1F - KTH · 9 1.1 Olika typer av tal Innehåll: n Naturliga tal n Negativa tal n...
Transcript of 1F - KTH · 9 1.1 Olika typer av tal Innehåll: n Naturliga tal n Negativa tal n...
Forbered
andekurs
imatematik1
Till
de
tta
ku
rsm
ate
ria
lfin
ns
pro
vo
ch
lara
rep
aIn
tern
et.
De
tta
ma
teri
ala
re
nu
tskri
ftav
de
tw
ebb
ase
rad
ein
ne
ha
llet
i
wiki.math.se/wikis/sommarmatte1
Stu
die
ma
teri
ale
tho
rtill
en
ku
rsso
mg
es
isa
ma
rbe
tem
ella
nfle
raav
lan
de
ts
ho
gsko
lor
och
ce
ntr
et
MA
TH
.SE
.
An
ma
lan
och
till
ga
ng
till
foru
m,
ex
am
ina
tio
no
ch
pe
rso
nli
gm
en
tor
An
ma
lan
till
ku
rse
nske
rfo
rtlo
pa
nd
eu
nd
er
are
tg
en
om
ett
ele
ktr
on
iskt
form
ula
r
pawww.sommarmatte.se
och
ma
nfa
rda
dire
kte
tta
nva
nd
arn
am
no
ch
lose
no
rd
so
mg
er
tillg
an
gtill
dis
ku
ssio
nsfo
rum
,su
pp
ort
,u
pp
foljn
ing
och
pro
v.D
ufa
r
ocksa
en
pe
rso
nlig
me
nto
rso
mh
jalp
er
dig
att
lycka
sm
ed
din
astu
die
r.A
llexa
-
min
atio
nske
rvia
Inte
rne
te
fte
rh
an
dso
md
ua
rbe
tar
me
dku
rse
ns
avsn
itt.
Ob
se
rve
raa
ttfu
llsta
nd
iga
losn
ing
ar
till
ovn
ing
su
pp
gifte
rna
ate
rfin
ns
io
nlin
em
a-
teri
ale
t.
Ko
nta
kti
nfo
rma
tio
n:www.math.se/kontakt.html
För
ber
edan
de
kurs
im
atem
atik
1
Inne
håll
Väl
kom
men
till
kurs
en3
Hur
går
kurs
entil
l?.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.5
Sågå
rex
amin
atio
nen
till
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.7
1.N
umer
isk
räkn
ing
91.
1O
lika
type
rav
tal
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.9
1.2
Bråk
räkn
ing
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
201.
3Po
tens
er.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.29
2.A
lgeb
ra40
2.1
Alg
ebra
iska
uttr
yck
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
402.
2Li
njär
aut
tryc
k.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
502.
3A
ndra
grad
sutt
ryck
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
63
3.R
ötte
roc
hlo
gari
tmer
733.
1R
ötte
r.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.73
3.2
Rot
ekva
tione
r.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
823.
3Lo
gari
tmer
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.87
3.4
Loga
ritm
ekva
tione
r.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.96
4.Tr
igon
omet
ri10
44.
1V
inkl
aroc
hci
rkla
r.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.10
44.
2Tr
igon
omet
risk
afu
nktio
ner
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.11
54.
3Tr
igon
omet
risk
asa
mba
nd.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.13
04.
4Tr
igon
omet
risk
aek
vatio
ner
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.13
7
5.Sk
riva
mat
emat
ik14
55.
1Sk
riva
mat
emat
iska
form
ler
iLA T
EX.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
145
5.2
Mat
emat
isk
text
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
155
Faci
ttil
lövn
ings
uppg
ifte
r16
7
För
fulls
tänd
iga
lösn
inga
r,se
nast
eve
rsio
nen
avm
ater
iale
t,ex
tern
alä
nkar
,m
m.,
sest
udie
mat
eria
letp
åIn
tern
etwww.math.se/wiki
3 Väl
kom
men
till
kurs
en
Vad
gjor
deat
tElin
blev
intr
esse
rad
avm
atem
atik
?
Titt
apå
vide
ondä
rElin
Ott
ergr
en,m
ento
rpå
kurs
enoc
htid
iga-
renä
tstu
dent
,ber
ätta
rom
hur
henn
esm
atem
atik
intr
esse
väck
-te
s.(http://smaug.nti.se/temp/
KTH/
film
6.ht
ml)
Nu
finns
ette
nkel
tsät
tatt
kom
ma
bätt
reru
stad
till
dina
högs
kole
stud
ier
Den
här
kurs
enär
tillf
ördi
gso
msk
alä
saen
utbi
ldni
ngdä
rmat
emat
ikin
går,
och
som
vill
vara
orde
ntlig
tfö
rber
edd
infö
rku
rsst
arte
n.K
urse
när
ocks
åbr
afö
rdi
gso
mav
andr
aan
ledn
inga
rvi
llfr
äsch
aup
pdi
naku
nska
per
imat
emat
ik.
Kur
sen
ären
över
bryg
gnin
gfr
ångy
mna
siet
inih
ögsk
olan
.Äve
nom
dukl
arat
ma-
tem
atik
enm
ycke
tbr
atid
igar
ere
kom
men
dera
rvi
dig
att
läsa
kurs
en.D
enbe
rätt
igar
tills
tudi
emed
eloc
hka
nlä
sas
helt
via
Inte
rnet
.Kur
sen
ges
isam
arbe
tem
ella
nfle
raav
land
ets
högs
kolo
roc
hce
ntre
tMA
TH
.SE
.D
ube
stäm
mer
själ
vnä
rdu
vill
stud
era
och
kan
lätt
anpa
ssa
stud
iern
aef
ter
dina
övri
gapl
aner
.
Anm
älan
och
till
gång
till
foru
m,s
uppo
rt,e
xam
inat
ion
och
pers
onli
gm
ento
r
Kur
slitt
erat
uren
äröp
pett
illgä
nglig
via
Inte
rnet
.Anm
älan
tillk
urse
nsk
erfo
rtlö
pand
eun
der
året
geno
met
tel
ektr
onis
ktfo
rmul
ärpå
www.math.se
och
dufå
rdå
dire
ktet
tan
vänd
arna
mn
och
löse
nord
som
ger
tillg
ång
tilla
lltku
rsm
ater
ial,
disk
ussi
onsf
orum
,su
ppor
t,up
pföl
jnin
goc
hpr
ov.D
ufå
roc
kså
enpe
rson
ligm
ento
rso
mhj
älpe
rdi
gat
tly
ckas
med
dina
stud
ier.
Han
dled
ning
och
exam
inat
ion
Du
kan
närs
omhe
lstp
ånä
tetd
isku
tera
med
stud
ieka
mra
ter,
stäl
lafr
ågor
och
fåha
nd-
ledn
ing
avlä
rare
.Exa
min
atio
nsk
ervi
aIn
tern
etef
terh
and
som
duar
beta
rmed
kurs
en.
Vis
saav
våra
högs
kolo
rer
bjud
erha
ndle
dnin
goc
hsa
tsni
ngar
påpl
ats
som
kom
ple-
men
ttill
dets
omsk
erpå
Inte
rnet
.
4
Obs
erve
raat
tm
ater
iale
ti
denn
aku
rsär
utfo
rmat
för
att
man
ska
arbe
tam
edde
tuta
nhj
älp
avm
inir
äkna
re.
När
duko
mm
ertil
lhög
skol
anko
mm
erdu
näm
ligen
inte
att
fåan
vänd
am
inir
äkna
repå
dina
”ten
tor”
,åtm
inst
one
inte
pågr
undk
urse
rna.
Påhö
gre
kurs
erim
atem
atik
har
man
knap
-pa
stnå
gon
anvä
ndni
ngfö
rm
inir
äkna
re,e
fter
som
mat
ema-
tiken
dåm
erha
ndla
rom
att
förs
tåpr
inci
per
änat
tut
föra
räkn
eope
ratio
ner.
Det
ärex
empe
lvis
vikt
igar
eat
tför
stå
varf
ör7+
3är
dets
amm
aso
m3+
7,än
attk
unna
utfö
-ra
addi
tione
noc
hfå
fram
svar
et10
.
Såhä
rly
ckas
dum
edku
rsen
:
1.Bö
rja
med
attl
äsa
geno
mgå
ngen
tille
ttav
snitt
och
tänk
aig
enom
exem
p-le
n.
2.A
rbet
ase
dan
med
övni
ngsu
ppgi
fter
naoc
hfö
rsök
att
lösa
dem
utan
mi-
nirä
knar
e.K
ontr
olle
raat
tdu
kom
mit
fram
tillr
ätt
svar
geno
mat
tkl
icka
påsv
arsk
napp
en.H
ardu
inte
det,
såka
ndu
klic
kapå
lösn
ings
knap
pen,
för
atts
ehu
rdu
ska
göra
.
3.G
ådä
reft
ervi
dare
och
svar
apå
fråg
orna
igr
undp
rove
tso
mhö
rtil
lav
-sn
ittet
.
4.Sk
ulle
dufa
stna
,se
efte
rom
någo
nst
ällt
enfr
åga
omju
stde
tta
iavs
nitt
ets
foru
m.S
täll
anna
rsen
fråg
aom
duun
drar
över
någo
t.D
inlä
rare
(elle
ren
stud
ieka
mra
t)ko
mm
erat
tbes
vara
den
inom
någr
atim
mar
.
5.N
ärdu
ärkl
arm
edöv
ning
supp
gift
erna
och
grun
dpro
ven
iett
avsn
ittså
ska
dugö
rasl
utpr
ovet
för
attb
ligo
dkän
dpå
avsn
ittet
.Där
gälle
rde
tatt
svar
arä
ttpå
tre
fråg
orif
öljd
för
attk
unna
gåvi
dare
.
6.N
ärdu
fått
alla
rätt
påbå
degr
undp
rov
och
slut
prov
,så
ärdu
godk
änd
påde
nde
len
och
kan
gåvi
dare
tilln
ästa
deli
kurs
en.
P.S.
Tyck
erdu
att
inne
hålle
ti
ett
avsn
ittkä
nns
välb
ekan
t,så
kan
dute
sta
att
gådi
rekt
tillg
rund
prov
etoc
hsl
utpr
ovet
.Du
mås
tefå
alla
rätt
pået
tpro
v,m
enka
ngö
raom
prov
etfle
ragå
nger
,om
duin
tely
ckas
påfö
rsta
förs
öket
.Det
ärdi
ttse
nast
ere
sulta
tsom
visa
sis
tatis
tiken
.
5 Hur
går
kurs
enti
ll?
Elin
stip
still
dig
som
ska
läsa
mat
tepå
högs
kola
n.V
adka
nva
rabr
aat
tvet
a?
Titt
apå
vide
ondä
rEl
inO
tter
gren
,men
tor
påku
rsen
och
tidi-
gare
”nät
stud
ent”
,tip
sar
dig.
(http://smaug.nti.se/temp/
KTH/
film
7.ht
ml)
Akt
uell
aku
nska
per
ökar
dina
chan
ser
attl
ycka
s
Kur
sen
ären
över
bryg
gnin
gfr
ångy
mna
siet
inih
ögsk
olan
och
går
igen
omnå
gra
avde
basf
ärdi
ghet
erso
mvi
tyck
erär
vikt
iga
attd
uha
rfu
lltup
pdat
erad
ein
för
dina
hög-
skol
estu
dier
.Du
läse
rhe
ltfle
xibe
ltid
enta
ktso
mpa
ssar
dig
själ
v.
Såhä
rär
dett
änkt
attd
usk
aar
beta
med
kurs
en:
■Bö
rja
med
att
läsa
geno
mgå
ngen
till
ett
avsn
ittoc
htä
nka
igen
omex
empl
en.
■A
rbet
adä
reft
erm
edöv
ning
supp
gift
erna
och
sva-
rapå
fråg
orna
igr
undp
rove
tso
mhö
rtil
lav
snitt
et.
Skul
ledu
fast
na,s
eef
ter
omnå
gon
stäl
lten
fråg
aom
just
dett
aia
vsni
ttet
sfo
rum
,ann
ars
stäl
len
fråg
asj
älv.
■N
ärdu
ärkl
arm
edöv
ning
supp
gift
erna
och
grun
d-pr
ovet
iet
tav
snitt
sågö
rdu
slut
prov
etfö
rat
tbl
igo
dkän
dpå
avsn
ittet
.
■N
ärdu
klar
atal
lagr
und-
och
slut
prov
pånå
gota
vka
pitle
n2,
3el
ler
4så
får
duen
inlä
mni
ngsu
ppgi
ftso
mdu
ska
lösa
och
skic
kain
för
rätt
ning
.
Din
pers
onli
gam
ento
rst
öder
dig
När
dulo
ggat
inm
eddi
ttan
vänd
arna
mn
kom
mer
dutil
l”St
u-de
ntlo
unge
”.D
ärhi
ttar
dum
aila
dres
soc
hte
lefo
nnum
mer
till
din
pers
onlig
am
ento
rso
mdu
kan
kont
akta
,om
dukö
rfa
stpå
enup
pgif
telle
rha
rnå
gotd
ube
höve
rfr
åga
om.
Men
tore
rna
har
tagi
tna
mn
som
Alb
ert
Eins
tein
,K
urt
Göd
el,
Ark
imed
esos
v.,m
enba
kom
dem
finns
enhe
lgru
pppe
rson
er,
6
vilk
aär
lära
reoc
h/el
ler
stud
ente
rpå
någo
nhö
gsko
lain
omM
AT
H.S
E.D
inm
ento
rvi
llin
geth
ellr
eän
atth
jälp
adi
g.V
årtg
emen
sam
ma
mål
ärat
tal
laso
mbö
rjar
påku
rsen
ska
klar
aav
den
och
fåen
bra
grun
dat
tstå
påin
för
sina
högs
kole
stud
ier.
För
oss
finns
inga
dum
ma
fråg
or,b
ara
deso
min
test
älls
!
7 Sågå
rex
amin
atio
nen
till
Du
exam
iner
ason
line
Exam
inat
ione
nbe
står
avtv
åsj
älvr
ätta
nde
prov
per
av-
snitt
och
enin
läm
ning
supp
gift
tillk
apite
l2,3
och
4.V
aroc
hen
avku
rsen
s5
dela
rm
otsv
arar
1hö
gsko
lepo
äng
och
rapp
orte
ras
iallm
änhe
ttill
Lado
kva
rför
sig
påde
nhö
gsko
ladä
rdu
ärku
rsre
gist
rera
d(f
örvi
ssa
kurs
tillf
äl-
len
sker
rapp
orte
ring
när
hela
kurs
enär
klar
).K
ursb
e-ty
ger
hålle
snä
ral
lafe
mm
omen
ten
ärgo
dkän
da.S
ombe
tyg
påku
rsen
ges
unde
rkän
telle
rgo
dkän
t.
Gru
ndpr
oven
och
slut
prov
enrä
ttas
via
dato
rn
Till
varj
eav
snitt
ikur
sen
finns
detb
åde
ettg
rund
prov
och
etts
lutp
rov.
Länk
tillp
rove
nfin
nsid
in”S
tude
ntLo
unge
”so
mdu
kom
mer
tilln
ärdu
logg
atin
med
ditt
pers
onlig
aan
vänd
arna
mn.
Du
kan
inte
bli
unde
rkän
dpå
dess
apr
ov,u
tan
mis
slyc
kas
dum
ednå
gotp
rov
såär
detb
ara
attg
öra
omtil
lsdu
får
alla
rätt
.Sl
utpr
oven
best
årav
tre
slum
pmäs
sigt
gene
rera
defr
ågor
som
rätt
asau
tom
atis
ktav
dato
rn.
Här
ska
duku
nna
lösa
ett
prob
lem
påpa
pper
och
skri
vain
rätt
svar
påsk
ärm
en.D
um
åste
svar
arä
ttpå
sam
tliga
tre
frå-
gor
iföl
jdfö
rat
tbli
godk
änd.
Om
dusv
arat
felp
ånå
gon
fråg
aka
ndu
göra
ettn
ytt
förs
ök.D
ufå
rnu
tre
nya
vari
ante
rpå
fråg
orna
som
dusk
alö
sa(ä
ven
omdu
skul
leha
klar
atnå
gon
elle
rnå
gra
avde
tidig
are
fråg
orna
ska
dual
ltså
klar
aal
latr
efr
ågor
ide
nna
omgå
ngpå
nytt
).Tä
nkpå
att
det
ärdi
ttse
nast
ere
sulta
tso
mre
gist
rera
si
stud
iest
atis
tiken
.
Inlä
mni
ngsu
ppgi
ften
ären
vikt
igde
lav
exam
inat
ione
n
Inlä
mni
ngsu
ppgi
fter
naär
form
ellt
den
fem
tede
len
avku
rsen
,m
endu
löse
rde
mlä
mpl
igen
isam
band
med
attd
ulä
ser
mot
svar
ande
kapi
tel.
Via
enlä
nkid
inst
uden
tlo
unge
kom
mer
duåt
inlä
mni
ngsu
ppgi
fter
naoc
hde
blir
var
och
entil
lgän
glig
efte
rat
talla
prov
ärgo
dkän
dapå
mot
svar
ande
kapi
tel.
När
dusk
icka
rlös
ning
arna
tille
nin
läm
ning
supp
gift
erna
ärde
tvik
tigta
ttde
ärvä
lfö
rkla
rade
,res
onem
ange
nty
dlig
aoc
hpr
esen
tatio
nen
geno
mar
beta
d.Ik
apite
l5fin
nsen
besk
rivn
ing
omva
ddu
ska
tänk
apå
närd
usk
rive
rlös
ning
ar,f
örnä
rvar
ande
gälle
r
8
attd
uin
tesk
aan
vänd
ala
tex
för
atts
kriv
ain
lösn
inga
rpå
inlä
mni
ngsu
ppgi
fter
,lat
exär
dock
myc
keta
nvän
dbar
tian
dra
sam
man
hang
,t.e
x.ik
urse
nsfo
rum
.In
läm
ning
sfor
mul
äret
ärte
xtba
sera
t,de
tin
nebä
rat
tvi
inte
har
stöd
för
late
x.D
uka
nis
tälle
tskr
iva2^3
föru
pphö
jttil
l,roten(4)
förr
oten
uroc
hiö
vrig
tvar
ano
ggra
nnm
edat
tför
klar
ava
ddu
gör.
Var
nogg
rann
med
atta
nvän
dapa
rent
eser
,vad
ärtä
ljare
och
näm
nare
ined
anst
åend
eex
empe
l?V
ikan
inte
sede
t!
e^3x
-5/
x^2-2x
+4
Om
duin
tebl
irgo
dkän
dpå
enin
läm
ning
supp
gift
ska
dulä
saig
enom
kom
men
tare
rna
från
den
rätt
ande
lära
ren
och
förb
ättr
adi
nlö
snin
gin
nan
dusk
icka
rin
den
igen
.Det
taup
prep
astil
lsdu
blir
godk
änd.
9 1.1
Oli
katy
per
avta
l
Inne
håll
:
■N
atur
liga
tal
■N
egat
iva
tal
■Pr
iori
teri
ngsr
egle
roc
hpa
rent
eser
■R
atio
nella
tal
■N
ågot
omir
ratio
nella
tal
■R
eella
tal
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Be
räkn
aut
tryc
kso
min
nehå
llerh
elta
l,de
fyra
räkn
esät
ten
och
pare
ntes
er.
■Ve
task
illna
den
mel
lan
natu
rlig
ata
l,he
ltal,
ratio
nella
talo
chir
ratio
nella
tal.
■O
mva
ndla
bråk
talt
illde
cim
alfo
rmoc
hom
vänt
.■
Avg
öra
vilk
etav
två
bråk
tals
omär
stör
st,d
els
med
deci
mal
bråk
sutv
eck-
ling,
dels
geno
mfö
rlän
gnin
gav
bråk
en.
■A
nge
ettn
ärm
evär
detil
ldec
imal
talo
chbr
åkta
lmed
ettg
ivet
anta
ldec
i-m
aler
.
Räk
neop
erat
ione
rmed
tal
Att
arbe
tam
edta
linn
ebär
attm
anut
för
enra
drä
kneo
pera
tione
r.D
egr
undl
ägga
nde
ärde
fyra
räkn
esät
ten.
Ifig
uren
som
följe
rfin
nsnå
gra
begr
epp
som
ärbr
aat
tkun
nafö
rat
tför
stå
mat
emat
isk
text
.N
ärm
anad
dera
rta
lär
sum
man
inte
bero
ende
aviv
ilken
ordn
ing
term
erna
adde
-ra
s3+
4+
5=
3+
5+
4=
5+
4+
3=
12.
När
tals
ubtr
aher
asär
natu
rlig
tvis
ordn
inge
nvi
ktig
5−
2=
3m
edan
2−
5=
−3.
Om
vipr
atar
omdi
ffer
ense
nm
ella
ntv
åta
lmen
arvi
vanl
igtv
issk
illna
den
mel
lan
det
stör
reoc
hde
tmin
dre.
Såle
des
men
arvi
attd
iffer
ense
nm
ella
n2
och
5är
3.
10
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
3+4=
7
term
summa
13−4=
9
term
differens
3·4
=12
faktor
produkt
8 4=
2
taljare
nam
nare
kvot
Figu
ren
visa
rd
efy
rarä
knes
ätte
noc
hna
mne
npå
de
olik
ad
elar
som
ingå
r.
När
talm
ultip
licer
asär
ordn
inge
nm
ella
nfa
ktor
erna
inte
vikt
ig
3·4
·5=
3·5
·4=
5·4
·3=
60.
Vid
divi
sion
äror
dnin
gen
avbe
tyde
lse
6 3=
2m
edan
3 6=
0,5.
Räk
neor
dnin
giu
ttry
ck(P
rior
iter
ings
regl
er)
När
flera
räkn
esät
tför
ekom
mer
iett
mat
emat
iskt
uttr
yck
ärde
tvik
tigta
ttm
anha
ren
över
ensk
omm
else
omiv
ilken
ordn
ing
oper
atio
nern
ask
aut
föra
s.Fö
ljand
egä
ller:
■Pa
rent
eser
(par
ente
sen
”län
gsti
n”fö
rst)
■M
ultip
likat
ion
och
divi
sion
(frå
nvä
nste
rtil
lhög
er)
■A
dditi
onoc
hsu
btra
ktio
n(f
rån
väns
ter
tillh
öger
)
Exem
pel1
a)3−(2
· (3+
2)−
5)=
3−(
2·5
−5)
=3−
(10−
5)=
3−
5=
−2
b)3−
2· (
3+
2)−
5=
3−
2·5
−5=
3−
10−
5=
−7−
5=
−12
c)5+
3·( 5
−−
4 2
)−
3·(
2+
(2−
4))=
5+
3·(
5−(−
2))−
3·(
2+(−
2))
=5+
3·(
5+
2)−
3·(
2−
2)=
5+
3·7
−3·0
=5+
21−
0=
26
11 ”Osy
nlig
a”pa
rent
eser
Vid
divi
sion
ska
tälja
reoc
hnä
mna
rebe
räkn
asva
rför
sig
inna
ndi
visi
onen
utfö
rs.M
anka
ndä
rför
säga
attd
etfin
ns”o
synl
iga
pare
ntes
er”
omkr
ing
tälja
reoc
hnä
mna
re.
Exem
pel2
a)7+
52
=12 2
=6
b)6
1+
2=
6 3=
2
c)12
+8
6+
4=
20 10=
2
Spec
iellt
vikt
igtä
rde
tta
vid
anvä
ndan
deta
vm
inir
äkna
re.D
ivis
ione
n
8+
42+
4
mås
tesk
riva
s(8
+4)
/(2
+4)
påm
inir
äkna
ren
föra
ttde
tkor
rekt
asv
aret
2sk
aer
hålla
s.Et
tvan
ligtm
isst
agär
atts
kriv
a8+
4/2+
4,vi
lket
avm
inir
äkna
ren
tolk
asso
m8+
2+
4=
14.
Oli
katy
per
avta
l
De
tal
vian
vänd
eros
sav
för
att
besk
riva
anta
loc
hm
ått,
mm
.,ka
llas
sam
man
fatt
-ni
ngsv
isfö
rde
reel
lata
len
och
kan
illus
trer
asm
edhj
älp
aven
talli
nje:
−3
−2
−1
01
23
−π
−4 3
0,5
√2
e355
113
De
reel
lata
len
”fyl
ler”
talli
njen
,dvs
.ing
ahå
lelle
rm
ella
nrum
finns
någo
nsta
nslä
ngs
talli
njen
.Var
jepu
nktp
åta
llinj
enka
nan
ges
med
hjäl
pav
enfö
ljdav
deci
mal
er.M
äng-
den
avde
reel
lata
len
äral
lade
cim
alta
loc
hbe
teck
nas
med
R.T
allin
jen
visa
roc
kså
tale
nis
torl
ekso
rdni
ng;e
ttta
ltill
höge
rär
allti
dst
örre
änet
ttal
tillv
änst
er.M
anbr
u-ka
rde
laup
pde
reel
lata
len
iföl
jand
ety
per
avta
l:
Nat
urlig
ata
l(sy
mbo
liser
asva
nlig
enm
edbo
ksta
ven
N)
De
tals
oman
vänd
snä
rm
anrä
knar
anta
l:0,
1,2,
3,4,
...
12
Hel
tal(
Z)
De
natu
rlig
ata
len
och
dera
sne
gativ
am
otsv
arig
hete
r:..
.,−
3,−
2,−
1,0,
1,2,
3,..
.
Rat
ione
llata
l(Q
)
Alla
tals
omka
nsk
riva
sso
men
kvot
mel
lan
helta
l(br
åk),
t.ex.
−3 4,
3 2,37 12
8,os
v.
Obs
erve
raat
täve
nhe
ltale
nrä
knas
som
ratio
nella
tal,
efte
rsom
−1=
−1 1
,0=
0 1,1=
1 1,2=
2 1,os
v.
Ettr
atio
nellt
talk
ansk
riva
spå
flera
olik
asä
tt,e
fter
som
t.ex.
2=
2 1=
4 2=
6 3=
8 4=
100
50=
384
192
osv.
Exem
pel3
a)A
ttm
ultip
licer
atä
ljare
och
näm
nare
hos
ettr
atio
nellt
talm
edsa
mm
afa
ktor
kalla
sfö
rlän
gnin
goc
hfö
ränd
rar
inte
tale
tsvä
rde
1 3=
1·2
3·2
=2 6=
1·5
3·5
=5 15
osv.
b)A
ttdi
vide
ratä
ljare
och
näm
nare
hos
ett
ratio
nellt
talm
edsa
mm
ata
lkal
las
förk
ortn
ing
och
förä
ndra
rin
tehe
ller
tale
tsvä
rde
75 105=
75/5
105/
5=
15 21=
15/3
21/3
=5 7
osv.
Irra
tione
llata
l
De
tal
påta
llinj
enso
min
teka
nsk
riva
sso
mbr
åkka
llas
irra
tione
llata
l.Ex
empe
lpå
irra
tione
llata
lär
defle
sta
rött
er,s
om√
2oc
h√
3,m
enäv
enta
letπ
t.ex.
Dec
imal
form
Alla
type
rav
reel
lata
lkan
skri
vas
påde
cim
alfo
rm,m
edet
tgod
tyck
ligta
ntal
deci
ma-
ler.
Dec
imal
erna
som
skri
vstil
lhög
erom
deci
mal
kom
mat
ange
rant
altio
ndel
ar,h
und-
rade
lar,
tuse
ndel
ar,o
sv.,
påsa
mm
asä
ttso
msi
ffro
rna
tillv
änst
erom
deci
mal
kom
mat
ange
ran
tale
tent
al,t
iota
l,hu
ndra
tal,
osv.
13
1234,5678
tusental
tiotal
tiondel
tusendel
decim
alkomma
hundratal
ental
hundradel
tiotusendel
Exem
pel4
1234
,567
8=
1000
+20
0+
30+
4+
5 10+
6 100+
710
00+
810
000
Ett
ratio
nellt
talk
ansk
riva
spå
deci
mal
form
geno
mat
tut
föra
divi
sion
en.S
åled
esär
tale
t3 4
sam
ma
som
”3di
vide
ratm
ed4”
,dvs
.0,7
5.Lä
som
ligga
nde
stol
enpå
wik
iped
ia.
Exem
pel5
a)1 2=
0,5=
0,50
b)1 3=
0,33
3333
...=
0,3
c)5 12
=0,
4166
666
...=
0,41
6
d)1 7=
0,14
2857
1428
57..
.=0,
1428
57
(und
erst
rykn
inge
nm
arke
rar
deci
mal
erso
mup
prep
as)
Som
syne
sha
rde
ratio
nella
tale
nov
anen
peri
odis
kde
cim
alut
veck
ling,
dvs.
deci
mal
-ut
veck
linge
nsl
utar
allti
dm
edat
ten
viss
följd
avde
cim
aler
uppr
epas
iall
oänd
lighe
t.D
etta
gälle
rfö
ral
lara
tione
llata
loc
hsk
iljer
dess
afr
ånde
irra
tione
lla,v
ilka
inte
har
någo
tper
iodi
sktm
önst
eris
inde
cim
alut
veck
ling.
Om
vänt
gälle
roc
kså
att
alla
talm
eden
peri
odis
kde
cim
alut
veck
ling
ärra
tione
llata
l.
14
Exem
pel6
Tale
nπ
och√
2är
irra
tione
llata
loc
hha
rdä
rför
inge
tpe
riod
iskt
mön
ster
isi
nde
cim
alut
veck
ling.
a)π=
3,14
159
265
358
979
323
846
264
3..
.
b)√
2=
1,41
421
356
237
309
504
880
168
8..
.
Exem
pel7
a)0,
600
...=
0,6=
6 10=
3 5
b)0,
35=
35 100=
7 20
c)0,
0025
=25
1000
0=
1 400
Exem
pel8
Tale
tx=
0,21
5151
515
...ä
rra
tione
llt,e
fter
som
det
har
enpe
riod
isk
deci
mal
ut-
veck
ling.
Vi
kan
skri
vade
tta
ratio
nella
tal
som
enkv
otav
två
helta
lpå
följa
nde
sätt
. Mul
tiplic
erar
vita
letm
ed10
förs
kjut
sde
cim
alko
mm
atet
tste
gåt
höge
r
10x=
2,15
1515
...
och
mul
tiplic
erar
vita
letm
ed10
·10·1
0=
1000
flytt
asde
cim
alko
mm
attr
est
egåt
höge
r10
00x=
215,
1515
...
Nu
ser
viat
t10
00x
och
10x
har
sam
ma
deci
mal
utve
cklin
gså
diff
eren
sen
mel
lan
tale
n10
00x−
10x=
215,
1515
...−
2,15
1515
...
blir
etth
elta
l99
0x=
213.
Allt
såär
x=
213
990=
71 330.
15 Avr
undn
ing
Efte
rsom
detä
rop
rakt
iskt
attr
äkna
med
lång
ade
cim
alut
veck
linga
rså
avru
ndar
man
ofta
talt
illet
tläm
plig
tant
alde
cim
aler
.Öve
rens
kom
mel
sen
som
gälle
rär
atts
iffro
rna
0,1,
2,3
och
4av
rund
asne
dåtm
edan
5,6,
7,8
och
9av
rund
asup
påt.
Via
nvän
der
sym
bole
n≈
(är
unge
fär
lika
med
)för
attm
arke
raat
ten
avru
ndni
ngha
rsk
ett.
Exem
pel9
Avr
undn
ing
till3
deci
mal
ers
nogg
rann
het:
a)1,
0004
≈1,
000
b)0,
9999
≈1,
000
c)2,
9994
999≈
2,99
9
d)2,
9995
0≈
3,00
0
Exem
pel1
0
Avr
undn
ing
till4
deci
mal
ers
nogg
rann
het:
a)π≈
3,14
16
b)2 3≈
0,66
67
Jäm
före
lse
avta
l
Man
ange
rst
orle
ksfö
rhål
land
etm
ella
nta
lmed
hjäl
pav
sym
bole
rna>
(är
stör
reän
),<
(är
min
dre
än)o
ch=
(är
lika
med
).St
orle
ksfö
rhål
land
etm
ella
ntv
åta
lkan
avgö
ras
dels
geno
mat
tsk
riva
tale
ni
deci
mal
form
,elle
rge
nom
att
skri
vara
tione
llata
lso
mbr
åkm
edge
men
sam
näm
nare
.
Exem
pel1
1
a)V
ilket
ärst
örst
avta
len
1 3oc
h0,
33?
Vih
arat
tx=
1 3=
100
300
och
y=
0,33
=33 10
0=
99 300.
16
Allt
såär
x>
yef
ters
om10
0/30
0>
99/3
00.
Alte
rnat
ivts
åka
nm
anse
att1
/3>
0,33
efte
rsom
1/3=
0,33
33..
.>0,
33.
b)V
ilket
talä
rst
örst
av2 5
och
3 7?
Skri
vta
len
med
gem
ensa
mnä
mna
re,t
.ex.
35:
2 5=
14 35oc
h3 7=
15 35.
Allt
såär
3 7>
2 5ef
ters
om15 35
>14 35
.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Att
tänk
apå
Var
nogg
rann
!Mån
galö
snin
gar
blir
felp
ågr
und
avm
isst
agia
vskr
ifte
nel
ler
andr
aen
kla
fel,
och
inte
för
attd
usk
ulle
hatä
nktf
el.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
såvi
llvi
tipsa
om
■Lä
sm
erom
Ari
tmet
ikie
ngel
ska
Wik
iped
ia(http://en.wikipedia.org/wik
i/Ar
ithm
etic
)
■Ve
mup
ptäc
kte
Nol
lan?
Läs
mer
i”Th
eM
acTu
tor
His
tory
ofM
athe
mat
ics
arch
ive”
(http://www-
groups.dcs.st-
and.ac
.uk/
~his
tory/H
istT
opic
s/Ze
ro.
html
)
■Li
ggan
dest
olen
—en
besk
rivn
ing
(http://www.fritext.se/matte
/gru
nder
/pos
i3.h
tml)
■V
isst
edu
att0
,999
...=
1?(http://en.wikipedia.org/wik
i/0.
999.
..)
Länk
tips
Hur
mån
gafä
rger
behö
vsde
tfö
rat
tfä
rglä
gga
enka
rta?
Hur
mån
gagå
nger
mås
tem
anbl
anda
enko
rtle
k?V
ilket
ärde
tst
örst
apr
imta
let?
Finn
sde
tnå
gra
17
”tur
num
mer
”?V
ilket
ärde
tva
ckra
ste
tale
t?Ly
ssna
tilld
enkä
nda
förf
atta
ren
och
mat
emat
iker
nSi
mon
Sing
h,so
mbl
and
anna
tber
ätta
rom
dem
agis
kata
len
4oc
h7,
ompr
imta
len,
Kep
lers
höga
roc
hom
nolla
n.
