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Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-1
2. Der ebene Spannungszustand
2.1 Schubspannung
2.2 Dünnwandiger Kessel
2.3 Ebener Spannungszustand
2.4 Spannungstransformation
2.5 Hauptspannungen
2.6 Dehnungen
2.7 Elastizitätsgesetz
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-2
2.1 Schubspannung
● Betrachtet wird ein Stab, der an seinen Enden durch die Kräfte F belastet wird.
● Der Stab wird durch eine Ebene geschnitten, die schräg zur Stabachse verläuft.
F Fφ
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-3
2.1 Schubspannung
● Schnittfläche:
– A ist die Fläche eines Schnitts senkrecht zur Stabachse.
hφ
b
h φA
φ
h=hcos h=h
cos
A=hb=h bcos
=A
cos
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-4
2.1 Schubspannung
● Schnittkräfte:– Die Schnittkraft wird in eine Komponente senkrecht zur
Schnittebene und eine Komponente parallel zur Schnittebene zerlegt.
FN
Q
φ
x
y
φ
F
N=F cos
Q=F sin
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-5
2.1 Schubspannung
– Die Komponente N senkrecht zur Schnittebene wird als Normalkraft, die Komponente Q parallel zur Schnittebene als Querkraft bezeichnet.
● Spannungen:– Normalspannung:
– Schubspannung:
=NA
=FAcos2
=QA
=FAsincos
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-6
2.1 Schubspannung
– Mit den trigonometrischen Beziehungen
und folgt:
– Der größte Wert der Normalspannung ist σ0 und wird für
einen Schnittwinkel φ = 0° angenommen.
– Der größte Wert der Schubspannung ist σ0/2 und wird für
einen Schnittwinkel φ = 45° angenommen.
cos2=12
1cos 2 , sincos=12sin 2
0=F / A
=0
21cos 2 , =
0
2sin 2
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2.1 Schubspannung
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-8
2.1 Schubspannung
– Die Normalspannung wirkt einem Auseinander-reißen der Schnittebenen senkrecht zur Schnittflä-che entgegen.
– Die Schubspannung wirkt einem Gleiten der Schnittebenen entgegen.
– Die Kenntnis der Schub-spannung ist z.B. wichtig, wenn der Stab in der Schnittfläche geklebt ist.
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2.1 Schubspannung
● Klebeverbindung:
– Die Klebenähte werden auf Schub beansprucht:
2F
F
F
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2.2 Dünnwandiger Kessel
● Betrachtet wird ein zylindrischer Kessel unter Innendruck.● Die Wandstärke des Kessels soll klein gegenüber seinem
Radius sein: t≪r
r
t
p
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-11
2.2 Dünnwandiger Kessel
● Spannung in Längsrichtung:– Schnitt senkrecht zur
Kesselachse– Druckkraft:
– Gleichgewicht in Längsrichtung:F
p
σx
σx
x
r
F p= r 2 p
−F p2 r t x=0
x= r2 p2r t
=12prt
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2.2 Dünnwandiger Kessel
● Spannung in radialer Richtung:– Es wird ein Halbkreisrohr
ausgeschnitten.– Druckkraft:
– Gleichgewicht in vertikaler Richtung:
Fp
σφ
σxσ
x
r
Δx
F p=2 r x p
−F p2 t x=0
=2r x p2 t x
= prt
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2.2 Dünnwandiger Kessel
● Spannungen am Flächenelement:– Kesselformeln:
σx
σx
σφ
σφ
p r
t
x=p r2 t
=p rt
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2.3 Ebener Spannungszustand
● Wird aus einer dünnwan-digen Struktur ein kleines rechteckiges Flächen-element herausge-schnitten, so wirken an seinen Rändern sowohl Normal- als auch Schub-spannungen.
σx
σx
σy
σy
τxy
τxy
τyx
τyx
x
y
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2.3 Ebener Spannungszustand
● Vorzeichenkonvention:– Positive Spannungen zeigen am positiven Schnittufer in die
positive Koordinatenrichtung und am negativen Schnittufer in die negative Koordinatenrichtung.
– Positive Normalspannungen beanspruchen das Flächen-element also auf Zug und negative auf Druck.
● Bezeichnung der Schubspannungen:– Der erste Index gibt die Koordinatenachse an, die senkrecht
auf der Schnittkante steht, und der zweite Index die Koordi-natenrichtung, in der die Spannung wirkt.
