1999 Chevalier Thierry Opt

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  • o '~rU~It [II(~j~~ilir INSTITUT NATIONAL POL YTECHNIQUE DE GRENOBLE

    LABORATOIRE D'ELECTROTECHNIQUE DE GRENOBLE

    THESE

    Pour obtenir le grade de

    W attribu par la bibliot~que 1 ~I _ I. _j _ 1 _I_C-;.,I ~ ~_I

    DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

    Spcialit: Gnie Electrique

    Prsente et soutenue publiquement

    par

    Thierry CHEVALIER

    Le 20 dcembre 1999

    Modlisation et mesure des pertes fer dans les machines lectriques,

    Prsident : Examinateurs:

    application la machine asynchrone

    Directeur de Thse:

    Bruno CORNUT et Afet LEBOUC

    JURY

    Monsieur Jean-Pierre CHABRERIE Madame Afef LEBOUC Messieurs Bruno CORNUT

    Jean-Pierre DUCREUX Jean-Marie KAUFFMANN Philippe MAN FE Colin TINDALL

    rapporteur

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  • INSTITUT NATIONAL POL YTECHNIQUE DE GRENOBLE

    LABORATOIRE D'ELECTROTECHNIQUE DE GRENOBLE

    THESE

    Pour obtenir le grade de

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    DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

    Spcialit: Gnie Electrique

    Prsente et soutenue publiquement

    par

    Thierry CHEVALIER

    Le 20 dcembre 1999

    Modlisation et mesure des pertes fer dans les machines lectriques,

    Prsident: Examinateurs:

    application la machine asynchrone

    Directeur de Thse:

    Bruno CORNUT et Afef LEBOUC

    JURY

    Monsieur Jean-Pierre CHABRERIE Madame Afef LEBOUC Messieurs Bruno CORNUT

    Jean-Pierre DUCREUX Jean-Marie KAUFFMANN Philippe MANFE Colin TINDALL

    rapporteur

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  • Remerciements

    Les personnes avec qui j'ai travaill pendant ma thse savent bien, je l'espre, quelle est ma gratitude envers elles. Mais puisqu'il faut des noms en voici! Sans oublier tous ceux et celles qui ont

    su enrichir ces annes passes au Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble.

    Je tiens tout d'abord remercier les membres du jury pour l'intrt qu'ils ont port ce travail. Je remercie Jean-Pierre CHABRERIE qui m'a fait l'honneur de prsider ce jury et de rapporter sur ce travail. Je remercie Jean-Marie KAUFFMANN pour avoir accept d'tre rapporteur. Je remercie

    galement Jean-Pierre DUCREUX et Colin TINDALL pour leur participation constructive.

    Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance Messieurs Franois PELTIER, Jacques SAINT-

    MICHEL et Philippe MANFE pour la confiance qu'ils m'ont accorde en me permettant de raliser

    cette thse, ainsi que pour avoir suivi ce travail et fourni les moyens qui ont permis de le mener

    bien.

    A prsent, je tiens remercier l'quipe "Matriaux magntiques pour le gnie lectrique" du Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble et en particulier Jean-Paul YONNET pour m'avoir permis

    de m'exprimer au sein de cette quipe. Je remercie aussi Christian CHILLET pour m'avoir initi la

    recherche lors de mon DEA et sans qui cette thse n'aurait pas eu lieu.

    Je profite de l'occasion pour exprimer tout le plaisir que j'ai eu travailler avec Bruno CORNUT. Il a contribu pour une part importante aux diffrents choix scientifiques (les bons j'espre) qu'il a fallu faire durant ces travaux. Je tiens lui dire combien j'ai apprci sa critique toujours constructive qui m'a incontestablement apport un soutien scientifique incomparable. Je le remercie aussi pour avoir toujours rpondu prsent mes nombreuses sollicitations lors de la rdaction de ce rapport.

    Pour remercier Afef LEBOUC, je ne sais vraiment pas par o commencer. Tout d'abord, je voudrais la remercier pour sa trs grande disponibilit. Quelle que soit le jour, l'heure, la minute laquelle j'allais la solliciter et quelle que soit la charge de travail qu'elle avait, elle n'hsitait pas m'accorder sans compter de son temps. Et cela a vraiment, pour un thsard en droute dans le doute,

    une valeur inestimable. Je veux lui dire merci aussi pour toutes nos longues et frquentes discussions

    scientifiques et les heures passes devant le banc d'instrumentation du cadre d'Epstein faire la chasse

    aux parasites et autres calamits des chanes de mesure. Enfin, je voudrais la remercier pour ses lectures toujours trs attentives de tout ce que j'ai pu crire au cours de cette thse et en particulier de ce mmoire.

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  • Je tiens remercier Jean-Pierre ROGNON, directeur du laboratoire, et Grard MEUNIER,

    directeur adjoint, grce qui le LEG vit et qui permet ainsi des jeunes chercheurs d'effectuer des travaux de thse dans un environnement multidisciplinaire trs riche et stimulant. Je remercie aussi

    Grard pour son soutien scientifique lorsque je me suis attaqu FLUX3D. Je profite de l'occasion pour remercier Vincent LECONTE et Emmanuel VINOT qui m'ont, de nombreuses reprises,

    galement guid dans le labyrinthe de FLUX3D.

    Je remercie l'ensemble des ingnieurs et techniciens qui ont toujours assur un service de qualit tant au niveau des rsultats que des dlais. Un grand merci Claude BRUN, Daniel OGIER,

    Jacques DAVOINE, Eric GENTIL, Daniel TOMASIK, Bruno MALLET, Marie-Thrse

    LOUBINOUX, Florence FRANCOIS et tous les autres.

    Je remercie galement toutes les personnes avec lesquelles j'ai eu de nombreuses discussions animes, scientifiques ou pas, sources d'mulation indispensables, mon avis, la curiosit et

    l'imagination ncessaire tout chercheur. Parmi toutes ces personnes, je remercie en particulier Eric ATIENZA pour son sens critique aiguis et sa capacit se laisser convaincre, Bertrand RAISON

    pour sa rhtorique lgendaire et aussi Jean-Michel GUICHON, Maxime BESACIER, Jean-Christophe

    CREBIER, Emmanuel VINOT, etc.

    Finalement, je tiens remercier ma femme Christine qui m'a incit faire cette thse et m'a toujours soutenu au cours de ces trois annes de recherche.

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  • Table des matires

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  • Table des matires 5

    INTRODUCTION ................................................................................................................................. 7

    CHAPITRE 1 ANALYSE GNRALE ET HYPOTHSES ......................................................... 11

    1.1 DFINITION DU CADRE DE L'TUDE .............................. ...... ... ....................... .... ....................... 12 1.1.1 Le domaine de la conversion lectromcanique ........................................................... ,. 13

    1.1.2 L'objectif restreint et son critre ..................................................................................... 14 1.2 RSULTATS DES TUDES EXISTANTES ..................................................................................... 14

    1.2.1 Diffrentes solutions ............................................. ....... .................................................... 14 1.2.2 Description rapide de la mthode propose par C. Cester ............................................. 15

    1.2.3 Rsultats sur les machines 4 kW et 5.5 kW ...................................................................... 16

    1.3 ANALYSE GNRALE ET HYPOTHSES DE DPART ............... .. .... ............................................. 17 1.3.1 Hypothses fortes - Simplification du systme ................................................................ 18 1.3.2 Liste des phnomnes irrversibles prendre en compte ................................. .............. 18

    1.3.3 Hypothses lors des tudes prcdentes ........................................... ............................... 21

    1.4 REMARQUES SUR LES MTHODES D'ANALYSE EMPLOYES ET LE CHOIX D'EXPOS ................ 21

    CHAPITRE 2 MODLISATION DES MATRIAUX MAGNTIQUES .................................... 23

    2.1 CLASSEMENT DES LOIS DE COMPORTEMENT ........................................................................... 25

    2.1.1 Loi linaire ...................................................................................................................... 25

    2.1.2 Loi non linaire ... ........ .. .............................. .......................... .. .......... .............................. 25

    2.1.3 Lois hystrtiques ............................................................................................................ 27

    2.2 MODLISATION DU COMPORTEMENT HYSTRTIQUE DYNAMIQUE D'uNE TLE .................... 29 2.2.1 Sparation des contributions statiques et dynamiques ........ .. .................................. ........ 35

    2.3 CHOIX D'uNE LOI DE COMPORTEMENT ............................. ... .................................................... 37

    2.3.1 Modle analytique simple de la contribution statique Hstat(B) ...................................... 37 2.3.2 Modle analytique de la contribution dynamique Hdyn(B,dB/dt) ................................... 42 2.3.3 Modle complet ............................................... ................................................................. 45

    2.4 LES PERFORMANCES DU MODLE ............................................................................................ 45 2.4.1 Modification de l'instrumentation ................................................................................... 46 2.4.2 Les peiformances en terme de modle ... .. ................... : ........ ...................... ..................... 46 2.4.3 Mthode de calcul des pertes .......................................................................................... 49

    2.4.4 Comparaison des pertes .................................................................................................. 51

    2.5 CONCLUSION ........................................................................................................................... 52

    CHAPITRE 3 SIMULATION DES STRUCTURES LECTROMAGNTIQUES .................... 54

    3.1 RSOLUTION DES QUATIONS DE MAXWELL EN 2D ........... ...... .... .... ...................................... 55 3.2 LE CALCUL DES PERTES DANS UNE STRUCTURE COMPLEXE ............................ ... .................... 58

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  • Table des matires 6

    3.3 ApPLICATION LA MACHINE ASYNCHRONE 5.5 KW ...... .. ........ ... ..... .. ... ................................. 60 3.4 SYNTHSE DES RSULTATS .. ................................................................................................... 63 3.5 INFLUENCE DE LA QUALIT DE LA DISCRTISATION SPATIALE ET TEMPORELLE ..................... 64

    3.5.1 La qualit du maillage ..... ...... ........ ........... ....................... ......... .... ....... ..... ......... .. ............ 64

    3.5.2 La discrtisation temporelle ......... .. ........ ... .. .. .. ....... ... .... ... ... .. .............. ... .... .. .... ... ...... ... ... 66

    3.6 VALIDIT DE L'APPROXIMATION DES GRANDEURS ...... ......... . .. . .. ..... ... ............ . ...... . .... ............. 68

