1/X פרק 1א חקירת פונקציה רציונלית
Transcript of 1/X פרק 1א חקירת פונקציה רציונלית
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
0
אחד חלקי איקס חקירה א': 2 פרק
2332מועד א קיץ תשס"ז 30303מבחן בגרות .1שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf4
5)(
מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ? )א(.
.x –רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה )ב(.
.x –יתוך של הפונקציה עם ציר ה מצא את נקודת הח )ג(.
מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ד(.
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ה(
פתרון:
0xתחום ההגדרה הוא : ? . מהו תחום ההגדרה של הפונקציה(א)
0x האסימפטוטה : .x –רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה .(ב)
.x –. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה (ג)
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
)0,1()0,4(
2
35
)1(2
)4)(1(425)5(
450
450
/4
50
0
45)(
2,1
2,1
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
y
xxxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
1
.. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן(ד)
:נקודות הקיצון
min)9,2(
max)1,2(
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ה(
תחומי ירידה: x2 , 2 x
תחומי עליה:20 x 02 -ו x
: תשובה סופית
)9,2(min)ד( )0,4)(0,1( )ג( x= 0)ב( 0x)א( max)1,2(
ירידה תחום )ה( x2 ,2 x 20עלייה תחום x 02 -ו x
נגזרת ראשונהm=0
22
4
410
410
0)('
41)('
/4
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)9,2(
9)2(
4)2(5)2(
)1,2(
1)2(
4)2(5)2(
45)(
f
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
max4)2(2)2(''
min4)2(2)2(''
2)(''
f
f
xxf
x ירידה x עלייה x עלייה x ירידה x x 2 x 0 x
2
x
)9,2(
)0,1(
)1,2(
)0,4(
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
2
תשע"א 2313מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 2 שאלה מספר
5נתונה הפונקציה 4
xxy
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(
.x –גרף הפונקציה עם ציר ה מצא את נקודות החיתוך של )ב(
מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ג(
שרטט סקיצה של הפונקציה. )ד(
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ה(
פתרון:
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = .א( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה)
.x –מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה (ב)
. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.(ג)
:נקודות הקיצון
max)9,2(
min)1,2(
נגזרת ראשונהm=0
22
4
410
40
0)('
41)('
/4
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)9,2(
95)2(
4)2()2(
)1,2(
15)2(
4)2()2(
54
)(
f
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min4)2(2)2(''
max4)2(2)2(''
2)(''
f
f
xxf
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
)0,1()0,4(
2
35
)1(2
)4)(1(425)5(
450
540
/54
0
0
54
)(
2,1
2,1
2
2
x
x
xx
xx
xx
x
y
xxxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
3
)ד( שרטט סקיצה של הפונקציה.
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. )ה(
תחומי עלייה: x2 , 2 x
20 תחומי ירידה: x 02 -ו x
תשובה סופית:
x 0 )א( )ג( )0,4)(0,1( )ב( max)9,2(min)1,2( )שרטוט )ד
עליה )ה( x2 ,2 x 20ירידה x 02 -ו x
)9,2(
)0,1(
)1,2(
)0,4(
0x
x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x x 2 x 0 x
2
x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
4
2312מועד חורף 03830מבחן בגרות : 0מספר שאלה
2נתונה הפונקציה 16
xx
y .
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ) אם יש כאלה(. .(ב)
גן.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סו .(ג)
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .(ד)
נמק ?איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה . Vלפניך ארבעה גרפים .(ה)
פתרון
0xמפטוטה =האסי 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
x –מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה (ב)
. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.(ג)
:נקודות הקיצון
max)10,4(
min)6,4(
נגזרת ראשונהm=0
44
1610
1160
0)('
116)('
/116
)('
21
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)10,4(
102)4()4(
16)4(
)6,4(
62)4()4(
16)4(
216
)(
f
f
xx
xf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min8)4(2)2(''
max8)4(2)2(''
2)(''
f
f
xxf
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
xx
xxx
y
xx
xf
2160
/216
0
0
216
)(
2
2
602
)1(2
)16)(1(44)2(
1620
2,1
2,1
2
x
x
xx
x -ם ציר השורש שלילי לכן אין חיתוך ע
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
5
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .(ד)
תחומי עלייה: x4 , 4 x
תחומי ירידה:40 x 04 -ו x
את הפונקציה הנתונה . נמק לפניך ארבעה גרפים איזה מבין הגרפים מתאר .(ה)
מתאים לפונקציה לפי נקודות הקיצון מספר גרף
: סופית תשובות
)10,4(min)6,4(max)ג( לא קיימים נקודות חיתוך עם הצירים )ב( 0x)א(
עליה תחום )ד( x44או ו x 40ירידה תחום x, 04או ו x
גרף מספר )ה(
)16,4(
)6,4( x
y
x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x
x 4 x 0 x
4
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
6
תשע"א. 2311 מועד ב קיץ 03330מבחן בגרות : 4שאלה מספר
1נתונה הפונקציה 36
Kxx
y (K הוא פר)מטר
.5הוא 3xשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה
.K)א( מצא את
ה. –בפונקציה וענה על הסעיפים ב 9Kהצב את הערך
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. (.ב)
סוגן.מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את (.ג)
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. (.ד)
לפניך ארבעה גרפים . איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. (.ה(
פתרון
.K)א( מצא את
0x=האסימפטוטה 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(ב)
. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.(ג)
:נקודות הקיצון
max)35,2(
min)37,2(
נגזרת ראשונהm=0
22
4
369
3690
9360
0)('
936)('
/936
)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)35,2(
351)2(9)2(
36)4(
)37,2(
371)2(9)2(
36)4(
1936
)(
f
f
xx
xf
ת שנייהנגזרmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min36)2(18)2(''
max36)2(18)2(''
18)(''
f
f
xxf
פונקציה
136
)( kxx
xf
נגזרת ראשונה
5
45
)3(
365
53
36)('
2
2
k
k
k
mx
kx
xf
רמזים
5
3
m
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
7
. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.(ד)
תחומי העלייה והירידה:
עלייה: תחום x2 , 2 x
20 ירידה:תחום x 02 -ו x
לפניך ארבעה גרפים . איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק.)ה(
מתאים לפונקציה לפי נקודות הקיצון Vגרף מספר
: תשובה סופית
)35,2(min)37,2(max)ג(. 0x )ב(. 9K )א(.
