesanne diskonteerimise kohta antud teema lõpus

esitatud ülesannete valikust.

II. Liitintressid, nende arvutamine. Raha nüüdisväärtuse ja tähtpäevaväärtuse arvutamine,

Lihtne diskonteerimine ning maksete asendamine ja ühendamine liitintresside korral. (3

tundi)


1. Õpilane teab põhimõisteid (liitintress, intresside lisamine põhisummale ehk

kapitalisatsioon).

2. Õpilane oskab arvutada liitintressi erinevalt antud ajaperioodide (aastates, kvartalites,

kuudes, päevades) ja erineva ajaperioodi kohta antud intressimäära korral; oskab arvutada

liitintressi erinevate kapitalisatsiooniperioodide korral.

3. Õpilane oskab liitintresside korral arvutada võlakirja tähtpäevaväärtust ja nimiväärtust,

oskab arvutada võlakirja hetkeväärtust selle lihtsal diskonteerimisel, oskab arvutada

diskontot.

4. Õpilane oskab liitintresside korral etteantud maksegraafikut asendada uue

maksegraafikuga.


Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse koduse kontrolltööga, mis

sisaldab ülesandeid ka esimese kolme õppetunni teemadel.

Õppesisu:

13

4. tund.

Tuletada raha lõppsumma ja intresside arvutamise valemid (vt valemeid ja (2.4.1) ja (2.4.3)

õpikust)

(1 ) ,nS P i (1 ) 1 .nI P i

Kirjeldada intresside lisamise ehk kapitalisatsiooni mõistet. Rõhutada, et esitatud valemite

kasutamisel tuleb alati jälgida, et intressimäär i oleks alati antud kapitalisatsiooniperioodi kohta

(vt õpiku märkust 2.4.1). Lahendada näidetes 2.4.1 ja 2.42 esitatud või nendega sarnased

ülesanded.

Vaadelda liitintresside puhul lõppsumma arvutamist juhul, kui intressimäär on antud

kapitalisatsiooniperioodi pikkusest erineva ajaperioodi kohta. Soovitame valikuliselt lahendada

näites 2.4.7 esitatud ülesanded (valida näiteks b) ja d)).

Järgnevalt võrrelda liht- ja liitintressi intressimäära ja põhisumma samade väärtuste korral aastast

lühemate ja aastast pikemate tähtaegade korral; näidata vastavat animatsiooni. Seejärel

soovitame lahendada näites 2.4.16 esitatud ülesanne.

Kirjeldada nüüdisväärtuse arvutamist ja lihtsat diskonteerimist liitintresside korral; lahendada

näidetes 2.4.9 ja 2.4.10 esitatud või nendega sarnased ülesanded.

5. tund.

Selgitada antud maksegraafiku asendamist ekvivalentse maksegraafikuga näidete 2.4.11 ja 2.4.12

abil. Märkida ära, et erinevalt lihtintresside juhust liitintresside puhul tulemus ei olene

kokkulepitud fookuspäevast. Kui jääb veel aega, siis lahendada toodud näidetega sarnaseid

ülesandeid antud teemade lõppu lisatud ülesannete osast.

6. tund.

Ülesannete lahendamine esimeses viies tunnis läbi võetud teemade kohta.

Anda kodune kontrolltöö esimese viie tunni materjali kohta.

III. Maksud ja inflatsioon. (1 tund)


14

1. Õpilane teab põhimõisteid (investeeringu nominaalne tulevikuväärtus ja

puhastulevikuväärtus, inflatsiooni ja deflatsiooni mõisted, hoiuse või investeeringu reaalne

tulevikuväärtus, reaalne ja nominaalne juurdekasv hinnaindeks, inflatsiooni tempo).

2. Õpilane oskab arvutada investeeringu puhastulevikuväärtust, kus saadud intressidelt on

maksud maha arvutatud (nii liht- kui ka liitintresside korral) ning reaalset tulevikuväärtust,

kus inflatsioon või deflatsioon on arvesse võetud, oskab arvutada hinnaindeksit ja

inflatsioonitempot.

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: investeeringu lõppsumma ja intresside

arvutamise valemid nii liht- kui ka liitintresside korral.


Õppesisu:

7. tund.

Investeeringu puhastulevikuväärtuse arvutamine, arvestades intressidelt tasutavat maksu (nii liht-

kui ka liitintresside korral). Piirduda ainult valemitega (2.5.1) – (2.5.5). Selgitada näite 2.5.1 abil

(võib jätta leidmata maksud iga aasta kohta).

Selgitada inflatsiooni ja deflatsiooni ning hinnaindeksi mõisteid. Selgitada investeeringu või

hoiuse reaalse tulevikuväärtuse arvutamist. Selgitada näite 2.5.2 abil.

Kirjeldada inflatsioonitempo mõistet. Lahendada valikuliselt näidetes 2.5.3 -2.5.5 esitaud või

nendega analoogsed ülesanded teema lõpul esitatud ülesannete valikust.

Anda koduülesanne, milles õpilased peavad leidma lahenduse reaalsetele andmetele tuginedes.

IV. Lihtne tavaannuiteet ja lihtne avanssannuiteet. Nende tulevikuväärtused ja

nüüdisväärtused. Laenu kustutamine võrdsete osamaksetega. Liisingud.

Krediitkaardid, kiirlaenud. Erinevate laenude võrdlemine. Krediidi kulukuse määr.

Hüpoteek. Hoiused, säästmine (5 tundi).


1. Õpilane teab põhimõisteid (lihtne tavaannuiteet ja lihtne avanssannuiteet, nende tuleviku-

ja nüüdisväärtused, liising, krediidi kulukuse määr, hüpoteek, EURIBOR, arvelduskonto,

tähtajaline hoius).

15

2. Õpilane oskab arvutada tavaannuiteedi tuleviku- ja nüüdisväärtust, oskab tavaannuiteedi

arvutusvalemeid kasutada rakendusliku sisuga ülesannete lahendamisel,

3. Õpilane oskab arvutada tavaannuiteedina kustutatava laenu osamakse suurust, kui

laenutähtaeg on teada, oskab arvutada kogu laenu kustutamiseks kuluvat nominaalset

rahasummat ning nominaalset intressi, oskab arvutada laenumaksete graafikut.

4. Õpilane oskab arvutada liisingu osamakse suurust erinevate variantide korral.

Õpilane teab, kuidas kasutada pankade laenukalkulaatoreid laenude ja liisingute osamaksete,

intressikulu, tulumaksutagastuse ning laenugraafikute leidmiseks erineva intressimäära ja

tähtaja puhul, oskab laenukalkulaatorite abil leida maksimaalset võimalikku laenatavat

summat, lähtudes sissetulekust ning ülalpeetavate arvust. Oskab kasutada pankade

õppelaenukalkulaatorit, väikelaenukalkulaatorit, püsimaksega krediitkaardi kalkulaatorit

ning järelmaksukalkulaatorit.

5. Õpilane oskab hinnata laenuintressi muutuse mõju laenukuludele, oskab võrrelda

erinevate laenude nagu krediitkaardi, järelmaksu ning sms-laenu erinevusi; oskab võrrelda

tavalist arvelduskontot ja tähtajalist hoiust ning teab, kuidas pankade internetilehekülgedelt

leida arvelduskonto ning erinevate tähtajaliste hoiuste intressimäärasid.

Vajalike eelteadmiste kirjeldus ja põhimõisted: investeeringu nüüdis- ja tulevikuväärtuse

arvutamise valemid.

Soovitused hindamise osas: vastavaid teadmisi ja oskusi kontrollitakse auditoorse kontrolltööga.

Õppesisu:

8. tund.

Selgitada lihtsa tava- ja avanssannuiteedi mõisteid ning esitada ilma tuletuskäiguta valemid

nende nüüdis- ja tulevikuväärtuste arvutamiseks. Lahendada näidetes 2.6.1, 2.6.2, 2.6.7 ning

2.6.12 antud või nendega analoogilised ülesanded. Viimases näites toodud ülesandes saab

arutleda erinevate investeerimisvariantide kasulikkuse üle (vt Märkus 2.6.3).

Kirjeldada laenu kustutamist võrdsete osamaksete meetodil, kasutades vaid esimest varianti,

milles kõigepealt määratakse kindlaks laenutähtaeg ja seejärel arvutatakse osamakse suurus, mis

täielikult kustutab kogu võla valitud tähtaja lõpuks. Piirduda vaid osamakse suuruse, laenu

kustutamiseks mineva nominaalse rahasumma ja kogu laenu kustutamiseks makstud nominaalse

intressi leidmisega.

16

9 tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Lahendada näites 2.7.1 esitatud ülesande osad a), b) ja c) või

sellega analoogne ülesanne. Seejärel näites 2.7.2 esitatud ülesande või sellega analoogse

ülesande näitel selgitada laenugraafiku koostamise põhimõtet. Selgitada pankade koduleheküljel

paiknevate laenukalkulaatorite kasutamise võimalusi.

Kirjeldada liisinguga seotud põhimõisteid ning arvutusvalemeid. Ajapuudusel ei ole vaja tuletada

kõiki õpikus antud valemeid (2.7.8)- (2.7.12). Valikuliselt võiks lahendada näidetes 2.7.5 – 2.7.8

esitatud ülesannetest või nendega analoogilistest ülesannetest näiteks vaid kaks ülesannet.

10. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Selgitada pankade koduleheküljel paiknevate

liisingukalkulaatorite kasutamise võimalusi.

Tutvustada krediitkaartide ja kiirlaenudega seonduvat näidete 2.7.9 ja 2.7.10 abil. Arvutiklassis

Loomulikult võib õpikus esitatud kiirlaenufirma Smsraha andmete asemele leida internetist ka

mingi muu kiirlaenufirma andmed. Samuti tuleb arvestada, et internetilehekülgedelt kopeeritud

andmed on õppevahendi kirjutamise hetkel kehtinud seisuga. Ajaks, mil antud teema tuleb

käsitlemisele tunnis, võivad andmed olla loomulikult muutunud.

Kirjeldada krediidi kulukuse määra mõistet, mis on erinevate laenupakkumiste võrdlemisel eriti

olulise tähtsusega. Lahendada näites 2.7.11 esitatud või sellega analoogne ülesanne. Rõhutada

antud mõiste erilist kohta laenupakkumiste võrdlemisel.

11. tund.

Tund võiks toimuda arvutiklassis. Lahendada näites 2.7.13 esitatud või sellega analoogne

ülesanne. Ülesanne võimaldab selgitada, kuidas laenu intressimäära väikene tõus võib

pikaajaliste laenude puhul põhjustada laenu kustutamiseks makstavate intresside küllaltki suure

tõusu.

Kirjeldada hüpoteeki ja sellega seonduvaid probleeme (vt märkus 2.7.1).

Lahendada näites 2.7.14 esitatud või sellega analoogne ülesanne sms-laenu, krediitkaart ja

järelmaksu võrdluse kohta. Juhtida õpilase järeldusele, et sms-laen on teiste laenuvõimalustega

võrreldes äärmiselt kahjulik ( vt märkused 2.72 ja 2.7.3).

