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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

DE LA NATURALEZA

FÍSICA Y QUIMICA

1º BACHILLERATO CIENCIAS Y

TECNOLOGÍA

CURSO 2012/2013 Profesor: José Criado Ferrándiz

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TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.

1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO .............................................................. 3

2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS ................................................................... 3

Expresión del vector de posición ..................................................................... 4

Relación entre coordenadas polares y cartesianas ......................................... 4

La posición de un cuerpo en el espacio ........................................................... 4

2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO. .................. 5

2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO ............. 6

3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS ............................................................... 6

3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA .............................. 7

El vector velocidad instantánea ...................................................................... 8

Dirección y sentido del vector velocidad instantánea .................................... 8

El módulo de la velocidad de un cuerpo ......................................................... 8

4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS .......................................................... 8

4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA .......................................................................... 8

4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ............................................................ 9

La aceleración instantánea como derivada de la velocidad ........................... 9

4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA

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La aceleración tangencial .............................................................................. 11

La aceleración centrípeta .............................................................................. 11

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.

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IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA

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1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO

El problema del movimiento o reposo de los cuerpos es relativo y depende del sistema

de referencia elegido.

Un objeto se mueve cuando su posición varía con respecto a un punto o un sistema

de referencia elegido, que se considera fijo.

En esta definición se introducen dos conceptos claves para la comprensión de los

movimientos:

La posición de un móvil.

El sistema de referencia con respecto al que se determina dicha posición.

A la hora de analizar los movimientos de la mayoría de los cuerpos, se considera que

estos se mueven como un único punto. Ese punto, dotado de la masa del cuerpo, se

denomina punto material.

2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS

Para determinar la posición en el plano, se debe utilizar

dos coordenadas, cada una de las cuales corresponde a una

dirección determinada y referidas a un punto fijo o sistema de

referencia. Estas coordenadas se pueden dar de dos formas:

Dando las coordenadas x e y, que se denominan

coordenadas cartesianas del punto o posición ocupada

por el cuerpo.

Dando la distancia r y el ángulo θ, donde r es la distancia al origen en línea

recta, y θ es el ángulo que forma dicha recta con

cualquiera de los ejes de referencia. Se denominan

coordenadas polares del punto.

La posición de un cuerpo con respecto a un punto de

referencia queda definida por el vector que une dicho punto de

referencia con el lugar ocupado por el cuerpo o vector de

posición.


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Expresión del vector de posición

El vector de posición, , se expresa en función de las dos coordenadas Cartesianas

de la siguiente forma:

Para dar carácter vectorial a las componentes cartesianas, se multiplican x e y por

los respectivos vectores unitarios direccionales (vectores de módulo 1 ). En este caso,

son las componentes rectangulares del vector de posición.

La unidad de medida de la posición, como la de cualquier longitud, en el sistema

internacional es el metro (m).

Relación entre coordenadas polares y cartesianas

Si se conoce uno de estos dos tipos de coordenadas, es posible calcular fácilmente el

otro.

Cálculo de coordenadas cartesianas a partir de las polares. A partir de las

coordenadas r y θ, se puede calcular x e y:

Cálculo de coordenadas polares a partir de las cartesianas. El valor de r se

deduce aplicando el teorema de Pitágoras, pues se trata de la hipotenusa del

triángulo rectángulo cuyos catetos son x e y:

El ángulo θ se puede calcular a través de su tangente, ya que:

tan𝑥

𝑦

La posición de un cuerpo en el espacio

El vector de posición en el espacio vendrá dado entonces por:

Donde son los vectores unitarios en las tres direcciones de los ejes.


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Las coordenadas polares en tres

dimensiones se denominan coordenadas esféricas

y requieren ser definidas mediante una distancia

y dos ángulos; el que forma el vector con su

proyección sobre el plano inferior (ángulo α) y el

que forma dicha proyección con cualquiera de los

ejes, X o Y, del plano inferior (ángulo β).

2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO.