עלייה תחום ( ד) x2 2 אוו x 20ירידה תחום x 02 אוו x
Vגרף )ד(
)35,2(
)37,2( x
y
x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x
x 2 x 0 x
2
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
8
2008 פברואר תשס"חמועד 03330 מבחן בגרות: 3שאלה מספר
1נתונה הפונקציה 4
4)(
x
xx f .
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(.
.x –טה המאונכת לציר ה מצא את האסימפטו )ב(.
מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. )ג(.
נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה )ד(.
y -ה ואנך לציר x –מנקודת המקסימום של הפונקציה , העבירו אנך לציר ה )ה(
.y –וציר ה x –חשב את שטח המלבן שנוצר על ידי האנכים , ועל ידי ציר ה
האם לפונקציה (.ו)x
xx g x
4
4)()0( ? מצא את נקודות –אם כן יש נקודות קיצון
נמק. –הקיצון . אם לא
פתרון
0xתחום הגדרה = .רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה .(א)
0xהאסימפטוטה = .x –מצא את האסימפטוטה המאונכת לציר ה .(ב)
. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.(ג)
:נקודות הקיצון
min)3,4(
max)1,4(
נגזרת ראשונהm=0
44
16
160
4
160
0)('
4
16)('
4/4
4
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)1,4(
11)4(
4
4
)4()4(
)3,4(
31)4(
4
4
)4()4(
14
4)(
f
f
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
max8)4(2)4(''
min8)4(2)4(''
2)(''
f
f
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
9
נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה .(ד)
y -ואנך לציר ה x –מנקודת המקסימום של הפונקציה , העבירו אנך לציר ה )ה(
.y –וציר ה x –נכים , ועל ידי ציר החשב את שטח המלבן שנוצר על ידי הא
האם לפונקציה .(ה)x
xx g x
4
4)()0( ? יש נקודות קיצון
נמק. –מצא את נקודות החיתוך . אם לא –אם כן
שורש שלילי
לא קיימת נקודת קיצון בפונקציה
: סופית תשובה
x 0)א(. .)0)ב x .)ג(min)3,4(max)1,4(
אין קיצון.(. ו) Sמלבן4 (ה) (. אין נק' חיתוך)ד
נגזרת ראשונהm=0
2
2
2
2
4
16)('
4/4
4
1)('
x
xxg
xx
xg
יהפונקצ
y=?
x
xxg
4
4)(
16
160
160
0)('
2
2
2
x
x
x
x
xg
שורש שלילי
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
0
14
4)(
y
x
xxf
2
484
)1(2
)16)(1(4164
2,1
2,1
x
x
x -שורש שלילי לכן אין חיתוך עם ציר ה
1640
4160
4/14
40
2
2
xx
xx
xx
x
)1,4(
)3,4(
0x
4
8
שטח המלבן
3248
S
baS
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
10
תשס"ט 2332מועד אוקטובר 03330ת מבחן בגרו: 6שאלה מספר
נתונה הפונקציה )א(. x
xx f x
7
7)()0( מצא את שיעורי נקודות הקיצון וקבע את סוגן
הראה כי לפונקציה )ב(. 7
7)()0(
x
xx g x .אין נקודות קיצון נמק
:פתרון
נתונה הפונקציה.(א) x
xx f x
7
7)()0( דות הקיצון וקבע את סוגןמצא את שיעורי נקו
:נקודות הקיצון
min)2,7(
max)2,7(
הראה כי לפונקציה .(ב)7
7)()0(
x
xx g x נקודות קיצון נמקאין.