■Ly
ssna
påBB
C-p
rogr
amm
en”5
Num
bers
”(http://www.bbc.co.uk/radio4
/sci
ence
/5nu
mber
s1.s
html
)
■Ly
ssna
påBB
C-p
rogr
amm
en”A
noth
er5
num
bers
”(http://www.bbc.co.uk/radio4
/sci
ence
/ano
ther
5.sh
tml)
18
1.1
Övn
inga
r
Övn
ing
1.1:
1
Berä
kna
(uta
nhj
älp
avrä
kned
osa)
a)3−
7−
4+
6−
5b)
3−(7
−4)
+(6
−5)
c)3−(7
−(4
+6)
−5)
d)3−(7
−(4
+6))−
5
Övn
ing
1.1:
2
Berä
kna
a)(3
−(7
−4))(
6−
5)b)
3−(((7
−4)
+6)
−5)
c)3·(−
7)−
4·(
6−
5)d)
3·(−
7)−(4
+6)
/(−
5)
Övn
ing
1.1:
3
Vilk
aav
följa
nde
talt
illhö
rde
natu
rlig
ata
len?
helta
len?
ratio
nella
tale
n?ir
ratio
nella
tale
n?a)
8b)
−4
c)8−
4
d)4−
8e)
8·(−
4)f)
(−8)
·(−
4)
Övn
ing
1.1:
4
Vilk
aav
följa
nde
talt
illhö
rde
natu
rlig
ata
len?
helta
len?
ratio
nella
tale
n?ir
ratio
nella
tale
n?
a)4 −8
b)−
8−
4c)
√2 3
d)(
4 √2) 2
e)−
πf)
π+
1
Övn
ing
1.1:
5
Ord
nafö
ljand
eta
list
orle
ksor
dnin
g
a)2,
3 5,5 3
och
7 3
b)−
1 2,−
1 5,−
3 10oc
h−
1 3
c)1 2,2 3
,3 5,5 8
och
21 34
Övn
ing
1.1:
6
Ang
ede
cim
alut
veck
linge
nm
edtr
eko
rrek
tade
cim
aler
till
a)7 6
b)9 4
c)2 7
d)√
2
19 Övn
ing
1.1:
7
Vilk
aav
följa
nde
talä
rra
tione
lla?
Skri
vde
ssa
som
enkv
otm
ella
ntv
åhe
ltal.
a)3,
14
b)3,
1416
1416
1416
...
c)0,
200
100
100
1..
.
d)0,
1010
010
0010
000
1..
.(e
n1:
a,en
0:a,
en1:
a,tv
å0:
or,e
n1:
a,tr
e0:
oros
v.)
20
1.2
Brå
kräk
ning
Inne
håll
:
■A
dditi
onoc
hsu
btra
ktio
nav
bråk
tal
■M
ultip
likat
ion
och
divi
sion
avbr
åkta
l
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Be
räkn
aut
tryc
kso
min
nehå
ller
bråk
tal,
defy
rarä
knes
ätte
noc
hpa
rent
e-se
r.■
Förk
orta
bråk
sålå
ngts
omm
öjlig
t.■
Best
ämm
am
inst
age
men
sam
ma
näm
nare
(MG
N).
Förl
ängn
ing
och
förk
ortn
ing
Ettr
atio
nellt
talk
ansk
riva
spå
mån
gasä
tt,b
eroe
nde
påvi
lken
näm
nare
man
välje
rat
tan
vänd
a.Ex
empe
lvis
har
viat
t
0,25
=25 10
0=
1 4=
2 8=
3 12=
4 16os
v.
Vär
deta
vet
trat
ione
lltta
länd
ras
inte
när
man
mul
tiplic
erar
elle
rdi
vide
rar
tälja
reoc
hnä
mna
rem
edsa
mm
ata
l.D
essa
oper
atio
ner
kalla
sfö
rlän
gnin
gre
spek
tive
förk
ortn
ing.
Exem
pel1
Förl
ängn
ing:
a)2 3=
2·5
3·5
=10 15
b)5 7=
5·4
7·4
=20 28
Förk
ortn
ing:
c)9 12
=9/
312
/3=
3 4
21
d)72 10
8=
72/2
108/
2=
36 54=
36/6
54/6
=6 9=
6/3
9/3=
2 3
Man
bör
allti
dan
geet
tbrå
kfö
rkor
tat
sålå
ngts
omm
öjlig
t.D
etta
kan
vara
arbe
tsam
tnä
rst
ora
talä
rin
blan
dade
,var
för
man
reda
nun
der
enpå
gåen
deut
räkn
ing
bör
förs
ö-ka
hålla
bråk
iså
förk
orta
dfo
rmso
mm
öjlig
t.
Add
itio
noc
hsu
btra
ktio
nav
bråk
Vid
addi
tion
och
subt
rakt
ion
avta
libr
åkfo
rmm
åste
bråk
enha
sam
ma
näm
nare
.Om
såin
teär
falle
tm
åste
man
förs
tfö
rlän
gare
spek
tive
bråk
med
läm
plig
ata
lså
att
ge-
men
sam
näm
nare
erhå
lles.
Exem
pel2
a)3 5+
2 3=
3·3
5·3
+2·5
3·5
=9 15
+10 15
=9+
1015
=19 15
b)5 6−
2 9=
5·3
6·3
−2·2
9·2
=15 18
−4 18
=15
−4
18=
11 18
Det
vikt
iga
ärhä
rat
tås
tadk
omm
aen
gem
ensa
mnä
mna
re,m
enm
anbö
rst
räva
ef-
ter
att
hitt
aen
sålå
gge
men
sam
näm
nare
som
möj
ligt.
Idea
letä
rat
thi
tta
den
min
sta
gem
ensa
mm
anä
mna
ren
(MG
N).
Man
kan
allti
der
hålla
enge
men
sam
näm
nare
ge-
nom
attm
ultip
licer
ade
inbl
anda
denä
mna
rna
med
vara
ndra
.Det
taär
dock
inte
allti
dnö
dvän
digt
.
Exem
pel3
a)7 15
−1 12
=7·1
215
·12−
1·1
512
·15=
84 180−
15 180=
69 180=
69/3
180/
3=
23 60
b)7 15
−1 12
=7·4
15·4
−1·5
12·5
=28 60
−5 60
=23 60
c)1 8+
3 4−
1 6=
1·4
·68·4
·6+
3·8
·64·8
·6−
1·8
·46·8
·4=
24 192+
144
192−
32 192=
136
192=
136/
819
2/8=
17 24
d)1 8+
3 4−
1 6=
1·3
8·3
+3·6
4·6
−1·4
6·4
=3 24
+18 24
−4 24
=17 24
22
Man
bör
vara
såpa
sstr
änad
ihuv
udrä
knin
gat
tman
snab
btka
nhi
tta
MG
Nom
näm
-na
rna
ärav
rim
ligst
orle
k.A
ttal
lmän
tbes
täm
ma
den
min
sta
gem
ensa
mm
anä
mna
ren
kräv
erat
tman
stud
erar
vilk
apr
imta
lsom
ingå
rso
mfa
ktor
erir
espe
ktiv
enä
mna
re.
Exem
pel4
a)Be
räkn
a1 60
+1 42
.
Del
arvi
upp
60oc
h42
iså
små
helta
lsfa
ktor
erso
mm
öjlig
t,så
kan
vibe
stäm
-m
ade
tm
inst
ahe
ltal
som
ärde
lbar
tm
ed60
och
42ge
nom
att
mul
tiplic
era
ihop
dera
sfa
ktor
erm
enun
dvik
aat
tta
med
för
mån
gaav
fakt
orer
naso
mta
len
har
gem
ensa
mt
60=
2·2
·3·5
42=
2·3
·7
}⇒
MG
N=
2·2
·3·5
·7=
420.
Vik
andå
skri
va 1 60+
1 42=
1·7
60·7
+1·2
·542
·2·5
=7 42
0+
10 420=
17 420.
b)Be
räkn
a2 15
+1 6−
5 18.
Min
sta
gem
ensa
mm
anä
mna
revä
ljsså
att
den
inne
hålle
rpr
ecis
såm
ånga
prim
tals
fakt
orer
såat
tden
blir
delb
arm
ed15
,6oc
h18
15=
3·5
6=
2·3
18=
2·3
·3
⇒
MG
N=
2·3
·3·5
=90
.
Vik
andå
skri
va
2 15+
1 6−
5 18=
2·2
·315
·2·3
+1·3
·56·3
·5−
5·5
18·5
=12 90
+15 90
−25 90
=2 90
=1 45
.
Mul
tipl
ikat
ion
När
ett
bråk
mul
tiplic
eras
med
ett
helta
l,m
ultip
licer
asen
dast
tälja
ren
med
helta
let.
Det
ärup
penb
arta
ttom
t.ex.
1 3m
ultip
licer
asm
ed2
såbl
irre
sulta
tet
2 3,d
vs.
1 3·2
=1·2 3
=2 3.
23 Om
två
bråk
mul
tiplic
eras
med
vara
ndra
,m
ultip
licer
astä
ljarn
am
edva
rand
raoc
hnä
mna
rna
med
vara
ndra
.
Exem
pel5
a)8·3 7
=8·3 7
=24 7
b)2 3·1 5
=2·1
3·5
=2 15
Inna
nm
ange
nom
för
mul
tiplik
atio
nen
bör
man
allti
dko
ntro
llera
omde
tär
möj
ligt
att
förk
orta
bråk
et.D
etta
utfö
rsge
nom
att
stry
kaev
entu
ella
gem
ensa
mm
afa
ktor
eri
tälja
reoc
hnä
mna
re.
Exem
pel6
Jäm
för
uträ
knin
garn
a:
a)3 5·2 3
=3·2
5·3
=6 15
=6/
315
/3=
2 5
b)3 5·2 3
=✁✁3·2
5· ✁✁3
=2 5
Att
stry
katr
eorn
ai
6bin
nebä
rju
bara
att
man
förk
orta
rbr
åket
med
3i
ett
tidig
are
sked
e.
Exem
pel7
a)7 10
·2 7=
❆ ❆7 10·2 ❆ ❆7
=1 10
·2 1=
1❆ ❆2·5
·❆ ❆2 1=
1 5·1 1
=1 5
b)14 15
·20 21=
2·7
3·5
·4·5
3·7
=2· ❆ ❆7
3·5
·4·5
3· ❆ ❆7
=2 3· ✁✁5
·4· ✁✁5 3
=2 3·4 3
=2·4
3·3
=8 9
24
Div
isio
n
Om
1 4de
las
i2så
blir
svar
et1 8.O
m1 2
dela
si5
såbl
irre
sulta
tet
1 10.V
ihar
allts
åat
t
1 4 2=
1 4·2
=1 8
och
1 2 5=
1 2·5
=1 10
.
När
ettb
råk
divi
dera
sm
edet
thel
tal,
mul
tiplic
eras
allts
ånä
mna
ren
med
helta
let.
Exem
pel8
a)3 5/
4=
3 5·4
=3 20
b)6 7/
3=
6 7·3
=2· ✁✁3
7· ✁✁3
=2 7
När
ett
tal
divi
dera
sm
edet
tbr
åk,
mul
tiplic
eras
tale
tm
edbr
åket
inve
rter
at(”
upp-
och-
nerv
änt”
).A
ttt.e
x.di
vide
ram
ed1 2
ärju
sam
ma
sak
som
att
mul
tiplic
era
med
2 1,
dvs.
2.
Exem
pel9
a)3 1 2
=3·2 1
=3·2 1
=6
b)5 3 7
=5·7 3
=5·7 3
=35 3
c)
2 3 5 8
=2 3·8 5
=2·8
3·5
=16 15
d)
3 4 9 10
=3 4·10 9
=✁✁3 2· ❆ ❆2
·❆ ❆2·5
✁✁3·3
=5 2·3
=5 6
25 Hur
kan
bråk
divi
sion
förv
andl
astil
lm
ultip
likat
ion?
Förk
lari
ngen
ärat
tom
ett
bråk
mul
tiplic
eras
med
sitt
inve
rter
ade
bråk
blir
prod
ukte
nal
ltid
1,t.e
x.
2 3·3 2
=❆ ❆2 ✁✁3·✁✁3 ❆ ❆2
=1
elle
r9 17
·17 9=
❆ ❆9 ✚✚ 17·✚
✚ 17 ❆ ❆9=
1.
Om
man
ien
bråk
divi
sion
förl
änge
rtä
ljare
och
näm
nare
med
näm
nare
nsin
vert
erad
ebr
åk,f
årm
anal
ltid
1i
näm
nare
noc
hre
sulta
tet
blir
tälja
ren
mul
tiplic
erad
med
den
ursp
rung
liga
näm
nare
nsin
vert
erad
ebr
åk.
Exem
pel1
0
2 3 5 7
=
2 3·7 5
5 7·7 5
=
2 3·7 51
=2 3·7 5
Brå
kso
man
dela
r
Rat
ione
llata
lär
allts
åta
lsom
kan
skri
vas
ibrå
kfor
m,o
mva
ndla
stil
ldec
imal
form
,el-
ler
mar
kera
spå
enta
llinj
e.I
vårt
vard
aglig
asp
råkb
ruk
anvä
nds
ocks
åbr
åknä
rm
anbe
skri
ver
ande
lar
avnå
got.
Här
neda
nge
snå
gra
exem
pel.
Lägg
mär
ketil
lhur
vian
-vä
nder
orde
t”av
”,vi
lket
kan
bety
daså
välm
ultip
likat
ion
som
divi
sion
.
Exem
pel1
1
a)O
llesa
tsad
e20
kroc
hSt
ina
50kr
.
Olle
san
delä
r20
50+
20=
20 70=
2 7oc
hha
nbö
ral
ltså
få2 7
avvi
nste
n.
b)H
urst
orde
lutg
ör45
krav
100
kr?
Svar
:45
krär
45 100=
9 20av
100
kr.
c)H
urst
orde
lutg
ör1 3
liter
av1 2
liter
?
Svar
:1 3
liter
är
1 3 1 2
=1 3·2 1
=2 3
av1 2
liter
.
d)H
urm
ycke
tär
5 8av
1000
?
26
Svar
:5 8·1
000=
5000 8
=62
5
e)H
urm
ycke
tär
2 3av
6 7?
Svar
:2 3·6 7
=2 63·2·
63 7=
2·2 7
=4 7
Bla
ndad
eut
tryc
k
När
bråk
före
kom
mer
irä
kneu
ttry
ckgä
ller
natu
rlig
tvis
met
oder
nafö
rde
fyra
räk-
nesä
tten
som
vanl
igt,
sam
tpr
iori
teri
ngsr
egle
rna
(mul
tiplik
atio
n/di
visi
onfö
read
di-
tion/
subt
rakt
ion)
.K
omoc
kså
ihåg
att
tälja
reoc
hnä
mna
rei
ett
divi
sion
sutt
ryck
be-
räkn
asva
rfö
rsi
gin
nan
divi
sion
enut
förs
(”os
ynlig
apa
rent
eser
”).
Exem
pel1
2
a)1
2 3+
3 4
=1
2·4
3·4
+3·3
4·3
=1
8 12+
9 12
=1 17 12
=1·12 17
=12 17
b)
4 3−
1 64 3+
1 6
=
4·2
3·2
−1 6
4·2
3·2
+1 6
=
8 6−
1 68 6+
1 6
=
7 6 9 6
=7 ✁✁6·✁✁6 9
=7 9
c)3−
3 52 3−
2=
3·5 5
−3 5
2 3−
2·3 3
=
15 5−
3 52 3−
6 3
=
12 5 −4 3
=12 5
·( −3 4)
=−
3· ✁✁4 5
·3 ✁✁4=
−3·3 5
=−
9 5
d)
11 2+
1 3
−3 5·1 3
2 3/1 5−
1 4−
1 32
=
13 6+
2 6
−3·1
5·3
2 3·5 1
−
3 12−
4 122
=
1 5 6
−1 5
10 3−
−1 12 2
27
=
6 5−
1 510 3
+1 24
=1
80 24+
1 24
=1 81 24
=24 81
=8 27
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Strä
vaal
ltid
efte
rat
tsk
riva
ett
uttr
yck
ien
klas
tm
öjlig
afo
rm.
Vad
som
är”e
nkla
st”
bero
rdo
ckof
tast
påsa
mm
anha
nget
.D
etär
vikt
igt
att
duve
rklig
enbe
härs
kar
bråk
räkn
ing.
Att
duka
nhi
tta
enge
men
sam
näm
nare
,för
kort
aoc
hfö
rlän
gaet
c.Pr
inci
pern
aär
näm
ligen
grun
d-lä
ggan
denä
rm
ansk
arä
kna
med
ratio
nella
uttr
yck
som
inne
hålle
rva
riab
ler
och
för
attd
usk
aku
nna
hant
era
andr
am
atem
atis
kaut
tryc
koc
hop
erat
ione
r.R
atio
nella
uttr
yck
med
bråk
som
inne
hålle
rva
riab
ler
(x,y
,...
)är
myc
ket
vanl
iga
närm
anst
uder
arfu
nktio
ner,
spec
iellt
ändr
ings
kvot
er,g
räns
värd
enoc
hde
riva
ta.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
.
■Lä
sm
erom
bråk
och
bråk
räkn
ing
ieng
elsk
aW
ikip
edia
(http://en.wikipedia.org/wik
i/Fr
acti
on_(
math
emat
ics)
)
■Br
åkrä
knin
g—
Frit
ext
(http://www.fritext.se/matte
/bra
k/br
ak.h
tml)
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
inte
rakt
ivtm
edbr
åk(http://nlvm.usu.edu/en/nav/
fram
es_a
sid_
105_
g_2_
t_1.
html
)
■H
ärka
ndu
fåen
bild
avhu
rde
tgår
tilln
ärm
anlä
gger
ihop
bråk
.(http://www.theducation.se/k
urse
r/ex
peri
ment
/gym
a/ap
plet
s/ex
13_
brakaddition/Ex13Applet.html
)
28
1.2
Övn
inga
r
Övn
ing
1.2:
1
Skri
vpå
gem
ensa
mtb
råks
trec
k
a)7 4+
11 7b)
2 7−
1 5c)
1 6−
2 5
d)1 3+
1 4+
1 5e)
8 7+
3 4−
4 3
Övn
ing
1.2:
2
Best
ämm
inst
age
men
sam
ma
näm
nare
a)1 6+
1 10b)
1 4−
1 8c)
1 12−
1 14d)
2 45+
1 75
Övn
ing
1.2:
3
Berä
kna
följa
nde
uttr
yck
geno
mat
tanv
ända
min
sta
gem
ensa
mm
anä
mna
re:
a)3 20
+7 50
−1 10
b)1 24
+1 40
−1 16
Övn
ing
1.2:
4
Före
nkla
följa
nde
uttr
yck
geno
mat
tskr
iva
påge
men
sam
tbrå
kstr
eck.
Bråk
etsk
ava
rafä
rdig
förk
orta
t.
a)
3 5 7 10
b)
2 7 3 8
c)
1 4−
1 53 10
Övn
ing
1.2:
5
Före
nkla
följa
nde
uttr
yck
geno
mat
tskr
iva
påge
men
sam
tbrå
kstr
eck.
Bråk
etsk
ava
rafä
rdig
förk
orta
t.
a)2
1 7−
1 15
b)
1 2+
1 31 3−
1 2
c)
3 10−
1 57 8−
3 16
Övn
ing
1.2:
6
Före
nkla
2
3+
1 2
+
1 21 4−
1 31 2−
3
2−
2 7
.
29 1.3
Pote
nser
Inne
håll
:
■Po
sitiv
helta
lsex
pone
nt■
Neg
ativ
helta
lsex
pone
nt■
Rat
ione
llex
pone
nt■
Pote
nsla
gar
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■K
änna
tillb
egre
ppen
bas
och
expo
nent
.■
Berä
kna
uttr
yck
med
helta
lsex
pone
nt.
■H
ante
rapo
tens
laga
rna
iför
enkl
ing
avpo
tens
uttr
yck.
■Ve
tanä
rpo
tens
laga
rna
ärgi
ltiga
(pos
itiv
bas)
.■
Avg
öra
vilk
etav
två
pote
nsut
tryc
kso
mär
stör
stba
sera
tpå
jäm
före
lse
avba
s/ex
pone
nt.
Hel
tals
pote
nser
Via
nvän
derm
ultip
likat
ions
sym
bole
nso
met
tkor
tare
skri
vsät
tför
uppr
epad
addi
tion
avsa
mm
ata
l,t.e
x.4+
4+
4+
4+
4=
4·5
.
Pået
tlik
nand
esä
ttan
vänd
spo
tens
erso
met
tkor
tare
skri
vsät
tför
uppr
epad
mul
tipli-
katio
nav
sam
ma
tal:
4·4
·4·4
·4=
45 .
Siff
ran
4ka
llas
för
pote
nsen
sba
soc
hsi
ffra
n5
dess
expo
nent
.
Exem
pel1
a)53
=5·5
·5=
125
b)10
5=
10·1
0·1
0·1
0·1
0=
1000
00
30
c)0,
13=
0,1·0
,1·0
,1=
0,00
1
d)(−
2)4=
(−2)
·(−
2)·(−
2)·(−
2)=
16,m
en
−24
=−(2
4 )=
−(2
·2·2
·2)=
−16
e)2·3
2=
2·3
·3=
18,m
en(2
·3)2
=62
=36
Exem
pel2
a)( 2 3) 3
=2 3·2 3
·2 3=
23 33=
8 27
b)(2
·3)4
=(2
·3)·(
2·3)·(
2·3)·(
2·3)=
2·2
·2·2
·3·3
·3·3
=24
·34=
1296
Det
sist
aex
empl
etka
nge
nera
liser
astil
ltvå
anvä
ndba
rarä
kner
egle
rfö
rpo
tens
er:
( a b) m=
am bmoc
h(a
b)m=
ambm
.
Pote
nsla
gar
Med
defin
ition
enav
pote
nsfö
ljer
ytte
rlig
are
någr
arä
kner
egle
rso
mfö
renk
lar
berä
k-ni
ngar
med
pote
nser
inbl
anda
de.M
anse
rt.e
x.at
t
23·2
5=
2·2
·2︸
︷︷︸
3st
·2·2
·2·2
·2︸
︷︷︸
5st
=2·2
·2·2
·2·2
·2·2
︸︷︷
︸(3+
5)st
=23+
5=
28
vilk
etge
nere
lltka
nsk
riva
s
am·a
n=
am+
n.
Vid
divi
sion
avpo
tens
erka
noc
kså
berä
knin
garn
afö
renk
las
ompo
tens
erna
har
sam
-m
aba
s27 23
=2·2
·2·2
· ❆ ❆2· ❆ ❆2
· ❆ ❆2❆ ❆2· ❆ ❆2
· ❆ ❆2=
27−3=
24 .
31 Den
allm
änna
rege
lnbl
ir
am an=
am−
n.
När
man
råka
rutf
ören
pote
nsav
enpo
tens
finns
ytte
rlig
are
enan
vänd
barr
äkne
rege
l.V
iser
att (5
2 )3=
52·5
2·5
2=
5·5
︸ ︷︷︸
2st
·5·5
︸ ︷︷︸
2st
·5·5
︸ ︷︷︸
2st
=5·5
·5·5
·5·5
︸︷︷
︸3
gång
er2
st
=52·
3=
56 .
och
(53 )
2=
53·5
3=
5·5
·5︸
︷︷︸
3st
·5·5
·5︸
︷︷︸
3st
=5·5
·5·5
·5·5
︸︷︷
︸2
gång
er3
st
=53·
2=
56 .
Allm
äntk
ande
tta
skri
vas
(am)n
=am
·n.
Exem
pel3
a)29
·214
=29+
14=
223
b)5·5
3=
51·5
3=
51+3=
54
c)32
·33·3
4=
32+3+
4=
39
d)10
5·1
000=
105·1
03=
105+
3=
108
Exem
pel4
a)310
0
398=
3100−
98=
32
b)710 7
=710 71
=710
−1=
79
32
Om
ettb
råk
har
sam
ma
pote
nsut
tryc
kib
åde
tälja
reoc
hnä
mna
reså
intr
äffa
rfö
ljand
e:
53 53=
53−3=
50sa
mtid
igts
om53 53
=5·5
·55·5
·5=
125
125=
1.
För
attr
äkne
regl
erna
för
pote
nser
ska
stäm
ma
gör
man
allts
åde
nna
turl
iga
defin
itio-
nen
attf
öral
laa
som
inte
är0
gälle
rat
t a0=
1.
Vik
anoc
kså
råka
utfö
rat
tex
pone
nten
inäm
nare
när
stör
reän
den
itäl
jare
n.V
ifår
t.ex.
34 36=
34−6=
3−2
och
34 36=
✁✁3· ✁✁3
· ✁✁3· ✁✁3
✁✁3· ✁✁3
· ✁✁3· ✁✁3
·3·3
=1 3·3
=1 32
.
Vis
erhä
rat
tenl
igtv
åra
räkn
ereg
ler
mås
tede
nne
gativ
aex
pone
nten
bety
daat
t
3−2=
1 32.
Den
allm
änna
defin
ition
enav
nega
tiva
expo
nent
erär
att,
för
alla
tal
aso
min
teär
0gä
ller
att
a−n=
1 an.
Exem
pel5
a)712
93
7129
3=
71293−
1293
=70
=1
b)37
·3−
9·3
4=
37+(−
9)+
4=
32
c)0,
001=
110
00=
1 103=
10−
3
d)0,
008=
810
00=
1 125=
1 53=
5−3
e)( 2 3) −
1=
1( 2 3) 1
=1·3 2
=3 2
33
f)(
1 32) −
3=
(3−
2 )−
3=
3(−
2)·(−
3)=
36
g)0,
015=
(10−
2 )5=
10−
2·5=
10−
10
Om
base
nie
ttpo
tens
uttr
yck
är−
1så
blir
uttr
ycke
talte
rner
ande
−1
elle
r+1
bero
ende
påex
pone
nten
svä
rde (−
1)1=
−1
(−1)
2=
(−1)
·(−
1)=
+1
(−1)
3=
(−1)
·(−
1)2=
(−1)
·1=
−1
(−1)
4=
(−1)
·(−
1)3=
(−1)
·(−
1)=
+1
osv.
Reg
eln
ärat
t(−
1)n
ärlik
am
ed−
1om
när
udda
och
lika
med
+1
omn
ärjä
mn.
Exem
pel6
a)(−
1)56
=1
efte
rsom
56är
ettj
ämnt
tal
b)1
(−1)
11=
1 −1=
−1
efte
rsom
11är
ettu
dda
tal
c)(−
2)12
7
2130
=(−
1·2)1
27
2130
=(−
1)12
7·2
127
2130
=−
1·2
127
2130
=−
2127−
130=
−2−
3=
−1 23
=−
1 8
Byt
eav
bas
Man
bör
vara
uppm
ärks
ampå
attv
idfö
renk
ling
avut
tryc
kom
möj
ligtf
örsö
kask
riva
ihop
pote
nser
geno
mat
tväl
jasa
mm
aba
s.D
etha
ndla
roft
aom
attv
älja
2,3
elle
r5so
mba
soc
hdä
rför
bör
man
lära
sig
attk
änna
igen
pote
nser
avde
ssa
tal,
exem
pelv
is
4=
22 ,8=
23 ,16
=24 ,
32=
25 ,64
=26 ,
128=
27 ,..
.
9=
32 ,27
=33 ,
81=
34 ,24
3=
35 ,..
.
25=
52 ,12
5=
53 ,62
5=
54 ,..
.
34
Men
även
1 4=
1 22=
2−2 ,
1 8=
1 23=
2−3 ,
1 16=
1 24=
2−4 ,
...
1 9=
1 32=
3−2 ,
1 27=
1 33=
3−3 ,
...
1 25=
1 52=
5−2 ,
1 125=
1 53=
5−3 ,
...
osv.
Exem
pel7
a)Sk
riv
83·4
−2·1
6so
men
pote
nsm
edba
sen
2.
83·4
−2·1
6=
(23 )
3·(
22 )−
2·2
4=
23·3·2
2·(−
2)·2
4
=29
·2−
4·2
4=
29−4+
4=
29
b)Sk
riv
272·(
1/9)
−2
812
som
enpo
tens
avba
sen
3.
272·(
1/9)
−2
812
=(3
3 )2·(
1/32 )
−2
(34 )
2=
(33 )
2·(
3−2 )
−2
(34 )
2
=33·
2·3
(−2)·(−
2)
34·2
=36
·34
38=
36+4
38=
310 38=
310−
8=
32
c)Sk
riv
81·3
22·(
2/3)
2
25+
24så
enke
ltso
mm
öjlig
t.
81·3
22·(
2/3)
2
25+
24=
34·(
25 )2·22 32
24+
1+
24=
34·2
5·2·22 32
24·2
1+
24=
34·2
10·22 32
24·(
21+
1)
=
34·2
10·2
2
32 24·3
=34
·210·2
2
32·2
4·3
=34−
2−1·2
10+
2−4=
31·2
8=
3·2
8
35 Rat
ione
llex
pone
nt
Vad
händ
erom
ettt
alhö
jsup
ptil
len
ratio
nell
expo
nent
?G
älle
rfo
rtfa
rand
ede
defin
i-tio
ner
och
räkn
ereg
ler
viha
ran
vänt
oss
avov
an?
Efte
rsom
exem
pelv
is
21/2·2
1/2=
21/2+
1/2=
21=
2
såm
åste
21/2
vara
sam
ma
sak
som
√2
ioc
hm
edat
t√
2de
finie
ras
som
det
tal
som
uppf
ylle
r√
2·√
2=
2.A
llmän
tkan
vigö
rade
finiti
onen
a1/2=
√a.
Vim
åste
dåfö
ruts
ätta
att
a≥
0,ef
ters
omin
get
reel
ltta
lm
ultip
licer
atm
edsi
gsj
älv
kan
geet
tneg
ativ
ttal
.M
anse
roc
kså
atte
xem
pelv
is
51/3·5
1/3·5
1/3=
51/3+
1/3+
1/3=
51=
5
som
inne
bär
att
51/3=
3√5,
vilk
etka
nge
nera
liser
astil
latt
a1/n=
n√a.
Gen
omat
tkom
bine
rade
nna
defin
ition
med
enav
detid
igar
epo
tens
laga
rna((
am)n
=am
·n)
får
viat
t,fö
ral
laa≥
0gä
ller
att
am/
n=
(am)1/
n=
n√am
elle
ram
/n=
(a1/
n)m
=(
n√a)m
.
Exem
pel8
a)27
1/3=
3√27
=3
efte
rsom
3·3
·3=
27
36
b)10
00−
1/3=
110
001/
3=
1(1
03)1
/3=
1
103·
1 3=
1 101=
1 10
c)1 √8=
181
/2=
1(2
3 )1/
2=
123
/2=
2−3/
2
d)1
16−
1/3=
1(2
4 )−
1/3=
12−
4/3=
2−(−
4/3)=
24/3
Jäm
före
lse
avpo
tens
er
Om
man
utan
tillg
ång
till
min
iräk
nare
vill
jäm
föra
stor
leke
nav
pote
nser
,kan
man
ivi
ssa
fall
avgö
rade
tta
geno
mat
tjäm
föra
base
nel
ler
expo
nent
en.
Om
base
ni
enpo
tens
ärst
örre
än1
såbl
irpo
tens
enst
örre
just
örre
expo
nent
enär
.Är
däre
mot
base
nm
ella
n0
och
1så
blir
pote
nsen
min
dre
istä
llet
när
expo
nent
envä
xer.
Exem
pel9
a)35/
6>
33/4
efte
rsom
base
n3
ärst
örre
än1
och
den
förs
taex
pone
nten
5/6
ärst
örre
ände
nan
dra
expo
nent
en3/
4.
b)3−
3/4>
3−5/
6ef
ters
omba
sen
ärst
örre
än1
och
expo
nent
erna
uppf
ylle
r−
3/4>
−5/
6.
c)0,
35<
0,34
efte
rsom
base
n0,
3är
mel
lan
0oc
h1
och
5>
4.
Har
enpo
tens
enpo
sitiv
expo
nent
såbl
irpo
tens
enst
örre
just
örre
base
när
.Det
mot
-sa
tta
gälle
rom
expo
nent
enär
nega
tiv:d
åbl
irpo
tens
enm
indr
enä
rba
sen
blir
stör
re.
Exem
pel1
0
a)53/
2>
43/2
efte
rsom
base
n5
ärst
örre
änba
sen
4oc
hbå
dapo
tens
erna
har
sam
ma
posi
tiva
expo
nent
en3/
2.
b)2−
5/3>
3−5/
3ef
ters
omba
sern
aup
pfyl
ler
2<
3oc
hpo
tens
erna
har
den
nega
tiva
expo
nent
en−
5/3.
37 Ibla
ndkr
ävs
det
enom
skri
vnin
gav
pote
nser
nafö
rat
tku
nna
avgö
rast
orle
ksfö
rhål
-la
ndet
.Vill
man
t.ex.
jäm
föra
1252
med
363
kan
man
göra
omsk
rivn
inga
rna
1252
=(5
3 )2=
56oc
h36
3=
(62 )
3=
66
vare
fter
man
kan
kons
tate
raat
t363
>12
52 .
Exem
pel1
1
Avg
örvi
lket
tals
omär
stör
stav
a)25
1/3
och
53/4 .
Base
n25
kan
skri
vas
omit
erm
erav
den
andr
aba
sen
5ge
nom
att2
5=
5·5
=52 .D
ärfö
rär
251/
3=
(52 )
1/3=
52·1 3=
52/3
och
dåse
rvi
att
53/4>
251/
3
efte
rsom
3 4>
2 3oc
hba
sen
5är
stör
reän
1.
b)(√
8)5
och
128.
Både
8oc
h12
8ka
nsk
riva
sso
mpo
tens
erav
2
8=
2·4
=2·2
·2=
23 ,12
8=
2·6
4=
2·2
·32=
2·2
·2·1
6=
2·2
·2·2
·8=
2·2
·2·2
·23=
27 .
Det
tabe
tyde
rat
t
(√8)5
=(8
1/2 )
5=
(8)5/
2=
(23 )
5/2=
23·5 2=
215/
2
128=
27=
214/
2
och
därf
örär
(√8)5
>12
8
ioch
med
att
15 2>
14 2oc
hba
sen
2är
stör
reän
1.
c)(8
2 )1/
5oc
h(√
27)4
/5 .
Efte
rsom
8=
23oc
h27
=33
såka
net
tför
sta
steg
vara
attf
ören
kla
och
skri
vata
len
som
pote
nser
av2
resp
ektiv
e3,
(82 )
1/5=
(8)2/
5=
(23 )
2/5=
23·2 5=
26/5 ,
(√27
)4/5=
(271/
2 )4/
5=
271 2·4 5
=27
2/5=
(33 )
2/5=
33·2 5=
36/5 .
38
Nu
ser
viat
t(√
27)4/
5>
(82 )
1/5
efte
rsom
3>
2oc
hex
pone
nten
6 5är
posi
tiv.
d)31/
3oc
h21/
2
Vis
kriv
erex
pone
nter
nam
edge
men
sam
näm
nare
1 3=
2 6oc
h1 2=
3 6.
Då
har
viat
t
31/3=
32/6=
(32 )
1/6=
91/6
21/2=
23/6=
(23 )
1/6=
81/6
och
vise
rat
t31/
3>
21/2
efte
rsom
9>
8oc
hex
pone
nten
1/6
ärpo
sitiv
.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Ettt
alup
phöj
ttill
0är
1,om
tale
t(ba
sen)
ärsk
ildfr
ån0.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
■Lä
sm
erom
pote
nser
påen
gels
kaW
ikip
edia
(http://en.wikipedia.org/wik
i/Ex
pone
nt)
■V
ilket
ärde
tstö
rsta
prim
tale
t?Lä
sm
erpå
The
Prim
ePa
ges
(http://primes.utm.edu/)
Länk
tips
■H
ärka
ndu
trän
apå
pote
nsla
garn
a(http://www.ltcconline.net/g
reen
l/ja
va/B
asic
Alge
bra/
ExponentRules/ExponentRules.
html
)
39 1.3
Övn
inga
r
Övn
ing
1.3:
1
Berä
kna
a)23
·32
b)35
·9−
2c)
(−5)
3d)
( 2 3) −3
Övn
ing
1.3:
2
Skri
vso
men
pote
nsav
2
a)2·4
·8b)
0,25
c)1
Övn
ing
1.3:
3
Skri
vso
men
pote
nsav
3
a)1 3
b)24
3c)
92d)
1 27e)
3 92
Övn
ing
1.3:
4
Berä
kna
a)29
·2−
7b)
313·9
−3·2
7−
2c)
512
5−4·(
52 )−
6
d)223
·(−
2)−
4e)
625·(
58+
59 )−
1
Övn
ing
1.3:
5
Berä
kna
a)41/
2b)
4−1/
2
c)93/
2d)
( 472/
3)3
e)31,
4·3
0,6
f)( 12
51/3)
2·( 27
1/3)
−2·9
1/2
Övn
ing
1.3:
6
Avg
örvi
lket
tals
omär
stör
stav
a)25
61/3
och
2001/
3b)
0,5−
3oc
h0,
4−3
c)0,
25oc
h0,
27
d)40
01/3
och
( 51/3)
4e)
1251/
2oc
h62
51/3
f)256
och
340
40
2.1
Alg
ebra
iska
uttr
yck
Inne
håll
:
■D
istr
ibut
iva
lage
n■
Kva
drer
ings
regl
erna
■K
onju
gatr
egel
n■
Rat
ione
llaut
tryc
k
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Fö
renk
lako
mpl
icer
ade
alge
brai
ska
uttr
yck.
