1a lista edif
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1. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno
a. š¦2šš¦ = š„2šš„ , š¦(0) = 2
b. (š„2 + 1)š¦Ā“ = š„š¦ , š¦(ā3) = 6
c. š¦Ā“ ā š„š¦ = š¦ , š¦(0) = 1
d. š¦š¦Ā“ āš¦
š„2= 0 , š¦(2) = 0
e. š¦Ā“ =3š„2
š¦ , š¦(1) = 3
2. Uma populaĆ§Ć£o de peixes em um lago tem uma taxa de natalidade natural de 12%
ao ano, e taxa de mortalidade natural de 7% ao ano. Supondo que inicialmente a populaĆ§Ć£o seja de 500 peixes, pede-se:
a. Qual serĆ” a populaĆ§Ć£o apĆ³s 3 anos?
b. Quanto tempo leva para que a populaĆ§Ć£o triplique?
3. Em uma reaĆ§Ć£o quĆmica, dois reagentes A e B formam o produto C, segundo a reaĆ§Ć£o.
A + B ā C
A lei de aĆ§Ć£o das massas estabelece que a taxa de reaĆ§Ć£o Ć© proporcional ao produto das concentraƧƵes de A e B. Se denominarmos as concentraƧƵes iniciais de A e B, respectivamente, por š e š. Pede-se:
a. Escreva a ED que representa a concentraĆ§Ć£o de C em funĆ§Ć£o do tempo;
b. Supondo que: A constante de proporcionalidade da taxa de reaĆ§Ć£o seja 0,1 , š = 30ššš/š , š = 20ššš/š e a concentraĆ§Ć£o inicial de C seja zero. Determine a concentraĆ§Ć£o de C apĆ³s 10 minutos de reaĆ§Ć£o.
4. Suponha que tomemos um objeto de 3kg e lancemos para baixo do alto de uma torre, com velocidade inicial de 2m/s. Considerando que a forƧa de resistĆŖncia do ar Ć© dada por š¹š = šš£, onde š£ a velocidade do objeto, pede-se:
a. Determine a ED que fornece a funĆ§Ć£o velocidade š£(š”);
b. Supondo que o coeficiente de resistĆŖncia (š) seja 2x10ā1 , determine a velocidade do objeto no instante š” =10s
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5. As substĆ¢ncias radioativas decaem por emissĆ£o espontĆ¢nea de radiaĆ§Ć£o, a uma taxa natural proporcional a massa da substĆ¢ncia. Suponhamos que uma amostra de UrĆ¢nio inicialmente com 100mg leva 602 anos para reduzir sua massa para 30mg. Pergunta-se:
a. Determine a ED que fornece a massa de urĆ¢nio da amostra em funĆ§Ć£o do tempo?
b. Calcule a massa restante de urĆ¢nio na amostra apĆ³s 1.000 anos;
c. Determine a meia vida do UrĆ¢nio, ou seja, o tempo necessĆ”rio para que a massa da amostra se reduza pela metade?
6. Num circuito elĆ©trico estĆ£o presentes, um resistor com resistĆŖncia R=12Ī© e uma bobina com indutĆ¢ncia L=4H, ligados em sĆ©rie com uma bateria que fornece uma voltagem constante E=60V.
Supondo-se que o interruptor Ć© ligado no instante š” = 0. Pergunta-se:
a. Determine a ED que fornece a funĆ§Ć£o corrente š¼(š”) em cada instante š”;
b. Qual o valor da corrente no instante š” = 1š ?
c. Qual o valor mƔximo que a corrente irƔ atingir nesse circuito ?
7. Resolva as seguintes EquaƧƵes Diferenciais
a. š¦Ā“ + 3š¦ = šš„
b. šš¦
šš„+ 3š„2š¦ = 6š„2
c. š„2š¦Ā“ + š„š¦ = 1
d. š„š¦Ā“ + š¦ ā š„ššš š„ = 0
E
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8. Resolva os seguintes Problemas de Valor de Contorno
a. (š„šš¦ + 2š¦)šš¦
šš„+ šš¦ + 2š„ = 0 , š¦(1) = 0
b. (2š ššš¦ + š¦)šš„ = ā(2š„ššš š¦ + š„)šš¦ , š¦(0) = 1
c. š¦šš„
š„+ (ššš„ + 6š¦)šš¦ = 0 , š¦(1) = 1
d. (8š„2 + 2š„š¦)šš¦ + (16š„š¦ + š¦2)šš„ = 0 , š¦(1) = 2
9. Suponhamos um circuito elĆ©trico contendo um Resistor com resistĆŖncia R=8Ī© e um indutor com indutĆ¢ncia L=4H. Conecta-se ao circuito um gerador que fornece uma
voltagem alternada, segundo a funĆ§Ć£o š(š”) = 24š šš(š”ā2). Pede-se a expressĆ£o da corrente em funĆ§Ć£o do tempo š¼(š”).
10. Uma substĆ¢ncia Ć© adicionada em um reator quĆmico a uma taxa constante de
š (š
š ā ). A medida que a reaĆ§Ć£o ocorre, a substĆ¢ncia Ć© consumida a uma taxa igual 20% da quantidade de substĆ¢ncia presente na reaĆ§Ć£o. Sabendo-se que incialmente a quantidade de substĆ¢ncia no reator era de 50g, pede-se:
a. Escreva a ED que fornece a funĆ§Ć£o š(š”), que representa a quantidade de substĆ¢ncia presente no reator em funĆ§Ć£o do tempo (em minutos) .
b. Se regularmos a taxa de entrada para š = 0,5 (š
š ) , qual serĆ” a quantidade de
substĆ¢ncia presente no reator apĆ³s 10 minutos ?
c. Em que instante a quantidade de substĆ¢ncia serĆ” 120g ?