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MVT_e_4neu Mechanische Verfahrenstechnik Stromklassierung Prof. Dr. J. Tomas, 19.10.2015

4 Stromklassierung 182

4.1 Relativbewegung der Partikel in einem Fluid .............................. 182

4.1.1 Wirkende Strömungs- und Feldkräfte .................................... 183

4.1.1.1 Umströmungsbedingungen und Widerstand einer Kugel 184

4.1.1.2 KNUDSEN-Diffusion & Widerstand ultrafeiner Partikel186

4.1.1.3 Turbulente Anströmung und Widerstand einer Kugel .... 187

4.1.1.4 Dynamischer Auftrieb einer Kugel ................................. 188

4.1.1.5 Weitere Partikelkräfte infolge des anströmenden Fluids 190

4.1.2 Bewegung steifer Partikel in einer stationären Strömung ...... 192

4.1.2.1 Stationäre Partikelbewegung ........................................... 192

4.1.2.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit glatter Kugeln .......... 192

4.1.2.1.2 BROWN’sche Molekularbewegung und behinderte Sedi-mentation ultrafeiner Partikel ..................................... 195

4.1.2.1.3 Partikelform und stationäre Sinkgeschwindigkeit ...... 197

4.1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Partikelbewegung ............... 198

4.1.2.2.1 Freier Fall und senkrechter Wurf eines Partikels ........ 198

4.1.2.2.2 Kräftegleichgewicht für homogene Umströmung....... 201

4.1.2.2.3 Analytische Lösungen für laminare Umströmung ...... 203

4.1.2.2.4 Numerische Lösungen für den Übergangsbereich ...... 210

4.1.2.2.5 Näherungslösungen für turbulente Umströmung ........ 211

4.1.3 Bewegung deformierbarer Partikel in stationärer Strömung .. 227

4.1.4 Bewegung von Partikelschwärmen ........................................ 227

4.1.5 Homogene Durchströmung von Partikelschichten ................. 231

4.1.5.1 Stationäre Durchströmung von Partikelschichten ........... 231

4.1.5.2 Sedimentation einer gleichmäßig beschleunigten und durch-strömten Partikelschicht .................................................. 231

4.1.5.2.1 Analytische Lösungen für laminare Durchströmung .. 235

4.1.5.2.2 Numerische Lösungen für den Übergangsbereich ...... 242

4.1.5.2.3 Näherungslösungen für turbulente Durchströmung .... 242

4.1.5.3 Beschleunigtes Auslaufverhalten und Durchströmung ... 251

4.1.6 Partikelbewegung im Fliehkraftfeld einer Wirbelströmung ... 253

4.2 Turbulente Transportvorgänge ..................................................... 257

4.2.1 Kennzeichnung von turbulenten Strömungen ........................ 257

4.2.2 Transportvorgänge in turbulenten Strömungen ...................... 269

4.2.2.1 Turbulenter Transport in Einphasenströmungen ............. 270

4.2.2.2 Mischkinetik der Mikro- und Makroturbulenz ............... 271

4.2.2.3 Turbulenter Partikeltransport .......................................... 272

4.3 Trennmodelle und Trennerfolg des Stromklassierens .................. 277

4.3.1 Allgemeines Bilanzmodell - FOKKER-PLANCK-Gleichung 277

4.3.2 Querstromklassierung ............................................................. 281

4.3.2.1 laminare Querstromhydroklassierung ............................. 281

181


4.3.2.2 turbulente Querstromklassierung .................................... 283

4.3.3 Turbulente Gegenstromklassierung ........................................ 286

4.3.4 Kennzeichnung des Trennerfolges des Stromklassierprozesses296

4.4 Hydroklassierung .......................................................................... 297

4.4.1 Schwerkraft-Hydroklassierer .................................................. 297

4.4.2 Zentrifugalkraft-Hydroklassierer ............................................ 299

4.5 Windsichten .................................................................................. 305

4.5.1 Prozessziele des Windsichtens ............................................... 305

4.5.2 Partikeltrennung in einer Wirbelsenke ................................... 306

4.5.2.1 Modell der Spiralwindsichtung und Trennkorngröße ..... 306

4.5.2.2 Turbulenzmodell der Trennkorngröße ............................ 308

4.5.3 Wirkprinzipien der Windsichtung .......................................... 311

4.5.4 Windsichter ............................................................................. 313

4.5.4.1 Schwerkraft-Windsichter ................................................ 315

4.5.4.2 Zentrifugalkraft-Windsichter ........................................... 316

4.6 Mehrstufige turbulente Querstrom-Aerotrennung im Zick-Zack-Kanal . ...................................................................................................... 320

4.6.1 Stationäre Partikelanzahlkonzentrationsverteilung ................ 320

4.6.2 Trennfunktion für die mehrstufige Trennung ......................... 320

4.6.2.1 Trennfunktion, Trennmerkmale und Trennschärfe ......... 320

4.6.2.2 Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungs-grad .................................................................................. 320

4.6.2.3 Prozessbewertung mehrstufiger Querstromtrennungen .. 320

4.7 Staubabscheiden ........................................................................... 321

4.7.1 Entstauben .............................................................................. 321

4.7.2 Staubabsaugung ...................................................................... 323

4.7.3 Staubabscheidung ................................................................... 324

4.7.3.1 Schwerkraftabscheider .................................................... 325

4.7.3.2 Zentrifugalkraftabscheider .............................................. 326

4.7.3.3 Elektrische Abscheider .................................................... 331

4.7.3.4 Filtrationsabscheider ....................................................... 335

4.7.3.5 Nassabscheider ................................................................ 340

4.7.3.6 Tropfenabscheider ........................................................... 343

4.8 Schwerpunkte und Kompetenzen ................................................. 344

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4 Stromklassierung Bei der Stromklassierung ist es notwendig, von vornherein zwischen der - Hydroklassierung (nasse Stromklassierung) und der - Aeroklassierung zu unterscheiden, wobei man letztere im deutschen Fachschriftentum überwiegend als Windsich-tung bezeichnet, siehe Folie 4.1. Das einem Stromklassierer aufgegebene Partikelkollektiv nennt man Klassiergut. Die Produkte der Klassierung heißen - Klassierergrobgut, Klassiererunterlauf oder Sande und - Klassiererfeingut, Klassiererüberlauf oder Schlämme.

4.1 Relativbewegung der Partikel in einem Fluid Die Bewegung einzelner Partikel in einem Fluid ist der wesentliche Mikro-prozess bei den Trennprozessen, z.B. Stromklassieren, Sedimentieren, Staub-abscheiden, Magnetscheiden, Separieren von Emulsionen aber auch bei ande-ren mechanischen Prozessen, z. B. Prallzerkleinerung, Begasen von Flüssig-keiten. Bei der nachfolgenden Darlegung wird davon ausgegangen, dass die Grundlagen der Mehrphasenströmungen bereits im Teil "Strömungsmechanik" des Lehrwerkes Verfahrenstechnik dargestellt worden sind. Ein in einem Fluid suspendiertes Partikel kann einer Translation und einer Rotation unterworfen sein. Im Folgenden soll vor allem die Translation ver-folgt werden. Man hat die Geschwindigkeit u des Fluids und die Geschwin-digkeit v des Partikels relativ zur Strömung infolge des Einwirkens einer äußeren Feldkraft FF

zu unterscheiden.

In einem ortsfestem Koordinatensystem, z. B. für das Trennergebnis in einem Gegenstromtrennapparat ist die Partikelabsolutgeschwindigkeit av entschei-

dend, die sich aus der vektoriellen Überlagerung von v und u ergibt:

vuva

+= . (4.1)

Die Partikelabsolutgeschwindigkeit bezieht sich auf ein festes Apparatehöhen-niveau (sog. EULER-Koordinaten in der Strömungsmechanik). Zählt man die Strömungsrichtung von u nach oben positiv wie die Höhen- oder y-Koordinate ↑ , so ist die Partikelgeschwindigkeit v in Richtung des Kraftfeldes ↓FF

dem

entgegengerichtet und negativ anzusetzen, siehe Folie 4.2:

vuva

−= . (4.2)

Für den Fall eines ruhenden Fluides 0u = wird folglich die

Partikelabsolutgeschwindigkeit ebenfalls negativ

vva

−= . (4.3)

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Man bezeichnet svv −=− dann als die Sinkgeschwindigkeit (Fallgeschwin-

digkeit) des Partikels im ruhenden Fluid. Ist demgegenüber die Partikelabsolutgeschwindigkeit 0va =

, d.h.

uv = , (4.4)

so nennt man u im stationären Fall die Schwebegeschwindigkeit. Feine Parti-keln mit vs < u werden mit der Strömung mitgeschleppt (Feingut), grobe Parti-keln mit vs > u sedimentieren entgegen der Fluidströmung aus. Wirkt die Fluidgeschwindigkeit ↓u in die gleiche Richtung wie das Kraftfeld

↓FF

(Gleichstrom) werden die Vektoren wiederum addiert (Folie 4.2):

uvva

−−= . (4.5)

Ist das Partikel klein gegenüber der räumlichen Ausdehnung des umgebenden Strömungsfeldes, kann man die Anströmung als gleichförmig ansehen und die momentane Anströmgeschwindigkeit der Relativgeschwindigkeit ru zwi-

schen Fluid und Partikel gleichsetzen:

vuur

−= . (4.6)

Die Beschleunigungen uundv,u r

, die die Gleichung

vuur

−= (4.7)

ebenfalls erfüllen müssen, können beliebige andere Richtungen besitzen als die entsprechenden Geschwindigkeiten. 4.1.1 Wirkende Strömungs- und Feldkräfte Auf ein in einem Fluid suspendiertes Partikel können folgende Kräften einwir-ken (Folie 4.2 unten): Für eine auf ein Partikel wirkende Feldkraft FF

(Schwerkraft, Zentrifugalkraft

u.a.) gilt:

dtvdVaVF sPsPF

⋅ρ⋅=⋅ρ⋅= , (4.8)

wobei VP das Partikelvolumen, ρs die Partikeldichte und dt/vda = die durch

das äußere Kraftfeld bewirkte Beschleunigung bedeuten. Als Folge einer Anströmung wirken auf ein Partikel weiterhin im allgemeinsten Fall ein Drehmoment und eine Kraft RF

. Letztere kann man in eine Kompo-

nente in Richtung der Relativgeschwindigkeit ru , die Widerstandkraft oder Schleppkraft ,FW

und eine Komponente senkrecht zu ru , den dynamischen

Auftrieb ,FD

siehe auch Folie 4.3, zerlegen.

Für den Widerstand ,FW

eines umströmten Körpers gilt allgemein:

2uu

AcF rrfPWW

⋅

⋅ρ⋅⋅= (4.9)

184


wobei AP die angeströmte Querschnittsfläche des Partikels, cW den Wider-standsbeiwert und ρf die Fluiddichte bedeuten. In einer dimensionslosen Darstellung ließe sich in Skalardarstellung schreiben:

EuraftTrägheitsk

Druckkraftup

uA/F2c 2

rf2rf

PWW ==

⋅ρ∆

≡⋅ρ

= (4.10)

mit Eu = EULER-Zahl als dimensionlose Kennzahl. Die speziellen Widerstandsgesetze gelten entsprechend der Ähnlichkeitstheorie nur für genau zu beachtende Prozessbedingungen. Unter der Voraussetzung einer geradlinigen stationären, laminaren bzw. schwach turbulenten

Anströmung, Vorliegen geometrisch ähnlicher Partikeln und festgelegtem Anströmprofil sowie Vorliegen eines Fluids mit NEWTONschem Verhalten γ⋅η=τ ,

das unter den gegebenen Umströmbedingungen als • inkompressibel und • unendlich ausgedehnt betrachtet werden kann,

ist der Widerstandsbeiwert nur noch eine Funktion der REYNOLDS-Zahl Re als einer weiteren wesentlichen dimensionslosen Kennzahl,

(Re)fcEu W == (4.11)

Eine laminare bzw. schwach turbulente Anströmung ist gegeben, wenn es sich um die Partikelbewegung in einem ruhenden Fluid handelt. Strömt das Fluid demgegenüber selbst, so beeinflusst dessen Turbulenzgrad den Widerstand. Diese Widerstandskraft ,FW

setzt sich aus einem

• Zähigkeitsanteil rW uF ⋅η∝ bzw. viskoser Fluidreibungswiderstand

du

dydu rr ⋅η≈⋅η=γ⋅η=τ und einem (4.12)

• Trägheitsanteil, Staudruck oder Druckwiderstand 2rfW uF ⋅ρ∝τ∝

zusammen (η dynamische Fluidviskosität). Das Verhältnis beider Kräfte

Reduu

dutibungskrafRe

raftTrägheitsk rf

r

2rf =

η⋅⋅ρ

=⋅η

⋅⋅ρ= (4.13)

ergibt die REYNOLDS-Zahl Re. Bei niedrigen Re-Zahlen Re < 1 sind die Trägheitskräfte des Fluides gegenüber den Zähigkeitskräften, die an der Partikeloberfläche angreifen, vernachlässigbar. Mit wachsender Re-Zahl >> 1 werden die Fluid-Trägheitskräfte des auf die angeströmte Partikelfläche wir-kenden Staudrucks zunehmend für den Gesamtwiderstand bestimmend. 4.1.1.1 Umströmungsbedingungen und Widerstand einer Kugel

185


Der Widerstand der glatten Kugel war Gegenstand besonders intensiver Unter-suchungen, siehe Folie 4.4.2. Im Bereich der schleichenden Strömung (Re < 0,25 ... 1) gilt das Gesetz von STOKES

Re/24cW = (4.14)

und für die Widerstandskraft gilt rW uF ∝ (η dynamische Fluidviskosität):

rW ud3F ⋅⋅η⋅π⋅= . (4.15)

• Für den Übergangsbereich (0,25 < Re < 103), in dem mit wachsender Re-Zahl der Widerstandsbeiwert weiter abnimmt, ist eine Reihe von Näherungs-formeln entwickelt worden. Einige dieser Näherungsformeln, die zum Teil auch für die Nachbarbereiche gelten, sind in der Tabelle 3.1 des Handbuches der Mechanischen Verfahrenstechnik1 zusammengestellt.

• Während im STOKES-Bereich das Strömungsfeld auf der An- und Abströmseite das gleiche Bild bietet, bildet sich bei 24 < Re < 130 auf der Abströmseite ein laminar fließender Wirbel aus.

• Bei 130 < Re < 1000 wird das Wirbelsystem instationär. Es lösen sich einzelne Wirbel ab, die eine Wirbelschleppe hinter der Kugel bilden.

• Im Bereich 103 < Re < 2⋅105, dem NEWTON-Bereich oder „quadratischer Bereich“ wegen 2

rW uF ∝ , ist cW nahezu konstant, und es kann angenähert

cW = 0,44 (4.16)

gesetzt werden. • Bei Re > 2⋅104 liegt eine turbulente Nachlaufströmung vor, während sich

auf der Vorderseite eine laminare Grenzschicht ausgebildet hat. • Im Bereich Rec = (2 bis 4)⋅105 schlägt die laminare Grenzschicht in den

turbulenten Zustand um (Bereich des Umschlagpunktes mit der kritischen REYNOLDS-Zahl Rec. Der Widerstandsbeiwert cW fällt auf etwa 0,07 ab und steigt infolge zunehmender Turbulenz der Grenzschicht anschließend wieder auf etwa 0,3 an.

Der Bereich 0 < Re < Rec = 2⋅105 lässt sich befriedigend durch mehrtermige Formeln für cW erfassen, z.B. KASKAS1 (1970) /3.7./:

4,0Re4

Re24cW ++= , (4.17)

oder KÜRTEN, RAASCH und RUMPF2 (1966) mit Abweichungen kleiner als 4% für 0,1 < Re < 4.103

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 1 Schubert, H., Mechanische Grundvorgänge und Mikroprozesse, S. 105, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Weinheim 2003 2 Kürten, H., Raasch, J. und H. Rumpf, Beschleunigung eines kugelförmigen Feststoffteilchens im Strömungsfeld konstanter Geschwindigkeit, Chem.-Ing.-Techn. 38 (1966) 941-948

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28,0Re6

Re21cW ++= , (4.18)

oder diese etwas modifiziert von MARTIN

31

Re24

Re241

Re72

31c

2

W +⋅

+=

+⋅= (4.19)

oder BRAUER1 (1973) /3.8./

49,0Re1031Re1083,4

Re73,3

Re24c 5,16

5,03

5,0W +⋅⋅+⋅⋅

−+= −

−

, (4.20)

oder HAIDER und LEVENSPIEL1,3 (1989)

( ) 16459,0

W Re95,688014251,0Re1806,01

Re24c −⋅+

+⋅+⋅= , (4.21)

wobei die numerischen Koeffizienten der Gln.(4.17) bis (4.21) jeweils von der Partikelform abhängen4 (→ vereinfacht: siehe Gl.(4.75)).

• Sinkgschwindigkeit glatter Kugeln in einem ruhenden Fluid Folie 4.5. • Der Widerstandsbeiwert glatter Kugeln ist in Folie 4.6.3 in Abhängig-

keit von der Partikel-REYNOLDS-Zahl Re grafisch dargestellt. 4.1.1.2 KNUDSEN-Diffusion & Widerstand ultrafeiner Partikel Bei partikelbeladenen Fluidströmungen nimmt man an, dass das Fluid ein Kon-tinuum ist. Diese Voraussetzung ist nicht mehr erfüllt, wenn die mittlere freie Weglänge der Fluidmoleküle λf groß gegenüber der charakteristischen Abmes-sung des Strömungsfeldes, hier der Partikelgröße d, wird. Diese Molekularbewegung (KNUDSEN-Diffusion) wird mittels der so genann-ten KNUDSEN-Zahl beschrieben

1,0d

Kn f >λ

= , (4.22)

mit der mittlere freie Weglänge von Luftmolekülen im Referenzzustand (In-dex 0) bei 20°C und Normaldruck m05,00,f µ≈λ , wenn

0

00,f

AMM

Bf T

Tpp

pNA2TR

pA2Tk

⋅⋅λ=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=λ . (4.23)

kB = 1,38.10-23 J/K BOLTZMANN-Konstante (= R/NA mit AVOGADRO-Zahl NA)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 3 Haider, A. and O. Levenspiel, (1989). Drag coefficient and terminal settling velocity of spherical and nonspherical particles, Powder Technology, 58, 63-70 4 Schubert, H., … S. 109

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( )2MM d2

4A ⋅⋅

π= Flächenbedarf des „Wirkungsquerschnittes“ (doppelter

Moleküldurchmesser) der oszillierenden Gasmoleküle dM = 0,2...0,5 nm Moleküldurchmesser von Gasen ( 3

gM Md ∝ Molmasse)

Bei m5,010d.bzwd1,0 ff µ≈λ⋅<⋅>λ wird dann die KNUDSEN-Diffusion

maßgeblich für den Widerstand. Mit der CUNNINGHAM-Korrektur in ...-Klammern gilt damit für den verminderten Widerstandsbeiwert

1

W Kn435,0exp84,0492,2Kn1

Re24c

−

−⋅+⋅+⋅= , (4.24)

oder nach DAVIES (Zusammenfassung verschiedener Gleichungen) für 0,1 < Kn < 1000 und Re < 0,25:

1

W Kn55,0exp8,0514,2Kn1

Re24c

−

−⋅+⋅+⋅= . (4.25)

Mit zunehmender KNUDSEN-Zahl, d.h., mit Erhöhung der mittleren freien Weglänge der Gasmoleküle (wenn Temperatur ⇑ und Druck ⇓, ⇒ zunehmen-der Schlupf zwischen Partikeln und Gasmolekülen) und abnehmender Parti-kelgröße nimmt der Strömungswiderstand ab. 4.1.1.3 Turbulente Anströmung und Widerstand einer Kugel Den bisherigen Betrachtungen war laminare bzw. schwach turbulente Anströmung zugrunde gelegt worden. Dies entspricht vielfach jedoch nicht den gegebenen verfahrenstechnischen Prozessbedingungen, weil ausgesprochen turbulente Anströmung vorliegt. In einer turbulenten Strömung überlagern sich der Hauptströmung die zufälligen räumlichen Schwankungsbewe-gungen von Fluidelementen (Fluidballen) verschiedener Größe und Ge-schwindigkeit (siehe Abschnitt 4.2.1). Suspendierte Partikel folgen diesen Schwankungsbewegungen nach Maßgabe ihrer Frequenzen f = 2 Hz ... 20 kHz, die den Frequenzen der Schwankungsbewegungen der Fluidelemente (Mikrowirbel) entsprechen, siehe Wirbelradius Gl.(4.329), deren Größen wie-derum den Partikelgrößen entsprechen und diese mehr oder weniger einhüllen. Sind jedoch die Partikel genügend groß - siehe dazu im Abschnitt 4.1.2.2.3 die Definition der STOKES-Zahl Gln.(4.119) und (4.120) (vs stationäre Sinkge-schwindigkeit des Partikels, Gl.(4.48), g Erdbeschleunigung)

1gvfSt s >>

⋅= , (4.26)

so werden sie zwar nicht von der Schwankungsbewegung erfasst, aber ihr Strö-mungswiderstand kann erheblich durch die Schwankungsbewegung beein-flusst werden, siehe Folie 4.6.4 /3.9//3.10//3.11/.

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Zunächst hängt dies damit zusammen, dass die kritische REYNOLDS-Zahl Rec herabgesetzt wird. Mit steigendem Turbulenzgrad Tu, siehe 4.2.1,

2r

2 u/uTu ′= (4.27)

2u′ mittlerer Effektivwert der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeit

tritt der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschichtströmung früher

ein: 2c Tu45Re = . (4.28)

Weiterhin zeigen sich im überkritischen Bereich deutliche Maxima, die sich mit wachsendem Tu nach kleineren Re verschieben. Auch Messungen im un-terkritischen Bereich ergaben, dass die freie Strömungsturbulenz keine prinzi-piell neuen Strömungszustände verursacht, sondern bekannte Erscheinungen zu kleineren Re verschoben werden. Der Widerstandsbeiwert für turbulente An-strömung cW,t wird mit dem Widerstandsbeiwert für laminare Anströmung aus-gedrückt ( 4/13

D )/(l εν= KOLMOGOROFF’scher Längenmaßstab der Mikro-

turbulenz gemäß Gl.(4.327)):

⋅⋅+⋅= −

3

D

4Wt,W l

d108,11cc (4.29)

Auch mit Zunahme der relativen Rauhigkeit der Kugeloberfläche hR/d (hR absolute Höhe der Rauhigkeiten) wird die kritische REYNOLDS-Zahl Rec etwas herabgesetzt /3.9./. Unterhalb Rec ist der Einfluss der Oberflächenrau-higkeit für verfahrenstechnische Zwecke meist belanglos. 4.1.1.4 Dynamischer Auftrieb einer Kugel Rotiert die angeströmte Kugel um eine Achse, die senkrecht zur Strömungs-richtung liegt, so wirkt ein dynamischer Auftrieb (lift force) DF

senkrecht zur

Anströmrichtung und zur Rotationsachse. Zusätzlich tritt eine Vergrößerung der Widerstandskraft WF

auf (Magnus-Effekt), siehe Folie 4.3.1a).

Rotation und dynamischer Auftrieb treten auch bei der unsymmetrischen Anströmung eines symmetrischen Körpers auf, siehe Folie 4.3.1b). Im Allgemeinen liegen unregelmäßig geformte Partikel vor. Hierbei ergibt sich ebenfalls ein dynamischer Auftrieb (lift force) DF

als Folge eines Druck-

unterschiedes zwischen der Ober- und Unterseite des umströmten Körpers, siehe Folie 4.3.1c). Gemäß der BERNOULLI-Gleichung ist die Bilanz aus sta-tischem pstat, hydrostatischem ρf

.g.y und dynamischen Drücken (Staudruck) ρf

.ur2/2 konstant5:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992

5 Czichos, H. (Ed.), Hütte - Die Grundlagen d. Ingenieurwissenschaften, B 86, Springer 1991

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gesf2rfstat p.constygu

21p ==⋅⋅ρ+⋅ρ⋅+ (4.30)

Wegen der höheren Umströmungsgeschwindigkeit an der Oberseite ur,o > ur,u ist dort der statische Druck jedoch geringer pstat,o < pstat,u = Umgebungsdruck p0

und es ergibt sich aus Gl.(4.30) eine nach oben gerichtete Druckkraft (yu ≈ yo): 2

u,rfu,stat2

o,rfo,stat u21pu

21p ⋅ρ⋅+≈⋅ρ⋅+

( )2u,r

2o,rfo,statu,statres uu

21ppp −⋅ρ⋅=−=∆ (4.31)

Die resultierende dynamische Auftriebskraft 2/uAF 2rfPD ⋅ρ⋅∝ wirkt somit

senkrecht zur Anströmrichtung und lt. Gl.(4.9) lässt sich analog schreiben:

2uAcF

2r

fPDD ⋅ρ⋅⋅= . (4.32)

Der Auftriebsbeiwert cD hängt außer von der Reynoldszahl cD = f(Re) auch von der Körperform und vom Anströmprofil ab und ist deshalb im Allgemei-nen nicht bekannt. Demgegenüber ergibt sich in laminaren oder viskosen Grenzschichtströmun-gen auch für symmetrische Partikel eine asymmetrische Anströmung, wobei

( )2x

2y,D dy/duF =γ∝ (4.33)

von der Wand weg gerichtet ist6, siehe Folie 4.3b). RUBIN7 gibt dafür folgende Beziehung an ( γ⋅η=τ W Wandschubspannung):

( ) 33W

y,D d808,0...761,0F ⋅η

τ⋅ρ⋅= (4.34)

In Wandnähe erhöht sich außerdem die Widerstandskraft (Schleppkraft) in Anströmrichtung nach STOKES, siehe Gl.(4.15):

St,x,Wrx,W F)11,2...7,1(ud)325,6...1,5(F ⋅=⋅⋅η⋅π⋅= (4.35)

Befindet sich eine Kugel in einem geringen Abstand zur Wand a < d, so erge-ben sich folgende abstandsabhängigen Auftriebsbeiwerte, Tabelle 4.1. Im Bereich laminarer Grenzschichten Re < 20 ist etwa cD ≈ cW/(2 bis 5). Auf-fällig sind jedoch die vergleichsweise hohen Auftriebsbeiwerte und damit Auf-triebskräfte bei etwa Rekrit ≈ 3,8.105. Diese Maxima von cD korrespondieren mit dem Minimum des Widerstandsbeiwertes von etwa cW ≈ 0,07, Folie 4.6.3. Bei freier und gleichmäßiger Anströmung, d.h. a > d, verschwindet DF

für Par-

tikel mit zur Anströmrichtung symmetrischen Formen, siehe auch8.

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 6 Rubin, G. u. F. Löffler, Chem.-Ing.-Techn. 48 (1976) 563 7 Rubin, G., Widerstands- und Auftriebsbeiwerte von ruhenden kugelförmigen Partikeln in stationären wandnahen laminaren Grenzschichten, Diss. TU Karlsruhe 1977

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Tabelle 4.1: Auftriebsbeiwerte cD in Abhängigkeit vom Abstand a zwischen einer glatten Kugel und einer ebenen glatten Platte und in Abhängigkeit von den Partikel-Reynolds-Zahlen im Bereich einer laminaren Grenzschicht6 und in der Nähe der kritischen Reynolds-Zahl9 Re > Rec = 2.105:

a/d 0 0,03 0,12 0,21 0,62 Re 0,1 1 20 3.

105 3,8. 105

4,5. 105

3. 105

3,8. 105

4,5. 105

3. 105

3,8. 105

4,5. 105

3. 105

3,8. 105

4,5. 105

cD 100 25 1,2 0,1 0,18 0,14 0,1 0,22 0,15 0,1 0,2 0,1 0,03 0,13 0,02 4.1.1.5 Weitere Partikelkräfte infolge des anströmenden Fluids

Außer der resultierenden Kraft →→→

+= DWR FFF wirkt aber auch an unregelmäßig

geformten Partikeln noch ein Drehmoment, bzw. es ist bei der Rotation ein Rollwiderstand zu überwinden. Insgesamt betrachtet ergeben sich also für die Partikelbewegung sehr kompli-zierte Verhältnisse. Eine allgemeine Theorie existiert dafür bisher nur für den STOKES-Bereich /3.9.//3.16./. Diese führt für die Beschreibung der Kräfte und Momente zu linearen Tensorgleichungen mit im allgemeinsten Fall insgesamt 21 von Größe und Form der Partikel abhängigen Komponenten. Deshalb ist sie für verfahrenstechnische Belange nicht handhabbar. Allerdings ist daraus die Schlussfolgerung zu ziehen, dass es problematisch ist, für die Ableitung der Bewegung von unregelmäßig geformten Partikeln deren Geometrie lediglich durch einen Größen- und einen Formparameter zu beschreiben, wie das ver-breitet üblich ist, falls man die Partikelform überhaupt berücksichtigt. Trotz dieser Feststellung soll mangels einer anderen handhabbaren Methode auch im nachfolgenden davon Gebrauch gemacht werden (siehe Abschnitt 1.2.5 MVT_e_1neu.doc bzw. MVT_e_1neu.pdf). Weiterhin sind Druckkräfte pF

zu berücksichtigen, für die allgemein gilt:

pgradVF Pp ⋅=

. (4.36)

Dazu gehört der statische Auftrieb AF

, der stets antiparallel zur Feldkraft ge-

richtet ist, weil in einem Fluid mit der Dichte ρf gilt:

apgrad f⋅ρ= (4.37)

und somit für AF

aVF fPA

⋅ρ⋅= . (4.38)

Im Erdschwerefeld lässt sich dies wie folgt verdeutlichen:

8 Nirschl, H. u. S. Polzer, strömungstechnisches Verhalten einzelner Partikel in wandnahen Grenzschichten, Chem.-lng. Techn. 68 (1995) 409-412 9 Thomschke, H., Dissertation, U Karlsruhe 1971

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Der hydrostatische Druckunterschied zwischen den Höhen yu und yo der Unter- und Oberseite eines in einer ruhenden Flüssigkeit (u = 0) eintauchenden Kör-pers ist, siehe auch BERNOULLI-Gl.(4.30):

( )uofstat yygdygradpp −⋅⋅ρ=⋅=∆ (4.39)

Damit folgt für die statische Auftriebskraft:

( ) gVyygApAF fPuofPstatPA ⋅ρ⋅=−⋅⋅ρ⋅=∆⋅= (4.40)

Vollzieht sich die Partikelbewegung in einer beschleunigten Strömung, so ist zusätzlich die Trägheitskraft des Fluids entgegen der positiven Hauptströ-mungsrichtung zu berücksichtigen:

rf upgrad⋅ρ−= und somit (4.41)

rfPu uVF

⋅ρ⋅−= . (4.42)

Für die Trägheitskraft TF

des Partikels gilt:

vVF sPT

⋅ρ⋅= . (4.43)

Die bei instationärer Anströmung oder bei einem beschleunigten Partikel zusätzlich auf das Partikel wirkende Trägheitskraft der Fluidströmung f,TF

erfasst man im Allgemeinen durch einen Näherungsansatz. Dabei geht man davon aus, dass nicht nur die Partikelmasse zu beschleunigen ist, sondern zu-sätzlich eine um das Partikel angeordnete Fluidmasse (auf der Abströmseite des Partikels mitbewegtes Fluid), die man als Anteil des Partikelvolumens (Volu-menanteil ϕf = Vf/VP = Fluidvolumen/Partikelvolumen = 0 … 1) erfasst:

rPfff,T uVF

⋅⋅ρ⋅ϕ= (4.44)

Dabei ist ϕf = 0,5 für Kugeln und ϕf = 1 für quer angeströmte Zylinder. f,TF

ist

nur dann wesentlich, wenn das Fluid eine Flüssigkeit ist. TF

und f,TF

sind

gleichgerichtet und werden oft wie folgt zusammengefasst, wenn ruv

−= ist:

ρρ

⋅ϕ+⋅=+s

ffTf,TT 1FFF

. (4.45)

Der Widerstand umströmter Partikel hängt von vielen Einflussgrößen ab. So ist es selbst für Kugeln mit glatter Oberfläche noch nicht gelungen, ein allgemein-gültiges Widerstandsgesetz aufzustellen. Deshalb gelten die jeweiligen Gesetze nur für bestimmte, genau zu beachtende Bedingungen: Bei der Voraussetzung einer geradlinigen, stationären und laminaren

bzw. schwach turbulenten Anströmung, Vorliegen geometrisch ähnlicher Partikel mit festgelegtem Anströmpro-

fil sowie Vorliegen eines Fluids mit Newtonschem Scherverhalten.

192


Das Fluid kann unter den gegebenen freien Umströmungsbedingungen, als inkompressibel und unendlich ausgedehnt betrachtet werden.

4.1.2 Bewegung steifer Partikel in einer stationären Strömung 4.1.2.1 Stationäre Partikelbewegung 4.1.2.1.1 Stationäre Sinkgeschwindigkeit glatter Kugeln Für eine stationäre Strömung ist ,0u =

somit auch uF

= 0. Weiterhin soll DF

=

0 vorausgesetzt werden. Von besonderem Interesse ist der Mikroprozess der Partikelbewegung in einem ruhenden Fluid, und dabei vor allem die stationäre Sinkgeschwindigkeit sv als kennzeichnender Stoffwert und Stoffeigen-

schaftsfunktion. Im Falle der geradlinigen, stationären bzw. gleichförmigen Bewegung ist 0v =

. Daraus folgen 0FT =

und 0F

f=ϕ

. Deshalb gilt:

WAFWAF FFFFFF0F ++−=++−==∑ ↑

. (4.46)

Die weiteren Betrachtungen sollen auf Sinkbewegungen steifer Kugeln im Schwerkraftfeld eingeschränkt werden, wobei im ruhenden Fluid 0u =

die relative Anströmgeschwindigkeit ssr vvuu

−=−= ist. Da im Falle der stationä-

ren Sinkbewegung WAF FundF,F

parallel bzw. antiparallel gerichtet sind, so

kann zur skalaren Schreibweise übergegangen werden. Man erhält:

02v

4dcg)(d

61 2

sf

2

Wfs3 =ρ

π+ρ−ρ⋅π− . (4.47)

Daraus ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs zu, siehe Folie 4.5:

fW

fs2s c

gd)(34v

ρ⋅⋅ρ−ρ

= (4.48)

bzw. der äquivalente Kugeldurchmesser d, der einer bekannten stationären Sinkgeschwindigkeit zuzuordnen ist:

g)(vc

43d

fs

2sfW

⋅ρ−ρρ

= . (4.49)

Mit Hilfe der Gln.(4.48) bzw. (4.49) können vs bzw. d unmittelbar analytisch nur im STOKES-Bereich (Re < 0,25 ...1) und im NEWTON-Bereich (103 < Re < 2⋅105) bestimmt werden. Im Übergangsbereich (1 < Re < 1000) kann die stat. Sinkgschwindigkeit ent-weder numerisch oder mittels dimesionsloser Kennzahlen berechnet werden: Für die allgemeine Lösung im Rahmen eines für Ingenieure einfach handhab-baren, dimensionsanalytischen Modelles werden zwei dimensionslose Kenn-zahlen eingeführt, siehe Folie 4.7, und zwar: - ARCHIMEDES-Zahl Ar:

( )fsf2

3

f

fs2

3 gdgdAr ρ−ρρ⋅η

⋅=

ρρ−ρ

⋅ν

⋅= (4.50)

193


f/ ρη=ν kinematische Viskosität des Fluids

- ZahlENKOCSLJA − Lj oder Ω-Zahl:

fs

2f

3s

fs

f3s

gv

gvLj

ρ−ρρ

⋅⋅η

=ρ−ρ

ρ⋅

⋅ν=Ω= (4.51)

- Eine Übersicht über weitere, bedeutsame dimensionslose Kennzahlen liefern die Folie 4.8, Folie 4.9 und Folie 4.10.