Si un cuerpo se desplaza 5 m cada segundo en una dirección determinada (por

ejemplo X). Al cabo de 1 s estará a 5 m del punto de partida; en 2 s se encontrará a 10 m;

a los 3 s, a 15 m, y así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es decir, la posición

es función del tiempo ejemplo, se expresa de la siguiente forma:

x = 5tm

En esta expresión se ha supuesto que el cuerpo solo se mueve en la dirección X. Para

ser más rigurosos, también se puede escribir su posición en forma vectorial de esta manera:

La ecuación que expresa el vector de posición como una función del tiempo se

denomina ecuación de posición.

El hecho de que el factor tiempo, t, aparezca en la expresión de la posición indica

que el cuerpo está en movimiento.

Si el cuerpo que se mueva en dos dimensiones y avance, por ejemplo, 5 m cada

segundo en la dirección X y 3 m en el mismo tiempo en la dirección Y en ese caso, su

ecuación de posición se expresará así:

Al dar diversos valores al tiempo, se pueden representar las distintas posiciones que

va ocupando el cuerpo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, se obtiene la

trayectoria que sigue el cuerpo en su movimiento.

La distancia del cuerpo al origen en cualquier momento sería el módulo del vector

de posición en ese instante, es decir, distancia al origen:


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2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO

Cuando se habla del movimiento de los cuerpos/ con frecuencia se emplean

indistintamente y con escaso rigor ciertos términos que es preciso distinguir:

Desplazamiento significa lo mismo que «variación de posición», es decir es la

diferencia entre la posición final y la inicial.

Dado que las posiciones se representan mediante vectores, el desplazamiento será

un vector cuyo origen es la posición inicial y cuyo extremo es la posición final del cuerpo.

Suele simbolizarse como . Así:

A efectos prácticos, el valor del desplazamiento es la distancia medida en línea recta

entre la posición final y la inicial.

Trayectoria es la línea geométrica que el cuerpo describe en su movimiento.

Espacio recorrido (s) es la distancia medida sobre la trayectoria entre la posición

final y la inicial.

3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS

Un posible criterio para diferenciar los movimientos: la rapidez con que se desplazan

o cambian de posición. Asi

Se define velocidad como la rapidez con que cambia la posición de un cuerpo.

En física se emplea el término rapidez para indicar la relación entre la variación de

cierta magnitud y el tiempo que ha tardado en producirse dicha variación.


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Según esto, se puede expresar matemáticamente la velocidad como:

Por tanto, la velocidad de un cuerpo se puede definir también como el cociente entre

el desplazamiento producido y el tiempo empleado en realizarlo.

donde t0 es el tiempo inicial, es decir, el tiempo en el que se empieza a realizar una

medida, y ro es la posición inicial.

La posición es una magnitud vectorial y, por consiguiente, su variación

(desplazamiento) se expresa igualmente de manera vectorial.

El vector velocidad tiene la misma dirección y sentido que el vector

desplazamiento. Por tanto, tiene la dirección y sentido del movimiento.

La unidad utilizada en el sistema internacional para medir la velocidad es el

metro por segundo (m/s).

3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad media de un cuerpo es la relación entre el desplazamiento efectuado y

el tiempo invertido en realizarlo:

Se trata de la misma definición que se ha utilizado para introducir el concepto de

velocidad.

En términos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en

el límite en que el intervalo de tiempo se hace casi cero:

Esta expresión es lo que en matemáticas se conoce como “deriva” [de una función,

en este caso la función es la posición, vector de posición, y la variable de la función es el

tiempo, t, r(t)]. Es decir La velocidad instantánea de un cuerpo se obtiene derivando su

ecuación de posición:


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El vector velocidad instantánea

Si el movimiento se realiza en el espacio y las tres componentes del vector de

posición cambian con el tiempo, el vector velocidad instantánea tiene también tres

componentes en las distintas direcciones espaciales. Se habla, por tanto, de componentes

del vector velocidad instantánea, que se calculan derivando las respectivas componentes

del vector de posición. De este modo

Dirección y sentido del vector velocidad instantánea

La velocidad instantánea no es más que la velocidad media calculada en un intervalo

muy pequeño de tiempo, al utilizar intervalos muy pequeños de tiempo, los

desplazamientos serán mucho menores, su dirección se va aproximando a la de la tangente

a la curva en ese punto. De hecho, cuando el intervalo se convierte en instante, la dirección

del desplazamiento es la de la tangente. Dado que la velocidad es proporcional en todo

momento al vector desplazamiento, se puede decir que:

El vector velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en

cualquier punto y el sentido del movimiento.