■Fa
ktor
iser
aut
tryc
km
edkv
adre
ring
sreg
lern
aoc
hko
njug
atre
geln
.■
Utv
eckl
aut
tryc
km
edkv
adre
ring
sreg
lern
aoc
hko
njug
atre
geln
.
Dis
trib
utiv
ala
gen
Den
dist
ribu
tiva
lage
nan
ger
hur
man
mul
tiplic
erar
inen
fakt
orie
npa
rent
es.
a(
b+
c)=
ab+
ac
Exem
pel1
a)4(
x+
y)=
4x+
4y
b)2(
a−
b)=
2a−
2b
c)x( 1 x
+1 x2)=
x·1 x
+x·
1 x2=
✚x ✚x+
✚x x✁2=
1+
1 x
d)a(
x+
y+
z)=
ax+
ay+
az
Med
den
dist
ribu
tiva
lage
nka
nvi
ocks
åfö
rstå
hurv
ikan
hant
era
min
uste
cken
fram
för
pare
ntes
uttr
yck.
Reg
eln
säge
ratt
enpa
rent
esm
edet
tmin
uste
cken
fram
förk
anta
sbor
tom
alla
term
erin
utip
aren
tese
nby
ter
teck
en.
41
Exem
pel2
a)−(x
+y)
=(−
1)·(
x+
y)=
(−1)
x+(−
1)y=
−x−
y
b)−(x
2−
x)=
(−1)
·(x2
−x)
=(−
1)x2
−(−
1)x=
−x2
+x
där
viis
ista
lede
tanv
änta
tt−(−
1)x=
(−1)(−
1)x=
1·x
=x.
c)−(x
+y−
y3 )=
(−1)
·(x+
y−
y3 )=
(−1)
·x+(−
1)·y
−(−
1)·y
3
=−
x−
y+
y3
d)x2
−2x
−(3
x+
2)=
x2−
2x−
3x−
2=
x2−(2
+3)
x−
2
=x2
−5x
−2
Om
den
dist
ribu
tiva
lage
nan
vänd
sba
klän
ges
såsä
gsvi
fakt
oris
era
uttr
ycke
t.O
fta
förs
öker
man
bryt
aut
enså
stor
fakt
orso
mm
öjlig
t.
Exem
pel3
a)3x
+9y
=3x
+3·3
y=
3(x+
3y)
b)xy
+y2
=xy
+y·y
=y(
x+
y)
c)2x
2−
4x=
2x·x
−2·2
·x=
2x(x
−2)
d)y−
xx−
y=
−(x
−y)
x−
y=
−1 1=
−1
Kva
drer
ings
regl
erna
Den
dist
ribu
tiva
lage
nbe
höve
rib
land
anvä
ndas
uppr
epad
egå
nger
för
att
beha
ndla
stör
reut
tryc
k.O
mvi
betr
akta
r(a
+b)(c
+d)
och
ser
a+
bso
men
fakt
orso
mm
ultip
licer
asin
ipar
ente
sen(c
+d)
såfå
rvi
(c+
d)=
c+d,
(a+
b)(c
+d)
=(a
+b)
c+(a
+b)
d.
Seda
nka
nc
och
dm
ultip
licer
asin
ires
pekt
ive
pare
ntes
(a+
b)c+(a
+b)
d=
ac+
bc+
ad+
bd.
42
Ettm
inne
svär
tsät
tatt
sam
man
fatt
afo
rmel
när
:
(a+
b)(
c+
d)=
ac+
ad+
bc+
bd
Exem
pel4
a)(x
+1)(x
−2)
=x·x
+x·(−
2)+
1·x
+1·(−
2)=
x2−
2x+
x−
2
=x2
−x−
2
b)3(
x−
y)(2
x+
1)=
3(x·2
x+
x·1
−y·2
x−
y·1)=
3(2x
2+
x−
2xy−
y)=
6x2+
3x−
6xy−
3y
c)(1
−x)(2
−x)
=1·2
+1·(−
x)−
x·2
−x·(−
x)=
2−
x−
2x+
x2
=2−
3x+
x2
där
vian
vänt
att−
x·(−
x)=
(−1)
x·(−
1)x=
(−1)
2x2
=1·x
2=
x2 .
Två
vikt
iga
spec
ialf
alla
vov
anst
åend
efo
rmel
ärnä
ra+
boc
hc+
där
sam
ma
uttr
yck
Kva
drer
ings
regl
erna
(a+
b)2=
a2+
2ab+
b2
(a−
b)2=
a2−
2ab+
b2
Des
safo
rmle
rka
llas
för
förs
taoc
han
dra
kvad
reri
ngsr
egel
n.
Exem
pel5
a)(x
+2)
2=
x2+
2·2
x+
22=
x2+
4x+
4
b)(−
x+
3)2=
(−x)
2+
2·3(−
x)+
32=
x2−
6x+
9
där(−
x)2=
((−
1)x)
2=
(−1)
2x2
=1·x
2=
x2 .
c)(x
2−
4)2=
(x2 )
2−
2·4
x2+
42=
x4−
8x2+
16
d)(x
+1)
2−(x
−1)
2=
(x2+
2x+
1)−(x
2−
2x+
1)
=x2
+2x
+1−
x2+
2x−
1
=2x
+2x
=4x
43
e)(2
x+
4)(x
+2)
=2(
x+
2)(x
+2)
=2(
x+
2)2=
2(x2
+4x
+4)
=2x
2+
8x+
8
f)(x
−2)
3=
(x−
2)(x
−2)
2=
(x−
2)(x
2−
4x+
4)
=x·x
2+
x·(−
4x)+
x·4
−2·x
2−
2·(−
4x)−
2·4
=x3
−4x
2+
4x−
2x2+
8x−
8=
x3−
6x2+
12x−
8
Kva
drer
ings
regl
erna
anvä
nds
ocks
åio
mvä
ndri
ktni
ngfö
rat
tfak
tori
sera
uttr
yck.
Exem
pel6
a)x2
+2x
+1=
(x+
1)2
b)x6
−4x
3+
4=
(x3 )
2−
2·2
x3+
22=
(x3−
2)2
c)x2
+x+
1 4=
x2+
2·1 2
x+
( 1 2
) 2=
( x+
1 2
) 2
Kon
juga
treg
eln
Ettt
redj
esp
ecia
lfal
lav
den
förs
tafo
rmel
nif
örra
avsn
ittet
ärko
njug
atre
geln
Kon
juga
treg
eln:
(a+
b)(a
−b)
=a2
−b2
Den
nafo
rmel
kan
vifå
fram
dire
ktge
nom
attu
tvec
kla
väns
terl
edet
(a+
b)(a
−b)
=a·a
+a·(−
b)+
b·a
+b·(−
b)=
a2−
ab+
ab−
b2=
a2−
b2 .
Exem
pel7
a)(x
−4y)(
x+
4y)=
x2−(4
y)2=
x2−
16y2
b)(x
2+
2x)(
x2−
2x)=
(x2 )
2−(2
x)2=
x4−
4x2
c)(y
+3)(3
−y)
=(3
+y)(3
−y)
=32
−y2
=9−
y2
44
d)x4
−16
=(x
2 )2−
42=
(x2+
4)(x
2−
4)=
(x2+
4)(x
2−
22 )
=(x
2+
4)(x
+2)(x
−2)
Rat
ione
lla
uttr
yck
Räk
ning
med
alge
brai
ska
uttr
yck
som
inne
hålle
rbrå
klik
nart
illst
orde
lvan
ligbr
åkrä
k-ni
ng. Mul
tiplik
atio
noc
hdi
visi
onav
bråk
uttr
yck
följe
rsa
mm
arä
kner
egle
rso
mgä
llerf
örva
nlig
abr
åkta
l,
a b·c d
=a·c
b·d
och
a b c d
=a·d
b·c
.
Exem
pel8
a)3x x−
y·
4x2x
+y=
3x·4
x(x
−y)
·(2x
+y)
=12
x2
(x−
y)(2
x+
y)
b)
a xx+
1a
=a2
x(x+
1)
c)
x(x
+1)
2
x−
2x−
1
=x(
x−
1)(x
−2)(x
+1)
2
Förl
ängn
ing
avet
tbr
åkut
tryc
kin
nebä
rat
tvi
mul
tiplic
erar
tälja
reoc
hnä
mna
rem
edsa
mm
afa
ktor
x+
2x+
1=
(x+
2)(x
+3)
(x+
1)(x
+3)
=(x
+2)(x
+3)(x
+4)
(x+
1)(x
+3)(x
+4)
=..
.
45 Förk
ortn
ing
avet
tbrå
kutt
ryck
inne
bär
attv
istr
yker
fakt
orer
som
tälja
ren
och
näm
na-
ren
har
gem
ensa
mt (x
+2)
✘✘✘✘
(x+
3)(x
+4)
(x+
1)✘✘✘✘
(x+
3)(x
+4)
=(x
+2)
✘✘✘✘
(x+
4)(x
+1)
✘✘✘✘
(x+
4)=
x+
2x+
1.
Exem
pel9
a)x
x+
1=
xx+
1·x
+2
x+
2=
x(x+
2)(x
+1)(x
+2)
b)x2
−1
x(x2
−1)
=1 x
c)(x
2−
y2 )(x
−2)
(x2−
4)(x
+y)
={ ko
njug
atre
geln
}=
(x+
y)(x
−y)(x
−2)
(x+
2)(x
−2)(x
+y)
=x−
yx+
2
När
bråk
uttr
yck
adde
ras
elle
rsub
trah
eras
behö
ver
de,o
mså
ärnö
dvän
digt
,för
läng
asså
attd
efå
rsa
mm
anä
mna
rein
nan
tälja
rna
kan
kom
bine
ras
ihop
,
1 x−
1x−
1=
1 x·x
−1
x−
1−
1x−
1·x x
=x−
1x(
x−
1)−
xx(
x−
1)=
x−
1−
xx(
x−
1)=
−1
x(x−
1).
Oft
afö
rsök
erm
anfö
rlän
gam
edså
lite
som
möj
ligtf
örat
tund
erlä
tta
räkn
ande
t.M
ins-
tage
men
sam
ma
näm
nare
(MG
N)ä
rden
gem
ensa
mm
anä
mna
reso
min
nehå
llerm
inst
anta
lfak
tore
r.
Exem
pel1
0
a)1
x+
1+
1x+
2ha
rM
GN
=(x
+1)(x
+2)
Förl
äng
den
förs
tate
rmen
med
(x+
2)oc
hde
nan
dra
term
enm
ed(x
+1)
1x+
1+
1x+
2=
x+
2(x
+1)(x
+2)
+x+
1(x
+2)(x
+1)
=x+
2+
x+
1(x
+1)(x
+2)
=2x
+3
(x+
1)(x
+2)
.
b)1 x+
1 x2ha
rM
GN
=x2
Vib
ehöv
erba
rafö
rlän
gade
nfö
rsta
term
enfö
rat
tfå
enge
men
sam
näm
nare
1 x+
1 x2=
x x2+
1 x2=
x+
1x2
.
46
c)1
x(x+
1)2−
1x2(x
+2)
har
MG
N=
x2 (x+
1)2 (
x+
2)
Den
förs
tate
rmen
förl
ängs
med
x(x+
2)m
edan
den
andr
ate
rmen
förl
ängs
med
(x+
1)2
1x(
x+
1)2−
1x2(x
+2)
=x(
x+
2)x2(x
+1)
2 (x+
2)−
(x+
1)2
x2(x
+1)
2 (x+
2)
=x2
+2x
x2(x
+1)
2 (x+
2)−
x2+
2x+
1x2(x
+1)
2 (x+
2)
=x2
+2x
−(x
2+
2x+
1)x2(x
+1)
2 (x+
2)
=x2
+2x
−x2
−2x
−1
x2(x
+1)
2 (x+
2)
=−
1x2(x
+1)
2 (x+
2).
d)x
x+
1−
1x(
x−
1)−
1ha
rM
GN
=x(
x−
1)(x
+1)
Vi
förl
änge
ral
late
rmer
såat
tde
får
den
gem
ensa
mm
anä
mna
ren
x(x−
1)(x
+1)
xx+
1−
1x(
x−
1)−
1=
x2 (x−
1)x(
x−
1)(x
+1)
−x+
1x(
x−
1)(x
+1)
−x(
x−
1)(x
+1)
x(x−
1)(x
+1)
=x3
−x2
x(x−
1)(x
+1)
−x+
1x(
x−
1)(x
+1)
−x3
−x
x(x−
1)(x
+1)
=x3
−x2
−(x
+1)
−(x
3−
x)x(
x−
1)(x
+1)
=x3
−x2
−x−
1−
x3+
xx(
x−
1)(x
+1)
=−
x2−
1x(
x−
1)(x
+1)
.
Vid
före
nklin
gav
stör
reut
tryc
kär
deto
fta
nödv
ändi
gtat
tbåd
efö
rlän
gaoc
hfö
rkor
tais
teg.
Efte
rsom
förk
ortn
ing
föru
tsät
ter
att
vika
nfa
ktor
iser
aut
tryc
kär
detv
iktig
tat
tfö
rsök
abe
hålla
uttr
yck
(t.e
x.nä
mna
re)
fakt
oris
erad
eoc
hin
teut
veck
lanå
got
som
vise
nare
behö
ver
fakt
oris
era.
47
Exem
pel1
1
a)1
x−
2−
4x2
−4=
1x−
2−
4(x
+2)(x
−2)
={ M
GN
=(x
+2)(x
−2)
}
=x+
2(x
+2)(x
−2)
−4
(x+
2)(x
−2)
=x+
2−
4(x
+2)(x
−2)
=x−
2(x
+2)(x
−2)
=1
x+
2
b)x+
1 xx2
+1=
x2 x+
1 xx2
+1
=
x2+
1x
x2+
1=
x2+
1x(
x2+
1)=
1 x
c)
1 x2−
1 y2
x+
y=
y2
x2y2
−x2
x2y2
x+
y=
y2−
x2
x2y2
x+
y=
y2−
x2
x2y2(x
+y)
=(y
+x)(y
−x)
x2y2(x
+y)
=y−
xx2
y2
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Var
nogg
rann
.Om
dugö
ret
tfel
pået
tstä
lleså
kom
mer
rest
enav
uträ
knin
gen
ocks
åva
rafe
l.A
nvän
dm
ånga
mel
lanl
ed.O
mdu
äros
äker
påen
uträ
knin
gut
för
dåhe
llre
enkl
ast
egän
etts
tort
steg
.U
tvec
kla
inte
ionö
dan.
Du
kan
vid
etts
enar
etil
lfäl
leva
ratv
unge
nat
tfak
-to
rise
ratil
lbak
a.
Läst
ips
■Lä
sm
erom
alge
bra
påen
gels
kaW
ikip
edia
(http://en.wikipedia.org/wik
i/Al
gebr
a)
■U
nder
stan
ding
Alg
ebra
—en
gels
kte
xtbo
kpå
näte
t(http://www.jamesbrennan.org
/alg
ebra
/)
48
2.1
Övn
inga
r
Övn
ing
2.1:
1
Utv
eckl
aa)
3x(x
−1)
b)(1
+x−
x2 )xy
c)−
x2 (4−
y2 )
d)x3 y2
(1 y−
1 xy+
1)e)
(x−
7)2
f)(5
+4y)2
g)(y
2−
3x3 )
2h)
(5x3
+3x
5 )2
Övn
ing
2.1:
2
Utv
eckl
aa)
(x−
4)(x
−5)
−3x
(2x−
3)b)
(1−
5x)(
1+
15x)
−3(
2−
5x)(
2+
5x)
c)(3
x+
4)2−(3
x−
2)(3
x−
8)d)
(3x2
+2)(3
x2−
2)(9
x4+
4)
e)(a
+b)
2+(a
−b)
2
Övn
ing
2.1:
3
Fakt
oris
era
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)x2
−36
b)5x
2−
20c)
x2+
6x+
9
d)x2
−10
x+
25e)
18x−
2x3
f)16
x2+
8x+
1
Övn
ing
2.1:
4
Best
ämko
effic
ient
erna
fram
för
xoc
hx2
när
följa
nde
uttr
yck
utve
ckla
s
a)(x
+2)(3
x2−
x+
5)
b)(1
+x+
x2+
x3 )(2
−x+
x2+
x4 )
c)(x
−x3
+x5 )
(1+
3x+
5x2 )(2
−7x
2−
x4 )
Övn
ing
2.1:
5
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)1
x−
x2−
1 xb)
1y2
−2y
−2
y2−
4
c)(3
x2−
12)(
x2−
1)(x
+1)(x
+2)
d)(y
2+
4y+
4)(2
y−
4)(y
2+
4)(y
2−
4)
49 Övn
ing
2.1:
6
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)( x
−y+
x2
y−
x
)(y
2x−
y−
1)b)
xx−
2+
xx+
3−
2
c)2a
+b
a2−
ab−
2a−
bd)
a−
b+
b2
a+
b
1−
( a−
ba+
b) 2
Övn
ing
2.1:
7
Före
nkla
följa
nde
bråk
uttr
yck
geno
mat
tskr
iva
påge
men
sam
tbrå
kstr
eck
a)2
x+
3−
2x+
5b)
x+
1x−
1+
1 x2c)
ax a+
1−
ax2
(a+
1)2
Övn
ing
2.1:
8
Före
nkla
följa
nde
bråk
uttr
yck
geno
mat
tskr
iva
påge
men
sam
tbrå
kstr
eck
a)
xx+
13+
xb)
3 x−
1 x1
x−
3
c)1
1+
1
1+
11+
x
50
2.2
Linj
ära
uttr
yck
Inne
håll
:
■Fö
rsta
grad
sekv
atio
ner
■R
äta
linje
nsek
vatio
n■
Geo
met
risk
apr
oble
m■
Om
råde
nso
mde
finie
ras
avol
ikhe
ter
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Lö
saal
gebr
aisk
aek
vatio
ner
som
efte
rfö
renk
ling
lede
rtil
lfö
rsta
grad
s-ek
vatio
ner.
■O
mva
ndla
mel
lan
form
erna
y=
kx+
moc
hax
+by
+c=
0.■
Skis
sera
räta
linje
rut
gåen
defr
ånek
vatio
nen.
■Lö
sage
omet
risk
apr
oble
mso
min
nehå
ller
räta
linje
r.■
Skis
sera
områ
den
som
ges
avlin
jära
olik
hete
roc
hbe
stäm
ma
area
nav
dess
a.
Förs
tagr
adse
kvat
ione
r
För
attl
ösa
förs
tagr
adse
kvat
ione
r(ä
ven
kalla
delin
jära
ekva
tione
r)ut
för
virä
kneo
pe-
ratio
ner
påbå
dale
den
sam
tidig
t,so
msu
cces
sivt
före
nkla
rek
vatio
nen
och
tills
lutg
örat
tvif
årx
ensa
mti
ena
lede
t.
Exem
pel1
a)Lö
sek
vatio
nen
x+
3=
7.
Subt
rahe
ra3
från
båda
led
x+
3−
3=
7−
3.
Vän
ster
lede
tför
enkl
asdå
tillx
och
vifå
rat
t
x=
7−
3=
4.
51
b)Lö
sek
vatio
nen
3x=
6.
Div
ider
abå
dale
dm
ed3
3x 3=
6 3.
Efte
rat
tha
förk
orta
tbor
t3iv
änst
erle
deth
arvi
att
x=
6 3=
2.
c)Lö
sek
vatio
nen
2x+
1=
5.
Förs
tsub
trah
erar
vibå
dale
dm
ed1
för
attf
å2x
ensa
mti
väns
terl
edet
2x=
5−
1.
Seda
ndi
vide
rar
vibå
dale
dm
ed2
och
får
svar
et
x=
4 2=
2.
Enfö
rsta
grad
sekv
atio
nka
nsk
riva
spå
norm
alfo
rmen
ax=
b.Lö
snin
gen
ärdå
helt
en-
kelt
x=
b/a
(man
mås
tean
taat
ta6=
0).D
eev
entu
ella
svår
ighe
ters
omka
nup
pstå
när
man
löse
ren
förs
tagr
adse
kvat
ion
gälle
rallt
såin
tesj
älva
lösn
ings
form
eln
utan
snar
are
defö
renk
linga
rso
mka
nbe
höva
sfö
rat
tko
mm
atil
lnor
mal
form
en.H
ärne
dan
visa
snå
gra
exem
pels
omha
rdet
gem
ensa
mta
tten
ekva
tion
före
nkla
stil
llin
järn
orm
alfo
rmoc
hdä
rmed
får
enun
iklö
snin
g.
Exem
pel2
Lös
ekva
tione
n2x
−3=
5x+
7.
Efte
rsom
xfö
reko
mm
erbå
deiv
änst
er-o
chhö
gerl
edet
subt
rahe
rar
vi2x
från
båda
led
2x−
3−
2x=
5x+
7−
2x
och
får
xsa
mla
tihö
gerl
edet
−3=
3x+
7.
Nu
subt
rahe
rar
vi7
från
båda
led −3−
7=
3x+
7−
7
och
får
3xen
sam
tkva
rih
öger
lede
t −10
=3x
.
52
Det
sist
ast
eget
ärat
tdiv
ider
abå
dale
dm
ed3
−10 3
=3x 3
och
dett
age
rat
t
x=
−10 3
.
Exem
pel3
Lös
utx
från
ekva
tione
nax
+7=
3x−
b.
Gen
omat
tsub
trah
era
båda
led
med
3x
ax+
7−
3x=
3x−
b−
3xax
+7−
3x=
−b
och
seda
nm
ed7
ax+
7−
3x−
7=
−b−
7ax
−3x
=−
b−
7
har
visa
mla
tal
late
rmer
som
inne
hålle
rx
ivä
nste
rled
etoc
höv
riga
term
eri
hö-
gerl
edet
.Eft
erso
mte
rmer
nai
väns
terl
edet
har
xso
men
gem
ensa
mfa
ktor
kan
xbr
ytas
ut(a
−3)
x=
−b−
7.
Div
ider
abå
dale
dm
eda−
3
x=
−b−
7a−
3.
Det
ärin
teal
ltid
uppe
nbar
tat
tm
anha
rat
tgö
ram
eden
förs
tagr
adse
kvat
ion.
Ifö
l-ja
nde
två
exem
pelf
örva
ndla
sde
nur
spru
nglig
aek
vatio
nen
geno
mfö
renk
linga
rtil
len
förs
tagr
adse
kvat
ion.
Exem
pel4
Lös
ekva
tione
n(x
−3)
2+
3x2=
(2x+
7)2 .
53
Utv
eckl
akv
adra
tutt
ryck
enib
åda
lede
n
x2−
6x+
9+
3x2=
4x2+
28x+
49,
4x2−
6x+
9=
4x2+
28x+
49.
Subt
rahe
ra4x
2fr
ånbå
dale
d
−6x
+9=
28x+
49.
Add
era
6xtil
lbåd
ale
d9=
34x+
49.
Subt
rahe
ra49
från
båda
led
−40
=34
x.
Div
ider
abå
dale
dm
ed34
x=
−40 34
=−
20 17.
Exem
pel5
Lös
ekva
tione
nx+
2x2
+x=
32+
3x.
Flyt
taöv
erbå
date
rmer
naie
nale
det
x+
2x2
+x−
32+
3x=
0.
Förl
äng
term
erna
såat
tde
får
sam
ma
näm
nare
(x+
2)(2
+3x
)
(x2+
x)(2
+3x
)−
3(x2
+x)
(2+
3x)(
x2+
x)=
0
och
före
nkla
tälja
ren
(x+
2)(2
+3x
)−
3(x2
+x)
(x2+
x)(2
+3x
)=
0,
3x2+
8x+
4−(3
x2+
3x)
(x2+
x)(2
+3x
)=
0,
5x+
4(x
2+
x)(2
+3x
)=
0.
Den
naek
vatio
när
uppf
ylld
bara
när
tälja
ren
ärlik
am
edno
ll(s
amtid
igts
omnä
m-
nare
nin
teär
lika
med
noll)
,5x
+4=
0
vilk
etge
rat
tx=
−4 5.
54
Rät
ali
njer
Funk
tione
rav
type
n
y=
2x+
1y=
−x+
3
y=
1 2x−
5
ärex
empe
lpå
linjä
rafu
nktio
ner
och
deka
nal
lmän
tskr
ivas
ifor
men
y=
kx+
m
där
koc
hm
ärko
nsta
nter
.G
rafe
ntil
len
linjä
rfu
nktio
när
allti
den
rät
linje
och
kons
tant
enk
ange
rlin
jens
lutn
ing
mot
x-ax
eln
och
man
ger
y-ko
ordi
nate
nfö
rde
npu
nktd
ärlin
jen
skär
y-ax
eln.
x
y
1st
egk
steg
x
y
m
Lin
jen
y=
kx+
mha
rlu
tnin
gk
och
skär
y-ax
eln
i(0,
m).
Kon
stan
ten
kka
llas
förl
inje
nsri
ktni
ngsk
oeffi
cien
toch
inne
bära
tten
enhe
tsfö
ränd
ring
ipos
itiv
x-le
dpå
linje
nge
rk
enhe
ters
förä
ndri
ngip
ositi
vy-
led.
Det
gälle
rdä
rmed
att
om
■k>
0så
luta
rlin
jen
uppå
t,
■k<
0så
luta
rlin
jen
nedå
t.
För
enho
riso
ntel
llin
je(p
aral
lell
med
x-ax
eln)
ärk=
0m
edan
enve
rtik
allin
je(p
a-ra
llell
med
y-ax
eln)
inte
har
någo
tk-
värd
e(e
nså
dan
linje
kan
inte
skri
vas
ifo
rmen
y=
kx+
m).
Exem
pel6
a)Sk
isse
ralin
jen
y=
2x−
1.
55
Jäm
för
vilin
jens
ekva
tion
med
y=
kx+
mså
ser
viat
tk=
2oc
hm
=−
1.D
etta
bety
der
att
linje
nsri
ktni
ngsk
oeffi
cien
tär
2oc
hat
tde
nsk
äry-
axel
ni
punk
ten(0
,−1)
.Se
figur
entil
lvän
ster
neda
n.
b)Sk
isse
ralin
jen
y=
2−
1 2x.
Linj
ens
ekva
tion
kan
skri
vas
som
y=
−1 2
x+
2oc
hdå
ser
viat
tde
ssri
kt-
ning
skoe
ffici
entä
rk=
−1 2
och
attm
=2.
Sefig
uren
neda
ntil
lhög
er.
x
y
1st
eg2st
eg
−1
Lin
jen
y=
2x−
1
x
y
2st
eg
1st
eg
2
Lin
jen
y=
2−
x/2
Exem
pel7
Vilk
enri
ktni
ngsk
oeffi
cien
tha
rde
nrä
talin
jeso
mgå
rge
nom
punk
tern
a(2
,1)
och
(5,3)?
Rita
rvi
upp
punk
tern
aoc
hlin
jen
iett
koor
dina
tsys
tem
såse
rvi
att5
−2=
3st
egix
-led
mot
svar
asav
3−
1=
2st
egiy
-led
pålin
jen.
Det
bety
der
att1
steg
ix-l
edm
åste
mot
svar
asav
k=
3−1
5−2=
2 3st
egiy
-led
.Allt
såär
linje
nsri
ktni
ngsk
oeffi
cien
tk=
2 3.
x
y
3st
eg
2st
eg
x
y
1st
eg
2 3st
eg
56
Två
räta
linje
rso
mär
para
llella
har
uppe
nbar
ligen
sam
ma
rikt
ning
skoe
ffici
ent.
Det
går
ocks
åat
tse
(t.e
x.ifi
gure
nne
dan)
attt
vålin
jer
som
ärvi
nkel
räta
har
rikt
ning
sko-
effic
ient
erk 1
resp
ektiv
ek 2
som
uppf
ylle
rk 2
=−
1/k 1
,vilk
etoc
kså
kan
skri
vas
som
k 1k 2
=−
1.
x
y
1st
eg
kst
eg
x
y
1st
eg
kst
eg
Den
räta
linje
nifi
gure
ntil
lvän
ster
har
rikt
ning
skoe
ffici
ent
k,dv
s.1
steg
ix-l
edm
ot-
svar
asav
kst
egiy
-led
.Om
linje
nvr
ids
90◦
mot
sols
fårv
ilin
jen
ifigu
ren
tillh
öger
,och
den
linje
nha
rri
ktni
ngsk
oeffi
cien
t−1 k
efte
rsom
num
otsv
aras
−k
steg
ix-l
edav
1st
egiy
-led
.
Exem
pel8
a)Li
njer
nay=
3x−
1oc
hy=
3x+
5är
para
llella
.
b)Li
njer
nay=
x+
1oc
hy=
2−
xär
vink
elrä
ta.
Alla
räta
linje
r(ä
ven
den
vert
ikal
alin
jen)
kan
skri
vas
iden
allm
änna
form
en
ax+
by=
c
där
a,b
och
cär
kons
tant
er.
Exem
pel9
a)Sk
riv
linje
ny=
5x+
7if
orm
enax
+by
=c.
Flyt
taöv
erx-
term
entil
lvän
ster
lede
t:−
5x+
y=
7.
b)Sk
riv
linje
n2x
+3y
=−
1if
orm
eny=
kx+
m.
Flyt
taöv
erx-
term
enih
öger
lede
t3y=
−2x
−1
och
dela
båda
led
med
3
y=
−2 3
x−
1 3.
57 Om
råde
nik
oord
inat
syst
em
Gen
omat
tto
lka
olik
hete
rge
omet
risk
tka
nde
anvä
ndas
för
att
besk
riva
områ
den
ipl
anet
.
Exem
pel1
0
a)Sk
isse
raom
råde
tixy
-pla
nets
omup
pfyl
ler
y≥
2.
Om
råde
tges
aval
lapu
nkte
r(x
,y)
vars
y-ko
ordi
natä
r2
elle
rst
örre
,dvs
.alla
punk
ter
påel
ler
ovan
för
linje
ny=
2.
x
y
y≥
2
b)Sk
isse
raom
råde
tixy
-pla
nets
omup
pfyl
ler
y<
x.
Enpu
nkt(x
,y)
som
uppf
ylle
rol
ikhe
ten
y<
xha
ren
x-ko
ordi
nat
som
ärst
örre
ände
ssy-
koor
dina
t.O
mrå
det
best
åral
ltså
aval
lapu
nkte
rtil
lhö
ger
omlin
jen
y=
x.
x
y
y<
x
Att
linje
ny=
xär
stre
ckad
bety
der
att
punk
tern
apå
linje
nin
tetil
lhör
det
färg
ade
områ
det.
58
Exem
pel1
1
Skis
sera
områ
deti
xy-p
lane
tsom
uppf
ylle
r2≤
3x+
2y≤
4.
Den
dubb
laol
ikhe
ten
kan
dela
sup
pit
våol
ikhe
ter
3x+
2y≥
2oc
h3x
+2y
≤4.
Flyt
tar
viöv
erx-
term
erna
tillh
öger
lede
toch
dela
rbå
dale
dm
ed2
får
vi
y≥
1−
3 2x
och
y≤
2−
3 2x.
De
punk
ter
som
uppf
ylle
rde
nfö
rsta
olik
hete
nlig
ger
påoc
hov
anfö
rlin
jen
y=
1−
3 2x
med
ande
punk
ter
som
uppf
ylle
rde
nan
dra
olik
hete
nlig
ger
påel
ler
unde
rlin
jen
y=
2−
3 2x.
x
y
x
y
Figu
ren
till
väns
ter
visa
rom
råd
et3x
+2y
≥2
och
figur
enti
llhö
ger
om-
råd
et3x
+2y
≤4.
Punk
ter
som
uppf
ylle
rbå
daol
ikhe
tern
atil
lhör
det
band
form
ade
områ
deso
mde
färg
ade
områ
dena
ovan
har
gem
ensa
mt.
x
y
Figu
ren
visa
rom
råd
et2≤
3x+
2y≤
4.
59
Exem
pel1
2
Om
viri
tar
upp
linje
rna
y=
x,y=
−x
och
y=
2så
begr
änsa
rde
ssa
linje
ren
tria
ngel
,iko
ordi
nats
yste
met
.
x
y
y=
xy=
−x
y=
2
Viu
pptä
cker
attf
örat
ten
punk
tska
lllig
gaid
enna
tria
ngel
såm
åste
visä
tta
ende
lkr
avpå
den.
Vis
erat
tdes
sy-
koor
dina
tmås
teva
ram
indr
eän
2.Sa
mtid
igts
ervi
attt
rian
geln
nedå
tbeg
räns
asav
y=
0.y-
koor
dina
ten
mås
teså
lede
slig
gaii
nter
valle
t0≤
y≤
2.Fö
rx-
koor
dina
ten
blir
detl
item
erko
mpl
icer
at.V
iser
att
x-ko
ordi
nate
nm
åste
ligga
ovan
för
linje
rna
y=
−x
och
y=
x.V
iser
attd
etta
ärup
pfyl
ltdå
−y≤
x≤
y.Ef
ters
omvi
reda
nha
rbe
grän
snin
gar
för
y-ko
ordi
nate
nså
ser
viat
txin
teka
nva
rast
örre
än2
elle
rm
indr
eän
−2
auto
mat
iskt
.V
iser
attb
asen
itri
ange
lnbl
ir4
läng
denh
eter
och
höjd
en2
läng
denh
eter
.A
rean
avde
nna
tria
ngel
blir
allts
å4·2
/2=
4ar
eaen
hete
r.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att..
.R
itaeg
nafig
urer
när
dulö
ser
geom
etri
ska
prob
lem
och
attv
ara
nogg
rann
när
duri
tar!
Enbr
afig
urka
nva
raha
lva
lösn
inge
n,m
enen
dålig
figur
kan
lura
en.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
vill
60
vitip
saom
:
■Lä
sm
erom
räta
linje
nsek
vatio
niB
runo
Kev
ius
mat
emat
iska
ordl
ista
(http://matmin.kevius.com/li
nje.
html
)
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
med
räta
linje
nsek
vatio
n(http://www.cut-
the-
knot.org
/Cur
ricu
lum/
Calcul
us/S
trai
ghtL
ine.
shtml)
■Ex
peri
men
tera
med
Ark
imed
estr
iang
eloc
han
drag
rads
kurv
or(http://www.cut-
the-
knot.org
/Cur
ricu
lum/
Geomet
ry/
ArchimedesTriangle.shtml
)
61 2.2
Övn
inga
r
Övn
ing
2.2:
1
Lös
ekva
tione
rna
a)x−
2=
−1
b)2x
+1=
13
c)1 3
x−
1=
xd)
5x+
7=
2x−
6
Övn
ing
2.2:
2
Lös
ekva
tione
rna
a)5x 6
−x+
29
=1 2
b)8x
+3
7−
5x−
74
=2
c)(x
+3)
2−(x
−5)
2=
6x+
4d)
(x2+
4x+
1)2+
3x4−
2x2=
(2x2
+2x
+3)
2
Övn
ing
2.2:
3
Lös
ekva
tione
rna
a)x+
3x−
3−
x+
5x−
2=
0
b)4x
4x−
7−
12x
−3=
1
c)(
1x−
1−
1x+
1) (x2
+1 2
) =6x
−1
3x−
3
d)( 2 x
−3)(
1 4x+
1 2)−
(1 2x
−2 3) 2
−(
1 2x+
1 3)(1 2x
−1 3)
=0
Övn
ing
2.2:
4
a)Sk
riv
ekva
tione
nfö
rlin
jen
y=
2x+
3på
form
enax
+by
=c.
b)Sk
riv
ekva
tione
nfö
rlin
jen
3x+
4y−
5=
0på
form
eny=
kx+
m.