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-16
2.3 Ebener Spannungszustand
● Momentengleichgewicht:
σx
σx
σy
σy
τxy
τxy
τyx
τyx
x
y
Δy/2
Δy/2
Δx/2 Δx/2
A
Dicke t
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2.3 Ebener Spannungszustand
– Betrachtet wird ein infinitesimales Flächenelement mit Kantenlängen Δx und Δy und Wandstärke t.
– Ergebnis:
∑ M A=0 : x2
xy y t x2
xy y t− y2
yx x t− y2
yx x t=0
xy− yx=0
xy= yx
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2.4 Spannungstransformation
● Aufgabenstellung:– bekannt: – gesucht:
σ ξ
σ η
τ ξη
τ ηξ
ξ
η
x
y
φφ
τ ηξ
τ ξησ ξ
σ η
σx
σx
σy
σy
τxy
τxy
τyx
τyx
x
y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-19
2.4 Spannungstransformation
– Bekannt seien die Spannungen σx , σ
y und τ
xy in Schnitten
parallel zu den Koordinatenachsen.
– Gesucht sind die Spannungen σξ , σ
η und τ
ξη in Schnitten,
die gegenüber den Koordinatenachsen um den Winkel φ gedreht sind.
– Die Kenntnis dieser Spannungen ist nötig, wenn● entlang dem Schnitt eine Fügenaht verläuft (Schweissnaht,
Klebenaht)● die Werkstoffeigenschaften richtungsabhängig sind (z.B.
Holz, Faserverbundwerkstoffe)
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-20
2.4 Spannungstransformation
● Gleichgewicht am Dreieckselement:
σx
σy
τxy τ
yx
x
y
τξη
σ ξ
ξ
η
φ
φ
Δη
Δx
Δy
Dicke t
x=sin
y=cos
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2.4 Spannungstransformation
– Gleichgewicht:
∑ F x=0 : − x t y−t yx t xcos t−sin t=0
cos−sin= x cosxy sin
∑ F y=0 : − y t x−xy t y sin tcos t=0
sincos= y sin yx cos
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2.4 Spannungstransformation
– Mit τyx
= τxy
folgt:
– Wird der Winkel φ durch den Winkel φ + 90° ersetzt, so folgt:
cos−sin = x cosxy sin sincos = y sinxy cos
∣ cossin ∣ −sincos
= x cos2 y sin
22xy sincos
= − x− y sincosxy cos2−sin2
= x sin2 y cos
2−2xy sincos
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2.4 Spannungstransformation
– Trigonometrische Beziehungen:
● Ergebnis:
2sincos=sin 2 , cos2−sin2=cos 2
sin2=12
1−cos 2 , cos2=12
1cos 2
=12
x y 12
x− y cos 2 xy sin 2
=12
x y −12
x− y cos 2 − xy sin 2
= −12
x− y sin 2 xycos 2
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-24
2.4 Spannungstransformation
● Invarianten:– Addition der ersten beiden Transformationsgleichungen
ergibt:
– Eine einfache Rechnung zeigt:
– Die Größen I1 und I
2 hängen also nicht vom Koordinatensys-
tem ab. Sie werden als Spannungsinvarianten bezeichnet.
x y==I 1
x y−xy=−=I 2
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-25
2.4 Spannungstransformation
● Hydrostatischer Zustand:
– Gilt σx = σ
y = σ und τ
xy = 0, so gilt in jedem Koordinatensys-
tem:
– Die Normalspannungen sind in jeder Richtung gleich, wäh-rend die Schubspannung verschwindet.
– Dieser Spannungszustand wird als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet.
== , =0
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-26
2.5 Hauptspannungen
● Definition:– Eine Schnittrichtung, für die die Schubspannung
verschwindet, heißt Hauptrichtung.– Die zugehörigen Normalspannungen werden als Haupt-
spannungen bezeichnet.● Ermittlung der Hauptrichtungen:
– Aus τxy
= 0 folgt:
12
x− y sin 2H =xy cos2H tan 2H =2xy
x− y
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2.5 Hauptspannungen
– Der Winkel 2φH wird aus der Umkehrung der Tangens-
Funktion ermittelt:
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-28
2.5 Hauptspannungen
– Zu einem gegebenen Wert des Tangens gibt es zwei Win-kel zwischen 0° und 360°, die denselben Wert liefern.
