QU NECESITAS SABER?

Sumas y restas

Opera:

a) 23 + 34 + 5 c) 8 4 6 e) 5 2 4

b) 13 4 + 6 d) 5 4 + 5 f) 6 : 3 + 4Resolucin de problemas

Luis gast 13 en un libro y 20 en un CD de msica. Si tena 50 , cunto le queda?

VAMOS A CONOCER

Nmeros naturales

Nmeros romanos

Sistema de numeracin decimal

Descomposicin polinmica

Operaciones con nmerosnaturales

Suma y resta

Multiplicacin y divisin

Propiedades de las operaciones con nmeros naturales

Propiedades conmutativa y asociativa de la suma

Propiedades conmutativa y asociativa del producto

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Propiedad fundamental de la divisin entera

Jerarqua de operaciones

Uso de parntesis

1 Ttulo1 Nmeros naturales6

YLa forma de contar que usamos en la actualidad se basa en el sistema

de numeracin decimal. Observa cuntos dedos tienes en las manos;

los nmeros naturales son la ampliacin de contar con nuestros 10

dedos.

8 Matemticas Y

1. Nmeros naturalesEl conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra N y se corres-

ponde con el siguiente conjunto de nmeros:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, , 20, , 1.000, }

Aunque el 0 es una cifra que se usa para expresar nmeros naturales, no es

propiamente un nmero natural.

Tenemos que saber que los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no siempre se

han escrito de esta manera, de hecho la representacin que conocemos en

la actualidad proviene de la escritura rabe.

Nmeros romanos

Adems del sistema decimal, el sistema de numeracin para expresar

nmeros naturales que nos resulta ms conocido son los nmeros romanos.

Este sistema utiliza letras para representar nmeros cuya equivalencia con

el sistema decimal es la siguiente:

Las reglas prcticas para usar los nmeros romanos son las siguientes:

Los valores de las letras I, X y C se suman.

Las letras I, X y C pueden repetirse hasta tres veces seguidas.

La letra M se puede poner tantas veces como haga falta.

Las letras V, L y D slo se pueden poner una vez.

Si una letra est a la derecha de otra de mayor valor se suman sus valores.

Si una letra est a la izquierda de otra de mayor valor se restan sus valores.

Ejemplos

III = 1 + 1 + 1 = 3

VI = 5 + 1 = 6

MV = 1.000 + 5 = 1.005

DCXII = 500 + 100 + 10 + 2 = 612

CMLII = 1.000 100 + 50 + 2 = 952

MCMLIV = 1.000 + 1.000 100 + 50 + 5 1 = 1.954

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000

ACTIVIDADES1. Escribe en el sistema de numeracin romano las siguientes cantidades:

a) 43 b) 214 c) 132 d) 987 e) 1.343 f) 2.364

2. Escribe el valor de los siguientes nmeros romanos:

a) CII b) LIV c) CCCXXI d) MMDXLII e) MCCLIV f) XCLIV

Representacinindoarbiga

Decimal Indoarbigo

0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9

Nuestro sistema de numeracin pro-

cede del sistema de numeracin de-

sarrollado en la India y que introdu-

jeron los rabes en Europa; de ah su

nombre: sistema indoarbigo.

1 Nmeros naturales 9

Y

2. Sistema de numeracin decimalEl sistema de numeracin romano tiene muchos problemas. Quiz el ms im-

portante es que no se puede operar con sencillez. Por ejemplo, si quisiramos

sumar los nmeros MCCIV y CDLII, tendramos que hacer primero la corres-

pondencia con el sistema decimal, luego hacer la suma y finalmente transformar

el resultado a nmeros romanos. Comprueba si el resultado es MDCLVI.

Para resolver este problema se utiliza el sistema de numeracin decimal.

Este sistema es posicional, lo que quiere decir que cada dgito tiene un valor

en funcin de la posicin que ocupe.

La tabla de posiciones es la siguiente:

Teniendo en cuenta el valor de sus diferentes cifras, cada nmero natural

tiene una descomposicin polinmica que se realiza como indicamos en

los siguientes ejemplos:

Ejemplos

1.324 = 1 1.000 + 3 100 + 2 10 + 4 = 1.000 + 300 + 20 + 4

1 unidad de millar + 3 centenas + 2 decenas + 4 unidades

20.567 = 2 10.000 + 5 100 + 6 10 + 7 = 20.000 + 500 + 60 + 7

2 decenas de millar + 5 centenas + 6 decenas + 7 unidades

2.423 = 2 1.000 + 4 100 + 2 10 + 3 = 2.000 + 400 + 20 + 3

2 unidades de millar + 4 centenas + 2 decenas + 3 unidades

En el ltimo ejemplo tenemos dos cifras 2; en la primera

posicin por la izquierda vale 2.000, mientras que en la

posicin tercera por la izquierda tiene un valor de 20.

