FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

DIFERENCIA DE CUADRADOS. (D.C)

DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.)

TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

CUBOS PERFECTOS.

T.C.P. POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE TÉRMINOS.

TRINOMIO DE LA FORMA 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

POTENCIAS PARES E IMPARES

FACTORIZACIÓN

La factorización es el proceso de expresar una suma en forma de

multiplicación.

Ejemplo:

Es útil para simplificar las expresiones algebraicas y así poder

operarlas con mayor facilidad. Existen unas reglas para factorizar.

Factorizado Sin factorizar

FACTOR COMÚN

Para factorizar por factor común se halla el máximo común divisor

(MCD) y se divide por cada uno de los términos del polinomio.

Características:

● Tiene más de dos términos.

● El MCD de los términos es diferente de 1.

Ejemplo: factorizar el siguiente polinomio.

3𝑤3𝑥4𝑚 + 12𝑤2𝑥𝑚2 − 36𝑤3𝑥2

Se halla el máximo común divisor del polinomio.

El primer factor es el MCD y el

segundo factor es el último

polinomio de la descomposición.

(3𝑥𝑤2)(𝑤𝑥3𝑚 + 4𝑚2 − 12𝑤𝑥)

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE

TÉRMINOS

Es un caso especial de factor común donde se separan por grupos

iguales.

Características:

● Tiene más de 4 términos.

● Se puede dividir en paquetes iguales o sea en cantidades no

primas.

Ejemplo: factorizar el siguiente polinomio

3𝑚2 + 4𝑚 − 6𝑚𝑛 − 8𝑛

Se deben separar en paquetes iguales, utilizando paréntesis, ojo si al

colocarlo antes de este hay un signo menos cambia los signos al

interior del paréntesis.

(3𝑚2 + 4𝑚) − (6𝑚𝑛 + 8𝑛)

Se le saca factor común cada uno de los paréntesis.

𝑚(3𝑚 + 4) − 2𝑛(3𝑚 + 4)

Se vuelve a sacar factor común.

(𝑚 − 2𝑛)(3𝑚 + 4)

Cambia el signo por el

menos antes del

paréntesis

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Este caso es un proceso inverso a los productos notables de la forma:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Características:

● Tiene dos términos.

● Un término es positivo y el otro negativo.

Ejemplo # 1: Factorizar el siguiente binomio:

9𝑥2 − 100𝑦4

Se halla la raíz cuadrada de cada uno de los términos.

√9𝑥2 = 3𝑥 √100𝑦4 = 10𝑦2

Se organizan las raíces en dos paréntesis, uno sumando y el otro

restando respetando el orden inicial.

(3𝑥 + 10𝑦2)(3𝑥 − 10𝑦2)

Ejemplo # 2: Factorizar el siguiente binomio:

𝑥4

100−

81𝑥2𝑦10

4𝑧6

Se halla la raíz cuadrada de cada uno de los términos.

√𝑥4

100=

𝑥2

10 √

81𝑥2𝑦10

4𝑧6=

9𝑥𝑦5

2𝑧3

Se organizan las raíces en dos paréntesis, uno sumando y el otro

restando respetando el orden inicial.

(𝑥2

10+

9𝑥𝑦5

2𝑧3) (

𝑥2

10−

9𝑥𝑦5

2𝑧3)

DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS

Este caso es una operación inversa a los productos notables de la

forma:

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Características:

● Tienen 2 términos.

● Ambos tienen raíz cúbica exacta.

Ejemplo # 1: Factorizar

𝑥3 − 8

Se saca la raíz cúbica a ambos términos.

√𝑥33= 𝑥 √8

3= 2

Se organiza el primer paréntesis, colocando las raíces cúbicas con el

signo que divide los términos del polinomio dado.

(𝑥 − 2)

Se abre otro paréntesis y se coloca el cuadrado del primer término

del paréntesis anterior.

(𝑥 − 2)((𝑥)2 )

Si el signo del primer paréntesis es “+” se intercala el signo del

segundo paréntesis, si es “-” se colocan todos positivos. El segundo

término es la multiplicación de los términos del primer paréntesis.

(𝑥 − 2)((𝑥)2 − (𝑥 )(2 ) )

El tercer término del segundo paréntesis, es el cuadrado del

segundo término del primer paréntesis.

(𝑥 − 2)((𝑥)2 − (𝑥 )(2 ) + (2 )2)

Y se resuelve:

(𝑥 − 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)

Ejemplo # 2: Factorizar

64𝑥3 + 729

Se saca la raíz cúbica a ambos términos.

√64𝑥33= 4𝑥 √729

3= 9

Se organiza el primer paréntesis, colocando las raíces cúbicas con el

signo que divide los términos del polinomio dado.

(4𝑥 + 9)

Se abre otro paréntesis y colocamos el cuadrado del primer

término del paréntesis anterior.