– Diese Winkel unterscheiden sich um 180°.– Es gibt also zwei Hauptrichtungen
und
die senkrecht aufeinander stehen.
1=2H
2
x
y
ξ
η
φ1
φ2
2=2H180 °
2=190°
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2.5 Hauptspannungen
● Ermittlung der Hauptspannungen:– Mit den trigonometrischen Beziehungen
folgt aus den Transformationsgleichungen:
sin 2H =tan 2H
1tan22H
, cos2H =1
1tan22H
1/2=12
x y ±12
x− y
14xy
2
x− y2
±2xy
2
x− y 14xy
2
x− y2
=12
x y ±12
x− y 24xy
2
x− y 24xy
2
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-30
2.5 Hauptspannungen
– Ergebnis:
– Die Hauptspannungen werden üblicherweise so numme-riert, dass σ
1 > σ
2 gilt.
– Welcher der beiden Winkel zu σ1 gehört, kann durch
Einsetzen des Winkels in die Transformationsgleichungen ermittelt werden.
1/2=12
x y ± x− y
2 2
xy2
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2.5 Hauptspannungen
● Der Mohrsche Spannungskreis:
– Sind die Hauptspannungen σ1 und σ
2 sowie der Winkel φ
1
bekannt, so lassen sich die Spannungen σx , σ
y und τ
xy aus
den Transformationsgleichungen ermitteln.– Das Hauptachsensystem wird
dabei um den Winkel -φ1 gedreht.
x
y
1
2
φ1
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2.5 Hauptspannungen
– Damit folgt:
– Diese Gleichungen lassen sich im Mohrschen Spannungs-kreis geometrisch darstellen.
x =12
12 12
1−2 cos 21
y =12
12 −12
1−2 cos 21
xy =12
1−2 sin 21
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2.5 Hauptspannungen
– Mohrscher Spannungskreis:
½(σ1 + σ
2) ½(σ
1 - σ
2)
2φ1
σ1
σ2
σx
σy
τxy
τmax
P
Q
σ
τ
M
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-34
2.5 Hauptspannungen
– Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises aus σx , σ
y
und τxy
:
● Der Punkt P hat die Koordinaten ( σx , τ
xy ).
● Der Punkt Q hat die Koordinaten ( σy , -τ
xy ).
● Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Schnittpunkt der Ver-bindungslinie der Punkte P und Q mit der σ-Achse.
● Nun können die Hauptspannungen und der Winkel φ1 abge-
lesen werden.● Achtung: Im Mohrschen Spannungskreis wird der positive
Winkel im Uhrzeigersinn gemessen.
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-35
2.5 Hauptspannungen
● Maximale Spannungen:– Aus dem Mohrschen Spannungskreis kann abgelesen
werden:● Die 1. Hauptspannung σ
1 ist die größte Normalspannung.
● Die 2. Hauptspannung σ2 ist die kleinste Normalspannung.
Ihre Richtung steht senkrecht auf der Richtung der größten Normalspannung.
● Die größte Schubspannung τmax
tritt für eine Schnittrichtung
auf, die mit der ersten Hauptrichtung einen Winkel von 45° bildet.
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-36
2.5 Hauptspannungen
● Der Wert der größten Schubspannung berechnet sich zu
max=1−2
2=
x− y
2 2
xy2
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-37
2.5 Hauptspannungen
● Beispiel:– In einem Punkt eines ebenen dünnwandigen Bauteils
werden die folgenden Spannungen gemessen:
– Gesucht:● Hauptspannungen und
Hauptrichtungen● Größte Schubspannung und
zugehörige Schnittrichtung
90MPa
-20MPa
60MPa
x
y x=−20MPa , y=90MPa
xy=60MPa
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-38
2.5 Hauptspannungen
– Mohrscher Spannungskreis (1MPa = 5mm)
-20
90
60
σ1
σ2
σ
τmax
τ
2φ1
P
Q
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-39
2.5 Hauptspannungen
– Hauptspannungen:
x− y
2 2
xy2=552602MPa=81,39MPa
x y
2=35MPa
1=35MPa81,39MPa=116,4MPa
2=35MPa−81,39MPa=−46,39MPa
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-40
2.5 Hauptspannungen
– Hauptrichtungen:
● Der Taschenrechner liefert dazu den Winkel -47,49°.● Der Mohrsche Spannungskreis zeigt, dass der doppelte
Winkel für die 1. Hauptspannung zwischen 90° und 180° liegt.● Also gilt:
tan 21=2⋅60
−20−90=−
1211
=−1,091
21=−47,49°180°=132,5° 1=66,26°
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-41
2.5 Hauptspannungen
– Größte Schubspannung:
● Die zugehörige Schnittrich-tung schließt mit der x-Achse eine Winkel von 21,26° ein.