    3.6.1 Influence de la largeur ........ ......... ................... .. ....... ....................................................... 68 3.6.2 Sensibilit l'approximation de lafonction B(R) .......... .. ............. .......... .. .. ... .. ...... .. ....... 78 3.6.3 Dfinition des conditions aux limites .................................... .... .............. ..... ................... 81 3.6.4 Qualit de l'approximation locale de l'induction ........... .... .... ... .. ............ ..... .... .. ....... ... ... 81

    3.7 CONCLUSION .. .. .............. ..... .. . .. ........ ..... . .. .... . ... ... ............. .. .... ................... .. .. .......................... 84

    CHAPITRE 4 IDENTIFICATION DES SOURCES DE PERTES SUPPLMENTAIRES.~ ...... 85 4 .1 EVALUATION DES PERTES JOULES DANS LES BOBINES STATOR ............................ ............. .. .. . 87

    4.2 EVALUATION DES PERTES JOULES DANS LE CIRCUIT MAGNTIQUE STATOR .. ........... .. ............ 88 4 .3 Ev ALUATION DES PERTES JOULES DANS LA CARCASSE ALUMINIUM ................ ................ ...... 88

    4.4 EVALUATION DES PERTES JOULES AU ROTOR - CAGE CONDUCTRICE ............... ...................... 89

    4.5 INFLUENCE DES COURTS-CIRCUITS ENTRE TLES ROTOR .... ....... .. ......................................... . . 92

    4.5.1 Les mesures de rsistivit d'un paquet de tles rotor ................ ................... .............. ..... 92

    4.5.2 Cas des courts-circuits rpartis .......... ............ .. .......... .... ........ ... ........... .. .... ... ... ..... ..... ..... 94

    4.5:3 Cas des courts-circuits localiss .... .......... : .. ...... ..... .. ......... ................. ................... .. ........ 94

    4.6 INFLUENCE DES NON SYMTRIES DE LA MACHINE - EXCENTRICIT ET ANISOTROPIE ..... ....... 97 4.6.1 Le calcul numrique partir du rseau de rluctance .... ...... .. ........................................ 98

    4.6.2 Le calcul numrique partir des lments finis .................................................. .......... 102 4.7 ANALYSE SIMULTANE DE TOUS LES PHNOMNES SIGNIFICATIFS (HORS ANISOTROPIE) ... 115 4.8 CONCLUSION ...... ...... ...... ... .. . .. .. .. .... . ....... . ......... .. . ....... . .. .. .. .. ... ... . .... ... . .. .. ... .. ... ...... ................. 117

    CONCLUSION .................................................................................................................................. 118

    BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................ 122

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  • Introduction

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  • Introduction 8

    L'tude que nous allons prsenter, est le fruit d'une collaboration entre le fabriquant de

    systmes d'entranement Leroy-Somer et le Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble. La socit

    Leroy-Somer fabrique des moteurs lectriques, des lectroniques de pilotage, des rducteurs et des

    alternateurs. La division moteur lectrique, implique dans cette collaboration, commercialise toute

    une gamme de machines lectriques allant de 0.06 900 kW. Afin d'anticiper les besoins du march,

    Leroy-Somer a mis en place, depuis dj longtemps, une importante activit de recherche et dveloppement dont les axes principaux sont les suivants:

    Connaissance approfondie des diffrents phnomnes physiques et cration des lois

    correspondantes

    Etude du comportement des machines en utilisant des logiciels de calcul et de

    simulation

    Evaluation des caractristiques des matriaux employs

    Conception optimale des divers composants des systmes d'entranement

    Et enfin, test de nouveaux systmes d'entranement

    Le thme dans lequel nous nous insrons, est celui de l'tude du comportement des machines en

    utilisant des logiciels de calcul et de simulation. Dans notre cas, il s'agit en particulier de rpondre

    un important besoin du fabriquant pour le dveloppement de nouveaux produits, besoin rsum par

    l'objectif suivant: "Soit une machine lectrique quelconque. On souhaite, ds la phase conception, tre capable

    de calculer son rendement. "

    La notion de phase de conception voque ici est bien entendu propre la culture d'entreprise

    de Leroy-Somer. Aussi, pour exprimer le travail d'un point de vue explicite, nous pouvons traduire cet

    objectif de la faon suivante: "Soit une machine lectrique quelconque. A partir de la connaissance de son dossier de

    plans ainsi que de l'alimentation qui lui est impose, on souhaite dterminer, par le calcul, le

    rendement de cette machine. "

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  • Introduction

    Ce qui, en guise de rsum, peut se traduire par le croquis suivant:

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    L'objectif prsent clairement dfini, nous pouvons dcrire les grandes tapes qui ont rythm cette tude ainsi que la faon dont elles seront exposes.

    L'ensemble des machines lectriques voqu prcdemment contient une trs grande diversit

    de systmes. Il peut s'agir la fois de machines de faible puissance ou de turbo - alternateurs, la fois

    de machines courant continu, asynchrone, rluctance, ou autre. Mme si le principe fondamental

    qui rgit leur comportement reste toujours le mme, chaque sous-catgorie possde ses spcificits qu'il faut pouvoir prendre en compte. Qui plus est, dans une seule et mme sous-catgorie, les phnomnes physiques mis en jeu sont nombreux et parfois de nature trs diffrentes. Cela peut aller de l'estimation des frottements mcaniques secs ou visqueux, l'valuation de l'chauffement du

    cuivre en fonction du temps, en passant par la convection de l'air humide en coulement non laminaire

    sur une surface rugosit variable, ou encore bien d'autres choses . La premire tape de notre tude

    consiste donc dfinir avec prcision le domaine sur lequel nous allons commencer travailler, et

    poser ainsi un certain nombre d'hypothses qui permettront d'entamer une tude de taille raisonnable.

    Les hypothses formules seront de deux types. Elles concernent d'une part la restriction du domaine

    d'tude une catgorie de machine et d'autre part la slection des phnomnes physiques qui

    contribuent, notre avis, de manire suffisante caractriser le comportement du systme. Tout ceci

    constitue le premier chapitre. Il faudra videmment par la suite procder l'extension l'ensemble des

    machines lectriques et il pourra tre ncessaire le cas chant de remettre en cause l'une ou l'autre

    des hypothses.

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  • Introduction 10

    Les diffrents phnomnes physiques slectionns prcdemment sont alors classs en deux

    grandes catgories. Une premire catgorie lie aux phnomnes propres au caractre dissipatif des

    matriaux magntiques (l'hystrsis) et une seconde comprenant tous ceux qui existeraient mme en absence d'hystrsis dans les matriaux magntiques. Nous avons choisi pour la suite d'exposer

    sparment les deux sries de rsultats. Ainsi, les chapitres 2 et 3 traitent des aspects lis aux

    matriaux magntiques et le chapitre 4 de tous les autres points.

    Le chapitre 2 est ddi l'analyse des matriaux magntiques d'une manire gnrale, pris hors

    du systme. Il s'agit d'analyser et d'essayer de comprendre le comportement intrinsque de ces

    matriaux. La diversit des matriaux magntiques est importante, le cadre de notre tude se limite

    aux aciers magntiques usuellement utiliss dans les machines lectriques: Fe et alliages FeSi. Cela

    n'exclut pas qu'une partie des rsultats soit valable pour une catgorie plus large de matriaux

    magntiques, mais aucun domaine de validit ne sera dfini ici pour d'autres matriaux. Le rsultat du

    chapitre 2 doit tre l'tablissement d'un (ou plusieurs) modle permettant de reprsenter de manire fiable, par rapport nos hypothses, le comportement de ces matriaux magntiques.

    Le chapitre 3 a pour but de prendre en compte les modles de comportement dfinis au

    chapitre 2 dans des outils plus complets permettant de simuler des structures magntiques complexes

    reprsentes en deux dimensions . Ces outils doivent permettre de donner une estimation de l'nergie

    dissipe dans le systme par les matriaux magntiques. Une premire comparaison avec la mesure

    peut alors tre mene.

    Le chapitre 4 s'intresse aux phnomnes non lis directement aux matriaux magntiques, il

    peut s'agir par exemple de l'aspect conducteur de la carcasse entourant la machine. De nombreuses

    voies sont ici investigues, remettant en cause si ncessaire des hypothses faites au chapitre 1.

    Enfin nous conclurons par une synthse avec diffrentes machines et voquerons des

    ventuelles voies de recherche pour encore amliorer la mthode.

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  • Chapitre 1 Analyse gnrale et hypothses

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  • Analyse gnrale et hypothses 12

    Le systme auquel nous nous intressons est un convertisseur lectromcanique. La loi qu'il

    s'agit de dterminer pour caractriser ce systme est la loi de comportement du transfert de puissance

    de l'lectrique vers la mcanique. Cette loi est spcifique pour chaque convertisseur et dpendante des

    conditions d'excitation lectrique et mcanique qui lui sont imposes. Notre objectif est d'tre capables de dterminer de faon systmatique, partir de la connaissance des plans du convertisseur

    et des excitations imposes, le comportement du convertisseur. Autrement dit, il s'agit de crer un

    outil qui pour chaque dossier de convertisseur et pour chaque condition d'excitation, puisse fournir la

    valeur du transfert de puissance pour le convertisseur concern. De ce point de vue, les entres de

    notre outil sont de deux types, d'une part la connaissance des plans du convertisseur et d'autre part les

    caractristiques de la source d'alimentation lectrique et de la charge mcanique. Les sorties de notre

    outil sont deux puissances, d'une part la puissance absorbe la source lectrique et d'autre part la

    puissance fournie la charge mcanique. Dans toute cette tude on prend le parti que la puissance

    transite de l'lectrique vers la mcanique, cela facilite la comprhension des phnomnes lorsqu'on

    manipule des puissances positives mais ne limite en rien la caractrisation du systme qui accepte des

    puissances ngatives et donc un transit de puissance de la mcanique vers l'lectrique.

    Le cadre d'tude ainsi dfini reste trs large et la diversit des diffrentes entres susceptibles

    de s'appliquer sur notre outil (plans, alimentations, charges) est si grande que l'on ne sait par o commencer. Aussi nous proposons nous de restreindre cette tude, dans un premier temps, des cas

    particuliers de convertisseur lectromcanique. Elle pourra, par la suite, tre largie toutes les

    catgories de machines lectriques. Un certain nombre de travaux ont dj t raliss et apport des premiers rsultats. Ce premier chapitre va se drouler en deux temps:

    Tout d'abord nous dfinissons le cadre particulier de la conversion lectromcanique dans

    lequel nous plaons l'tude, savoir la restriction uri type de machine et une gamme de puissance.

