1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución....
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1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas: Método de Variación de parámetros, Coeficientes Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
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26 27 28 29 30
3 4 5 6 7
10 11 12 13 14
17 18 19 20 21
24 25 26 27 28
![Page 5: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/5.jpg)
Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en el salón donde fue el PROPE
![Page 6: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/6.jpg)
Ecuación diferencial lineal no homogénea
Resolver la ecuación homogénea asociada
Encontrar una solución particular
![Page 7: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/7.jpg)
Ecuación diferencial lineal homogénea
Coeficientes constantes
Ecuación característica
Coeficientes variables
Reducción del orden por la forma
Ecuación del tipo Euler
Inspiración
Reducción del orden por conocer una solución
Solución mediante series de potencias
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Encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea
Coeficientes constantes
Coeficientes indeterminados
Variación de parámetros
Coeficientes variables
Variación de parámetros
![Page 9: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/9.jpg)
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2
0 0 1 0 2 00
0 1 2
0
Una serie de potencias es una
serie infinita de la forma
donde , , , ... son constantes y
es un número fijo.
n
nn
a x x a a x x a x x
a a a
x
![Page 11: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/11.jpg)
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite
lim
existe y es finito.
n
nn
Nn
nNn
a x x a a x x a x x
x
a x x
![Page 12: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/12.jpg)
En cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
n
nn
Nn
nN
n
a x x a a x x a x x
x a x x
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Una serie puede converger para ciertos
valores de y diverger para otros.x
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
En cualquier otro caso se dice que la serie de potencias es divergente.
n
nn
Nn
nN
n
a x x a a x x a x x
x a x x
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2
0 0 1 0 2 00
0
0
Si la serie de potencias
es convergente para toda en el intervalo
y es divergente siempre que ,
donde 0 , entonces es llamado el radio
de convergencia d
n
nn
a x x a a x x a x x
x
x x r
x x r
r r
e la serie de potencias.
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00
0 00 0
La serie de potencias
converge absolutamente en el punto ,
si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
![Page 16: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/16.jpg)
Si la serie converge absolutamente, entonces
la serie también converge.
El inverso no es necesariamente cierto.
00
0 00 0
La serie de potencias converge
absolutamente en el punto , si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
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Una de las pruebas más útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
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1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
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0 0
00
Una función , definida en un intervalo
que contiene a , es analítica en el punto
si puede ser expresada como una serie
de potencias (su serie de Taylor)
que tiene un radio de c
n
nn
f x I
x x
f x
f x a x x
onvergencia mayor
que cero.
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• Los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial también son analíticas en todos lados
•Cocientes de dos de estas funciones son analíticas en todos los puntos en los cuales el denominador no se hace cero
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![Page 22: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/22.jpg)
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
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0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
![Page 24: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/24.jpg)
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
00
00
00
0
Es decir,
y
son convergentes para con 0.
n
nn
n
nn
n
nn
P x P x x
Q x Q x x
x x x
x x r r
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Si un punto no es un punto ordinario,
se le llama punto singular.
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
![Page 26: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/26.jpg)
0y P x y Q x y
0
0
El punto es un
de la ecuación diferencial si
o
no son a
punto sing
nalíticas
ula
n .
r
e
x
P x Q x
x
![Page 27: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/27.jpg)
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
![Page 28: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/28.jpg)
0
2
2
Si es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo orden
,
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única forma como una serie de potencias
x
d y dyP x Q x y x
dxdx
y x
0 00
,
donde el radio de convergencia .
n
nn
a x x x x R
R r
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0
alrededor de
0
dyy
dx
x
![Page 30: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/30.jpg)
0 alrededor de 0dy
y xdx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
![Page 31: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/31.jpg)
1 1
0 0 1
11
1 0 0 0
Sustituyendo en la ecuación
0 1 0
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
dyy x a x na x na x
dx
na x a x n a x a x
alrededor de 0dy
ydx
![Page 32: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/32.jpg)
1 1
0 0 1
11
1 0 0 0
1 10
Sustituyendo en la ecuación
0 1 0
1 0 1 0
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
nn n n n
n
dyy x a x na x na x
dx
na x a x n a x a x
n a a x n a a
alrededor de 0dy
ydx
![Page 33: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/33.jpg)
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
1 1n
n
aa
n
![Page 34: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/34.jpg)
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
0
01 0
1 02
2 03
1
2 2 1
3 3 2 1
a
aa a
a aa
a aa
1 1n
n
aa
n
![Page 35: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/35.jpg)
1 10 0
alrededor de 0
1 0 1 0n nn n n n n
n n
dyy
dx
y x a x n a a x n a a
0
01 0
1 02
2 03
1
2 2 1
3 3 2 1
a
aa a
a aa
a aa
3 04
01
4 4 3 2 1
1 1 !n
n
a aa
a aa
n n
1 1n
n
aa
n
![Page 36: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/36.jpg)
10 0
1 1 0
alrededor de 0
1 0
11 0
1 !
