1. SKUPOVI

Skup je osnovni pojam koji se ne definira

Intuitivno, skup zamišljamo kao cjelinu bilo kakvih objekata koje zovemo elementima ili članovima skupa

Skupove najčešće označavamo velikim slovima abecede: A, B, C, …, X, Y, Z

°2

°4

°7

Primjer 1. Skup A čine brojevi 2,4 i 7. To zapisujemo A = { 2, 4, 7 } i čitamo “A je skup brojeva 2, 4 i 7”.

A

Činjenicu da je broj 4 element skupa A zapisujemo 4∈A i čitamo “4 je element skupa A”.

Da li je 3 element skupa A?Ne i to zapisujemo 3∉A i čitamo “3 nije element skupa A”.

Kardinalni broj nekog skupa A (oznaka: card(A)) je broj elemenata tog skupa.

Za skup A iz primjera 1. kardinalni broj je 3, card(A) = 3 jer skup A ima 3 elementa

°2

°4

°7

A

Skup koji nema niti jedan element nazivamo prazan skup i označavamo ∅.

Skupove možemo zadavati njihovim elementima ili opisno (pomoću nekog svojstva)

Neka je B skup svih samoglasnikaB = { a, e, i, o, u }Neka je C skup svih ministarstava RH

C = { Ministarstvo financija, M. gospodarstva, rada i poduzetništva, M.kulture, M. mora, turizma, prometa i razvitka, M. obitelji, branitelja imeđugeneracijske solidarnosti, M. obrane, M. poljoprivrede, šumarstva ivodnog gospodarstva, M. pravosuđa, M. unutarnjih poslova, M. vanjskihposlova i europskih integracija, M. zaštite okoliša, prostornog uređenja igraditeljstva, M. zdravstva i socijalne skrbi, M. znanosti, obrazovanja išporta }

Opisno zadavanje skupa:

D = { x∈N : x ≤ 4 }

D je skup svih x iz N (skupa prirodnih brojeva) kojiimaju svojstvo da su manji ili jednaki od 4

Kad bismo skup D zadali njegovim elementima:

D = { 1, 2, 3, 4 }

Kažemo da je skup A podskup skupa B (oznaka: A ⊆ B), ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B.

( ∀ a ∈ A ) ( a ∈ A ⇒ a ∈ B)B

A

Primjer 2. Neka su zadani skupovi A = { 1, 3, 5, 7, 9 } ,

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 } i C = { 1, 5, 7, 9 , 11 }

Tada je:

A ⊆ B i C ⊆ B

A ⊄ C jer postoji element koji nije u skupu C (to je broj 3)

Po definiciji jeSvaki skup sam svoj podskup, tj.

A ⊆ A, ∀ APrazan skup je podskup svakog skupa, tj.

∅ ⊆ A, ∀ A

Partitivni skup skupa A (oznaka: P (A)) je skup svih podskupova skupa A.

Primjer 3. Odredimo partitivni skup skupa X = {1, 2, 3}

P (X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Za kardinalni broj partitivnog skupa vrijedi:

card (P (A)) = 2 card (A)

Tu tvrdnju lako možemo provjeriti na primjeru 3:

X = {1, 2, 3} ⇒ card (X) = 3

⇒ card (P (X)) = 2 card (X) = 23 = 8

P (X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Često promatramo samo podskupove nekog skupa U( skupovi izvan U kao i da ne postoje). Skup U tada zovemo univerzalni skup, a najčešće ga se prikazuje kao kvadrat ili pravokutnik u ravnini. Shematski prikaz skupova kao dijelova ravnine omeđene zatvorenim krivuljama nazivamo Vennovim dijagramom.

A

B

C

U

Dva skupa A i B su jednaka ako i samo ako se sastoje od istih elemenata, tj. ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B i obrnuto.

A = B ⇔ A ⊆ B i B ⊆ A

Skupovi {1, 2} i {2,1} su jednaki

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Neka su A i B podskupovi univerzalnog skupa U. Tada je unija skupova A i B (oznaka: A ∪ B) skup svih elemenata koji pripadaju bar jednom od skupova A i B.

A ∪ B = { x ∈U : x ∈ A ili x ∈ B }

A

B

A ∪ B

Primjer 4.A = { 1, 2, 3 }B = { 2, 4, 6 }C = { x : x je samoglasnik }

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 6 }

B ∪ C = { 2, 4, 6, a, e, i, o, u }

Neka su A i B podskupovi univerzalnog skupa U. Tada je presjek skupova A i B (oznaka: A ∩ B) skup svih elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B.

A ∩ B = { x ∈U : x ∈ A i x ∈ B }

A

B

A ∩ B

Primjer 5.A = { x : x je neparan broj manji od 8 }B = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 }C = { 2, 4, 6 }

A ∩ B = { 3, 5 }A ∩ C = ∅

Skupovi A i C nemaju zajedničke elemente pa je njihov presjekprazan skup. Takve skupove zovemo disjunktni skupovi.

Razlika ili diferencija skupova A i B (oznaka: A \ B) je skup elemenata koji se nalaze u skupu A, a ne nalaze se u skupu B.

A \ B = { x ∈U : x ∈ A i x ∉ B }

A

B

A \ B

Primjer 6.A = { 100, 150, 200, 250, 300 }B = { 0, 100, 200, 300, 400, 500 }

A \ B = { 150, 250 }B \ A = { 0, 400, 500 }

Komplement skupa A (oznaka CA) je skup svih elemenata iz univerzalnog skupa U koji nisu u skupu A.

CA = { x ∈U : x ∉ A }

A

CA

Svojstva operacija sa skupovima:

1. KomutativnostA ∩ B = B ∩ AA ∪ B = B ∪ A

2. Asocijativnost(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. IdempotentnostA ∩ A = AA ∪ A = A

4. DistributivnostA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

5. InvolutivnostC(CA) = A

6. de Morganovi zakoniC(A ∪ B) = CA ∩ CBC(A ∩ B) = CA ∪ CB

Primjer 7. Ako su A, B i C proizvoljni skupovi dokažimo da je:A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

Ako uvedemo oznake X = A \ (B ∪ C), Y = (A \ B) ∩ (A \ C), trebamo dokazati da je X = Y, a to ćemo dokazati akopokažemo da je X ⊆ Y i Y ⊆ X.

Odaberimo proizvoljni x ∈ X = A \ (B ∪ C). To znači da je x ∈ A i x ∉ B ∪ C, odnosno x ∈ A, x ∉ B i x ∉ C. Nadalje toznači da je x ∈ A \ B i x ∈ A \ C, odnosno x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) = Y.

Budući da je x proizvoljno odabrani element skupa X, to vrijediza svaki element skupa X, pa je X ⊆ Y.

Ispišimo za vježbu ovaj dio dokaza logičkim simbolima.

x ∈ X = A \ (B ∪ C) ⇒ (x ∈ A i x ∉ B ∪ C) ⇒ (x ∈ A, x ∉ B i x ∉ C) ⇒ (x ∈ A i x ∉ B i x ∈ A i x ∉ C ) ⇒ (x ∈ A \ B i x ∈ A \ C) ⇒ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) = Y,

a to znači da je zaista X ⊆ Y.

Uzmimo sada proizvoljni element y ∈ Y = (A \ B) ∩ (A \ C). Toznači da je y ∈ A \ B i y ∈ A \ C, odnosno y ∈ A, y ∉ B i y ∉ C. Sada je očito da vrijedi y∉ B ∪ C i y ∈ A \ (B ∪ C) = X.Budući da je y bio proizvoljno odabrani element iz Y, vrijedizaista Y ⊆ X. Time je tvrdnja potpuno dokazana.

Provjerimo jednakost iz primjera 7. Vennovim dijagramom

Vennovi dijagrami nisu dokaz za dano skupovno svojstvo

skup A skup B ∪ C skup A \ (B ∪ C)

skup A \ B skup A \ C skup (A \ B) ∩ (A \ C)

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

KARTEZIJEV PRODUKT SKUPOVA

Neka su A i B neprazni skupovi. Direktni ili Kartezijevumnožak skupova A i B je skup A × B čiji su elementi uređeni parovi (a, b), gdje je a ∈ A i b ∈ B.

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

Pri tom se pod uređenim parom smatra dvočlani skup kod kojegse zna koji je element na prvom, a koji na drugom mjestu (tielementi zovu se komponente ili koordinate uređenog para).

Vrijedi: card(A × B) = card(A) ⋅ card(B)

Za uređene parove vrijedi:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c i b = d,

i općenito: (a, b) ≠ (b, a).

Sjetimo se da za skupove vrijedi {a, b} = {b, a}.

Iz navedene definicije slijedi A × B ≠ B × A.

Primjer 8. Ako je A = {1, 2, 3}, a B = {a, b}, onda je

A × B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}

B × A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

A × A = A2 = {(1,1),(1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

B × B = B2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}