max=1−2
2
=116,446,39
2MPa
=81,40MPa
116,
4MP
a
-46,
39M
Pa
1
2
x
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-42
2.6 Dehnungen
● Verformung:– Infolge der Spannungen verformt sich ein belasteter Körper.– Die Verformung wird durch einen ortsabhängigen Verschie-
bungsvektor u(P) beschrieben.
P
P'
F
u
x
yx P ' =x P u P
x P '=x Pu x x P , yP y P '= yPu y x P , yP
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-43
2.6 Dehnungen
● Verzerrung:– Die Verformung eines kleinen Elementes besteht aus einer
Verschiebung, einer Verdrehung und einer Verzerrung.– Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des
Elementes:● Änderung der Kantenlängen● Änderung der Winkel
● Dehnungen:– Die Verzerrung wird durch die Dehnungen beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-44
2.6 Dehnungen
– Unverformt:
– Verformt: x
y
P Q
R
P'
Q'
R'
Δx
Δy β
α
P : x P , yPQ : x P x , yP R : x P , yP y
x P '=x Pu x x P , yP y P '= yPu y x P , yP xQ'=x P xu x x P x , yPyQ'= yPu y x P x , yP x R '=x Pu x x P , yP y y R '= yP yu y x P , yP y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-45
2.6 Dehnungen
– Taylorreihenentwicklung der Verschiebungen bis zum 1. Glied:
u x x P x , yP =u x x P , yP ∂u x∂ x
x
u y x P x , yP =u y x P , yP∂u y∂ x
x
u x x P , yP y =u x x P , yP ∂u x∂ y
y
u y x P , yP y=u y x P , yP∂u y∂ y
y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-46
2.6 Dehnungen
– Damit gilt für die Koordinaten im verformten Zustand:
– Längenänderungen:● Länge der Strecke P'Q':
xQ '=x P ' x∂u x∂ x
x , yQ '= yP '∂u y∂ x
x
x R '=x P '∂u x∂ y
y , yR '= yP ' y∂u y∂ y
y
P ' Q '= xQ'−x P ' 2 yQ'− yP '
2=1
∂u x∂ x
2
∂u y∂ x
2
x
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-47
2.6 Dehnungen
● Für kleine Verformungen gilt:
● Damit folgt:
● Mit gilt für die Dehnung:
● Entsprechend folgt:
∣∂u y∂ x ∣≪1
P ' Q '≈1∂u x∂ x x
PQ= x x=P ' Q '−PQ
PQ=∂u x∂ x
y=P ' R '−PR
PR=∂u y∂ y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-48
2.6 Dehnungen
– Winkeländerung:● Die Änderung des Winkels QPR beträgt● Für kleine Winkeländerungen gilt:
xy=
≈ tan =x R '−x P 'yR '− y P '
=
∂u x∂ y
y
1∂u y∂ y y
≈∂u x∂ y
≈ tan =yQ'− yP 'xQ'−x P '
=
∂u y∂ x
x
1∂u x∂ x x
≈∂u y∂ x
xy=∂u x∂ y
∂u y∂ x
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-49
2.6 Dehnungen
● Ergebnis:– Bei kleinen Deformationen gilt für die Dehnungen:
– Die Winkeländerung γxy
wird als Gleitung oder Scherung bezeichnet.
x =∂u x∂ x
y =∂u y∂ y
xy=∂u x∂ y
∂u y∂ x
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-50
2.6 Dehnungen
● Beispiel:– Gegeben sind die Ver-
schiebungen
– Die Dehnungen berech-nen sich zu
u x x , y =a xb yu y x , y =c xd y
x=∂u x∂ x
=a , y=∂u y∂ y
=d
xy=∂u x∂ y
∂u y∂ x
=bc
A = A'
B
CD
1
1
x
y
b
a + b
a
c
d c + d
B'
C'
D'
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-51
2.7 Elastizitätsgesetz
● Das Elastizitätsgesetz stellt eine Beziehung zwischen den Spannungen und den Dehnungen her.