Övn
ing
2.2:
5
a)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rde
nrä
talin
jeso
mgå
rge
nom
punk
tern
a(2
,3)
och(3
,0).
b)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rde
nrä
talin
jeso
mha
rri
ktni
ngsk
oeffi
cien
t−3
och
går
geno
mpu
nkte
n(1
,−2)
.
c)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rde
nrä
talin
jeso
mgå
rge
nom
punk
ten(−
1,2)
och
ärpa
ralle
llm
edlin
jen
y=
3x+
1.
d)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rde
nrä
talin
jeso
mgå
rge
nom
punk
ten(2
,4)
och
ärvi
nkel
rätm
otlin
jen
y=
2x+
5.
e)Be
stäm
rikt
ning
skoe
ffici
ente
n,k,
för
den
räta
linje
som
skär
x-ax
eln
ipu
nkte
n(5
,0)
och
y-ax
eln
ipun
kten
(0,−
8).
62
Övn
ing
2.2:
6
Finn
skär
ning
spun
kten
mel
lan
följa
nde
linje
r
a)y=
3x+
5oc
hx-
axel
nb)
y=
−x+
5oc
hy-
axel
n
c)4x
+5y
+6=
0oc
hy-
axel
nd)
x+
y+
1=
0oc
hx=
12
e)2x
+y−
1=
0oc
hy−
2x−
2=
0
Övn
ing
2.2:
7
Skis
sera
graf
entil
lföl
jand
efu
nktio
ner
a)f(
x)=
3x−
2b)
f(x)
=2−
xc)
f(x)
=2
Övn
ing
2.2:
8
Rita
inie
ttxy
-pla
nal
lapu
nkte
rva
rsko
ordi
nate
r(x
,y)
uppf
ylle
r
a)y≥
xb)
y<
3x−
4c)
2x+
3y≤
6
Övn
ing
2.2:
9
Berä
kna
area
nav
den
tria
ngel
som
a)ha
rhö
rnip
unkt
erna
(1,4),(3
,3)
och(1
,0).
b)be
grän
sas
avlin
jern
ax=
2y,y
=4
och
y=
10−
2x.
c)be
skri
vsav
olik
hete
rna
x+
y≥
−2,
2x−
y≤
2oc
h2y
−x≤
2.
63 2.3
And
ragr
adsu
ttry
ck
Inne
håll
:
■K
vadr
atko
mpl
ette
ring
■A
ndra
grad
sekv
atio
ner
■Fa
ktor
iser
ing
■Pa
rabl
er
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■K
vadr
atko
mpl
ette
raan
drag
rads
uttr
yck.
■Lö
saan
drag
rads
ekva
tione
rm
edkv
adra
tkom
plet
teri
ng(e
jfär
dig
form
el)
och
veta
hur
man
kont
rolle
rar
svar
et.
■Fa
ktor
iser
aan
drag
rads
uttr
yck
(när
detä
rm
öjlig
t).
■D
irek
tlös
afa
ktor
iser
ade
elle
rnäs
tan
fakt
oris
erad
ean
drag
rads
ekva
tione
r.■
Best
ämm
ade
tmin
sta/
stör
sta
värd
eet
tand
ragr
adsu
ttry
ckan
tar.
■Sk
isse
rapa
rabl
erge
nom
kvad
ratk
ompl
ette
ring
.
And
ragr
adse
kvat
ione
r
Enan
drag
rads
ekva
tion
ären
ekva
tion
som
kan
skri
vas
som
x2+
px+
q=
0
där
xär
den
obek
anta
och
poc
hq
ärko
nsta
nter
.En
klar
ety
per
avan
drag
rads
ekva
tione
rka
nvi
lösa
dire
ktge
nom
rotu
tdra
gnin
g.
Ekva
tione
nx2
=a
där
aär
ettp
ositi
vtta
lhar
två
lösn
inga
r(r
ötte
r)x=
√a
och
x=
−√
a.
64
Exem
pel1
a)x2
=4
har
rött
erna
x=
√4=
2oc
hx=
−√
4=
−2.
b)2x
2=
18sk
rivs
omtil
lx2=
9oc
hha
rröt
tern
ax=
√9=
3oc
hx=
−√
9=
−3.
c)3x
2−
15=
0ka
nsk
riva
sso
mx2
=5
och
har
rött
erna
x=
√5≈
2,23
6oc
hx=
−√
5≈
−2,
236.
d)9x
2+
25=
0sa
knar
lösn
inga
reft
erso
mvä
nste
rled
etko
mm
eral
ltid
attv
ara
stör
reän
elle
rlik
am
ed25
oavs
etth
urx
väljs
(kva
drat
enx2
äral
ltid
stör
reän
elle
rlik
am
edno
ll).
Exem
pel2
a)Lö
sek
vatio
nen
(x−
1)2=
16.
Gen
omat
tbet
rakt
ax−
1so
mob
ekan
tger
rotu
tdra
gnin
gat
tekv
atio
nen
har
två
lösn
inga
r:
■x−
1=
√16
=4
vilk
etge
rat
tx=
1+
4=
5,■
x−
1=
−√
16=
−4
vilk
etge
rat
tx=
1−
4=
−3.
b)Lö
sek
vatio
nen
2(x+
1)2−
8=
0.
Flyt
taöv
erte
rmen
8til
lhög
erle
deto
chde
labå
dale
dm
ed2,
(x+
1)2=
4.
Rot
utdr
agni
ngge
rat
t:
■x+
1=
√4=
2,dv
s.x=
−1+
2=
1,■
x+
1=
−√
4=
−2,
dvs.
x=
−1−
2=
−3.
Föra
ttlö
saal
lmän
naan
drag
rads
ekva
tione
ranv
ände
rvie
nte
knik
som
kalla
skv
adra
t-ko
mpl
ette
ring
.O
mvi
betr
akta
rkv
adre
ring
sreg
eln
x2+
2ax+
a2=
(x+
a)2
och
subt
rahe
rar
a2fr
ånbå
dale
dså
får
vi
65
Kva
drat
kom
plet
teri
ng: x2
+2a
x=
(x+
a)2−
a2
Exem
pel3
a)Lö
sek
vatio
nen
x2+
2x−
8=
0.
De
två
term
erna
x2+
2xkv
adra
tkom
plet
tera
s(a
nvän
da=
1if
orm
eln)
x2+
2x−
8=
(x+
1)2−
12−
8=
(x+
1)2−
9,
där
unde
rstr
ykni
ngen
visa
rvi
lka
term
erso
mär
inbl
anda
dei
kvad
ratk
om-
plet
teri
ngen
.Ekv
atio
nen
kan
därf
örsk
riva
sso
m
(x+
1)2−
9=
0,
vilk
envi
löse
rm
edro
tutd
ragn
ing
■x+
1=
√9=
3oc
hdä
rmed
x=
−1+
3=
2,■
x+
1=
−√
9=
−3
och
därm
edx=
−1−
3=
−4.
b)Lö
sek
vatio
nen
2x2−
2x−
3 2=
0.
Div
ider
abå
dale
dm
ed2
x2−
x−
3 4=
0.
Vän
ster
lede
tkva
drat
kom
plet
tera
s(a
nvän
da=
−1 2)
x2−
x−
3 4=
( x−
1 2
) 2−
( −1 2
) 2−
3 4=
( x−
1 2
) 2−
1
och
dett
age
ros
sek
vatio
nen
( x−
1 2
) 2−
1=
0.
Rot
utdr
agni
ngge
rat
t
■x−
1 2=
√1=
1,dv
s.x=
1 2+
1=
3 2,
■x−
1 2=
−√
1=
−1,
dvs.
x=
1 2−
1=
−1 2.
66
Tips
!
Tänk
påat
tm
anal
ltid
kan
pröv
alö
snin
gar
tille
nek
vatio
nge
nom
att
sätt
ain
värd
etoc
hse
omek
vatio
nen
blir
uppf
ylld
.Man
görd
etta
föra
ttup
ptäc
kaev
en-
tuel
lasl
arvf
el.F
örex
empe
l3a
ovan
har
vitv
åfa
llat
tprö
va.V
ikal
lar
väns
ter-
och
höge
rled
enfö
rV
Lre
spek
tive
HL:
■x=
2m
edfö
rat
tVL=
22+
2·2
−8=
4+
4−
8=
0=
HL.
■x=
−4
med
för
attV
L=
(−4)
2+
2·(−
4)−
8=
16−
8−
8=
0=
HL.
Ibåd
afa
llen
kom
mer
vifr
amtil
lVL=
HL.
Ekva
tione
när
allts
åup
pfyl
ldib
åda
falle
n.
Med
kvad
ratk
ompl
ette
ring
går
deta
ttvi
saat
tden
allm
änna
andr
agra
dsek
vatio
nen
x2+
px+
q=
0
har
lösn
inga
rna
x=
−p 2±
√(
p 2
) 2−
q
föru
tsat
tatt
uttr
ycke
tund
erro
ttec
knet
inte
ärne
gativ
t.Ib
land
kan
man
fakt
oris
era
ekva
tione
roc
hdi
rekt
sevi
lka
lösn
inga
rna
är.
Exem
pel4
a)Lö
sek
vatio
nen
x2−
4x=
0.
Ivän
ster
lede
tkan
vibr
yta
utet
tx x(x−
4)=
0.
Ekva
tione
nsvä
nste
rled
blir
noll
när
någo
nav
fakt
orer
naär
noll,
vilk
etge
ros
stv
ålö
snin
gar
■x=
0,el
ler
■x−
4=
0dv
s.x=
4.
67 Para
bler
Funk
tione
rna
y=
x2−
2x+
5
y=
4−
3x2
y=
1 5x2
+3x
ärex
empe
lpå
andr
agra
dsfu
nktio
ner.
Allm
äntk
anen
andr
agra
dsfu
nktio
nsk
riva
sso
m
y=
ax2+
bx+
c
där
a,b
och
cär
kons
tant
eroc
hdä
ra6=
0.G
rafe
ntil
len
andr
agra
dsfu
nktio
nka
llas
för
enpa
rabe
loch
figur
erna
visa
rut
seen
-de
tför
två
type
xem
pely
=x2
och
y=
−x2 .
x
y
x
y
Figu
ren
till
väns
ter
visa
rpa
rabe
lny=
x2oc
hfig
uren
till
höge
rpa
rabe
lny=
−x2 .
Efte
rsom
uttr
ycke
tx2
ärso
mm
inst
när
x=
0ha
rpa
rabe
lny=
x2et
tm
inim
umnä
rx=
0oc
hpa
rabe
lny=
−x2
ettm
axim
umfö
rx=
0.N
oter
aoc
kså
attp
arab
lern
aov
anär
sym
met
risk
akr
ing
y-ax
eln
efte
rsom
värd
etpå
x2in
tebe
ror
påvi
lket
teck
enx
har.
Exem
pel5
a)Sk
isse
rapa
rabe
lny=
x2−
2.
Jäm
fört
med
para
beln
y=
x2ha
rpu
nkte
rpå
para
beln
(y=
x2−
2)y-
värd
enso
mär
två
enhe
ter
min
dre,
dvs.
para
beln
ärfö
r-sk
jute
ntv
åen
hete
rne
råti
y-le
d.x
y
68
b)Sk
isse
rapa
rabe
lny=
(x−
2)2 .
Påpa
rabe
lny=
(x−
2)2
behö
ver
vivä
l-ja
x-vä
rden
två
enhe
ters
törr
ejä
mfö
rtm
edpa
rabe
lny=
x2fö
rat
tfå
mot
svar
ande
y-vä
rden
.A
lltså
ärpa
rabe
lny
=(x
−2)
2
förs
kjut
entv
åen
hete
råt
höge
rjä
mfö
rtm
edy=
x2 .
x
y
c)Sk
isse
rapa
rabe
lny=
2x2 .
Var
jepu
nktp
åpa
rabe
lny=
2x2
har
dub-
belt
såst
ort
y-vä
rde
änva
dm
otsv
aran
depu
nkt
med
sam
ma
x-vä
rde
har
påpa
ra-
beln
y=
x2 .Par
abel
ny=
2x2
ärex
pan-
dera
dm
edfa
ktor
n2
iy-
led
jäm
fört
med
y=
x2 .
x
y
Med
kvad
ratk
ompl
ette
ring
kan
vibe
hand
laal
laty
per
avpa
rabl
er.
Exem
pel6
Skis
sera
para
beln
y=
x2+
2x+
2.
Om
höge
rled
etkv
adra
tkom
plet
tera
s
x2+
2x+
2=
(x+
1)2−
12+
2=
(x+
1)2+
1
såse
rvi
från
det
resu
ltera
nde
uttr
ycke
ty
=(x
+1)
2+
1at
tpa
rabe
lnär
förs
kjut
enen
en-
het
åtvä
nste
ri
x-le
djä
mfö
rtm
edy=
x2(e
f-te
rsom
det
står
(x+
1)2
istä
llet
för
x2 )oc
hen
enhe
tupp
åtiy
-led
.
x
y
Exem
pel7
Best
ämva
rpa
rabe
lny=
x2−
4x+
3sk
ärx-
axel
n.
Enpu
nktl
igge
rpå
x-ax
eln
omde
ssy-
koor
dina
tärn
oll,
och
depu
nkte
rpå
para
beln
som
har
y=
0ha
ren
x-ko
ordi
nats
omup
pfyl
ler
ekva
tione
n
x2−
4x+
3=
0.
69
Vän
ster
lede
tkva
drat
kom
plet
tera
s
x2−
4x+
3=
(x−
2)2−
22+
3=
(x−
2)2−
1
och
dett
age
rek
vatio
nen
(x−
2)2=
1.
Efte
rro
tutd
ragn
ing
får
vilö
snin
garn
a
■x−
2=
√1=
1,dv
s.x=
2+
1=
3,■
x−
2=
−√
1=
−1,
dvs.
x=
2−
1=
1.
Para
beln
skär
x-ax
eln
ipun
kter
na(1
,0)
och(3
,0).
x
y (1,0)
(3,0)
Exem
pel8
Best
ämde
tmin
sta
värd
eso
mut
tryc
ket
x2+
8x+
19an
tar.
Vik
vadr
atko
mpl
ette
rar
x2+
8x+
19=
(x+
4)2−
42+
19=
(x+
4)2+
3
och
dåse
rvi
att
uttr
ycke
tbl
irso
mm
inst
lika
med
3ef
ters
omkv
adra
ten(x
+4)
2al
ltid
ärst
ör-
reän
elle
rlik
am
ed0
oavs
ettv
adx
är.
Ifig
uren
tillh
öger
ser
viat
the
lapa
rabe
lny=
x2+
8x+
19lig
ger
ovan
för
x-ax
eln
och
har
ett
min
imum
värd
e3
när
x=
−4.
x
y
−4
3
70
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Lägg
ner
myc
ket
tidpå
alge
bra!
Alg
ebra
ärm
atem
atik
ens
alfa
bet.
När
duvä
lha
rför
ståt
talg
ebra
,kom
mer
din
förs
tåel
seav
stat
istik
,yta
,vol
ymoc
hge
omet
riva
ram
ycke
tstö
rre.
Läst
ips
Förd
igso
mvi
llfö
rdju
padi
gyt
terl
igar
eel
lers
kulle
vilja
haen
läng
refö
rkla
ring
■Lä
sm
erom
andr
agra
dsek
vatio
ner
påen
gels
kaW
ikip
edia
(http://en.wikipedia.org/wik
i/Qu
adra
tic_
equa
tion
)
■Lä
sm
erom
andr
agra
dsek
vatio
ner
iMat
hWor
ld(http://mathworld.wolfram.co
m/Qu
adra
ticE
quat
ion.
html
)
■10
1us
esof
aqu
adra
ticeq
uatio
n—
byC
hris
Budd
and
Chr
isSa
ngw
in(http://plus.maths.org/issue
29/f
eatu
res/
quad
rati
c/in
dex-
gifd
.html
)
71 2.3
Övn
inga
r
Övn
ing
2.3:
1
Kva
drat
kom
plet
tera
följa
nde
uttr
yck
a)x2
−2x
b)x2
+2x
−1
c)5+
2x−
x2d)
x2+
5x+
3
Övn
ing
2.3:
2
Lös
följa
nde
andr
agra
dsek
vatio
ner
med
kvad
ratk
ompl
ette
ring
a)x2
−4x
+3=
0b)
y2+
2y−
15=
0c)
y2+
3y+
4=
0
d)4x
2−
28x+
13=
0e)
5x2+
2x−
3=
0f)
3x2−
10x+
8=
0
Övn
ing
2.3:
3
Lös
följa
nde
ekva
tione
rdi
rekt
a)x(
x+
3)=
0b)
(x−
3)(x
+5)
=0
c)5(
3x−
2)(x
+8)
=0
d)x(
x+
3)−
x(2x
−9)
=0
e)(x
+3)(x
−1)
−(x
+3)(2
x−
9)=
0f)
x(x2
−2x
)+
x(2−
x)=
0
Övn
ing
2.3:
4
Best
ämen
andr
agra
dsek
vatio
nso
mha
rrö
tter
na
a)−
1oc
h2
b)1+√
3oc
h1−√
3
c)3
och
√3
Övn
ing
2.3:
5
a)Be
stäm
enan
drag
rads
ekva
tion
som
bara
har−
7so
mro
t.
b)Be
stäm
ettv
ärde
påx
som
gör
attu
ttry
cket
4x2−
28x+
48är
nega
tivt.
c)Ek
vatio
nen
x2+
4x+
b=
0ha
ren
rot
x=
1.B
estä
mvä
rdet
påko
nsta
nten
b.
Övn
ing
2.3:
6
Best
ämde
tmin
sta
värd
eso
mfö
ljand
epo
lyno
man
tar
a)x2
−2x
+1
b)x2
−4x
+2
c)x2
−5x
+7
Övn
ing
2.3:
7
Best
ämde
tstö
rsta
värd
eso
mfö
ljand
epo
lyno
man
tar
a)1−
x2b)
−x2
+3x
−4
c)x2
+x+
1
72
Övn
ing
2.3:
8
Skis
sera
graf
entil
lföl
jand
efu
nktio
ner
a)f(
x)=
x2+
1b)
f(x)
=(x
−1)
2+
2c)
f(x)
=x2
−6x
+11
Övn
ing
2.3:
9
Hitt
aal
lask
ärni
ngsp
unkt
erm
ella
nx-
axel
noc
hku
rvan
a)y=
x2−
1b)
y=
x2−
5x+
6c)
y=
3x2−
12x+
9
Övn
ing
2.3:
10
Rita
inie
ttxy
-pla
nal
lapu
nkte
rva
rsko
ordi
nate
r(x
,y)
uppf
ylle
r
a)y≥
x2oc
hy≤
1b)
y≤
1−
x2oc
hx≥
2y−
3
c)1≥
x≥
y2d)
x2≤
y≤
x
73 3.1
Röt
ter
Inne
håll
:
■K
vadr
atro
toch
n:te
rot
■R
otla
gar
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Sk
riva
omet
trot
uttr
yck
ipot
ensf
orm
.■
Berä
kna
kvad
ratr
oten
urnå
gra
enkl
ahe
ltal.
■K
vadr
atro
ten
uret
tneg
ativ
ttal
inte
ärde
finie
rad.
■K
vadr
atro
ten
uret
ttal
bete
ckna
rde
npo
sitiv
aro
ten.
■H
ante
raro
tlaga
rna
iför
enkl
ing
avro
tutt
ryck
.■
Veta
när
rotla
garn
aär
gilti
ga(i
cke-
nega
tiva
radi
kand
er).
■Fö
renk
laro
tutt
ryck
med
kvad
ratr
ötte
rin
ämna
ren.
■Ve
tanä
rn:
tero
ten
uret
tneg
ativ
ttal
ärde
finie
rad
(nud
da).
Kva
drat
rött
er
Sym
bole
n√
a,kv
adra
trot
enur
a,an
vänd
sso
mbe
kant
för
att
be-
teck
nade
tta
lsom
mul
tiplic
erat
med
sig
själ
vtbl
ira.
Man
mås
tedo
ckva
ralit
em
erex
aktn
ärm
ande
finie
rar
denn
asy
mbo
l.Ek
vatio
nen
x2=
4ha
rtv
ålö
snin
gar
x=
2oc
hx=
−2,
ef-
ters
omså
väl2
·2=
4so
m(−
2)·(−
2)=
4.M
ansk
ulle
dåku
nna
tro
att√
4ka
nva
ravi
lken
som
hels
tav
−2
och
2,dv
s.√
4=
±2,
men
√4
bete
ckna
rba
rade
tpos
itiva
tale
t2.
Kva
drat
rote
n√
abe
teck
nar
det
icke
-neg
ativ
ata
lso
mm
ultip
licer
atm
edsi
gsj
älvt
blir
a,dv
s.de
nic
ke-n
egat
iva
lösn
inge
ntil
lekv
atio
nen
x2=
a.K
vadr
atro
ten
ura
kan
även
skri
vas
a1/2 .
Det
ärdä
rför
fela
ttpå
stå
att√
4=
±2,
men
korr
ekta
ttsä
gaat
tekv
atio
nen
x2=
4ha
rlö
snin
garn
ax=
±2.
74
Exem
pel1
a)√
0=
0ef
ters
om02
=0·0
=0
och
0är
inte
nega
tiv.
b)√
100=
10ef
ters
om10
2=
10·1
0=
100
och
10är
ettp
ositi
vtta
l.
c)√
0,25
=0,
5ef
ters
om0,
52=
0,5·0
,5=
0,25
och
0,5
ärpo
sitiv
.
d)√
2≈
1,41
42ef
ters
om1,
4142
·1,4
142≈
2oc
h1,
4142
ärpo
sitiv
.
e)Ek
vatio
nen
x2=
2ha
rlö
snin
garn
ax=
√2≈
1,41
4oc
hx=
−√
2≈
−1,
414.
f)√−
4är
inte
defin
iera
d,ef
ters
omde
tint
efin
nsnå
gotr
eellt
talx
som
upp-
fylle
rx2
=−
4.
g)√(−
7)2=
7ef
ters
om√(−
7)2=
√(−
7)·(−
7)=
√49
=√
7·7
=7.
När
man
räkn
arm
edkv
adra
tröt
ter
kan
det
vara
bra
att
känn
atil
lnåg
rarä
kner
egle
r.Ef
ters
om√
a=
a1/2
kan
viöv
erfö
rapo
tens
laga
rna
till”
rotla
gar”
.Vih
art.e
x.at
t√
9·4
=(9
·4)1/
2=
91/2·4
1/2=
√9·√
4.
Påde
tta
sätt
kan
vifå
fram
följa
nde
räkn
ereg
ler
för
kvad
ratr
ötte
r,so
mgä
ller
för
alla
reel
lata
la,b
≥0
:
√ab
=√
a·√
b√
a b=
√a
√b
a√b=
√a2
b
(Vim
åste
dock
vid
divi
sion
enov
anso
mva
nlig
tför
utsä
tta
attb
inte
är0.
)
Exem
pel2
a)√
64·8
1=
√64
·√81
=8·9
=72
b)
√9 25
=
√9
√25
=3 5
75
c)√
18·√
2=
√18
·2=
√36
=6
d)
√75 √3
=
√75 3
=√
25=
5
e)√
12=
√4·3
=√
4·√
3=
2√3
Obs
erve
raat
trä
kner
egle
rna
ovan
föru
tsät
ter
att
aoc
hb≥
0.O
ma
och
bär
nega
tiva
(<
0)så
ärin
te√
aoc
h√
bde
finie
rade
som
reel
lata
l.M
ansk
ulle
t.ex.
kunn
afr
esta
sat
tskr
iva
−1=
√−
1·√
−1=
√(−
1)·(−
1)=
√1=
1
men
ser
dåat
tnåg
otin
test
ämm
er.A
nled
ning
enär
att√
−1
inte
äret
tree
lltta
l,vi
lket
allts
ågö
rat
träk
nere
gler
naov
anin
tefå
ran
vänd
as.
Hög
reor
dnin
gars
rött
er
Kub
ikro
ten
uret
ttal
ade
finie
ras
som
dett
also
mm
ultip
licer
atm
edsi
gsj
älvt
tre
gång
-er
ger
a,oc
hbe
teck
nas
3√a.
Exem
pel3
a)3√
8=
2ef
ters
om2·2
·2=
8.
b)3√
0,02
7=
0,3
efte
rsom
0,3·0
,3·0
,3=
0,02
7.
c)3√−
8=
−2
efte
rsom
(−2)
·(−
2)·(−
2)=
−8.
Not
era
att,
tills
killn
adfr
ånkv
adra
tröt
ter,
ärku
bikr
ötte
räv
ende
finie
rade
för
nega
tiva
tal.
Det
går
seda
nat
tför
posi
tiva
helta
lnde
finie
ran:
tero
ten
uret
ttal
aso
m
■om
när
jäm
noc
ha≥
0är
n√a
det
icke
-neg
ativ
ata
lsom
mul
tiplic
erat
med
sig
själ
vtn
gång
erbl
ira,
■om
när
udda
såär
n√a
dett
also
mm
ultip
licer
atm
edsi
gsj
älvt
ngå
nger
blir
a.
Rot
enn√
aka
näv
ensk
riva
sso
ma1/
n.
76
Exem
pel4
a)4√
625=
5ef
ters
om5·5
·5·5
=62
5.
b)5√−
243=
−3
efte
rsom
(−3)
·(−
3)·(−
3)·(−
3)·(−
3)=
−24
3.
c)6√−
17är
inte
defin
iera
def
ters
om6
ärjä
mn
och−
17är
ettn
egat
ivtt
al.
För
n:te
rött
ergä
ller
sam
ma
räkn
ereg
ler
som
för
kvad
ratr
ötte
rom
a,b≥
0.O
bser
vera
atto
mn
ärud
dagä
ller
deäv
enfö
rne
gativ
aa
och
b,dv
s.fö
ral
lare
ella
tala
och
b.
n√ab
=n√
a·n√
b
n√a b=
n√a
n√b
an√
b=
n√an
b
Före
nkli
ngav
rotu
ttry
ck
Oft
aka
nm
ange
nom
atta
nvän
darä
kner
egle
rna
för
rött
erfö
renk
laro
tutt
ryck
väse
nt-
ligt.
Liks
omvi
dpo
tens
räkn
ing
hand
lar
det
ofta
omat
tbr
yta
ner
uttr
yck
iså
”sm
å”rö
tter
som
möj
ligt.
Exem
pelv
isgö
rm
angä
rna
omsk
rivn
inge
n√
8=
√4·2
=√
4·√
2=
2√2
efte
rsom
man
dåka
nfö
renk
lat.e
x. √8 2=
2√2
2=
√2.
Gen
omat
tskr
iva
rotu
ttry
ckit
erm
erav
”sm
å”rö
tter
kan
man
ocks
åad
dera
rött
erav
”sam
ma
sort
”,t.e
x.√
8+√
2=
2√2+√
2=
(2+
1)√
2=
3√2.
Exem
pel5
a)
√8
√18
=
√2·4
√2·9
=
√2·2
·2√
2·3
·3=
√2·2
2√
2·3
2=
2√2
3√2=
2 3
77
b)
√72 6
=
√8·9
2·3
=
√2·2
·2·3
·32·3
=
√22
·32·2
2·3
=2·3√
22·3
=√
2
c)√
45+√
20=
√9·5
+√
4·5
=√
32·5
+√
22·5
=3√
5+
2√5
=(3
+2)√
5=
5√5
d)√
50+
2√3−√
32+√
27=
√5·1
0+
2√3−√
2·1
6+√
3·9
=√
5·2
·5+
2√3−√
2·4
·4+√
3·3
·3
=√
52·2
+2√
3−√
22·2
2·2
+√
3·3
2
=5√
2+
2√3−
2·2√
2+
3√3
=(5
−4)√
2+(2
+3)√
3
=√
2+
5√3
e)2·3√
33√
12=
2·3√
33√
3·4
=2·3√
33√
3·3√
4=
2 3√4=
23√
2·2
=2
3√2·3√
2·
3√2
3√2=
2·3√
22
=3√
2
f)(√
3+√
2)(√
3−√
2)=
(√3)2−(√
2)2
=3−
2=
1
där
vian
vänt
konj
ugat
rege
ln(a
+b)(a
−b)
=a2
−b2
med
a=
√3
och
b=
√2.
Rat
ione
lla
rotu
ttry
ck
När
rött
erfö
reko
mm
erie
ttra
tione
lltut
tryc
kvi
llm
anof
taun
dvik
arö
tter
inäm
nare
n(e
fter
som
det
ärsv
årt
vid
hand
räkn
ing
att
divi
dera
med
irra
tione
llata
l).G
enom
att
förl
änga
med
√2
kan
man
exem
pelv
isgö
raom
skri
vnin
gen
1 √2=
1·√
2√
2·√
2=
√2 2
vilk
etof
tast
ärat
tför
edra
.Ia
ndra
fall
kan
man
utny
ttja
konj
ugat
rege
ln,(
a+
b)(a
−b)
=a2
−b2 ,o
chfö
rlän
gam
ednä
mna
rens
s.k.
konj
uger
adeu
ttry
ck.P
åså
sätt
förs
vinn
erro
ttec
knen
från
näm
nare
n
78
geno
mkv
adre
ring
en,t
.ex.
√3
√2+
1=
√3
√2+
1·√
2−
1√
2−
1=
√3(√
2−
1)(√
2+
1)(√
2−
1)
=
√3·√
2−√
3·1
(√2)2−
12=
√3·2
−√
32−
1=
√6−√
31
=√
6−√
3.
Exem
pel6
a)10√
3√
5=
10√
3·√
5√
5·√
5=
10√
155
=2√
15
b)1+√
3√
2=
(1+√
3)·√
2√
2·√
2=
√2+√
62
c)3
√2−
2=
3(√
2+
2)(√
2−
2)(√
2+
2)=
3√2+
6(√
2)2
−22
=3√
2+
62−
4=
−3√
2+
62
d)
√2
√6+√
3=
√2(√
6−√
3)
(√6+√
3)(√
6−√
3)=
√2√
6−√
2√
3(√
6)2
−(√
3)2
=
√2√
2·3
−√
2√
36−
3=
2√3−√
2√
33
=(2
−√
2)√
33
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Kva
drat
rote
nur
ettt
alär
allti
dic
ke-n
egat
iv(d
vs.p
ositi
vel
ler
lika
med
noll)
!
Rot
laga
rna
äreg
entli
gen
spec
ialf
alla
vpo
tens
laga
rna.
Exem
pelv
is:√
x=
x1/2 .
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
■Lä
sm
erom
kvad
ratr
ötte
rie
ngel
ska
Wik
iped
ia(http://en.wikipedia.org/wik
i/Ro
ot_(
math
emat
ics)
)
■H
urve
tman
attr
oten
ur2
inte
äret
tbrå
ktal
?(http://www.mathacademy.com/
pr/p
rime
/art
icle
s/ir
r2/)
79
Länk
tips
■H
urm
anfin
ner
rote
nur
ettt
al,u
tan
hjäl
pav
min
iräk
nare
?(http://mathforum.org/dr.mat
h/fa
q/fa
q.sq
rt.b
y.ha
nd.h
tml)
80
3.1
Övn
inga
r
Övn
ing
3.1:
1
Skri
vip
oten
sfor
m
a)√
2b)
√75
c)( 3√
3) 4
d)√√
3
Övn
ing
3.1:
2
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)√
32b)
√(−
3)2
c)√−
32d)
√5·3√
5·5
e)√
18·√
8f)
3√8
g)3√−
125
Övn
ing
3.1:
3
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)(√
5−√
2)(√
5+√
2)
b)
√96
√18
c)√
16+√
16d)
√2 3(√
6−√
3)
Övn
ing
3.1:
4
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)√
0,16
b)3√
0,02
7
c)√
50+
4√20
−3√
18−
2√80
d)√
48+√
12+√
3−√
75
Övn
ing
3.1:
5
Skri
vso
met
tutt
ryck
utan
rott
ecke
nin
ämna
ren
a)2 √12
b)1 3√
7c)
23+√
7d)
1√
17−√
13
Övn
ing
3.1:
6
Skri
vso
met
tutt
ryck
utan
rott
ecke
nin
ämna
ren
a)
√2+
3√
5−
2b)
1(√
3−
2)2−
2
c)
1 √3−
1 √5
1 √2−
1 2
d)1
√2+√
3+√
6
81 Övn
ing
3.1:
7
Före
nkla
sålå
ngts
omm
öjlig
t
a)1
√6−√
5−
1√
7−√
6b)
5√7−
7√5
√7−√
5
c)√
153−√
68
Övn
ing
3.1:
8
Avg
örvi
lket
tals
omär
stör
stav
a)3√
5oc
h3√
6b)
√7
och
7
c)√
7oc
h2,
5d)
√2( 4√
3) 3
och
3√2·3
82
3.2
Rot
ekva
tion
er
Inne
håll
:
■R
otek
vatio
ner
avty
pen√
ax+
b=
cx+
d■
Fals
karö
tter
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Lö
saen
kla
rote
kvat
ione
rm
edkv
adre
ring
.■
Han
tera
fals
karö
tter
och
veta
när
deup
pstå
r.
Rot
ekva
tion
er
Det
finns
mån
gaol
ika
vari
ante
rav
rote
kvat
ione
r,t.e
x.√
x+
3x=
2,√
x−
1−
2x=
x2 ,3√
x+
2=
x.
För
attl
ösa
rote
kvat
ione
rvi
llm
anbl
iav
med
rott
eckn
et.S
trat
egin
för
attu
ppnå
dett
aär
atts
kriv
aek
vatio
nen
såat
trot
teck
netb
liren
sam
tkva
rpå
ena
sida
nav
likhe
tste
ck-
net.
Seda
nkv
adre
rar
man
båda
led
iekv
atio
nen
(om
det
hand
lar
omen
kvad
ratr
ot),
såat
trot
teck
netf
örsv
inne
roc
hlö
ser
seda
nde
nny
a,kv
adre
rade
,ekv
atio
nen.
När
man
kvad
rera
ren
ekva
tion
mås
tem
antä
nka
påat
tde
lösn
inga
rso
mm
anfå
rfr
amka
nske
inte
ärlö
snin
gar
till
den
ursp
rung
liga
ekva
tione
n.D
etta
bero
rpå
att
even
tuel
lam
i-nu
stec
ken
förs
vinn
er.M
anta
ppar
info
rmat
ion
när
man
kvad
rera
r.O
avse
ttom
man
hade
någo
tpos
itivt
elle
rne
gativ
tså
har
man
allti
dnå
gotp
ositi
vtef
ter
enkv
adre
ring
.D
ärfö
rm
åste
man
pröv
ade
lösn
inga
rso
mm
anfå
rfr
am.M
anbe
höve
rve
rifie
raat
tde
inte
bara
ärlö
snin
gar
tilld
enkv
adre
rade
ekva
tione
n,ut
anoc
kså
tilld
enur
spru
nglig
aek
vatio
nen.
