Cálculo I

Lista de Exercícios – Limites

1) Calcule os limites:

2 ) 5

39 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp

46

232 lim)

34

353 lim)

45

332 lim)

43

523 lim)

35

32 lim))574( lim)

3

2

2

3

23

2

2

1

3

2

2

2

2

3

2

1

fedcba

x

xxf

x

xxxe

x

xxd

xx

xxc

x

xxbxxa

xxx

xxx

2) Calcule os limites abaixo:

3) Calcule:

58x4xx

46x3xx lim f)

x4

x8 lim e)

1x

1x lim d)

25x2x

35x2x limc)

x2

x4 limb)

1x

1x lim a)

23

23

1 x2

3

2 x2

3

1 x

2

2

21 x

2

2 x

2

1 x

1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba

) ) ) ))))):.Resp

1

1 lim)

1

1 lim)

3

21 lim)

2

4 lim)

253 lim)

)1(

31 lim)

)1(

32 lim )

)2(

43 lim)

1 1

3 2 2

2

0

21 21 22

hgfedcba

xh

xg

x

xf

x

xe

x

xxd

x

xc

x

xb

x

xa

xx

xxx

xxx

4) Calcule os limites:

5) Calcule os limites:

Exercícios Complementares

1. Calculando-se

3 2

22

2)

3 2lim

x

x x xd

x x

, obtém-se

a) 0.

75

32)lim x

xe

x

12

211)

3limx

xc

x

1032

74)

2

3

lim xx

xxb

x

253) 2

lim

xxax

12

13)

2

3

lim xx

xxd

x

124

121)

2

3

limx

xf

x

84

63)

2

limx

xxg

x

3

3 2

2 2 3)

3 3 5limx

x xh

x x x

3/2 ) ) )

5/2 ) ) 0 ) ) ):.Resp

hgf

edcba

) ) ) ) ):.Resp

)43(lim) )4(lim)

)345(lim) )54(lim) )32(lim)

3

2

2

edcba

xexd

xxcxbxa

xx

xxx

b) 1. c) 2. d) 4. e) 6.

2. O é igual a

a) 1/9. b) 1/27. c) 1/243. d) 1/243. e) 1/54.

3. O valor de é

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) ∞.

4. vale

a) 7e b) e7

c) 7 – e d) 7 + e e) 7e

5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.

a) I, II e III são falsas. b) Apenas as afirmações I e II são falsas. c) I, II e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e III são falsas. e) Apenas as afirmações II e III são falsas.

6. Calculando-se , obtém-se

a) 1/4. b) 1/5. c) 1/6. d) 1/7. e) 1/8.

7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é

a) 2.

b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.

Assinale-a:

a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).

d)

e) 9. é igual a

a) . b) 0. c) 1.

d) - . e) 4.

10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:

a)

b)

c)

d)

e) f(1) = 2

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1) 2)

3) 4) Não existe pois e

5) 6) 7)

EXERCÍCIOS ESPECIAIS

a) RESP 0 b) RESP -2

Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E E B D E C D C A C

c) RESP 1/3 d) RESP 1/2

e) RESP 2

1

3

a

a

f) RESP 3X2

g) RESP 1 h) RESP 1/2

i) RESP 3 j) RESP 1

k) RESP -1/56 l) RESP 12

m) RESP 3/2 n) RESP -1/3

o) RESP 1 p) RESP 2

X: x

q) RESP 3 2

1

3 x r) RESP -1/3

LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS

Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x

2 + a1x + a0

( ) n

nx xLim f x Lim a x

Para o cálculo de limite com x toma-se o termo de maior grau da função

e aplica-se o limite .

Exemplos : 2 2(2 3) 2x xLim x x Lim x

Exercícios complementares:

1) 3 2

4

2 4 1

3 2 2x

x xLim

x x

R 0

2) 4

4 3

4 3

3 1x

x xLim

x x

R 4/3

3) 3 2

2

4 2 3

2 3 8x

x x xLim

x x

R

4) 4

2

2 1

2 1x

x xLim

x

R ½

LIMITES DE FUNÇÕES

Seja xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número ""a , exceto possivelmente

no próprio ""a . Então, diz-se que o limite de xf quando x tende a ""a ax é L , e representa-se

por

Lxfax

lim

se ax0 para todo 0 há um número correspondente 0 tal que Lxf sempre que

ax0 , isto é, se Lxfax0 .

Exemplo: Provar que 754lim3

xx

Solução:

(a) Encontrar um valor para :

Uma análise preliminar do problema indica que se 0 , deve encontrar-se um tal que

754x sempre que 30 x ,

mas

3434124754 xxxx sempre que 30 x ,

isto é,

43

x sempre que 30 x , logo

4

.