    Dans un second temps au vu des travaux dj raliss, nous reformulons les hypothses qui permettent de prendre en compte tous les phnomnes ncessaires une modlisation fidle de la

    ralit ainsi que d'largir au maximum le domaine de validit.

    1.1 Dfinition du cadre de l'tude

    Nous allons dfinir ici la catgorie de machine sur laquelle nous allons travailler et prciser les

    hypothses supplmentaires que nous nous imposons sur les entres de l'outil que nous voulons mettre

    en place. Tout ceci nous conduira reformuler, pour ce cas prcis, l'objectif de l'tude voqu dans l'introduction.

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  • Analyse gnrale et hypothses 13

    1.1.1 Le domaine de la conversion lectromcanique

    Le domaine de la conversion lectromcanique est trs vaste, la partie qui nous intresse ici est

    uniquement celle des machines tournantes. Cette catgorie couvre encore, elle seule, plusieurs chelles de grandeurs : On y trouve des machines dont le diamtre va de quelques millimtres

    quelques mtres. Parmi ces machines il existe plusieurs technologies, slectionnes en fonction de

    l'application et des contraintes qui lui sont lies. Toute la difficult consiste ici retenir le type de

    machine et la gamme de puissance sur laquelle on va initialiser l'tude, tout en restant ouvert au

    maximum, afin de faciliter par la suite l'intgration des autres technologies dans l'outil que nous allons

    raliser.

    En ce qui concerne la gamme de puissance, on souhaite a priori que le modle qui va tre tabli

    soit valable sans limitation de puissance. Cependant, pour des raisons pratiques, il est beaucoup plus

    facile de travailler sur des machines de petite et moyenne puissances. Les validations que nous allons

    mener se feront donc dans une gamme de puissance autour de la dizaine de kilowatts. Les rsultats

    restent a priori applicables n'importe quelle gamme de puissance, cependant nous n'effectuerons ici

    pas de validation pour des gammes de puissances plus leves ou plus faibles que celle mentionne.

    La premire hypothse de taille est que l'on se limite des systmes lectromcaniques

    tournants, qui sont des moteurs (transfert de puissance essentiellement de l'lectrique vers la mcanique). Cela tant dit, il n'y a 'pas de diffrence fondamentale entre un moteur et un gnrateur, ceci ne devrait donc pas tre une limitation en terme de sens de transfert.

    Parmi les moteurs lectriques, on distingue qatre grandes familles. Les moteur courant continu, les moteurs asynchrones, les moteurs synchrones et les moteurs rluctance variable. On

    souhaite que le modle puisse s'utiliser indpendamment du type de structure utilise pour le moteur.

    Cependant comme prcdemment on se focalisera sur un type de moteur (tout en gardant l'esprit le cadre plus gnral) afin de limiter le domaine d'investigation. Le type choisi est le moteur asynchrone cage.

    Comme nous avons dfini ci-dessus le type de machine analys, nous allons prsent faire

    quelques hypothses sur les types d'excitations lectrique et mcanique subis par notre systme.

    En ce qui concerne les entres de l'outil, elles se limitent ce qui correspond 80% des

    applications actuelles, mais en essayant de garder l'esprit J'introduction de tout autre type

    d'excitation . Du ct de l'entre lectrique on considre une source de tension infinie (non limite en courant) qui dans notre cas est en gnral la source triphase du rseau de distribution. En ce qui concerne l'entre du ct mcanique on considre une charge qui impose un couple constant.

    Les sorties du systme sont alors facilement mesurables et comparables la simulation. La

    sortie du ct lectrique est la puissance absorbe par le systme que l'on mesure l'aide des deux

    grandeurs courant et tension. Du ct mcanique, la sortie est la puissance fournie la charge mesure

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    l'aide des deux grandurs couple et vitesse. En ralit, le critre de sortie qui nous intresse est le

    taux de conversion de l'nergie lectrique en nergie mcanique ou autrement dit, le rendement de la

    machine. Ce taux est toujours infrieur 1 et ce que nous allons chercher dterminer est la part d'nergie qui est fournie du ct lectrique et n'est jamais restitue du ct mcanique. Cette puissance lectrique non restitue est transforme par le systme en chaleur et restitue au milieu

    extrieur par ce moyen. C'est cette puissance que nous voulons tre capable de dterminer.

    1.1.2 L'objectif restreint et son critre

    Comme nous avons limit le domaine d'tude nous pouvons prsent reformuler l'objectif de l'tude en fonction des nouvelles contraintes que nous avons slectionnes. Il peut s'exprimer de la

    faon suivante:

    "Soit un moteur lectrique asynchrone de puissance moyenne, aliment par une source de tension sinusodale et charg couple constant. On souhaite, partir du dossier de plans, calculer

    le rendement de ce moteur" Afin de dfinir si l'objectif est atteint ou non, nous fixons un critre d'acceptation qui est le

    suivant:

    "L'objectif est considr comme atteint lorsque la puissance dissipe calcule est gale 10% prs celle que l'on mesure sur une machine ralise"

    1.2 Rsultats des tudes existantes

    La ncessit de produire des machines toujours plus performantes, susciter de nombreuses tudes s'accordant avec l'objectif que nous venons d'voquer. Nous prsentons un aperu des diffrentes solutions proposes, parmi lesquelles celle dveloppe depuis plusieurs annes au LEG

    pour laquelle nous dtaillerons les rsultats .

    1.2.1 Diffrentes solutions

    Une mthode trs souvent utilise est celle qui consiste sparer les phasesdeca1cul de champ

    et Jes phases de calcul de pertes. Dans un premier temps on ralise une reprsentation classique de la

    machine J'aide d'un outils de calcul numrique de champ afin d'obtenir une carte d'volution du

    champ dans la structure modlise. On utilise ensuite ces rsultats pour donner une estimation des

    pertes fer. Les diffrences apparaissent sur le choix de la mthode d'estimation des pertes. Jayaraman

    propose de dcomposer chaque signal d'induction en srie puis d'utiliser une formule gnrale de

    sparation des pertes [JAY-94]. McClay propose un calcul similaire en utilisant une intgration temporelle [Mcc-96]. Bertotti propose une estimation des pertes qui inclut une dcomposition

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    vectorielle [BER-9la]. Ces mthodes donnent des rsultats intressants pour les parties o le champ contient peu d'harmonique, elles ne satisfont pas en revanche ds que le taux d'harmonique est

    important comme dans les ttes de dents. La mthode propose au LEG permet de rpondre ce

    problme.

    D'autres mthodes proposent contrairement aux mthodes prcdentes procder une

    premire simplification du problme afin de pouvoir utilis des modles d'estimation de pertes plus

    complets. Dupr choisit de rduire la gomtrie une seule dent et de combiner la rsolution un

    modle de Preisach [Dup-97]. Jingli choisit d'introduire un lment dissipatif dans les quations lectriques de la machine pour les rsoudre en incluant a priori les pertes [JIN-94]. Ces mthodes sont mises en dfaut pour une machine structure complexe cause des simplifications gomtriques a

    priori quelles supposent.

    La mthode trs originale de Kyt6mm [KYT-97], consiste en une approche entirement empirique des pertes. Il slectionne une dizaine de paramtres tels que: le nombre de ples, la masse

    des dents, l'ouverture d'isthme, le nombre de dents, etc. Puis l'aide d'essais sur un grand nombre de

    machines il tablit une formule de pertes qui dpend de tous ces paramtres. Il valide ces rsultats par

    des essais sur plus de 400 machines.

    Pour notre tude, nous avons choisi poursuivre les tudes entames au LEG et notamment dans

    le cadre de la thse de C. Ces ter [CEs-96]. Dans sa thse, C. Cester dcrit une mthode qui permet de donner une premire estimation du rendement dans des conditions proches de celles que nous avons

    cit plus haut. Son tude portait sur une seule machine, un moteur asynchrone de 4 kW. Dans un

    premier temps nous allons dcrire brivement la mthode employe par C. Cester, puis nous allons

    ensuite appliquer cette mthode deux machines de "morphologie" diffrente que nous avons choisies

    pour supporter notre tude, l'une 4 ples de 4 kW dj tudie et l'autre 2 ples de 5.5 kW.

    1.2.2 Description rapide de la mthode propose par C. Cester

    La mthode propose par C. Cester est base sur une rsolution approximative des quations de

    Maxwell en deux dimensions et un calcul a posteriori des pertes fer. Le principe de la mthode est

    donc la succession de deux tapes qui s'organisent de la manire suivante.

    Dans un premier temps on calcule l'aide d'une mthode lments finis deux dimensions la

    valeur locale du potentiel vecteur et son volution au cours du temps. Les quations rsolues sont les

    quations classiques de Maxwell dans l'approximation des tats quasi stationnaires. La loi qui

    reprsente le matriau magntique est non linaire mais reste une bijection. La rsolution est alors ralise par une mthode itrative qui permet la convergence chaque pas de temps vers une solution

    approximative . Cette rsolution donne sur le maillage, qui reprsente la machine, l'volution

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    temporelle des grandeurs magntiques. La carte d'induction obtenue l'issue de cette tape est la

    solution dfinitive pour les valeurs de l'induction.

    Dans un second temps on se base sur la carte dfinitive de l'induction pour estimer les pertes fer

    dans chaque lment du maillage de la machine. Pour cela on reconstitue sur chaque lment partir

    de la connaissance de B(t) le cycle d'hystrsis subi par cet lment. Cette reconstitution se base sur une approche exprimentale. Le matriau est caractris sur cadre Epstein par un grand nombre de

    mesures ralises avec le matriau constitutif de la machine. Ces mesures sont rsumes sous forme

    de surfaces R(B,dB/dt) qui permettent d'obtenir connaissant les valeurs instantanes de B(t) et dB(t)/dt une valeur de R(t) qui lui correspond. Ainsi on reconstitue sur une priode un cycle et on estime les pertes fer en intgrant le produit RdB. En tenant compte du volume, on obtient ainsi pour chaque

    lment la valeur de la puissance dissipe sur cet lment. Et en intgrant sur tous les lments on

    obtient la valeur de la puissance totale dissipe.