83
Exem
pel1
Min
uste
cken
förs
vinn
ervi
dkv
adre
ring
.Bet
rakt
aen
enke
l(tr
ivia
l)ek
vatio
n
x=
2.
Om
vikv
adre
rar
båda
led
iden
naek
vatio
nfå
rvi
x2=
4.
Den
nany
aek
vatio
nha
rtvå
lösn
inga
rx=
2el
ler
x=
−2.
Lösn
inge
nx=
2up
pfyl
-le
rde
nur
spru
nglig
aek
vatio
nen
med
anx=
−2
ären
lösn
ing
som
upps
tod
iden
kvad
rera
deek
vatio
nen.
Exem
pel2
Lös
ekva
tione
n2√
x−
1=
1−
x.
Tvåa
nfr
amfö
rrot
teck
netä
ren
fakt
or.V
ikan
divi
dera
väns
ter-
och
höge
rled
med
2,m
envi
kan
ocks
ålå
tatv
åan
stå
kvar
.Om
vikv
adre
rar
ekva
tione
nso
mde
när
får
vi4(
x−
1)=
(1−
x)2
och
utve
ckla
rvi
kvad
rate
nfå
s 4(x−
1)=
1−
2x+
x2 .
Det
taär
enan
drag
rads
ekva
tion,
som
kan
skri
vas
x2−
6x+
5=
0.
Den
naka
nlö
sas
med
kvad
ratk
ompl
ette
ring
elle
rm
edde
nal
lmän
nalö
snin
gsfo
r-m
eln.
Lösn
inga
rna
blir
x=
3±
2,dv
s.x=
1el
ler
x=
5.Ef
ters
omvi
kvad
rera
rek
vatio
nen
finns
risk
enat
tdet
tain
trod
ucer
arfa
lska
röt-
ter
och
därf
örbe
höve
rvi
pröv
aom
x=
1oc
hx=
5oc
kså
ärlö
snin
garn
atil
lden
ursp
rung
liga
rote
kvat
ione
n:
■x=
1m
edfö
rat
tVL=
2√1−
1=
0oc
hH
L=
1−
1=
0.A
lltså
ärV
L=
HL
och
ekva
tione
när
uppf
ylld
!
■x=
5m
edfö
rat
tVL=
2√5−
1=
2·2
=4
och
HL=
1−
5=
−4.
Allt
såär
VL6=
HL
och
ekva
tione
när
inte
uppf
ylld
!
84
Ekva
tione
nha
rdä
rmed
bara
enlö
snin
gx=
1.
x
y
y=
2√x−
1
y=
1−
x
1
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
När
man
kvad
rera
ren
ekva
tion
mås
tem
antä
nka
påat
tde
lösn
inga
rso
mm
anfå
rfr
amka
nske
inte
ärlö
snin
gar
tilld
enur
spru
nglig
aek
vatio
nen,
s.k.
fals
karö
tter
.Det
tabe
ror
påat
teve
ntue
llam
inus
teck
enfö
rsvi
nner
.Man
tapp
arin
for-
mat
ion
när
man
kvad
rera
r.D
ärfö
rm
åste
man
veri
fiera
att
delö
snin
gar
man
får
fram
,int
eba
raär
lösn
inga
rtil
lde
nkv
adre
rade
ekva
tione
n,ut
anoc
kså
ärlö
snin
gar
tilld
enur
spru
nglig
aek
vatio
nen.
Du
ska
allt
idpr
öva
lösn
inga
rna
till
rote
kvat
ione
r.
Läst
ips
Förd
igso
mvi
llfö
rdju
padi
gyt
terl
igar
eel
lers
kulle
vilja
haen
läng
refö
rkla
ring
■U
nder
stan
ding
Alg
ebra
—en
gels
kbo
kpå
näte
tför
högs
kole
förb
ered
an-
dest
udie
r(http://www.jamesbrennan.org
/alg
ebra
/)
85
Länk
tips
■V
adär
rote
nur
–?
Web
mat
h.co
mhj
älpe
rdi
gat
tför
enkl
aro
tutt
ryck
(http://www.webmath.com/simp
sqrt
.htm
l)
86
3.2
Övn
inga
r
Övn
ing
3.2:
1
Lös
ekva
tione
n√
x−
4=
6−
x.
Övn
ing
3.2:
2
Lös
ekva
tione
n√
2x+
7=
x+
2.
Övn
ing
3.2:
3
Lös
ekva
tione
n√
3x−
8+
2=
x.
Övn
ing
3.2:
4
Lös
ekva
tione
n√
1−
x=
2−
x.
Övn
ing
3.2:
5
Lös
ekva
tione
n√
3x−
2=
2−
x.
Övn
ing
3.2:
6
Lös
ekva
tione
n√
x+
1+√
x+
5=
4.
87 3.3
Loga
ritm
er
Inne
håll
:
■Lo
gari
tmer
■Lo
gari
tmla
gar
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■K
änna
tillb
egre
ppen
bas
och
expo
nent
.■
Kän
natil
lbet
eckn
inga
rna
ln,l
g,lo
goc
hlo
g a.■
Berä
kna
enkl
alo
gari
tmut
tryc
km
edhj
älp
avlo
gari
tmen
sde
finiti
on.
■Lo
gari
tmen
ärba
rade
finie
rad
för
posi
tiva
tal.
■K
änna
tillt
alet
e.■
Han
tera
loga
ritm
laga
rna
iför
enkl
ing
avlo
gari
tmut
tryc
k.■
Veta
när
loga
ritm
laga
rna
ärgi
ltiga
.■
Utt
ryck
aen
loga
ritm
iter
mer
aven
loga
ritm
med
enan
nan
bas.
■Lö
saek
vatio
ner
som
inne
hålle
rex
pone
ntia
lutt
ryck
och
som
med
loga
rit-
mer
ing
lede
rtil
lför
stag
rads
ekva
tione
r.■
Avg
öra
vilk
etav
två
loga
ritm
uttr
yck
som
ärst
örst
base
rat
påjä
mfö
rels
eav
bas/
argu
men
t.
Loga
ritm
erm
edba
sen
10
Man
anvä
nder
gärn
apo
tens
erm
edba
sen
10fö
rat
tskr
iva
stor
aoc
hsm
åta
l,t.e
x.
103=
10·1
0·1
0=
1000
,
10−
2=
110
·10=
1 100=
0,01
.
Om
man
enba
rtbe
trak
tar
expo
nent
ensk
ulle
man
istä
lletk
unna
säga
att
”exp
onen
ten
för
1000
är3”
,elle
r”e
xpon
ente
nfö
r0,
01är
−2”
.
Prec
isså
ärlo
gari
tmer
defin
iera
de.M
anut
tryc
ker
sig
påfö
ljand
esä
tt:
88
”log
aritm
enfö
r10
00är
3”,v
ilket
skri
vslg
1000
=3,
”log
aritm
enfö
r0,
01är
−2”
,vilk
etsk
rivs
lg0,
01=
−2.
Mer
allm
äntk
anm
anut
tryc
kasi
g:
Loga
ritm
enav
ettt
aly
bete
ckna
sm
edlg
yoc
här
den
expo
nent
som
ska
stå
iden
färg
ade
ruta
nil
ikhe
ten
10=
y.
Not
era
här
att
ym
åste
vara
ett
posi
tivt
talf
örat
tlo
gari
tmen
lgy
ska
vara
defin
erad
,ef
ters
omde
tint
efin
nsnå
gon
pote
nsav
10so
mbl
irne
gativ
elle
rno
ll.
Exem
pel1
a)lg
1000
00=
5ef
ters
om10
5=
100
000.
b)lg
0,00
01=
−4
efte
rsom
10−
4=
0,00
01.
c)lg√
10=
1 2ef
ters
om10
1/2=
√10
.
d)lg
1=
0ef
ters
om10
0=
1.
e)lg
1078
=78
efte
rsom
1078
=10
78.
f)lg
50≈
1,69
9ef
ters
om10
1,69
9≈
50.
g)lg(−
10)
exis
tera
rin
teef
ters
om10
aal
drig
kan
bli−
10oa
vset
thur
avä
ljs.
Idet
näst
sist
aex
empl
etka
nm
ansn
abbt
inse
attl
g50
mås
telig
ganå
gons
tans
mel
lan
1oc
h2
efte
rsom
101<
50<
102 ,
men
för
att
fåfr
amet
tm
erex
akt
värd
epå
det
irra
tione
llata
letl
g50
=1,
6989
7..
.beh
övs
ipra
ktik
enen
min
iräk
nare
(elle
rta
bell.
)
Exem
pel2
a)10
lg10
0=
100
b)10
lga=
a
c)10
lg50
=50
89 Oli
kaba
ser
Man
kan
tänk
asi
glo
gari
tmer
som
anvä
nder
enan
nan
bas
än10
(uto
m1!
).M
anm
åste
dåty
dlig
tang
evi
lket
talm
anan
vänd
erso
mba
sfö
rlo
gari
tmen
.Anv
ände
rm
ant.e
x.2
som
bas
skri
ver
man
log
2fö
r”2
-log
aritm
en”.
Exem
pel3
a)lo
g2
8=
3ef
ters
om2
3=
8.
b)lo
g2
2=
1ef
ters
om2
1=
2.
c)lo
g2
1024
=10
efte
rsom
210
=10
24.
d)lo
g2
1 4=
−2
efte
rsom
2−
2=
1 22=
1 4.
Påsa
mm
asä
ttfu
nger
arlo
gari
tmer
iand
raba
ser.
Exem
pel4
a)lo
g3
9=
2ef
ters
om3
2=
9.
b)lo
g5
125=
3ef
ters
om5
3=
125.
c)lo
g4
1 16=
−2
efte
rsom
4−
2=
1 42=
1 16.
d)lo
gb
1 √b=
−1 2
efte
rsom
b−
1/2=
1 b1/
2=
1 √b
(om
b>
0oc
hb6=
1).
Om
base
n10
anvä
nds,
skri
ver
man
sälla
nlo
g10
,ut
anso
mvi
tidig
are
sett
lg,
elle
ren
bart
log,
vilk
etfö
reko
mm
erpå
mån
gam
inir
äkna
re.
Nat
urli
galo
gari
tmer
Ipr
aktik
enär
det
två
base
rso
mof
tast
anvä
nds
för
loga
ritm
er,f
örut
om10
även
tale
te(≈
2,71
828
...)
.Lo
gari
tmer
med
base
ne
kalla
sna
turl
iga
loga
ritm
eroc
hsk
rivs
lnis
tälle
tför
log
e.
90
Exem
pel5
a)ln
10≈
2,3
efte
rsom
e2,
3≈
10.
b)ln
e=
1ef
ters
ome
1=
e.
c)ln
1 e3=
−3
efte
rsom
e−
3=
1 e3.
d)ln
1=
0ef
ters
ome
0=
1.
e)O
my=
easå
ära=
lny.
f)e
ln5=
5
g)e
lnx=
x
Påde
flest
am
erav
ance
rade
min
iräk
nare
finns
vanl
igtv
iskn
appa
rfö
r10
-log
aritm
eroc
hna
turl
iga
loga
ritm
er.
Loga
ritm
laga
r
Mel
lan
år16
17oc
h16
24pu
blic
erad
eH
enry
Bigg
sen
loga
ritm
tabe
llav
alla
helta
lupp
till2
000
0oc
hår
1628
utök
ade
Adr
iaan
Vla
cqta
belle
ntil
lalla
helta
lupp
till1
0000
0.A
nled
ning
entil
latt
man
lade
ned
såen
orm
tm
ycke
tar
bete
påså
dana
tabe
ller
ärat
tm
anm
edhj
älp
avlo
gari
tmer
kan
mul
tiplic
era
ihop
tal
bara
geno
mat
tad
dera
ihop
dera
slo
gari
tmer
(add
ition
går
myc
kets
nabb
are
attu
tför
aän
mul
tiplik
atio
n).
Exem
pel6
Berä
kna
35·5
4.
Om
vive
tatt
35≈
101,
5441
och
54≈
101,
7324
(dvs
.lg
35≈
1,54
41oc
hlg
54≈
1,73
24)
dåka
nvi
räkn
aut
att
35·5
4≈
101,
5441·1
01,
7324
=10
1,54
41+
1,73
24=
103,
2765
och
vetv
ised
anat
t10
3,27
65≈
1890
(dvs
.lg
1890
≈3,
2765
)så
harv
ilyc
kats
berä
kna
prod
ukte
n35
·54=
1890
och
dett
aba
rage
nom
atta
dder
aih
opex
pone
nter
na1,
5441
och
1,73
24.
91 Det
taär
ette
xem
pelp
åen
loga
ritm
lag
som
säge
rat
t
log(
ab)=
log
a+
log
b
och
som
följe
rav
attå
ena
sida
när
a·b
=10
log
a·1
0log
b=
{ pote
nsla
garn
a}=
10lo
ga+
log
b
och
åan
dra
sida
när
a·b
=10
log(
ab)
.
Gen
omat
tut
nytt
japo
tens
laga
rna
påde
tta
sätt
kan
vifå
fram
mot
svar
ande
loga
ritm
-la
gar:
log(
ab)=
log
a+
log
b,
log
a b=
log
a−
log
b,
log
ab=
b·lo
ga.
Loga
ritm
laga
rna
gälle
roa
vset
tbas
.
Exem
pel7
a)lg
4+
lg7=
lg(4
·7)=
lg28
b)lg
6−
lg3=
lg6 3=
lg2
c)2·lg
5=
lg52
=lg
25
d)lg
200=
lg(2
·100)=
lg2+
lg10
0=
lg2+
2
Exem
pel8
a)lg
9+
lg10
00−
lg3+
lg0,
001=
lg9+
3−
lg3−
3=
lg9−
lg3=
lg9 3=
lg3
92
b)ln
1 e+
ln√
e=
ln( 1 e
·√e)
=ln(
1(√
e)2·√
e)=
ln1 √
e
=ln
e−1/
2=
−1 2·ln
e=
−1 2·1
=−
1 2
c)lo
g 236
−1 2
log 2
81=
log 2(
6·6)−
1 2lo
g 2(9·9)
=lo
g 2(2·2
·3·3)−
1 2lo
g 2(3·3
·3·3)
=lo
g 2(22
·32 )
−1 2
log 2(
34 )
=lo
g 222
+lo
g 232
−1 2
log 2
34
=2
log 2
2+
2lo
g 23−
1 2·4
log 2
3
=2·1
+2
log 2
3−
2lo
g 23=
2
d)lg
a3−
2lg
a+
lg1 a=
3lg
a−
2lg
a+
lga−
1
=(3
−2)
lga+(−
1)lg
a=
lga−
lga=
0
Byt
eav
bas
Ibla
ndka
nde
tvar
abr
aat
tku
nna
uttr
ycka
enlo
gari
tmso
men
loga
ritm
aven
anna
nba
s. Exem
pel9
a)U
ttry
cklg
5in
atur
liga
loga
ritm
en.
Per
defin
ition
ärlg
5de
ttal
som
uppf
ylle
rlik
hete
n
10lg
5=
5.
Loga
ritm
era
båda
led
med
ln(n
atur
liga
loga
ritm
en)
ln10
lg5=
ln5.
Med
hjäl
pav
loga
ritm
lage
nln
ab=
bln
aka
nvä
nste
rled
etsk
riva
sso
mlg
5·
ln10
och
likhe
ten
blir
lg5·ln
10=
ln5.
Del
anu
båda
led
med
ln10
såfå
rvi
svar
et
lg5=
ln5
ln10
(≈0,
699
,dv
s.10
0,69
9≈
5).
93
b)U
ttry
ck2-
loga
ritm
enfö
r10
0i1
0-lo
gari
tmen
lg.
Om
visk
rive
rup
psa
mba
ndet
som
defin
iera
rlo
g 210
0
2log 2
100=
100
och
loga
ritm
erar
båda
led
med
10-l
ogar
itmen
(lg)
såfå
rvi
att
lg2lo
g 210
0=
lg10
0.
Efte
rsom
lgab
=b
lga
såär
lg2lo
g 210
0=
log 2
100·l
g2
och
höge
rled
etka
nfö
renk
las
tilll
g10
0=
2.D
etta
ger
oss
likhe
ten
log 2
100·lg
2=
2.
Div
isio
nm
edlg
2ge
rsl
utlig
enat
t
log 2
100=
2 lg2
(≈
6,64
,dv
s.26,
64≈
100)
.
Den
allm
änna
form
eln
för
byte
från
enba
sa
tille
nba
sb
kan
härl
edas
påsa
mm
asä
tt
log
ax=
log
bx
log
ba.
Vill
man
byta
bas
ien
pote
nska
nm
angö
rade
tta
med
hjäl
pav
loga
ritm
er.O
mm
anex
empe
lvis
vill
skri
va25
med
base
n10
såsk
rive
rm
anfö
rsto
m2
med
base
n10
,
2=
10lg
2
och
utny
ttja
rse
dan
enav
pote
nsla
garn
a
25=
(10lg
2 )5=
105·
lg2
(≈
101,
505).
Exem
pel1
0
a)Sk
riv
10x
med
base
ne.
Förs
tskr
iver
vi10
som
enpo
tens
ave,
10=
eln10
och
anvä
nder
seda
npo
tens
laga
rna
10x=
(eln
10)x
=ex·
ln10
≈e2,
3x.
94
b)Sk
riv
eam
edba
sen
10.
Tale
teka
nvi
skri
vaso
me=
10lg
eoc
hdä
rför
är
ea=
(10lg
e )a=
10a·l
ge≈
100,
434a
.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Du
kan
behö
valä
gga
ner
myc
kett
idpå
loga
ritm
er.
Loga
ritm
erbr
ukar
beha
ndla
söve
rsik
tligt
igym
nasi
et.D
ärfö
rbru
karm
ånga
högs
kole
stud
ente
rst
öta
påpr
oble
mnä
rde
tgäl
ler
attr
äkna
med
loga
ritm
er.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
■Lä
sm
erom
loga
ritm
erpå
enge
lska
Wik
iped
ia(http://en.wikipedia.org/wik
i/Lo
gari
thm)
■Lä
sm
erom
Tale
teiT
heM
acTu
tor
His
tory
ofM
athe
mat
ics
arch
ive
(http://www-
groups.dcs.st-
and.ac
.uk/
~his
tory/H
istT
opic
s/e.
html
)
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
med
loga
ritm
eroc
hpo
tens
er(http://www.ltcconline.net/g
reen
l/ja
va/I
nter
medC
olle
geAl
gebr
a/LogGraph/logGraph.html
)
■Sp
ela
loga
ritm
Mem
ory
(http://www.ltcconline.net/g
reen
l/ja
va/I
nter
medC
olle
geAl
gebr
a/LogConcentration/LogConcentr
atio
n.ht
m)
■H
jälp
grod
anho
ppa
tills
ittnä
ckro
sbla
di”
log”
-spe
let
(http://www.ltcconline.net/g
reen
l/ja
va/I
nter
medC
olle
geAl
gebr
a/logger.htm
)
95 3.3
Övn
inga
r
Övn
ing
3.3:
1
Best
ämx
oma)
10x=
100
0b)
10x=
0,1
c)1 10
x=
100
d)1 10
x=
0,00
01
Övn
ing
3.3:
2
Berä
kna
a)lg
0,1
b)lg
1000
0c)
lg0,
001
d)lg
1
e)10
lg2
f)lg
103
g)10
−lg
0,1
h)lg
1 102
Övn
ing
3.3:
3
Berä
kna
a)lo
g 28
b)lo
g 91 3
c)lo
g 20,
125
d)lo
g 3( 9
·31/
3)e)
2log 2
4f)
log 2
4+
log 2
1 16g)
log 3
12−
log 3
4h)
log a
( a2√a)
Övn
ing
3.3:
4
Före
nkla
a)lg
50−
lg5
b)lg
23+
lg1 23
c)lg
271/
3+
lg3 2+
lg1 9
Övn
ing
3.3:
5
Före
nkla
a)ln
e3+
lne2
b)ln
8−
ln4−
ln2
c)(l
n1)
·e2
d)ln
e−1
e)ln
1 e2f)
( elne)
2
Övn
ing
3.3:
6
Anv
änd
min
iräk
nare
ntil
lhög
erfö
rat
tber
äkna
med
tre
deci
mal
er(K
napp
enLN
bete
ckna
rde
nna
turl
iga
loga
ritm
enib
asen
e):
a)lo
g 34
b)lg
46
c)lo
g 3lo
g 2(3
118 )
96
3.4
Loga
ritm
ekva
tion
er
Inne
håll
:
■Lo
gari
tmek
vatio
ner
■Ex
pone
ntia
lekv
atio
ner
■Fa
lska
rött
er.
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Lö
saek
vatio
ner
som
inne
hålle
rlo
gari
tm-
elle
rex
pone
ntia
lutt
ryck
och
som
kan
redu
cera
stil
lför
sta-
elle
ran
drag
rads
ekva
tione
r.■
Han
tera
fals
karö
tter
och
veta
när
deup
pstå
r.
Gru
ndek
vati
oner
Ekva
tione
rdä
rlo
gari
tmer
behö
vsel
ler
ärin
blan
dade
före
kom
mer
imån
gaol
ika
fall.
Förs
tges
någr
aex
empe
ldär
lösn
inge
nge
snä
stan
dire
ktge
nom
defin
ition
enav
loga
-ri
tm,d
vs.
10x=
y⇔
x=
lgy
ex=
y⇔
x=
lny
(Via
nvän
der
oss
här
enba
rtav
10-l
ogar
itmer
elle
rna
turl
iga
loga
ritm
er.)
Exem
pel1
Lös
ekva
tione
rna
a)10
x=
537
har
lösn
inge
nx=
lg53
7.
b)10
5x=
537
ger
att5
x=
lg53
7,dv
s.x=
1 5lg
537.
c)3 ex
=5
Mul
tiplik
atio
nav
båda
led
med
exoc
hdi
visi
onm
ed5
gera
tt3 5=
ex ,
vilk
etbe
tyde
rat
tx=
ln3 5.
97
d)lg
x=
3D
efini
tione
nge
rdi
rekt
attx
=10
3=
1000
.
e)lg(2
x−
4)=
2Fr
ånde
finiti
onen
har
viat
t2x−
4=
102=
100
och
dåfö
ljer
attx
=52
.
Exem
pel2
a)Lö
sek
vatio
nen(√
10)x
=25
.
Efte
rsom
√10
=10
1/2
ärvä
nste
rled
etlik
am
ed(√
10)x
=(1
01/2 )
x=
10x/
2
och
ekva
tione
nly
der
10x/
2=
25.
Den
nagr
unde
kvat
ion
har
lösn
inge
nx/
2=
lg25
,dvs
.x=
2lg
25.
b)Lö
sek
vatio
nen
3ln
2x 2+
1=
1 2.
Mul
tiplic
era
båda
led
med
2oc
hsu
btra
hera
seda
n2
från
båda
led
3ln
2x=
−1.
Div
ider
abå
dale
dm
ed3
ln2x
=−
1 3.
Nu
ger
defin
ition
endi
rekt
att2
x=
e−1/
3 ,vilk
etbe
tyde
rat
t
x=
1 2e−
1/3=
12
e1/
3.
Im
ånga
prak
tiska
tillä
mpn
inga
rrö
rand
eex
pone
ntie
lltil
lväx
tel
ler
avta
gand
edy
ker
detu
ppek
vatio
ner
avty
pen
ax=
b,
där
aoc
hb
ärpo
sitiv
ata
l.D
essa
ekva
tione
rlö
ses
enkl
astg
enom
attt
alo
gari
tmen
för
båda
led
lgax
=lg
b
och
anvä
nda
loga
ritm
lage
nfö
rpo
tens
er
x·lg
a=
lgb
vilk
etge
rlö
snin
gen
x=
lgb
lga.
98
Exem
pel3
a)Lö
sek
vatio
nen
3x=
20.
Loga
ritm
era
båda
led
lg3x
=lg
20.
Vän
ster
lede
tkan
skri
vas
som
lg3x
=x·lg
3oc
hdå
får
viat
t
x=
lg20
lg3
(≈
2,72
7).
b)Lö
sek
vatio
nen
5000
·1,0
5x=
1000
0.
Div
ider
abå
dale
dm
ed50
00
1,05
x=
1000
05
000
=2.
Den
naek
vatio
nlö
ser
vige
nom
att
loga
ritm
era
båda
led
med
lgoc
hsk
riva
omvä
nste
rled
etso
mlg
1,05
x=
x·lg
1,05
,
x=
lg2
lg1,
05(≈
14,2).
Exem
pel4
a)Lö
sek
vatio
nen
2x·3
x=
5.
Vän
ster
lede
tka
nsk
riva
som
med
pote
nsla
garn
atil
l2x
·3x=
(2·3
)xoc
hek
vatio
nen
blir
6x=
5.
Den
naek
vatio
nlö
ser
vipå
vanl
igts
ättm
edlo
gari
tmer
ing
och
får
att
x=
lg5
lg6
(≈
0,89
8).
b)Lö
sek
vatio
nen
52x+
1=
35x.
Loga
ritm
era
båda
led
och
anvä
ndlo
gari
tmla
gen
lgab
=b·lg
a
(2x+
1)lg
5=
5x·lg
3,2x
·lg5+
lg5=
5x·lg
3.
99
Sam
lax
iena
lede
t
lg5=
5x·lg
3−
2x·lg
5,lg
5=
x(5
lg3−
2lg
5).
Lösn
inge
när
x=
lg5
5lg
3−
2lg
5.
Någ
ram
erko
mpl
icer
ade
ekva
tion
er
Ekva
tione
rso
min
nehå
ller
expo
nent
ial-
elle
rlo
gari
tmut
tryc
kka
nib
land
beha
ndla
sso
mfö
rsta
grad
s-el
ler
andr
agra
dsek
vatio
ner
geno
mat
tbet
rakt
a”l
nx”
elle
r”e
x ”so
mob
ekan
t.
Exem
pel5
Lös
ekva
tione
n6e
x
3ex+
1=
5e−
x+
2.
Mul
tiplic
era
båda
led
med
3ex+
1oc
he−
x+
2fö
rat
tfå
bort
näm
narn
a
6ex (
e−x+
2)=
5(3e
x+
1).
Not
era
atte
fter
som
exoc
he−
xal
ltid
ärpo
sitiv
aoa
vset
tvär
detp
åx
såm
ultip
licer
arvi
allts
åek
vatio
nen
med
fakt
orer
3ex+
1oc
he−
x+
2so
mär
skild
afr
ånno
ll,så
dett
ast
egri
sker
arin
teat
tint
rodu
cera
nya
(fal
ska)
rött
ertil
lekv
atio
nen.
Före
nkla
båda
led
6+
12ex
=15
ex+
5,
där
vian
vänt
att
e−x·e
x=
e−x+
x=
e0=
1.Be
trak
tar
vinu
exso
mob
ekan
tär
ekva
tione
nvä
sent
ligen
enfö
rsta
grad
sekv
atio
nso
mha
rlö
snin
gen
ex=
1 3.
Enlo
gari
tmer
ing
ger
seda
nsv
aret
x=
ln1 3=
ln3−
1=
−1·ln
3=
−ln
3.
100
Exem
pel6
Lös
ekva
tione
n1 ln
x+
ln1 x=
1.
Term
enln
1 xka
nsk
riva
sso
mln
1 x=
lnx−
1=
−1·ln
x=
−ln
xoc
hdå
blir
ekva
-tio
nen
1 lnx−
lnx=
1,
därv
ikan
betr
akta
lnx
som
enny
obek
ant.
Mul
tiplic
erar
vibå
dale
dm
edln
x(s
omär
skild
från
noll
när
x6=
1)få
rvi
enan
drag
rads
ekva
tion
iln
x
1−(l
nx)
2=
lnx,
(ln
x)2+
lnx−
1=
0.
Kva
drat
kom
plet
teri
ngav
väns
terl
edet
(ln
x)2+
lnx−
1=
( lnx+
1 2
) 2−
( 1 2
) 2−
1
=( ln
x+
1 2
) 2−
5 4
följt
avro
tutd
ragn
ing
ger
att
lnx=
−1 2±
√5 2
.
Det
tabe
tyde
rat
tekv
atio
nen
har
två
lösn
inga
r
x=
e(−
1+√
5)/
2oc
hx=
e−(1+√
5)/
2 .
Fals
karö
tter
När
man
löse
rek
vatio
ner
gälle
rde
toc
kså
att
tänk
apå
att
argu
men
ttil
llo
gari
tmer
mås
teva
rapo
sitiv
aoc
hat
tutt
ryck
avty
pen
e(...)
bara
kan
anta
posi
tiva
värd
en.R
iske
när
anna
rsat
tman
får
med
fals
karö
tter
.
Exem
pel7
Lös
ekva
tione
nln(4
x2−
2x)=
ln(1
−2x
).
101 Fö
rat
tek
vatio
nen
ska
vara
uppf
ylld
mås
tear
gum
ente
n4x
2−
2xoc
h1−
2xva
ralik
a,4x
2−
2x=
1−
2x,
(∗)
och
dess
utom
posi
tiva.
Vil
öser
ekva
tione
n(∗)
geno
mat
tfly
tta
över
alla
term
eri
ena
lede
t4x
2−
1=
0
och
anvä
nder
rotu
tdra
gnin
g.D
etta
ger
att
x=
−1 2
och
x=
1 2.
Vik
ontr
olle
rar
nuom
båda
led
i(∗)
ärpo
sitiv
a
■O
mx=
−1 2
blir
båda
led
lika
med
4x2−
2x=
1−
2x=
1−
2·( −
1 2
)=
1+
1=
2>
0.
■O
mx=
1 2bl
irbå
dale
dlik
am
ed4x
2−
2x=
1−
2x=
1−
2·1 2
=1−
1=
06>
0.
Allt
såha
rlo
gari
tmek
vatio
nen
bara
enlö
snin
gx=
−1 2.
Exem
pel8
Lös
ekva
tione
ne2x
−ex
=1 2.
Den
förs
tate
rmen
kan
visk
riva
som
e2x=
(ex )
2 .H
ela
ekva
tione
när
allts
åen
andr
agra
dsek
vatio
nm
edex
som
obek
ant
(ex )
2−
ex=
1 2.
Ekva
tione
nka
nva
ralit
een
klar
eat
than
tera
omvi
skri
ver
tist
älle
tför
ex ,
t2−
t=
1 2.
Kva
drat
kom
plet
tera
väns
terl
edet ( t−
1 2
) 2−
( 1 2
) 2=
1 2,
( t−1 2
) 2=
3 4,
vilk
etge
rlö
snin
garn
a
t=
1 2−
√3 2
och
t=
1 2+
√3 2
.
102
Efte
rsom
√3>
1så
är1 2−
1 2
√3<
0oc
hde
tärb
ara
t=
1 2+
1 2
√3
som
gere
nlö
snin
gtil
lde
nur
spru
nglig
aek
vatio
nen
efte
rsom
exal
ltid
ärpo
sitiv
.Lo
gari
tmer
ing
ger
slut
ligen
att
x=
ln(
1 2+
√3 2
)
ärde
nen
dalö
snin
gen
tille
kvat
ione
n.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Du
kan
behö
valä
gga
ner
myc
kett
idpå
loga
ritm
er.
Loga
ritm
erbr
ukar
beha
ndla
söve
rsik
tligt
igym
nasi
et.D
ärfö
rbru
karm
ånga
högs
kole
stud
ente
rst
öta
påpr
oble
mnä
rde
tgäl
ler
attr
äkna
med
loga
ritm
er.
103
3.4
Övn
inga
r
Övn
ing
3.4:
1
Lös
ekva
tione
rna
a)ex
=13
b)13
ex=
2·3
−x
c)3e
x=
7·2
x
Övn
ing
3.4:
2
Lös
ekva
tione
rna
a)2x2 −
2=
1b)
e2x+
ex=
4c)
3ex2
=2x
Övn
ing
3.4:
3
Lös
ekva
tione
rna
a)2−
x2=
2e2x
b)ln
(x2+
3x)=
ln(3
x2−
2x)
c)ln
x+
ln(x
+4)
=ln
(2x+
3)
104
4.1
Vin
klar
och
cirk
lar
Inne
håll
:
■O
lika
vink
elm
ått(
grad
er,r
adia
ner
och
varv
)■
Pyth
agor
assa
ts■
Avs
tånd
sfor
mel
nip
lane
t■
Cir
keln
sek
vatio
n
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■O
mva
ndla
mel
lan
grad
er,r
adia
ner
och
varv
.■
Berä
kna
area
noc
hom
kret
sen
avci
rkel
sekt
orer
.■
Kän
natil
lbeg
repp
enka
tet,
hypo
tenu
saoc
hrä
tvin
klig
tria
ngel
.■
Form
uler
aoc
han
vänd
aPy
thag
oras
sats
.■
Berä
kna
avst
ånde
tmel
lan
två
punk
ter
ipla
net.
■Sk
isse
raci
rkla
rm
edhj
älp
avat
tkva
drat
kom
plet
tera
dera
sek
vatio
ner.
■K
änna
tillb
egre
ppen
enhe
tsci
rkel
,tan
gent
,rad
ie,d
iam
eter
,per
ifer
i,ko
r-da
och
cirk
elbå
ge.
■Lö
sage
omet
risk
apr
oble
mso
min
nehå
ller
cirk
lar.
Vin
kelm
ått
Det
finns
flera
olik
aen
hete
rför
attm
äta
vink
lar,
som
ärpr
aktis
kaio
lika
sam
man
hang
.D
etv
åva
nlig
aste
vink
elm
åtte
nim
atem
atik
enär
grad
eroc
hra
dian
er.
■G
rade
r.O
met
the
ltva
rvde
las
ini3
60de
lar,
såka
llas
varj
ede
l1gr
ad.B
etec
k-ni
ngen
för
grad
erär
◦ .
105
■R
adia
ner.
Ett
anna
tsä
ttat
tm
äta
vink
lar
ärat
tan
vänd
alä
ngde
nav
vink
elns
cirk
elbå
geif
örhå
lland
etil
lrad
ien
som
måt
tpå
vink
eln.
Det
tavi
nkel
måt
tkal
las
för
radi
an.E
ttva
rvär
allts
å2π
radi
aner
efte
rsom
cirk
elns
omkr
ets
är2π
r,dä
rr
ärci
rkel
nsra
die.
Etth
eltv
arv
är36
0◦el
ler
2πra
dian
eroc
hde
tgör
att
1◦=
1 360·2
πra
dian
er=
π 180
radi
aner
,
1ra
dian
=1 2π
·360
◦=
180◦ π
.
Des
saom
vand
lings
fakt
orer
kan
anvä
ndas
för
attk
onve
rter
am
ella
ngr
ader
och
radi
a-ne
r. Exem
pel1
a)30
◦=
30·1
◦=
30·
π 180
radi
aner
=π 6
radi
aner
b)π 8
radi
aner
=π 8·(
1ra
dian
)=
π 8·18
0◦ π=
22,5◦
Ien
del
sam
man
hang
kan
det
vara
men
ings
fullt
att
tala
omne
gativ
avi
nkla
rel
ler
vink
lar
som
ärst
örre
än36
0◦.D
åka
nm
anan
vänd
aat
tm
anka
nan
gesa
mm
ari
kt-
ning
med
flera
olik
avi
nkla
rso
msk
iljer
sig
från
vara
ndra
med
etth
elta
ntal
varv
.
x
y
45◦
x
y
−31
5◦x
y
405◦
106
Exem
pel2
a)V
inkl
arna
−55
◦oc
h66
5◦an
ger
sam
ma
rikt
ning
efte
rsom
−55
◦+
2·3
60◦=
665◦
.
b)V
inkl
arna
3π 7oc
h−
11π 7
ange
rsa
mm
ari
ktni
ngef
ters
om
3π 7−
2π=
−11
π 7.
c)V
inkl
arna
36◦
och
216◦
ange
rin
tesa
mm
ari
ktni
ngut
anm
otsa
tta
rikt
ning
aref
ters
om36
◦+
180◦
=21
6◦.