n nn n n
n n
nn n n n
dyy
dx
y x a x n a a x
an a a a a a
n n
00 !
n
n
xy x a
n
![Page 37: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/37.jpg)
10 0
1 1 0
alrededor de 0
1 0
11 0
1 !
n nn n n
n n
nn n n n
dyy
dx
y x a x n a a x
an a a a a a
n n
0 00 !
nx
n
xy x a a e
n
![Page 38: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/38.jpg)
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
![Page 39: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/39.jpg)
0 00
alrededor de 0 ; !
nx
n
dy xy y x a a e
dx n
0
1
1
!
! 1
1 ! 1
1lim lim 0
1
¡La serie converge para todo !
n
n
n
n
n nn
aa
n
a n
a n n
a
a n
x
R
![Page 40: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/40.jpg)
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
![Page 41: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/41.jpg)
2
020 alrededor de 0
d yy x
dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
![Page 42: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/42.jpg)
0
1 1
0 1
22 2
20 2
2
2 0
20 0
20
2 2
1 1
1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 02 1
nn
n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
nn n
n
nn n n
y x a x
dyna x na x
dx
d yn n a x n n a x
dx
n n a x a x
n n a x a x
n n a a x
an n a a a
n n
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
![Page 43: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/43.jpg)
2
0 10 1 2 3
2 0 3 14 5
02
12 1
2 1
, , , ,2 1 3 2 1
, 4 3 4! 5 4 5!
...
12 !
12 1 !
nn
n
n
n
n
aa
n n
a aa a a a
a a a aa a
aa
n
aa
n
2
2
0
0
alrededor de
0
d yy
dx
x
![Page 44: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/44.jpg)
2
1 0 00
2 1
2 1 10
0 1
1 cos2 !
1 sin2 1 !
cos sin
nn
n
nn
n
xy x a a x
n
xy x a a x
n
y x a x a x
2
020 alrededor de 0
d yy x
dx
![Page 45: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/45.jpg)
2
2
0
2 0
alrededor de
0
d y dyx y
dx dx
x
![Page 46: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/46.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
Es claro, que todos los puntos
del plano complejo son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
C
![Page 47: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/47.jpg)
0
1
0
22
20
2 1
2 1 0
1
1 2 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x x na x a x
2
022 0 alrededor de 0
d y dyx y x
dx dx
![Page 48: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/48.jpg)
2
2 1 0
20 0
20
1 2 0
2 1 2 0
2 1 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn n
n
n n a x na x a x
n n a x n a x
n n a a x
2 1
2 1 0
1 2 0n n nn n n
n n n
n n a x x na x a x
![Page 49: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/49.jpg)
2
02
20
2 0 alrededor de 0
2 1 0nn n
n
d y dyx y x
dx dx
n n a a x
2 1n
n
aa
n
![Page 50: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/50.jpg)
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
0 12 3
2 0 3 14 5
4 0 5 16 7
0 12 2 1
; ;1 2
; ;3 3 1 4 4 2
; 5 5 3 1 6 6 4 2
1 ; 12 1 !! 2 !!
1,2,3,... ;
n n
n n
a aa a
a a a aa a
a a a aa a
a aa a
n n
n
1,2,3n
![Page 51: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/51.jpg)
2
02
0 12 2 1
2 0 alrededor de 0
1 ; 1,2,3,... 1 ; 1,2,32 1 !! 2 !!
n n
n n
d y dyx y x
dx dxa a
a n a nn n
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
![Page 52: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/52.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
![Page 53: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/53.jpg)
2 2 1
1 21 1
1 11 ;
2 1 !! 2 !!
n n
n n
n n
y x x y x x xn n
1
1
2 1 !!