Vemos que el mismo dgito tiene un valor distinto

dependiendo de la posicin que ocupa.

TABLA DE POSICIONES

... Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades

de milln de millar de millar de millar

... UM Cm Dm Um C D U

... 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

ACTIVIDADES

RECUERDAEl sistema de numeracin decimal

utiliza 10 cifras:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

!

3. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientes nmeros:

a) 1.342 c) 10.456 e) 71.240

b) 453 d) 700.563 f) 90.305

4. Escribe el nmero que se corresponde con cada una de las siguientes descompo-siciones factoriales:

a) 6 1.000 + 6 10 + 5 c) 8 10.000 + 3 1.000 + 2 100 + 1 10 + 2

b) 5 1.000 + 4 10 d) 2 1.000.000 + 3 100.000 + 5 10 + 2

5. Para cada uno de los nmeros del ejercicio 3, indica a qu cifra corresponde cadadgito.

Antes de resolver unejercicio lee atentamente el enunciado para saberexactamente lo que se

pide.

10 Matemticas Y

3. Operaciones con nmeros naturales.Propiedades

3.1. Suma

Si tengo un cesto con 14 manzanas y otro cesto con 23 manzanas, al

sumar los dos cestos tendr en total 37 manzanas.

14 + 23 = 37

Se utiliza la suma de nmeros naturales cuando queremos

aadir dos o ms cantidades.

3.2. Resta

Si en el cesto en que tena 23 manzanas hay 12 con gusano, cuntas man-

zanas sanas me quedan?

23 12 = 11 manzanas sanas

Se utiliza la resta de nmeros naturales cuando a una cantidad le queremos

sustraer otra cantidad.

3.3. Operaciones con sumas y restas

Si en la misma operacin tenemos sumas y restas, las operaciones se hacen

de izquierda a derecha.

Ejemplos

4 + 5 3 + 2 4 = 9 3 + 2 4 = 6 + 2 4 = 8 4 = 4

7 2 + 3 2 5 + 8 = 5 + 3 2 5 + 8 = 8 2 5 + 8 = 6 5 + 8 =

= 1 + 8 = 9

6 3 + 4 3 4 = 3 + 4 3 4 = 7 3 4 = 4 4 = 0

7 + 8 6 3 + 2 = 15 6 3 + 2 = 9 3 + 2 = 6 + 2 = 8

Propiedad conmutativa de la suma

Si cambio el orden de los sumandos la suma no vara.

a + b = b + a

d

ACTIVIDADES6. Realiza las siguientes sumas:

a) 5 + 4 + 1 + 11 c) 6 + 3 + 4 + 1 e) 7 + 2 + 3 + 1 + 2

b) 8 + 5 + 6 + 1 + 2 + 9 d) 7 + 2 + 11 + 23 f) 10 + 1 + 100 + 31

7. Realiza las siguientes restas:

a) 7 2 c) 89 23 e) 8 2

b) 34 23 d) 54 12 f) 21 8

8. Se cumple la propiedad conmutativa para la resta de nmeros enteros? Por qu?

9. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 + 3 5 c) 9 2 + 4 5 e) 3 1 + 2 + 4 3

b) 6 1 2 + 4 d) 7 + 3 1 2 f) 2 + 3 2 + 8 7

1 Nmeros naturales 11

Y

3.4. Multiplicacin

En una caja caben 15 libros. Si tengo 5 cajas, cuntos libros tengo?

Tenemos dos alternativas:

Sumar el contenido de cada caja:

15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75 libros

Utilizar la multiplicacin. La suma anterior es equivalente a multiplicar

los libros que caben en cada caja por el nmero total de cajas:

15 5 = 75

3.5. Divisin

Queremos empaquetar 30 libros en cajas de 6 libros cada una.

En este caso, utilizaremos la divisin para repartir los 30 libros en varias

cajas iguales, para obtener el nmero de cajas que necesitamos.

30 6 30 : 6 = 5 cajas0 5

En nuestro ejemplo no sobra ningn libro, por tanto, tenemos lo que lla-

mamos divisin exacta.

Tambin podra ocurrir que en vez de tener 30 libros tuviramos 32. Ten-

dramos que utilizar tambin 5 cajas, pero sobraran 2 libros (resto). En este

caso hablaramos de divisin entera.