17

Kirjeldada hoiuste ja säästmisega seonduvat. Lahendada näites 2.7.15 esitatuga analoogne

ülesanne, võttes vastavad intressimäärad mingi panga koduleheküljelt.

12. tund.

Auditoorne kontrolltöö finantsmatemaatika kõigi läbitud teemade kohta.

Ülesannete vastused ja lahendused.

2.2.1. a) 0,065;r 2,5.t

b) esimene võimalus: ühe kuu intressimäär 0,036

0,012;3

r aeg kuudes 11;t

teine võimalus: aasta intressimäär 4 0,036 0,0144;r aeg aastates 11

.12

t

c) aasta intressimäär 12 0,01 0,12;r aeg aastates 135

.360

t

d) esimene võimalus: aasta intressimäär 2 0,045 0,09;r aeg aastates 9

1 1,75;12

t

teine võimalus: kvartali intressimäär 0,045

0,0225;2

r aeg kvartalites 7.t

2.2.2. a) Alguskuupäev 28. jaanuar - võetakse arvesse; lõppkuupäeva 14. mai - ei arvestata.

Päevade arv: jaanuaris, 14, veebruaris 28, märtsis 31, aprillis 30, mais 9; Kokku 112 päeva.

b) 159 päeva (arvestada, et liigaasta tõttu on veebruaris 29 päeva).

c) 284 päeva.

2.2.3. Kasutada valemit (2.2.1)

a) 5000 0,07 2I P r t 700 EURi.

b) 0,026

350 53

I 15,17 EURi.

c) 123

1650 (12 0,012)360

I 81,18 EURi.

18

d) 0,065

4200 206

I 910 EURi.

2.2.4. Kasutada valemeid (2.2.1) ja (2.2.2).

a) Antud perioodi päevade arv on 284, siis 284

2500 0,105 207,08360

I EURi. b)

1882500 0,095 124,03

360I EURi. c)

214424,23 0,1275 32,15

360I EURi.

2.2.5. Päevade arv ajavahemikus 06.05.2011 - 30.09.2011 on 148 (siin 30. september on

sisse arvestatud, sest investeering ei lõpe selle kuupäevaga), ajavahemikus 01.10.2011 -

03.02.2012 on 126 päeva ja ajavahemikus 04.02.2012 - 12.04.2012 0n 68 päeva (siin 12. aprill

on välja jäetud, sest see on investeeringu viimane päev). Siis

14818000 0,1

360I

12618000 0,105

360

6818000 0,11

360 1775,5 EURi.

2.2.6. 1. 58

1210,445

0,11512

IP

r t

EURi.

2. 250 256,25 360

256,25 0,1025 3600360 0,1025 250

I P r t P P

EURi.

3. 335 200 360

200 3000 0,0716360 3000 335

I P r t r r

.

4. . 75

0,084811

96512

Ir

P t

.

5. 136,34

136,34 954 0,1225 1,16660,1225 954

I P r t t t

aastat 14 kuud.

6. 95

1,257775 0,0975

It

P r

aastat 1,257 360 453 päeva.

2.2.7. 63

90,025

12

IP

r t

3360 EURi.

2.2.8. 80

0,1182325

750360

Ir

P t

.

2.2.9. 50

1,19048350 0,12

It

P r

aastat 1,19048 360 429 päeva.

2.2.10. a) 2600 220 2820S EURi.

19

b) 1730 1500 230I EURi.

c) 3200 450 2750P EURi.

2.2.11. Kasutada valemit (2.2.7).

a) 9

(1 ) 1400 1 0,0912

S P r t

1494,5 EURi.

b) 135

1400 1 0,09360

S

1447,25 EURi.

2.2.12. Valemiga (2.2.7) arvutame203

650 1 0,095 684,82360

S

EURi (investeerimis-

perioodi pikkus on 203 päeva).

2.2.13. Investeeringu erinevate osaperioodide ajaline kestus on vastavalt 98, 100 ja 109 päeva. Kasutame valemeid (2.2.1) ja (2.2.2).

a) Erinevate osaperioodide intressid on vastavalt

1

982000 0,08 43,56

360I EURi,

2

100(2000 3000) 0,08 111,11

360I EURi,

2

109(2000 3000 5000) 0,08 242,22

360I EURi,

seega investeeringu koguintress on 396,89 EURi ja tähtpäevaväärtus 10 396,89 EURi.

b) Erinevatele intressimääradele vastavatel perioodidel kogutud intressid on vastavalt

1

(98 100 109)2000 0,07 119,39

360I

EURi,

2

(100 109)3000 0,08 139,33

360I

EURi,

2

1095000 0,095 143,82,

360I EURi,

seega investeeringu koguintress on 402,54 EURi ja tähtpäevaväärtus 10 402,54 EURi.

2.2.14. Perioodide 02.03-06.06, 06.06-03.07, 03.07-08.09 ning 08.09-22.12 ajaline kestus päevades on vastavalt 96, 27, 67 ja 104. Valemeid (2.2.1) ja (2.2.2) kasutades

saame arvutada neile perioodidele vastavad intressid:

1

961500 0,082 32,8

360I EURi,

2

27(1500 4000) 0,082 33,83

360I EURi,

20

3

67(1500 4000 1800) 0,082 56,47

360I EURi,

4

104(1500 4000 1800 2300) 0,082 142,13

360I EURi.

Järelikult kõigi osaperioodide intressid kokku on 265,23 EURi. Kuna viimase perioodi algul on põhisumma 1500 4000 1800 2300 6000 EURi, siis konto seis 22. detsembril on

6265,23 EURi.

2.2.15. 7 3500

(1 ) 3500 1 0,09712

1 0,0912

S P r t P P

3325,42 EURi.

2.2.16. Et investeeringu kestus on 156 päeva, siis 12100

11549,481561

1 0,11360

SP

r t

EURi.

2.2.17. 1. 305,9

1511 0,12

12

SP

r t

266 EURi, intress 39,90 EURi.

2. 800 95 705P EURi, 95

350705

360

Ir

P t

13,86%;

3. 29,67

80,129

12

IP

r t

345 EURi, S = 374,67 EURi;

4. 365 45P 320 EURi, 45

320320

360

r

1,58%;

5. P = 678 EURi, 76

0,996395678 0,1125

It

P r

aastat .359 päeva;

6. Valemiga (2.2.8) arvutame:702

101 0,092

12

P

652,01 EURi, I = 49,99 EURi.

2.2.18. Laenates antud summa välja, saab Jürgen võlgnikult kolme kuu pärast tagasi (vt

valemi (2.2.7)) 3

450 1 0,14 465,7512

S

EURi. Järelikult on kasulikum pilet kohe välja

osta.

2.2.19. Valemiga (2.2.7) arvutame 5

400 1 0,12 42012

S

EURi.

2.2.20. Koostame järgneva skeemi (vt joonis 2.1) ning kasutame valemit (2.2.8):

21

Nüüd 3 kuud hiljem 6 kuud hiljem

fookuspäev

E1 600 EURi

E2 600 EURi

.

Joonis 2.1. Ülesande 2.2.20 lahendusskeem.

1

600585,37

31 0,1

12

E

, 2

600571,43

61 0,1

12

E

Järelikult täna peaks maksma 585,37 + 571,43 = 1156,80 EURi.

2.2.21. Koostame järgneva skeemi (vt joonis 2.2):

Fookuspäev

täna 2 kuud hiljem 3 kuud hiljem 6 kuud hiljem 9 kuud hiljem

1000 EURi E1

E2 2000 EURi


Pool aastat peale lepingu sõlmimist peaks Olav maksma summa (vt valemid (2.2.7) ja (2.2.8))

1 2

31000 1 0,14

12E E E

20002967,37

31 0,14

12

EURi.

Võla nimiväärtus

2967,372773,24

61 0,14

12

P

EURi.

3 kuud

3 kuud

22

2.2.22. Olgu teise tagasimakse suurus x. Koostame järgneva skeemi (vt joonis 2.3):

Fookuspäev

3 kuud varem täna 1 kuu hiljem 4 kuud hiljem

500 EURi E1

E2 = 800 EURi

E3 700 EURi

E4 x


Kuna laenumaksete summa 1 2E E fookuspäeval peab olema võrdne tagasimaksete summaga

3 4E E fookuspäeval, siis 1 2E E = 3 4 ,E E st saame võrrandi (vt valemid (2.2.7) ja (2.2.8))

3500 1 0,12 800

12

700

1 41 0,12 1 0,12

12 12

x

,

mille lahendiks on 646,81x EURi.

2.2.23. Olgu tagasimakse suurus x. Koostame lahendusskeemi (vt joonis 2.4). Kuna

esialgse maksegraafiku osamaksete summa fookuspäeval peab ühtima uue graafiku osamaksete

summaga fookuspäeval, siis saame võrrandi (vt valemid (2.2.7) ja (2.2.8))

100500 1 0,15

360

900

60 80 1501 0,15 1 0,15 1 0,15

360 360 360

x xx

,

mille lahendiks on x = 480,89.

Fookuspäev

100 päeva varem Täna 60 päeva hiljem

1 kuu 3 kuud

23

Esialgne

graafik 500 EUR-i E1

E2 900 EUR-i

Uus x

graafik E3 x

E4 x

Täna 80 päeva 150 päeva

hiljem hiljem


2.2.24. Olgu otsitavaks osamakseks x. Koostame järgneva lahendusskeemi (vt joonis

2.5).:

3000 EURi

E1 x

E2 x

E4 x

Täna 3 kuud hiljem 6 kuud hiljem 9 kuud hiljem


Saadud skeemi järgi koostame võrrandi (vt valemi (2.2.7)

3000 ,3 6 9

1 0,15 1 0,15 1 0,1512 12 12

x x x

mille lahendiks on x = 1074,13 EURi.

2.2.25. Koostame skeemi (vt joonis 2.2.6), millel näitame esialgselt planeeritud osamaksete

tähtpäevaväärtused S1 ja S2 lubatud maksepäevadel:

24

7 kuud täna 2 kuu 5 kuud

varem hiljem hiljem

1200 EURi S1

800 EURi S2

Joonis 2.6. Ülesande 2.2.25 esialgne plaan.

S1 = 9

(1 ) 1200 1 0,14 132612

P rt

EUR-i,

S2 = 800 1 0,14 1 912 EUR-i.

Maksetega S1 ja S2 vastavalt ekvivalentsed väärtused E1 ja E2 fookuspäeval näitame järgmisel

skeemil (vt joonis 2.7):

Fookuspäev

7 kuud varem täna 2 kuud hiljem 3 kuud hiljem 5 kuud hiljem

1326 EURi E1

E2 912 EURi

Joonis 2.7. Ülesande 2.2.25 esialgsete maksetega ekvivalentsed maksed fookuspäeval.

E1 = 1

1(1 ) 1326 1 0,1 1337,05

12S r t

EURi,

tr

SE

1

22

912897,05

21 0,1

12

EURi.

Seega Roobert saab 1337,05 + 897,05=2234, 10 EURi.