1
2 1 !! 2 1 !! lim lim
(2 1)!!1
2 1 !!
1lim 0
1 2
el radio de convergencia es infinito.
n
n
n
nn n
n
an
n n
n
n
n
1
1
2 !!
1
2 2 !! 2 !!lim lim
(2 2)!!1
2 !!
1lim 0
2 1
el radio de convergencia es infinito.
n
n
n
nn n
n
an
n n
n
n
n
![Page 54: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/54.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
2 1 2 1 22
1 0 0
2 22
20 0 0
2
1 1 1
2 !! 2 !! 2 !!
pero
2 !! 2 !
así que
1 1 1
2 !! ! 2 ! 2
exp2
n n n
n n n
n n n
n
nn n nnn
nn n n
y x x x x x xn n n
n n
x xy x x x x x
n n n
xx
![Page 55: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/55.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
22 1
21
11
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n
n
n
n
n
n
y x xn
xy x x x x
n
![Page 56: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/56.jpg)
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
![Page 57: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/57.jpg)
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
![Page 58: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/58.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2
2 exp2
xy x x
![Page 59: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/59.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
2
2 exp2
xy x x
![Page 60: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/60.jpg)
2
12 0 dada la solución d y dy
b x c x y y xdxdx
0 0
1 21
1 expx
x
y x y x b d dy
![Page 61: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/61.jpg)
2 22 2
0 0 0
22
0
22 22 2 2
12
22
1exp exp2
x xx x
x x
xx
x
e ey x xe d d xe d
exe d
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
![Page 62: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/62.jpg)
22
2 22 2
22
1122
2
1 11 12 22 2
1122
1
1
e dd e dd
e d ee d e dd
e e d
![Page 63: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/63.jpg)
22
0
2 22
22 2
2 2
12
21 2
1 112 22
2
11 12
2 2 2 21
0
1
xx
x
x xx x
ey x xe d
e ed e d
ey x xe e d xe e dx
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
![Page 64: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/64.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
221
2 2 21
1 0
22 1
21
11 1
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n xxn
n
n
n
n
y x x xe e dn
xy x x x x
n
![Page 65: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/65.jpg)
22
22
2 2
212
0 0
22
2
0
1 2 2 22 2
2
1 2 1 2 Dawson2
xx
xx
d d d d d
e d e d
xy x xe e d x
0 0
2 22
1 21
2
02
12 2 2
1 2
0
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 ;
x
x
xx x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe e d y x xe
![Page 66: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/66.jpg)
2
21 2 22 Dawson
2
x xy x c xe c c x
0 0
2
1 21
2
02
21 2
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 2 Dawson ; 2
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
xy x x y x xe
![Page 67: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/67.jpg)
2 2
0( ) exp exp
xF x x y dy
![Page 68: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/68.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
![Page 69: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/69.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
2
1
11
2 1 !!
n
n
n
xn
![Page 70: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/70.jpg)
2
2
0
0
alrededor de
1
d y dyx xydx dx
x
![Page 71: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/71.jpg)
2
02
10 alrededor de 1
d y dyy x
dx x dx
Es claro, que el punto 0
NO es un punto ordinario de la
ecuación. Sin embargo, todos
los demás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, 1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
x
x
![Page 72: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/72.jpg)
0
1
0
22
20
2 1
0 0 0
1
1
1 1
1 1 1 1 0
n
nn
n
nn
n
nn
n n n
n n nn n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
x n n a x na x x a x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
![Page 73: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/73.jpg)
2 1
0 0 0
2 2 1
0 0 0
0 0
2 1 1
2 2 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
1
n n n
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n
nn
x n n a x na x x a x
n n a x x n n a x na x
a x x a x
n n a x n n a x na x
a x
1
0
1 0n
nn
a x
2 1
0 0 0
1 1 1 1 0n n n
n n nn n n
x n n a x na x x a x
![Page 74: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/74.jpg)
2 10 1
1 10 0 1
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n na x
n a x a x a x
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
2 1
2 2
1 1
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
na x a x a x
![Page 75: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/75.jpg)
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
![Page 76: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/76.jpg)
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
![Page 77: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/77.jpg)
1 0 2 2 0 13 2 2
2 1 0 14 3
0 15
0 16
0 17
2 2
3 6 3 3 3 63
4 12 12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a a a a a aa a a
a a a aa a
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
![Page 78: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/78.jpg)
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4 5 6 5
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
x x x x x xy x
x x x x x xy x x
2
02
0 1 12 2 1
0 alrededor de 1
1;
2 2 1 2n n
n n
d y dyx xy xdx dxa a n a a
a a an n n
![Page 79: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/79.jpg)
1 0
2 0
y x J x
y x Y x
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4
2
5 6 5
2
2
0
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
0 alrededor de 1d y d
x x x x x xy x
x x
yx x
x x x x
y xd d
y x x
x x
![Page 80: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/80.jpg)
0.9 1.0 1.1 1.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
![Page 81: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/81.jpg)
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
![Page 82: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/82.jpg)
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
2 2 2
120
1 1
l ld y x dyy
dx x dx x
![Page 83: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/83.jpg)
22
2
2
2 2 2
1 2 1 0
120
1 1
d y dyx x l l ydx dx
l ld y x dyy
dx x dx x
2 2 12
0 0
2 22
0 0
12 2 2 para 1
1
11 1 1 para 1
1
Por lo tanto, 0 es un punto ordinario
n n
n n
n n
n n
x x x x xx
l l l l x l l x xx
x
![Page 84: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/84.jpg)
2
2 2 2
12 01 1
l ld y dyx ydxdx x x
Los únicos puntos singulares son 1.