Propiedad conmutativa de la multiplicacin

Si cambio el orden de los factores el resultado no vara.

a b = b a

d

Propiedad fundamental de la divisin entera

En una divisin entera se cumple la siguiente igualdad:

Dividendo = divisor cociente + resto, con resto < divisor

d

ACTIVIDADES10. Realiza las siguientes operaciones:

a) 9 72 c) 35 12 e) 12 3

b) 15 6 d) 15 24 f) 23 14

11. Calcula las siguientes divisiones:

a) 50 : 10 c) 35 : 7 e) 36 : 12b) 78 : 13 d) 615 : 15 f) 48 : 6

12. En cada caja de huevos caben 7 docenas. Cuntos huevos llevo en 3 cajas?

13. Aplica la propiedad fundamental de la divisin entera a las siguientes divisiones:

a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26

Propiedad fundamentalde la divisin entera

D d

r c

D = d c + r

r < d

Si la divisin es exacta:

D = d c

No te precipites a la horade resolver las actividades,

piensa siempre lo que tienesque hacer en cada paso.

12 Matemticas Y

4. Jerarqua de operacionesJuan tiene cajas de distintos tamaos: 5 cajas con 12 libros cada una, 6

cajas con 8 libros cada una y 13 cajas con 5 libros cada una. Cuntos

libros tiene en total?

Primer tipo de caja 5 12 = 60 libros.Segundo tipo de caja 6 8 = 48 libros.

Tercer tipo de caja 13 5 = 65 libros.En total tiene 60 + 48 + 65 = 173 libros.

Si lo ponemos en una nica operacin, sta sera la siguiente:

5 12 + 6 8 + 13 5 = 60 + 48 + 65 = 173

Si nos fijamos, hemos realizado primero los productos y luego las sumas.

Ejemplos

6 4 8 : 2 : 2 + 3 2 5 = 24 4 : 2 + 6 5 = 24 2 + 30 = 22 + 30 = 52 27 : 3 + 2 5 2 3 4 = 9 + 10 2 12 = 9 + 20 12 = 29 12 = 17 5 6 : 3 + 9 3 4 2 2 = 30 : 3 + 27 8 2 = 10 + 27 16 = 21 4 5 9 : 3 : 3 + 4 3 3 = 20 3 : 3 + 12 3 = 20 1 + 12 3 =

= 19 + 12 3 = 31 3 = 28

La regla general de la jerarqua de operaciones es la siguiente:

1. Se realizan los productos y las divisiones.

2. Si hay varios productos y divisiones encadenados, stos se operan

en orden de izquierda a derecha.

3. Se realizan las sumas y las restas.

4. Si existen varias sumas o restas encadenadas, stas se operan en

orden de izquierda a derecha.

d

ACTIVIDADES14. Opera:

a) 4 5 4 : 2 + 3 4 7b) 18 : 6 3 2 : 2 + 5 4 5

15. Realiza las siguientes operaciones:

a) 65 : 5 + 3 3 4 5 3 : 5 15 : 3 + 3b) 24 : 6 + 4 3 + 2 6 4 : 3 3

16. Luis tiene 60 manzanas y las mete en bolsas de 5 manzanas cada una. Maratiene 36 peras y las guarda en bolsas de 6 peras cada una. Cuntas bolsas tie-

nen entre los dos? Resulvelo como una nica operacin combinada.

17. Tengo que recorrer los 420 km que hay de Madrid a Alicante. Si ya he conduci-do 2 h a 120 km/h, cuntos kilmetros me quedan por recorrer? Si el resto del

camino lo realizo a 90 km/h, cunto tiempo me queda para llegar?

1 Nmeros naturales 13

Y

5. Uso de parntesisMarta y Daniel tienen 36 y 60 huevos respectivamente. Cuntas docenas

tienen entre los dos?

Para resolver este problema tenemos dos alternativas:

Saber cuntas docenas tiene cada uno y sumarlas:

Marta 36 : 12 = 3 Daniel 60 : 12 = 5 Total 8 docenasComo vimos en el apartado anterior, en una nica operacin sera:

36 : 12 + 60 : 12 = 3 + 5 = 8 docenas Saber cuntos huevos tienen entre los dos y luego dividir para calcu-

lar el nmero de docenas:

Total de huevos 36 + 60 = 96 Total de docenas 96 : 12 = 8Con una sola operacin se escribira de la siguiente forma:

(36 + 60) : 12Y se resolvera de la siguiente manera:

(36 + 60) : 12 = 96 : 12 = 8 docenasPodemos observar que con la segunda alternativa, utilizando parntesis, se

realizan menos operaciones.

La jerarqua que utilizamos dentro de los parntesis es la misma que vimos

en el apartado anterior.