Avs
tånd
sfor
mel
n
Pyth
agor
assa
tsär
enav
dem
est
känd
asa
tser
nai
mat
emat
iken
och
säge
rat
ti
enrä
tvin
klig
tria
ngel
med
kate
ter
aoc
hb,
och
hypo
tenu
sac
gälle
rat
t
Pyth
agor
assa
ts: c2
=a2
+b2 .
a
bc
Exem
pel3
Itri
ange
lntil
lhög
erär
c2=
32+
42=
9+
16=
25
och
därf
örär
hypo
tenu
san
clik
am
ed
c=
√25
=5.
4
3c
Pyth
agor
assa
tska
nan
vänd
asfö
rat
tber
äkna
avst
ånde
tmel
lan
två
punk
ter
iett
koor
-di
nats
yste
m.
107
Avs
tånd
sfor
mel
n:A
vstå
ndet
dm
ella
ntv
åpu
nkte
rm
edko
ordi
nate
r(x
,y)
och(a
,b)
är
d=
√(x
−a)
2+(y
−b)
2 .
Linj
esty
cket
mel
lan
punk
tern
aär
hypo
tenu
san
ien
rätv
inkl
igtr
iang
elva
rska
tete
rär
para
llella
med
koor
dina
taxl
arna
.
d
xa
y b
Kat
eter
nas
läng
där
lika
med
belo
ppet
avsk
illna
den
ix-o
chy-
led
mel
lan
punk
tern
a,dv
s.|x
−a|
resp
ektiv
e|y−
b|.Py
thag
oras
sats
ger
seda
nav
stån
dsfo
rmel
n.
Exem
pel4
a)A
vstå
ndet
mel
lan(1
,2)
och(3
,1)
är
d=
√(1
−3)
2+(2
−1)
2=
√(−
2)2+
12=
√4+
1=
√5.
b)A
vstå
ndet
mel
lan(−
1,0)
och(−
2,−
5)är
d=
√(−
1−(−
2))2
+(0
−(−
5))2
=√
12+
52=
√1+
25=
√26
.
108
Cir
klar
Enci
rkel
best
årav
alla
punk
ter
som
befin
ner
sig
pået
tvi
sst
fixt
avst
ånd
rfr
ånen
punk
t(a,
b).
(a,b)r
Avs
tånd
etr
kalla
sfö
rci
rkel
nsra
die
och
punk
ten(a
,b)
för
cirk
elns
med
elpu
nkt.
Figu
-re
nne
dan
visa
ran
dra
vikt
iga
cirk
elbe
grep
p.
Dia
met
erTa
ngen
tK
ord
aSe
kant
Cir
kelb
åge
Peri
feri
Cir
kels
ekto
rC
irke
lseg
men
t
Exem
pel5
Enci
rkel
sekt
orär
give
nifi
gure
ntil
lhög
er.
a)Be
stäm
cirk
elbå
gens
läng
d.
Med
elpu
nkts
vink
eln
50◦
blir
irad
iane
r
50◦=
50·1
◦=
50·
π 180
radi
aner
=5π 18
radi
aner
.
Påde
tsät
tsom
radi
aner
ärde
finie
ratb
etyd
erde
tta
att
cirk
elbå
gens
läng
där
radi
enm
ulti-
plic
erat
med
vink
eln
mät
tira
dian
er,
3·5π 18
l.e.=
5π 6l.e
.
350
◦
109
b)Be
stäm
cirk
else
ktor
nsar
ea.
Cir
kels
ekto
rns
ande
lav
hela
cirk
eln
är
50◦
360◦
=5 36
och
detb
etyd
erat
tdes
sar
eaär
5 36de
lar
avci
rkel
nsar
easo
mär
πr2
=π
32=
9π,d
vs.
5 36·9
πa.
e.=
5π 4a.
e.
Enpu
nkt(x
,y)
ligge
rpå
cirk
eln
som
har
med
elpu
nkt
i(a
,b)
och
radi
er
omde
ssav
stån
dtil
lmed
elpu
nkte
när
lika
med
r.D
etta
villk
orka
nfo
rmul
eras
med
avst
ånds
-fo
rmel
nso
m
Cir
keln
sek
vati
on:
(x−
a)2+(y
−b)
2=
r2 .(a
,b)
(x,y)
r
Exem
pel6
a)(x
−1)
2+(y
−2)
2=
9är
ekva
tione
nfö
ren
cirk
elm
edm
edel
punk
ti(
1,2)
och
ra-
die√
9=
3.x
y
110
b)x2
+(y
−1)
2=
1ka
nsk
riva
sso
m
(x−
0)2+(y
−1)
2=
1
och
ärek
vatio
nen
för
enci
rkel
med
me-
delp
unkt
i(0,
1)oc
hra
die√
1=
1.x
y
c)(x
+1)
2+(y
−3)
2=
5ka
nsk
riva
sso
m
(x−(−
1))2
+(y
−3)
2=
5
och
ärek
vatio
nen
för
enci
rkel
med
me-
delp
unkt
i(−
1,3)
och
radi
e√
5≈
2,23
6.x
y
Exem
pel7
a)Li
gger
punk
ten(1
,2)
påci
rkel
n(x
−4)
2+
y2=
13?
Stop
par
viin
punk
tens
koor
dina
ter
x=
1oc
hy=
2ic
irke
lns
ekva
tion
har
viat
t
VL
=(1
−4)
2+
22=
(−3)
2+
22=
9+
4=
13=
HL.
Efte
rsom
punk
ten
uppf
ylle
rci
rkel
nsek
vatio
nlig
ger
punk
enpå
cirk
eln.
x
y
(1,2)
b)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rci
rkel
nso
mha
rm
edel
punk
ti(3
,4)
och
inne
hålle
rpu
nkte
n(1
,0).
Efte
rsom
punk
ten(1
,0)
ska
ligga
påci
rkel
nm
åste
cirk
elns
radi
eva
ralik
a
111
med
avst
ånde
tfr
ån(1
,0)
till
med
elpu
nkte
n(3
,4).
Avs
tånd
sfor
mel
nge
rat
tde
tta
avst
ånd
är
c=
√(3
−1)
2+(4
−0)
2=
√4+
16=
√20
.
Cir
keln
sek
vatio
när
därf
ör (x−
3)2+(y
−4)
2=
20. x
y
(1,0)(3
,4)
Exem
pel8
Best
ämm
edel
punk
toch
radi
efö
rde
nci
rkel
vars
ekva
tion
ärx2
+y2
−2x
+4y
+1=
0.
Vis
kafö
rsök
ask
riva
omci
rkel
nsek
vatio
npå
form
en
(x−
a)2+(y
−b)
2=
r2
för
dåka
nvi
dire
ktav
läsa
attm
edel
punk
enär
(a,b)
och
radi
enär
r.Bö
rja
med
attk
vadr
atko
mpl
ette
rate
rmer
naso
min
nehå
ller
xiv
änst
erle
det
x2−
2x+
y2+
4y+
1=
(x−
1)2−
12+
y2+
4y+
1
(de
unde
rstr
ukna
term
erna
visa
rkv
adra
tkom
plet
teri
ngen
).K
vadr
atko
mpl
ette
rase
dan
term
erna
som
inne
hålle
ry
(x−
1)2−
12+
y2+
4y+
1=
(x−
1)2−
12+(y
+2)
2−
22+
1.
Vän
ster
lede
tär
allts
ålik
am
ed
(x−
1)2+(y
+2)
2−
4
och
flytt
arvi
över
4til
lhög
erle
detä
rci
rkel
nsek
vatio
n
(x−
1)2+(y
+2)
2=
4.
112
Via
vläs
erat
tmed
elpu
nkte
när
(1,−
2)oc
hra
dien
är√
4=
2.
x
y
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
vill
vitip
saom
:
■Lä
sm
erom
Pyth
agor
assa
tspå
sven
ska
Wik
iped
ia(http://sv.wikipedia.org/wik
i/Py
thag
oras
_sat
s)
■Lä
sm
eriM
athw
orld
omci
rkel
n(http://mathworld.wolfram.co
m/Ci
rcle
.htm
l)
Länk
tips
■In
tera
ktiv
texp
erim
ent:
sinu
soc
hco
sinu
sie
nhet
scir
keln
](Fl
ash)
(http://www.math.kth.se/onli
ne/i
mage
s/si
nus_
och_
cosi
nus_
i_enhetscirkeln.swf)
113
4.1
Övn
inga
r
Övn
ing
4.1:
1
Skri
vig
rade
roc
hra
dian
er
a)1 4
varv
b)3 8
varv
c)−
2 3va
rvd)
97 12va
rv
Övn
ing
4.1:
2
Om
vand
latil
lrad
iane
ra)
45◦
b)13
5◦c)
−63
◦d)
270◦
Övn
ing
4.1:
3
Best
ämlä
ngde
nav
sida
nso
mär
mar
kera
dm
edx.
a)
30
40x
b)
13
12x
c)
x
817
Övn
ing
4.1:
4
a)Be
stäm
avst
ånde
tmel
lan
punk
tern
a(1
,1)
och(5
,4).
b)Be
stäm
avst
ånde
tmel
lan
punk
tern
a(−
2,5)
och(3
,−1)
.
c)H
itta
den
punk
tpå
x-ax
eln
som
ligge
rlik
alå
ngtf
rån
punk
tern
a(3
,3)
och(5
,1).
Övn
ing
4.1:
5
a)Be
stäm
ekva
tione
nfö
ren
cirk
elm
edm
edel
punk
ti(1
,2)
och
radi
e2.
b)Be
stäm
ekva
tione
nfö
rde
nci
rkel
som
har
med
elpu
nkti
(2,−
1)oc
hin
nehå
ller
punk
ten(−
1,1)
.
Övn
ing
4.1:
6
Skis
sera
följa
nde
cirk
lar
a)x2
+y2
=9
b)(x
−1)
2+(y
−2)
2=
3
c)(3
x−
1)2+(3
y+
7)2=
10
114
Övn
ing
4.1:
7
Skis
sera
följa
nde
cirk
lar
a)x2
+2x
+y2
−2y
=1
b)x2
+y2
+4y
=0
c)x2
−2x
+y2
+6y
=−
3d)
x2−
2x+
y2+
2y=
−2
Övn
ing
4.1:
8
Hur
mån
gava
rvsn
urra
ret
thju
lmed
radi
e50
cmnä
rde
trul
lar
10m
?
Övn
ing
4.1:
9
Påen
kloc
kaär
seku
ndvi
sare
n8
cmlå
ng.H
urst
orar
easv
eper
den
över
på10
seku
nder
?
Övn
ing
4.1:
10
En5,
4m
lång
tvät
tlina
häng
erm
ella
ntv
åve
rtik
ala
träd
på4,
8m
avst
ånd
från
vara
nd-
ra.L
inan
sen
aän
deär
fäst
0,6
mhö
gre
ände
nan
dra
ände
n,oc
h1,
2m
från
träd
etdä
rlin
anha
rsi
nlä
gre
infä
stni
nghä
nger
enka
vajp
åen
galg
e.Be
stäm
hur
myc
ket
unde
rde
nne
dre
infä
stni
ngsp
unkt
enso
mga
lgen
häng
er(d
vs.a
vstå
ndet
xifi
gure
n).
0,6
m
x
4,8
m1,
2m
115 4.2
Trig
onom
etri
ska
funk
tion
er
Inne
håll
:
■D
etr
igon
omet
risk
afu
nktio
nern
aco
sinu
s,si
nus
och
tang
ens.
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■K
änna
tillb
egre
ppen
spet
sig,
trub
big
och
rätv
inke
l.■
Förs
tåde
finiti
onen
avco
sinu
s,si
nus
och
tang
ens
ienh
etsc
irke
ln.
■U
tant
illku
nna
värd
ena
påco
sinu
s,si
nus
och
tang
ens
för
stan
dard
vink
-la
rna
0,π
/6,π
/4,π
/3oc
hπ
/2.
■Be
stäm
ma
värd
ena
påco
sinu
s,si
nus
och
tang
ens
för
argu
men
tso
mka
nre
duce
ras
tills
tand
ardv
inkl
arna
inåg
onkv
adra
ntav
enhe
tsci
rkel
n.■
Skis
sera
graf
erna
tillc
osin
us,s
inus
och
tang
ens.
■Lö
satr
igon
omet
risk
apr
oble
mso
min
volv
erar
rätv
inkl
iga
tria
ngla
r.
Trig
onom
etri
irät
vink
liga
tria
ngla
r
Iden
rätv
inkl
iga
tria
ngel
nne
dan
kalla
skv
oten
mel
lan
den
mot
ståe
nde
kate
ten
aoc
hde
nnä
rlig
gand
eka
tete
nb
för
tang
ens
avvi
nkel
nu
och
bete
ckna
sta
nu.
ub
ata
nu=
a b
Vär
det
påkv
oten
a/b
ärin
tebe
roen
deav
stor
leke
npå
tria
ngel
nut
anba
rapå
vin-
keln
u.Fö
rol
ika
värd
enpå
vink
eln
kan
man
fåfr
amm
otsv
aran
deta
ngen
svär
dean
-tin
gen
ien
trig
onom
etri
skta
bell
elle
rge
nom
att
anvä
nda
enm
inir
äkna
re(k
napp
enhe
ter
ofta
tan)
.
116
Exem
pel1
Hur
hög
ärfla
ggst
ånge
n?
5m
40◦
Flag
gstå
ngen
och
dess
skug
gabi
ldar
tills
amm
ans
enrä
tvin
klig
tria
ngel
där
den
vert
ikal
aka
tete
när
okän
d(m
arke
rad
med
xne
dan)
.
40◦ 5
m
x
Från
defin
ition
enav
tang
ens
har
viat
t
tan
40◦=
x5
m
och
efte
rsom
tan
40◦≈
0,84
såär
x=
5m
·tan
40◦≈
5m
·0,8
4=
4,2
m.
117 Ex
empe
l2
Best
ämlä
ngde
nav
sida
nm
arke
rad
med
xifi
gure
n.
4020
22x
Om
vika
llar
vink
eln
läng
sttil
lvän
ster
för
uså
finns
dett
våsä
ttat
tstä
llaup
pet
tut
tryc
kfö
rta
nu.
u40
22ta
nu=
22 40
u60
xta
nu=
x 60
Sätt
ervi
detv
åut
tryc
ken
för
tan
ulik
afå
s
22 40=
x 60
vilk
etge
rat
tx=
60·22 40
=33
.
Det
finns
två
andr
akv
oter
irä
tvin
klig
atr
iang
lar
som
har
spec
iella
nam
noc
hde
tär
cosu
=b/
c(”
cosi
nus
avu”
)och
sin
u=
a/c
(”si
nus
avu”
).
ub
ac
cosu
=b c
sin
u=
a c
Prec
isso
mfö
rta
ngen
sär
kvot
erna
som
defin
iera
rco
sinu
soc
hsi
nus
inte
bero
ende
avtr
iang
elns
stor
lek
utan
bara
påvi
nkel
nu.
118
Exem
pel3
a)
u4
35
Itri
ange
lntil
lvän
ster
är
cosu
=4 5
sin
u=
3 5
b)
38◦
5x
Defi
nitio
nen
avsi
nus
ger
att
sin
38◦=
x 5
och
vetv
iatt
sin
38◦≈
0,61
6så
får
viat
t
x=
5·s
in38
◦≈
5·0
,616
≈3,
1.
c)34
◦3 x
Cos
inus
ärkv
oten
mel
lan
den
närl
igga
nde
ka-
tete
noc
hhy
pote
nusa
n
cos3
4◦=
3 x.
Allt
såär
x=
3co
s34◦
.
Exem
pel4
Best
ämsi
nu
itri
ange
ln
u 1/2
1
119 M
edhj
älp
avPy
thag
oras
sats
kan
kate
ten
tillh
öger
best
ämm
as
u 1/2
1x
12=
( 1 2
) 2+
x2⇔
x=
√3 2
och
därf
örär
sin
u=
√3/
21
=
√3 2
.
Någ
rast
anda
rdvi
nkla
rFö
rvi
ssa
vink
lar
30◦ ,
45◦
och
60◦
går
detr
elat
ivte
nkel
tatt
räkn
aut
exak
tavä
rden
påde
trig
onom
etri
ska
funk
tione
rna.
Exem
pel5
Vi
utgå
rfr
ånen
kvad
rat
med
sidl
ängd
1.En
diag
onal
ikv
adra
ten
dela
rde
räta
vink
larn
aim
otsa
tta
hörn
itvå
lika
dela
r45
◦ .
1
1x
45◦
45◦
Med
Pyth
agor
assa
tska
nvi
best
ämm
adi
agon
alen
slä
ngd
x,
x2=
12+
12⇔
x=
√12
+12
=√
2.
Itr
iang
eln
som
har
diag
onal
enso
mhy
pote
nusa
får
vifr
amvä
rdet
påde
trig
ono-
met
risk
afu
nktio
nern
afö
rvi
nkel
n45
◦ .
1
1
√2
45◦
cos4
5◦=
1 √2
sin
45◦=
1 √2
tan
45◦=
1 1=
1
120
Exem
pel6
Betr
akta
enlik
sidi
gtr
iang
eldä
ral
lasi
dor
har
läng
d1.
Vin
klar
nait
rian
geln
äral
la60
◦ .Tr
iang
eln
kan
dela
sup
pit
våha
lvor
avlin
jen
som
dela
rto
ppvi
nkel
nm
ittitu
.
60◦
60◦
60◦ 1
11
60◦
30◦
1 2
x1
Pyth
agor
assa
tsge
rat
tden
vert
ikal
asi
dan
aven
tria
ngel
halv
aär
x=
√3/
2.Fr
ånen
tria
ngel
halv
afå
rvi
att
60◦
30◦
1 2
√3 2
1
cos3
0◦=
√3/
21
=
√3 2
;
sin
30◦=
1/2 1=
1 2;
tan
30◦=
1/2
√3/
2=
1 √3
;
cos6
0◦=
1/2 1=
1 2
sin
60◦=
√3/
21
=
√3 2
tan
60◦=
√3/
21/
2=
√3
Trig
onom
etri
ska
funk
tion
erfö
ral
lmän
navi
nkla
r
För
vink
lar
som
ärm
indr
eän
0◦el
lers
törr
eän
90◦
defin
iera
sde
trig
onom
etri
ska
funk
-tio
nern
am
edhj
älp
aven
hets
cirk
eln
(cir
keln
som
har
med
elpu
nkti
orig
ooc
hra
die
1).
De
trig
onom
etri
ska
funk
tione
rna
cosu
och
sin
uär
x-re
spek
tive
y-ko
ordi
nate
rna
för
skär
ning
spun
kten
mel
lan
enhe
tsci
rkel
noc
hde
tra
diel
lalin
jese
gmen
tet
som
bild
arvi
n-ke
lnu
med
den
posi
tiva
x-ax
eln.
x
y
u(c
osu,
sin
u)
121
Tang
ensf
unkt
ione
nde
finie
ras
som
tan
u=
sin
uco
suoc
hta
ngen
svär
detk
anto
lkas
som
rikt
ning
skoe
ffici
ente
nfö
rde
trad
iella
linje
segm
en-
tet. Ex
empe
l7
Från
figur
erna
neda
nav
läse
rvi
värd
ena
påco
sinu
soc
hsi
nus.
a)
x
y
104◦
(−0,
24;0
,97)
cos1
04◦≈
−0,
24
sin
104◦
≈0,
97
tan
104◦
≈0,
97−
0,24
≈−
4,0
b)
x
y 201◦
(−0,
93;−
0,36)
cos2
01◦≈
−0,
93
sin
201◦
≈−
0,36
tan
201◦
≈−
0,36
−0,
93≈
0,4
Exem
pel8
Vilk
ette
cken
har
a)co
s209
◦
Efte
rsom
vink
eln
209◦
kan
skri
vas
som
209◦
=18
0◦+
29◦
såsv
arar
vink
eln
mot
enpu
nkt
påen
hets
cirk
eln
som
ligge
ri
den
tred
jekv
adra
nten
.D
enpu
nkte
nha
ren
nega
tivx-
koor
dina
t,vi
lket
bety
der
att
cos2
09◦
ärne
gativ
.
x
y 209◦
122
b)si
n13
3◦
Vin
keln
133◦
ärlik
am
ed90
◦+
43◦
och
ger
enpu
nkt
påen
hets
cirk
eln
som
ligge
rid
enan
dra
kvad
rant
en.I
den
kvad
rant
enha
rpu
nkte
rpo
sitiv
y-ko
ordi
nat
och
där-
för
ärsi
n13
3◦po
sitiv
.
x
y 133◦
c)ta
n(−
40◦ )
Rita
svi
nkel
n−
40◦
ini
enhe
tsci
rkel
nfå
sen
vink
ellin
jeso
mha
ren
nega
tivri
kt-
ning
skoe
ffici
ent,
dvs.
tan(−
40◦ )
ärne
ga-
tiv.
x
y
−40
◦
Exem
pel9
Best
ämsi
n2π 3
.
Om
skri
vnin
gen
2π 3=
4π 6=
3π+
π
6=
π 2+
π 6vi
sar
attv
inke
ln2π
/3ha
mna
rie
nhet
scir
keln
san
dra
kvad
rant
och
bild
arvi
nkel
nπ
/6m
edde
npo
sitiv
ay-
axel
n.O
mvi
rita
rin
enhj
älpt
rian
gels
omifi
gure
nne
dan
till
höge
rså
ser
viat
t2π
/3-p
unkt
enpå
enhe
tsci
rkel
nha
ren
y-ko
ordi
nat
som
ärlik
am
edde
nnä
rlig
gand
eka
tete
nco
s(π
/6)=
√3/
2.A
lltså
är
sin
2π 3=
√3 2
.
x
y
2π/
3
π/
6
x
y
1co
sπ 6
123
De
trig
onom
etri
ska
funk
tion
erna
sgr
afer
Ifö
rra
avsn
ittet
anvä
nde
vien
hets
cirk
eln
för
att
defin
iera
cosi
nus
och
sinu
sfö
rgo
d-ty
cklig
avi
nkla
roch
viko
mm
eran
vänd
aen
hets
cirk
eln
ofta
fram
över
föra
ttt.e
x.hä
rle-
datr
igon
omet
risk
asa
mba
ndoc
hlö
satr
igon
omet
risk
aek
vatio
ner.
Det
finns
dock
viss
aeg
ensk
aper
hos
detr
igon
omet
risk
afu
nktio
nern
aso
mbä
ttre
illus
trer
asge
nom
attr
itaup
pde
ras
funk
tions
graf
er.
x
y
−11
−π 2
π 2π
3π 22π
Gra
fen
till
tang
ensf
unkt
ione
n
x
y
−11
−π 2
π 2π
3π 22π
Gra
fen
till
sinu
sfun
ktio
nen
124
x
y
−11
−π 2
π 2π
3π 22π
Gra
fen
till
cosi
nusf
unkt
ione
n
Igr
afer
naka
nvi
obse
rver
afle
rasa
ker
kans
kety
dlig
are
änie
nhet
scir
keln
.Någ
raex
-em
pelä
r:
■K
urvo
rna
för
cosi
nus
och
sinu
sup
prep
arsi
gef
ter
envi
nkel
ändr
ing
på2π
,dvs
.de
tgäl
ler
att
cos(
x+
2π)=
cos
xoc
hsi
n(x+
2π)=
sin
x.I
enhe
tsci
rkel
nm
ot-
svar
ar2π
ettv
arv
och
efte
ret
thel
tvar
våt
erko
mm
ervi
nkla
rtil
lsam
ma
läge
påen
hets
cirk
eln
och
har
därf
örsa
mm
ako
ordi
nate
r.
■K
urva
nfö
rtan
gens
uppr
epar
sig
reda
nef
tere
nvi
nkel
ändr
ing
påπ
,dvs
.tan
(x+
π)=
tan
x.Tv
åvi
nkla
rso
msk
iljer
sig
åtm
edπ
ligge
rpå
sam
ma
linje
geno
mor
igo
ienh
etsc
irke
lnoc
hde
ras
vink
ellin
jer
har
därf
örsa
mm
ari
ktni
ngsk
oeffi
ci-
ent.
■Fö
ruto
men
fasf
örsk
jutn
ing
påπ
/2är
kurv
orna
för
cosi
nus
och
sinu
sid
entis
ka,
dvs.
cos
x=
sin(
x+
π/2
);m
erom
dett
ain
ästa
avsn
itt.
Gra
fern
aka
noc
kså
vara
vikt
iga
närm
anun
ders
öker
trig
onom
etri
ska
ekva
tione
r.M
eden
enke
lski
sska
nm
anof
tafå
enup
pfat
tnin
gom
hurm
ånga
lösn
inga
ren
ekva
tion
har,
och
var
lösn
inga
rna
finns
.
Exem
pel1
0
Hur
mån
galö
snin
gar
har
ekva
tione
nco
sx=
x2 ?(d
ärx
mät
sir
adia
ner)
Gen
omat
trita
upp
graf
erna
y=
cos
xoc
hy=
x2se
rvia
ttku
rvor
nask
ärva
rand
rait
våpu
nkte
r.D
etfin
nsal
ltså
två
x-vä
rden
för
vilk
am
otsv
aran
dey-
värd
enär
lika.
125 M
edan
dra
ord
har
ekva
tione
ntv
ålö
snin
gar.
x
y
y=
cos
x
y=
x2
1
1
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Har
dulä
sttr
igon
omet
ri,s
åsk
adu
inte
vara
rädd
för
att
anvä
nda
den
igeo
-m
etri
ska
prob
lem
.Det
ger
ofta
enen
klar
elö
snin
g.D
uka
nbe
höva
lägg
ane
rm
ycke
ttid
påat
tfö
rstå
hur
man
anvä
nder
en-
hets
cirk
eln
för
attd
efini
era
detr
igon
omet
risk
afu
nktio
nern
a.Ta
för
vana
att
räkn
am
edex
akta
trig
onom
etri
ska
värd
en.D
etge
ren
bra
trän
ing
påbr
åkrä
knin
goc
hså
smån
ingo
mir
äkni
ngm
edal
gebr
aisk
ara
tione
llaut
tryc
k.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
vill
vitip
saom
:
■Lä
sm
erom
trig
onom
etri
iPer
Edst
röm
s”I
nter
aktiv
Mat
emat
ik”
(http://dooku.miun.se/per.ed
stro
m/in
tera
ktiv
_mat
emat
ik/
trigonometri/cos_even.html
)
■Lä
sm
erom
trig
onom
etri
påen
gels
kaW
ikip
edia
(http://en.wikipedia.org/wik
i/Tr
igon
omet
ric_
func
tion
)
■Lä
sm
erom
enhe
tsci
rkel
npå
enge
lska
Wik
iped
ia(http://en.wikipedia.org/wik
i/Un
it_c
ircl
e)
126
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
med
sinu
soc
hco
sinu
sie
nhet
scir
keln
(http://www.math.kth.se/onli
ne/i
mage
s/si
nus_
och_
cosi
nus_
i_enhetscirkeln.swf)
■Ex
peri
men
tera
med
Eukl
idis
kge
omet
ri(http://www.math.psu.edu/dli
ttle
/jav
a/ge
omet
ry/e
ucli
dean
/toolbox.html
)
127
4.2
Övn
inga
r
Övn
ing
4.2:
1
Best
ämlä
ngde
nav
sida
nso
mär
mar
kera
dm
edx
uttr
yckt
med
hjäl
pav
detr
igon
o-m
etri
ska
funk
tione
rna.
a)
27◦
13
xb)
32◦
x25
c)
40◦
14x
d)20
◦
16
x
e)
35◦
11x
f)
50◦
19
x
Övn
ing
4.2:
2
Best
ämen
trig
onom
etri
skek
vatio
nso
mvi
nkel
nv
uppf
ylle
r.
a)v
2
5
b)
v
70
110
c)
v5 7
d)
v
35
128
e)
v
60◦
5
f)v
3 3
2
Övn
ing
4.2:
3
Best
äma)
sin( −
π 2
)b)
cos2
πc)
sin
9π
d)co
s7π 2
e)si
n3π 4
f)co
s( −π 6
)
Övn
ing
4.2:
4
Best
äma)
cos
11π 6
b)co
s11
π 3c)
tan
3π 4
d)ta
nπ
e)ta
n7π 6
f)ta
n( −
5π 3
)
Övn
ing
4.2:
5
Best
äma)
cos1
35◦
b)ta
n22
5◦c)
cos3
30◦
d)ta
n49
5◦
Övn
ing
4.2:
6
Best
ämlä
ngde
nav
strä
ckan
som
ärm
arke
rad
med
x.
60◦
45◦
1
x
Övn
ing
4.2:
7
För
att
mät
aup
pbr
edde
nav
enäl
vm
äter
vifr
åntv
åpu
nkte
rA
och
Blä
ngs
den
ena
raka
stra
nden
vink
eln
tille
tttr
ädC
påm
otsa
ttsi
daäl
ven.
Hur
bred
äräl
ven
om
129
måt
ten
ifigu
ren
gälle
r? AB
30◦
45◦
10m
C
Övn
ing
4.2:
8
Enst
ång
med
läng
dℓ
ärup
phän
gdi
två
linor
med
läng
da
resp
.b
enlig
tfig
uren
.Li
norn
abi
ldar
vink
lar
αre
sp.
βm
edve
rtik
alen
.Bes
täm
entr
igon
omet
risk
ekva
tion
för
vink
eln
γso
mst
ånge
nbi
ldar
med
vert
ikal
en.
a
αb
β
ℓγ
Övn
ing
4.2:
9
Bilv
ägen
från
Atil
lB
best
årav
tre
rätli
njig
ade
lar
AP,
PQ
och
QB,
vilk
aär
4,0
km,
12,0
kmre
spek
tive
5,0
km.D
ei
figur
enm
arke
rade
vink
larn
avi
dP
och
Qär
30◦
re-
spek
tive
90◦ .
Berä
kna
avst
ånde
tfå
gelv
ägen
från
Atil
lB.
(Upp
gift
enär
häm
tad
urC
entr
ala
prov
etim
atem
atik
,nov
embe
r19
76,m
enan
inge
nm
odifi
erad
.)
A
P
QB
30◦
130
4.3
Trig
onom
etri
ska
sam
band
Inne
håll
:
■Tr
igon
omet
risk
aet
tan
■Fo
rmel
nfö
rdu
bbla
och
halv
avi
nkel
n■
Add
ition
s-oc
hsu
btra
ktio
nsfo
rmle
rna
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■H
ärle
datr
igon
omet
risk
asa
mba
ndfr
ånsy
mm
etri
erie
nhet
scir
keln
.■
Före
nkla
trig
onom
etri
ska
uttr
yck
med
hjäl
pav
detr
igon
omet
risk
asa
m-
band
en.
Inle
dnin
g
Det
finns
enm
ängd
trig
onom
etri
ska
sam
band
,med
vilk
am
anka
növ
ersä
tta
mel
lan
sinu
s-,c
osin
us-
och
tang
ensv
ärde
nfö
ren
vink
elel
ler
mul
tipla
rav
envi
nkel
.Des
sabr
ukar
ocks
åka
llas
trig
onom
etri
ska
iden
titet
er,
efte
rsom
deen
dast
ärol
ika
sätt
att
besk
riva
ett
och
sam
ma
uttr
yck
med
hjäl
pav
olik
atr
igon
omet
risk
afu
nktio
ner.
Här
kom
mer
viat
tbe
skri
vanå
gra
avde
ssa
trig
onom
etri
ska
sam
band
.Det
finns
mån
gafle
rän
vika
nbe
hand
lahä
r.D
efle
sta
kan
härl
edas
utif
rån
den
s.k.
trig
onom
etri
ska
etta
noc
had
ditio
nsfo
rmle
rna
(se
neda
n),v
ilka
ärvi
ktig
aat
tkun
naut
antil
l.
Trig
onom
etri
ska
etta
n
Det
tasa
mba
ndär
det
mes
tgr
undl
ägga
nde,
men
äri
själ
vave
rket
inge
ntin
gan
nat
änPy
t-ha
gora
ssa
ts,t
illäm
pad
ienh
etsc
irke
ln.D
enrä
t-vi
nklig
atr
iang
eln
tillh
öger
visa
rat
t
(sin
v)2+(c
osv)
2=
1,
vilk
etbr
ukar
skri
vas
sin2 v
+co
s2 v=
1.
x
y
1 cosv
sinv
v
131
Sym
met
rier
Med
hjäl
pav
enhe
tsci
rkel
noc
hsp
eglin
gka
nm
anta
ckva
rede
trig
onom
etri
ska
funk
-tio
nern
assy
mm
etri
erhi
tta
enst
orm
ängd
sam
band
mel
lan
cosi
nus
och
sinu
s.
cos(−
v)=
cosv
sin(−
v)=
−si
nv
cos(
π−
v)=
−co
sv
sin(
π−
v)=
sin
v
cos( π 2
−v)
=si
nv
sin( π
2−
v)=
cosv
cos( v
+π 2
)=
−si
nv
sin( v
+π 2
)=
cosv
Istä
lletf
örat
tfö
rsök
alä
rasi
gal
lade
ssa
sam
band
utan
tillk
ande
tvar
abä
ttre
att
lära
sig
härl
eda
dem
ienh
etsc
irke
ln.
Speg
ling
ix-a
xeln
x
y
v −v
När
envi
nkel
vsp
egla
six
-axe
lnbl
irde
n−
v.
Speg
linge
npå
verk
arin
tex-
koor
dina
ten
med
any-
koor
dina
ten
byte
rte
cken
cos(−
v)=
cosv
,si
n(−
v)=
−si
nv.
Speg
ling
iy-a
xeln
x
y
v−v
Vid
speg
ling
iy-a
xeln
ändr
asvi
nkel
nv
tillπ
−v
(spe
gelb
ilden
bild
arvi
nkel
nv
mot
den
nega
-tiv
ax-
axel
n).
Speg
linge
npå
verk
arin
tey-
koor
dina
ten
med
anx-
koor
dina
ten
byte
rte
cken
cos(
π−
v)=
−co
sv,
sin(
π−
v)=
sin
v.
132
Speg
ling
ilin
jen
y=
x
x
y
v
−v
Vin
keln
vän
dras
tillv
inke
lnπ
/2−
v(s
pege
lbil-
den
bild
arvi
nkel
nv
mot
den
posi
tiva
y-ax
eln)
.
Speg
linge
ngö
rat
tx-o
chy-
koor
dina
tern
aby
ter
plat
s
cos( π
2−
v)=
sin
v.
sin( π
2−
v)=
cosv
.
Vri
dnin
gm
edvi
nkel
nπ
/2
x
y
v
v
Envr
idni
ngπ
/2av
vink
eln
vbe
tyde
rat
tvi
n-ke
lnbl
irv+
π/2
.
Vri
dnin
gen
gör
att
x-ko
ordi
nate
nbl
irny
y-ko
ordi
nat
och
y-ko
ordi
nate
nbl
irny
x-ko
ordi
natf
astm
edom
vänt
teck
en
cos( v
+π 2
)=
−si
nv,
sin( v
+π 2
)=
cosv
.
Alte
rnat
ivtk
anm
anfå
fram
dess
asa
mba
ndge
nom
atts
pegl
aoc
h/el
ler
förs
kjut
agr
a-fe
rna.