2.3.1. Intresside arvutamise periood on 188 päeva. Siis (vt valem (2.2.7)

9 kuud

1 aasta

1 kuu

2 kuud

25

188600 1 0,12

360S

637,6 EURi.

2.3.2. Võlakirja perioodi 08.06.2010-08.03.2010 pikkus on 273 päeva, seega intresside

arvutamise periood on 276 päeva. Järelikult 276

1500 1 0,15 1672,5360

S

EURi.

2.3.3. Võlakirja perioodi pikkus on 214 päeva, seega intresside arvutamise periood on 217

päeva. Järelikult (vt valem (2.2.7)

750

2171 0,12

360

P

699,41 EURi.

2.3.4. Võlakirja perioodi pikkus on 153 päeva, seega intresside arvutamise periood on 156

päeva.

Alates võlakirja väljaandmisest kuni 1. juunini on 92 päeva, mistõttu 1. juunist kuni võlakirja

tähtpäevani on 153 -92 = 61 päeva. Esitame arvutusteks vajalikud andmed skeemil (vt joonis

2.8) ning seejärel valemit (2.2.8) kasutades arvutame:

Väljaandmise kuupäev Diskonteerimise kuupäev Tähtpäev

1. märts 1. juuni

Nimiväärtus Tähtpäevaväärtus

400 EURi 400 EURi

Võlakirjasumma

V= ?


V400

392,0361

1 0,12360

EURi, diskonto on 7,97 EURi.

153 päeva, 0%

61 päeva, 13%

26

2.3.5. Intresside arvutamise periood on 127 päeva. Diskonteerimise päeval jäi tähtpäevani 84

päeva. Esitame arvutusteks vajalikud andmed skemaatiliselt (vt joonis 2.9) ja valemite (2.2.7)

ning (2.2.8) abil arvutame:

Väljaandmise kuupäev Diskonteerimise kuupäev Tähtpäev

3. mai 15. juuni 7. september

Nimiväärtus Tähtpäevaväärtus

900 EURi S = ?

Võlakirjasumma V = ?


127900 1 0,13

360S

941,28 EURi,

941,28909,44

841 0,15

360

V

EURi,

diskonto on 31,84 EURi.

2.3.6. Diskonteerimise päeval jäi tähtpäevani 157 päeva .Nüüd tuleb koostada ülesande 2.3.4

lahenduses esitatud skeemiga sarnane skeem (vt joonis 2.8) ja siis valemi (2.2.8) abil arvutada

V1600

1526,76157

1 0,11360

EURi.


päeva. Nüüd tuleb koostada ülesande 2.3.5 lahenduses esitatud skeemiga sarnane skeem (vt

joonis 2.9) ja arvutada (vt valemid (2.2.7) ja (2.2.8))

1871200 1 0,15 1293,50

360S

EURi,

1293,51230,51

971 0,19

360

V

EURi.

127 päeva, 13%

84 päeva, 15%

27

2.3.8. Diskonteerimise päeval jäi tähtpäevani 47 päeva. Koostame ülesande 2.3.4 lahenduses

esitatud skeemiga sarnase skeemi (vt joonis 2.8) ja arvutame (vt valem (2.3.5))

47800 1 0,12 787,47

360V

EURi; 800 787,47 12,53D EURi.



joonis 2.9) ja valemite (2.2.7) ning (2.3.5)) abil arvutada

156600 1 0,1 626

360S

EURi,

108626 1 0,13 601,59

360V

EURi;

626 601,59 24,41D EURi.



joonis 2.8) ja valemi (2.3.5) abil arvutada.

1111300 1 0,15 1239,88

360V

EURi; 1300 1239,88 60,12D EURi.



joonis 2.9) ja valemite (2.2.7) ning (2.3.5)) abil arvutada

186900 1 0,12 955,80

360S

EURi,

136955,8 1 0,16 898,03

360V

EURi.

2.3.12. Diskonteerimise periood on 18. märts – 21. november ja selle pikkus 248 päeva. Siis

võlakirjale tuleb märkida summa 800

885,392481

1 0,14360

VS

d t

EURi ning pangale

makstav intress on 885,39 800 85,39D S V EURi.

2.3.13. Tähtpäevaväärtus 95

300 1 0,1 307,51360

S

EURi (vt valem (2.2.7)). Küsitud

d väärtuse arvutamiseks saame võrrandi 300 (1 )S d t (vt valem (2.3.5)) ehk

95300 1

360S d

95 95

300 300 1 0,1 1 0,0974360 360

d d

,

28

st otsitav pangadiskontomäär on 9,74%. Lahenduskäigust on näha, et d väärtus võla

nimiväärtusest ei sõltu.

2.3.14. Kasutades valemeid (1 )S P r t ja (1 )P S d t , saame võrrandi

(1 ) (1 ),P P r t d t

mille lahendiks on 1

rd

rt

.

2.4.1. a) n = 7; i = 0,1.

b) n = 2 8 16; i =0,125

2 0,0625.

c) n = 4 7,75 31; i 0,115

5 = 0,02875.

d) n = 30; i 0,16

12 0,0133,

e) n = 5 12 2 62; i 0,13

12 0,0108.

2.4.2. a) m =12,4

2.6,2

b) m =1. c) m =12,4

4.3,1

d) m =12,4

12.1,033

2.4.3. a) i =12 1,1 13,2%. b) i = 4 2,35 9,4%. c) i = 2 4,3 8,6%.

2.4.4.

80,12

(1 ) 6000 1 9563,092

nS P i

EURi


a) 3

3000 1 0,13S 4328,69 EURi.

b)

60,13

3000 12

S

4377,43 EURi.

c)

120,13

3000 14

S

4403,54 EURi.

d)

360,13

3000 112

S

4421,66 EURi .

29


1. 7

300 1 0,125 684,21S EURi.

2.

12 20,105

750 1 2560,902

S

EURi.

3.

9 40,165

1250 1 5356,624

S

EURi.

4.

11,25 120,12

3000 1 11609,8912

S

EURi .

5.

27

60,135850 1 1140,45

2S

EURi.

6.

40

30,1441300 1 2083,24

4S

EURi.

2.4.7. 2 3,5

8500 1 2 0,035S

13 649,14 EURi (vt valem (2.4.1))., intress 5149,14 EURi.

2.4.8. Süsteemi 365/360 järgi avaldub tehingu kestus aastates kujul 2 365 366 125

3,392.360

Siis 3,392

1700 1 0,13 2573,30S EURi (vt valem (2.4.1)).,, intress 873,30 EURi.

2.4.9. Valemiga (2.4.1) saame

4 3 2 120,115 0,1175

12 000 1 14 12

S

21 304,05 EURi.

2.4.10. Valemiga (2.4.5) saame 4

36002058,31

(1 ) (1 0,15)n

SP

i

EURi.


1.8

800

(1 0,13)P

300,93 EURi; 2.

2 10

1750

0,1151

2

P

572,05 EURi;

3. 12 6

600

0,151

12

P

245,31 EURi; 4. 5 4 2

450

0,1451

4

P

205,59 EURi;

30

5. 42

6

2550

0,1551

2

P

1512,24 EURi; 6. 40

1300

0,1441

12

P

806,72 EURi.

2.4.12. Valemiga (2.4.5) saame 5 2

30001525,05

0,141

2

P

EURi.

2.4.13. Kuna antud juhul võlakirja tähtpäevaväärtus on võrdne selle nimiväärtusega, siis

44

4

3000

(1 ) 0,12(1 )

4

n

SV

i

2167,26 EURi (vt valem (2.4.5)), diskonto 832,74 EURi.

2.4.14. Kuna antud juhul võlakirja tähtpäevaväärtus on võrdne selle nimiväärtusega ning

ajavahemik 01.06.2010 – 01.08.2013 sisaldab 3 aastat ja 2 kuud ehk 38 kuud, siis

38

4500

(1 ) 0,11

12

n

SV

i

3282,89 EURi (vt valem (2.4.5)), diskonto 1217,11 EURi.

2.4.15. Kuna diskonteerimiskuupäevast tähtpäevani on 13 kvartalit, siis (vt valem (2.4.5))

13

6000

(1 ) 0,11

4

n

SV

i

4352,52 EURi, diskonto 1647,48 EURi.

2.4.16. Kanname vajalikud andmed skeemile (vt joonis 2.10) ja arvutame ( vt (2.4.1) ja (2.4.5))

:

Väljastamine Diskonteerimispäev Tähtpäev

01.06.2009 01.12.2010 01.09.2015

P= 2700 EURi n1=25 kvartalit, i1=0,13/4=0,0325 S = ?

Võlakirjasumma V =? n2=19 kvartalit, i1=0,16/4=0,04 S


31

1 25

11 ) 2700 (1 0,0325) 6006,41n

S P i EURi.

2 19

2

6006,412850,90

(1 ) (1 0,04)n

SV

i

EURi.


a) 6

7000

(1 0,12)P

3546,42 EURi. b)

2

7000

(1 0,12)P

5580,36 EURi.

c) 27000 (1 0,12)S 8780,80 EURi , d) 67000 (1 0,12)S 13 816,76 EURi.


a) 4 4

3000

0,121

4

P

1869,50 EURi. b)

3 40,12

3000 14

S

4277,28 EURi.

2.4.19. Valime fookuspäevaks päeva 2 aastat peale laenu võtmist, kanname olulised andmed

skeemile ((vt joonis 2.11) , kus n1 ja n2 on kestus kvartalites, i1 = i2 intressimäär kvartali kohta)

Fookuspäev

18 kuud 9 kuud 1 aasta 18 kuud

varem täna hiljem hiljem hiljem

P = 600 n1=1, i1=0,035 E1

E2 n2=2, i2=0,035 S = 500


ning arvutame (vt valemid (2.4.1) ja (2.4.5)):

1 (1 )nE P i = 1

600 1 0,035 621 EURi, 2 2

500466,76

(1 ) (1 0,035)n

SE

i

EURi.

Seega Andres peaks saama 621 + 466,76 = 1087,76 EURi.

2.4.20. Valime fookuspäevaks päeva nelja aasta pärast, kanname andmed skeemile ((vt joonis

2.12) , kus n1, n2 ja n3 on kestus poolaastates, i1 = i2 = i3 poolaasta kohta ) ja arvutame (vt

valemid (2.4.1) ja (2.4.5)):

32

Fookuspäev

täna 2 aastat hiljem 4 aastat hiljem 6 aastat hiljem

1500 EURi n1=8, i1=0,045 E1

2500 EURi n1=4, i1=0,045 E2

E3 n1=4,i1=0,045 4000 EURi


8

1 1500 1 0,045E 2133,15 EURi, 4

2 2500 1 0,045E 2981,30 EURi,

3E 4

4000

(1 0,045)

3662,92 EURi.

Ühekordne makse on seega 2133,15 + 2981,30 + 3662,92 = 8777,37 EURi.

2.4.21. Olgu teise tagasimakse suurus x. Valime fookuspäevaks tänase päeva ja koostame skeemi

((vt joonis 2.13), kus S1 ja S2 on esialgse graafiku osamaksete suurused, milledel intressid on

sisse arvestatud, n1, n2, n3, n4 ja n5 on kestus kuudes ning i1 = i2 ja i3 = i4 = i5 on intressimäärad

kuu kohta):

Fookuspäev

10 kuud varem Täna 9 kuud hiljem

Esialgne

graafik 2800 EUR-i n1= 10, i1=(11/12)% S1

4000 EUR-i n2=19, i2=(11/12)% S2

'

2S n3= 9, i3=(11/15)% S2

Uus

33

graafik E1 n4= 6, i4=(11/15)% 3500 EURi

E2 n5= 18, i5=(11/15)% ˇ x

Täna 6 kuud 18 kuud

hiljem hiljem


Et esialgse ja uue graafiku osamaksete nüüdisväärtuste summad '

1 2S S ja 1 2E E fookuspäeval

ühtivad, st '

1 2 1 2S S E E , siis saame võrrandi (vt valemid (2.4.1) ja (2.4.5)):

100,11

2800 112

19

9

0,114000 1

12

0,151

12

6 18

3500,

0,15 0,151 1

12 12

x


2.4.22. Olgu uue maksegraafiku osamakse suurus x. Valime fookuspäevaks tänase päeva ja

koostame järgneva skeemi ((vt joonis 2.14), kus S1 ja S2 on esialgse graafiku osamaksete

suurused, milledel intressid on sisse arvestatud, n1, n2, n3 ja n4 on kestus kuudes ning i1 = i2 = i3

= i4 on intressimäär kuu kohta):

Fookuspäev

7 kuud varem Täna 9 kuud hiljem

Esialgne

Graafik 800 EURi n1= 7, i1=1% E1

E2 n2= 9, i2=1% 1300 EUR-i

Uus x

graafik E3 n3= 8, i3 =1% x

E4 n4= 12, i4=1% x

34

Täna 8 kuud 1 aasta

hiljem hiljem


Kuna esialgse ja uue graafiku osamaksete nüüdisväärtuste summad 1 2E E ning

3 4x E E

fookuspäeval ühtivad, st 1 2E E =

3 4x E E , siis saame võrrandi (vt valemid (2.4.1) ja

(2.4.5)):

7

800 1 0,01 9

1300

(1 0,01)

8 12,

(1 0,01) (1 0,01)

x xx


2.4.23. Kui j on nominaalne intressimäär, m kapitalisatsioonide arv aastas ja n tehingu ajaline

kestus aastates, siis kapitalisatsiooniperioodi intress on j

m ning kapitalisatsioonide üldarv .m n

Siis 1 ,

n mj

S Pm

millest avaldame 1 .n m

Sj m

P

1. 12,71%,j 2. 12,51%,j 3. 9,25%,j 4. 13,61%,j 5. 12,70%,j 6. 9,07%.j

2.4.24. a) 44900

1 1 1 0,0878.3500

n mS

j mP

b) 164900

4 1 0,0850.3500

j

c) 484900

12 1 0,0844.3500

j

2.4.25. Sarnaselt näitele 2.4.14 arvutame

(1/4)

(1 0,108) (1 0,061) (1 0,003) (1 0,287) 1 0,0749i ehk 7,49%.

2.4.26. Valemist 1

n mj

S Pm

(vt ülesande 2.4.23 lahendus) avaldame

ln

.

ln 1

S

Pm nj

m

1. 7,9,m n 2. 16,7, 3. 23,1, 4. 38,3, 5. 50,8, 6. 27,6.

2.4.27. Kanname olulised andmed järgmisele skeemile. (vt joonis 2.15, kus n1 on kestus kuudes,

n2 kvartalites, i1 on kuu intressimäär ja i2 kvartali intressimäär) ning arvutame.:

35

0 Müügipäev 2

P = 4000 EURi Tähtpäeva-

väärtus S

V =4400 EURi


1

36

1

0,13(1 ) 4000 1

12

nS P i

EURi.

36

2

2

4000 0,13ln 1ln

4400 1211,8494

0,1ln(1 )ln(1 )

4

S

Vn

i

kvartalit.

Kuna igas kvartalis on 90 päeva (meenutame, et aasta päevade arv on 360), siis saame kestuseks

päevades 90 11,8494 1066 päeva.

2.4.28. Kui investeeringu nimiväärtus on P, siis selle tulevikuväärtus on ühe aasta möödudes

120,15

1 1,1608 .12

S P P

Seepärast valemit (2.4.6) kasutades saame ekvivalentseks

intressimääraks (vt ka näites 2.4.17 esitatud ülesande lahendust) juhul a) 16,08%, juhul b)

1,16082 1 2 1 2 1,1608 1 0,1548n

S P

P P

ehk 15, 48%,

juhul c)

441,1608

4 1 4 1 4 1,1608 1 0,1519nS P

P P

ehk 15, 19%,


n1 = 36, i1 = (13/12)%

n2 =?, i2 = 2,5%

36

a) 18%,f b)

20,18

(1 ) 1 1 1 0,18812

mf i

ehk 18,81%,

c)

40,18

1 1 0,19254

f

ehk 19,25%, d)

120,18

1 1 0,195612

f

ehk 19,56%.

2.4.30. a) Intress I = S – P = 2 P P P ;

1 18

0,12 0,12 3

I Pt

r P P

aastat = 8 aastat ja 4 kuud.

b)

2ln ln

6,116ln(1 ) ln(1 0,12)

S P

P Pn

i

aastat ehk 6 aastat ja 42 päeva.

c)

2ln ln

23,450,12ln(1 )

ln 14

S P

P Pn

i

kvartalit ehk 5 aastat ja 311 päeva (arvestades, et

kvartali pikkus on 90 päeva).

2.4.31.Lahendus on sarnane ülesande 2.4.30 lahendusega ( 2S P asemel tuleb võtta

3S P ).

a) ligikaudu 11,11 aasta ehk 11 aastat ja 40 päeva; b) ligikaudu 6,64 aastat ehk 6 aastat ja 231

päeva.

2.5.1.Valemitega (2.5.1) ja (2.5.2) saame, et maksud 8000 0,1 2 0,18G 288 EURi,

puhastulevikuväärtus 'S S G 8000 (1 0,1 2) 288 9312 EURi.

2.5.2. niPS )1( 37000 (1 0,12) 9834,50 EURi,

puhastulevikuväärtus

(1 ) (1 )nS P i g g 37000 (1 0,12) (1 0,22) 0,22 9210,91 EURi,

maksude kogusumma 9834,50 9210,91 623,59G S S EURi.

Valemit (2.5.6) kasutades saame maksud iga aasta kohta eraldi:

1.aasta: 0

1 7000 1,12 0,12 0,22 184,8G EURi,

37

2.aasta: 2 7000 1,12 0,12 0,22 206,98G EURi,

3.aasta: 2

3 7000 1,12 0,12 0,22 231,81G EURi

2.5.3. hinnaindeks 140, hind nelja aasta eest 1000

1,4 714,29 EURi.

2.5.4. Valemi (2.5.13) põhjal 12100 (1 0,02) 126,82pI ; inflatsioonimäär aastas 26,82%.

2.5.5. Valemi (2.5.12) põhjal hinnaindeks 6100 (1 0,005) (1 0,03) 106,13;pI aasta-

inflatsioonimäär 6,13%.

2.5.6. Kuna neli kuud on 1

3aastat, siis nominaalne tulevikuväärtus on

)1( trPS 1

1500 1 0,24 16203

EURi

ja nominaalne juurdekasv 120S P EURi. Reaalne tulevikuväärtus on valemite (2.5.12) ja

(2.5.15) põhjal

100p

SC

I

1620 1001532,42

100 1,015 1,02 1,013 1,008

EURi

ja reaalne juurdekasv 1532,42 1500 32,42C P EURi.

2.5.7.* Nominaalne tulevikuväärtus

240,025

(1 ) 2000 1 2102,4312

nS P i

EURi,

nominaalne juurdekasv 102,43 EURi,

reaalne tulevikuväärtus 2102,43 100

100 1,05 1,07C

1871,32 EURi,

reaalne juurdekasv -128,68 EURi, st reaalselt toimus kahanemine 128,68 EURi võrra.

2.5.8. Valemite (2.5.13) ja (2.5.15) põhjal reaalne tulevikuväärtus

100p

SC

I

6

500 000 (1 0,12 0,5) 100505257,4

100 (1 0,008)

EURi;

reaalne juurdekasv 5257,4 EURi.

2.5.9. Näites 2.5.6 esineva ülesande lahendusega analoogselt saame

38

88

400 142

PP 247,89 EURi.

2.5.10. Valemite (2.5.12) ja (2.5.14) abil saame

21 3

20 000100 100 17276,75

100 (1 0,05)p

VV

I

EURi.


1. 3

3

(1 0,18) 13000

0,18S

7144,8 EURi,

3

3

1 (1 0,18)3000

0,18A

6522,82 EURi.

2.

15

15

0,151 1

12325

0,15

12

S

5325,56 EURi,

15

15

0,151 1

12325

0,15

12

A

4420,18 EURi;

3.

31

31

0,11 1

4140

0,1

4

S

6440,04 EURi,

31

31

0,11 1

4140

0,1

4

A

2995,36 EURi;

4.

17

17

0,091 1

2894

0,09

2

S

22119,09 EURi,

17

17

0,091 1

2894

0,09

2

A

10 466,23 EURi;

5.

21

21

0,131 1

4225

0,13

4

S

6628,52 EURi,

21

17

0,131 1

4225

0,13

4

A

3386,30 EURi.

2.6.2. Kasutades valemeid Sn(avanss) (1 )nS p ja (avanss) (1 )n nA A p ning ülesandes

2.6.1 arvutatud vastavaid Sn ja An väärtusi arvutame:

1.S3(avanss) = 7144,8 (1 0,18) 8430,86 EURi,

3(avanss) 6522,82 (1,18) 7696,93A EURi;

2. S15(avanss) = 5325,560,15

1 5392,1312

EURi,

39

15

0,15(avanss) 4420,18 1 4475,43;

12A

EURi;

3. S31(avanss) = 6440,04 0,1

1 6601,044

EURi,

31

0,1(avanss) 2995,36 1 3070,24

4A

EURi;

4. S17(avanss) = 22119,09 0,09

1 23114,452

EURi,

17

0,09(avanss) 10 466,23 1 10 937,21

2A

EURi;

5. S21(avanss) = 6628,52 0,13

1 6843,954

EURi,

21

0,13(avanss) 3386,30 1 3496,36

4A

EURi.

2.6.3.

16

16

0,1651 1

440 000

0,165

4

S

881771,28 EURi,

16

16

0,1651 1

440 000

0,165

4

A

461823,2 EURi.

2.6.4. (1 ) 1

n

n

p SR

p

8 4

0,09 25 000

0,094 1 1

4

583,93 EURi.

2.6.5.* a) Valemi (2.6.2) abil saame

15 12

15 12

0,121 1

1250

0,12

12

S

24 979,01 EURi,

b) 15 12 50 9000 EURi, c) 24 979,01 – 9000 = 15 979,01 EURi.

40

2.4.6. Valemi (2.6.6) abil saame

20 12

20 12

0,081 1

12180 21519,77

0,08

12

A

EURi.