    1.2.3 Rsultats sur les machines 4 kW et 5.5 kW

    Pour ces deux machines les matriaux magntiques utiliss au rotor et stator sont diffrents. TI

    s'agit de la mme qualit de tles MlOOO-65D, mais l'une a subi un traitement thermique de recuit

    (stator) .t l'autre pas. Les caractristiques magntiques employes aussi bien pour la simulation lments finis lors de la premire phase que pour le calcul des pertes lors de la seconde phase sont

    diffrentes. Cela ncessite bien entendu de raliser une caractrisation spare pour chacun de ces

    deux matriaux. La simulation numrique est effectue avec une discrtisation de 200 pas par priode.

    Les mesures et les simulations sont effectues pour un fonctionnement vide de la machine, la machine tournant la vitesse de synchronisme. Les rsultats de puissances dissipes sont rsums

    dans le Tableau 1-1 pour le 4 kW et dans le Tableau 1-2 pour le 5.5 kW. Dans les rsultats que nous

    prsentons, nous sparons galement les pertes mesures en deux parties, cette sparation ne

    correspond pas la sparation pertes stator, pertes rotor, mais la sparation puissance transmise

    lectriquement, puissance transmise mcaniquement (par la machine entranant l'ensemble au synchronisme) . Cependant la rpartition puissance entre puissance fournie lectriquement et puissance fournie mcaniquement donne une bonne indication sur la rpartition entre pertes stator et

    pertes rotor [Ces-97], aussi nous indiquerons pour les mesures, la puissance fournie lectriquement dans la colonne stator et la puissance fournie mcaniquement dans la colonne rotor. TI faut par

    consquent garder l'esprit que cette sparation est donne titre indicatif et que les valeurs

    comparer sont les pertes totales .

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    (en W) Stator Rotor Total Simulation 108 38 146

    Mesure 117 60 177

    Ecart -8 % -36 % -17 %

    Tableau 1-1- Pertes fer dissipes dans le 4 kW

    (en W) Stator Rotor Total Simulation 127 43 170

    Mesure 138 160 298

    Ecart -36 % -57 % -43 %

    Tableau 1-2 - Pertes fer dissipes dans le 5.5 kW

    On observe dans les deux cas une sous-estimation des pertes. L'cart est nettement plus marqu

    dans le cas de la machine 5.5 kW que dans celle de la machine 4 kW. Tout ceci indique que la

    mthode contient certaines hypothses qui occultent des phnomnes importants pour l'estimation des

    pertes. L'objectif de la partie qui va suivre est de faire une analyse de l'ensemble des phnomnes qui peuvent contribuer ces pertes et de librer un maximum des hypothses prsentes dans l'tude que

    nous venons d'voquer. Ensuite nous dfinissons clairement les hypothses avec lesquelles nous

    entamerons notre tude afin de pouvoir ventuellement les remettre en cause le moment venu.

    1.3 Analyse gnrale et hypothses de dpart

    L'tude se limite un cas simple: On considre1a charge nulle, c'est--dire un couple de charge

    nul. L'tude s'intresse donc une machine fonctionnant vide. Dans ce cas la puissance mcanique

    est nulle et la puissance lectrique absorbe est compltement dissipe sous forme de chaleur.

    L'nergie fournie sous forme lectrique traverse pour tre transforme sous forme mcanique

    les diffrents organes qui constituent la machine. Elle commence par les fils de cuivre qui constituent

    les bobines du stator. Elle passe par le circuit magntique du stator et du rotor. Une partie se

    transforme en courant dans les conducteurs du rotor. Elle passe par l'arbre qui en dissipe une partie

    par ses points de contact (roulements, air) et fournit ce qui reste la charge. On peut alors distinguer donc trois grandes classes de phnomnes dissipatifs intervenant dans

    notre systme. Les pertes joules dans les matriaux conducteurs, les pertes dans les matriaux magntiques usuellement appeles pertes par hystrsis et les pertes par frottements mcaniques. On

    s'efforcera d'analyser par la suite systmatiquement toutes ces catgories.

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    1.3.1 Hypothses fortes - Simplification du systme

    L'ensemble de notre tude se place dans le cadre de trois hypothses gnrales importantes qu'il

    est ncessaire de ne jamais oublier lors de l'interprtation des rsultats.

    La premire hypothse forte est que l'on considre une reprsentation en 2 dimensions de notre

    systme, dans un plan perpendiculaire l'axe de rotation. On suppose que cette reprsentation

    contient tous les phnomnes qui nous intressent. Par consquent, on nglige tous les phnomnes

    qui ont lieu en extrmit du circuit magntique tels que les flux de fuite, les forces lectromotrices

    induites dans les ttes de bobines, etc ...

    La seconde hypothse concerne les contraintes mcaniques . On suppose que dans notre systme

    aucun des lments n'est mcaniquement contraint et on suppose donc qu'ils se comportent tous de la

    mme manire que s'ils taient pris sparment du dispositif.

    Enfin, on ne s'intresse qu'aux phnomnes lectromagntiques. C'est--dire que l'on ne fera pas

    d'tude au niveau thermique, on suppose qu'il n'existe pas d'influence de la temprature sur les

    phnomnes lectromagntiques que nous tudions (excepte bien entendu la variation de la rsistivit du cuivre qui est parfaitement connue). Par ailleurs, toutes les validations exprimentales seront effectues en rgime thermique stationnaire.

    1.3.2 Liste des phnomnes irrversibles prendre en compte

    On essaye de rdiger prsent une liste exhaustive des phnomnes irrversibles apparaissant

    dans le cadre des hypothses mises ci-dessus. Pour apprcier l'exhaustivit de la liste, nous

    comparerons la somme des puissances dissipes, calcules pour chaque phnomne qu'elle recense,

    la mesure : Si la valeur mesure est suprieure celle calcule, alors, peut-tre un phnomne a-t-il

    t oubli.

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    Voici la liste des phnomnes que nous allons considrer tout au long de cette tude:

    Les pertes joules dans les bobines stator Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator

    Les pertes joules dans le circuit magntique stator Les pertes joules dans la carcasse aluminium Les pertes joules dans les conducteurs rotor Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor

    Les pertes joules dans le circuit magntique rotor Les pertes mcaniques

    Les pertes supplmentaires gnres par une non symtrie de la machine -

    excentricit, anisotropie

    Nous donnons ici quelques dtails sur chacun des phnomnes que nous venons d'voquer afin

    de bien prciser le contenu de chaque phrase.

    Les pertes joules dans les bobines stator

    En continu on mesure sans problme la rsistance R. de chacune des bobines. En rgime

    variable 50 Hz l'paisseur de peau est de 1 cm dans le cuivre. La taille des fils tant bien infrieure

    1 cm, on peut calculer la puissance dissipe par R 1(t)2. La seule difficult se prsente lors de la mise en uvre de la mesure de la rsistance. En effet, faisant exception l'hypothse nonce plus haut, la

    rsistance varie avec la temprature mais selon une loi que l'on connat bien. Il convient donc de

    mesurer la rsistance au bon moment ou de bien connatre la temprature du bobinage du moteur.

    Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator

    De loin les plus dlicates estimer. Les matriaux magntiques ont des comportements

    intrinsquement complexes, ceci cumul des gomtries tout autant complexes rend la tche

    difficile. Une premire mthode a t voque au paragraphe prcdent, il s'agit prsent de mettre en

    uvre une mthode compatible avec les prcisions que l'on souhaite obtenir ainsi qu'avec les

    contraintes imposes par l'informatique. Une importante partie de l'tude sera consacre cela.

    Les pertes joules dans le circuit magntique stator

    Thoriquement, le circuit magntique du stator est constitu d'un empilage de tles censes tre

    parfaitement isoles les unes des autres. Dans la pratique l'isolation entre tles est ralise par

    oxydation de surface et ce n'est jamais parfait, aussi, les tles qui sont un milieu conducteur ventuellement soumis un flux variable, peuvent tre le sige de courants induits. Les contacts tle

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    tle peuvent se faire sur toute la surface ou tre localiss en-des points particuliers: surface prs de

    l'entrefer, surface de contour d'encoche, etc ...

    Les pertes joules dans la carcasse aluminium

    La carcasse aluminium, elle aussi, est un milieu conducteur ventuellement soumis un flux de

    fuite extrieur au paquet de tles stator. Elle est donc susceptible d'tre le sige de courants induits.

    Les pertes joules dans les conducteurs rotor

    Les conducteurs rotor sont l pour faire circuler un courant et crer le couple qui fasse tourner

    la machine. Le mme calcul que dans le cas du bobinage stator, intgrale de R.J(t)2, peut en thorie tre appliqu. Cependant, ici deux lments rendent difficiles l'estimation de ces pertes:

    D'une part les barres de la cage, toutes en court-circuit les unes avec les autres, sont

    gnralement soumises des pulsations de flux de denture hautes frquences.

    D'autre part, la barre est un conducteur massif unique dont la valeur de la rsistance varie,

    mme frquence relativement basse.

    Aussi, aucun des deux termes R ou lU) n'est facile dterminer.

    Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor

    Il s'agit ici exactement des mmes phnomnes que ceux dcrits pour les pertes par hystrsis

    stator.

    Les pertes joules dans le circuit magntique rotor

    Ici encore les remarques sont les mmes que dans le cas du stator. Cependant, elles sont

    d'autant plus pertinentes que les tles qui constituent le rotor ne sont pas isoles les unes des autres et

    qu'elles subissent encore des usinages aprs assemblage, notamment sur la priphrie du rotor.

    Les pertes mcaniques

    On s'efforce de rduire au maximum toutes les sources de frottements, en supprimant la

    ventilation ainsi que les caches roulements. Ensuite on mesure les pertes mcaniques par une mthode

    de dclration et on estime qu'en rgime permanent vitesse constante ces pertes sont constantes.

    Les pertes supplmentaires gnres par une non symtrie de la machine - excentricit, anisotropie

    L'excentricit ou l'anisotropie peuvent entraner des rpartitions ingales du flux dans le circuit

    magntique, qui gnrent alors des pertes supplmentaires.

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    Comme voqu dans l'introduction, nous avons choisi pour la suite de l'tude de regrouper tous

    ces phnomnes en deux catgories. D'un ct nous considrerons les phnomnes qui se rapportent

    aux pertes dans les matriaux magntiques, savoir:

    Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique stator

    Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor

    Ces phnomnes seront tudis ensemble, dans le chapitre 2 puis 3. Et d'u!l autre ct, nous

    considrerons dans le chapitre 4 tous les aspects non lis l'hystrsis. Cette rpartition est impose

    par la complexit importante des phnomnes magntiques.