● Im Folgenden wird ein homogener isotroper Körper be-trachtet.– Homogen: Die Materialeigenschaften sind an jeder Stelle
gleich.– Isotrop: Die Materialeigenschaften sind in allen Richtungen
gleich.
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-52
2.7 Elastizitätsgesetz
● Lastfall 1: nur Normalspannung in x-Richtung
– Der Stab verlängert sich in x-Richtung.– Zusätzlich tritt eine Querkontraktion in y- und z-Richtung
auf.
FF
x
y
z
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-53
2.7 Elastizitätsgesetz
– Bei linear-elastischem Material gilt für die Dehnungen:
– Die Konstante ν heißt Querkonstraktionszahl oder Poisson-zahl.
– Es lässt sich zeigen:● Für ν = 0,5 bleibt das Volumen des Körpers konstant (z.B. bei
Gummi).● Der Wert der Poissonzahl kann nicht größer als 0,5 sein.
x= x
E, y=−x , z=−x
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-54
2.7 Elastizitätsgesetz
– Typische Werte der Poissonzahl:
● Lastfall 2: Nur Normalspannung in y-Richtung– Ganz entsprechend gilt für die Dehnungen:
Material Eisen Stahl Aluminium Magnesium0,21 – 0,26 0,27 – 0,30 0,33 0,35Poissonzahl
y= y
E, x=− y , z=− y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-55
2.7 Elastizitätsgesetz
● Lastfall 3: Reine Schubspannung– Bei linear-elastischem Material gilt für
die Scherung:
– Die Materialkonstante G heißt Schubmodul.
τyx
x
yxy=
xy
G
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-56
2.7 Elastizitätsgesetz
● Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand:– Der allgemeine ebene Spannungszustand ist eine Über-
lagerung der drei betrachteten Lastfälle:
– Dazu kommt die entkoppelte Gleichung für die Dehnung in z-Richtung:
x=1E
x− y , y=1E
y− x , xy=1Gxy
z=−
E x y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-57
2.7 Elastizitätsgesetz
– Es lässt sich zeigen, dass
gelten muss, damit das Materialgesetz richtungsunabhän-gig ist.
● Temperaturlast:– Für die Dehnungen infolge einer Temperaturänderung gilt:
– Bei einem isotropen Material führt eine Temperatur-änderung zu keiner Gleitung.
G=E
21
x=TT , y=TT
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-58
2.7 Elastizitätsgesetz
● Ergebnis:– Dehnungs-Spannungs-
Beziehungen:
x=1E
x− y TT
y=1E
y− x TT
xy=1Gxy
– Spannungs-Dehnungs-Beziehungen:
x=E
1−2 x y−1TT
y=E
1−2 yx−1TT
xy=G xy
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-59
2.7 Elastizitätsgesetz
● Beispiel:– Eine Stahlplatte sitzt passgenau in einem
Hohlraum.– Sie kann an den Seiten reibungsfrei
gleiten.– Die Stahlplatte wird gleichmäßig um ΔT
erwärmt.– Gesucht:
● Änderung der Höhe● Spannungen
b
h
x
y
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-60
2.7 Elastizitätsgesetz
– Aus dem Gleichgewicht in y-Richtung folgt: – In x-Richtung kann sich die Platte nicht ausdehnen:– Damit lautet die 2. Gleichung der Spannungs-Dehnungs-
Beziehungen:
– Die Höhenänderung berechnet sich zu
y=0
x=0
0= y−1TT y=1TT
h=∫0
h
ydy=h y=h1TT
Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-61
2.7 Elastizitätsgesetz
– Aus der 1. Gleichung der Spannungs-Dehnungs-Bezie-hungen folgt:
– Zahlenwerte:● h = 200mm, ΔT = 100K
● E = 2,1·105N/mm2, ν = 0,3, αT = 1,2·10-5K-1
● Δh = 0,312mm, σx = -252N/mm2 (Druckspannung)
x=E
1−2 y−1TT =
E
1−21−1TT
=−E TT