Ejemplos

6 (18 8) (2 + 3) 5 = 6 10 5 5 = 60 25 = 35

72 : (2 + 8 : 2) + 8 2 = 72 : (2 + 4) + 16 = 72 : 6 + 16 = 12 + 16 = 28 18 (24 : 6 2 2 + 3 2 + 7 2) = 18 (4 4 + 3 2 + 14) = 18 15 = 270 6 (5 2 2) + 4 (12 : 3 3 + 2 7 2) =

= 6 (5 4) + 4 (4 3 + 14 2) = 6 (1) + 4 (4 3 + 28) =

= 6 + 4 (1 + 28) = 6 + 4 (29) = 6 + 116 = 122

Cuando en una operacin combinada aparecen parntesis, lo primero que

debemos resolver son las operaciones que se encuentran en su interior.

d

ACTIVIDADES18. Opera:

a) 6 (7 + 4 + 5) : 4 c) 3 (5 2 2)b) 2 (7 2) 4 d) 8 : (14 5 2) + 3

19. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) (7 + 4 + 5) : 4 2 (7 5) b) 3 (5 2 2) + 2 (7 2)20. Realiza las siguientes operaciones y compara los resultados:

a) (6 3) 5 b) 4 (7 4) c) (16 8) : 46 3 5 4 7 4 16 8 : 4

6. Propiedades con parntesisJuan, Mara y Luis tienen 12, 13 y 17 aos respectiva-

mente. Cunto suman las edades de estos tres amigos?

12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 25 + 17 = 42

12 + 13 + 17 = 12 + (13 + 17) = 12 + 30 = 42

Es decir,

12 + 13 + 17 = (12 + 13) + 17 = 12 + (13 + 17) = 42

Tengo 4 cajas con 15 paquetes de 50 folios cada uno. Cuntos folios tengo?

4 15 50 = (4 15) 50 = 60 50 = 3.000

4 15 50 = 4 (15 50) = 4 750 = 3.000

Es decir,

4 15 50 = (4 15) 50 = 4 (15 50) = 3.000

Propiedad asociativa del producto

Cuando realizamos un producto con varios factores, el resultado es

independiente del modo en que se renan los productos.

(a b) c = a (b c)

d

14 Matemticas Y

Propiedad asociativa de la suma

Cuando realizamos una suma con varios sumandos, el resultado es

independiente del modo en que se renan las sumas.

(a + b) + c = a + (b + c)

d

ACTIVIDADES21. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en las siguientes sumas:

a) 5 + (6 + 3) = (5 + 6) + 3

b) 12 + (13 + 8) = (12 + 13) + 8

c) (7 + 15) + 9 = 7 + (15 + 9)

d) (17 + 32) + 23 = 17 + (32 + 23)

22. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa en los siguientes productos:

a) 5 (6 3) = (5 6) 3 c) (7 15) 9 = 7 (15 9)

b) 12 (13 8) = (12 13) 8 d) (17 32) 23 = 17 (32 23)

23. Juan tiene 6 , Antonio 13 y Paula 8 . Cuntos euros tienen entre los tres?Resulvelo de dos maneras distintas aplicando la propiedad asociativa.

24. Una empresa transporta leche en cajas de 12 botellas cada una. Cuntas bote-llas transportar esta empresa si utiliza 5 camiones y cada camin lleva 150 cajas?

Resulvelo de dos maneras distintas aplicando la propiedad asociativa.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Andrea y Luis tienen 3 y 4 docenas de huevos respectivamente. Cuntos

huevos tienen entre los dos?

(3 + 4) 12

Tenemos dos formas de resolverlo:

Primero calculamos las docenas que tienen entre los dos y luego multi-

plicamos por 12 para saber el nmero de huevos:

(3 + 4) 12 = 7 12 = 84

Calculamos cuntos huevos tiene cada uno multiplicando el nmero de

docenas por 12 y luego sumamos los resultados:

(3 + 4) 12 = 3 12 + 4 12 = 36 + 48 = 84

Si nos fijamos, hemos resuelto el apartado primero aplicando la regla de los

parntesis. En el segundo, sin embargo, hemos aplicado la propiedad dis-

tributiva del producto respecto de la suma.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

El producto de un nmero por la suma (o resta) de varios nmeros es igual

a la suma (o resta) de los productos de ese nmero por cada sumando.

a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a

a (b c) = a b a c (b c) a = b a c a

De manera ms general:

a (b + c d) = a b + a c a d

d

ACTIVIDADES25. Opera aplicando la propiedad distributiva:

a) (4 + 6) 5 b) 12 (8 3) c) 2 (5 + 4) d) (24 8) 5

26. Comprueba, en las siguientes operaciones, que el resultado es el mismo si aplicola regla de los parntesis o la propiedad distributiva:

a) (12 + 3 6) 5 c) 4 (7 5 + 4)

b) (15 4 3 2) 9 d) 9 (5 4 + 3)

27. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:

a) 6 + (7 + 4 + 5) 4 c) (7 + 4 + 5) 4 2 (7 5)

b) 8 (14 5 2) + 3 d) 3 (5 2 2) + 2 (7 2)

Ejemplos

(3 + 5) 7 = 3 7 + 5 7 = 21 + 35 = 56

6 (4 + 5) = 6 4 + 6 5 = 24 + 30 = 54

(7 4) 9 = 7 9 4 9 = 63 36 = 27

4 (9 5) = 4 9 4 5 = 36 20 = 16

5 (12 + 21 13) = 5 12 + 5 21 5 13 = 60 + 105 65 = 100

Yc

Galileo Galilei dijo

cLas matemticas son el alfabeto con el

que Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei fue un astrnomo, fsi-

co, matemtico y filsofo que naci en

Italia en 1554 y muri en 1642.

Con un telescopio construido por l,

Galileo descubri cuatro lunas de Jpi-

ter, los crteres de la Luna y las man-

chas solares, demostrando que los as-

tros no eran tan perfectos como se

pensaba hasta entonces. Adems se

dio cuenta de que Venus era un plane-

ta del Sistema Solar.

Pero su mayor y ms comprometido

hallazgo fue descubrir que la Tierra

gira alrededor del Sol y no al contrario,

como se pensaba hasta entonces.

1 Nmeros naturales 15

16 Matemticas Y

ACTIVIDADES RESUELTASPasa al sistema de numeracin romano o decimal lassiguientes cantidades:a) 46 b) CCLXXXVIII

Solucina) 46 = XLVI

1. 40 = 50 10 = XL

2. 6 = 5 + 1 = VI

3. 46 = 40 + 6 = XLVI

b) CCLXXXVIII = 288

1. CC = 100 + 100 = 200

2. LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80

3. VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8

CCLXXXVIII = CC + LXXX + VIII = 200 + 80 + 8 = 288

Escribe la descomposicin polinmica de los siguientesnmeros:

a) 498 b) 3.687 c) 450.320

Solucin

a) 498 = 4 100 + 9 10 + 8

4 centenas + 9 decenas + 8 unidades

b) 3.687 = 3 1.000 + 6 100 + 8 10 + 7

3 u. de millar + 6 centenas + 8 decenas + 7 unidades

c) 450.320 = 4 100.000 + 5 10.000 + 3 100 + 2 10

4 c. de millar + 5 d. de millar + 3 centenas + 2 decenas

Opera:

a) 16 12 + 86 13

b) 34 13 + 5 + 6 15

c) 9 24 : 6 + 5 8 25 : 5Solucin

a) 16 12 + 86 13 = 4 + 86 13 = 90 13 = 77

b) 34 13 + 5 + 6 15 = 21 + 5 + 6 15 = 26 + 6 15 =

= 32 15 = 17

c) 9 24 : 6 + 5 8 25 : 5 = 9 4 + 40 5 = 5 + 40 5 == 45 5 = 40

Mara y Pedro salen a cenar a una pizzera. Mara come2 porciones a 3 la porcin y Pedro come 3 porcionesa 4 cada una. Adems Mara bebe un refresco delimn que le cuesta 1 y Pedro una botella de aguaque le cuesta 1 . Cunto le costar la merienda aMara? Y a Pedro? Cunto gastarn entre los dos?

Solucin

Mara 2 3 + 1 = 6 + 1 = 7 Pedro 3 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Entre los dos gastarn 7 + 13 = 20

Aplica la propiedad fundamental de la divisin enteraa la divisin 135 : 23.Solucin

135 23

20 5

D = 135 d = 23 c = 5 r = 20

D = d c + r 135 = 23 5 + 20

Opera:

a) 5 (6 3 + 4) 9 : (6 3)b) 9 (5 3 1) (12 5)

c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : 4 + 3

Solucin

a) 5 (6 3 + 4) 9 : (6 3) = 5 (3 + 4) 9 : 3 = 5 7 3 == 35 3 = 32

b) 9 (5 3 1) (12 5) = 9 (2 1) 7 = 9 1 7 = 9 7 = 63

c) [12 8 (7 + 5) 6] (9 5) : 4 + 3 == [96 12 6] 4 : 4 + 3 = [96 72] 1 + 3 = = 24 1 + 3 = 23 + 3 = 26

Resuelve aplicando la propiedad distributiva:

a) 3 (8 + 5 + 2) b) 9 (12 4 + 5)

Solucin

a) 3 (8 + 5 + 2) = 3 8 + 3 5 + 3 2 = 24 + 15 + 6 =

= 39 + 6 = 45

b) 9 (12 4 + 5) = 9 12 9 4 + 9 5 =

= 108 36 + 45 = 72 + 45 = 117

A Ins le manda su madre a la frutera con 34 . Allcompra 2 kg de peras a 2 /kg, 3 kg de tomates a 3 /kg,5 kg de manzanas a 2 /kg y 4 kg de patatas a 1 /kg.Cuntos kg de fresas a 3 /kg podr comprar? Cuntodinero le sobrar?