El módulo de la velocidad de un cuerpo

El módulo de un vector que viene dado en función de sus componentes se puede

calcular mediante el teorema de Pitágoras. Así pues:

Y en tres dimensiones:

4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS

La magnitud que nos da una idea de cómo varía la velocidad es la aceleración.

4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA

La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con que varía su velocidad.

Teniendo en cuenta el significado del término rapidez en física, la aceleración

se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:


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La aceleración así definida se denomina aceleración media.

En el SI, la unidad de aceleración es el metro por segundo al cuadrado (m/s2).

Esta definición encierra dos aspectos muy importantes que debes tener en cuenta: '

Dado que la velocidad es un vector, varía cuando lo hace cualquiera de sus

atributos. Es decir, no solo hay aceleración cuando varía el valor (módulo) de la

velocidad, sino que también existe aceleración cuando cambia la dirección o el

sentido de la velocidad (y, por tanto, del movimiento), aunque el módulo de la

velocidad no experimente modificación alguna.

Variación de velocidad no siempre significa «aumento» de velocidad; también

puede ser «disminución». En ambos casos, se trata de un movimiento con

aceleración. En muchos textos de física, cuando la aceleración es negativa y, por

tanto, la velocidad disminuye, se dice que el movimiento es decelerado.

Conviene hacer una aclaración en este punto: el módulo de cualquier magnitud

vectorial es positivo por definición. En consecuencia, la utilización de signos positivos o

negativos acompañando al valor de la aceleración solo indica el sentido en el que esta

actúa.

4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

En términos físicos, la aceleración instantánea es la aceleración media en el límite

en que el intervalo de tiempo es prácticamente cero.

La aceleración instantánea como derivada de la velocidad

La aceleración instantánea se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo.

Es decir:

A partir de la ecuación de posición se obtiene la aceleración instantánea derivando

dos veces dicha ecuación con respecto al tiempo. Según la notación empleada

habitualmente en física, esto se expresaría de la siguiente forma:


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que se lee «derivada segunda de la posición con respecto al tiempo dos veces»


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4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA

La aceleración tangencial

El término aceleración implica cambios en la velocidad, mientras que

tangencial indica que la dirección en la que actúa es la tangente a la trayectoria y,

por tanto, tiene la misma dirección que el vector velocidad.

La aceleración tangencial, at, solo produce cambios en el módulo de la

velocidad.

En consecuencia, se puede definir también como un vector con los siguientes

atributos:

Módulo. Su valor equivale a la rapidez con que cambia el módulo de la

velocidad. Así:

Dirección. Es tangente a la trayectoria en todo punto (y coincide, por tanto,

con la del vector velocidad).

Sentido. Es el mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad

aumenta y contrario al movimiento si el módulo de la velocidad disminuye.

Por tanto, empleando la notación vectorial:

donde �⃗� 𝑡, es un vector unitario en la dirección tangencial.

La aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta, ac, aparece cuando los movimientos son curvilíneos

(por ejemplo, circulares, elípticos ... ) y solo produce cambios en la dirección de la

velocidad sin afectar a su módulo.

Como vector, la aceleración centrípeta tiene las siguientes características:

Módulo. Se determina dividiendo el cuadrado del valor de la velocidad entre

el radio de la curva descrita:

Dirección. Es radial (coincide con la dirección del radio de la curva descrita).

Sentido. Es siempre hacia el centro de la curva.

Así pues, la aceleración centrípeta se expresa en notación vectorial como:


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En la expresión, �⃗� 𝑟 , es el vector unitario en la dirección radial. El signo negativo

indica que está dirigida hacia el centro de la curvatura.

Los dos tipos de aceleraciones son perpendiculares entre sí. Su composición vectorial

permite obtener la aceleración total, cuya expresión será:

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