(4𝑥 + 9)((4𝑥)2 )

Si el signo del primer paréntesis es “+” se intercala el signo del

segundo paréntesis, si es “-” se colocan todos positivos. El segundo

término es la multiplicación de los términos del primer paréntesis.

(4𝑥 + 9)((4𝑥)2 − (4𝑥 )(9 ) )

El tercer término del segundo paréntesis, es el cuadrado del

segundo término del primer paréntesis.

(4𝑥 + 9)((4𝑥)2 − (4𝑥 )(9 ) + (9 )2)

Y se resuelve:

(4𝑥 + 9)(16𝑥2 − 36𝑥 + 81)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Este proceso es un proceso inverso a los productos notables cuando

tienen la forma:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Características:

● Tiene tres términos.

● La multiplicación de las raíces de dos de ellos por dos da el otro

término.

Ejemplo: Factorizar.

100𝑥10 + 9𝑎6𝑦12 − 60𝑎3𝑥5𝑦6

Se halla la raíz cuadrada de los términos que tengan el mayor grado

relativo o aquellos que no tengan parte literal.

Se multiplican las raíces por “2”.

(10𝑥5)(3𝑎3𝑦6)(2) = 60𝑥5𝑎3𝑦6

Si da el otro término, se dice que es un trinomio cuadrado perfecto

y para resolverlo se abre un paréntesis al cuadrado, se colocan las

raíces halladas y se separan con el signo del término al que no se le

halló raíz.

(10𝑥5 − 3𝑎3𝑦6)2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE TÉRMINOS

Es un caso especial donde involucra trinomio cuadrado perfecto y

diferencia de cuadrados.

Características:

● Tiene tres términos.

● Dos de los términos tienen raíz cuadrada exacta.

● El grado de la parte literal del término que no tiene raíz

cuadrada es la mitad del grado de los términos que tiene raíz

cuadrada exacta.

Ejemplo: Factorizar:

100𝑥8 − 64𝑎2𝑥4𝑦6 + 9𝑎4𝑦12

Se hallan las raíces de los términos con el grado relativo mayor.

Se multiplican las raíces por “2”.

(10𝑥4)(3𝑎2𝑦6)(2) = 30𝑎2𝑥4𝑦6

Como no da el otro término se suma y se resta la cantidad que se

excedió o quedó faltando.

100𝑥8 − 64𝑎2𝑥4𝑦6 + 4𝑎2𝑥4𝑦6 − 9𝑎4𝑦12 − 4𝑎2𝑥4𝑦6

Se suma y se separan los tres primero términos que forman un

trinomio cuadrado perfecto.

(100𝑥8 − 60𝑎2𝑥4𝑦6 − 9𝑎4𝑦12) − 4𝑎2𝑥4𝑦6

(10𝑥4 − 3𝑎2𝑦6)2 − 4𝑎2𝑥4𝑦6

Luego se hace diferencia de cuadrados.

[10𝑥4 − 3𝑎2𝑦6 + 2𝑎𝑥2𝑦3][10𝑥4 − 3𝑎2𝑦6 − 2𝑎𝑥2𝑦3]

TRINOMIO DE LA FORMA 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Este caso es un proceso inverso a los productos notables de la forma:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Características:

● Tiene tres términos.

● Van en forma descendente los exponentes.

● El coeficiente del término de mayor grado es 1.

Ejemplo: factorizar

𝑥2 − 15𝑥 + 54

Se organiza en forma descendente y se simplifica el término

independiente.

Se buscan dos números que cumplan con:

( )( ) = 𝑐 ( ) + ( ) = 𝑏

En este caso.

(−9)(−6) = 54 (−9) + (−6) = −15

Se abren dos paréntesis y se coloca la raíz del primero con los

números hallados.

(𝑥 − 9)(𝑥 − 6)

TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Este caso es semejante al anterior y se hace de la siguiente forma:

Ejemplo: Factorizar:

4𝑥2 + 15𝑥 + 9

Se multiplica y se divide por “a” en este caso por “4”.

4(4𝑥2 + 15𝑥 + 9)

4

Se multiplica dejando el segundo término indicado.

16𝑥2 + 15(4𝑥) + 36

4

Luego se simplifica “36”.

Se buscan dos números que cumplan con:

( )( ) = 36 ( ) + ( ) = 15

En este caso.

(3)(12) = 36 (3) + (12) = 15

Se abren dos paréntesis y se coloca la raíz del primero con los

números hallados.

(4𝑥 + 3)(4𝑥 + 12)

4

Se saca factor común a cada paréntesis si tiene y se simplifica.