Por lo tanto, podemos resolver
la ecuación con series alrededor
de 0, ya que 0 es un punto
ordinario.
x
x x
![Page 85: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/85.jpg)
0
21 2
20
0
2
0
2
( ) .
Tenemos
Por tanto, existe una única solución que se puede escribir como
y sustituyendo en la ecuación diferencial
y 1
1 2
,
1
nn
n
n nn n
n n
nn n
n
y x a x
dy d yna x n n a x
dx dx
n n a x x nax x
1
0 0
1 0n nn
n n
l l a x
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
![Page 86: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/86.jpg)
2
0 0 0 0
1 1 2 1 0n n n nn n n n
n n n n
n n a x n n a x na x l l a x
22
2
2 2 1
0 0 0
1 2 1 0
01 1 2 1n n nn n n
n n n
n n
d y dyx x l l ydx dx
x a x x na x l l a x
![Page 87: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/87.jpg)
2
0 0 0
22
0 0
22
0
2
0
0
1 2 1 0
Ahora
1 ( 2) 1
Regresando a la variable original
1 ( 2) 1
y ahora
( 2
1
) 1
2
n n nn n n
n n n
n mn m
n m
n nn n
n
n n
nn
n
n
n n n a x na x l l a x
n n a x m m a x
n n a x n n a x
n a
n n x
n
a
x
n m
0 0 0 0
1 2 1 0n n nn n n
n n n
n n a x na x l l a x
22
2
2 2 1
0 0 0
1 2 1 0
01 1 2 1n n nn n n
n n n
n n
d y dyx x l l ydx dx
x a x x na x l l a x
![Page 88: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/88.jpg)
20 0 0 0
22
2
( 2) 1 1 2 1 0
1 2 1 0
n n n nn n n n
n n n n
n n a x n n a x na x l l a
d y dyx x l l ydx dx
x
20
2
2
2 1 1 2 1 0
Por lo tanto,
2 1 1 2 1 0
ó bien
1 2 1 1 1
2 1 2 1
nn n n n
n
n n n n
n n n
n n a n n a na l l a x
n n a n n a na l l a
n n n l l n n l la a a
n n n n
![Page 89: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/89.jpg)
0 1
2 0
3 1 1
4 2 0
Los primeros coeficientes, y , son arbitrarios.
Los siguientes
1
2!
2 1 1 2
3! 3!
2 2 1 1 6 1 1 1 2 3
2 2 2 1 4 3 2! 4!
...
a a
l la a
l l l la a a
l l l l l l l l l la a a
2
1 1
2 1n n
n n l la a
n n
![Page 90: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/90.jpg)
2 0
2 1 1
En general, para 1,2,3,... tenemos
( 2 1)( 2 3)...( 1) ( 2)...( 2 2)1
2 !
y
( 2 )( 2 2)...( 2)( 1)( 3)...( 2 1)( 1)
2 1 !
k
k
kk
k
l k l k l l l l ka a
k
l k l k l l l l ka a
k
2
1 1
2 1n n
n n l la a
n n
![Page 91: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/91.jpg)
2 4 6
2
1
3 5 7
1 2 1 3 4 2 1 3 5( ) 1 .