2.6.7. Osamaksete summaarne nüüdisväärtus

20 12

8 12

0,0651 1

12350 26146,27

0,065

12

A

EURi

ja nominaalne kogusumma 8 12 350 33 600 EURi.

Järelikult korteri maksumus on 26146,27 + 12 000 = 38 146,27 EURi,

intressid 33 600 26146,27 = 7453,73 EURi.

2.6.8. Valemi (2.6.2) abil leiame, et kümne aasta jooksul kogunenud summa on

10 4

10 4

0,131 1

4600 47892,95

0,13

4

S

EURi.

Osamaksete summaarne nüüdisväärtus kümne aastase perioodi algul

10 41̀0 4 4010 4

47892,9513 325,06

(1 ) 0,131

4

SA

i

EURi.

Märgime, et suuruse 1̀0 4A arvutamiseks võib kasutada ka valemit (2.6.6).

2.6.9. Koostame skeemi (vt joonis 2.16):

0___1__ _2__ _3___ 4.................120.___121___122…………298____299___300 Kuud

350 eurot kuus 400 eurot kuus

(1. annuiteet) (2. annuiteet)

120A

41


Arvestades, et 0,08

,12

p i arvutame (sarnaselt näites 2.6.6 esitatud lahenduskäigule):

180

180

0,081 1

12400 41856,24

0,08

12

A

EURi,

1

180

120

41856,2418 857,22

(1 ) (1 ) 0,081

12

nn

ASP

i p

EURi,

120

120

0,081 1

12350 28 847,52

0,08

12

A

EURi,

Kõigi maksete nüüdisväärtus on seega P + 120A = 18857,22 + 28847,52 =47 704,74 EURi.

2.6.10. Kolm aastat varem pensionile minnes kahaneb Marianne igakuine pensionimakse

3 12 0,5% 18% võrra. Järelikult, minnes 63 aastaselt pensionile, hakatakse talle maksma

pensioni R eurot kuus, kui aga 60 aastaselt, siis (1 0,18) 0,82R R eurot kuus. Kirjeldame

alternatiivseid variante skeemil (vt joonis 2.17):

a) 60-selt pensionile

60 85

0,82 R EURi kuus

b) 63-selt pensionile

180AP

300A1 25 12 300,n

0,074

12p

42

60 63 85

R EURi kuus


Sarnaselt näites 2.6.7 esitatud lahenduskäiguga arvutame:

300

300

0,0741 1

120,82 111,95

0,074

12

A R R

EURi,

264

264

0,0741 1

12130,17

0,074

12

A R R

EURi,

2

264

36

130,17104,33

(1 ) (1 ) 0,0741

12

nn

ASP R

i i

EURi.

Järelikult on Mariannel kasulikum 60 aastaselt pensionile minna, sest 300 .A P

2.6.11. Kasutame valemeid (2.6.10) ja (2.6.11):

a)

2

40,181 1 0,0440

2p

ehk 4,40%, b)

12

20,151 1 0,0774

12p

ehk 7,74%.

2.6.12. Valemite (2.6.10) ja (2.6.11) abil arvutame

4

10,091 1 0,0931.

4p

Siis investee-

ringu tulevikuväärtus

264A2 3 12 36,n

0,074

12p

P

3 22 12 264,n 0,074

12p

43

15

15

1 0,0931 1500 15 042,99

0,0931S

EURi

ja nüüdisväärtus

15

1̀5 1515

15 042,993957,64

(1 ) 1 0,0931

SA

p

EURi.

1̀5A arvutamiseks võib kasutada ka valemit (2.6.6).

2.6.13.* Kasutame p arvutamiseks valemeid (2.6.10) ja (2.6.11) ja seejärel tuleviku- ja

nüüdisväärtuste arvutamiseks vastavalt valemeid (2.6.2) ja (2.4.5) (märgime, et valemi (2.4.5)

asemel võib kasutada ka valemit (2.6.6).

1.

4

10,181 1 0,1925

4p

,

3

3

1 0,1925 13000

0,1925S

10 843,67 EURi,

3

3 33

10 843,67

(1 ) 1 0,1925

SA

p

6394,42 EURi;

2.

2

120,151 1 0,0121,

2p

15

15

1 0,0121 1325

0,0121S

5310,37 EURi,

15 15

5310,37

1 0,0121A

4433,77 EURi;

3. 1

41 0,1 1 0,0241,p

31

31

1 0,0241 1140

0,0241S

6345,01 EURi,

31 31

6345,01

1 0,0241A

3032,63 EURi;

4.

4

20,091 1 0,0455,

4p

17

17

1 0,0455 1894

0,0455S

22 215,07 EURi,

17 17

22 215,07

1 0,0455A

10426,51 EURi;

5. 1

41 0,13 1 0,0310,p

21

21

1 0,031 1225

0,031S

6522,05 EURi,

44

21 21

22 215,07

1 0,031A

3435,20EURi.

2.6.14. Kui antud on tulevikuväärtus, siis kasutame valemit (2.6.12), kui aga antud on

nüüdis-väärtus, siis valemit (2.6.13). Kuna tegemist on lihtsa tavaannuiteediga, siis p = i.

1. 4 5,5

0,12 12 000392,97

0,124 1 1

4

R

EURi. 2.

14

0,07 12 0001130,80

1 0,07 1R

EURi.

3. 7 2

0,1 10 0001010,24

0,12 1 1

2

R

EURi. 4. 4,25 12

0,14 8 000209,02

0,1412 1 1

12

R

EURi.

5. 20 4

0,065 250 0001544

0,0654 1 1

4

R

EURi. 6. 16 12

0,05 24 000181,84

0,0512 1 1

12

R

EURi.

2.6.15. Sarnaselt näitele 2.6.4 koostame lahendusskeemi (vt joonis 2.18): ja arvutame:

41S 41(1 0,02) 1

400 25 044,010,02

EURi,

niPS )1( 2 59

41 2(1 ) 25044,01 (1 0,0252) 108 745,5n

S p EURi,

59S 59(1 0,0252) 1

400 53 050,390,0252

EURi,

Seega perioodi lõpuks kogunes S + 59S 108 745,5 + 53 050,39 = 161 795,89 EURi.

0____________________________41_____________________________100 Kvartalid

400 EURi igas kvartalis 400 EURi igas kvartalis

59S2 0,0252p

45

.


2.6.16. Kasutades valemeid (2.6.10) ja (2.6.11) arvutame

4

120,061 1 0,0050.

4p

Valemi

(2.6.13) abil leiame nüüd pensionimakse

25 12

0,005 70 000451,01

1 1 0,005R

EURi.

2.6.17.* Kuna kõikidel juhtudel on tegemist lihtsa tavaannuiteediga, siis p = i. Kui antud

on tulevikuväärtus, siis kasutame valemit (2.6.14), kui aga antud on nüüdisväärtus, siis

valemit (2.6.15). Veel arvestame, et kvartalis on 90 päeva ja kuus 30 päeva.

1.

0,12 14 000ln 1

4 80014,2764

0,12ln 1

4

n

kvartalit 14,2764 90 päeva ehk ligikaudu 1285päeva.

2.

0,07 25 500ln 1

2100

ln 1 0,07n

9,1 aastat.

3.

0,1 11000ln 1

2 65038,36

0,1ln 1

2

n

poolaastat ehk 19,18 aastat.

4.

0,14 8 000ln 1

12 25040,3

0,14ln 1

12

n

kuud ehk 40 kuud ja 9 päeva;

5.

0,065 250 000ln 1

4 120091,71

0,065ln 1

4

n

kvartalit ehk 22 aastat 11 kuud 4 päeva;

41S S1

0,080,02

4p

12

4

2

0,11 1 0,0252

12p

46

6.

0,05 24 000ln 1

12 75034,4157

0,05ln 1

12

n

kuud ehk 2 aastat 10 kuud ja 13 päeva.

2.6.18. Antud juhul 0,06

0,005.12

p i Valemi (2.6.15) abil arvutame

0,005 50 000ln 1

320304,7244

ln 1 0,005n

kuud;

st laenutähtaeg oli 25 aastat ja 5 kuud, kus viimase osamakse suurus oli 0,7244 320 231,81

EURi. Nominaalne osamaksete summa on 304 320 231,81 97 511,81 EURi ning makstud

intress on 97 511,81 - 50 000 = 47 511,81 EURi.


.12

p i Valemi (2.6.15) abil arvutame erinevate osamaksete korral:

a)

0,07 35 000ln 1

12 280224,5813

0,07ln 1

12

n

kuud; b)

0,07 35 000ln 1

12 310184,7723

0,07ln 1

12

n

kuud,

st juhul a) oli laenutähtaeg 18 aastat ja 9 kuud, kus viimase osamakse suurus oli

0,5813 280 162,40 EURi, ning juhul b) 15 aastat ja 5 kuud, kus viimase osamakse suurus oli

0,7723 310 238,7 EURi.

Juhul a) oli intresside nominaalne suurus (224 280 162,4) 35 000 27 882,4 EURi,

juhul b) (185 310 238,7) 35 000 22 278,7 EURi.

Seega b) variandi korral makstakse intressi vähem 5603,7 EURi võrra.

2.6.20. Kuna juhul a) 0,14

0,0354

p i ning juhul b) 0,16

,12

p i siis valemi (2.6.16) abil

saame juhul a) 750

21428,570,035

A EURi, ning juhul b) 225 12

16 8750,16

A

EURi.

2.6.21. Valemi (2.6.16) abil arvutame 2500

22 727,270,11

A EURi.

47

2.6.22. Valemist (2.6.16) avaldame ;R A i järelikult 0,16

120 000 160012

R EURi.

2.7.1. a) Valemi (2.6.13) abil arvutame 4 4

0,14 7000

0,144 1 1

4

R

578,79 EURi,

b) 16 578,79 9260,64 EURi, c) 9260,64 – 7000 = 2260,64 EURi.

2.7.2. a) Valemi (2.6.13) abil arvutame 4 4

0,11 15 000699,12

0,1112 1 1

12

R

EURi,

b) 24 699,12 16 778,88 EURi, c) 16 778,88– 7000 = 9778,88 EURi.

2.7.3.Antud juhul 0,12

0,06.2

p i Valemi (2.6.13) abil arvutame laenu osamakse

5 2

0,06 12 0001630,415

1 1 0,06R

EURi.

Laenu nimiväärtuse tulevikuväärtus peale kolmandat aastat ehk peale kuuendat osamakset on

6 6

6 10 10( ) (1 ) 12 000 (1 0,06) 17 022,23S A A p EURi

ning esimese kuue osamakse tulevikuväärtus peale kuuendat makset on

6

6

(1 ) 1( )

pS R R

p

6(1 0,06) 11630,415 11372,66

0,06

EURi.

Valemi (2.7.2) abil arvutame 6L = 6 10 6( ) ( )S A S R 17 022,23 - 11372,66 = 5649,57 EURi.