Om
man
exem
pelv
isvi
llha
etts
amba
nddä
rcos
vut
tryc
ksm
edhj
älp
avsi
nus
såka
nm
anfö
rskj
uta
graf
enfö
rcos
inus
såat
tden
pass
arm
edsi
nusk
urva
n.D
etta
kan
gö-
ras
påfle
raol
ika
sätt
,men
mes
tnat
urlig
tfal
ler
dets
igat
tskr
iva
cosv
=si
n(v+
π/2
).Fö
rat
tun
dvik
am
isst
agka
nm
anko
ntro
llera
att
det
stäm
mer
för
någr
aol
ika
värd
enpå
v.
x
y
y=
cosx
y=
sinx
1
1
π/2
Kon
trol
l:co
s0=
sin(
0+
π/2
)=
1.
133
Add
itio
ns-o
chsu
btra
ktio
nsfo
rmle
rna
och
form
ler
för
dubb
lavi
nkel
n
Oft
abe
höve
rm
anbe
hand
laut
tryc
kdä
rtv
åel
ler
flera
vink
lar
ärin
blan
dade
,t.e
x.si
n(u+
v).M
anbe
höve
rdå
des.
k.ad
ditio
nsfo
rmle
rna.
Förs
inus
och
cosi
nus
harf
orm
-le
rna
utse
ende
t
sin(
u+
v)=
sin
uco
sv+
cosu
sin
v,si
n(u−
v)=
sin
uco
sv−
cosu
sin
v,co
s(u+
v)=
cosu
cosv
−si
nu
sin
v,co
s(u−
v)=
cosu
cosv
+si
nu
sin
v.
Om
man
vill
veta
sinu
sel
ler
cosi
nus
för
dubb
lavi
nkel
n,dv
s.si
n2v
elle
rco
s2v,
såka
nm
ansk
riva
uttr
ycke
nso
msi
n(v+
v)el
ler
cos(
v+
v)oc
han
vänd
aad
ditio
nsfo
rmle
rna
ovan
och
få
sin
2v=
2si
nv
cosv
,
cos2
v=
cos2 v
−si
n2 v.
Ur
dess
asa
mba
ndka
nvi
seda
nfå
fram
form
ler
för
halv
avi
nkel
n.G
enom
attb
yta
ut2v
mot
v,oc
hfö
ljdak
tlige
nv
mot
v/2,
ifor
mel
nfö
rco
s2v
får
viat
t
cosv
=co
s2v 2−
sin2
v 2.
Vill
viha
enfo
rmel
för
sin(
v/2)
såan
vänd
ervi
däre
fter
den
trig
onom
etri
ska
etta
nfö
rat
tbli
avm
edco
s2 (v/
2) cosv
=1−
sin2
v 2−
sin2
v 2=
1−
2si
n2v 2
dvs.
sin2
v 2=
1−
cosv
2.
Påm
otsv
aran
desä
ttka
nvi
med
den
trig
onom
etri
ska
etta
ngö
raos
sav
med
sin2 (
v/2)
.D
åfå
rvi
istä
llet
134
cos2
v 2=
1+
cosv
2.
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ov
Efte
rat
tdu
har
läst
text
enoc
har
beta
tmed
övni
ngar
nask
adu
göra
grun
d-oc
hsl
utpr
ovet
för
attb
ligo
dkän
dpå
dett
aav
snitt
.Du
hitt
arlä
nken
tillp
rove
nid
inst
uden
tlou
nge.
Tän
kpå
att:
Enhe
tsci
rkel
när
ett
ovär
derl
igt
hjäl
pmed
elfö
rat
thi
tta
trig
onom
etri
ska
sam
-ba
nd.S
ådan
afin
nsde
tgo
ttom
och
det
ärin
gen
idé
att
förs
öka
lära
sig
alla
utan
till.
Det
äroc
kså
tidsö
dand
eat
tbe
höva
slå
upp
och
leta
fram
dem
hela
tiden
.Där
för
ärde
tmyc
ketb
ättr
eat
tdu
lär
dig
anvä
nda
enhe
tsci
rkel
n.D
enal
lra
mes
tkä
nda
trig
onom
etri
ska
form
eln
ärde
ns.
k.tr
igon
omet
risk
aet
tan.
Den
gälle
rfö
ral
lavi
nkla
r,in
teba
rafö
rsp
etsi
ga.D
enhä
nger
ihop
med
Pyth
agor
assa
ts.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
vill
vitip
saom
:
■Lä
sm
erom
trig
onom
etri
ska
form
ler
iThe
duca
tions
gym
nasi
elex
ikon
(http://www.theducation.se/k
urse
r/um
apre
p/4_
trig
onom
etri
/43_
trig_formler/432_addisionsfo
rmle
rna/
inde
x.as
p)
■Lä
sm
erom
area
-,si
nus
och
cosi
nuss
atse
rna
iThe
duca
tions
gym
nasi
elex
-ik
on(http://www.theducation.se/k
urse
r/um
apre
p/4_
trig
onom
etri
/43_
trig_formler/432_addisionsfo
rmle
rna/
inde
x.as
p)
■Lä
sm
erom
trig
onom
etri
iBru
noK
eviu
sm
atem
atis
kaor
dlis
ta(http://matmin.kevius.com/tr
igon
omet
ri.h
tml)
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
med
cosi
nus
”låd
an”
(http://www.ies.co.jp/math/j
ava/
trig
/cos
box/
cosb
ox.h
tml)
135
4.3
Övn
inga
r
Övn
ing
4.3:
1
Best
ämde
vink
lar
vm
ella
nπ 2
och
2πso
mup
pfyl
ler
a)co
sv=
cos
π 5b)
sin
v=
sin
π 7c)
tan
v=
tan
2π 7
Övn
ing
4.3:
2
Best
ämde
vink
lar
vm
ella
n0
och
πso
mup
pfyl
ler
a)co
sv=
cos
3π 2b)
cosv
=co
s7π 5
Övn
ing
4.3:
3
Ant
agat
t−π 2
≤v≤
π 2oc
hat
tsin
v=
a.U
ttry
ckm
edhj
älp
ava
a)si
n(−
v)b)
sin(π
−v)
c)co
svd)
sin( π 2
−v)
e)co
s( π2+
v)f)
sin( π
3+
v)
Övn
ing
4.3:
4
Ant
agat
t0≤
v≤
πoc
hat
tcos
v=
b.U
ttry
ckm
edhj
älp
avb
a)si
n2 vb)
sin
v
c)si
n2v
d)co
s2v
e)si
n( v
+π 4
)f)
cos( v
−π 3
)
Övn
ing
4.3:
5
För
ensp
etsi
gvi
nkel
vie
ntr
iang
elgä
ller
att
sin
v=
5 7.
Best
ämco
svoc
hta
nv.
Övn
ing
4.3:
6
a)Be
stäm
sin
voc
hta
nv
omco
sv=
3 4oc
h3π 2
≤v≤
2π.
b)Be
stäm
cosv
och
tan
vom
sin
v=
3 10oc
hv
ligge
rid
enan
dra
kvad
rant
en.
c)Be
stäm
sin
voc
hco
svom
tan
v=
3oc
hπ≤
v≤
3π 2.
136
Övn
ing
4.3:
7
Best
ämsi
n(x
+y)
om
a)si
nx=
2 3,si
ny=
1 3oc
hx,
yär
vink
lar
iför
sta
kvad
rant
en.
b)co
sx=
2 5,co
sy=
3 5oc
hx,
yär
vink
lar
iför
sta
kvad
rant
en.
Övn
ing
4.3:
8
Vis
afö
ljand
etr
igon
omet
risk
asa
mba
nd
a)ta
n2v=
sin2
v1−
sin2
v
b)1
cosv
−ta
nv=
cosv
1+
sin
v
c)ta
nu 2=
sin
u1+
cosu
d)co
s(u+
v)co
suco
sv=
1−
tan
uta
nv
Övn
ing
4.3:
9
Vis
a”M
orri
esfo
rmel
”co
s20◦
·cos
40◦·c
os80
◦=
1 8.
(Led
tråd
:Anv
änd
form
eln
för
dubb
lavi
nkel
npå
sin
160◦
.)
137 4.4
Trig
onom
etri
ska
ekva
tion
er
Inne
håll
:
■Tr
igon
omet
risk
agr
unde
kvat
ione
r■
Enkl
are
trig
onom
etri
ska
ekva
tione
r
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Lö
satr
igon
omet
risk
agr
unde
kvat
ione
r.■
Lösa
trig
onom
etri
ska
ekva
tione
rsom
kan
åter
föra
stil
lova
nstå
ende
ekva
-tio
nsty
p.
Gru
ndek
vati
oner
Trig
onom
etri
ska
ekva
tione
rkan
vara
myc
ketk
ompl
icer
ade,
men
detfi
nnso
ckså
mån
gaty
per
avtr
igon
omet
risk
aek
vatio
ner
som
man
kan
lösa
med
gans
kaen
kla
met
oder
.H
ärsk
allv
ibör
jam
edat
ttitt
apå
dem
estg
rund
lägg
ande
trig
onom
etri
ska
ekva
tione
r-na
,av
type
rna
sin
x=
a,co
sx=
aoc
hta
nx=
a.D
essa
ekva
tione
rha
ri
rege
loän
dlig
tm
ånga
lösn
inga
r,så
vida
inte
omst
ändi
ghe-
tern
abe
grän
sar
anta
letm
öjlig
alö
snin
gar
(t.e
x.at
tman
söke
ren
spet
sig
vink
el).
Exem
pel1
Lös
ekva
tione
nsi
nx=
1 2.
Vår
uppg
iftä
rat
tbes
täm
ma
alla
vink
lar
som
gör
atts
inus
avvi
nkel
nbl
ir1 2.V
itar
hjäl
pav
enhe
tsci
rkel
n.N
oter
aat
tvin
keln
här
kalla
sx.
x
y
y=
1 2π
/6
x
y
y=
1 2−
π/
6
138
Ifig
uren
har
vian
givi
tde
två
rikt
ning
arso
mge
rpu
nkte
rm
edy-
koor
dina
t1 2
ien
hets
cirk
eln,
dvs.
vink
larm
edsi
nusv
ärde
t1 2.D
enfö
rsta
ärst
anda
rdvi
nkel
n30
◦=
π/6
och
avsy
mm
etri
skäl
bild
arde
nan
dra
vink
eln
30◦
mot
den
nega
tiva
x-ax
eln,
vilk
etgö
rat
tde
nvi
nkel
när
180◦
−30
◦=
150◦
elle
rir
adia
ner
π−
π/6
=5π
/6.
Det
taär
deen
dalö
snin
gar
tille
kvat
ione
nsi
nx=
1 2m
ella
n0
och
2π.
Vik
ando
cklä
gga
tille
ttgo
dtyc
klig
tant
alva
rvtil
ldes
satv
åvi
nkla
roc
hfo
rtfa
-ra
nde
fåsa
mm
asi
nusv
ärde
.Alla
vink
lar
med
sinu
svär
de1 2
äral
ltså
x=
π 6+
2nπ
x=
5π 6+
2nπ
där
när
ettg
odty
cklig
thel
tal.
Det
taka
llas
för
den
fulls
tänd
iga
lösn
inge
ntil
lekv
a-tio
nen.
Lösn
inga
rna
syns
ocks
åi
figur
enne
dan
där
graf
entil
ly=
sin
xsk
ärlin
jen
y=
1 2.
x
y
y=
sin
x
y=
1 2
1
π 65π 6
13π 6
17π 6
Exem
pel2
Lös
ekva
tione
nco
sx=
1 2.
Vit
aråt
erig
enhj
älp
aven
hets
cirk
eln.
x
yx=
1 2
π/
3x
yx=
1 2
−π
/3
139 V
ivet
att
cosi
nus
blir
1 2fö
rvi
nkel
nπ
/3.D
enen
daan
dra
rikt
ning
ienh
etsc
irke
lnso
mge
rsa
mm
avä
rde
påco
sinu
sha
rvi
nkel
n−
π/3
.Läg
ger
vitil
let
the
ltan
tal
varv
tilld
essa
vink
lar
får
vide
nfu
llstä
ndig
alö
snin
gen
x=
±π
/3+
n·2
π,
där
när
ettg
odty
cklig
thel
tal.
Exem
pel3
Lös
ekva
tione
nta
nx=
√3.
Enlö
snin
gtil
lekv
atio
nen
ärst
anda
rdvi
nkel
nx=
π/3
.O
mvi
betr
akta
ren
hets
cirk
eln
såär
tang
ens
aven
vink
ellik
am
edri
ktni
ngsk
o-ef
ficie
nten
för
den
räta
linje
geno
mor
igo
som
bild
arvi
nkel
nx
med
den
posi
tiva
x-ax
eln.
x
ylu
tnin
g√
3
π/
3x
ylu
tnin
g√
3
π+
π/
3
Där
för
ser
viat
tlö
snin
garn
atil
lta
nx=
√3
uppr
epar
sig
varj
eha
lvt
varv
π/3
,π
/3+
π,
π/3
+π+
πos
v.D
enfu
llstä
ndig
alö
snin
gen
kan
vidä
rmed
fåfr
amge
nom
attu
tgå
från
lösn
inge
nπ
/3oc
hlä
gga
tille
ller
dra
ifrå
nm
ultip
lar
avπ
,
x=
π/3
+n·π
,
där
när
ettg
odty
cklig
thel
tal.
Någ
ram
erko
mpl
icer
ade
ekva
tion
er
Trig
onom
etri
ska
ekva
tione
rka
nse
utpå
mån
gaol
ika
sätt
,och
detä
rom
öjlig
tat
thär
geen
fulls
tänd
igge
nom
gång
aval
latä
nkba
raek
vatio
ner.
Men
låt
oss
stud
era
någr
aex
empe
l,dä
rvi
kan
hany
tta
avat
tvik
anlö
sagr
unde
kvat
ione
rna.
Vis
satr
igon
omet
risk
aek
vatio
ner
kan
före
nkla
sge
nom
attd
esk
rivs
omm
edhj
älp
140
avtr
igon
omet
risk
asa
mba
nd.D
etta
kan
t.ex.
leda
till
enan
drag
rads
ekva
tion,
som
ine
dans
tåen
deex
empe
ldär
man
anvä
nder
attc
os2x
=2
cos2 x
−1.
Exem
pel4
Lös
ekva
tione
nco
s2x−
4co
sx+
3=
0.
Om
skri
vnin
gm
edhj
älp
avfo
rmel
nco
s2x=
2co
s2 x−
1ge
r
(2co
s2 x−
1)−
4co
sx+
3=
0,
vilk
etka
nfö
renk
las
tille
kvat
ione
n(e
fter
divi
sion
med
2)
cos2 x
−2
cos
x+
1=
0.
Vän
ster
lede
tkan
fakt
oris
eras
med
kvad
reri
ngsr
egel
ntil
l
(cos
x−
1)2=
0.
Den
naek
vatio
nka
nba
rava
raup
pfyl
ldom
cos
x=
1.G
rund
ekva
tione
nco
sx=
1ka
nvi
lösa
påde
tvan
liga
sätt
etoc
hde
nfu
llstä
ndig
alö
snin
gen
är
x=
2nπ
(ngo
dtyc
klig
thel
tal)
.
Exem
pel5
Lös
ekva
tione
n1 2
sin
x+
1−
cos2
x=
0.
Enlig
tde
ntr
igon
omet
risk
aet
tan
ärsi
n2 x+
cos2 x
=1,
dvs.
1−
cos2 x
=si
n2 x.Ek
vatio
nen
kan
allts
åsk
riva
s
1 2si
nx+
sin2 x
=0.
Gen
omat
tnu
bryt
aut
enfa
ktor
sin
xfå
rvi
sin
x·( 1 2
+si
nx) =
0.
Från
denn
afa
ktor
iser
ade
form
avek
vatio
nen
serv
iatt
lösn
inga
rna
antin
gen
mås
teup
pfyl
lasi
nx=
0el
lers
inx=
−1 2,v
ilka
ärtv
åva
nlig
agr
unde
kvat
ione
rpå
form
ensi
nx=
aoc
hka
nlö
sas
som
iexe
mpe
l1.L
ösni
ngar
nabl
irtil
lslu
t
x=
nπx
=−
π/6
+2n
π
x=
7π/6
+2n
π
(ngo
dtyc
klig
thel
tal)
.
141 Ex
empe
l6
Lös
ekva
tione
nsi
n2x
=4
cos
x.
Gen
omom
skri
vnin
gm
edfo
rmel
nfö
rdu
bbla
vink
eln
blir
ekva
tione
n
2si
nx
cos
x−
4co
sx=
0.
Vid
elar
båda
led
med
2oc
hbr
yter
uten
fakt
orco
sx,
vilk
etge
r
cos
x·(
sin
x−
2)=
0.
Efte
rsom
prod
ukte
niv
änst
erle
detb
ara
kan
blin
ollg
enom
atte
nfa
ktor
ärno
ll,så
kan
ekva
tione
nde
las
upp
igru
ndek
vatio
nern
a
■co
sx=
0,■
sin
x=
2.
Men
sin
xka
nal
drig
blis
törr
eän
1,så
ekva
tione
nsi
nx=
2sa
knar
lösn
inga
r.D
ååt
erst
årba
raco
sx
=0,
vilk
enm
edhj
älp
aven
hets
cirk
eln
ger
den
fulls
tänd
iga
lösn
inge
nx=
π/2
+nπ
.
Exem
pel7
Lös
ekva
tione
n4
sin2 x
−4
cos
x=
1.
Med
den
trig
onom
etri
ska
etta
nka
nsi
n2 xby
tas
utm
ot1−
cos2 x.
Då
får
vi
4(1−
cos2 x)
−4
cos
x=
1,
4−
4co
s2 x−
4co
sx=
1,
−4
cos2 x
−4
cos
x+
4−
1=
0,
cos2 x
+co
sx−
3 4=
0.
Det
taär
enan
drag
rads
ekva
tion
icos
x,so
mha
rlö
snin
garn
a
cos
x=
−3 2
och
cos
x=
1 2.
Efte
rsom
värd
etav
cos
xlig
ger
mel
lan−
1oc
h1
kan
ekva
tione
nco
sx=
−3 2
inte
hanå
gra
lösn
inga
r.D
ååt
erst
årba
ragr
unde
kvat
ione
n
cos
x=
1 2,
som
löse
sen
ligte
xem
pel2
.
142
Råd
för
inlä
snin
g
Gru
nd-o
chsl
utpr
ovEf
ter
attd
uha
rlä
stte
xten
och
arbe
tatm
edöv
ning
arna
ska
dugö
ragr
und-
och
slut
prov
etfö
rat
tbli
godk
änd
påde
tta
avsn
itt.D
uhi
ttar
länk
entil
lpro
ven
idin
stud
entl
oung
e.
Tän
kpå
att:
Det
ärbr
aom
man
lär
sig
deva
nlig
atr
igon
omet
risk
afo
rmle
rna
(ide
ntite
ter-
na)o
chöv
arup
pen
viss
vana
påat
tför
enkl
aoc
hm
anip
uler
atr
igon
omet
risk
aut
tryc
k.D
etär
vikt
igt
att
man
lär
sig
degr
undl
ägga
nde
ekva
tione
rna,
avty
pen
sin
x=
a,co
sx=
ael
ler
tan
x=
a(d
ära
äret
tre
ellt
tal)
.Det
äroc
kså
vik-
tigta
ttm
anve
tatt
dess
aek
vatio
ner
typi
skth
aroä
ndlig
tmån
galö
snin
gar.
Läst
ips
För
dig
som
vill
förd
jupa
dig
ytte
rlig
are
elle
rbe
höve
ren
läng
refö
rkla
ring
vill
vitip
saom
:
■Lä
sm
erom
trig
onom
etri
ska
ekva
tione
riT
hedu
catio
nsgy
mna
siel
exik
on(http://www.theducation.se/k
urse
r/um
apre
p/4_
trig
onom
etri
/44_
trig_ekvationer/index.asp)
■Tr
äna
påtr
igon
omet
risk
arä
knee
xem
peli
Thed
ucat
ions
gym
nasi
elex
ikon
(http://www.theducation.se/k
urse
r/um
apre
p/4_
trig
onom
etri
/44_
trig_ekvationer/445_typ_asin
x/in
dex.
asp)
Länk
tips
■Ex
peri
men
tera
med
graf
eny=
asin
b(x−
c)(http://www.ies.co.jp/math/j
ava/
trig
/ABC
sinX
/ABC
sinX
.htm
l)
■Ex
peri
men
tera
med
deri
vata
nav
sin
x(http://www.theducation.se/k
urse
r/ex
peri
ment
/gym
a/ap
plet
s/ex
45_
derivatasinus/Ex45Applet.htm
l)
143
4.4
Övn
inga
r
Övn
ing
4.4:
1
För
vilk
avi
nkla
rv,
där
0≤
v≤
2π,g
älle
rat
t
a)si
nv=
1 2b)
cosv
=1 2
c)si
nv=
1d)
tan
v=
1
e)co
sv=
2f)
sin
v=
−1 2
g)ta
nv=
−1 √3
Övn
ing
4.4:
2
Lös
ekva
tione
n
a)si
nx=
√3 2
b)co
sx=
1 2c)
sin
x=
0
d)si
n5x
=1 √2
e)si
n5x
=1 2
f)co
s3x=
−1 √2
Övn
ing
4.4:
3
Lös
ekva
tione
na)
cos
x=
cos
π 6b)
sin
x=
sin
π 5c)
sin(x
+40
◦ )=
sin
65◦
d)si
n3x
=si
n15
◦
Övn
ing
4.4:
4
Best
ämde
vink
lar
vi
inte
rval
let
0◦≤
v≤
360◦
som
uppf
ylle
rco
s( 2v+
10◦)
=co
s110
◦ .
Övn
ing
4.4:
5
Lös
ekva
tione
na)
sin
3x=
sin
xb)
tan
x=
tan
4x
c)co
s5x=
cos(
x+
π/5
)
Övn
ing
4.4:
6
Lös
ekva
tione
na)
sin
x·c
os3x
=2
sin
xb)
√2
sin
xco
sx=
cos
x
c)si
n2x
=−
sin
x
144
Övn
ing
4.4:
7
Lös
ekva
tione
na)
2si
n2x+
sin
x=
1b)
2si
n2x−
3co
sx=
0
c)co
s3x=
sin
4x
Övn
ing
4.4:
8
Lös
ekva
tione
na)
sin
2x=
√2
cos
xb)
sin
x=
√3
cos
x
c)1
cos2
x=
1−
tan
x
145 5.1
Skri
vam
atem
atis
kafo
rmle
riL
A TEX
Inne
håll
:
■M
atem
atis
kafo
rmle
riL
A TEX
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Sk
riva
form
ler
iLA T
EX■
Und
vika
vanl
iga
mis
stag
när
man
koda
rm
atem
atik
iLA T
EX
För
att
effe
ktiv
tku
nna
skri
vam
atem
atik
via
dato
rni
inlä
mni
ngsu
ppgi
ften
såbe
hö-
ver
duko
dam
atem
atik
enm
edhj
älp
avLA
T EX
.Ide
tta
avsn
ittko
mm
erdu
fålä
radi
ggr
unde
rna
iatt
kons
true
raLA
T EX
-kod
för
atts
kriv
am
atem
atis
kafo
rmle
r.
Att
skri
vaen
kla
uttr
yck
iLA T
EX
För
att
mar
kera
star
ten
för
den
mat
emat
iska
form
ater
inge
nan
vänd
sta
ggen
<math>
.Fö
rat
tavs
luta
den
mat
emat
iska
form
ater
inge
nan
vänd
sta
ggen
</math>.
Till
exem
pel
skri
vsfo
rmel
na+
bso
m<math>a+b</math>
.En
kla
mat
emat
iska
uttr
yck
skri
vspå
ettr
ättf
ram
tsät
t.
Exem
pel1
a)1+
2−
3sk
rivs
<math>1+2-3</math>
b)5/
2sk
rivs
<math>5/2</math>
c)4/
(2+
x)sk
rivs
<math>4/(2+x)</math>
d)4<
5sk
rivs
<math>4
<5</math>
När
dube
höve
ran
vänd
asy
mbo
ler
som
inte
ärtil
lgän
glig
apå
ett
tang
entb
ord
elle
rko
nstr
uera
avan
cera
defo
rmle
rbeh
över
duan
vänd
adi
gav
spec
ialk
omm
ando
n.K
om-
man
dona
star
tar
allti
dm
edet
tom
vänt
sned
stre
ck,t
.ex.\le
som
ärko
mm
ando
tför
≤.
146
Ita
belle
nne
dan
har
vilis
tat
deva
nlig
aste
anvä
nda
mat
emat
iska
kom
man
dona
iLA
T EX
.
Exem
pel
LAT E
X-k
odK
omm
enta
r
Enkl
arä
knes
ätt
a+
ba+b
a−
ba-b
a±
ba\pm
b
a·b
a\cdot
b
a/b
a/b
1 2\frac{1}{2}
Lite
tbyg
gtbr
åka b
\dfrac{a}{b}
Stor
tbyg
gtbr
åk
(a)
(a)
Skal
bara
pare
ntes
er:
\left(...\right)
Jäm
före
lset
ecke
na=
ba=b
a6=
ba\ne
bA
ltern
ativ
t:a\not=b
a<
ba<
bO
bs.m
ella
nsla
gef
ter
”<”
a≤
ba\le
b
a>
ba>b
a≥
ba\ge
b
Pote
nser
och
rött
erxn
x^{n}
√x
\sqrt{x}
n√x
\sqrt[n]{x}
Inde
xx n
x_{n}
Loga
ritm
erlg
x\lg
x
lnx
\ln
x
log
x\log
x
log a
x\log_{a}
x
Trig
onom
etri
30◦
30^{\circ}
cos
x\cos
x
sin
x\sin
x
147
tan
x\tan
x
cotx
\cot
x
Pila
r⇒
\Rightarrow
⇐\Leftarrow
⇔\Leftrightarrow
Div
erse
sym
bole
rπ
\pi
α,β
,θ,ϕ
\alpha,
\beta,
\theta,
\varphi
Exem
pel2
a)1±
3·5
skri
vs<math>1\pm
3\cdot
5</math>
b)1 2y6=
x≤
zsk
rivs
<math>\frac{1}{2}y\ne
x\le
z</math>
c)213
√3+
lny
skri
vs<math>2^{13}\sqrt{3}+\ln
y</math>
d)ta
n30
◦+
cotπ
skri
vs<math>\tan
30^{\circ}+\cot\pi</math>
Att
skri
vako
mpl
icer
ade
uttr
yck
Gen
omat
tkom
bine
raen
kla
uttr
yck
kan
visk
riva
mer
kom
plex
aut
tryc
k.
Exem
pel3
a)√
x+
2sk
rivs
<math>\sqrt{x+2}</math>
b)(a
2 )3=
a6sk
rivs
<math>(a^2)^3=a^6</math>
c)222
skri
vs<math>2^{2^2}</math>
d)si
n√
xsk
rivs
<math>\sin\sqrt{x}</math>
Exem
pel4
a)√
x+√
xsk
rivs
<math>\sqrt{x+\sqrt{x}}</mat
h>
148
b)x−
x2√
3sk
rivs
<math>\dfrac{x-x^2}{\sqrt{
3}}<
/mat
h>
c)x
x+
1 x
skri
vs<math>\dfrac{x}{x+\dfrac{1}{
x}}<
/mat
h>
d)x 1
,2=
−p 2±
√(
p 2
) 2−
qsk
rivs
<math>x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}
\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2
}\ri
ght)
^2-q
}</m
ath>
Van
liga
mis
stag
Etta
vde
vanl
igas
tem
isst
agen
när
man
skri
ver
mat
emat
ikid
enna
spec
iella
synt
axär
attg
löm
ma
star
ttag
gen<math>
och
slut
tagg
en</math>.
Glö
min
tehe
llera
ttst
arta
kom
man
don
med
omvä
ntsn
edst
reck
(\)o
chat
tläg
gatil
let
tmel
lans
lag
efte
rkom
man
don
(om
dein
tedi
rekt
följs
avyt
terl
igar
eet
tkom
man
do).
Ett
anna
tva
nlig
tfe
lär
att
anvä
nda
enas
teri
sk(*
)is
tälle
tfö
rm
ultip
likat
ions
teck
-ne
t·(
\cdot
iLA T
EX).
Exem
pel5
LAT E
XR
esul
tat
a)G
löm
inte
omvä
ntsn
edst
reck
(\)
sin
xsi
nx
Kom
ihåg
mel
lans
lag
efte
ret
tkom
man
do\sinx
Erro
r
Skri
v\sin
xsi
nx
b)Sk
riv
inte
mul
tiplik
atio
nm
edas
teri
sk
4*3
4∗3
Skri
v4\cdot
34·3
c)M
ultip
likat
ions
teck
ensk
rivs
norm
alti
nte
utm
ella
nva
riab
ler
a\cdot
ba·b
Skri
vab
ab
149
Expo
nent
eroc
hin
dex
För
att
skri
vaen
expo
nent
anvä
nder
du^
följt
avex
pone
nten
och
för
att
skri
vain
-de
xan
vänd
erdu
_fö
ljtav
inde
xet.
Om
expo
nent
enel
ler
inde
xet
best
årav
fler
änen
sym
bol
mås
tede
tin
nesl
utas
med
klam
mer
pare
ntes
er(ä
ven
kalla
dem
åsvi
ngar
elle
rkr
ullp
aren
tese
r){}
.En
spec
iell
typ
avex
pone
ntär
grad
teck
net(
◦ ).D
etsk
rivs
^{\circ}
.
Exem
pel6
LAT E
XR
esul
tat
a)U
telä
mna
inte
^a2
a2
Skri
va^2
a2
b)U
telä
mna
inte
_x1
x1
Skri
vx_1
x 1
c)G
löm
inte
klam
mer
pare
ntes
era^22
a2 2
Skri
va^{22}
a22
d)A
nvän
din
te”o
”so
mgr
adte
cken
30^{o}
30o
Anv
änd
inte
”0”
som
grad
teck
en30^{0}
300
Skri
v30^{\circ}
30◦
Pare
ntes
er
Imer
kom
plex
aut
tryc
kär
detv
iktig
tatt
setil
latt
varj
evä
nste
rpar
ente
s”(
”ba
lans
eras
aven
mot
svar
ande
höge
rpar
ente
s”)
”.En
pare
ntes
som
avgr
änsa
ret
tsto
rtut
tryc
ksk
ava
ralik
ast
orso
mut
tryc
ket.
För
att
åsta
dkom
ma
dett
aan
vänd
ervi
prefi
xfr
amfö
rpa
rent
eser
na.
Vid
väns
terp
aren
tese
nsk
rive
rdu
\left
fram
för
och
vid
höge
rpar
ente
sen\right
.Då
kom
mer
dufå
ett
par
skal
bara
pare
ntes
erso
man
pass
arsi
nhö
jdef
ter
uttr
ycke
tsst
orle
k.N
oter
aat
tkl
amm
erpa
rent
eser
{}oc
hin
teva
nlig
apa
rent
eser
()an
vänd
sfö
rat
tav
grän
saar
gum
entt
illko
mm
ando
n.
150
Exem
pel7
LAT E
XR
esul
tat
a)V
arno
gam
edan
tale
tpa
rent
eser
(1-(1-x)
(1−(1
−x)
Skri
v(1-(1-x))
(1−(1
−x))
b)Lå
tpar
ente
sern
ava
ralik
ast
ora
som
uttr
ycke
t(\dfrac{a}{b}+c)
(a b+
c)
Skri
v\left(\dfrac{a}{b}+c\right
)( a b
+c)
c)V
anlig
apa
rent
eser
avgr
änsa
rin
tear
gum
ent
\frac(1)(2)
( 1)(
2)
Skri
v\frac{1}{2}
1 2
d)V
anlig
apa
rent
eser
avgr
änsa
rin
tear
gum
ent
\sqrt(a+b)
√(a
+b)
Und
vik
onöd
iga
pare
ntes
er\sqrt{(a+b)}
√(a
+b)
Skri
v\sqrt{a+b}
√a+
b
Bråk
Entu
mre
gelä
rat
tbr
åkdä
rnä
mna
reoc
htä
ljare
inne
hålle
ren
dast
ett
fåta
lsiff
ror
ska
skri
vas
som
små
bråk
(\frac
),m
edan
andr
abr
åksk
ava
rast
ora
(\dfrac)
.O
men
expo
nent
elle
rin
dex
inne
hålle
ret
tbrå
kbö
rbr
åket
skri
vas
med
sned
stre
ck(t
.ex.
5/2
istä
lletf
ör5 2)f
örat
töka
läsb
arhe
ten.
151 Ex
empe
l8
LAT E
XR
esul
tat
a)Si
ffer
bråk
skri
vsin
test
ora
\dfrac{1}{2}
1 2
Skri
v\frac{1}{2}
1 2
(Und
anta
g:O
mbr
åket
står
bred
vid
ett
stor
tut
tryc
kså
bör
dusk
riva
bråk
etso
met
tsto
rtbr
åk.)
b)Bo
ksta
vsbr
åksk
rivs
inte
små
\frac{a}{b}
a b
Skri
v\dfrac{a}{b}
a b
c)K
ompl
icer
ade
bråk
skri
vsin
tesm
å\frac{\sqrt{3}}{2}
√3 2
Skri
v\dfrac{\sqrt{3}}{2}
√3 2
d)In
gaby
ggda
bråk
iex
pone
nter
a^{\frac{1}{2}}
a1 2
Skri
va^{1/2}
a1/2
Råd
för
inlä
snin
gen
Ett
råd
ärat
tte
sta
att
skri
vam
atem
atis
kafo
rmle
ri
foru
met
och
iw
ikin
som
tillh
ördi
nin
divi
duel
laup
pgif
t.
Länk
tips
■En
mer
utfö
rlig
lista
avm
atem
atik
kom
man
don
iLA
T EX
finns
påW
i-ki
pedi
ashj
älps
idor
(http://en.wikipedia.org/w
iki/
Help
:Dis
play
ing_
a_formula)
152
■M
erin
gåen
dein
form
atio
nom
LAT E
Xm
atem
atik
kan
hitt
asie
ttka
pite
lav
boke
nTh
eLA T
EXC
ompa
nion
(http://www.cism.it/cism/v
olco
nts/
ch8.
pdf)
och
ente
xtav
Her
bert
Voss
(http://www.tex.ac.uk/tex-
arch
ive/
info/math/voss/mathmode/Math
mode
).
■V
illdu
veta
mer
omLA
T EX
kan
dube
söka
dess
aw
ebbs
idor
:W
iki-
pedi
a(http://en.wikipedia.org/w
iki/
LaTe
X),
The
not
soSh
ort
In-
trod
uctio
nto
LAT E
X(http://www.ctan.org/tex-a
rchive
/inf
o/ls
hort
/english/lshort.pdf
)oc
hLA
T EX
Wik
iboo
k(http://en.wikibooks.org/
wiki/LaTeX
).
■D
enim
plem
enta
tion
avLA
T EX
mat
emat
ikso
man
vänd
siw
ikin
pånä
tetä
rjs
Mat
h(http://www.math.union.edu/~
dpvc
/jsM
ath)
.