    1.3.3 Hypothses lors des tudes prcdentes

    Afin de bien mesurer l'influence de tous les phnomnes, nous rappelons ici ceux qui ont dj t pris en compte dans les calculs prsents au paragraphe prcdent:

    Les pertes joules dans les bobines stator Les pertes mcaniques

    Les pertes par hystrsis dans le circuit magntique rotor et stator (mais pour partie seulement, et dans le cadre d'un certain nombre d'hypothses imposes par leur

    calcul, hypothses qui seront dtailles dans les chapitres correspondants)

    1.4 Remarques sur les mthodes d'analyse employes et le choix d'expos

    La mthode d'analyse employe a t la mme tout au long de l'tude. Elle se droule selon le

    principe suivant: On fait un certain nombre d'hypothses en faisant confiance soit au savoir-faire dans

    le domaine des machines lectriques, soit l'intuition. On met en uvre la mthode d'estimation

    dfinie suite cette srie d'hypothses. On ralise une mesure du critre d'atteinte de l'objectif que nous nous sommes fix (1O% des pertes). Si, au vu du critre, l'objectif n'est pas atteint, on remet en cause une des hypothses que nous avons formule (de prfrence celle qui nous semble pouvoir apporter le plus d'amlioration possible). La mthode d'estimation est alors modifie pour prendre en compte le nouveau phnomne. Une nouvelle mesure du critre est effectue et ainsi de suite ...

    Il existe prsent deux faons de prsenter l'tude. Soit de faon "chronologique", c'est dire

    dcrivant toutes les itrations effectues sur les hypothses, soit de faon "synthtique", en prsentant

    en un bloc tous les phnomnes analyss pendant la dure de l'tude. Chaque mthode a des avantages

    et des inconvnients.

    La description de toutes les itrations effectues n'est pas propice la rdaction d'un rapport

    clair et concis sur les diffrents rsultats obtenus. De plus le fait d'avoir men plusieurs actions en

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  • Analyse gnrale et hypothses 22

    parallle ne facilite pas une rdaction chronologique. Une rdaction synthtique est donc intressante

    de ce point de vue. Les inconvnients d'une rdaction synthtique sont que:

    D'une part nombre de voies infructueuses n'apparaissent pas forcment dans le rapport, et on

    peut alors se demander si elles ont t investigues.

    D'autre part l'origine de certaines ides ou concepts, issus de voies infructueuses, peut devenir

    trs nbuleuse.

    Aussi, afin de limiter la taille de ce rapport, nous avons opt pour la rdaction synthtique avec,

    par endroits, l'insertion de quelques passages "historiques" afin d'clairer le lecteur sur l'origine ou la

    finalit de certaines ides .

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  • Modlisation des matriaux magntiques 24

    L'objectif de cette partie est d'tablir un modle de comportement des tles lectriques valable dans le cadre des hypothses dfinies au chapitre prcdent. On souhaite de plus imposer ce modle une contrainte de type informatique. En effet, la finalit du modle tant l'utilisation dans des outils de

    calcul numrique, il est important que le modle soit efficace aussi bien du point de vue du temps de

    calcul que du point de vue de l'utilisation de la mmoire.

    Le systme magntique que nous souhaitons caractriser est donc une tle lectrique de section

    rectangulaire (largeur a et paisseur b), suppose infinie dans le sens de la longueur (Figure 2-1) . Le comportement de cette tle est entirement dfini par la connaissance de deux grandeurs, le champ

    magntique H" en surface de la tle et le flux magntique moyen

  • Modlisation des matriaux magntiques 25

    2.1 Classement des lois de comportement

    Les lois constitutives des matriaux magntiques sont complexes, elles sont la fois non

    linaires, anisotropes, dissipatives et dpendantes du pass. Malgr tout, il est ncessaire, pour

    raliser la modlisation d'un systme comprenant des matriaux magntiques, de disposer d'un modle

    de comportement de ces matriaux magntiques. Aussi, a-t-on pris l'habitude de considrer un certain

    nombre de simplifications que l'on classe en trois catgories fonction de leur degr de simplification.

    Elles se rpartissent ainsi:

    Linaire

    N on linaire

    Hystrtique

    Les lois linaires et non linaires sont des lois rversibles alors que les lois hystrtiques ne le

    sont pas . Nous prsentons succinctement chacune des trois catgories.

    2.1.1 Loi linaire

    Il s'agit de la loi la plus simple. Dans ce cas les champs B et H sont toujours colinaires et proportionnels. Le rapport de proportionnalit est souvent exprim par rapport /10 ce qui correspond

    alors la permabilit relative du matriau ([2-1]). - -B = fia . fir . H [2-1]

    Cette loi est utilise essentiellement dans deux contextes bien caractristiques: soit en premire

    approximation dans des problmes o la prcision n'est pas un lment critique, problme de pr-

    dimensionnement par exemple, soit sur une plage de champ si restreinte, que la loi relle devient

    effectivement linaire.

    2.1.2 Loi non linaire

    Il s'agit d'une loi dans laquelle les champs B et H sont toujours colinaires, mais dont les intensits sont lies par l'intermdiaire de la courbe de saturation (Figure 2-2). C'est la loi la plus couramment utilise dans les problmes lectrotechniques, et plus particulirement dans des outils de

    calcul ou de simulation de structures lectromagntiques.

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  • Modlisation des matriaux magntiques 26

    B

    H

    Figure 2-2 - Courbe de saturation, points exprimentaux

    Il existe deux "philosophies" pour reprsenter mathmatiquement ce type de loi, soit par

    approximation de fonction, soit par interpolation. Par approximation, il s'agit de dterminer les

    paramtres d'une fonction dfinie l'avance afin qu'ils permettent cette fonction de "coller" au

    mieux aux points exprimentaux. Par interpolation il s'agit de dfinir un groupe de fonctions qui

    relient tous les points exprimentaux avec des contraintes de drivabilit. Nous donnons quelques

    exemples classiques de reprsentation par approximation ou interpolation.

    Fonctions d'approximation, o a, ~ et y sont des paramtres de rglage: Relation de Frohlich-Kennelly [JIL-91] :

    H B= +yH a+fJH

    Arctangente [ABU-89] : H B = a arctan(-) + y. H fJ

    Formule de Roug [NIc-91] : H = a . B + fJ . B 2y+1

    Formule qui doit tre substitue par [2-5] pour tendre vers la rluctivit du vide l'infini. a . B + fJ . B 2y+1

    H = ---'-----::---f.Lo . (a + fJ . B 2.y) + 1

    Exponentielle [BRA-75] :

    H =(aef3 B2 +y)B

    Fonctions d'interpolation:

    [2-2]

    [2-3]

    [2-4]

    [2-5]

    [2-6]

    Par splines cubiques de classe C2 [DEL-94]. C'est une fonction qui passe bien par tous les points exprimentaux, mais dont un seul point mal plac peut modifier l'allure de la courbe

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  • Modlisation des matriaux magntiques 27

    sur un grand intervalle et entraner des oscillations indsirables qUi rendent alors la

    fonction non monotone.

    Akima propose une interpolation cubique de classe Cl originale [DEL-94], o la pente en un point exprimental ne dpend que des deux points gauche et des deux points droite,

    rduisant ainsi l'influence d'un point un intervalle restreint.

    2.1.3 Lois hystrtiques

    Il Y a aujourd'hui beaucoup de travaux sur la modlisation des lois constitutives dissipatives des matriaux magntiques. On peut distinguer deux grandes tendances quant l'approche de ces lois hystrtiques. La premire consiste en une approche "empirique" ou "mathmatique" dans laquelle on

    ne se proccupe pas de la physique du matriau mais o l'on cherche dfinir un outil mathmatique

    approchant au mieux le comportement des grandeurs observes (typiquement rseaux de neurones). La seconde, se qualifie au contraire d'approche "phnomnologique" et se base sur la connaissance

    des phnomnes physiques intervenant dans le matriau pour essayer d'en extraire des rgles

    gnrales de comportement.

    La principale difficult pour reprsenter l'hystrsis magntique vient du fait que le

    comportement prsent du systme est conditionn par son histoire. Pour une mme condition

    d'excitation plusieurs volutions sont possibles, fonction de ce qui s'est prcdemment pass. Une des

    faons de prendre en compte ce pass consiste par exemple mmoriser le dernier point pour lequel

    l'excitation a chang de sens et dcrire ainsi l'volution du systme fonction de ce point que l'on

    appelle point de rebroussement. Les modles utilisant ce principe sont les modles statiques de type

    Duhem, ils se basent sur un cycle majeur et sont complts par deux familles de courbes une montante et une descendante (Figure 2-3). En chaque point du plan (H, B) il ne passe qu'une seule courbe de la famille montante et qu'une seule courbe de la famille descendante. Ainsi chaque fois que l'on change

    de sens on se replace soit sur la famille de courbes montantes soit sur la famille de courbes

    descendantes en fonction du nouveau sens de variation que l'on vient d'adopter. TI existe de

    nombreuses fonctions qui permettent de dcrire ces familles de courbes, entre autres: [PoT-71] avec des tangentes hyperboliques, [ZAH-83] avec des sinus puissance n, [Oss-91] avec des polynmes.