Solucin

Ins ha gastado:

2 kg de peras 2 /kg = 4

3 kg de tomates 3 /kg = 9

5 kg de manzanas 2 /kg = 10

4 kg de patatas 1 /kg = 4

Total = 4 + 9 + 10 + 4 = 27

Le quedan 34 27 = 7 para comprar fresas.

Dividimos 7 entre 3 /kg y miramos el cociente y el resto.

Podremos comprar 2 kg de fresas y sobrar 1

7 3

1 2

Nmeros naturales

28. Escribe con smbolos romanos los siguientes nmeros:

a) 793 b) 83 c) 3.465 d) 481 e) 5.398 f) 273

29. Escribe en el sistema decimal los siguientes nmerosromanos:

a) CCCXLV c) XCVI e) CCXLIV

b) CMDLIII d) MMMDCXXIV f) MMCCLXIII

30. Antonius le dijo a Marius que tena LXIV cabras y que leregalaba VIII. Con cuntas cabras se qued Antonius?

Sistema de numeracin decimal

31. Rellena una tabla como la siguiente con las cantidadesque aparecen a continuacin:

a) 32 centenas

b) 213 unidades

c) 32 centenas de millar

32. Observa la tabla y contesta a las cuestiones:

a) Cuntas centenas hay en (1)?

b) Cuntas decenas de millar hay en (2)?

c) Cuntas unidades hay en (3)?

33. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientesnmeros:

a) 3.809 c) 123 e) 489.230

b) 20.981 d) 5.490 f) 809.672

Operaciones con nmeros naturales.

Propiedades

34. Calcula los valores que faltan:

35. Opera:

a) 45 : 13 c) 63 : 17 e) 134 : 54b) 54 : 21 d) 73 : 12 f) 98 : 26

36. Si reparto 150 alumnos en clases de 30 alumnos,cuntas clases necesito?

37. Si en el ejercicio anterior fueran 175 alumnos, cuntosalumnos sobraran?

38. Pon un ejemplo y explica por qu no se puede aplicar lapropiedad conmutativa en la divisin.

39. Cmo contina la serie?

a) 1, 3, 6, 10, 15, 21 c) 1, 2, 4, 8, 16, 32

b) 30, 27, 24, 21, 18, 15 d) 1, 2, 6, 24, 110, 660

40. Calcula el valor de las letras en cada operacin:

a) 5 + a + 3 = 15 c) 6 c = 30

b) b + 7 3 = 10 d) 36 : d = 12

Jerarqua de operaciones

41. Calcula:

a) 6 3 7 5 2 + 4 d) 5 9 35 : 7 8b) 7 3 2 + 2 8 e) 21 : 3 + 2 5 9 : 3c) 2 + 6 2 4 3 + 3 f) 4 2 + 5 3 32 : 4

42. Opera:

a) 17 5 3 2 d) 17 4 3 + 3 2

b) 2 6 4 + 5 3 e) 25 : 5 5 + 5 9c) 23 + 5 5 6 : 3 f) 8 + 5 5 24 : 4

Uso de parntesis

43. Opera y observa el resultado:

a) c)

b) d) 8 : (4 2)8 : 2 28 (5 2)8 5 27 (4 3)7 4 38 + (5 2)8 + 5 2

Cm Dm Um C D U

(1) 3 0 5 6

(2) 7 8 0 0 1 1

(3) 9 8 0 9 3

Y

1 Nmeros naturales 17

ACTIVIDADES FINALES

d EJERCICIOS

UM Cm Dm Um C D U

D d c r

80 20 4

60 12 45

325 21 10

44. Aplica la propiedad distributiva y opera:

a) 5 (9 5) c) (9 6) 3

b) (8 5 + 4) 6 d) (9 + 4 10 + 3) 3

45. Opera:

a) (6 4) 5 + 6 (7 5)

b) (10 5 4) 7 (8 4) : 2c) (6 + 5 3) 8 (4 2) (5 3)

d) 5 + (16 8) (10 2) (14 6 3)

46. Opera:

a) 6 (8 5) (4 2) 7

b) 8 + (18 10) : 4 6 (15 6) : 3c) (13 6) (17 15) : (9 2) + 15 : 3d) 8 (5 2) : 2 + (25 3) : 2