=(4𝑥 + 3)4(𝑥 + 3)

4= (4𝑥 + 3)(𝑥 + 3)

CUBOS PERFECTOS

Un cubo perfecto es una operación inversa al producto notable de

la forma:

(𝑥 + 3)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3

(𝑥 − 3)3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3

Características:

Tiene 4 términos.

El primero y el cuarto son cubos perfectos.

El segundo término dividido por 3 y la raíz del cuarto término

da como resultado la raíz del primer término al cuadrado.

El tercer término dividido por 3 y la raíz del primer término da

como resultado la raíz del cuarto término al cuadrado.

Los signos del primer y el tercer término siempre son positivos.

Los signos del segundo y cuarto término siempre son iguales.

Ejemplo: Factorizar

64𝑚3 + 48𝑚2𝑛 + 𝑛3 + 12𝑚𝑛2

Primero se ordena el polinomio con respecto a l cualquiera de las

variables.

64𝑚3 + 48𝑚2𝑛 + 12𝑚𝑛2 + 𝑛3

Se saca la raíz cúbica del primer y cuarto término.

√64𝑚33= 4𝑚 → √𝑛33

= 𝑛

El segundo término se divide por “3” por el cuadrado de la raíz del

primer término y debe dar la raíz del cuarto.

48𝑚2𝑛

3(4𝑚)2=

48𝑚2𝑛

3(16𝑚2)=

48𝑚2𝑛

48𝑚2= 𝑛

El tercer término se divide por “3” por el cuadrado de la raíz del

cuarto término y debe dar la raíz del primero.

12𝑚𝑛2

3(𝑛)2=

12𝑚𝑛2

3(𝑛2)=

12𝑚𝑛2

3𝑛2= 4𝑚

Al cumplir con estas condiciones se está hablando de un cubo

perfecto, por lo tanto, se abre un paréntesis al cubo, con las raíces

del primer y cuarto término, separadas con el signo del segundo

término.

(4𝑚 − 𝑛)3

POTENCIAS PARES E IMPARES

Son binomios que tienen la forma 𝑥𝑛 ± 𝑎𝑛 y para factorizarlos se

deben tener en cuenta las siguientes condiciones.

Si “n” es impar.

𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 = (𝑥 + 𝑎)[𝑥𝑛−1 − (𝑥𝑛−2)(𝑎) + (𝑥𝑛−3)(𝑎2) … . . +𝑎𝑛−1]

𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)[𝑥𝑛−1 + (𝑥𝑛−2)(𝑎) + (𝑥𝑛−3)(𝑎2) … . . +𝑎𝑛−1]

Si “n” es par.

𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 + 𝑎)[𝑥𝑛−1 − (𝑥𝑛−2)(𝑎) + (𝑥𝑛−3)(𝑎2) … . . −𝑎𝑛−1]

Ejemplo: Factorizar

𝑥7 + 𝑦7

Es impar y positivo se utiliza:

𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 = (𝑥 + 𝑎)[𝑥𝑛−1 − (𝑥𝑛−2)(𝑎) + (𝑥𝑛−3)(𝑎2) … . . +𝑎𝑛−1]

(𝑥 + 𝑦)[𝑥6 − (𝑥5)(𝑦) + (𝑥4)(𝑦2) − (𝑥3)(𝑦3) + (𝑥2)(𝑦4) − (𝑥1)(𝑦5) + 𝑦6]

𝑥7 + 𝑦7 = (𝑥 + 𝑦)[𝑥6 − 𝑥5𝑦 + 𝑥4𝑦2 − 𝑥3𝑦3 + 𝑥2𝑦4 − 𝑥1𝑦5 + 𝑦6]

Ejemplo: Factorizar 𝑎5 − 𝑏10

Es impar y negativo se utiliza:

𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)[𝑥𝑛−1 + (𝑥𝑛−2)(𝑎) + (𝑥𝑛−3)(𝑎2) … . . +𝑎𝑛−1]

𝑎5 − 𝑏10 = (𝑎 − 𝑏2)[𝑎4 + (𝑎3)(𝑏2) + (𝑎2)(𝑏4) + (𝑎)(𝑏6) + (𝑏8)]

𝑎5 − 𝑏10 = (𝑎 − 𝑏2)[𝑎4 + 𝑎3𝑏2 + 𝑎2𝑏4 + 𝑎𝑏6 + 𝑏8]

BIBLIOGRAFÍA

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www.wikipedia.com

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William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida

Garavito Ramírez. Con lógica 8. Ed Educar. 2012.

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Ricardo Tabares. Trinomio cuadrado perfecto por adición y

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Julio Alberto Ríos Gallego. Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

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Julio Alberto Ríos Gallego. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

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Laura Vergel Benavides. Factorización de un cubo perfecto de

un binomio. 2012. Disponible en:

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Matemática y listo. Suma o Resta de potencias de igual grado -

Sexto caso de factorización. 2011. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=vMgRiMQSKDM