(b) Prova:

Por tanto, dado 0 , escolhe-se 4

, e se 30 x , então,

4443434124754 xxxx

Assim

754x sempre que 30 x ,

por tanto

754lim3

xx

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 3x

donde

751253454lim3

xx

Exemplos:

a) 93lim 22

3

x

x

b) 2774575lim4

xx

c)

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função

2

443 2

x

xxxf , com 2x , isto é,

0

0

2

443lim

2

2

x

xxxf

x Indeterminação,

estudando-se esta função, tem-se que o domínio de xf abrange todos os números reais, com exceção de

2x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém,

ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,

02 cbxaxa

acbbx

2

42 .

Assim,

32

2

6

84

6

48164

2

1

x

xx

232

)2)(23(

2

443 2

x

x

xx

x

xxxf

Desta forma, tem-se que

823lim2

)2)(23(lim

2

443lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxf

xxx,

Exercícios:

0

0

4

16lim

2

4

x

x

x Indeterminação,

onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto.

Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,

48)4(lim)4(

)4)(4(lim

44

xyx

x

xx

xx

Em 4 xxf , o ponto 8,4 deve ser excluído do gráfico, pois 4x , pois o domínio de xf é:

,44,/: xD e tem como imagem

O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , xf se aproxima de 8 , mas

se substituir-se 2x na 1a expressão, xf não está definida naquele ponto.

223 xxxf

Ponto 8,2

deve ser

excluído do

gráfico, pois

naquele

ponto a

função é

indefinida.

X

2

8 Y

x xf

300,8100,2

030,8010,2

003,8001,2

000,8000,2

997,7999,1

970,7990,1

700,7900,1

,88,/: yI .

3.1 - Propriedades dos Limites

1) xvvexuuparavuvuaxaxax

limlimlim

2) xuuparauCuCaxax

limlim e C é uma constante

3) xvvexuuparavuvuaxaxax

limlimlim

4)

xvvexuupara

v

u

v

u

ax

ax

ax

lim

limlim

5) xuuparauum

ax

m

ax

limlim

6) xuuparauu max

m

ax

limlim

7) xuuparauuax

aaax

limlogloglim

8) xvvexuuparauuv

ax

v

ax

ax

limlimlim

9) ,,0,00,00

e 0,,0 kk

10) Indeterminações de limites:

1,0,,,

0

0,0, 00

Exemplos:

1) 2

3

4

9

3lim

18lim

3

18lim

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

2) 0

0

1

34lim

2

2

1

x

xx

x Indeterminação

Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se

Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,

Y

X

4

4

4

8

0342 xx2

12164 x (Baskara)

3

1

2

24

2

1

x

xx

31342

21

2 xxxxxxxxcbxax

donde,

)1(

)3)(1(lim

21

z

zz

z

Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,

1111101 222 zzzzzz

assim,

12

2

)1(

)3(lim

)1)(1(

)3)(1(lim

11

z

z

zz

zz

zz

3)

12lim3

23lim

0

0

3

65lim

33

2

3

x

x

xx

x

xx

xxx

4) 0

024lim

0

x

x

x Indeterminação

Neste caso, para eliminar a indeterminação 0

0 , se deve racionalizar o numerador , isto é,

22 bababa . Desta forma, tem-se:

24

44lim

24

2424lim

24lim

000

xx

x

xx

xx

x

x

xxx

4

1

24lim

1

24

1lim

24lim

0

00

xxxx

x

x

xx

3.2 - Limites Notáveis

Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) tende a diminuir, o

valor do asen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite

notável no caso é

3.2.1 - Limite do seno

1

senlim

0

s

sen

arS sen , se aSr sen;1

6) Calcular

x

x

x

5senlim

0 faz-se

55

txtx , para 00 tx

515sen

lim5sen5

lim5

senlim

000

t

t

t

t

t

t

ttt

7)

3

2

31

21

33

3sen

22

2sen

lim3sen

2senlim

00

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xx

8)

1

1

11

cos

1lim

senlim

cos

1senlim

tanlim

0000

xx

x

xx

x

x

x

xxxx

Limite que define o número “e ”

O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.