Wenn man die Gl.(4.48) mit 22f

2 /d ηρ⋅ multipliziert

fW

fs2s c

gd)(34v

ρ⋅⋅ρ−ρ

= 2

2f

2dη

ρ⋅⋅ , (4.48)

ergibt sich mit der Partikel-Reynoldszahl ηρ⋅⋅= /dvRe fs :

2

2f

2

fW

fs22

2f

22s

dc

gd)(34Redv

ηρ⋅

⋅ρ

⋅⋅ρ−ρ==

ηρ⋅

⋅

Ar)(gdcRe43

fsf2

3

W2 ≡ρ−ρ⋅ρ⋅

η⋅

=⋅⋅

Damit erhält man wiederum die Gl.(4.50) für die ARCHIMEDES-Zahl:

(Re)cRe43Ar W

2 ⋅= . (4.52)

Nochmaliges Multiplizieren der Gl.(4.48) mit fs

ffs

gv

ρ−ρρ

⋅η⋅ρ⋅ liefert die

ZahlENKOCSLJA − Lj oder Ω-Zahl:

fW

fs2s c

gd)(34v

ρ⋅⋅⋅ρ−ρ

⋅= fs

ffs

gv

ρ−ρρ

⋅η⋅ρ⋅

⋅ (4.48)

fs

ffs

fW

fs

fs

ffs2s g

vc

gd)(34

gvv

ρ−ρρ

⋅η⋅ρ⋅

⋅ρ⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅=

ρ−ρρ

⋅η⋅ρ⋅

⋅

(Re)cRe

34dv

c1

34Lj

gv

W

fs

Wfs

2f

3s ⋅=

ηρ⋅⋅

⋅⋅=≡ρ−ρ

ρ⋅

η⋅

WcRe

34Lj = . (4.53)

Da für steife Kugeln unter Voraussetzung der früher genannten Bedingungen cW gemäß Folie 4.4.2 nur eine Funktion von Re ist, so hängen dann auch Ar bzw. Lj nur von Re ab. Somit kann unmittelbar

)Ar(fLj = (4.54)

gebildet werden, wie dies in Folie 4.7.5 dargestellt ist /3.17./. Sind der Kugel-durchmesser und die Stoffwerte ν oder η, ρf, ρs bekannt, so lässt sich Ar be-rechnen und auf der Ordinate Lj ablesen, woraus vs berechnet werden kann. Umgekehrt ist vorzugehen, wenn vs bekannt und d zu berechnen ist. Da das Diagramm nach Folie 4.7.5 nur eine begrenzte Ablesegenauigkeit be-sitzt, ist im Übergangsbereich (0,25 < Re < 103) der Verlauf von Lj = f(Ar)

194


auch abschnittsweise durch einfache Näherungsformeln erfasst worden. Dazu wurde cW = f(Re) durch Gleichungen der Form

aW Rekc ⋅= (4.55)

approximiert. Unter Beachtung der angegebenen Grenzen bleibt der Fehler für diese Approximation < 10 %. Führt man die Widerstandsgesetze nach Gl.(4.14)

Re/24cW = und Gl.(4.16) cW = 0,44 ein, so erhält man für die stationäre

Sinkgeschwindigkeit glatter Kugeln: a) im STOKES-Bereich (Re < 0,25 ... 1 bzw. Ar < 4,5 ... 18; bei Re = 1 weicht

der cW-Wert nur um etwa 1% vom tatsächlichen ab):

η⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s (4.56)

b) im NEWTON-Bereich (103 <Re < Rec = 2⋅105; 3⋅105 < Ar < Arc = 7⋅1010):

fW

fsN,s c3

gd)(4vρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= . (4.57)

Damit lassen sich aus den Grenzbedingungen der laminare und turbulenten Partikelumströmung ReSt ≤ 1 und ReN ≥ 1000 durch Einsetzen beider Gln.(4.56) und (4.57) in Gl.(4.13) folgende Partikelgrößen- und Sinkge-schwindigkeitsbereiche gewinnen: a) im STOKES-Bereich 1Re/dv Stfs =≤ηρ⋅⋅ :

3

fsf

St2

St g)(Re18d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅

≤ (4.58)

Stf

StSt,s d

Rev⋅ρ

⋅η≤ (4.59)

b) im NEWTON-Bereich 1000Re/dv Nfs =≥ηρ⋅⋅

3

fsf

2N

2W

N g)(4Rec3d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅⋅η⋅⋅

≥ (4.60)

Nf

NN,s d

Rev⋅ρ

⋅η≥ (4.61)

Zur besseren Übersicht wurden diese Grenzwerte für die Sedimentation von Quarzpartikeln in der Tabelle 4.2 zusammengestellt. Die für die Bestimmung der stationären Sinkgeschwindigkeit im ruhenden Fluid und Schwerkraftfeld besprochene Methode und abgeleiteten Formeln lassen sich sinngemäß für die Bestimmung stationärer Sinkgeschwindigkeiten in einem beliebigen Kraftfeld mit konstanter oder gleichmäßiger Beschleuni-gung anwenden, wenn man einerseits den Zusammenhang vuur

−= beachtet

und andererseits die Erdbeschleunigung g näherungsweise durch die jeweils

195


wirkende Beschleunigung gzaZ

⋅= ersetzt - man beachte jedoch die Radienab-

hängigkeit der Zentrifugalbeschleunigung aZ = r.ω2 bei Drehbewegungen. Tabelle 4.2: Grenzwerte für die Sedimentation runder Quarzpartikel (ρs = 2650 kg/m3) in ruhendem Wasser (ρf = 1000 kg/m3, η = 10-3 Pa.s) und in ruhender Luft (ρf = 1,2 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s) als typische Prozess- und Transportflui-de in der Feststoffverfahrenstechnik laminar Übergangsbereich turbulent Partikel-Reynoldszahl ReSt ≤ 1 1 < Re < 1000 ReN ≥ 1000 Partikelgröße in mm Wasser dSt ≤ 0,1 0,1 < d < 2,7 dN ≥ 2,7

Luft dSt ≤ 0,057 0,057 < d < 1,5 dN ≥ 1,5 Stationäre Sinkge-schwindigkeit in m/s

Wasser vs,St ≤ 0,01 0,01 < vs < 0,37 vs,N ≥ 0,37 Luft vs,St ≤ 0,26 0,26 < vs < 10 vs,N ≥ 10

4.1.2.1.2 BROWN’sche Molekularbewegung und behinderte Sedimentati-on ultrafeiner Partikel Nanoskalige bis ultrafeine Partikel (hier etwa d < 1 µm), die nahezu homo-gen in einer Flüssigkeit dispergiert sind, sedimentieren nicht mehr unter der alleinigen Wirkung der Schwerkraft - allerdings sedimentieren deren Agglome-rate oder Aggregate im µm-Bereich. Wenn man diese unerwünschte Agglome-ration verhindert (z.B. durch oberflächliche Tensidebeladung oder elektroche-mische Repulsion), kann man folglich die Sedimentation gezielt vermeiden. Im Falle von Nanopartikeldispersionen (-suspensionen) spricht man dann von de-ren „Stabilisierung“. Aufgrund der Brownschen Molekularbewegung der Fluidmoleküle findet ein ständiger Impulsaustausch mit den Partikeln statt, der letztere zu einer zufälli-gen ungeordneten Bewegung anhält, die gegenüber der gerichteten Sedimenta-tion (Konvektion) dominant wird. Dieser physikalische Zusammenhang läßt sich mit Hilfe der PECLET-Zahl PeP, hier für Partikel definiert, abschätzen:

( )Tk

gdVEnergiekinetischenergieFeldkraftePe

B

PfsP ⋅

⋅⋅⋅ρ−ρ== (4.62)

Mit der EINSTEIN-Gleichung (4.63) für den Partikel-Diffusionskoeffizienten Dp (siehe auch MVT_e_1neu.doc#Einstein_Gl, MVT_e_1neu.pdf):

d3TkD B

P ⋅η⋅π⋅⋅

= (4.63)

und der stationären Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.56), folgt auch:

( ) ( )p

s

p

2fs

p

PfsP D

dvDd

36gd

Dd3gdVPe ⋅

=⋅η⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ=

⋅⋅η⋅π⋅⋅⋅⋅ρ−ρ

= (4.64)

196


Ist PeP > 1 überwiegt die gerichtete (konvektive) Sedimentation; für PeP < 1 ist dagegen die ungerichtete Diffusion dominant. Einen Grenzwert gewinnt man wiederum durch Umstellen der Gl.(4.62):

( )

4/1

fs

PBDiff g

PeTk6d

⋅ρ−ρ⋅π

⋅⋅⋅≤ (4.65)

Diese Grenzwerte sind für Quarzpartikel (ρs = 2650 kg/m3) in Wasser (ρf = 1000 kg/m3), kB = 1,38.10-23 J/K BOLTZMANN-Konstante, T = 298 K

• dDiff < 0,84 µm und in ruhender Luft (ρf = 1,2 kg/m3)

• dDiff < 0,74 µm also etwa dDiff < 1 µm. Darüberhinaus läßt sich die Verteilung der Schwankungsgeschwindigkeiten ultrafeiner Partikel mittels kinetischer Gastheorie abschätzen: Die Anzahlver-teilungsdichte der Schwankungsgeschwindigkeiten der Fluidmoleküle, die als diskrete Teilchen mit einer Masse m betrachtet werden, wird mit der MAXWELL’schen-Geschwindigkeitsverteilung beschrieben10:

⋅⋅

−⋅⋅

⋅π

⋅π=Tk2'vmexp'v

Tk2m4)'v(q

B

22

2/3

B0 (4.66)

Die wahrscheinlichste oder häufigste Schwankungsgeschwindigkeit v’h wird im Maximum der Verteilungsdichte gefunden, also bei dq0(v’)/dv’=0:

mTk2'v B

h⋅⋅

= (4.67)

Die mittlere Schwankungsgeschwindigkeit v’m berechnet man mit Hilfe des ersten Anfangsmomentes dieser Geschwindigkeitsverteilung, vergleiche dazu auch die Definition statistischer Momente MVT_e_1neu.doc#kte_Moment :

hB

00m 'v2

mTk4'dv'v)'v(q'v ⋅

π=

⋅π⋅⋅

== ∫∞

, (4.68)

Die mittlere quadratische Abweichung wird mit Hilfe des zweiten Anfangsmo-mentes der Geschwindigkeitsverteilung ermittelt:

2h

B2

00

2 'v23

mTk3'dv'v)'v(q'v ⋅=

⋅⋅== ∫

∞

(4.69)

Damit lässt sich der mittlere Effektivwert der Schwankungsgeschwindigkeit aus der mittleren kinetischen Energie ultrafeiner Partikel Tk)2/3(2/'vm B

2P =

für m ≡ mP berechnen:


10 Niedrig, H., Physik, S.B 54 in: Czichos, H. (Ed.) Hütte Springer Berlin 1991

197


Ps

B2

VTk3'v

⋅ρ⋅⋅

= (4.70)

Für ultrafeine bis nanoskalige Quarzpartikel (ρs = 2650 kg/m3, kB = 1,38.10-23

J/K, T = 298 K) für d = 1 µm beträgt s/mm3'v 2 = , 100 nm → 9,4 cm/s; 10

nm → 3 m/s und 1 nm → 94 m/s. 4.1.2.1.3 Partikelform und stationäre Sinkgeschwindigkeit Um den Einfluss der Partikelform bei der Berechnung der stationären Sinkge-schwindigkeit zu berücksichtigen, ist der für Kugeln ermittelte Betrag zu korri-gieren. Wie schon unter 4.1.1 zum Ausdruck gebracht, existiert dafür bis heute trotz zahlreicher Ansätze keine befriedigende Methode. In Tabelle (4.199).6 sind Korrekturkoeffizienten kψ zusammengestellt (ψA Sphärizität, siehe Gl.(1.111) im Abschn. 1.2.5 MVT_e_1neu.doc#PsiA):

