FEP0111 - Fısica I

Relatorio do Experimento 1

Sistema Massa - Mola

Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa

4 de novembro de 2005

Sumario

1 Introducao 2

2 Objetivos 2

3 Procedimento experimental 2

3.1 Metodo estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Metodo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4 Resultados 3

4.1 Metodo estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Metodo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Discussao e conclusao 8

1

1 Introducao

Esse relatorio descreve o experimento Sistema Massa - Mola, realizado no dia 7de outubro de 2005, na turma A de laboratorio de fısica da disciplina FEP0111- Fısica I, ministrada para o Instituto Oceanografico. Aplicam-se conceitosbasicos de fısica experimental, como teoria de erros e medidas, assim comoalguns conceitos de mecanica, centrando-se no estudo de um sistema constituıdopor uma mola e uma massa fixada.

2 Objetivos

Este experimento tem como objetivo a determinacao da constante elastica k,de uma mola, por meio de analise grafica. Esta determinacao sera efetuada deduas maneiras distintas: estatica e dinamicamente.

3 Procedimento experimental

3.1 Metodo estatico

Nessa etapa do experimento, utilizamos corpos de diferentes massas, para medir,com uma escala vertical milimetrada, a distensao de uma mola de constanteelastica k. O sistema em estudo pode ser observado na Figura 1.

Figura 1: Sistema massa-mola vertical. O corpo de massa m e colocado no apoioao final da mola, onde e exercida a acao da forca peso e a forca restauradora damola, em sentido oposto.

Foram colocados 5 objetos de massas diferentes na base da mola, e medidoo deslocamento ∆x para cada objeto. O peso de cada objeto foi medido emuma balanca digital com precisao de 0, 0001kg. O deslocamento ∆x foi medidoatraves de uma regua graduada de acrılico, de 30cm, com incerteza de 0, 0005m.Os dados obtidos estao disponıveis na Tabela 1.

3.2 Metodo dinamico

Nessa etapa do experimento utilizamos os Objetos 1, 2, 3, 4 e 5, no mesmoesquema experimental da Figura 1, mas nesse caso colocamos o sistema para

2

medida Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4 Objeto 5m ± 0,0001 (kg) 0,0615 0,1112 0,0184 0,0199 0,0202x ± 0,0005 (m) 0,1040 0,1870 0,0300 0,0345 0,0335F ± 0,0001 (N) 0,6015 1,0875 0,1799 0,1946 0,1976

Tabela 1: Medidas da massa, forca e deslocamento vertical da mola

oscilar. Utilizando um cronometro, com precisao de 1 milisegundo, efetuamosa medida do tempo ocorrido apos dez oscilacoes, determinando assim o perıodode oscilacao da mola. Foram utilizadas 10 oscilacoes ao inves de somente 1, paraobter uma medida mais confiavel do perıodo da mola, pois em experimentos emque se usa cronometro ha sempre um certo atraso do medidor em aciona-lo nocomeco e fim do evento de interesse a ser medido. Com 10 oscilacoes se diluiesse efeito na primeira e ultima oscilacao.

Os dados desse experimento estao disponıveis na Tabela 2.

medida Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4 Objeto 5m ± 0,0001 (kg) 0,0615 0,1112 0,0184 0,0199 0,0202t10 ± 0,01 (s) 6,93 9,04 4,59 4,75 4,28T ± 0,001 (s) 0,693 0,904 0,459 0,475 0,428

Tabela 2: Medidas da massa m, tempo t10 de dez oscilacoes e perıodo T

4 Resultados

4.1 Metodo estatico

Uma maneira de analisar os dados da Tabela 1 e atraves do diagrama de disper-sao de F por ∆x, com o qual temos uma visualizacao mais direta do comporta-mento do sistema. No eixo das abscissas colocamos os valores das distensoes damola (deslocamento vertical), no eixo das ordenadas colocamos as correspon-dentes forcas que proporcionam esta variacao em x.

O grafico resultante das medidas da Tabela 1 se encontra na Figura 2.Podemos observar uma relacao linear bem forte entre as duas quantidades.

Sabemos pela Lei de Hooke [2] que:

F = kx

e portanto:

k =∆F

∆x

Podemos portanto obter o valor da constante elastica da mola atraves docoeficiente angular da reta de regressao linear de mınimos quadrados passandopela origem. Fazendo esse ajuste no R [3], obtemos:

> mod.reg <- lm(forcas ~ -1 + deltax)

> summary(mod.reg)

3

0.05 0.10 0.15

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Deslocamento vertical da mola ∆x (m)

For

ça c

orre

spon

dent

e (N

)

Figura 2: Sistema massa-mola vertical. Grafico de diagrama de dispersao dosvalores de distensao da mola (∆x) pelas forcas F .

Call:

lm(formula = forcas ~ -1 + deltax)

Residuals:

1 2 3 4 5

-0.00268 0.00113 0.00562 -0.00583 0.00298

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

deltax 5.8095 0.0206 283 9.4e-10 ***

---

Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1

Residual standard error: 0.00455 on 4 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 1, Adjusted R-squared: 1

F-statistic: 7.98e+04 on 1 and 4 DF, p-value: 9.42e-10

Onde obtemos que k = 5, 81 ± 0, 02N/m. A reta ajustada se encontra naFigura 3, onde podemos observar que o ajuste se adequou muito bem aos dados.