Tenemos ento
..2! 4! 6!
2 1 2 3 1 2 2 21 1
2 !
1 2 3 1 2 4 5 3 1 2 4 6( ) ...
3! 5! 7!
1
nces dos soluciones
y
k k
k
k
l l l l l l l l l l l lu x x x x
l k l k l l l l kx
k
l l l l l l l l l l l lv x x x x x
x
2 1
1
2 2 2 2 1 3 2 1
2 1 !k
k
l k l k l l l l kx
k
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
![Page 92: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/92.jpg)
2
2
1
2
2
2
1
1
2 1 2 3 1 2 2 2( ) 1 1
2
1
!
2 2 2 2 1 3 2 1( )
2 1
1
1!
2 0
k k
k
k k
k
l k l k l l l l ku x x
k
l k l k l l l l kv
d y dyx x l l ydx d
x x xk
x
1. Si no es un entero positivo, tenemos dos
series infinitas que convergen para 1.
2. Si es un entero positivo, una de las dos series
infinitas termina para dar un simple polinómio.
l
x
l
![Page 93: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/93.jpg)
Escribiendo la solución
se tiene que para par,1
y para impar.1
es una serie infinita que
converge para 1.
n n
nn
n
nn
n
n
y x AP x BQ x
u xP x n
u
v xP x n
v
Q x
x
2
2
1
2
2
2
1
1
2 1 2 3 1 2 2 2( ) 1 1
2
1
!
2 2 2 2 1 3 2 1( )
2 1
1
1!
2 0
k k
k
k k
k
l k l k l l l l ku x x
k
l k l k l l l l kv
d y dyx x l l ydx d
x x xk
x
![Page 94: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/94.jpg)
[ ] 22
0
Los polinomios son los
polinomios de Legendre
y puede ser escritos como
2 2 !1
2 ! ! 2 !
n
nn r
r
n nr
P x
n r xP x
r n r n r
![Page 95: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/95.jpg)
y P x y Q x y x
0
0
El punto es un
de la ecuación diferencial si tanto
como son analíticas en
punto ordinario
.
x
P x Q x x
![Page 96: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/96.jpg)
y P x y Q x y x
0
Si cualquiera de las dos funciones,
y , no son analíticas,
entonces el punto es singular.
P x Q x
x
![Page 97: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/97.jpg)
1 1 2 20
1 2
Si 0 es un punto ordinario de la ecuación
0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la forma
donde y son constantes arbitrarias
nn
n
x
y P x y Q x y
y x a x c y x c y x
c c
1
2
y y
son funciones linealmente independientes
y analíticas en 0
y x
y x
x
![Page 98: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/98.jpg)
0
0
La solución general tiene la forma
¿Cómo determinamos los coeficientes ?
nn
n
n
y P x y Q x y
y x a x
a
![Page 99: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/99.jpg)
0
Paso 1:
Sustituimos la propuesta solución
en la ecuación diferencial original
0
nn
n
y x a x
y P x y Q x y
![Page 100: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/100.jpg)
0 0
1
00
? n nn n
nn
nn n
n n n
d a x d xdy x da x a
dx dx da x
x dxn
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 101: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/101.jpg)
121
20 0
1
2
0 0
1
? nnn
nn n
n
nn n
n n
d na xd y x dna x
dx dx dx
d xna n n a x
dx
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 102: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/102.jpg)
2 1
0 0 0
Paso 1:
1 0n n nn n n
n n n
n n a x P x na x Q x a x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 103: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/103.jpg)
Paso 2:
Agrupamos las potencias de e igualamos a
cero los coeficientes (Dado que las potencias
de son linealmente independientes)
x
x
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 104: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/104.jpg)
0 1
Paso 3
Se resuelven las formulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de a cero.
Se determinan 2,3,4,... en términos
de y
j
x
a j
a a
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 105: 1.Conceptos Fundamentales de Ecuaciones diferenciales. Clasificación y concepto de solución. 2.Ecuaciones de segundo orden homogéneas: Coeficientes.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062305/5665b4781a28abb57c91c083/html5/thumbnails/105.jpg)
Paso 4
Los coeficientes 0,1,2,3,4,...
se sustituyen en la serie y se trata de
determinar una forma analítica.
ja j
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x