1. Ecuaciones irresolubles en R

2. Números complejos

3. Operaciones con números complejos en forma binómica

1. Adición y sustracción

2. Multiplicación

3. División. Números complejos conjugados

4. Potencias de î. Potenciación

5. Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas

4. Números complejos y vectores

5. Expresión de un número complejo

1. Forma polar de un número complejo

2. Forma trigonométrica de un número complejo

3. Números complejos iguales

6. Operaciones de números complejos en forma polar

1. Multiplicación de números complejos en forma polar

2. División de números complejos en forma polar

3. Potenciación de números complejos en forma polar

4. Radicación de números complejos

Los números complejos.

Ecuaciones irresolubles en R

Con los conocimientos que poseemos seriamos capaces de resolver bastantes

ecuaciones algebraicas, como por ejemplo:

x2 – 2 x - 3 = 0

Que tiene por soluciones

x = -1 y x = 3Sin embargo existen ecuaciones irresolubles en R (números reales), pues por

ejemplo la ecuación

x2 – 2 x + 3 = 0.

Tiene por soluciones

x = 1 ±(-2)

que no son soluciones reales.

Para resolver este tipo de ecuaciones las matemáticas han tenido la necesidad de

ampliar los conjuntos numéricos, de tal manera que dichos conjuntos incluyan

soluciones como las expuestas en el ejemplo anterior.

Números complejos Un número complejo es un número de la forma z = a + b.î , donde a y b son número

reales y î = (-1).

Al número a se le denomina parte real, al número b se le denomina parte imaginaria y a î

unidad imaginaria.

Si b = 0, z = a es un número rel.

Si a = 0, z = b.î es un número imaginario puro

Con esta notación, podemos representar cualquier número que contenga una raíz negativa, por

ejemplo: 3 + (-10) = 3 + 10.î.

El conjunto de los números complejos se representa por ℂ, es decir:

ℂ = { a + b.î : a, b ℝ}

Ejemplo: Hallar las soluciones complejas de la ecuación x2 – 2 x + 5.

22 2 4.1.5 1 1

1 . 16 1 .4. 1 2.2 2 2

x i i

Adicción y sustracción.

Para sumar o restar números complejos, basta con sumar o restar sus

partes reales y sus partes imaginarias respectivamente, es decir:

(a+b.î) (c+d.î) = (ac) + (bd).î

Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 + z2 y z1 – z2.

z1 + z2 = (2+1) + (-1+3).î = 3 + 2.î

z1 - z2 = (2-1) + (-1-3).î = 1 - 4.î

Multiplicación

Para multiplicar números complejos, se multiplican como si fueran

polinomios de variable î, después se agrupan los términos y se sustituye î2

por (-1), ya que î2 = (-1)2 = -1 :

(a+b.î) . (c+d.î) = (a.c-b.d) + (a.d+b.c).î

Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 . z2.

z1 . z2 = ( 2 – î ) . (1+3.î) = 2.1 + 2.3.î - î.1 – î.3.î = 5 + 5.î

División. Números complejos conjugados.

El número complejo conjugado de a + b.î es a – b.î

Ejemplo.- El conjugado de 2 + 3.î es 2 – 3.î

Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el

denominador por el conjugado del denominador

Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 / z2.

1

1

2 1 32 1 7 1 7

1 3 1 3 1 3 10 10 10

i iz i ii

z i i i

— —— ——

— ——

Potencias de î. Potenciación.

Teniendo en cuenta que se cumple:

î1 = î î2 = -1 î3 = - î î4 = 1

î5 = î î6 = -1 î7 = - î î8 = 1

Y en general para cualquier número entero k se cumple

î4k = î î4k+1 = -1 î4k+2 = - î î4k+3 = 1

La potencia é-nésima de un número complejo a + b.î es decir ( a + b.î) n,

consiste en multiplicar n veces a + b.î.

Ejemplo.- Calcular (2 – î)3

32 2 2 2 3 4 2 2 11i i i i i i i — — — — —

Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas.

Si una ecuación con coeficientes reales tiene por solución el número complejo

a + b.î, también tiene por solución el complejo conjugado a – b.î.

Ejemplo.- Construir una ecuación de tercer grado con coeficientes reales, sabiendo

que dos de sus soluciones son r1 = 2 y r2 = 1 + 2.î

Solución: Como la ecuación buscada tiene también por raíz r3 = 1 – 2.î, será

(x – r1).(x - r2).(x – r3) = 0

(x - 2).(x – (1 + 2.î)).(x – (1 - 2.î)) = 0

(x - 2).(x – 1 - 2.î).(x –1 + 2.î) = 0

(x - 2).[(x – 1)2 – (2.î)2] = 0

(x - 2).[x2 – 2.x + 1 + 4] = 0

(x - 2).[x2 – 2.x + 5] = 0

x3 - 4.x2 + 9.x -10 = 0

Números complejos y vectores.