ex

y

x

x

11lim

x y

1 2

10 5937,2

100 7048,2

1000 7169,2

10000 7181,2

x 7182818,2e

Exemplo:

a

x

xe

x

a

1lim põe-se azx

zx

a

1 para zx

a

az

z

az

z

x

xe

zzx

a

11lim

11lim1lim

Limites infinitos de funções racionais

Se a função for do tipo )()(lim xQxPyx

, isto é,

01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1limbxbxbxbxbxb

axaxaxaxaxay

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

x

,

que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador

pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se mn , tem-se:

n

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

n

x

x

bxbxbxbxbxb

x

axaxaxaxaxa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

nnnn

m

m

n

m

m

n

m

m

nnnn

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

b

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

a

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

nnnmn

m

mn

m

mn

m

nnn

nnn

x

x

b

x

b

x

b

x

b

x

b

x

bx

a

x

a

x

a

x

a

x

aa

y0

1

1

2

2

2

2

1

1

0

1

1

2

2

2

21

lim

,

e passando ao limite, tem-se:

0000000

00000 nn aay

.

Se nm , tem-se:

m

m

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

x

x

bxbxbxbxbxb

x

axaxaxaxaxa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

mmmm

m

m

m

m

m

m

m

m

mmmm

n

n

m

n

n

m

n

n

x

x

b

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

a

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

mmm

mm

m

mmmmn

n

mn

n

nm

n

n

x

x

b

x

b

x

b

x

b

x

bb

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

xa

y0

1

1

2

2

2

21

0

1

1

2

2

2

2

1

1

lim

,

e passando ao limite, tem-se:

00

00000

000000

mm bby

.

Se mn , tem-se:

n

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

n

x

x

bxbxbxbxbxb

x

axaxaxaxaxa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

bxbxbxbxbxb

x

axaxaxaxaxa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

nnnn

n

n

n

n

n

n

n

n

nnnn

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

b

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

xb

x

a

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

x

xa

y01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1

lim

,

nnn

nnn

nnn

nnn

x

x

b

x

b

x

b

x

b

x

bb

x

a

x

a

x

a

x

a

x

aa

y0

1

1

2

2

2

21

0

1

1

2

2

2

21

lim

,

e passando ao limite, tem-se: n

n

n

n

b

a

b

ay

00000

00000

.

Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os

limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,

01

2

2

2

2

1

1

01

2

2

2

2

1

1limbxbxbxbxbxb

axaxaxaxaxay

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

x

mn

m

n

xm

m

n

n

xm

m

n

n

xx

b

a

xb

xa

xb

xay limlim

00000

00000lim

.

Assim, se ymn , se m

n

b

aymn e se 0 ynm .

Exemplos:

1)

32

5lim

2

2

x

x

x, o resultado daria

(indeterminação)

Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem:

2

5

02

5

3lim2

5

32

5lim

32

5

lim

2222

2

2

2

xxxx

x

x

x

x

xx ,

ou simplesmente

2

51lim

2

5lim

2

5

2

5lim

32

5lim

2

2

2

2

2

2

xxxx x

x

x

x

x

x

2) Calcular o limite

0

1

00

01

11lim

1lim1

11

11

lim1

1

lim1

1lim

2

3

3

3

33

2

33

3

2

3

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

ou

x

x

x

x

x

xxxlimlim

1

1lim

2

3

2

3

3) Calcular o limite

3

33

33

3

3 33 3 7

5

3lim7

5

371

5lim

371

5

lim37

5lim

xx

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

ou

3333 333 33 3 7

51lim

7

5lim

7

5

7

5lim

7

5lim

37

5lim

xxxxx x

x

x

x

x

x

x

x

4) Calcular o limite

30lim37

lim37

lim37lim 33

3

3

3

2332

x

xx

x

x

x

xxxx

xxxx

3lim33lim30lim 333 xxxxxx

ou simplesmente

3232 lim3lim737lim xxxxxxx

Limites Laterais

a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de xf quando x tende a a (ou que o limite de xf quando x

tende a a pela esquerda) é L e representa-se por

Lxflimax

se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax

Exemplo:

0

1

0

1

2

2

22 cos

sen

xcos

xsenlimxtanlim

xx

b) Definição: Diz-se que o limite direito de xf quando x tende a a (ou que o limite de xf quando x

tende a a pela direita) é L e representa-se por

Lxflimax

se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax

Exemplo:

0

1

0

1

2

2

22 cos

sen

xcos

xsenlimxtanlim

xx

EXERCÍCIOS:

2) Resolver os limites abaixo:

14. y

yy

1

01lim

11. 2

65lim

2

2

x

xx

x

12. 2

4lim

2

2

x

x

x

13. 1

1lim

2

3

1

x

x

x

16. h

h

h

9)3(lim

2

0

17. h

h

h

42lim

0

18. 323 26

4lim

x

x

x

19. y

yay

1

01lim

15.

3 3 37

5lim

x

x

x

20) 32 37lim xxx