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  • Modlisation des matriaux magntiques 28

    2

    Famille de~cendante "..- r ~ 0 1.5

    "" ~ ~ ri ;1 ;1

    "

    .0 --,.~ .. -.. j --,-- J Fa~e ~ontante 1

    ./ ..-/'

    0.5

    E 0 III

    -0.5

    -1

    -1 .5

    -2 -1500 -1000 -500 o 500 1000 1500

    H (Alm)

    Figure 2-3 - Modle de type Duhem (Potter - Schmulian)

    Dans tous les cas, ces modles sont simples mais peu prcis, l'histoire tant dcrite trop

    sommairement par rapport la ralit. TI existe alors des modles qui utilisent une reprsentation de

    l'histoire beaucoup plus complte, comme par exemple le modle de Preisach [MAY-91]. Ce modle, bas sur une reprsentation statistique de cycles d'hystrsis rectangulaires lmentaires et permet de

    dcrire le comportement quasi-statique du matriau. TI a donc t et est encore beaucoup tudi et de

    nombreuses variantes ont t proposes, entre autres par Della Torre avec le "Moving Madel" [DEL-66] ou le "Complete MovingModel" [VAl-92a], [VAJ-92b]. Certains outils mathmatiques, comme les rseaux de neurones permettent aussi de reprsenter par identification un comportement hystrtique

    [SAL-97]. On trouve galement des modles inspirs par des considrations physiques, comme le modle de Jiles [JIL-91] bas sur la thorie du champ molculaire de Weiss ou le modle de Bergquist [BER-95] bas sur des considrations thermodynamiques. Tous ces modles sont des modles qui permettent de reprsenter le comportement statique des matriaux. Or, ce que nous intresse ici est de

    dcrire le comportement du systme "tle magntique". Les courants induits qui se dveloppent dans

    la tle lui confre des proprits dynamiques qu'il faut modliser.

    Pour introduire les aspects dynamiques dans la modlisation, une premire solution qui a dj t publie de nombreuses fois est de procder une rsolution numrique de l'quation de diffusion

    en utilisant une des lois locales de comportement que nous avons voque prcdemment. Del

    Vecchio prsente une rsolution en ID avec un modle de Preisach statique [Dvc-82]. Basso et Bertotti proposent une rsolution identique mais avec une loi hystrtique statique dveloppe pour

    l'occasion et base sur des considrations de dplacement de paroi [BAS-98]. Malgr des premiers

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  • Modlisation des matriaux magntiques 29

    rsultats intressants, cette approche reste insuffisante car elle ne prend pas en compte la dynamique

    des parois dans le matriau.

    Bertotti propose, en s'appuyant sur sa thorie statistique du mouvement de parOI, une

    adaptation performante du modle de Preisach base sur les "Magnetics Objects" . Son modle contient dj l'ensemble des termes de pertes permettant ainsi une meilleure reprsentation du comportement de l'ensemble du systme [BER-91b], [BER-92]. Ce modle conduit une reprsentation de l'aire du cycle qui varie en fonction de la frquence f avec la loi de l'quation [2-7].

    Aire(f) = Co + Cl . f + C2 .J1 avec CO,Cl et C2 constantes [2-7]

    Cependant pour amliorer la prise en compte des courants induits dans le modle propos par

    Bertotti, certains auteurs proposent de le coupler une rsolution de l'quation de diffusion. Rouve

    propose une rsolution en utilisant le Dynamic Preisach Model qui inclus ainsi les pertes en excs

    [Rou-96] et Bottauscio compare diffrentes formulations pour effectuer cette rsolution [BOT-98]. Dans ce dernier cas, la simulation donne des rsultats trs proches de la mesure quelle que soit la

    frquence d'excitation.

    Malgr de trs bons rsultats ces modles ne conviennent pas notre problmatique, du fait de

    l'utilisation d'une rsolution numrique, ils sont tous trs coteux en temps de calcul et en place

    mmoire. De plus, il ne se prsente pas sous une forme favorable pour notre systme. En effet nous

    souhaitons dcrire une loi sous la forme R(B) et le modle se prsente, comme la plupart des modles, sous la forme B(H) . Son utilisation ncessite donc la nllse en place de l'inversion de ce dernier ce qui implique un processus itratif numrique qui nous renvoie au problme de temps de calcul. Nous

    allons donc, dans la suite de ce chapitre, nous atteler dfinir une reprsentation R(B) de notre systme "tle magntique" qui soit la fois performante et informatiquement efficace.

    2.2 Modlisation du comportement hystrtique dynamique d'une tle

    On a vu combien il est difficile de modliser le comportement dynamique des tles lectriques.

    Des tudes antrieures sur le comportement des tles en rgime trapzodale [KED-86], [MAH-95] ont montr que pour une induction crte donne, les pertes magntiques par cycle (P/f) ne dpendent pas de la frquence du trapze mais de sa pente dB/dt. Il en est de mme pour le cycle dynamique du

    matriau. Le paramtre dB/dt est donc un paramtre dterminant pour le comportement du matriau.

    Ceci s'explique bien par le fait que les pertes sont engendres localement par des variations de flux

    induit lors des dplacement de parois. D'o l'ide de caractriser le matriau par deux paramtres B et

    dB/dt. Pour caractriser le comportement il faut alors, chaque couple (B, dB/dt), associer le champ R correspondant [CEs-97]. Pour cela on s'appuie sur une dmarche exprimentale qui permet de dterminer la surface R(B, dB/dt). Nous effectuons des mesures sur cadre Epstein avec diffrents

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  • Modlisation des matriaux magntiques 30

    signaux et diffrentes frquences. Afin de pouvoir classer efficacement les rsultats nous choisissons

    les signaux de telle faon qu'ils se classent facilement suivant le paramtre dB/dt.

    Voici comment nous allons construire le tableau de donnes dont nous avons besoin. Le

    matriau est caractris l'aide d'un cadre Epstein automatis qui permet d'imposer la forme des

    signaux que l'on souhaite et de faire l'acquisition numrique du cycle rsultant. La Figure 2-4 et le

    Tableau 2-1 schmatisent le principe de la mthode. Tout d'abord nous imposons un signal d'induction

    triangulaire afin qu'en valeur absolue la valeur de dB/dt soit constante. Ensuite pour un signal

    triangulaire d'amplitude et de frquence donne, nous effectuons une discrtisation du cycle mesur

    sur le cadre et stockons la liste des points obtenus dans une colonne du tableau de donnes. Puis, nous

    modifions la frquence du triangle sans changer l'amplitude pour obtenir une nouvelle valeur de dB/dt.

    Pendant toutes les mesures l'amplitude du triangle est maintenue constante, si bien que le tableau

    obtenu est celui correspondant cette amplitude. Pour la suite nous appelons cette amplitude Be (pour B crte).

    1.5

    0.5

    t:o

    0.5

    1

    -1.5

    2

    ..... -.-... ,, - ... ..... , -- '., ..... ~ .......... _. .... - ..... .... .. . ... .... . ......... ......... ... -..... ~ .

    . / ~

    / \ .. \ .. 1 ..

    ..

    ..

    ..

    i+- IdB/dtl = e st 1.. .. . . 1

    0.2 0.4

    \ \

    \ 1

    0.6

    lime(s)

    / V

    / V

    0.8

    ............................

    ..

    "

    1.2

    2

    1.5

    1

    0.5 -t:. 0 m

    0.5

    -1

    -1.5 V r-

    -2 -1500 -1000 -500

    fi'" / ... J / ~J r i\ 1 1 \ 1 \ 1 1

    1 ~ 1/

    ../

    o

    H(A/m)

    (B,H) = (1.3,-72)

    500 1000

    Figure 2-4 - Principe de mesure des donnes exprimentales

    1500 tel-0

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    Tableau des Valeurs de dB/dt en T/s

    valeurs de H pour

    Valeurs de B en T -9 000 -8 990 -8 980 o 8 980 8 990 9 000

    0.1 -3010 -3006 -3000 1290 1295 1300 t----------1I--::-::-+----I----+- --------:- - -- ---- -+ - - - - - - - --f----+---+---~ 0.2 -2957 -2953 -2948 : ' 1350 J 356 1362 1-------..-11---+----1----+------- - ~- --- ----- ~ ------- --1---+---+----1 0.3 -2839 -2835 -2832 1480 1487 1495

    , ,

    t----------1I---7----7------7 ------- - -!- - - - - - - - - ~ - - - - - - - - .L..., -----'----7----., ,

    ---------~--------, , ,

    , , , , , , , , ,

    --------- --------~---------T---------~-------- --------- -------. , , ,

    l '1 1 ---------r-------- --.---.-. --------,---------T---------r--------

    , , , , , , , ,

    I-----------It----;---.-----i-- - - - - - - - ~- - - - - - - - -: - - - - - - - - -r--:.,----r--.,----;------l 1.7 5820 5812 5800 ,7100 7126 7150 , ,

    t--------t-7=-6-:-:2~4-+---=7-::6-:-:1 0:--1-7=-6-:-:0:-:-0-+- - - - - - - - -:- - - - - - - - - ~ - - - - - - - - -f--8- 9-0-0 -+--8-9-2-8-+-8-95-5..-1 1.8 : : , , , ,

    Tableau 2-1 - Principe de classement des mesures exprimentales

    31

    Afin de mieux se reprsenter le tableau de donnes, nous pouvons en faire une reprsentation

    graphique sous forme d'une surface (Figure 2-5) qui donne H en fonction des deux paramtres B et dB/dt. Si on ralise une coupe de cette surface dans un plan dB/dt = est, on retrouve une courbe

    d'aimantation de H en fonction de B. Pour la valeur dB/dt = 0 on observe alors une reprsentation du

    cycle quasi-statique. L'chelle de variation de H tant relativement grande sur la Figure 2-5 il est

    ncessaire de faire un zoom autour de dB/dt = 0 pour observer ce qui s'y passe. La Figure 2-6 prsente

    ce zoom et le cycle quasi-statique apparat clairement.

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    H (Alm)

    H (Alm)

    14000~----------1------1

    -4000

    B (T) 0.4 . -15

  • Modlisation des matriaux magntiques 33

    suffit lorsque l'on dispose d'un signal B(t) de calculer le signal dB/dtU), puis pour chaque valeur de t d'estimer la valeur de H(t) par le tableau. Ceci ncessite bien sr de procder une interpolation pour joindre tous les points du tableau. L'interpolation effectue est linaire partir des trois points les plus proches. Cette reprsentation donne de trs bons rsultats pour la reprsentation des cycles majeurs d'amplitude gale Be quelle que soit la frquence. Un exemple pour 50 et 200 Hz est donn sur la

    Figure 2-7.

    1.5

    .~r/ r~ ~ ~ ~. V 1 ) )

    V f 1 V W 1 .J V ( ( 1 /

    Xx ~ ~ VJ pc; ~

    0.5

    -1--al

    0.5

    1

    1.5

    2 1000 800 600 400 200 o 200 400 600 800 1000

    H (A/m) -Estim "'*" Mesur

    Figure 2-7 - Reprsentation l'aide de la surface H(B,dB/dt) pour B sinus 50 et 200 Hz

    Par contre, ds que l'amplitude crte du signal calculer est infrieure Be ou qu'il y a des

    cycles mineurs, la discontinuit que l'on observe sur la Figure 2-6 gnre une erreur importante

    d'estimation. Pour tenter de minimiser cette erreur, C. Ces ter a propos un certain nombre de

    correctifs apporter la mthode, mais sans cependant en changer le principe.