Dado que podemos representar cada

número complejo z = a + b.î, en el plano

real, representando a en el eje real (eje de

abscisas OX) y representado b en el eje

imaginario (eje de ordenadas OY), cada

número complejo z = a + b.î, viene

representado en el plano por el afijo z(a,b)

o por el vector Oz

Ejemplo.- Los número complejos z1 = 4 + 3.î y

z2 = 3 – 2.î tiene por afijos z1(4,3) y z2(3,-2) y

el complejo z2 – z1 = (3 – 2.î) – (4 + 3.î) tiene

por vector asociado a (-1,-5)

Adición y sustracción gráfica de números complejos complejos.

Teniendo en cuenta que lo

números complejos z = a + b.î, lo

podemos representar por el

vector vz = (a,b). Gráficamente, la

suma de dos complejos z1 y z2

será el vector diagonal del

paralelogramo de lados z1 y z2 y

la resta de dos complejos z1 y z2

será el vector diagonal del

paralelogramo de lados z1 y –z2

Ejemplo.- Representar gráficamente

gráficamente z1+z2 y z1–z2, siendo

z1=1+î y z2=1–2.î

Producto gráfico de un números complejos por î.

Teniendo en cuenta z=a+b.î,

lo podemos representar por

el vector vz=(a,b). El producto

de z.î=(a+b.î).î=-b+a.î, que

tiene de afijo (-b,a)

representa gráficamente el

giro respecto del origen de z

de 90º

Ejemplo.- Representar gráficamente

gráficamente z.î2, siendo z=1+î

Forma polar de un número complejo. Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) y vector asociadoz(a,b), se

define:

MÓDULO de z = r = |z(a,b) | = (a2+b2).

ARGUMENTO de z = = ángulo de z con el semieje positivo = arc tg

(b/a) De este modo en número complejo, se puede

representar en forma polar z(r,) o de forma

abreviada z = r.

Un número complejo en forma polar z = r, tendrá

de forma binómica

z = r.cos + î.r.sen

Ejemplos.-

* Dado el número z = -2+2.î, como r = (a2+b2) = 2, y arc tg (b/a) = { 135º, 315º} y se

encuentra en el segundo cuadrante, su forma polar abreviada será z = 2315º.

* Dado el complejo z = 4150º, su forma binómica

z = r.cos + î.r.sen = r.cos 150º + r.sen 150º . Î = -2.3+2.î.

Forma trigonométrica de un número complejo.

Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) de modulo r y argumento , su

forma trigonométrica será

z = r.(cos + î.sen )

Ejemplo.- Dado el número complejo z = 3+î, como su modulo es r = 2 y como está en

el primer cuadrante su argumento es = arc tg (1/3) = arc tg (3/3) = 30º y su forma

trigonométrica será

z = 2.(cos 30º + en 30º). î .

Números complejos iguales.

Dos números complejos expresados en forma binómica z1 = a+b.î y z2 = c+d.î son

iguales si y solo si a = c y b = d.

Dos números complejos en forma polar z1 = r y z2 = s son iguales si y solo si r = s y

- = 360º.k, siendo k un número entero cualquiera

Ejemplo.- Para comprobar si son iguales z1 = 2315º y z2 = - 2 + 2.î, utilizando por

ejemplo la forma polar, como |z2 | = 2 y arc tg (2/-2 ) = -1 = {135º,315º}, pero como

z2 está en el segundo cuadrante, será z2 = 2135º , luego z1 z2

Multiplicación de números complejos en forma polar.

Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será:

z1. z2 = r.s = r.s. (cos +î.sen ).(cos +î.sen ) =

= r.s. [ cos .cos - sen .sen + î. (sen .cos + cos .sen ) ]

=

= r.s. [ cos (+) + î . sen (+) ] = r.s+

Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será

z1.z2 = 3.2(60+30)º = 690º

División de números complejos en forma polar.

Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será:

Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será

z1/z2 = (3/2)(60-30)º = (3/2)30º

1

2

2 2

cos sen cos sencos sen

cos sen cos sen cos sen

cos cos sen sen sen cos cos sen

cos sen

cos sen

1

i irz r i r

z s s i s i i

ir

s

ir r

s s

cos senr

is

Potenciación de números complejos en forma polar.

Si z = a + b.î tiene su forma polar z = r, teniendo en cuenta el producto de números

complejos en forma polar y también que la potencia n-ésima de z (zn) es el producto

n veces de z, se obtiene.

Ejemplo.- Si z = 2 30º

n nnz r

5 55 30º 150º2 32 32 cos150º 150ºz sen

Radicación de números complejos en forma polar.

Sea el número complejo z = r. Si w = s es una raíz en enésima de z, se tiene que

cumplir wn =z, es decir

Ejemplo.- Para hallar las raíces cuartas de z=1, como z=1= 1.(cos 0º + î.sen 0º) = 10º.

Como

360º (t un entero cualquier)

360º; k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

n n

n nn

s r s r

n n ts r s rk

n

1 2

3 4

1 0º 2 90º 3 180º 4 270º

0º 360º 0 0º 360º 11 1 0º 90º

4 40º 360º 2 0º 360º 3

180º 270º4 4

dichas raíces serán

z 1 z 1 z 1 z 1

n

Radicación de números complejos en forma polar.

Si el número complejo z = r. La representación en el plano de las raíces enésimas de

z, son los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen y radio

es r1/n.

Ejemplo.- Representar en el plano las raíces cuartas de z=1.

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva