18.5 – A equação da ondaOscilador harmônico: vimos que é solução da

equação diferencial

Qual a equação diferencial que rege a propagação de uma onda transversal em uma corda esticada?

)cos()( txtx m

xdt

xd 22

2

Vamos analisar a dinâmica de um elemento infinitesimal de corda, de comprimento δx e massa δm=μδxAplicando a 2a. Lei de Newton, chegamos (quadro-negro) na famosa equação da onda em 1D:

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

F

v

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

Vamos verificar que a função é solução da equação da onda:

tkxytxy msen),(

tkxykx

ytkxky

x

ymm sencos 2

2

2

tkxyt

ytkxy

t

ymm sencos 2

2

2

tkxyv

tkxyk mm sen1

sen 22

2

Substituindo na equação da onda:

É solução, com a condição: k

v

18.7 – O Princípio da SuperposiçãoQuando duas ondas y1(x,t) e y2(x,t) se propagam simultaneamente, o deslocamento resultante é y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) (Princípio da Superposição)

Exemplo: Dois pulsos

http://www.youtube.com/watch?v=yevr1hWJPZI

“Colisões” entre pulsos

Análise de Fourier

Joseph Fourier (1768-1830)

Qualquer forma de onda pode ser construída a partir da superposição de ondas senoidais!

Exemplo: “dente-de-serra”

x

x

λ

λ

Pode-se mostrar que:

...4sen4

13sen

3

1

2sen2

1sen

1)(

kxkx

kxkxxy

(série de Fourier)

http://www.youtube.com/watch?v=KxoZtt22HTg

Exemplo: onda quadrada

Um pulso também pode ser construído pela superposição de ondas senoidais:

(mais útil para transmitir informação do que uma onda senoidal simples)

Às vezes, cada componente senoidal do pulso se propaga com velocidade diferente: pulso se distorce – dispersão.

Exemplo: luz em meios materiais - prisma

Pulso se propaga com velocidade de grupo (diferente da velocidade de fase)

18.8 – Interferência de ondasConsidere duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se na mesma direção e sentido, com uma diferença de fase Δø:

tkxytxy msen),(1

tkxytxy m sen),(2

Onda resultante:

),(),(),( 21 txytxytxy

tkxytkxy mm sensen

Usamos o resultado:

2

cos2

sen2sensen

Onda resultante:

2

sen2

cos2),(

tkxytxy m

Amplitude da onda resultante

Casos especiais:

tkxytxy m sen2),(

0.1

(interferência construtiva)

0),( txy

.2

(interferência destrutiva)

http://www.youtube.com/watch?v=ovZkFMuxZNc

Interferência em 2D:

interferência construtiva

interferência construtiva

interferência construtiva

interferência destrutiva

interferência destrutiva

18.9 – Ondas estacionáriasVamos considerar agora duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda, propagando-se em sentidos contrários:

tkxytxy m sen),(1

tkxytxy m sen),(2

Onda resultante:

),(),(),( 21 txytxytxy tkxytkxy mm sensenUsamos novamente o resultado:

2

cos2

sen2sensen

tkxytxy m cossen2),(

não é uma onda progressiva, e sim uma onda estacionária (não tem a forma f(x±vt), mas ainda assim é solução da equação da onda)

http://www.youtube.com/watch?v=yCZ1zFPvrIc

Onda estacionária: alguns pontos da corda têm sempre amplitude zero (nós), enquanto outros oscilam com amplitude máxima (antinós)

tkxytxy m cossen2),( Cálculo das posições dos nós: onde o deslocamento é sempre nulo?

0sen nkx inteiro) ( nnkxn

Sabendo que 2

k2

2

nxnx nn

x2

0

2

2

3

Nós estão separados por λ/2

tkxytxy m cossen2),(

Cálculo das posições dos antinós: amplitude máxima

1sen akx inteiro) ( 2

1nnkxa

22

1

nxa

4

4

4

3

x

18.10 – Ondas estacionárias e ressonânciaVamos analisar as ondas estacionárias em uma corda com extremidades fixas

Extremidades fixas = nósModos normais de oscilação:

l

21l l21 1o harmônico (modo

fundamental)

2l l 2 2o harmônico

2

3 3l

3

23

l 3o harmônico

De maneira geral:n

ln

2

lDe maneira geral:

n

ln

2

A corda só irá oscilar substancialmente para estas freqüências: freqüências de ressonância

l

vnfn 2

Freqüências:

vf

Kit LADIF: corda

Na Mecânica Quântica as “ondas de matéria” têm comportamento análogo: diz-se que as freqüências (energias) são quantizadasPartícula quântica em uma caixa: função de onda e probabilidade