0,0125.12

p i Sarnaselt ülesande 2.7.3 lahenduskäiguga arvutame:

4 12

0,0125 18 000500,95

1 1 0,0125R

EURi,

24 24

24 48 48( ) (1 ) 18 000 (1 0,0125) 24 252,32S A A p EURi,

24

24

(1 ) 1( )

pS R R

p

24(1 0,0125) 1500,95 13 920,44

0,0125

EURi,

48

24L = 24 48 24( ) ( )S A S R 10 331,88 EURi.


0,0075.12

p i Leiame laenu osamakse (vt valem (2.6.13))

7 12

0,0075 30 000482,67

1 1 0,0075R

EURi,

laenu nimiväärtuse tulevikuväärtuse peale 49-ndat makset

49

49 84( ) 30 000 (1 0,0075) 43 264,23S A EURi

ja esimese 49 osamakse tulevikuväärtuse peale 49-ndat makset:

49

49

(1 ) 1( )

pS R R

p

49(1 0,0075) 1482,67 28 454,55

0,0075

EURi,

Siis valemite (2.7.3) ja (2.7.3) abil leiame 50-nda osamakse intressiosaks

50 49 49 84 490,0075 0,0075 ( ) ( ) 0,0075 (43 264,23 28 454,55)I L S A S R 111,07 EURi,

nimiväärtuse kustutamiseks minev osa on 50 482,67 111,07R I 371,60 EURi.

Märgime, et antud ülesannet on võimalik lahendada ka teisiti (vt näide 2.7.1, teine võimalus).


0,02.4

p i Sarnaselt ülesande 2.7.5 lahenduskäiguga arvutame:

5,5 4

0,02 55 0003114,73

1 1 0,02R

EURi,

7

7 22( ) 55 000 (1 0,02) 63177,71S A EURi

7

7

(1 ) 1( )

pS R R

p

7(1 0,02) 13114,73 23155,79

0,02

EURi,

8 49 7 22 70,02 0,02 ( ) ( ) 0,02 (63177,71 23155,79) 800,44I L S A S R EURi,

8 3114,73 800,44 2314,29R I 371,60 EURi.


0,01.12

p i Kolmandal aastal makstud intress on arvutatav valemiga

2412 (R L 36 ),L kus 12 R on kolmandal aastal makstud osamaksete nominaalne summaarne

49

väärtus ning 24L 36L peale 24-ndat ja 36-ndat osamakset arvutatud laenujääkide vahe.

Arvutame:

(4 12 3)

0,01 30 000753,80

1 1 0,01R

EURi,

24

24 51( ) 30 000 (1 0,01) 38 092,04S A EURi,

24( )S R24(1 0,01) 1

753,8 20 332,710,01

EURi,

24L = 24 51 24( ) ( )S A S R 17 759,33 EURi,

36

36 51( ) 30 000 (1 0,01) 42 923,06S A EURi,

36( )S R36(1 0,01) 1

753,8 32 471,530,01

EURi,

36L = 36 51 36( ) ( )S A S R 10 451,53 EURi,

3-nda aasta intressid 2412 (R L 36) 12 753,80 (17 759,33 10 451,53)L 1739,85 EURi.

2.7.8. Valemeid (2.6.10) ja (2.6.11) kasutades arvutame

4

120,111 1 0,0091.

4p

Sarnaselt

ülesande 2.7.7 lahenduskäiguga arvutame

(5 12 6)

0,0091 70 0001415,48

1 1 0,0091R

EURi,

36

36 66( ) 70 000 (1 0,0091) 96 990,56S A EURi,

36( )S R36(1 0,0091) 1

1415,48 59 975,820,0091

EURi,

36L = 36 66 36( ) ( )S A S R 37 014,74 EURi,

48

48 66( ) 70 000 (1 0,0091) 108128,4S A EURi,

48( )S R48(1 0,0091) 1

1415,48 84 725,340,0091

EURi,

50

48L = 48 66 48( ) ( )S A S R 23 403,06 EURi,

4-nda aasta intressid 3612 (R L 48) 12 1415,48L (37 014,74 - 23 403,06) = 3374,08 EURi.

2.7.9.* Kõikidel juhtudel .p i

1. a)

6

0,16 14 000

1 1 0,16R

3799,46 EURi,

b) 4

4 6( ) 14 000 (1 0,16) 25 348,95S A EURi,

4 ( )S R4(1 0,16) 1

3799,46 19 249,940,16

EURi,

võlajääk 4L = 4 6 4( ) ( )S A S R 6099,01 EURi,

c) intress 5 40,16 0,02 6099,01I L 975,84,64 EURi, põhiosa 8R I 2823,62 EURi.

2. a) 5 12

0,18 10 000

0,1812 1 1

12

R

253,93 EURi,

b)

25

25 60

0,18( ) 10 000 1 14 509,45

12S A

EURi,

25( )S R

250,16

1 112

253,93 76340,16

12

EURi,


c) intress 26 25

0,18 0,186875,45

12 12I L 103,13 EURi, põhiosa 26R I 150,80 EURi.

3. a)

12 4

0,03 22 000

1 1 0,03R

870,71 EURi,

b) 15

15 48( ) 22 000 1 0,03 34 275,28S A EURi,

15( )S R

151 0,03 1

870,71 16194,280,03

EURi,

51

võlajääk 15L =

15 48 15( ) ( )S A S R 18 021 EURi,

c) intress 16 150,03 0,03 18 021I L 540,63 EURi, põhiosa

16R I 330,08 EURi.

4. a)

4 2

0,1 9000

1 1 0,1R

1687 EURi,

b) 5

5 8( ) 9000 1 0,1 14 494,59S A EURi,

5( )S R

51 0,1 1

1687 10 299,30,1

EURi,


c) intress 6 50,1 0,1 4195,29I L 419,53 EURi, põhiosa 6R I 1267,47 EURi.


0,05.2

p i Sarnaselt näitega 2.7.1 arvutame:

a)

6 2

0,05 65 000

1 1 0,05R

7333,65 EURi, b) 12 7333,65 88003,8 EURi,

c) 88003,8 – 65 000 = 23003,8 EURi,

d) 8

8 12( ) 65 000 1 0,05 96 034,6S A EURi,

8( )S R

81 0,05 1

7333,65 70 029,840,05

EURi,


e) 3

3 12( ) 65 000 1 0,05 75 245,63S A EURi,

3( )S R

31 0,05 1

7333,65 23119,340,05

EURi,

3L = 3 12 3( ) ( )S A S R 52 126,29 EURi,

Intress 4 50,05 0,05 52 126,29I L 2606,32 EURi, põhiosa 4R I 4727,33 EURi,

f) 10

10 12( ) 65 000 1 0,05 105 878,20S A EURi,

52

10 ( )S R

101 0,05 1

7333,65 92 241,890,05

EURi,

10L = 10 12 10( ) ( )S A S R 13 636,31 EURi,

5-nda aasta intressid 82 (R L 10) 2 7333,65L (26004,76 - 13 636,31) = 2298,85 EURi.

2.7.11.* Antud juhul 0,15

0,0125.12

p i Sarnaselt näitega 2.7.1 arvutame:

a)

4 12

0,0125 7000194,82

1 1 0,0125R

EURi, b) 4 12 194,82 9351,36 EURi,

c) 9351,36– 7000 = 2351,36 EURi,

d) 312

36 48( ) 7000 1 0,0125 10 947,61S A

EURi,

36( )S R

3121 0,0125 1

194,82 8789,400,0125

EURi,


e) 31

31 48( ) 7000 1 0,0125 10 288,31S A EURi,

31( )S R

311 0,0125 1

194,82 7321,470,0125

EURi,

31L = 31 48 31( ) ( )S A S R 2966,84 EURi,

Intress 32 310,0125 0,0125 2966,84 37,09I L EURi, põhiosa 4R I 157,73 EURi,

f) 24

24 48( ) 7000 1 0,0125 9431,46S A EURi,

24( )S R

241 0,0125 1

194,82 5413,680,0125

EURi,

24L = 24 48 24( ) ( )S A S R 4017,78 EURi,

3-nda aasta intressid 1 242 (R L 36) 12 194,82L (4017,78 - 2158,21) = 478,27 EURi.

2.7.12. Antud juhul 0,2.p i Valemit (2.6.13) kasutades saame arvutada osamakse R:

53

51 (1 0,2)10 000

0,2R

10 000 2,990612R

10 0003343,80

2,990612R EURi,

Sarnaselt näitega 2.7.2 esitame tabelina laenu tasumise graafiku ning vajalikud arvutused:

Aasta k Võlajääk Lk-1 Aastane osa-

makse R = dk + 1k

Põhisummat

kustutav osa dk

Intressid Ik

1 10 000 1343,8 (2) 2000 (1)

2 8656,2 (3) 1612,56 (5) 1731,24 (4)

3 7043,64 (6) 3343,80 1935,07 (8) 1408,73 (7)

4 5108,57 (9) 2322,09 (11) 1021,71 (10)

5 2786,48 (12) 2786,5 (14) 557,30 (13)

(1) 1 0,2 10 000 2000I EURi,

(2) 1 3343,80 2000 1343,8d EURi,

(3) 1 10 000 1343,8 8656,2L EURi,

(4) 2 0,2 8656,2 1731,24I EURi,

(5) 2 3343,80 1731,24 1612,56d EURi,

(6) 2 8656,2 1612,56 7043,64L EURi

(7) 3 0,2 7043,64 1408,73I EURi,

(8) 3 3343,80 1408,73 1935,07d EURi,

(9) 3 7043,64 1935,07 5108,57L EURi,

(10) 4 0,2 5108,57 1021,71I EURi,

(11) 4 3343,80 1021,71 2322,09d EURi,

(12) 4 5108,57 2322,09 2786,48L EURi,

(13) 5 0,2 2786,48 557,30I EURi,

(14) 5 3343,80 557,30 2786,5d EURi.

Siin 0,02 EURi-ne vahe 4L ja 5d vahel on tingitud ümardamisest arvutustes.


0,09.2

p i Valemit (2.6.13) kasutades saame arvutada osamakse R:

61 (1 0,09)30 000

0,09R

30 000 4,485919R

30 0006687,59

4,485919R EURi,

54

Sarnaselt näitega 2.7.2 esitame tabelina laenu tasumise graafiku ning vajalikud arvutused:

Aasta k Võlajääk Lk-1 Aastane osa-

makse R = dk + 1k

Põhisummat

kustutav osa dk

Intressid Ik

1 30 000 3987,59 (2) 2700 (1)

2 26 012,41 (3) 4346,47 (5) 2341,12 (4)

3 21665,94 (6) 6687,59 4737,65 (8) 1949,94 (7)

4 16 928,29 (9) 5164,04 (11) 1523,55 (10)

5 11764,25 (12) 5628,81 (14) 1058,78 (13)

6 6135,44 (15) 6135,4 (17) 552,19 (16)

(1) 1 0,09 30 000 2700I EURi,

(2) 1 6687,59 2700 3987,59d EURi,

(3) 1 30 000 3987,59 26 012,41L EURi,

(4) 2 0,09 26 012,41 2341,12I EURi,

(5) 2 6687,59 2341,12 4346,47d EURi,

(6) 2 26 012,41 4346,47 21665,94L EURi

(7) 3 0,09 21665,94 1949,94I EURi,

(8) 3 6687,59 1949,94 4737,65d EURi,

(9) 3 21665,94 4737,65 16 928,29L EURi,

(10) 4 0,09 1 6 928,29 1523,55I EURi,

(11) 4 6687,59 1523,55 5164,04d EURi,

(12) 4 16 928,29 5164,04 11764,25L EURi,

(13) 5 0,09 1 1764,25 1058,78I EURi,

(14) 5 6687,59 1058,78 5628,81d EURi,

(15) 5 11764,25 5628,81 6135,44L EURi,

(16) 5 0,09 6135,44 552,19I EURi,

(17) 6 6687,59 552,19 6135,4d EURi,

Siin 0,04 EURi-ne vahe 5L ja 6d vahel on tingitud ümardamisest arvutustes.