3 PV

V6dπ⋅

= und ( ) 1A

/V6A

dA

A

S

3/2P

S

2V

S

K,SA ≤

π⋅⋅π=

⋅π==ψ , (4.71)

die mit isometrischen Partikeln bestimmt worden sind /3.18./. Für laminare Umströmung Re < 1 kann ein Formfaktor mit dem Quadrat des Verhältnisses des volumenäquivalenten Partikeldurchmessers zum STOKES-Durchmesser der Kugel gebildet werden:

a) 2

K,St

V

St,s

sSt, d

dvvk

==ψ . (4.72)

Davon ausgehend schlug KIZEVAL'TER auf Grundlage seiner Untersuchun-gen mit isometrischen Partikeln und Mineralkörnern folgende Formkorrek-turkoeffizienten < 1 vor /3.19./:

b) ASt,k ψ=ψ (4.73)

gültig vom STOKES-Bereich bis zu einer von der Form abhängigen kriti-schen Partikel-Re-Zahl Re(dV) < 20

c) A

AN, 4,795,8

55,1kψ⋅−

ψ⋅=ψ (4.74)

gültig für Re(dV) > 500. Und damit ist:

K,s

)(P,s

vv

k ψψ = . (4.75)

Die Formkorrekturkoeffizienten Folie 4.7.6 gelten für stationäre Sinkgeschwin-digkeiten, die für volumengleiche Kugeln berechnet worden sind. Für nicht-kugeligen Partikel ergeben sich die stationären Sinkgeschwindigkeiten: a) im STOKES-Bereich (Re < 0,25 ...1):

198


η⋅⋅ρ−ρ

⋅= ψψ 18gd)(kv

2Vfs

St,,s (4.76)

b) im NEWTON-Bereich (103 < Re < 2⋅105):

fW

VfsN,,s c3

gd)(4kvρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅⋅= ψψ . (4.77)

4.1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Partikelbewegung 4.1.2.2.1 Freier Fall und senkrechter Wurf eines Partikels Zunächst werden die mechanischen Grundlagen der Dynamik des freien (senk-rechten) Falls eines starren Partikels ohne Umströmung wiederholt:

a) Für die Gewichtskraft und Trägheitskraft gilt beim senkrechter Fall mit dem Fallweg y ohne Fluidwiderstand

TG FF0F

+∑ −=↑= bzw. (4.78)

gmym ⋅=⋅ , (4.79)

da beide Kräfte antiparallel wirken. Daraus folgt die Bewegungsglei-chung als Differentialgleichung 2-ter Ordnung mit der konstanten Be-schleunigung g im Erdschwerefeld:

.constgdtdv

dtydy ====

(4.80)

b) Die erste Integration liefert mit der Anfangsbedingung v(t=0) = 0

∫∫ ⋅=t

0

v

0

dtgdv tg)t(v ⋅= (4.81)

das lineare Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des freien Falls. c) Die erneute Integration liefert mit der Anfangsbedingung y(t=0) = 0

tgdtdy)t(v ⋅== ∫∫ ⋅=

t

0

y

0

dttgdy

2/tg)t(y 2⋅= (4.82)

das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls. Mit dieser Gl.(4.82) lässt sich die Position y des Partikels nach einer bestimmten Fallzeit t berechnen.

d) Umstellen ergibt die Umkehrfunktion des Weg-Zeit-Gesetzes:

gy2t ⋅

= (4.83)

e) Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.81), ergibt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz der Fallbewegung:

199


yg2g

y2g)y(v ⋅⋅=⋅

⋅= (4.84)

Damit lässt sich die maximal mögliche höhenabhängige Fallgeschwin-digkeit errechnen, wenn man den Fluidwiderstand vernachlässigt.

f) Das gleiche Geschwindigkeits-Weg-Gesetz wird auch erhalten, wenn man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dy/v ersetzt

vdydt = , (4.85)

.constgdydvv

dtdv

==⋅= , (4.86)

die Variablen in dieser modifizierten Bewegungsgleichung trennt und in den Grenzen zwischen v = 0 bis v sowie von y = 0 bis y integriert:

∫∫ ⋅=y

0

v

0

dygdvv yg2v2

⋅= yg2)y(v ⋅⋅= (4.84)

g) Das gleiche Ergebnis, Gl.(4.84), wird ebenfalls mit Hilfe der Energiebi-lanz der Umwandlung der potentiellen Energie der Position (Höhe) y des Partikels in die kinetische Energie der Fallbewegung erhalten:

ygm)y(v2m 2 ⋅⋅=⋅ (4.87)

yg2)y(v ⋅⋅= (4.84)

Für den entgegengesetzen Fall des senkrechten Wurfes eines starren Partikels nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 lässt sich schreiben:

a) Für die Gewichtskraft und Trägheitskraft gilt beim senkrechten Wurf mit der Wurfhöhe y ohne Fluidwiderstand

TG FF0F

−∑ −=↑= bzw. (4.88)

gmym ⋅−=⋅ (4.89)

da beide Kräfte parallel entgegen der Gravitation wirken. Daraus folgt die Differentialgleichung 2-ter Ordnung mit der Beschleunigung g:

gdtdv

dtydy −===

(4.90)

b) Die erste Integration liefert mit der Anfangsbedingung v(t=0) = v0

∫∫ ⋅−=t

0

v

v

dtgdv0

tgv)t(v 0 ⋅−=−

tgv)t(v 0 ⋅−= (4.91)

das lineare Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des senkrechten Wurfes. c) Die erneute Integration liefert mit der Anfangsbedingung y(t=0) = 0

200


tgvdtdy)t(v 0 ⋅−== ∫∫∫ ⋅−⋅=

t

0

t

00

y

0

dttgdtvdy

2/tgtv)t(y 20 ⋅−⋅= (4.92)

das Weg-Zeit-Gesetz des senkrechten Wurfes. Mit dieser Gl.(4.92) lässt sich die Position y oder Wurfhöhe des Partikels nach einer bestimmten Wurfzeit t berechnen.

d) Das Umstellen der Gl.(4.92) ergibt eine quadratische Gleichung

0ytv2/tg 02 =+⋅−⋅ 0

gy2t

gv2t 02 =

⋅+⋅

⋅−

und deren Lösung (nur die negative Wurzel ist sinnvoll) die Umkehr-funktion des Weg-Zeit-Gesetzes:

gy2

gv

gvt 2

200 ⋅

−−= gy2vg1

gvt 2

00 ⋅⋅−−=

g

gy2vvt

200 ⋅⋅−−

= (4.93)

e) Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.(4.91),

( )gy2vvggv)y(v 2

000 ⋅⋅−−⋅−= gy2vvv)y(v 2000 ⋅⋅−+−=

ergibt das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz des senkrechten Wurfes:

gy2v)y(v 20 ⋅⋅−= (4.94)

f) Dieses Geschwindigkeits-Weg-Gesetz, Gl.(4.94), wird auch erhalten, wenn man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dy/v er-setzt, Gl.(4.85), in die Bewegungsgleichung(4.90) einsetzt

gdydvv

dtdv

−=⋅= (4.95)

und mit der Anfangsbedingung v(y=0) = v0 integriert:

∫∫ ⋅−=⋅y

0

v

v

dygdvvo

yg2v

2v 2

02

⋅−=− gy2v)y(v 20 ⋅⋅−= (4.94)

g) Mit dieser Gl.(4.94) lässt sich die maximal mögliche Wurfhöhe errech-nen, bei der die Wurfgeschwindigkeit gleich Null wird hmax = y(v = 0):

g2vh

20

max ⋅= (4.96)

h) Das gleiche Ergebnis, Gl.(4.96), wird wiederum aus der Energiebilanz der Umwandlung der kinetische Anfangsenergie des Partikels in die zu-gehörige potentiellen Energie der maximalen Wurfhöhe erhalten:

20max v

2mhgm ⋅=⋅⋅ (4.97)

201


Im Prinzip wird die hier vorgestellte Methodik benutzt, um die Dynamik einer Vielzahl (⇒ Kompliziertheit) komplex miteinander gekoppelter Elemente (⇒ Komplexität) eines Mehrkörpersystems zu berechnen: Entsprechend der bewährten Methodik der Mechanik11 ist es üblich, die Träg-heitskraft ii xm

⋅ und das Trägheitsmoment iiJ ϕ⋅

eines betreffenden Ele-

mentes oder Partikels i jeweils auf die linken Seite zu setzen und alle anderen eingeprägten (einwirkenden) Kräfte und Drehomente auf der rechten Seite bei-der Bilanzgleichungen zu summieren. Das sind beispielsweise repulsive Kon-takt- und attraktive Haftkräfte zwischen Partikel i und einem benachbarten Par-tikel j K,ijF

und H,ijF

, die Widerstandkraft infolge Anströmung eines Fluids W,iF

oder eine externe Feldkraft F,iF

und die Schwerkraft des Partikels gmi

⋅ :

gm...FFFFFxm iF,iW,iH,ijK,ij

n

1kk,iii

k ⋅+++++==⋅ ∑

=

(4.98)

Die betreffenden Kräfte bewirken entsprechende Roll- und Torsionsmomente

K,ijM

, H,ijM

, W,iM

, F,iM

und mg,iM

des Partikels mit einer Winkelbeschleuni-

gung ii ω=ϕ

und seinem Massenträgheitsmoment Ji:

mg,iF,iW,iH,ijK,ij

n

1kk,iii M...MMMMMJ

k +++++==ϕ⋅ ∑

=

(4.99)

Durch erste und zweite numerische Integration werden jeweils die Beschleuni-gungen ix

, Geschwindigkeiten ix

und örtlichen Positionen ix der Translation

und Rotation ( ϕω=ϕϕ

,, iii ) aller Elemente i = 1…N ermittelt → sog. Diskre-

te-Elemente-Methode (DEM). Deshalb sollen im Folgenden die analogen mechanischen Modelle und Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Sinkbewegung starrer Partikel unter zusätzli-cher Berücksichtigung eines geschwindigkeitsabhängigen Widerstandes des umgebenden Fluids ermittelt werden: 4.1.2.2.2 Kräftegleichgewicht für homogene Umströmung Nunmehr soll auf die gleichmäßig beschleunigte oder instationäre Partikel-bewegung aufgrund eines äußeren Kraftfeldes eingegangen werden, z.B. gilt im Erdschwerefeld a = dv/dt = const = g ≠ f(t, y). Im Zusammenhang mit ver-fahrenstechnischen Problemstellungen interessiert vor allem die Frage, über welche Wegstrecken bzw. Zeiten sich die Beschleunigungsvorgänge der Parti-keln bis zum Erreichen der stationären Sinkgeschwindigkeit vollziehen. Sind diese genügend klein, so würde dies die Möglichkeit eröffnen, bei verfahrens-

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 11 Siehe auch: Müller, W. H. und Ferber, F., Technische Mechanik für Ingenieure, S. 208 und S. 212, Fachbuchverlag Leipzig, 2003

202


FG

FA FT

FW FF

y

x

FT,f

technischen Prozessberechnungen und Apparateauslegungen gegebenenfalls die kurze Beschleunigungsperiode zu vernachlässigen.

Kräfte am Kugelschwerpunkt:

gVF psG ⋅⋅ρ= (4.100)

gVF pfA ⋅⋅ρ= (4.101)

2)t(uA))u(Re(cF

2r

pfrWW ⋅⋅ρ⋅= (4.102)

)t(vVF psT ⋅⋅ρ= (4.103)

)t(vVF fff,T ⋅⋅ρ= (4.104)

Bild 4.1: Kräftegleichgewicht an einer glatten Kugel bei der Sedimentation in einem ruhenden Fluid bei gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und ho-mogener Umströmung Die Trägheitskraft FT des Partikels wird mit einem zusätzlichen Anteil mitbeschleunigter Fluidmasse Pfff Vm ⋅ϕ⋅ρ= , Gl.(4.45), berechnet.