שורש שלילי
לא קיימת נקודת קיצון בפונקציה
: תשובה סופית
)2,7(max )א(. min)2,7( .)אין נקודות קיצון שורש שלילי )ב
נגזרת ראשונהm=0
77
49
490
490
0)('
7
491)('
7/7
7
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)2,7(
2)7(
7
7
)7()7(
)2,7(
2)7(
7
7
)7()7(
7
7)(
f
f
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min14)7(2)7(''
max14)7(2)7(''
2)(''
f
f
xxf
נגזרת ראשונהm=0
2
2
2
2
7
49)('
7/7
7
1)('
x
xxg
xx
xg
פונקציה
y=?
x
xxg
7
7)(
49
490
7
490
0)('
2
2
2
x
x
x
x
xg
שורש שלילי
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
11
"טתשס חורףמועד 30303 מבחן בגרות: 2שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
axy
4
2 a הוא פרמטר
מקביל לישר 2x ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה2
1
4
3 xy
.a)א( מצא את הערך של
ד : –, וענה על הסעיפים ב 4aהצב
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. . (ב)
מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. . (ג)
ה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ?האם יש לפונקצי . (ד)
מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה (.ה)
פתרון
.a)א( מצא את הערך של
0xמפטוטה =האסי 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(ב)
נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ג)
:נקודות הקיצון
max)5.2,4(
min)5.1,4(
נגזרת ראשונהm=0
44
16
160
4
160
0)('
4
16)('
4/4
4
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)5.2,4(
5.2)4(
4
4
2
4
)4()4(
)5.1,4(
5.1)4(
4
4
2
4
)4()4(
4
4
2
4)(
4
4
2)(
f
f
x
xxf
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min8)4(2)4(''
max8)4(2)4(''
2)('
f
f
xxf
פונקציה
x
a
x
xxf
x
axxf
2
4)(
4
2)(
נגזרת ראשונה
4
41
)2(4
1
4
3
4
32
4
1)('
2
2
a
a
a
mx
x
axf
רמזים
4
3
2
m
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
12
נמק. – מצא את נקודות החיתוך . אם לא –? אם כן x –האם גרף הפונקציה חותך את ציר ה .(ג)
מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה (. ה)
:תחום עלייה
x4 4או ו x
:תחום ירידה
40 x 04או ו x
: ה סופיתתשוב
)5.2,4(max( ג) 0x)ב( 4a)א( min)5.1,4( (ד) לא
:( תחום עלייהה) x4 , 4 אוו x40: תחום ירידה x 04או ו x
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
0
4
4
2)(
y
x
xxf
2
602
)1(2
)16)(1(44)2(
2,1
2,1
x
x
x -שורש שלילי לכן אין חיתוך עם ציר ה
1620
4/4
4
20
2
xx
xx
x
)5.2,4(
)5.1,4(
x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x
x 4 x 0 x
4
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
13
2311מועד נובמבר 03330מבחן בגרות : 8שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xy
8
8
4
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.
מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. . )ב(
יהסרטט סקיצה של גרף הפונקצ )ג(.
ומי העלייה והירידה של הפונקציה מצא את תח )ד(.
וישרים המקבילים x –דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו ישרים המקבילים לציר ה . )ה(
. מצא את שטח המלבן המוגבל על ידי ארבעת הישרים.y –לציר ה
פתרון
ה.רשום את תחום ההגדרה של הפונקצי .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ב)
:נקודות הקיצון
max)5.2,8(
min)5.1,8(
נגזרת ראשונהm=0
88
64
640
8
640
0)('
8
64)('
8/8
8
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)5.2,8(
5.2)8(
8
8
4
8
)8()8(
)5.1,8(
5.1)8(
8
8
4
8
)8()8(
8
8
4
8)(
8
8
4)(
f
f
x
xxf
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(לגזור את המונה כדי לקבוע סימן מספיק)
min16)8(2)8(''
max16)8(2)8(''
2)(''
f
f
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
14
. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה)ג(
? מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה . )ד(
הפונקציה יורדת בתחומים :
08 x ,80 x
בתחומים :עולה הפונקציה
x8 ,8 x
x –ישרים המקבילים לציר ה דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו . )ה(
על ידי ארבעת הישרים. . מצא את שטח המלבן המוגבל y –וישרים המקבילים לציר ה
תשובה סופית:
)5.1,8(max)5.2,8(min)ב( 0x)א( ג( שרטוט(
עלייה תחום )ד( xאווx 8008ירידהתחום 88 xואוx
64S )ה(
שטח המלבן
64416
S
baS
)5.2,8(
)5.1,8(
x עלייה x ירידה x ירידה x עלייה x
x 8 x 0 x
8
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
16
4
y
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
15
.2שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxy
3632
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. )א(.
מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. )ב(.
באילו תחומים הפונקציה יורדת ? )ג(.
האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ? )ד(.
פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ב)
:נקודות הקיצון
max)15,6(
min)9,6(
באילו תחומים הפונקציה יורדת ? .(ג)
יורדת בתחום: הפונקציה
60 x06 ואו x
נגזרת ראשונהm=0
66
36
360
3610
0)('
361)('
/36
1)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
)15,6(
15)6(
363)6()6(
)9,6(
9)6(
363)6()6(
363)(
363)(
363)(
2
2
f
f
xxxf
xx
x
x
xxf
x
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min12)6(2)6(''
max12)6(2)6(''
2)(''
f
f
xxf
)15,6(
)9,6(
x עלייה x היריד x ירידה x עלייה x
x 6 x 0 x
6
x
דים(תחום עלייה וירידה )קדקו
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
16
האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים ? אם כן , מהן ? אם לא נמק מדוע אין ? . (ד)
תשובה סופית:
)ב( 0x)א( max)15,6(min)9,6(
60 תחום הירידה)ג( x 06 ואו x )לא)ד
.x –חיתוך עם ציר ה
y=0
0
363)(
2
y
x
xxxf
2
1403
)1(2
)36)(1(44)3(
2,1
2,1
x
x
x -שורש שלילי לכן אין חיתוך עם ציר ה
3630
/363
0
2
2
xx
xx
xx
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
17
.0231 פברואר תשע"ג מועד 30803מבחן בגרות :13שאלה מספר
נתונה הפונקציה 2
1
8
1
2
1)(
x
xxf
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ון של הפונקציה , וקבע את סוגן.ב. מצא את נקודות הקיצ
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. ,, ,Vד. לפניך ארבעה גרפים
פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן. . מצא את שיעורי (ב)
:נקודות הקיצון
max)1,2(
min)0,2(
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה
הפונקציה יורדת בתחומים :
02 x ,20 x
בתחומים :עולה הפונקציה
x2 ,2 x
. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? ,, ,Vלפניך ארבעה גרפים ד.