47. Resuelve:a) (1 + 5 4) 3 (10 6) : 4b) (8 4) 2 + 3 (9 7)

c) (6 4) (8 3) (10 9 : 3)d) (16 5 3) : 8 + (4 3) (5 3) + 3 4

48. Opera:

a) [5 (8 3) + (5 + 3) 6] (8 3) 5

b) 6 [6 (4 3) + (6 + 3) : 3 36 : 12] 5 2 4c) 7 + (9 5) [(8 3) : 5 (4 3) (6 5)]d) 9 (8 5) + [6 + (9 3) : 2 (9 4) : 5]

Propiedades con parntesis

49. Podemos definir la propiedad distributiva de la divisinrespecto de la suma de la siguiente manera:

(9 6) : 3 = 9 : 3 6 : 3 = 3 2 = 1Aplcala a estos apartados:

a) (15 + 5) : 5 b) (35 14) : 7 c) (8 4) : 250. Resuelve:

a) 4 [5 (4 3) + (5 + 4) : 3 36 : 12] 3 + 3 (5 2)b) [15 (8 6) + (1 + 4) 6] (20 5) : 5c) 10 (13 5) + [5 + (9 3) : 6 (15 5) : 5]d) 17 + (4 2) [(23 3) : 10 + 13 (7 2) (6 4)]

18 Matemticas Y

ACTIVIDADES FINALES

51. Juan, Luis y Laura salen con 20, 30 y 10 respectiva-mente. Juan gasta la mitad, Luis 13 y Laura se

encuentra un billete de 20 . Cunto dinero tienen

entre los tres cuando llegan a casa?

52. Luis gast 13 en un libro y 20 en un CD de msica.Si tena 50 , cunto le queda?

53. Qu nmeros pares seguidos suman 30?

54. Andrea tiene el instituto a 450 m de su casa. Si sale a las 8:15 de su casa y tarda 5 min por cada 50 m, aqu hora llegar a clase?

55. Para ir de Madrid a Cdiz tengo que recorrer 720 km.Cunto tardar a una velocidad media de 120 km/h?

56. Las edades de Luis, Pedro y Mara suman 40 aos. SiLuis tiene 16 aos, qu edad tienen Pedro y Mara si

son mellizos?

57. Cul es el valor de la siguiente cesta de la compra?

3 kg de kiwis a 3 /kg

2 kg de aguacates a 5/kg

1 kg de naranjas a 2 /kg

2 kg de merluza a 35 /kg

4 kg de patatas a 2 cada 2kg

58. El producto de dos nmeros es 90. Si uno es 15, cules el otro?

59. Sandra dedica a estudiar, de lunes a viernes, 2 h al da.Si cada mes tiene cuatro semanas, cuntas horas

dedica al estudio en un mes?

60. Qu altura tiene cada una de las 20 plantas de un edi-ficio que mide 120 m de altura?

61. Luisa y Juana llevan cada una 2 paquetes de 5 botellasde 2 l de agua. Cunta agua llevan en total?

d PROBLEMAS

62. Con los datos del ejercicio anterior, si cada da consu-men en su casa 4 l de agua, para cuntos das tendrn

agua?

63. En la liga de baloncesto hay 18 equipos con 8 jugado-res por equipo que miden, aproximadamente, 2 m cada

uno. Colocados uno encima de otro, llegaramos al

tejado de un edificio de 250 m de altura?

64. Los tres hoteles de un pueblo tienen 35, 60 y 75 habi-taciones respectivamente. Si este fin de semana se

espera un congreso de mdicos al que acudirn 230,

cuntos mdicos tendrn que dormir en el pueblo de

al lado por falta de habitacin?

65. Si conducimos 2 h a 100 km/h, 3 h a 110 km/h y 1 h a120 km/h, cuntos kilmetros recorrer?

66. Sara tiene que comprar dos ramos de flores, uno para sumadre y otro para su abuela. Cada ramo est compuesto

por una decena de rosas y cada rosa vale 10 . Cunto

gastar? Si lleva 300 , cunto le sobrar?

67. Samuel ha realizado 3 series, de 2 vueltas cada una, enuna pista de atletismo de 400 m. Podras decir cuntos

metros ha recorrido?

68. Jaime tiene 5 monedas de 10 cts. de euro, 10 monedasde 20 cts., 3 monedas de 50 cts., 2 monedas de 1

y 4 monedas de 2 . Cuntos euros lleva en el mone-

dero?

69. Un frutero compra 220 kg de naranjas a 2 /kg y lasenvasa en cajas de 4 kg cada una. El transporte, el

alquiler y los empleados le suponen un coste de 1 /kg.

Si desea obtener un beneficio total de 110 , a cunto

debe vender cada caja?