4

0.05 0.10 0.15

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Deslocamento vertical da mola ∆x (m)

For

ça c

orre

spon

dent

e (N

)

Figura 3: Sistema massa-mola vertical. Grafico de diagrama de dispersao dosvalores de distensao da mola (∆x) pelas forcas F , com a reta ajustada utilizandoa relacao F = kx, com k = 5, 81 estimado pelo ajuste de mınimos quadrados.

4.2 Metodo dinamico

Analisamos os dados da Tabela 2 atraves de um grafico di-log de T por m.No eixo das abscissas colocamos os valores das diferentes massas, e no eixo dasordenadas colocamos os correspondentes valores do perıodo de oscilacao.

O grafico referente aos dados da Tabela 2 se encontra na Figura 4.Temos [1] que o perıodo T se relaciona a constante elastica da mola k, atraves

da equacao:

T = 2π

√

m

k.

Aplicando o logaritmo nos dois lados da equacao acima, obtemos:

log T = log

(

2π

√

m

k

)

= log2π√

k+ log

√m

= log2π√

k+

log m

2

5

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Massa do objeto m (kg)

Per

ído

de o

scili

ação

T (

s)

Figura 4: Comportamento do perıodo de acordo com a massa do sistema osci-lante, T × m.

Obtemos assim, que em escala di-log, a relacao entre o perıodo e a massa elinear em k. Basta entao ajustarmos uma reta ao grafico 4, fixado o coeficienteangular em log m

2e obtermos o intercepto. Dado esse ajuste:

log T = β0 +log m

2, (1)

notamos ainda que igualando β0 a log 2π√

k, temos um estimador da constante

elastica da mola k:

β0 = log2π√

k⇒ k =

(

2π

eβ0

)2

(2)

Fazendo esse ajuste no R, obtemos:

> mod.dinam <- lm(log(T) ~ offset(log(massas)/2))

> mod.dinam

Call:

lm(formula = log(T) ~ offset(log(massas)/2))

Coefficients:

(Intercept)

1.11

6

assim β0 = 1, 1120. Usando a equacao 2, temos k = 4.27.Uma forma alternativa de obter k, e realizar o ajuste baseado diretamente

na relacao da equacao 1. Para isso basta usarmos um procedimento de ajuste demınimos quadrados nao lineares. Fazemos isso no R com os comandos abaixo,utilizando como valor de partida a estimativa de k obtida pelo metodo acima:

> mod.nlin <- nls(T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k),

+ start = list(k = 4.27))

> mod.nlin

Nonlinear regression model

model: T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k)

data: parent.frame()

k

4.7948

residual sum-of-squares: 0.013346

Onde vemos que obtemos a estimativa para k um pouco maior de 4, 79. NaFigura 5 temos as retas no grafico di-log para os dois ajustes diferentes. Os doisajustes se aproximam razoavelmente dos valores observados, mas nenhum dosdois fica tao bom quanto o ajuste obtido no grafico do experimento estatico.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Massa do objeto m (kg)

Per

ído

de o

scili

ação

T (

s)

método linear, k = 4.27método não−linear, k = 4.79

Figura 5: Comportamento do perıodo de acordo com a massa do sistema osci-lante, T × m, com os dois ajustes de k.

7

5 Discussao e conclusao

Atraves desse experimento foi possıvel obter o valor da constante elastica damola por meio de dois experimentos diferentes. Duas abordagens de analiseno metodo estatico, permitiram ainda obter duas estimativas diferentes para ovalor de k. Na Tabela 3 temos um resumo das estimativas obtidas.

metodo estimativaestatico 5, 81± 0, 02dinamico: linear 4, 27± 0, 02dinamico: nao-linear 4, 79± 0, 01

Tabela 3: Estimativas obtidas para a constante elastica da mola k, nesse expe-rimento

Consideramos que o melhor valor a ser adotado e o obtido no experimentoestatico, ou seja k = 5, 81. Por razoes analıticas, consideramos esse valor melhorpois como pudemos observar na Figura 3 a reta ajustada ficou muito mais pro-xima dos dados nesse caso. Outra razao para escolhermos essa estimativa e pormotivos experimentais. No experimento estatico as condicoes estavam melhorcontroladas, e haviam menos variaveis influenciadas pelos experimentadores.Bastava colocar uma dada massa no suporte da mola e medir o deslocamento∆x com a reta. No caso do experimento dinamico era mais complicado con-seguir obter medicoes confiaveis, principalmente no caso das massas menores,pois muitas vezes o sistema entrava em movimento de pendulo, e tınhamos quecomecar a medicao novamente para aquele objeto. Alem disso, as medicoes fi-cavam sujeitas aos reflexos do operador do cronometro, apesar desse efeito seratenuado pelo uso de 10 oscilacoes para se obter a estimativa da medicao doperıodo.

Referencias

[1] Maximo, A. e Alvarenga, B. 1997. Curso de Fısica 1. Sao Paulo: Scipione.

[2] Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. 2001. Fundamentos de Fısica: Meca-

nica 1. Rio de Janeiro: LTC.

[3] R Development Core Team, R: A language and environment for statisticalcomputing, R Foundation for Statistical Computing, (2004).

Sobre

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"Sobre / Licenca de Uso".

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