נמק. 2הגרף המתאים בהתאם לנקודות הקיצון הוא גרף מספר
תשובה סופית:
)0,2(min )ב( 0xתחום הגדרה = .(א) max)1,2(
עלייה: )ג( x2 2 ואו x :20ירידה x02 ואו x )גרף מספר )ד
נגזרת ראשונהm=0
22
4
82
280
28
280
0)('
28
28)('
28/8
1
2
1)('
8
1
4
2)('
8
1
)2(
21)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
xxf
xxf
פונקציה
y=?
)1,2(
12
1
8
)2(
)2(2
1)2(
)0,2(
02
1
8
)2(
)2(2
1)2(
2
1
82
1)(
2
1
8
1
2
1)(
f
f
x
xxf
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min8)2(4)2(''
max8)2(4)2(''
4)(''
f
f
xxf
x עלייה
x ירידה x ירידה
x עלייה x
x 2 x 0 x
2
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
18
:11שאלה מספר
נתונה הפונקציה 9
2
27
1
3
1)(
x
xxf
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק. ,, ,Vד. לפניך ארבעה גרפים
פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
ת הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן.נקודו . מצא את שיעורי (ב)
:נקודות הקיצון
max)0,3(
min),3(94
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה
הפונקציה יורדת בתחומים :
03 x ,30 x
חומים :בתעולה הפונקציה
x3 ,3 x
. איזה מבין הגרפים יכול לתאר את הפונקציה הנתונה ? ,, ,Vלפניך ארבעה גרפים ד.
נמק. 2המתאים בהתאם לנקודות הקיצון הוא גרף מספר הגרף
תשובה סופית:
(min )ב( 0xתחום הגדרה = .(א)9
4,3( max)0,3(
עלייה: )ג( x3 3ואו x :30ירידה x 03ואו x )גרף מספר )ד
נגזרת ראשונהm=0
33
9
273
3270
327
3270
0)('
327
327)('
327/27
1
3
1)('
27
1
9
3)('
27
1
)3(
31)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
xxf
xxf
פונקציה
y=?
)0,3(
09
2
27
)3(
)3(3
1)3(
),3(
9
4
9
2
27
)3(
)3(3
1)3(
9
2
273
1)(
9
2
27
1
3
1)(
94
f
f
x
xxf
x
xxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min18)3(6)3(''
max18)3(6)3(''
6)(''
f
f
xxf
x עלייה
x ירידה x ירידה
x עלייה x
x 3 x 0 x
3
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
19
.0231 גתשע" א קיץ מועד : 30803מבחן בגרות :12שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf1
2
12)(
)א(. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון
של הפונקציה , וקבע את סוגן על פי הציור.
משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ההעבירו )ב( 2
1x
1x משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ו העבירו
מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין שני המשיקים
:פתרון
)א(. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגן על פי הציור.
:נקודות הקיצון
min)2,5.0(
max)2,5.0(
משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבהישר ההעבירו )ב( 2
1x משיק לגרף הפונקציה ישר העבירו ו
מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין שני המשיקים 1x בנקודה שבה
תשובה סופית:
,2(min)א( 2
1( max)2,
2
1( )2 )בy 1
2
11 xy )2,2(
ונהנגזרת ראשm=0
5.05.0
25.0
280
4
280
0)('
4
28)('
4/4
22)('
)2(
212)('
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xf
xxf
פונקציה
y=?
)2,5.0(
2)5.0(2
1)5.0(2)5.0(
)2,5.0(
2)5.0(2
1)5.0(2)5.0(
2
12)(
1
2
12)(
f
f
xxxf
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min8)5.0(16)5.0(''
max8)5.0(16)5.0(''
16)(''
f
f
xxf
פונקציה
y=?
)5.2,1(
2
12
)1(2
1)1(2)1(
1
2
12)(
f
x
xxxf
נגזרת ראשונה
m=?
5.1
)12(
22)('
)2(
212)('
2
2
m
xf
xxf
המשיקמשוואת
1x -ב
15.1
5.25.15.1
)1(5.15.2
5.1)5.2,1(
)( 11
xy
xy
xy
m
xxmyy
המשיק משוואת
5.0x -ב
2
)5.0(02
0)2,5.0(
)( 11
y
xy
m
xxmyy
נקודת המפגש
ין המשיקיםב
)2,2(
2
5.13
15.12
x
x
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
20
אחד חלקי איקס : חקירה ב'
מועד חורף תשס"ז 03330מבחן בגרות : 10שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf16
1)( 2
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. (.)ב
שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג(
באילו תחומים הפונקציה עולה ובאלו תחומים היא יורדת . . )ד(
:פתרון
0xימפטוטה =האס 0xתחום הגדרה = רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:נקודות הקיצון
min)11,2(
נגזרת ראשונהm=0
2
8
1620
1620
0)('
162)('
/16
2)('
3
3
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xxf
פונקציה
y=?
)11,2(
11)2(
161)2()2(
161)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min24)2(6)2(''
6)(''
2
2
f
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
21
)ג( שרטט סקיצה של גרף הפונקציה
נקציה עולה באילו תחומים הפו . )ד(
ובאלו תחומים היא יורדת .
:תחום עלייה x2
20 : תחום ירידה x 0 ואו x
: תשובה סופית
)11,2(min)ב( 0x)א( ט)ג( שרטו
20 ירידהתחום )ב( x 0ואו x תחום עלייה x2
)11,2(
נגזרת ראשונהm=?
18
)1(
16)1(2)1('
1
162)('
2
2
m
f
x
xxxf
הפונקציה יורדת
x עלייה x ירידה x ירידה x
x 2 x 0 x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
22
.14שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf2
8
1)( 2
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.
קציה, וקבע את סוגה.מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונ )ב(.
שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג(
באילו תחומים הפונקציה עולה ובאלו תחומים היא יורדת . . )ד(
:פתרון
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
צא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה.מ )ב(.
:נקודות הקיצון
min)5.1,2(
נגזרת ראשונהm=0
2
8
810
4
810
0)('
4
81)('
4/2
4
1)('
3
3
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xxf
פונקציה
y=?
)5.1,2(
5.1)2(
2)2(
8
1)2(
2
8
1)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min12)2(3)2(''
3)(''
2
2
f
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
23
שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג(
באילו תחומים הפונקציה עולה ובאלו תחומים היא יורדת . . )ד(
:תחום עלייה x002 - אוו x
2 :תחום ירידה x
: תשובה סופית
)5.1,2(min)ב( 0x)א( ג( שרטוט(
עליה: תחום )ד( x002 - אוו x 2ירידה תחום x
)5.1,2(
נגזרת ראשונהm=?
4
12
)1(
2
4
)1()1('
1
2
4
1)('
2
2
m
f
x
x
xxf
עולההפונקציה
x עלייה x עלייה x ירידה x
x 0 x
2
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
24
.13שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf2
)( 2
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
רף הפונקציהשרטט סקיצה של ג )ג(
באילו תחומים הפונקציה עולה ובאלו תחומים היא יורדת . . )ד(
:פתרון
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. מצא את השיעורים של נקודת )ב(.
:נקודות הקיצון
min)3,1(
נגזרת ראשונהm=0
1
1
220
4
220
0)('
22)('
/2
2)('
3
3
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xxf
פונקציה
y=?
)3,1(
3)1(
2)1()2(
2)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min6)1(6)2(''
6)(''
2
2
f
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
25
שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )ג(
באילו תחומים הפונקציה עולה . )ד(
ובאלו תחומים היא יורדת .
10 עולה: הפונקציה x
הפונקציה יורדת: x1 , 0 x
: תשובה סופית
)3,1(min )ב( 0x)א( )שרטוט )ג
ירידה תחום )ד( x1 0 ואו x 10ה ייעלתחום x
)3,1(
נגזרת ראשונהm=?
4
)1(
2)1(2)1('
1
22)('
2
2
m
f
x
xxxf
הפונקציה יורדת
x עלייה x ירידה x ירידה x
x 1 x 0 x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
26
מועד חורף תש"ע 03330מבחן בגרות : 16שאלה מספר
22נתונה הפונקציה x
xy
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. . )א(
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה , וקבע את סוגה. . )ב(
נמק. x0הפונקציה עולה או יורדת עבור קבע אם . )ג(
Vלפניך ארבעה גרפים )ד( ,, ,
Vאיזה מבין הגרפים הוא הגרף של הפונקציה הנתונה. נמק.,,
x <0 ורמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הנתונה עב . )ה(
:פתרון
את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:ודות הקיצוןנק
max)3,1(
נמק. x > 3)ג(. קבע אם הפונקציה עולה או יורדת עבור
גדול מאפס x=1נבחר
נציב בנגזרת הראשונה
נגזרת ראשונהm=0
1
1
220
220
0)('
22)('
/22
)('
3
3
2
3
2
3
2
2
x
x
x
x
x
xf
x
xxf
xxx
xf
פונקציה
y=?
)3,1(
3)1()1(
2)2(
2)(
2
2
f
xx
xf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
max6)1(6)1(''
6)(''
2
2
f
xxf
נגזרת ראשונהm=?
6
6)1(2)1(
4)1('
22
)('
2
2
m
f
xx
xf
x > 3הפונקציה יורדת עבור
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
27
ד(. לפניך ארבעה גרפים , איזה מבין הגרפים הוא הגרף )
של הפונקציה הנתונה. נמק.
)max)3,1הגרף המתאים לנקודת קיצון
3הוא גרף מספר x > 0ולירידה עבור
x < 0 )ה(. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הנתונה עבור
נבנה טבלה מתאימה :
01 הפונקציה יורדת: x
1הפונקציה עולה: x
: תשובה סופית
)max)3,1 ב 0 xא. .גרף ד הפונקציה יורדתג .
1תחום עלייה ה. x 01תחום ירידה x ואו x0
x
y 1
x
y 2
x
y 0
x
y 4
)3,1(
x ירידה x ירידה x עלייה x
x 0 x
1
x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
נגזרת ראשונהm=?
6
6)1(2)1(
4)1('
22
)('
2
2
m
f
xx
xf
x > 3הפונקציה יורדת עבור
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
28
מועד חורף תשע"א 03330מבחן בגרות : 12שאלה מספר
הפונקציה נתונהx
xxf4
16)( 2 .
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )א(.
ם של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה.מצא את השיעורי )ב(.
1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה )ג(.
נמק. . 2x (2) 1x( 1) מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהם: )ד(.
:פתרון
רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:נקודות הקיצון
min)12,5.0(
1x)ג(. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה
נגזרת ראשונהm=0
5.08
1
4320
4320
0)('
432)('
/4
32)('
3
3
2
3
2
3
2
2
xx
x
x
x
xf
x
xxf
xx
xxf
פונקציה
y=?
)12,5.0(
12)5.0(
4)5.0(16)5.0(
416)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
min24)5.0(96)2(''
96)(''
2
2
f
xxf
פונקציה
y=?
)20,1(
20)1(
4)1(16)1(
416)(
2
2
f
xxxf
נגזרת ראשונהm=?
28
28)1(
4)1(32)1('
432)('
2
2
m
f
xxxf
משוואת משיק )ישר(
828
202828
)1(28)20(
28)20,1(
)( 11
xy
xy
xy
m
xxmyy
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
29
נמק. 2x (2 )1x( 1(. מצא אם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות שבהם: ))ד
: סופית תשובה
x 0)א(. .)ב( min)12,5.0( .)828 )ג xy
0')2(( 1)ד f 1(0( 2הפונקציה עולה )ד(' fהפונקציה יורדת
נגזרת ראשונה)ב( m=?
28
28)1(
4)1(32)1('
432)('
2
2
m
f
xxxf
1x הפונקציה יורדת ב
נגזרת ראשונה)א( m=?
63
63)2(
4)2(32)2('
432)('
2
2
m
f
xxxf
2x ב עולההפונקציה
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
30
אחד חלקי איקס : חקירה ג'
2332מועד חצב ברק תשס"ז 30303מבחן בגרות : 18שאלה מספר
נתונה הפונקציה 2
232)(
xxxf בתחום 0xx.
, וקבע את סוגה.f( xמצא את נקודות הקיצון של ) א.
. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) ב.
.f( xשל הפונקציה) ציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה ג.
:פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:נקודות הקיצון
max)3,1(81
31
. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ב)
נגזרת ראשונהm=0
3
3
32
42
222
43)('
/43
)('
43)('
)(
223)('
x
xxf
xxx
xf
x
x
xxf
x
x
xxf
פונקציה
y=?
)8
13,
3
11(
)1(
2
)1(
32)1(
232)(
2
3
1
3
13
1
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
max3)(' xf
3
11
430
430
0)('
3
x
x
x
x
xf
xחיתוך עם ציר
y=0
2320
/23
20
232)(
2
2
2
2
xx
xxx
xxxf
)0,5.0()0,2(
5.024
53
)2(2
)2)(2(493
212,1
2,1
xxx
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
31
.f( xציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה) .(ג)
תחומי העלייה:
3110 x
: תחומי הירידה x30או 11 x
:סופית תשובה
)max)3,1( א)81
31 )ב(
)0,(
21 ,)0,2(
עלייה: תחום )ג( 3110 x , ירידה: תחום x
30או ו 11 x
)0,2(
נגזרת ראשונהm=?
7
)1(
4)1(3)1('
1
43)('
3
3
m
f
x
x
xxf
הפונקציה יורדת
x ירידה x עלייה x ירידה x
x 311 x 0 x
0x
)3,1(81
31
)0,5.0(
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
32
2332 "טתשסא' מועד 30303מבחן בגרות :12שאלה מספר
נתונה הפונקציה 2
143)(
xxxf .
מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .(א)
וקבע את סוגה. הפונקציהנקודת הקיצון של השיעורים של מצא את )ב(.
. x -יר העם צ f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) . )ג(
x0 עבור את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה מצא (1) .)ד(
x0 הראה כי הפונקציה עולה עבור ( 2)
:פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:נקודות הקיצון
min)1,5.0(
. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ג)
נגזרת ראשונהm=0
3
3
32
42
222
24)('
/24
)('
24)('
)(
214)('
x
xxf
xxx
xf
x
x
xxf
x
x
xxf
פונקציה
y=?
)1,5.0(
)5.0(
1
)5.0(
43)5.0(
143)(
2
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(מונהכדי לקבוע סימן מספיק לגזור את ה)
min4)('' xf
5.0
240
240
0)('
3
x
x
x
x
xf
xחיתוך עם ציר
y=0
1430
/14
30
143)(
2
2
2
2
xx
xxx
xxxf
)0,1()0.3
1(
16
24
)3(2
)1)(3(416)4(
23
112,1
2,1
xxx
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
33
0xעבור של הפונקציה את תחומי העלייה והירידה ( מצא1) .)ד(
0x( הראה כי הפונקציה עולה עבור 2)
:סופית תשובה
)א(
0x .)ב(min)1,(21 .)0()ג,(
31 )0,1(
: תחום ירידה (1ד) 210 x תחום עליה : x
21
שיפוע חיובי בנגזרת הראשונה (2ד)
)0,1(
נגזרת ראשונהm=?
6
)1(
2)1(4)1('
1
24)('
3
3
m
f
x
x
xxf
הפונקציה עולה
x עלייה x ירידה x עלייה x
x 21 x 0 x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
)1,(21
)0,(31
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
34
:23שאלה מספר
נתונה הפונקציה 2
321)(xx
xf
פונקציה.את תחום ההגדרה של ה מצא .(א)
, וקבע את סוגה.f( xמצא את נקודות הקיצון של ) .)ב(
. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ב)
.f( xציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה) .(ג)
:פתרון
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה = את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)
מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. )ב(.
:נקודות הקיצון
max)1,3(31
. x -עם ציר ה f( xמצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) .(ב)
ת ראשונהנגזרm=0
3
3
32
42
222
62)('
/62
)('
62)('
)(
232)('
x
xxf
xxx
xf
x
x
xxf
x
x
xxf
פונקציה
y=?
)3
11,3(
)3(
3
)3(
21)1(
321)(
23
1
2
f
xxxf
נגזרת שנייהmax/min
(כדי לקבוע סימן מספיק לגזור את המונה)
max2)('' xf
3
620
620
0)('
3
x
x
x
x
xf
xחיתוך עם ציר
y=0
3210
/32
10
321)(
2
2
2
2
xx
xxx
xxxf
)0,1()0,3(
132
42
)1(2
)3)(1(442
212,1
2,1
xxx
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
35
.f( xציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה) .(ג)
: סופית תשובה
)ב( 0x )א(
max)1,3(31 (ג) )0,3( )0,1(
: ירידהחום ת (ד) x3 0 - אוו x 30 עליהתחום x
)0,3(
נגזרת ראשונהm=?
8
)1(
6)1(2)1('
1
62)('
3
3
m
f
x
x
xxf
הפונקציה יורדת
x ירידה x עלייה x ירידה x
x 3 x 0 x
תחום עלייה וירידה )קדקודים(
0x
)1,3(31
)0,1(
x
y
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
36
אחד חלקי איקס פונקציות ללא נקודות קיצון : חקירה ד'
תשע"א חורףמועד 30303מבחן בגרות : 12שאלה מספר
ונקציה היא הפ נתונהax
xf
3
1)( (a .)הוא פרמטר
בלבד 4xהפונקציה אינה מוגדרת עבור
.a)א( מצא את הערך של
ד : –, וענה על הסעיפים ב 12aהצב
. y –יר ההחיתוך של גרף הפונקציה עם צנקודת מצא את ( 1)(ב)
נמק. –אם כן מצא אותה, אם לא ? x –יש נקודת חיתוך עם ציר ה הפונקציה ( האם לגרף 2)
הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו. .(ג)
. לפניך שלושה גרפים (ד) ,,
איזה מבין הגרפים ? נמק xf)(הפונקציה הנתונה לגרף שהוא ה ,,
פתרון
.a)א( מצא את הערך של
נקודת החיתוך שלמצא את ( 1)ב.
. y –גרף הפונקציה עם ציר ה
yחיתוך עם ציר
x=0
123
1)(
xxf
)12
1,0(
12
1
12)0(3
1
y
y
פונקציה
12
012
0)4(3
4
03
3
1)(
a
a
a
x
ax
axxf
רמזים
4x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
37
יש נקודת חיתוך עם הפונקציה האם לגרף ( 2ב)
נמק. –, אם לא ? אם כן מצא אותה x –ציר ה
10 לא קיים חיתוך עם ציר ה- y
הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום שהיא מוגדרת בו. .(ג)
(.0( , )2( , )1לפניך שלושה גרפים ). ד
? נמק xf)(שך הפונקציה הנתונה ( הוא גרף0( )2( )1איזה מבין הגרפים )
מספר גרף הגרף המתאים הוא
4xשל וקיימת ירידה משני צדדי האסימפטוטה y הגרף חותך את ציר ה
:תשובה סופית
( 1)ב( 12a)א( 12
1 מספר גרף )ד( הוכחה)ג( לא 2)ב( )0,
4xוקיימת ירידה משני צדדי האסימפטוטה של y הגרף חותך את ציר ה
נגזרת ראשונהm=?
2)123(
31)('
xxf
פונקציה
y=?
123
1)(
xxf
xחיתוך עם ציר
y=0
10
123
10
123
1)(
x
xxf
x ירידה x
4x
ירידה
x
x 4- x
רת ראשונהנגזm=?
3
1)('
12)5(3
3)5('
5
)123(
31)('
2
2
xf
xf
x
xxf
נגזרת ראשונהm=?