70. Un pescadero pag ayer 375 por 25 kg de lenguados.Cuntos kg ha comprado hoy si ha pagado 450 ?

71. En un partido de baloncesto las canastas encestadas porlos jugadores de uno de los equipos son las siguientes:

Con cuntos puntos acab este equipo? Si el otro

equipo anot 110 puntos, quin gan?

1 punto 2 puntos 3 puntos

Luis 10 3 1

Antonio 4 4 0

Pedro 6 2 3

Morgan 3 8 0

Peter 1 3 2

Fredy 6 3 1

Andrs 8 3 2

Y

1 Nmeros naturales 19

1. Pasa al sistema de numeracin romano:

a) 1.953 b) 345 c) 623 d) 459

2. Pasa los siguientes nmeros romanos al sistema de numera-cin decimal:

a) MMCCXLI b) LXXIV c) CDXLVII d) XXIV

3. Escribe la descomposicin polinmica de los siguientes nme-ros:

a) 4.508 b) 60.709 c) 305 d) 10.932

4. Calcula:

a) 4 3 5 2 + 4 2 c) 12 6 2 + 2 3 6

b) 15 + 4 5 4 8 d) 2 9 60 : 5 3 25. Aplica la propiedad distributiva:

a) 6 (9 5 + 12) b) (6 + 5 4) 3 c) (9 5) 12

6. Cuntos segundos tiene un da?

7. Opera:

a) (15 6) : 3 + 4b) 8 (8 5) + (9 + 2) 5

c) 6 (9 4) (7 6) + 3 5

d) [(5 3) 6 (3 2) 2] + (15 4)

8. Calcula las siguientes divisiones enteras e indica el cociente yel resto:

a) 865 : 34 b) 1.895 : 549. Para las divisiones del ejercicio anterior, aplica la propiedad

fundamental de las divisiones enteras.

10. Javier tiene 70 y compra 2 bolgrafos y 4 carpetas. Si cadacarpeta vale el doble que un bolgrafo y cada bolgrafo cuesta

3 , cunto dinero gasta y cunto le sobra?

AUTOEVALUACIN

Un poquito de historiaLa aritmtica es la disciplina dentro de las matemticas

que estudia los nmeros naturales, enteros y racionales

(estos dos ltimos tipos los veremos ms adelante) y trata

las operaciones definidas entre ellos. La aritmtica ha

estado presente en todas las civilizaciones y, al parecer, las

primeras constancias de su desarrollo se encuentran en la

antigua Babilonia y Egipto como herramienta para el

comercio.

Los matemticos y filsofos griegos Pitgoras y Euclides fue-

ron quienes dieron valor al concepto de nmero y sus pro-

piedades, y Diofanto de Alejandra (siglo III a. C. aprox.) dio

el empujn definitivo a la aritmtica con su obra Aritmtica,

que fue referente de esta materia durante casi dos milenios.

En el siglo XVII Pierre de Fermat (1601-1665) y en el siglo XIX

Giuseppe Peano (1858-1932) formalizaron y desarrollaron

la aritmtica hasta llevarla a la forma en que la conocemos

en la actualidad.

Peano y los naturalesEl italiano Giuseppe Peano

(1858-1932) fue el matem-

tico que defini las reglas

(axiomas) para poder cons-

truir los nmeros naturales,

a partir de los cules se pue-

den definir el resto de los

tipos de nmeros

El problema del cangrejoUn cangrejo tiene que cruzar una playa de 100 m. Durante

el da recorre 30 m y por la noche se pierde y retrocede 20

m. Cuntos das tardar en cruzar la playa? (Pinsalo un

poco, no es tan evidente.)

Mutiplicacin romanaHaz la siguiente multiplicacin de nmeros romanos:

MDCLVI

XXI

20 Matemticas Y

MATEMTICAS RECREATIVAS

Y1 Nmeros naturales 21

EN RESUMEN

AMPLA CON

P. M. GONZLEZ URBANEJA: Pitgoras, el filsofo del nmero,

Ed. Nivola.

M. MATAIX: 2pir Divulgacin matemtica: Nmeros cotidia-nos, Ed. Marcombo.

De la serie Ojo matemtico, el programa 6: Nmeros,

Yorkshire Television (Metrovideo escuela).

http://www.mec.es

http://www.mat.ucm.es

Utiliza

Nmeros romanos

Son

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Sistema de numeracindecimal

NMEROS NATURALES

Operaciones

Jerarqua de operacionesParntesis

Suma

Resta

Multiplicacin

Divisin

Conmutativade la suma y del producto

Asociativa de la suma y del producto

Distributiva del productorespecto de lasuma

Fundamentalde la divisinentera

DM UM Cm Dm Um C D U

10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1Propiedades