153
5.1
Övn
inga
r
Övn
ing
5.1:
1
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)2−
3+
4b)
−1+
0,3
c)−
5−(−
3)=
−5+
3d)
5/2+
1>
5/(2
+1)
Övn
ing
5.1:
2
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)3·4
±4
b)4x
2−√
x
c)4·3
n≥
n3d)
3−(5
−2)
=−(−
3+
5−
2)
Övn
ing
5.1:
3
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)x+
1x2
−1=
1x−
1b)
(5 x−
1)(1
−x)
c)1 2
1 3+
1 4
d)1
1+
11+
x
Övn
ing
5.1:
4
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)si
n2 x+
cos
xb)
cosv
=co
s3π 2
c)co
t2x=
1ta
n2x
d)ta
nu 2=
sin
u1+
cosu
Övn
ing
5.1:
5
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)√
4+
x2b)
n√x+
y6=
n√x+
n√y
c)√√
3=
4√3
d)(
4√3) 3
3√2+√
2
Övn
ing
5.1:
6
Skri
vfö
ljand
efo
rmle
riL
A TEX
a)ln(4
·3)=
ln4+
ln3
b)ln(4
−3)
6=ln
4−
ln3
c)lo
g 24=
ln4
ln2
d)2lo
g 24=
4
154
Övn
ing
5.1:
7
Kor
rige
rafö
ljand
em
atem
atis
kako
dsk
rive
niL
A TEX
a)4^{\frac{3}{4}}(1-(3-4)
b)2*sqrt(a+b)
c)cotx
=\dfrac{1}{2}Sin
20^{o}
155 5.2
Mat
emat
isk
text
Inne
håll
:
■R
egle
rkr
ing
form
ater
ing
avm
atem
atis
kate
xt■
God
arå
din
för
skri
vand
etav
enlö
snin
g■
Van
liga
fel
Lära
ndem
ål:
Efte
rde
tta
avsn
ittsk
adu
halä
rtdi
gat
t:
■Pr
esen
tera
enm
atem
atis
kte
xt■
Förk
lara
tank
egån
gen
bako
men
lösn
ing
God
arå
d
Förk
lara
din
lösn
ing
Det
vikt
igas
terå
detä
r:
Förk
lara
din
lösn
ing.
Lösn
inge
nsk
ain
teba
rava
raen
redo
visn
ing
avvi
lka
form
ler
som
duan
vänt
,uta
noc
kså
enbe
skri
vnin
gav
hur
duha
rtä
nkt.
Anv
änd
ord
tilld
etta
!För
attf
årä
ttni
våpå
lösn
inge
n:tä
nkdi
gat
tdu
förk
lara
rlö
snin
gen
för
enkl
assk
ompi
sso
mha
rlit
esv
årta
tthä
nga
med
ialla
steg
.Du
ska
allts
åin
tefö
rkla
ram
inst
alil
larä
kneo
pera
tion
men
inte
helle
rho
ppa
över
vikt
iga
steg
.Ly
der
duba
rarå
det
ovan
såha
rdu
gjor
t80
%av
vad
som
kräv
sfö
rat
tsk
riva
enfu
llgod
lösn
ing.
Skri
vgo
dsv
ensk
a
Äve
nom
dett
ain
teär
enin
läm
ning
supp
gift
isve
nska
och
attd
etsj
älvk
lart
ärde
tmat
e-m
atis
kain
nehå
llets
omär
vikt
igas
tså
ska
dutä
nka
påsa
ker
som
stav
fel,
gram
mat
iska
felo
sv.O
mdi
nlö
snin
gha
ral
ltför
mån
gasp
råkl
iga
felf
örsä
mra
rde
tkom
mun
ikat
io-
nen
med
läsa
ren
och
påve
rka
även
lösn
inge
nstr
ovär
digh
et.
156
Ren
skri
vlö
snin
gen
Efte
rat
tdu
löst
uppg
ifte
nbö
rdu
skri
vaom
lösn
inge
npå
nytt
.Då
kan
dubä
ttre
kon-
cent
rera
dig
påhu
rdu
pres
ente
rar
din
tank
egån
goc
hka
nske
även
förb
ättr
adi
nur
-sp
rung
liga
lösn
ing.
Ett
tips
ärat
tbe
någo
nan
nan
läsa
din
lösn
ing
för
att
uppt
äcka
okla
rhet
er.
Det
ärbr
aat
tsk
juta
upp
pres
enta
tions
fase
ntil
lse
nare
såat
tnä
rdu
lö-
ser
uppg
ifte
nfö
rsta
gång
enka
nar
beta
fria
reoc
hbe
höve
rin
tebi
nda
upp
dig
vid
ett
best
ämts
ätta
ttlö
saup
pgif
ten
på.
När
dusk
rive
rin
lösn
inge
n,gö
rde
tso
mte
xtoc
hin
teso
msk
ärm
dum
par
från
din
ordb
ehan
dlar
e.V
isse
rlig
enka
nde
tvar
aen
klar
eat
tskr
iva
lösn
inge
npå
din
egen
dato
rif
avor
itpro
gram
met
,men
tänk
påat
tlös
ning
ensk
aha
nter
asav
enlä
rare
unde
rrä
ttni
ngen
.
Ettt
ydli
gtsv
ar
Skri
vet
ttyd
ligts
varp
åsl
utet
.Det
taär
spec
iellt
vikt
igto
mlö
snin
gen
ärlå
ngoc
hsv
aret
finns
utsp
ritt
ite
xten
.D
etfin
nsdo
ckup
pgif
ter
där
själ
valö
snin
gen
ärsv
aret
(t.e
x.”V
isa
att.
..”)
och
dåbe
hövs
förs
tås
inge
tsep
arat
svar
påsl
utet
.För
enkl
aoc
kså
svar
etså
lång
tsom
möj
ligt.
Exem
pel1
a)√
8fö
renk
las
till
2√2.
b)si
n2 x+
cos2 x
+2
sin
2xfö
renk
las
till
1+
2si
n2x
.
c)x=
{π
/4+
nπ3π
/4+
nπ(n
helta
l)fö
renk
las
till
x=
π/4
+nπ
/2(n
helta
l).
Pröv
aoc
hko
ntro
ller
ade
lste
goc
hsv
ar
Ibla
ndnä
rm
anlö
ser
viss
aek
vatio
ner
dyke
rde
tup
ps.
k.fa
lska
rött
erso
men
kon-
sekv
ens
avde
tlö
snin
gssä
ttso
mm
anan
vänt
.Ide
ssa
fall,
förk
lara
varf
örev
entu
ella
fals
karö
tter
kan
finna
soc
hpr
öva
lösn
inga
rna
för
atts
evi
lka
som
ärri
ktig
alö
snin
gar
och
vilk
aso
mär
fals
karö
tter
.En
anna
nsa
kat
tse
upp
med
ärut
ebliv
nalö
snin
gar.
T.ex
.om
enfa
ktor
ibåd
ale
die
nek
vatio
nfö
rkor
tas
bort
såri
sker
arlö
snin
garn
aso
mge
sav
när
fakt
orn
ärno
llat
tfö
rsvi
nna.
157 Ex
empe
l2
Om
dulö
ser
ekva
tione
n2x
2−
5x=
0ge
nom
attf
örst
flytt
a5x
tillh
öger
lede
t,
2x2=
5x,
och
förk
orta
bort
xib
åda
led,
2x=
5,
såfö
rlor
ardu
lösn
inge
nx=
0.O
mdu
istä
lletf
akto
rise
rar
väns
terl
edet
,
x(2x
−5)
=0,
såka
ndu
avlä
sabå
dalö
snin
garn
a:x=
0oc
h2x
−5=
0(d
vs.x
=5 2).
Läs
mer
omfa
ktor
iser
ing
ilös
ning
sför
slag
ettil
lövn
ing
2.1:
3.
Envi
ktig
dela
vup
pgif
ten
ärat
tfun
dera
utm
etod
erfö
rat
tiri
mlig
utst
räck
ning
kon-
trol
lera
svar
et.T
illex
empe
l,st
oppa
inlö
snin
gen
iekv
atio
nen
och
förv
issa
sig
omat
tde
tver
klig
enär
enlö
snin
gef
ters
omm
anka
nju
harä
knat
fel(
förv
äxla
dock
inte
dett
am
edpr
övni
ngen
avfa
lska
rött
er).
Det
taka
nm
anoc
kså
göra
för
dels
var
ien
lösn
ing.
Enan
nan
sak
ärat
tbe
döm
aom
svar
etär
rim
ligt.
Stop
pain
värd
enpå
viss
apa
-ra
met
rar
och
seat
tm
anfå
rrä
ttsv
ar(v
adhä
nder
oma=
0,a=
1el
ler
agå
rm
otoä
ndlig
hete
n?).
Rit
aty
dlig
afig
urer
Enfig
urka
nof
tafö
rkla
rain
förd
abe
teck
ning
arbä
ttre
änte
xt,s
åan
vänd
gärn
afig
urer
.Tä
nkdo
ckpå
attr
itade
mty
dlig
aoc
höv
erla
sta
inte
enfig
urm
edal
ltför
mån
gade
tal-
jer.
Det
kan
vara
bätt
reat
tha
flera
näst
anlik
adan
afig
urer
som
var
och
enill
ustr
erar
ensa
kän
enst
orko
mbi
natio
nsfig
urso
msk
afö
rkla
raal
lt.
Beh
andl
afo
rmle
rso
men
dela
vte
xten
Det
ärvi
ktig
tat
tdu
skri
ver
din
lösn
ing
pået
tsä
ttso
mgö
rde
ten
kelt
för
andr
aat
tfö
ljam
edir
eson
eman
gen.
Ned
anpr
esen
tera
rvi
någr
aex
empe
lpå
hur
man
ska
och
inte
ska
fram
stäl
late
xten
när
man
anvä
nder
form
ler
isin
lösn
ing.
God
arå
dkr
ing
form
ler
och
text
■Sk
riv
förk
lara
nde
text
påra
den
inna
nen
fris
tåen
defo
rmel
158
■Tä
nkpå
hur
dusk
rive
rut
punk
toch
kom
ma
■Sk
riv
fris
tåen
defo
rmle
rnå
goti
ndra
gna
(elle
rce
ntre
rade
)
Form
ler
bör
inte
ses
som
någo
tso
mhä
ngs
påte
xten
(elle
rtv
ärt
om)
utan
både
text
och
form
ler
ska
inte
grer
assa
mm
anie
ttlin
järt
flöde
.Skr
ivdä
rför
inte
förk
lara
nde
text
inom
pare
ntes
eref
ter
form
ler
utan
istä
lletp
åra
den
inna
n.
Skri
vin
te
form
el(t
extt
extt
extt
extt
extt
ext.
..)
form
el(t
extt
extt
extt
extt
extt
ext.
..)
Skri
vis
täll
et
Text
text
text
text
...
form
el.
Text
text
text
text
...
form
el.
Form
ler
kan
antin
gen
skri
vas
inne
ide
nlö
pand
ete
xten
elle
rfr
istå
ende
.N
ärfo
rm-
ler
skri
vsfr
istå
ende
ham
nar
depå
eneg
enra
doc
han
tinge
nce
ntre
rade
elle
rnå
got
indr
agna
.
Skri
v
...t
extt
extt
ext f
orm
elte
xt.
Text
text
text
form
el
text
text
text
text
text
text
...
(Not
era
hur
indr
agni
ngen
fram
häve
rbå
dede
nfö
rkla
rand
ete
xten
och
form
eln.
)
Ettv
anlig
tfel
ärat
tanv
ända
kolo
nfr
amfö
ral
lafr
istå
ende
form
ler.
159 Sk
riv
inte
...v
ilket
ger
att:
form
el
Näs
tast
egär
...
(Obs
erve
raat
tdet
ocks
åbe
hövs
enpu
nkte
fter
form
eln
ovan
.)
Efte
rsom
enfo
rmel
ska
vara
ende
lav
text
enså
ingå
rde
nso
men
dela
vm
enin
gen.
Tänk
därf
örpå
hur
duan
vänd
ersk
iljet
ecke
n.Ex
empe
lvis
,glö
min
teat
tsä
tta
uten
punk
teft
eren
form
elom
den
avsl
utar
enm
enin
g.
Skri
v
...o
chdä
rför
är
form
el.
Näs
tast
egär
...
(Not
era
punk
ten
efte
rfo
rmel
n.)
Etto
fog
ärat
tien
lösn
ing
anvä
nda
över
driv
ennu
mre
ring
,t.e
x.sä
tta
uten
siff
rafr
am-
för
varj
een
skilt
steg
(num
reri
ngbö
ran
vänd
asvi
den
ren
uppr
äkni
ng).
De
extr
asi
ff-
rorn
atil
lför
ofta
inge
tut
anbl
irm
est
dist
rahe
rand
e.M
anbe
höve
rsä
llan
refe
rera
till-
baka
tille
nski
lda
steg
,och
behö
ver
man
det
kan
man
ofta
skri
vaex
empe
lvis
”när
vikv
adre
rade
ekva
tione
n”os
v.
Skri
vin
te
3.te
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xt..
.
form
el
4.te
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xtte
xt..
.
Ibla
ndvi
llm
anre
fere
ratil
lbak
atil
len
viss
fris
tåen
defo
rmel
och
dåka
nm
annu
mre
rade
nm
eden
siff
ra(e
ller
stjä
rna)
inom
pare
ntes
erih
öger
elle
rvä
nste
rm
argi
nal.
Skri
v
...t
extt
extt
extt
extt
extt
extt
extt
ext
160
form
el.
(1)
Text
text
(1)t
extt
extt
extt
extt
extt
ext
form
el.
Text
text
text
text
text
text
text
text
...
Van
liga
fel
Var
nogg
rann
med
pila
roc
hli
khet
er
Det
ärsk
illna
dm
ella
n⇒
(im
plik
atio
n),⇔
(ekv
ival
ens)
och=
(lik
am
ed).
Mel
lan
två
ekva
tione
rso
mm
anpå
förh
and
veth
arsa
mm
alö
snin
gar
anvä
nds
ekvi
vale
nspi
len⇔
för
atts
igna
lera
dett
a.O
mvi
däre
mot
skri
ver
”ekv
atio
n1⇒
ekva
tion
2”så
bety
der
deta
ttal
lalö
snin
gar
som
ekva
tion
1ha
rha
roc
kså
ekva
tion
2,m
enek
vatio
n2
kan
dess
utom
hafle
rlö
s-ni
ngar
.
Exem
pel3
a)x+
5=
3⇔
x=
−2
b)x2
−4x
−1=
0⇔
(x−
2)2−
5=
0
c)√
x=
x−
2⇒
x=
(x−
2)2
Oft
ask
rive
rm
anin
teut
⇔m
ella
ntv
åra
der
som
dire
ktfö
ljer
efte
rva
rand
raef
ters
omek
viva
lens
endå
ärun
derf
örst
ådd.
Mån
gagå
nger
ärde
tock
såbä
ttre
atta
nvän
dafö
r-kl
aran
dete
xtis
tälle
tför
pila
rm
ella
nol
ika
steg
ilös
ning
en.A
nvän
din
teim
plik
atio
ns-
pile
n⇒
som
enal
lmän
fort
sätt
ning
ssym
bol(
ibet
ydel
sen
”sed
anha
rvi
”).
Likh
etst
eckn
et(=
)anv
änds
itvå
bety
dels
er,d
elsm
ella
nsa
kers
omär
iden
tiskt
lika,
t.ex.(x
−2)
2=
x2−
4x+
4so
mgä
ller
för
alla
x,de
lsie
kvat
ione
rdä
rbå
dale
där
lika
för
viss
ax,
exem
pelv
is(x
−2)
2=
4so
mba
ragä
ller
för
x=
0el
ler
x=
4.D
usk
ain
tebl
anda
dess
atv
åol
ika
anvä
ndni
ngar
avsa
mm
ate
cken
.
Exem
pel4
Skri
vin
tex2
−2x
+1=
(x−
1)2=
4
161 nä
rdu
löse
rek
vatio
nen
x2−
2x+
1=
4,ef
ters
omde
tdå
läm
nar
öppe
tfö
rm
iss-
tolk
ning
ar.
Skri
vhe
llre
x2−
2x+
1=
4⇔
(x−
1)2=
4.
(Det
finns
ocks
åen
tred
jean
vänd
ning
avlik
hets
teck
net
som
före
kom
mer
när
man
defin
iera
ret
tutt
ryck
elle
rt.e
x.en
oper
atio
n.)
Enke
lpile
n(→
)anv
änds
imat
emat
iken
ofta
stvi
dol
ika
type
rav
grän
svär
den;
a→
∞be
tyde
rat
ta
växe
rob
egrä
nsat
(går
mot
oänd
lighe
ten)
.Du
kom
mer
trol
igtv
isin
tebe
höva
anvä
nda
enke
lpile
nid
enna
kurs
.
Slar
vain
tem
edpa
rent
eser
Efte
rsom
mul
tiplik
atio
noc
hdi
visi
onha
rhö
gre
prio
rite
tän
addi
tion
och
subt
rakt
ion
ärde
tnöd
vänd
igta
ttst
oppa
inpa
rent
eser
omm
anvi
llat
tadd
ition
en/s
ubtr
aktio
nen
ska
utfö
ras
förs
t.Ef
ters
omvi
har
denn
are
gel
såsk
adu
inte
helle
rha
med
onöd
iga
pare
ntes
er.
Exem
pel5
a)Sk
riv
inte
1+
x/co
sx
när
dueg
entli
gen
men
ar(1
+x)
/cos
x.
b)Sk
riv
inte
1+(1
/sin
x)nä
rde
tta
bätt
resk
rivs
som
1+
1/si
nx
(äve
nom
det
förr
ask
rivs
ätte
t,fo
rmel
ltse
tt,i
nte
ärfe
lakt
igt)
.
Ibok
stav
sutt
ryck
utel
ämna
rman
ofta
mul
tiplik
atio
nste
ckne
t.Ex
empe
lvis
skri
verm
annä
stan
aldr
ig4·x
·y·z
utan
4xyz
.Det
taut
eläm
nade
mul
tiplik
atio
nste
cken
bind
erih
oput
tryc
khå
rdar
eän
mul
tiplik
atio
noc
hdi
visi
on(m
enin
teup
phöj
ttil
l).N
ärdu
därf
örsk
rive
r1/
2Rså
bety
der
det1
/(2
R)
och
inte
(1/2
)R.E
fter
som
dett
aka
nva
raen
källa
till
mis
sför
stån
dså
ärde
tin
tehe
ltov
anlig
tat
tm
ansk
rive
rut
pare
ntes
erna
ibå
dasi
tuat
ione
rna
(äve
nom
dest
rikt
sett
bara
ärnö
dvän
diga
idet
ena
uttr
ycke
t).
Arg
umen
ttil
lde
vanl
iga
elem
entä
rafu
nktio
nern
ask
rive
rm
anut
anpa
rent
eser
.D
ärfö
rsk
adu
inte
skri
va
cos(
x),
sin(
x),
tan(
x),
cot(
x),
lg(x)
och
ln(x)
utan
cos
x,si
nx,
tan
x,co
tx,
lgx
och
lnx.
Det
ärt.o
.m.s
åat
tm
ansk
rive
rco
s2x
och
inte
cos(
2x)
(eft
erso
m2x
äret
ttä
ttih
op-
satt
uttr
yck)
,m
endä
rem
otär
pare
ntes
erna
nödv
ändi
ganä
rm
ansk
rive
rsi
n(x+
y),
sin(
x/2)
,sin(−
x)el
ler(s
inx)
2(s
omdu
,alte
rnat
ivt,
kan
skri
vaso
msi
n2 x).
162
Råd
för
inlä
snin
gen
Läs
gärn
aav
snitt
etbå
dein
nan
och
efte
rat
tdu
skri
ver
lösn
inge
ntil
ldin
inlä
m-
ning
supp
gift
.
Länk
tips
■En
vide
okur
si
hur
man
skri
ver
mat
emat
ikav
Don
ald
Knu
th(http:
//scpd.stanford.edu/knuth/in
dex.
jsp)
.K
ompe
ndie
tso
mhö
rtil
lku
rsen
finns
tillg
ängl
igt
ikä
llfor
m(http://www-
cs-f
aculty.stanf
ord.
edu/~knuth/papers/mathwritin
g.te
x.gz
)el
ler
iut
drag
från
Goo
gle
book
s(http://books.google.com/boo
ks?i
d=dD
OehH
MbUM
cC&p
rint
sec=
frontcover&dq=inauthor:Donal
d+in
auth
or:E
rvin
+ina
utho
r:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqP
PhM8
M&hl
=sv#
PPP9
,M1)
.
163
5.2
Övn
inga
r
Övn
ing
5.2:
1
Vilk
enav
pila
rna⇒
,⇐el
ler⇔
ska
sätt
asin
mel
lan
följa
nde
ekva
tione
r?(I
stäl
let
för
fråg
etec
knen
)
a)ta
nx(
sin
x+
1)=
tan
x?
sin
x+
1=
1
b)√
x−
1=
x+
1?
x−
1=
(x+
1)2
c)x2
−6x
+1=
0?
(x−
3)2−
9+
1=
0
Övn
ing
5.2:
2
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
Övn
ing
5.2:
3
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
164
Övn
ing
5.2:
4
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
Övn
ing
5.2:
5
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
Övn
ing
5.2:
6
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
165
Övn
ing
5.2:
7
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
Övn
ing
5.2:
8
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
166
Övn
ing
5.2:
9
Kri
tiser
afö
ljand
eut
drag
uren
stud
ents
lösn
ing
167 Fa
citt
illö
vnin
gsup
pgif
ter
Num
eris
krä
knin
g
1.1:
1a)
−7
b)1
c)11
d)1
1.1:
2a)
0b)
−1
c)−
25d)
−19
1.1:
3a)
natu
rlig
,hel
tal,
ratio
nell
b)he
ltal,
ratio
nell
c)na
turl
ig,h
elta
l,ra
tione
lld)
helta
l,ra
tione
lle)
helta
l,ra
tione
llf)
natu
rlig
,hel
tal,
ratio
nell
1.1:
4a)
ratio
nell
b)na
turl
ig,h
elta
l,ra
tione
llc)
irra
tione
lld)
natu
rlig
,hel
tal,
ratio
nell
e)ir
ratio
nell
f)ir
ratio
nell
1.1:
5a)
3 5<
5 3<
2<
7 3
b)−
1 2<
−1 3<
−3 10<
−1 5
c)1 2<
3 5<
21 34<
5 8<
2 3
1.1:
6a)
1,16
7b)
2,25
0c)
0,28
6d)
1,41
4
1.1:
7a)
ratio
nellt
,31
410
0=
157
50
b)ra
tione
llt,
3141
399
99=
1047
133
33
c)ra
tione
llt,
1999
9990
d)ir
ratio
nellt
1.2:
1a)
93 28b)
3 35c)
−7 30
d)47 60
e)47 84
1.2:
2a)
30b)
8c)
84d)
225
1.2:
3a)
19 100
b)1 240
1.2:
4a)
6 7b)
16 21c)
1 6
1.2:
5a)
105 4
b)−
5c)
8 55
1.2:
615
235
1.3:
1a)
72b)
3c)
−12
5d)
27 8
1.3:
2a)
26b)
2−2
c)20
1.3:
3a)
3−1
b)35
c)34
d)3−
3
e)3−
3
1.3:
4a)
4b)
3c)
625
d)16
e)1
3750
1.3:
5a)
2b)
1 2c)
27d)
2209
e)9
f)25 3
1.3:
6a)
2561/
3>
2001/
3
b)0,
4−3>
0,5−
3
c)0,
25>
0,27
d)( 51/
3)4>
4001/
3
e)12
51/2>
6251/
3
f)340
>256
Alg
ebra
2.1:
1a)
3x2−
3xb)
xy+
x2 y−
x3 yc)
−4x
2+
x2 y2
d)x3 y
−x2 y
+x3 y2
e)x2
−14
x+
49f)
16y2
+40
y+
25g)
9x6−
6x3 y2
+y4
h)9x
10+
30x8
+25
x6
2.1:
2a)
−5x
2+
20b)
10x−
11c)
54x
d)81
x8−
16e)
2a2+
2b2
2.1:
3a)
(x+
6)(x
−6)
b)5(
x+
2)(x
−2)
c)(x
+3)
2
d)(x
−5)
2
e)−
2x(x
+3)(x
−3)
f)(4
x+
1)2
2.1:
4a)
5fr
amfö
rx2
,3
fram
för
xb)
2fr
amfö
rx2
,1
fram
för
x
168
c)6
fram
för
x2,
2fr
amfö
rx
2.1:
5a)
11−
xb)
−1
y(y+
2)
c)3(
x−
2)(x
−1)
d)2(
y+
2)y2
+4
2.1:
6a)
2yb)
−x+
12(x
−2)(x
+3)
c)b
a(a−
b)d)
a(a+
b)4b
2.1:
7a)
4(x
+3)(x
+5)
b)x4
−x3
+x2
+x−
1x2(x
−1)
c)ax(a
+1−
x)(a
+1)
2
2.1:
8a)
x(x
+3)(x
+1)
b)2(
x−
3)x
c)x+
22x
+3
2.2:
1a)
x=
1b)
x=
6c)
x=
−3 2
d)x=
−13 3
2.2:
2a)
x=
1b)
x=
5 3c)
x=
2d)
x=
−2
2.2:
3a)
x=
9b)
x=
7 5c)
x=
4 5d)
x=
1 2
2.2:
4a)
−2x
+y=
3b)
y=
−3 4
x+
5 4
2.2:
5a)
y=
−3x
+9
b)y=
−3x
+1
c)y=
3x+
5d)
y=
−1 2
x+
5e)
k=
8 5
2.2:
6a)
( −5 3,0)
b)(0
,5)
c)( 0,
−6 5
)
d)(1
2,−
13)
e)( −
1 4,3 2
)
2.2:
7a)
x
y
b)x
y
c)x
y
2.2:
8a)
x
y
b)x
y
169
c)x
y
2.2:
9a)
4a.
e.b)
5a.
e.c)
6a.
e.
2.3:
1a)
(x−
1)2−
1b)
(x+
1)2−
2c)
−(x
−1)
2+
6d)
( x+
5 2
) 2−
13 4
2.3:
2a)
{x 1
=1
x 2=
3b)
{y 1
=−
5y 2
=3
c)sa
knar
(ree
lla)l
ösni
ng
d){
x 1=
1 2
x 2=
13 2
e){
x 1=
−1
x 2=
3 5
f){
x 1=
4 3x 2
=2
2.3:
3a)
{x 1
=0
x 2=
−3
b){
x 1=
3x 2
=−
5
c){
x 1=
2 3x 2
=−
8d)
{x 1
=0
x 2=
12
e){
x 1=
−3
x 2=
8f)
x 1=
0x 2
=1
x 3=
2
2.3:
4a)
ax2−
ax−
2a=
0,
b)ax
2−
2ax−
2a=
0,
c)ax
2−(3
+√
3)a
x+
3√3
a=
0,
där
a6=
0är
enko
nsta
nt.
2.3:
5a)
Exem
pelv
isx2
+14
x+
49=
0b)
xso
mup
pfyl
ler
3<
x<
4c)
b=
−5
2.3:
6a)
0b)
−2
c)3 4
2.3:
7a)
1b)
−7 4
c)sa
knar
max
2.3:
8a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
2.3:
9a)
(−1,
0)oc
h(1
,0)
b)(2
,0)
och
(3,0)
c)(1
,0)
och
(3,0)
2.3:
10a)
x
y
170
b)x
y
c)x
y
d)x
y
Röt
ter
och
loga
ritm
er
3.1:
1a)
21/2
b)7
5/2
c)3
4/3
d)31/
4
3.1:
2a)
3b)
3c)
ejde
finie
rad
d)511
/6
e)12
f)2
g)−
5
3.1:
3a)
3b)
4√3/
3c)
2√5
d)2−√
2
3.1:
4a)
0,4
b)0,
3c)
−4√
2d)
2√3
3.1:
5a)
√3/
3b)
72/3 /7
c)3−√
7d)
(√17
+√
13)/
4
3.1:
6a)
6+
2√2+
3√5+√
10b)
−(5
+4√
3)/
23
c)2 3
√6+
2 3
√3−
2 5
√10
−2 5
√5
d)(5√
3+
7√2−√
6−
12)/
23
3.1:
7a)
√5−√
7b)
−√
35c)
√17
3.1:
8a)
3√6>
3√5
b)7>
√7
c)√
7>
2,5
d)3√
2·3
>√
2( 4√3) 3
3.2:
1x=
5
3.2:
2x=
1
3.2:
3{
x 1=
3x 2
=4
3.2:
4sa
knar
lösn
ing.
3.2:
5x=
1
3.2:
6x=
5 4
3.3:
1a)
x=
3b)
x=
−1
c)x=
−2
d)x=
4
3.3:
2a)
−1
b)4
c)−
3d)
0e)
2f)
3g)
10h)
−2
3.3:
3a)
3b)
−1 2
c)−
3d)
7 3e)
4f)
−2
g)1
h)5 2
3.3:
4a)
1b)
0c)
−1 2
lg3
3.3:
5a)
5b)
0c)
0d)
0e)
−2
f)e2
3.3:
6a)
1,26
2b)
1,66
3c)
4,76
2
3.4:
1a)
x=
ln13
b)x=
ln2−
ln13
1+
ln3
c)x=
ln7−
ln3
1−
ln2
3.4:
2a)
{x 1
=√
2
x 2=
−√
2
b)x=
ln
√17
−1
2c)
sakn
arlö
snin
g
171
3.4:
3a)
x=
−1 ln
2±
√(
1 ln2) 2
−1
b)x=
5 2
c)x=
1
Trig
onom
etri
4.1:
1a)
90◦
och
π/2
rad
b)13
5◦oc
h3π
/4ra
d
c)−
240◦
och
−4π
/3ra
d
d)29
10◦
och
97π
/6ra
d
4.1:
2a)
π/4
rad
b)3π
/4ra
d
c)−
7π/2
0ra
d
d)3π
/2ra
d
4.1:
3a)
x=
50b)
x=
5c)
x=
15
4.1:
4a)
5l.e
.b)
√61
l.e.
c)(2
,0)
4.1:
5a)
(x−
1)2+(y
−2)
2=
4
b)(x
−2)
2+(y
+1)
2=
13
4.1:
6a)
x
y
b)x
y
c)x
y
4.1:
7a)
x
y
b)x
y
c)x
y
172
d)x
y
4.1:
810
/π
varv
≈3,
2va
rv
4.1:
932
π/3
cm2≈
33,5
cm2
4.1:
10x=
9dm
4.2:
1a)
x=
13·t
an27
◦≈
6,62
b)x=
25·c
os32
◦≈
21,2
c)x=
14/t
an40
◦≈
16,7
d)x=
16/c
os20
◦≈
17,0
e)x=
11/s
in35
◦≈
19,2
f)x=
19/t
an50
◦≈
15,9
4.2:
2a)
tan
v=
2 5b)
sin
v=
7 11
c)co
sv=
5 7d)
sin
v=
3 5
e)v=
30◦
f)si
n(v/
2)=
1 3
4.2:
3a)
−1
b)1
c)0
d)0
e)1/√
2f)
√3/
2
4.2:
4a)
√3/
2b)
1 2c)
−1
d)0
e)1/√
3f)
√3
4.2:
5a)
−1/√
2b)
1c)
√3/
2d)
−1
4.2:
6x=
√3−
1
4.2:
7Br
edd=
10√
3−
1m
≈13
,7m
.
4.2:
8ℓ
cosγ
=ac
osα−
bco
sβ
4.2:
9A
vstå
nd=
√20
5−
48√
3≈
11,0
km
4.3:
1a)
v=
9π/5
b)v=
6π/7
c)v=
9π/7
4.3:
2a)
v=
π/2
b)v=
3π/5
4.3:
3a)
−a
b)a
c)√
1−
a2
d)√
1−
a2e)
−a
f)
√3 2
√1−
a2+
1 2·a
4.3:
4a)
1−
b2b)
√1−
b2
c)2b√
1−
b2d)
2b2−
1
e)√
1−
b2·
1 √2+
b·
1 √2
f)b·1 2
+√
1−
b2·√
3 2
4.3:
5co
sv=
2√6
7,
tan
v=
52√
6
4.3:
6a)
sin
v=
−√
7 4,
tan
v=
−√
7 3
b)co
sv=
−√
91 10,
tan
v=
−3 √91
c)si
nv=
−3 √10
,co
sv=
−1 √10
4.3:
7a)
sin(x
+y)
=4√
2+√
59
b)si
n(x
+y)
=3√
21+
825
4.4:
1a)
v=
π/6
,v=
5π/6
b)v=
π/3
,v=
5π/3
c)v=
π/2
d)v=
π/4
,v=
5π/4
e)lö
snin
gsa
knas
f)v=
11π
/6,
v=
7π/6
g)v=
5π/6
,v=
11π
/6
4.4:
2a)
{x=
π/3
+2n
π
x=
2π/3
+2n
π
b){
x=
π/3
+2n
π
x=
5π/3
+2n
π
c)x=
nπ
d){
x=
π/2
0+
2nπ
/5x=
3π/2
0+
2nπ
/5
173
e){
x=
π/3
0+
2nπ
/5x=
π/6
+2n
π/5
f){
x=
π/4
+2n
π/3
x=
5π/1
2+
2nπ
/3
4.4:
3a)
{x=
π/6
+2n
π
x=
11π
/6+
2nπ
b){
x=
π/5
+2n
π
x=
4π/5
+2n
π
c){
x=
25◦+
n·3
60◦
x=
75◦+
n·3
60◦
d){
x=
5◦+
n·1
20◦
x=
55◦+
n·1
20◦
4.4:
4v 1
=50
◦ ,v 2
=12
0◦,
v 3=
230◦
,v 4
=30
0◦
4.4:
5a)
{x=
nπx=
π/4
+nπ
/2b)
x=
nπ/3
c){
x=
π/2
0+
nπ/2
x=
−π
/30+
nπ/3
4.4:
6a)
x=
nπ
b)
x=
π/4
+2n
π
x=
π/2
+nπ
x=
3π/4
+2n
π
c){
x=
2nπ
/3x=
π+
2nπ
4.4:
7a)
x=
π/6
+2n
π
x=
5π/6
+2n
π
x=
3π/2
+2n
π
b)x=
±π
/3+
2nπ
c){
x=
π/2
+2n
π
x=
π/1
4+
2nπ
/7
4.4:
8a)
x=
π/4
+2n
π
x=
π/2
+nπ
x=
3π/4
+2n
π
b)x=
π/3
+nπ
c){
x=
nπx=
3π/4
+nπ
Skri
vam
atem
atik
5.1:
1a)
2-3+4
b)-1+0,3
c)-5-(-3)=-5+3
d)5/2+1
>5/(2+1)
5.1:
2a)
3\cdot
4\pm
4
b)4x^2-\sqrt{x}
c)4\cdot
3^n\ge
n^3
d)3-(5-2)=-(-3+5-2)
5.1:
3a)
\dfrac{x+1}{x^2-1}=\dfrac{1}
{x-1
}
b)\left(\dfrac{5}{x}-1\right
)(1-
x)
c)\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}
{3}
+\frac{1}{4}}
d)\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}
5.1:
4a)
\sin^2
x+\cos
x
b)\cos
v=\cos\dfrac{3\pi}{2}
c)\cot
2x=\dfrac{1}{\tan
2x}
d)\tan\dfrac{u}{2}=\dfrac{\sin
u}{1+\cos
u}
5.1:
5a)
\sqrt{4+x^2}
b)\sqrt[n]{x+y}\ne\sqrt[n]{x
}+\sqrt[n]{y}
c)\sqrt{\sqrt{3}}
=\sqrt[4]{3}
d)\left(\sqrt[4]{3}\right)^3
\sqrt[3]{2+\sqrt{2}}
5.1:
6a)
\ln(4\cdot
3)=\ln
4+\ln
3
b)\ln(4-3)\ne
\ln
4-\ln
3
c)\log_{2}4=\dfrac{\ln
4}{\ln
2}
d)2^{\log_{2}4}=4
5.1:
7a)
4^{3/4}(1-(3-4))
b)2\sqrt{a+b}
c)\cot
x=\frac{1}{2}\sin
20^{\circ}
5.2:
1a)
⇐b)
⇒c)
⇔