75
1)('
12)1(3
3)1('
1
)123(
31)('
2
2
xf
xf
x
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
38
.2312 קיץ תשע"ב א מועד 30803מבחן בגרות : 22שאלה מספר
נתונה הפונקציה x
xxf1
)(
הפונקציה.)א(. מצא את תחום הגדרה של
. x -)ב(. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה
( הראה שלפונקציה אין נקודת קיצון.1)ג(. )
.0xוגם בתחום x0( הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום 2)
V)ד(. לפניך ארבעה גרפים
איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק
:פתרון
את תחום ההגדרה של הפונקציה. מצא .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
. x -)ב(. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה
( הראה שלפונקציה אין נקודת קיצון.1)ג(. )
השורש במינוס לא קיימת נקודת קיצון
נגזרת ראשונהm=0
1
1
10
1)('
/1
1)('
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
xxxf
1)(
xחיתוך עם ציר
y=0
10
/1
0
1)(
2
x
xx
x
xxxf
)0,1()0,1(
11
1
1
21
2,1
2
xx
x
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
39
. x< 0וגם בתחום x >0( הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום 2)
. x< 0וגם בתחום x >0 השיפוע חיובי משני צדדי האסימפטוטה לכן הפונקציה עולה בתחום
V)ד(. לפניך ארבעה גרפים
איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק
Vמספר גרף הגרף המתאים הוא
0xשל צדדי האסימפטוטהמשני עלייה וקיימת בשני מקומות xהגרף חותך את ציר ה
תשובה סופית:
)שורש במינוס(( הוכחה1)ג )0,1()0,1()ב(. 0x)א(.
Vמספר גרף )ד( בתחום ההגדרה x( הנגזרת חיובית עבור כל 2)ג
0xמות וקיימת עלייה משני צדדי האסימפטוטה של בשני מקו xהגרף חותך את ציר ה
x עלייה x
0x
עלייה
x
x 0 x
נגזרת ראשונהm=?
2
)1(
11)1('
1
11)('
2
2
m
xf
x
xxf
פונקציה
y=?
xxxf
1)(
נגזרת ראשונהm=?
2
11)('
xxf
נגזרת ראשונהm=?
2
)1(
11)1('
1
11)('
2
2
m
xf
x
xxf
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
40
מועד חצב/ ברק תשע"א. 03830מבחן בגרות : 20שאלה מספר
נתונה פונקציהx
xxf
8
2)( .
.של הפונקציה . רשום את תחום ההגדרה )א(
.x –מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )ב(.
הראה כי לפונקציה אין נקודת קיצון. )ג(.
נמק מדוע הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה. )ד(
. 2הוא Aשל הנקודה x –גרף הפונקציה . נתון כי שיעור ה נמצאת על Aהנקודה )ה(.
.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה
לפניך ארבעה גרפים )ו(. ,,,V .איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק
:פתרון
את תחום ההגדרה של הפונקציה. רשום .(א)
0xהאסימפטוטה = 0xתחום הגדרה =
.x –ב(. מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה )
)ג(. הראה כי לפונקציה אין נקודת קיצון.
השורש במינוס לא קיימת נקודת קיצון
נגזרת ראשונהm=0
61
16
160
2
16)('
2/8
2
1)('
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
xxf
xx
xf
פונקציה
y=?
x
xxf
8
2)(
xחיתוך עם ציר
y=0
160
2/8
20
8
2)(
2
x
xx
x
x
xxf
)0,4()0,4(
44
16
16
21
2,1
2
xx
x
x
לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג
כתב וערך: יוסי דהן. חקירה ב פונקציה אחד חלקי איקס/ חדו"אא / 1חלק
41
)ד( נמק מדוע הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.
השיפוע חיובי משני צדדי האסימפטוטה לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.
. 2הוא Aשל הנקודה x –נמצאת על גרף הפונקציה . נתון כי שיעור ה Aהנקודה )ה(.
.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה
לפניך ארבעה גרפים )ו(. ,,,V .איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה ? נמק
2מספר מתאים הוא גרף הגרף ה
0xשל משני צדדי האסימפטוטהעלייה וקיימת בשני מקומות xהגרף חותך את ציר ה
: תשובה סופית
)0,4()0,4( )ב( 0x)א( 16x)ג(
85.2 )ה(כל מס' שנציב ב נגזרת הראשונה נקבל תוצאה חיובית. )ד( xy
בשני מקומות וקיימת עלייה xהגרף חותך את ציר ה גרף מספר הגרף המתאים הוא )ו(
0xמשני צדדי האסימפטוטה של
x עלייה x
0x
עלייה
x
x 0 x
נגזרת ראשונהm=?
2
18
)1(
8
2
1)1('
1
8
2
1)('
2
2
m
xf
x
xxf
פונקציה
y=?
x
xxf
8
2)(
נגזרת ראשונהm=?
2
8
2
1)('
xxf
נגזרת ראשונהm=?
2
18
)1(
8
2
1)1('
1
8
2
1)('
2
2
m
xf
x
xxf
פונקציה
y=?
)3,2(
3)2(
8
2
)2()2(
8
2)(
f
x
xxf
נגזרת ראשונהm=?
5.2
)2(
8
2
1)1('
8
2
1)('
2
2
m
f
xxf
משוואת משיק )ישר(
85.2
355.2
)2(5.2)3(
5.2)3,2(
)( 11
xy
xy
xy
m
xxmyy