0,01.12

p i Valemi (2.7.6) abil arvutame

55

0,01 8000ln 1

50017,52237084

ln(1 0,01)n

kuud,

st võla kustutamiseks on vaja 18 kuud. Võlajääk eelviimase makseperioodi järel on järelejäänud

0,52237084 osamakse nüüdisväärtus:

0,52237084

0,52237084

1 1 0,01500 259,21

0,01A

EURi,

millelt tuleb veel maksta intressi 0,01 259,21 2,59 EURi.

Järelikult viimase osamakse suurus on 259,21+ 2,59 = 261,80 EURi.

2.7.15.** Valemeid (2.6.10) ja (2.6.11) kasutades arvutame

12

20,091 1 0,0459.

12p

Sarnaselt ülesande 2.7.14 lahenduskäiguga arvutame:

0,0459 88 000ln 1

900013,27289008

ln(1 0,0459)n

poolaastat,

st võla tasumiseks kulub 14 makseperioodi ehk 7 aastat. Võlajääk eelviimase makseperioodi järel

on järelejäänud 0,27289008 osamakse nüüdisväärtus:

0,27289008

0,27289008

1 1 0,04599000 2386,67

0,0459A

EURi,

millelt tuleb veel maksta intressi 0,0459 2386,67 109,55 EURi.

Järelikult viimase osamakse suurus on 2386,67 + 109,55 = 2496,22 EURi.


0,01.12

p i Sarnaselt näitega 2.7.4 esitame tabelina laenu tasumise

graafiku ning vajalikud arvutused:

Aasta k Võlajääk Lk-1

(miljonites

EURides)

Aastane osa-

makse Rk = d + 1k

Põhisummat

kustutav osa d

Intressid Ik

1 80 000 24 000 (3) 8000 (2)

56

2 64 000 (4) 22 400 (6) 6400 (5)

3 48 000 (7) 20 800 (9) 16 000 (1) 4800 (8)

4 32 000 (10) 19 200 (12) 3200 (11)

5 16 000 (13) 17 600 (15) 1600 (14)

Näitame mõned arvutused (kõik väärtused antud tabelis on miljonites EURides):

(1) 80 000

16 0005

d EURi,

(2) 1 0,1 80 000 8000I EURi,

(3) 1 1 16 000 8000 24 000R d I EURi,

(4) 1 80 000 16 000 64 000L EURi,

(5) 2 0,1 64 000 6400I EURi,

(6) 2 2 16 000 6400 22 400R d I EURi,

(7) 2 64 000 16 000 48 000L EURi,

(8) 3 0,1 48 000 4800I EURi,

(9) 3 3 16 000 4800 20 800R d I EURi,

(10) 3 48 000 16 000 32 000L EURi,

(11) 4 0,1 32 000 3200I EURi,

(12) 4 4 16 000 3200 19 200R d I EURi,

(13) 4 32 000 16 000 16 000L EURi,

(14) 4 0,1 16 000 1600I EURi,

(15) 5 5 16 000 1600 17 600R d I EURi,


0,09.2

p i Sarnaselt näitega 2.7.4 esitame tabelina laenu tasumise

graafiku ning vajalikud arvutused:

Aasta k Võlajääk Lk-1

(miljonites

EURides)

Aastane osa-

makse Rk = d + 1k

Põhisummat

kustutav osa d

Intressid Ik

1 120 000 30 800 (3) 10 800 (2)

2 100 000 (4) 29 000 (6) 9000 (5)

3 80 000 (7) 27 200 (9) 20 000 (1) 7200 (8)

4 60 000 (10) 25 400 (12) 5400 (11)

5 40 000 (13) 23 600 (15) 3600 (14)

57

6 20 000 (16) 21800 (18) 1800 (17)

Näitame mõned arvutused (kõik väärtused antud tabelis on miljonites EURides):

(1) 120 000

20 0006

d EURi,

(2) 1 0,09 120 000 10 800I EURi,

(3) 1 1 20 000 10 800 30 800R d I EURi,

(4) 1 120 000 20 000 100 000L EURi,

(5) 2 0,09 100 000 9000I EURi,

(6) 2 2 20 000 9000 29 000R d I EURi,

(7) 2 100 000 20 000 80 000L EURi,

(8) 3 0,09 80 000 7200I EURi,

(9) 3 3 20 000 7200 27 200R d I EURi,

(10) 3 80 000 20 000 60 000L EURi,

(11) 4 0,09 60 000 5400I EURi,

(12) 4 4 20 000 5400 25 400R d I EURi,

(13) 4 60 000 20 000 40 000L EURi,

(14) 5 0,09 40 000 3600I EURi,

(15) 5 5 20 000 3600 23 600R d I EURi,

(16) 5 40 000 20 000 20 000L EURi,

(17) 6 0,09 20 000 1800I EURi,

(18) 6 6 20 000 1800 21800R d I EURi,

2.1.18. Kuna0,12

0,01,12

p i siis valemi (2.7.8) põhjal on liisingumakse

4 12

7000 0,01182,51

1 (1 0,01) (1 0,01)R

123,62 EURi.

2.7.19. Kuna0,12

0,03,4

p i siis valemi (2.7.8) põhjal on liisingumakse

5 4

6000 0,03

1 (1 0,03) (1 0,03)R

391,55 EURi.

2.7.20. Valemi (2.7.9) abil saame 4 12

(7000 1500) 0,01143,40

1 (1 0,01) (1 0,01)R

EURi.

58

2.7.21. Valemi (2.7.9) abil saame 5 4

(6000 1200) 0,03

1 (1 0,03) (1 0,03)R

313,24 EURi

2.7.22. Valemi (2.7.11) põhjal on liisingumakse (0,12

0,0112

p i )

5 125 12

16 500 0,01 0,21 323,39

(1 0,01)1 (1 0,01) (1 0,01)R

EURi.

2.7.23. Valemi (2.7.11) põhjal on liisingumakse (0,12

0,0112

p i )

4 124 12

20 000 0,01 0,231

(1 0,01)1 (1 0,01) (1 0,01)R

447,07 EURi.

2.7.24. Valemi (2.7.12) põhjal saaksime liisingumakseks

4 12 4 12

0,23 0,0120 000 1 5000 316,70

(1 0,01) 1 (1 0,01) (1 0,01)R

EURi.

2.7.25. Intressimäär ühe kuu kohta tuleb 0,18:12 0,015.

a) selle kuu intress = 0,015 350 5,25 EURi,

b) eelmise kuu võlajääk 350 EURi

lisandus ost 85 EURi

intress 5,25 EURi

__________

kokku 440,25 EURi

tagasimakse pangale -75 EURi

___________

kokku 365,25 EURi, see on ka uus võlajääk selle kuu lõpus

c) järgmise kuu intress = 0,015 365,25 5,48 EURi.

2.7.26. Intressimäär ühe kuu kohta tuleb 0,22:12 0,0183.

a) järgneva viie kuu summaarne intress =

5 5(1 0,0183) 250 250 1,0183 1 250 23,73 EURi,

b) esimese kuu võlajääk (1 0,0183) 250 254,58 EURi,

teise kuu võlajääk 2(1 0,0183) 250 259,23 EURi,

kolmanda kuu võlajääk 3(1 0,0183) 250 263,98 EURi,

59

neljanda kuu võlajääk 4(1 0,0183) 250 268,81 EURi,

viienda kuu võlajääk 5(1 0,0183) 250 273,73 EURi.

Kuues kuu: eelmise kuu võlajääk: 273,73 EURi

lisandus ost 125 EURi

intress 0,0183 273,73 5,01 EURi,

__________

kokku 400,74 EURi

tagasimakse pangale -100 EURi

___________

kokku 300,74 EURi, see on ka võlajääk selle kuu lõpus,

c) seitsmenda kuu intress kuuenda kuu võlajäägilt = 0,0183 300,74 5,50 EURi.

2.7.27. Tabelist 2.7.1 näeme, et võttes üheksaks kuuks laenu 250 EURi, on kuumakse suurus 52

EURi. Järelikult kogu laenu kustutamiseks peab Hülger kiirlaenufirmale tasuma 9 52 468

EURi, millest intress moodustab 468 – 250 = 218 EURi. Aastane intressimäär on seega

218: 25012 100%

9 116,27%.

2.7.28. Tabelist 2.7.1 näeme, et võttes kuueks kuuks laenu 200 EURi, on kuumakse suurus 60

EURi. Järelikult kogu laenu kustutamiseks peab Leo kiirlaenufirmale tasuma 6 60 360 EURi,

millest intress moodustab 360 – 200 = 160 EURi. Aastane intressimäär on seega

160 : 20012 100%

6 160%.

2.7.29. Valemi (2.7.13) põhjal 1,75

40003000

(1 )l

1,75 4(1 )

3l

11,254

13

l

0,1787.

2.7.30. Valemi (2.7.13) põhjal 1,5

19001500

(1 )l

1,5 19(1 )

15l

11,519

1 0,1707.15

l

2.7.31. Valemi (2.7.13) põhjal 2

2900 29005000

1 (1 )l l

0,1049l (l > 0 !).

2.7.32. a) Antud juhul 20 12 240,n 0,064

0,0053.12

p i Seega valemi (2.7.1) põhjal

240

1

1 (1 0,0053)70 000

0,0053R

170 000 135,6201R

1

70 000516,15

135,6201R EURi.

60

Nominaalne kuumaksete summa on siis 240 516,15 123876 EURi ning nominaalne intress

123876 - 70 000 = 53 876 EURi.

b) Kui Euribor suureneks 1 protsendipunkti võrra, siis nominaalseks intressimääraks oleks

7,4% ning 0,074

0,0062.12

p i Siis

240

2

1 (1 0,0063)70 000

0,0063R

270 000 124,6994R

2

70 000561,35

124,6994R EURi.

Nominaalne kuumaksete summa on siis 240 561,35 134 724 EURi ning nominaalne intress

134 724 - 70000 = 64 724 EURi. Nominaalne intress suureneks siis 64 724 - 53 876 = 10 648

EURi ehk 10 648

100% 19,76%53 876

võrra.

2.7.33. a) Antud juhul 22 12 264,n 0,058

0,00483.12

p i Seega valemi (2.7.1) põhjal

264

1

1 (1 0,00483)55 000

0,00483R

1 369,22R EURi.