    Dcrivons rapidement les correctifs proposs. Il s'agit tout d'abord de crer une surface pour

    chaque valeur crte d'induction si bien que, pour chaque signal estimer on dispose d'une surface

    adapte . La mthode dcrit bien le cas de cycles majeurs mais prsente deux inconvnients: D'une part, il faut stocker un nombre important de surfaces et donc beaucoup d'information.

    D'autre part il faut connatre tout le signal B(t) l'avance pour slectionner la meilleure surface utiliser.

    Cette contrainte de la connaissance avant calcul de l'ensemble du signal B(t) est trs forte, car elle limine dfinitivement l'utilisation d'un tel modle comme loi de comportement dans les outils de

    simulation. Ensuite, C. Cester propose de mettre en place une dtection des cycles mineurs, toujours partir de la connaissance pralable du signal pour, dans les cas de ces cycles mineurs, rduire la

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  • o t-.. (\J ..,.

    !Xl (J) o T-I() o

    Modlisation des matriaux magntiques 34

    discontinuit en modifiant la surface initiale. Malgr ces corrections, les manipulations

    supplmentaires introduites par le choix de la surface et la dtection des cycles mineurs gnrent des

    erreurs, notamment en prsence de composante continue ou de cycles mineurs de grandes tailles. Des

    rsultats obtenus avec cette mthode dans le cas d'un cycle avec composante continue sont prsents

    sur la Figure 2-8. Pour pouvoir faire cette comparaison, il a fallu bien entendu dvelopper un

    appareillage de mesure adapt. Le dtail sur la mthode employe pour ces mesures sera donn au

    paragraphe concernant comparaison.

    E co

    1.6

    1.5 ~----------~~~~--~~~~-----4~~~----~-----------1

    1.4

    1.3

    1.2

    1.1 -500 o 500 1000 1500 2000

    H (A/m) 1-Mesur -+- Estim 1 Figure 2-8 - Reprsentation d'un cycle avec composante continue par la surface H(B, dB/dt)

    Afin d'identifier les causes d'chec de la reprsentation prcdente, nous avons analys de

    manire systmatique les diffrentes donnes dont nous disposions. Pour cela nous avons compar

    l'ensemble des surfaces dtermines avec des inductions crtes diffrentes. Pour mener cette

    comparaison, nous avons cherch ne conserver des surfaces que les parties "communes". Pour ce

    faire nous avons supprim chaque surface le cycle quasi-statique mesur avec la mme induction

    crte que celle utilise lors de la caractrisation de la surface. Le rsultat de cette comparaison a fait

    apparatre que les parties "communes" toutes les surfaces taient identiques quelle que soit la

    surface. Autrement dit, la contribution dynamique au cycle d'hystrsis est une surface indpendante

    de \' induction crte utilise pour la caractriser.

    Cette analyse, nous a donc amen proposer une nouvelle reprsentation, dans laquelle nous

    sparons le champ H(t) en deux contributions, l'une que nous appelons statique H"ral et qui correspond au comportement dans le cas o dB/dt est nul et une autre que nous appelons dynamique et qui

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  • Modlisation des matriaux magntiques 35

    correspond la quantit ajouter au Hstat pour obtenir le H rel. Nous notons cette contribution supplmentaire Hdyn .

    2.2.1 Sparation des contributions statiques et dynamiques

    Nous travaillons prsent avec une seule surface, celle qui correspond 1'induction crte

    maximum que nous ayons obtenue en mesure, dans notre cas 1.8 T. Pour dterminer de manire

    exprimentale la partie H dyn il suffit de soustraire au champ H(B,dB/dt) mesur la valeur Ho(B) correspondant H(B,O). Ce champ Ho(B) comporte deux branches 1'une H(B,O+) et 1'autre H(B,O) correspondant aux deux branches du cycle quasi-statique (Figure 2-9). Fonction du signe de dB/dt 1'une ou 1'autre des branches est utilise pour oprer la soustraction.

    2.0

    1.5

    1.0 f--__ +--_---If--_--+ __ -+!r..,....~--:; H(B,O+) ---t-----t----j 0.5

    E 0.0 III

    -0.5 f----+----j--- H(B,O) /--tt1r---r--r----t-----t---

    -1 .0

    1.5

    2.0 ....... _ ......... _-_ .. - ._--_.-'-------'----_ .......... _ . _-_ .................. _-

    -4000 -3000 -2000 -1000 o 1000 2000 3000 4000

    H (Atm)

    Figure 2-9 - branches du cycles quasi-statique soustraire H(B, dB/dt)

    La surface obtenue qui correspond la surface de la Figure 2-5 moins le cycle de la Figure 2-9

    est reprsente sur la Figure 2-10. Comme prcdemment il est intressant de faire un zoom autour de

    la valeur dB/dt = 0 (Figure 2-11). On peut y noter qu'videmment cette nouvelle surface H dyn ne comporte plus de discontinuit.

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  • Modlisation des matriaux magntiques 36

    Hdyn (Atm)

    14000~----------------------r-----------~

    -4000

    B (T) 0.4 Cl. -151100

    o

    15000 7500

    dB/dt (T/s)

    Figure 2-10 - Surface reprsentant la contribution dynamique du champ ( comparer la Figure 2-5)

    4500,------------------------,--------------------,

    Hdyn (A/m)

    1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0 2 Q . -2000

    -1000 dB/dt (Tls)

    B (T)

    Figure 2-11 - Surface reprsentant un zoom sur la contribution dynamique du champ ( comparer la Figure 2-6)

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  • Modlisation des matriaux magntiques 37

    Nous avons donc obtenu une dcomposition du champ total H en deux parties, une partie H stat

    qui reflte le comportement statique, et une partie Hdyn qui est reprsente par la surface de la Figure

    2-10 et qui correspond au complment ajouter pour reconstruite le champ total H. Pour pouvoir utiliser cette dcomposition de manire efficace, nous nous proposons de dfinir prsent une

    reprsentation mathmatique pour chacune des parties Hstat et Hdyn.

    2.3 Choix d'une loi de comportement

    La reprsentation mathmatique de Hstat est importante car c'est elle qui doit permettre de

    prendre en compte les cycles mineurs et de grer les diffrents niveaux d'induction ainsi que la

    discontinuit. La reprsentation de Hdyn correspond quant elle une simple formulation

    mathmatique de la surface reprsente Figure 2-10.

    2.3.1 Modle analytique simple de la contribution statique Hstat(B)

    Nous proposons un modle d'hystrsis statique qui fournisse la loi de comportement de H en

    fonction de B pour le matriau que nous tudions. C'est un modle empirique simple qui est

    videmment bien moins prcis que les modles bien connus tels que celui de Preisach ou de Jiles

    voqus au paragraphe 2.1.3. Il prsente par contre l'avantage de s'exprimer sous forme analytique,

    donc d'tre instantan calculer, et de reprsenter malgr tout de manire cohrente les cycles

    mineurs. Nous prsentons ici rapidement les proprits ce modle.

    La description du modle prsente deux plages de comportement distinctes :

    D'une part les inductions leves (ici, B suprieur 1.67 T) pour lesquels le comportement est simplement non linaire (Figure 2-12) .

    D'autre part les inductions faibles (ici, B infrieur 1.67 T) pour lesquelles le comportement est hystrtique.

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    E fIl

    2.4 '--'

    2.2

    2

    1.8

    1.6

    1.4

    1.2

    1 1000

    -------

    j...---

    ~ /

    6000 11000 16000 H (A/m)

    21000 26000

    Figure 2-12 - Courbe utilise pour reprsenter les inductions leves

    38

    i 1 !

    1 1

    1

    1 i 1

    1

    1

    1

    1

    Pour reprsenter le comportement hystrtique (B infrieur 1.67 T) nous utilisons le principe dj propos par d'autres auteurs [JIL-84], [HOL-96] ou [HIR-98] qui consiste scinder le champ H en deux contributions, l'une rversible Hrev et l'autre irrversible Hirr. La partie rversible est identifie la courbe anhystrtique du matriau, obtenue en appliquant un champ magntique alternatif

    d'amplitude dcroissante un champ magntique constant [Boz-53]. Cette courbe est ensuite reprsente par une fonction, qui se trouve pouvoir tre dans notre cas la combinaison des quations

    [2-8] et [2-9]. Ces formules fonctionnent bien ici, mais ne sont pas du tout gnriques. On pourrait se contenter par exemple d'une interpolation linaire ou trouver une autre fonction du type de celles du

    paragraphe 2.1.2 qui approcherait la courbe anhystrtique.

    x(B) = ( ? ) avec a = 0.14 et c = 1.295 a B - + c

    B [2-8]

    H rev (X(B=A.( 1 3- 1 3]avecA=50et z =I.001 Z + x(B )' z - x(B)

    [2-9]

    Pour la partie irrversible, il nous faut introduire l'histoire du matriau pour pouvOIr

    diffrencier le comportement en fonction des vnements passs. Nous conservons la transformation

    de B en x l'aide de l'quation [2-8] et choisissons pour caractriser cette histoire d'utiliser une variable supplmentaire L1x qui reprsente une image de la distance parcourue par la variable x depuis

    le dernier rebroussement. Cette notion est bien entendue dj introduite par d'autres auteurs, notamment ceux qui proposent des familles de courbes de renversement (voir paragraphe 2.1.3). La

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  • Modlisation des matriaux magntiques 39

    partie irrversible dpend donc de deux paramtres, x et Llx. De la mme faon que pour la dfinition

    de Hrev, nous n'avons pas essay de trouver une expression gnrale pour Hirr mais nous nous sommes

    contents de reprsenter au mieux les courbes de renversement et cycles mineurs et avons dtermin

    intuitivement une fonction qui convenait. L'expression obtenue est celle de l'quation [2-10].