Für die Feldkraft (Gewicht FG), Auftrieb FA, Widerstandskraft FW, Trägheits-kraft des Partikels FT und Trägheitskraft des mitbeschleunigten Fluids FT,f, Gln.(4.100) bis (4.104), gilt bei gleichmäßig beschleunigter Partikelbewegung und gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und homogener Umströmung unter den eingangs getroffenen Voraussetzungen, wenn die Kräfte parallel bzw. antiparallel wirken, Bild 4.1 und Folie 4.18:

f,TTWAGf,TTWAF FFFFFFFFFF0F ++++−=++++∑ −=↑=

(4.105)

( )2vAcgVv1V

2

fPWfsPs

ffsP ⋅ρ⋅⋅−⋅ρ−ρ⋅=⋅

ρρ

⋅ϕ+⋅ρ⋅ . (4.106)

Für dv/dt = 0 folgt ebenfalls die stationäre Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.48),

fW

fs

fPW

Pfs2s c

gd)(34

AcgV)(2v

ρ⋅⋅⋅ρ−ρ

=ρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.48)

die alle bedeutsamen Stoffkennwerte (Partikelgröße, -dichte, und -form) ent-hält. Umformen der Gl.(4.106):

( )sP

2fP

WsP

fsP

s

ff V2

vAcV

gVv1ρ⋅⋅⋅ρ⋅

⋅−ρ⋅

⋅ρ−ρ⋅=⋅

ρρ

⋅ϕ+

( ) ( )( ) g

gV2

vAcgv1fs

fs

sP

2fP

Ws

fs

s

ff ⋅ρ−ρ

⋅ρ−ρ⋅

ρ⋅⋅⋅ρ⋅

⋅−ρ

⋅ρ−ρ=⋅

ρρ

⋅ϕ+

203


( )( )

( )s

fs

fsP

2fP

Ws

fs

s

ff

ggV2

vAcgv1ρ

⋅ρ−ρ⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅⋅ρ⋅

⋅−ρ

⋅ρ−ρ=⋅

ρρ

⋅ϕ+

( ) ( ) ( )

⋅ρ−ρ⋅⋅

⋅ρ⋅⋅−⋅

ρ⋅ρ−ρ

=⋅

ρρ

⋅ϕ+gV2

vA)vRe(c1gv1fsP

2fP

Ws

fs

s

ff

( ) ( ) ( )

⋅ρ−ρ⋅⋅

⋅ρ⋅⋅−⋅⋅

ρ⋅ϕ+ρρ−ρ

=gV2

vA))t(vRe(c1gdtdv

fsP

2fP

Wffs

fs (4.107)

Erweitern mit dem Verhältnis der cW(vs)/cW(vs)-Werte beim Erreichen von vs

( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅ρ−ρ⋅⋅

⋅ρ⋅⋅⋅−⋅⋅

ρ⋅ϕ+ρρ−ρ

=gV2

vA))t(vRe(c)vRe(c)vRe(c1g

dtdv

fsP

2fP

WsW

sW

ffs

fs

( ) ( )( )

( )( )

⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅ρ⋅⋅

⋅−⋅⋅ρ⋅ϕ+ρ

ρ−ρ= 2

fsP

fPsW

sW

W

ffs

fs vgV2

A)vRe(c)vRe(c))t(vRe(c1g

dtdv (4.108)

mit d2

3d46d

VA

3

2

p

p

⋅=

π⋅⋅π

= und Verwendung von Gl.(4.48) fW

fs2s c

gd)(34v

ρ⋅⋅ρ−ρ

=

in der Gl.(4.108) ergibt eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung: ( )( )

⋅−⋅⋅

ρ⋅ϕ+ρρ−ρ

= 2s

2

sW

W

ffs

fs

v)t(v

)vRe(c))t(vRe(c1g

dtdv oder

( ) ( )( )

⋅−⋅⋅ρ= 2

s

2

sW

Wf v

)t(v)vRe(c))t(vRe(c1gD

dtdv

(4.109)

mit der Fluiddichtefunktion D(ρf):

( )ffs

fsfD

ρ⋅ϕ+ρρ−ρ

=ρ . (4.110)

Für Luft ist D(ρf) = 1 wegen ρs >>ρf. Für ρs = ρf ist D = 0 (keine Beschleuni-gung) und für Leichtgut ρs < ρf ergibt sie negative Werte, das ein Aufschwim-men der Partikel kennzeichnet. Gl.(4.109) ist wegen cW(t) = f(Re(v(t))), gemäß der Formel nach KASKAS

4,0Re4

Re24cW ++= , (4.17)

nicht geschlossen analytisch, sondern nur numerisch integrierbar, siehe über-nächster Abschnitt 4.1.2.2.4. 4.1.2.2.3 Analytische Lösungen für laminare Umströmung Eine analytische Lösung kann man jedoch entweder mit der allg. Differential-gleichung der Partikelsedimentation (4.109) bei laminarer Umströmung feiner Kugeln (etwa d < 100 µm, vs < 0,01 … 0,2 m/s und Re < 1, siehe Tabel-le 4.2) im STOKES-Bereich, d.h. Re/24cW = ,

204


( ) ( )

−⋅⋅ρ=

⋅

η⋅ρ⋅⋅

⋅ρ⋅⋅η⋅

−⋅⋅ρ=s

f2s

2fs

ff v

)t(v1gDv

)t(v24

dvdv

241gDdtdv

oder mit der Gl.(4.107) gewinnen12: ( )

( )

⋅ρ−ρ⋅⋅π⋅⋅

⋅ρ⋅⋅π⋅⋅

ρ⋅⋅η⋅

−⋅⋅ρ⋅ϕ+ρ

ρ−ρ=

gd42vd6

dv241g

dtdv

fs3

2f

2

fffs

fs

( ) ( )

⋅

⋅⋅ρ−ρη⋅

−⋅⋅ρ= vgd

181gDdtdv

2fs

f

( )

−⋅⋅ρ=

sf v

)t(v1gDdt

)t(dv. (4.111)

Das Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz Die Integration der nunmehr linearen Differentialgleichung liefert nach Tren-nung der Variablen für die Anfangsbedingung v(t = 0) = 0

∫∫==

⋅⋅=−

t

0t

v

0v s

dtgDv/v1

dv (4.112)

mit der Substitution xlnvx

dxvv/dvdxv/v1x ssss ⋅−=⋅−→−=→−= ∫

( ) tgDv/v1lnv ss ⋅⋅=−⋅− ( )ss v/tgDexpv/v1 ⋅⋅−=−

die Zeitabhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit als Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der beschleunigten Partikelsedimentation bei laminarer Umströmung:

( )

−−⋅=

⋅⋅ρ−−⋅=

sv,63s

sfs t

texp1vv

tgDexp1v)t(v (4.113)

Anstieg und charakteristische Relaxationszeit Der Anstieg dieses Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes ist bei t = 0, Bild 4.2a),

sss v,63

s

v,63v,63

s

0t tv

t0exp

tv

dt)t(dv

=

−⋅

−−=

=

(4.114)

Mit Hilfe der Gl.(4.117) folgt ein konstanter Anstieg des Sinkgeschwindig-keits-Zeit-Gesetzes bei t = 0, der unabhängig von der Partikelgröße d ist:

( ) ( ) gDv

gDvdt

)t(dvf

s

fs

0t

⋅ρ=⋅ρ⋅

==

(4.115)

Die gleiche wirksame Partikelbeschleunigung (Anstieg) im Nullpunkt v = 0 erhält man mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.111):

( ) ( ) gDv

)0t(v1gDdt

)t(dvf

sf

0v

⋅ρ=

=−⋅⋅ρ=

=

(4.116)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 12 Schubert, H., S. 123, in1

205


Die charakteristische Sinkzeit oder Relaxationszeit13 t63,vs, bei der 63% der stationären Sinkgeschwindigkeit vs erreicht werden, ist:

( )( ) ( )

( )( )

η⋅⋅ρ⋅ϕ+ρ

=ρ−ρ⋅η⋅

ρ⋅ϕ+ρ⋅⋅ρ−ρ=

⋅ρ=

18d

18d

gDvt

2ffs

fs

ffs2

fs

f

sv,63 s

(4.117)

Da die Dichtefunktion für Wasser D(ρf) < 1 ist, werden die Beschleunigungs-zeiten gegenüber D(ρf) = 1 (für Luft) etwas verlängert. Diese Relaxationszeit t63,vs hängt, wie die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs, ebenfalls von den charakteristischen Trennmerkmalen Partikelgröße, -dichte und -form (siehe Abschnitt 4.1.2.1.3) aber nicht mehr von der Beschleunigung des wirksamen Kraftfeldes ab. Sie wird im Zusammenhang mit Trennprozessen nanoskaliger Partikel im Zent-rifugalkraftfeld auch Sedimentationskoffizient14 gemäß SVEDBERG genannt (aZ = r.ω2 Zentrifugalbeschleunigung):

ZZss a/)a(vt = (4.118)

„Hauptsächlich werden so in der Biologie mittels einer Zentrifuge die Massen sehr kleiner Partikel analytisch bestimmt, zum Beispiel Ribosomen (20-25 nm), Virionen (15-440 nm), Peptide oder Proteinmoleküle (etwa < 3,6 MDa = 3,6.106 g/mol → d ≈ 22,5 nm, siehe MVT_e_1neu.doc#Moleküldurchmesser). Um bei derartig kleinen Bio-Partikeln ausreichend gute Trennergebnisse zu erhalten, werden in der Regel sehr hohe Zentrigalbschleunigungen in Ultra-zentrifugen15 verwendet, die Beschleunigungsvielfache (Zentrifugenkennzah-len z.g bzw. FROUDE-Zahlen Fr.g) von bis zu 106.g erzeugen können.“ STOKES-Zahl Darüber hinaus läßt sich eine STOKES-Zahl = Partikelträgheit/Strömungswi-derstand definieren und zwar als Verhältnis der charakteristischen Zeit tT, mit der das masseträge Partikel sich der Strömungsgeschwindigkeit des umgeben-den Fluids (durch viskose Reibung) anpasst, zur charakteristischen Zeit tf, in der das Fluid selbst durch äußere Einflüsse, z.B. infolge Strömungsturbulenz, seine Geschwindigkeit plötzlich ändert16,17:

fT t/tSt = (4.119)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 13 Glöckner H., Hagemeier T., Müller P., Roloff C., Thevenin D. und J. Tomas, Beschleunigter Sinkprozess fester Partikel bei laminarer und turbulenter Umströmung, Chem. Ing. Tech. 87 (2015) 5, 644–655 14 http://de.wikipedia.org/wiki/Sedimentationskoeffizient 15 http://de.wikipedia.org/wiki/Ultrazentrifuge 16 http://de.wikipedia.org/wiki/Stokes-Zahl 17 Sommerfeld, M., van Wachem, B. and R. Oliemans, Dispersed Turbulent Multi-Phase Flow - Best Practice Guidelines, Version 20-8-2007

http://de.wikipedia.org/wiki/Ribosom

http://de.wikipedia.org/wiki/Viren

http://de.wikipedia.org/wiki/Peptid

http://de.wikipedia.org/wiki/Protein

http://de.wikipedia.org/wiki/Ultrazentrifuge


http://de.wikipedia.org/wiki/Sedimentationskoeffizient


http://de.wikipedia.org/wiki/Stokes-Zahl

206


Diese charakteristische Übergangs- oder Relaxationszeit tT = vs‘/g ≈ t63,vs ergibt sich aus der obigen Gl.(4.117), wenn man den statischen Auftrieb FA = 0 des Fluids und die mitbeschleunigte Fluidmasse D(ρf) = 1 bei der effektiven (wirk-samen) Partikel-Sinkgeschwindigkeit vs,St‘ vernachlässigt. Mit einer charakte-ristischen makroskopischen Abmessung des Strömungskanales, z.B. Kanalbrei-te B ≈ Λ/2 Gl.(4.310), und einer wirksamen (mittleren) Schwankungsgeschwin-

digkeit uTu'u'u 2 ⋅=≈ , s. Gl.(4.307), folgt für die STOKES-Zahl:

B18'ud

Bg)t('uv

St22

s'

St,s

⋅η⋅⋅⋅ρ

=⋅⋅

= (4.120)

Ultrafeine Partikel (hier etwa d ≤ 1 µm) folgen nahezu schlupffrei den plötz-lichen stochastischen Geschwindigkeitsschwankungen u‘(t) einer turbulenten Strömung, d.h. St = 4,1.10-5 << 1 (für ρs = 2650 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s (Luft), B = 0,2 m, Tu.u ≈ 1 m/s), und dienen deshalb als Markierungsmittel (tracer) in der Strömungsmechanik, z.B. bei der sog. Particle Image Velocimetry (PIV).