Nominaalne kuumaksete summa on siis 264 369,22 97 474,08 EURi ning nominaalne intress

97 474,08 - 55 000 = 42 474,08 EURi.

b) Kui Euribor suureneks 0,5 protsendipunkti võrra, siis nominaalseks intressimääraks oleks

6,3% ning 0,063

0,00525.12

p i Siis

264

1

1 (1 0,00525)55 000

0,00525R

1 385,50R EURi.

Nominaalne kuumaksete summa on siis 264 385,5 101722 EURi ning nominaalne intress

101722 - 55 000 = 46 722 EURi. Nominaalne intress suureneks 46 722 - 42 474,08 = 4247,92

EURi ehk 4247,92

100% 10%42 474

võrra.

2.7.34. a) Kuumakse 357.61 EURi, intressikulud kokku 27 826.65, tulumaksutagastused kokku

5 843.60, laenukindlustuse maksed kokku 2 882.27, 25-nda osamakse intressid 189.48 EURi,

põhiosa tagasimakse 168.13 EURi, laenukindlustuse makse 17.13 EURi 50-nda osamakse

intressid 174.13 EURi, põhiosa tagasimakse 183.48 EURi, laenukindlustuse makse 17.65 EURi.

61

b) Suurendades intressimäära 0,6% võrra, suureneb summaarne intressikulu 4508,23 EURi ehk

4508,23100% 16,20%

27 826,65 võrra, summaarne tulumaksutagastus 946,72 EURi ehk

946,72100% 16,20%

5843,6 võrra ning summaarne laenukindlustus 36,45 EURi ehk

36,45100% 1,26%

2882,27 võrra; suurendades intressimäära 1,2% võrra, suureneb summaarne

intressikulu 9142,77 EURi ehk 9142,77

100% 32,86%27 826,65

võrra, summaarne tulumaksu-

tagastus 1919,99 EURi ehk 1919,99

100% 32,86%5843,6

võrra ning summaarne laenukindlustus

74,16 EURi ehk 74,16

100% 2,57%2882,27

võrra;; suurendades intressimäära 1,8% võrra,

suureneb summaarne intressikulu 13 900,55 EURi ehk 13 900,55

100% 49,95%27 826,65

võrra,

summaarne tulumaksutagastus 2868,36 EURi ehk 2868,36

100% 49,09%5843,6

võrra ning

summaarne laenukindlustus 109,54 EURi ehk 109,54

100% 3,80%2882,27

võrra.

c) Vähendades tagasimakse tähtaega kolme aasta võrra, väheneb summaarne intressikulu

4580,07 EURi ehk 4580,07

100% 16,46%27 826,65

võrra, summaarne tulumaksutagastus 961,83

EURi ehk 961,83

100% 16,46%5843,6

võrra ja summaarne laenu-kindlustus 465,55 EURi ehk

465,55100% 16,15%

2882,27 võrra; vähendades tagasimakse tähtaega viie aasta võrra, väheneb

summaarne intressikulu 7552,71 EURi ehk 7552,71

100% 27,14%27 826,65

võrra, summaarne

tulumaksutagastus 1586,08 EURi ehk 1586,08

100% 27,14%5843,6

võrra ja summaarne

laenukindlustus 768,68 EURi ehk 768,68

100% 26,67%2882,27

võrra.

62

Märgime, et lahendamisel on kasutatud õppevahendi koostamisel veebilehel olemasolevaid

andmeid ning need võivad maksutagastuse osas (vastavalt võimalikele seadusemuudatustele)

ja laenukindlustuse osas (vastavalt panga tingimuste muudatustele) muutuda.

2.7.35. a) Võrdleme laenu teenindamise nominaalseid kulusid:

Annuiteet Võrdsetes põhiosades

Intressikulu 27826,65 EURi 24461,50 EURi

Laenukindlustus 2882,27 EURi 2605,13 EURi

______________ _____________

Kokku 30708,92 EURi 27066,63 EURi

Tulumaksu tagastus -5843,60 EURi -5136,94 EURi

_______________ _____________

Kokku 24865,32 EURi 21929,69 EURi

Seega võrdsetes põhiosades laenu tagastamise korral on laenu teenindamise nominaalne kulu

väiksem. Siin võiks aga juhtida tähelepanu asjaolule, et võrdsete põhiosade puhul on algul

osamaksete nominaalsed väärtused suuremad (võrrelda mõlema meetodiga saadud makse-

graafikuid), rõhutada, et võrdse nominaalse suuruse korral on varem makstud summa

suurema ajaväärtusega.

b) Mõlema meetodi korral on erinevus ainult laenukindlustuse maksetes, mis mõlemal juhul on

naisel väiksemad kui mehel, st naisele on tingimused soodsamad

c) Mõlema meetodi korral on erinevus ainult laenukindlustuse maksetes, annuiteedi korral see

40 aastasel mehel suurem 4625,44 – 2882,27 = 1743,17 EURi võrra, võrdsete põhiosade korral

4147,68 – 2605,13 = 1542,55 EURi võrra. Summaarsed tulumaksutagastused ühtivad


andmeid ning need võivad maksutagastuse osas (vastavalt võimalikele seadusemuudatustele)

ja laenukindlustuse osas (vastavalt panga tingimuste muudatustele) muutuda.

2.7.36. a) 58 387 EURi, b) 34 059 EURi.


andmeid ning need võivad vastavalt panga tingimuste muudatustele muutuda.

2.7.37. a) 348 EURi, b) 280 EURi, c) 348 EURi, d) 280 EURi, e) 266 EURi.

2.7.38. a) Väheneb vastavalt 19 EURi, 20 EURi, 19 EURi, 20 EURi; 19 EURi võrra

b) Suureneb vastavalt jäägiga kapitalirendi ja järelmaksu korral 29 EURi ning kasutusrendi

korral 30 EURi võrra.

c) Suureneb vastavalt 17 EURi, 21 EURi, 17 EURi, 21 EURi, 17 EURi võrra.

63

2.7.39. Igakuine osamakse 35 EURi, summaarne intressikulu 882 EURi.


andmeid, mis võivad aja jooksul muutuda.

2.7.40. a) Väheneb vastavalt 22 EURi ehk 22

100% 2,49%882

võrra; 43 EURi ehk

43100% 4,88%

882 võrra; 64 EURi ehk

64100% 7,26%

882 võrra.

b) Väheneb vastavalt 86 EURi ehk 86

100% 9,75%882

võrra; 170 EURi ehk

170100% 19,27%

882 võrra; 335 EURi ehk

335100% 37,98%

882 võrra;


andmeid, mis võivad aja jooksul muutuda.

2.7.41. Juhul a) on laenu osamakse suurus 52 EURi, seega üheksa kuuga tuleb tasuda

9 52 468 EURi. Juhul b) on võlg üheksa kuuga kasvanud

90,22

250 1 294,4112

EURi-ni.

Juhul c) arvutame valemiga (2.6.13) ühe osamakse suuruseks

9

0,22 25030,39

0,2212 1 1

12

R

EURi;

siis üheksa kuuga tuleb maksta 9 30,39 273,51 EURi. Näeme, et kõuige kasulikum on osta

järelmaksuga. Siin tuleks aga rõhutada, et kui üheksa kuu vältel sooritada krediitkardi puhul

tagasimakseid, siis võib osutuda kasulikumaks ka krediitkaart. Seega enam-vähem on järelmaks

ja krediitkaart võrdselt soodsad. Konkurentsitult on aga kõige halvem variant sms-laenu

kasutamine.

2.7.42. Juhul a) on laenu osamakse suurus 49 EURi, seega ühe aastaga tuleb tasuda 12 49 588

EURi. Juhul b) on võlg üheksa kuuga kasvanud

120,18

300 1 358,6912

EURi-ni. Juhul c)

arvutame valemiga (2.6.13) ühe osamakse suuruseks

12

0,18 30027,50

0,1812 1 1

12

R

EURi;

64

siis ühe aastaga tuleb maksta 12 27,5 330 EURi. Näeme, et kõuige kasulikum on osta

järelmaksuga. Siin tuleks aga rõhutada, et kui aasta vältel sooritada krediitkardi puhul

tagasimakseid, siis võib osutuda kasulikumaks ka krediitkaart. Seega enam-vähem on järelmaks

ja krediitkaart võrdselt soodsad. Konkurentsitult on aga kõige halvem variant sms-laenu

kasutamine.

2.7.43. a) Kuna hoiuse nominaalne aastaintressimäär on 0,1% (vt lk 38), siis päeva intressiks on

1500 0,0010,004... 0

360

EURi. Seega ka kahe aasta intress on 0 EURi.

b) Kahe aastaga on hoiusel 240,02

1500 (1 1561,1612

EURi, st intress on 61,16 EURi.

2.7.44. a) Päeva intressiks esimese kuu vältel on 3500 0,001

0,009722... 0,01360

EURi. Seega

kuu intress on 0,3 EURi (võtame kuu pikkuseks 30 päeva). Seega ühe kuuga on hoiusel 3500,3

EURi. Järgneval kuul on päeva intressiks samuti 3500,3 0,001

0,009723... 0,01360

EURi.

Järelikult ka teise kuuga lisandus vaid 0,3 EURi ning arvel on teise kuu lõpuks 3500,6 EURi.

Näeme, et sellises aeglases tempos toimuv igakuine kasv ei mõjuta kasutatava ümardamisreegli

tõttu järgneva kuu vältel lisanduvat intressi. Sellises tempos toimuv hoiuse kasv annab kolme

aasta ehk 36 vältel intressi 36 0,3 10,8 EURi. Kui hoida antud hoiust koos lisandunud

intressiga veel ühe kuu vältel hoiusel, saaksime lisandunud intressiks samuti

3510,8 0,0010,009752... 0,01

360

EURi, seega kuuga lisanduks ikkagi vaid 0,3 EURi.

b) Kolme aastaga on hoiusel

360,026

3500 (1 3783,6112

EURi, st intress on 283,61 EURi.

Vastused iseseisvaks mõtlemiseks antud küsimustele

1. Kas näites 2.4.16 esitatud ülesande vastus sõltub investeeringu nimiväärtusest?

Vastus: ei sõltu (vt selles näites antud ülesande lahenduskäiku).

2. Milline on perpetuiteedi tulevikuväärtus?

65

Vastus: alati lõpmatu, sest lim nn

S S

lim (1 ) 1n

n

Rp

p

3. Võrreldes näidetes 2.7.9 ja 2.7.10 esitatud ülesannete lahendusi, hinnata, kumb

laenamiseviis, kas krediitkaardiga või sms-laenu abil, on laenuvõtjale soodsam?

Vastus: krediitkaardiga on konkurentsitult soodsam, sest sms-laenu intress ületab oluliselt

krediitkaardi intressi.

2. FINANTSMATEMAATIKA ELEMENDID · 2012-08-19 · kus inflatsioon või deflatsioon on arvesse...

Documents

Transcript of 2. FINANTSMATEMAATIKA ELEMENDID · 2012-08-19 · kus inflatsioon või deflatsioon on arvesse...