    H irr (x, &) = C . &d . (1 + 2 'Ixle) si x croissant

    Hirr(x,&)=-C&" . (1+2 lxl e) si x dcroissant

    1 avec C = 55 d = - et e = 3

    , 3

    La valeur de B.,tat est ensuite reconstitue en appliquant la formule de l'quation [2-11] . H(x(B),&) = Hrev(x(B)) + Hirr(x(B),&)

    [2-10]

    [2-11]

    Le modle est ensuite appliqu sur diffrents cycles afin de valider son comportement. li est

    important de remarquer que le modle comporte une variable histoire qui est toujours initialise 0, ce qui introduit un transitoire numrique qui oblige faire deux passages dans le modle pour atteindre les valeurs dfinitives de la solution. Nous prsentons tout d'abord le comportement du

    modle sur des cycles majeurs de diffrentes amplitudes (Figure 2-13 et Figure 2-14). On observe que l'estimation est correcte, cependant pour les faibles niveaux d'amplitude on voit apparatre (encart de la Figure 2-14) des lignes horizontales aux sommets du cycle (lignes qui n'existent pas dans la mesure) . Ces lignes sont dues une prise en compte trop sommaire de l'histoire qui est l'image de frottements secs, ce qUI n'est pas uniquement le cas dans la ralit. Les carts restent cependant

    faibles . tel-0

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    E III

    E III

    2.0 .. +-

    1.5

    1.0

    0.5

    0.0

    -0.5

    -1.0

    -1.5 -+ ..

    -2.0 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 o 1000 2000 3000 4000 5000

    1 -+-. Estim --Mesur 1 H (Alm)

    Figure 2-13 - Comparaison des cycles 1.7T

    2.0 '0 .. - ............ 0 .... -.0.0 ....... 0 .. -.0.' ........ 0 ... o._ ..... _ .. ooo._.o_o .... o..,.. __ .... ____ -,_. ____ . ___ o_. _ .......... 0.0 .. __ ... 000 ...... 0._. 0_'0' __ '_"' __ _

    1.5

    1.0

    0.5

    0.0

    -0.5

    -1.0

    0.8 ro - -- - '--- 0 1

    :: 1 ~V f ! rrr E :: f-I ~+l-l--+/--H~'+-----li ./ CIl Il. f

    -0.2 f-.--lH--+--I-t-+---i -0.4 ..... l ----41--+-11

  • Modlisation des matriaux magntiques 41

    2.0 1

    1.5

    1.0

    0.5

    ~ p-I;{ 1

    E 0.0 CD

    ~~ ~,

    -0.5

    -1 .0

    -1.5

    )~l .-d:

    ~,

    -2.0 ......................... _ .. .. _ .... _._---_._- _. __ .------ -----1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

    H (Atm) I-Mesur -t-Estim l

    Figure 2-15 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs

    2.0 ............ H. ___ __ ____ H .H ___ .... ___ _ _ __ .. _ _ ... _ ..... _-- _ .

    1.5

    1.0

    0.5

    1 JJ ~// ~ 1 J-~I

    E 0.0 .~ ~~

    CD

    -0.5

    -1.0

    -1.5

    i~ ~ J, fj V/~ 'lE ~ ~.

    -2.0 '---_._.

    -600 -400 -200 o 200 400 600

    H (Atm) 1-Mesur -t- Estim 1 Figure 2-16 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    E CO

    2.0 r----r---,---..,.--~--~-~--,---..,.--~--

    1.5 f--+--+--+--+----tl~ ~~b~~iIIIIII~~~~ .4~~ 1.0 ~--~-----+----~----+---~~1-4~~~---+----~----4---~

    1 0.5 l 0.0 1 ..

    -0.5

    -1.0 I----+----I------l---+-~~f!:-I-+-E---I----+----l----I--~ ~~'

    -1.5 ~~~iiiiiiiiiiiij_l_~=Ps===t-rJttIt!i!!!.+-+-+-_+-_+-__1 -2.0 1 ..... .. .......... -... ....... - _ .. ___ L-_---1._ .. _ .... _- ........ _ .... - ... - .... - .... - _ ................ - ---

    -1000 -800 -600 -400 -200 o 200 400 600 800 1000 H (A/m) I-Mesur -t-Estiml

    Figure 2-17 - Comparaison des cycles avec des cycles mineurs

    42

    On peut noter que le modle se comporte de faon tout fait cohrente avec ces cycles mineurs.

    Il respecte les variations et les courbures, cependant on retrouve, pour les cycles mineurs de petite

    amplitude, le mme dfaut que pour les cycles majeurs de faible amplitude, c'est--dire une discontinuit horizontale. On note ce dfaut systmatique du modle qui consiste agrandir les cycles

    de petite taille. Cela est d une modlisation trop simpliste des effets dissipatifs : Nous avons ici

    considr une variable histoire trs simple et qui s'apparente des frottements secs uniformes. Des

    amliorations pourraient tre faites en introduisant une variable histoire plus complte, mais cela

    alourdirait forcment le modle, ce que nous voulons absolument viter.

    D'une manire gnrale, le modle donne une prcision tout fait satisfaisante pour les calculs

    que nous souhaitons mener. A titre d'exemple, l'cart sur les pertes quasi-statiques dans le cas de

    cycles majeurs est toujours infrieur 10% et il est infrieur 15% dans les cas de la prsence de cycles mineurs.

    2.3.2 Modle analytique de la contribution dynamique Hdyn(B,dB/dt)

    Pour dfinir une reprsentation analytique de la surface HdYII nous projetons tout d'abord cette surface dans une srie de plans de coupe B = Cst. Puis pour chaque plan de coupe nous donnons une

    expressIOn analytique de la fonction Hdyn(dB/dt). Nous procdons ensuite une synthse des diffrentes fonctions obtenues afin d'obtenir une formulation unique pour toute la surface. Les

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  • Modlisation des matriaux magntiques 43

    courbes obtenues par projection dans les plans de coupe B = Cst sont donnes pour quelques valeurs de B sur la Figure 2-18.

    4000

    3000

    2000

    -E

    x '

    B = 1.3 Tl x l f

  • Modlisation des matriaux magntiques

    2000

    1500

    1000

    $ 500 I

    0

    -500

    -1000 -15000

    pa",Le, de liaJe ;--:---/ / 1 Il

    -X2 ,

    1 ,

    , , , , , ,

    ! ,~ V pente: bJ--/

    .Jo '

    -10000 -5000

    pente: a+ 1 -X1 VI X : X1 : pente: aO

    o dB/dt (T/s)

    5000

    A v---pente: b+ :

    , ,

    ! X2

    10000 15000

    Figure 2-19 - Fonction utilise pour reprsenter la surface H dYII

    44

    Les paramtres a+, aO, b+ et bO une fois identifis sont reprsents par des croix sur la Figure

    2-20. L'volution de ces quatre paramtres tant linaire nous pouvons, en introduisant le signe de

    dB/dt, les approcher par des fonctions simples dcrites dans l'quation [2-12] et reprsentes en trait continu sur la Figure 2-20. Dans cette quation, a+ et aO sont reprsents par la mme fonction a et b+

    et bO par la mme fonction b.

    0.6

    0.5

    0.4 .Q -Q) 0.3

    Q) 0.2 Q) c..

    0.1

    o

    -0.1

    ~ ~ a+ ...-l ~ ~ ~~ ~ ~ ~

    K ,.-K ~ ~ ~ b+ ~ ~ ~ _v

    ~ _v

    ~ bO aO_

    o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2

    B (T) 1- ?(- Mesure --Estime

    Figure 2-20 - Pentes des portions de droite

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  • Modlisation des matriaux magntiques

    a(B) = Co + Cl' B sign{dB) dt

    b(B) = Do + Dl . B sign(dB) dt

    45

    [2-12]

    La combinaison de la description dans les plans de coupe et la dfinition des fonctions a et b

    permettent de reprsenter la surface Hdyn par une fonction dfinie dans l'quation [2-13]. Si IdB/dtlX2 :

    H (B dB) =b(B). dB + (XI+x2) (a(B)-b(B)) .si n(dB) d.l'll ' dt dt 2 g dt

    Avec l'quation [2-13] nous disposons prsent d'une description analytique de la surface Hdyn dfinie sans limite d'induction ou de vitesse de variation d'induction.

    2.3.3 Modle complet

    Pour le modle complet, on utilise simplement la superposition des deux parties que nous

    venons de dcrire. Ainsi, partir de la connaissance de la fonction B(t), on calcule numriquement sa drive, puis on value pour chaque pas de temps la contribution statique et la contribution

    dynamique [2-14]. dB dB

    H(B,-) = H ,tat (B) + H d\'11 (B,-) dt ' . dt [2-14]

    2.4 Les performances du modle

    Dans un premier temps, nous dtaillons les modifications qui ont t apportes au banc de

    mesure Epstein pour pouvoir raliser la comparaison entre modle et mesure, puis ensuite nous

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  • Modlisation des matriaux magntiques 46

    dtaillons les rsultats pour des sries de signaux caractristiques. A la fois sur la comparaison de

    cycle et d'estimation de pertes.

    2.4.1 Modification de l'instrumentation

    Nous avons modifi le banc de mesure afin d'tre capables d'injecter et de mesurer des formes d'onde de B avec une composante continue. Pour cela on utilise deux enroulements primaires:

    Un dans lequel on injecte et on asservit un courant constant, afin d'imposer un champ d'excitation continu et constant.

    Un dans lequel on injecte un courant variable, asservi afin d'imposer une forme d'onde dfinie autour d'un point de polarisation.

    La difficult consiste en la mesure de l'induction du point de polarisation, la mesure du champ

    d'excitation tant facile puisque l'on asservit le courant dans le premier enroulement primaire. Cette

    difficult vient du fait que le niveau de polarisation varie en fonction du signal que l'on asservit au

    secondaire du cadre. En effet la fonction! qui transforme H en B est non linaire, donc la moyenne de

    !(H) est diffrente de f(moyenne de H). Cela ncessite donc de mesurer la valeur moyenne de B pour chaque signal impos au secondaire. Pour cela on ralise un montage qui permet de commuter le

    courant constant du premier enroulement de +le -le et ainsi de mesurer la diffrence de flux entre les deux tats et d'en dduire la valeur de la composante continue de l'induction.

    Nous disposons, prsent, pour effectuer les comparaisons d'un cadre Epstein asserVi qui

    permet de reproduire sur l'chantillon n'importe quelle forme d'onde de l'induction et de dterminer

    prcisment son comportement magntique.

    2.4.2 Les performances en terme de modle

    Afin d'valuer rellement les performances du modle dynamique que nous venons de proposer,

    nous utilisons une srie de formes