Das allgemeine Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz Mit der Integralgleichung (4.112) folgt für die allgemeine Anfangsbedingung

v(t = t0) = v0 mit dem Grundintegral18 ( )xablna1

xabdx

⋅+⋅=⋅+∫

∫∫ ⋅⋅

=−

t

ts

v

v s 00

dtv

gDvv

dv (4.121)

( ) ( ) ( )[ ] ( )0s0s

s0ss

v

vs ttv

gDvvvvlnvvlnvvlnvvln

0−⋅

⋅=

−−

−=−−−−=−−

( )

−⋅

⋅−=

−−

0s0s

s ttv

gDexpvvvv ( ) ( )

−⋅

⋅−⋅−=− 0

s0ss tt

vgDexpvvvv

( ) ( )

−⋅

⋅−⋅−−= 0

s0ss tt

vgDexpvvv)t(v

das allgemeine Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz der beschleunigten Parti-kelsedimentation bei laminarer Umströmung (s. Glöckner u.a. CIT (2015)13)

( )

−−⋅−−=

vs,63

00ss t

ttexpvvv)t(v , (4.122)

das für v(t →∞) = vs die stationäre Sinkgeschwindigkeit liefert sowie für t0 = 0 und v0 = 0 der bekannten Lösung (4.113) gleicht. Beispielsweise ergibt das Abbremsen auf vs eines schnelleren Partikels mit einer höheren Anfangsge-schwindigkeit v0 = 2.vs bei t0 = 0 nach einer Bremszeit von t = 0,5.t63,vs:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 18 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1074, 7. Aufl., Ver-lag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008

207


( ) ( )[ ] ssvs,63

vs,63sssvs,63 v61,15,0exp1v

tt5,0

expv2vv)t5,0t(v ⋅=−+⋅=

−⋅−−==

Der Bremsprozess von v0 in die Partikelruhelage, d.h. vs = 0, ist gemäß Gl.(4.122) als exponentielle Abnahme bequem analytisch rechenbar:

−−⋅=

vs,63

00 t

ttexpv)t(v (4.123)

Das Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetz Das Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetz wird erhalten, wenn man das Zeitin-krement dt durch das Weginkrement dy/v ersetzt, Gl.(4.85) in die Bewe-gungsgleichung (4.111) einsetzt

( )

−⋅⋅ρ=⋅=

sf v

)y(v1gDdy

)y(dv)y(vdtdv , (4.124)

die Variablen trennt und diese Differentialgleichung gemäß der bekannten Lö-sung eines Grundintegrals18 umformt:

∫∫==

⋅⋅=−

⋅ y

0y

v

0v s

dygDv/v1

dvv mit ( )bxalnab

ax

bxadxx

2 +⋅⋅−=+⋅

⋅∫ .

Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v, a = -1/vs und b = 1. Mit der Anfangsbedingung v(y=0) = 0 wird zunächst nur die linke Seite der Integral-gleichung gelöst:

( )1lnvvv1lnvvv

vv1lnvvv

v/v1dvv 2

ss

2ss

v

0s

2ss

v

0 s

⋅+

−⋅−⋅−=

−⋅−⋅−=

−⋅

∫

Die Integration beider Seiten ergibt zusammen:

ygDvv1lnvvv

s

2ss ⋅⋅=

−⋅−⋅−

Diese Gleichung ist explizit nicht nach v = f(y) auflösbar. Physikalisch ist es sinnvoll, nach einem positiven Ausdruck der Sinkgeschwindigkeit umzustellen:

s2ss v

vv

ygDvv1ln −

⋅⋅−=

−

−

⋅⋅−=−

s2ss v

vv

ygDexpvv1

−

⋅⋅ρ−−⋅=

s

)0(2s

fs)1( v

)y(vv

yg)(Dexp1v)y(v (4.125)

Mit der Gl.(4.117) für t63,vs und dem charakteristischen Relaxationsweg sR,63

vs,63s63,R tvh ⋅= , (4.126)

folgt diese neue Schreibweise s = y, siehe Bild 4.2b):

−−−⋅=

s

)0(

vs,63,Rs)1( v

)s(vs

sexp1v)s(v (4.127)

208


Diese Gleichung (4.127) ist nur iterativ auswertbar; Index (0) und (1) kenn-zeichnen die Anfangs-, Vorgänger- und Nachfolgerwerte. Als Anfangswert der Iterationen nutzt man:

−−⋅=

vs,63,Rs)0( s

sexp1v)s(v (4.128)

Beispielsweise errechnet man für ss v,63sv,63 tv37,0)tt(s ⋅⋅== lt. Gl.(4.140)

( )[ ] sss

s

vs,63s

vs,63ssvs,63 v63,01exp1v

vv63,0

tvtv37,0

exp1v))t(s(v ⋅=−−=

−−−= ,

oder für ss v,63sv,6398 tv02,3)t4t(s ⋅⋅=⋅= völlig plausible Werte:

( )[ ] sss

s

vs,63s

vs,63ssvs,98 v98,04exp1v

vv98,0

tvtv02,3

exp1v))t(s(v ⋅=−−=

−−−=

Das Sinkweg-Zeit-Gesetz Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der insta-tionären Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.113),

−−⋅==

sv,63s t

texp1vdt

)t(ds)t(v (4.129)

liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0

∫∫∫===

−⋅−⋅=

−−⋅=

t

0t v,63ss

t

0t v,63s

)t(s

0s

dtt

texpvtvdtt

texp1vdsss

)xexp(tvdx)xexp(tvtdtdxt/tx

ss

s

s v,63sv,63sv,63

v,63 ⋅⋅=⋅⋅→−=→−= ∫

−

−⋅⋅+⋅=

−⋅⋅+⋅=

=

1t

texptvtvt

texptvtv)t(ss

s

s

sv,63

v,63ss

t

0tv,63v,63ss

−−⋅⋅−⋅=

s

sv,63

v,63ss ttexp1tvtv)t(s

das Sinkweg-Zeit-Gesetz der Partikelsedimentation im STOKES-Bereich19:

−−−⋅=

ss

sv,63v,63

v,63,R ttexp1

tts)t(s (4.130)

Bei genügend großen Zeiten t > 4.t63,vs nimmt der Sinkweg linear (stationär) zu s(t) = vs

.t, siehe Bild 4.2c):

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 19 Siehe auch: Müller, W. H. und Ferber, F., Technische Mechanik für Ingenieure, S. 216, Fachbuchverlag Leipzig, 2003

209


( )sv,63s ttv)t(s −⋅= (4.131)

Der Abszissenabschnitt tA,vs dieser Geraden ( )sv,63s ttv0)t(s −⋅== ist:

ss v,63v,A tt = (4.132)

Die Sinkzeit-Weg-Funktion Die Umkehrfunktion für eine gesuchte Sinkzeit ts bei gegebener Behälterhöhe oder Sinkweg s ergibt sich durch Umstellen dieser Gl. (4.130):

−−⋅−=

s

sv,63

sv,63s

s ttexp1tt

vs

Es lässt sich keine analytisch darstellbare Umkehrfunktion finden. Sie ist je-doch numerisch mittels Iterationen lösbar; Index (0) und (1) kennzeichnen die Anfangs-, Vorgänger- und Nachfolgerwerte:

−−⋅+=

s

sv,63

)0(,sv,63

s)1(,s t

texp1t

vst (4.133)

Anhand der Gl.(4.133) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Sinkzeit aus einem Anteil der stationären Sedimentation und einem instatio-nären oder beschleunigten Anteil des Sinkprozesses infolge des Anlaufvor-ganges zusammensetzt. Für große Sinkzeiten ts, große Wege s, schnelle Kinetik (kleiner Zeitparameter) t63,vs und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit vs kann der letzte Term in der Gl. (4.133) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung

4t

t

sv,63

s > , (4.134)

die auch in vielen Fällen erfüllt sein dürfte, 198,0)4exp(1 ≈=−− und damit

sv,63s

s tvst +≈ (4.135)

Der Term s/vs entspricht einer mittleren Verweilzeit tV,s während der stationä-ren Partikelsedimentation:

s,Vs

tvs

= (4.136)

sv,63s,Vs ttt +≈ (4.137)

Dies bestätigt die Plausibilität dieser Herleitungen – q.e.d. Die Lösungen (4.113) und (4.130) für den STOKES-Bereich ergeben, dass zwar die stationäre Sinkgeschwindigkeit erst erreicht wird, wenn t → ∞ bzw. der Weg s → ∞ geht. Praktisch interessiert aber, nach welcher Sinkzeit t die

210


instationäre Geschwindigkeit v(t) sich vs genügend genähert hat bzw. die stati-onäre Sinkgeschwindigkeit praktisch erreicht worden ist:

[ ] ssv,63 v63,0)1exp(1v)tt(vs

⋅=−−⋅== (4.138)

[ ] ssv,6395 v95,0)3exp(1v)t3t(vs

⋅=−−⋅=⋅= (4.139)

geworden ist. Für diese Sinkzeiten t = t63,vs und t = 3.t63,vs ergeben sich somit folgende charakteristische Sinkwege (mit Gl.(4.117) für t63,vs):

[ ] 37,011stt

exp1tt

s)tt(ss

s

s

s

s

ss v,63,Rv,63

v,63

v,63

v,63v,63,Rv,63 −−⋅=

−−−⋅==

vs,63,Rv,63sv,63 s37,0tv37,0)tt(sss

⋅=⋅⋅== (4.140)

[ ] 05,013stt3exp1

tt3s)t3t(s

sss v,63,R63

63

63

63v,63,Rv,6395 −−=

−−−==

ss v,63,Rv,6395 s05,2)t3t(s ⋅=⋅= (4.141)

Bei laminarer Partikelumströmung in Flüssigkeiten (ρf ≈ 1000 kg/m3) sind die-se Übergangszeiten und Beschleunigungswege für verfahrenstechnische Ausle-gungsrechnungen gewöhnlich vernachlässigbar, siehe Tabelle 4.3. Es kann näherungsweise mit stationären Prozessen gerechnet werden12. 4.1.2.2.4 Numerische Lösungen für den Übergangsbereich Die numerische Integration20 der allgemeinen Bewegungsgleichung (4.109) wird mit der iterativen Berechnung der stationären Sinkgeschwindigkeit im Übergangsbereich der Partikelumströmung (1 < Re < 1000) begonnen. Als Anfangswert ist die Sinkgeschwindigkeit nach STOKES zweckmäßig:

η⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fs)0(,St,s (4.56)

Dann folgen die Iterationsschleifen mit (die Indizes (0) kennzeichnen den Vor-gänger- und (1) den Nachfolgerwert):

η⋅⋅ρ

=dv

Re )0(sf)0( (4.13) 4,0

Re4

Re24c

)0()0()0(,W ++= (4.17)

f)0(,W

fs2)1(,s c

gd)(34v

ρ⋅⋅⋅ρ−ρ

= (4.48)

Dem folgt die numerische Integration der Differentialgleichung (4.109) mittels RUNGE-KUTTA-Methode für die zeitschrittabhängige REYNOLDS-Zahl Re(t) und den Widerstandsbeiwert cW(t) gemäß Gln. (4.13) und:


20 eingefügt 5/2015

211


η⋅⋅ρ

=d)t(v)tRe( f (4.142) 4,0

)tRe(4

)tRe(24)t(cW ++= (4.143)

( )

⋅−⋅⋅ρ== 2

)1(,s

2

)1(,sW

Wf v

)t(v)v(c

)t(c1gD)t,v(fdtdv (4.144)

Je nach Anfangsbedingungen und dominanten Umströmungsbedingungen wer-den die Zeitschritte zwischen Δt = t0…tmax aufgeteilt. Die maximale Zeit tmax bis zum Erreichen von tanh(t/t76,vs=3) = 99,5% der stationären Sinkgeschwin-digkeit vs,(1) kann beispielsweise mit Hilfe der Gl.(4.169) berechnet werden:

g)v(c3d)(43

g)(Dv3

t3tfsW

fs

fs

ffs

f

)1(,svs,76max ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

⋅=⋅ρ

⋅=⋅= (4.145)

Für festzulegende Startwerte t0, v0, Endwerte tmax, sowie der Anzahl der Funk-tionswerte n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1 Schritt-weitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)

n/th max= (4.146)

α⋅= h:h (4.147) htt k1k +=+ (4.148)

wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k0(k) bis k3(k) in k = 1 ... n Schritten gelöst:

h)kv,ht(fk

h)k5,0v,h5,0t(fk

h)k5,0v,h5,0t(fk

h)v,t(fk

)k(2kk)k(3

)k(1kk)k(2

)k(0kk)k(1

kk)k(0

⋅++=

⋅⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅+=

⋅=

(4.149)

Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der

Schranke 1,0...01,0kkkk

)k(0)k(1

)k(1)k(2 <−

− (4.150)

geregelt. Die Funktionswerte der Sinkgeschwindigkeit sind dann:

[ ]3210k1k kk2k2k61vv +⋅+⋅+⋅+=+ (4.151)

4.1.2.2.5 Näherungslösungen für turbulente Umströmung Analytische Näherungslösungen kann man für die turbulente Umströmung grober glatter Kugeln (etwa d > 1,5 mm, vs > 0,4…10 m/s, Re > 1000, siehe Tabelle 4.2) im NEWTON-Bereich cW ≈ 0,44 ≠ f(v(t)) nur gewinnen, wenn man während der Partikelbeschleunigung, d.h beim zeitlichen Durchlaufen des Bereiches geringer Sinkgeschwindigkeiten des laminaren und des Übergangs-bereiches der Partikelumströmung, siehe Tabelle 4.2, voraussetzt, dass der Wi-derstandsbeiwert in der allgemeinen Bewegungsgleichung (4.109) abschnitts-weise cW = const. sei12, also cW,turb/cW,lam = 0,44/24…1:

212


( )( ) 1...018,0

4,0)vRe(

4)vRe(

24

4,0))t(vRe(

4))t(vRe(

24

)vRe(c)vRe(c

ss

sW

W ≈++

++= (4.152)

Das Zeitintervall beginnender laminarer Sinkbewegung ist im Vergleich zur stationären Sinkgeschwindigkeit bei turbulenter Partikelumströmung vernach-lässigbar klein. Das Verhältnis der charakteristischen Sinkzeiten ist mit den Gln. (4.117), (4.139), (4.166) und (4.168) für v(t95...96) = (0,95…0,96).vs:

( )( )

turb,s

lam,s

turb,s

f

f

lam,s

v,76

v,63

turb,96

lam,95

v2v3

v2gD

gDv3

t2t3

tt

s

s

⋅⋅

=⋅

⋅ρ⋅

⋅ρ⋅

=⋅

⋅= (4.153)

Mit den kritischen Sinkgeschwindigkeiten bei ReSt ≈ 1 und ReN ≈ 1000 gemäß Tabelle 4.2 lassen sich sowohl für das Sinken von Quarzpartikel in Wasser:

0405,0s/m37,02s/m01,03

v2v3

tt

N,s

St,s

turb,96

lam,95 =⋅⋅

≈⋅⋅

=

als auch in Luft die Verhältnisse der Sinkzeiten von nur etwa 4% abschätzen:

039,0s/m102s/m26,03

v2v3

tt

N,s

St,s

turb,96

lam,95 =⋅

⋅≈

⋅⋅

=

Das wird auch durch das Verhältnis der beiden kritischen Reynoldszahlen (für d = const.) bestätigt:

%1,01000

1ReRe

vv

N

St

turb,s

lam,s ==≤ (4.154)

Das Verhältnis der Beschleunigungen Gl.(4.156)/Gl.(4.111) zeigt beispiels-weise für v = 0,5.vs wegen des geringeren Widerstandsbeiwertes cW,turb < cW,Über den um 50% schnelleren Zeitverlauf (Anstieg) bei turbulenter Umströmung und damit die Plausibilität obiger Annahmen:

( )

( )5,1

5,015,01

v)t(v1gD

v)t(v1gD

dtdvdtdv

2

v5,0vsf

2s

2

f

v5,0vlam

turb

ss

=−−

=

−⋅⋅ρ

−⋅⋅ρ

=

⋅=⋅=

(4.155)

Das Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz Mit der nichtlinearen Bewegungsgleichung (4.109) und cW ≈ const.

( ) ( )( ) ( )

−⋅⋅ρ≈

⋅−⋅⋅ρ= 2

s

2

f2s

2

sW

Wf v

)t(v1gDv

)t(v)vRe(c))t(vRe(c1gD

dt)t(dv (4.156)

liefert die Integration nach Trennung der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für übliche v(t) ≤ vs

∫∫==

⋅⋅

=−

t

0t2s

v

0v22

s

dtv

gDvv

dv (4.157)

213


mit

−+

⋅=

⋅=

−∫ xaxaln

a21

axtanhAr

a1

xadx

22 folgende Lösung21,22:

tv

gDvvln

vvvvln

v21

vvvvln

v21

vvdv

2ss

s

s

s

s

v

0s

s

s

v

0v22

s

⋅⋅

=

−

−+

⋅⋅

=

−+

⋅⋅

=−∫

=

tv

gD2vvvvln

ss

s ⋅⋅⋅

=

−+

⋅

⋅⋅=

−+ t

vgD2exp

vvvv

ss

s

( )

⋅

⋅⋅⋅−=+ t

vgD2expvvvv

sss

−

⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅+⋅ 1t

vgD2expvt

vgD2exp1v

ss

s

⋅

⋅⋅=

+

⋅

⋅⋅

−

⋅

⋅⋅

⋅= tv

gDtanhv1t

vgD2exp

1tv

gD2expv)t(v

ss

s

ss mit23 ( )

( ) ( )xtanh1x2exp1x2exp

=+−

Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Sinkgeschwindigkeit als Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der beschleunigten Partikelsedimentation bei turbulenter Umströmung, siehe den zugehörigen Kurvenverlauf im Bild 4.2a):

⋅=

vs,76s t

ttanhv)t(v (4.158)

Das allgemeine Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz Mit der allgemeinen Anfangsbedingung v(t = t0) = v0 folgt nach Integration

∫∫ ⋅⋅

=−

t

t2s

v

v22

s 00

dtv

gDvv

dv (4.159)

der linken Seite22 für vs > v

−

⋅=

⋅=

−∫s

0

ss

v

vss

v

v22

s vvtanhAr

vvtanhAr

v1

vvtanhAr

v1

vvdv

00

(4.160)

und rechten Seite der Integralgleichung (4.159):

( )02s

t

t2s

ttv

gDdtv

gD

0

−⋅⋅

=⋅⋅

∫ (4.161)

Mit24 ( ) ( )

⋅−

−=−

yx1yxtanhArytanhArxtanhAr folgt für die linke Seite:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 21 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991. 22 Bronstein u.a., Taschenbuch der Mathematik18, S. 1077 und 1078 23 Bronstein u.a., Taschenbuch der Mathematik18, S. 88 24 Bronstein u.a., Taschenbuch der Mathematik18, S. 94

214


( )

⋅−

−=

−

−

=

−

−=

−∫0

2s

0s

s2s

02s

s

0

s

s

0

s

s

0

s

s

v

v22

s vvvvvvtanhAr

v1

vvvv

vvv

tanhArv1

vv

vv1

vv

vv

tanhArv1

vvdv

0

Linke und rechte Seite der Integralgleichung (4.159) ergeben zusammen: ( ) ( )02

s02s

0s

s

ttv

gDvvv

vvvtanhArv1

−⋅⋅

=

⋅−

− bzw. ( ) ( )0s0

2s

0s ttv

gDvvv

vvvtanhAr −⋅⋅

=

⋅−

−

Für )xtanh(Ary = folgt das Argument )ytanh(x = der Umkehrfunktion: ( ) ( )

−⋅

⋅=

⋅−−

0s0

2s

0s ttv

gDtanhvvv

vvv ( )

−⋅

⋅⋅−=− 0

ss

02s

0 ttv

gDtanhv

vvvvv

( ) ( )

−⋅

⋅⋅

⋅−

−⋅

⋅⋅=− 0

ss

00

ss0 tt

vgDtanh

vvvtt

vgDtanhvvv

( ) ( )

−⋅

⋅⋅+=

−⋅

⋅⋅

⋅+ 0

ss00

ss

0 ttv

gDtanhvvttv

gDtanhvvvv

( ) ( )

−⋅

⋅⋅+=

−⋅

⋅⋅+⋅ 0

ss00

ss

0 ttv

gDtanhvvttv

gDtanhvv1v

( )

( )

( )

( )

−⋅

⋅⋅+

−⋅

⋅⋅+

⋅=

−⋅

⋅⋅+

−⋅

⋅⋅+

=

0s

0s

0s

s0

s

0ss

0

0s

s0

ttv

gDtanhvv

ttv

gDtanhvvv

ttv

gDtanhvv1

ttv

gDtanhvv)t(v

Mit der Gl.(4.166) für die Relaxationszeit t76,vs lautet das übersichtliche allge-meine Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz

−⋅+

−⋅+

⋅=

vs,76

00s

vs,76

0s0

s

ttttanhvv

ttttanhvv

v)t(v , (4.162)

das der Gl.(99) von Glöckner u.a. CIT (2015)13 mathematisch äquivalent ist, für v(t →∞) = vs ebenfalls die stationäre Sinkgeschwindigkeit liefert sowie für t0 = 0 und v0 = 0 der vereinfachten Lösung (4.158) entspricht. Beispielsweise ergibt das Abbremsen eines schnelleren Partikels mit einer höheren Anfangs-geschwindigkeit v0 = 2.vs bei t0 = 0 nach einer Bremszeit von t = 0,5.t76,vs:

( )( ) ss

vs,76

vs,76ss

vs,76

vs,76ss

svs,76 v28,15,0tanh21

5,0tanh2v

tt5,0

tanhv2v

tt5,0

tanhvv2v)t5,0t(v ⋅=

⋅++

⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅

⋅=⋅=

Gl.(4.162) läßt sich wegen vs ≠ 0 nur zur Auswertung moderater Abbremspro-zesse nutzen, bei denen die Partikel immer noch turbulent umströmt werden. Ansonsten müssen für die Verminderung der Partikelsinkgeschwindigkeit so-wohl der Übergangsbereich als auch schließlich die laminare Umströmung (Re < 1) berücksichtigt werden. Für letzteres ist wiederum Gl.(4.123) nutzbar:

215


−−⋅=

vs,63

00 t

ttexpv)t(v (4.123)

Ü1 Übung: Berechnung v(t) für einen Partikelbremsprozess von v0 auf vs: Für v > vs ergibt die Integration der linken Seite der Gl. (4.159) für die allge-

meine Anfangsbedingung v(t = t0) = v0 mit22

⋅=

−∫ axcothAr

a1

xadx

22 :

−

⋅=

⋅=

−∫s

0

ss

v

vss

v

v22

s vvcothAr

vvcothAr

v1

vvcothAr

v1

vvdv

00

(4.163)

Mit dem reziproken Argument24 ( ) )x/1tanh(ArxcothAr =

−

⋅=

⋅=

−∫0

ss

s

v

v

s

s

v

v22

s vvtanhAr

vvtanhAr

v1

vvtanhAr

v1

vvdv

00

und24 ( ) ( )

⋅−

−=−

yx1yxtanhArytanhArxtanhAr folgt für die linke Seite:

( )

−−

=

−

−

=

−

−=

−∫ 2s0

0s

s

0

2s0

0

s0s

s

0

ss

0

ss

s

v

v22

s vvvvvvtanhAr

v1

vvvvv

vvvvvv

tanhArv1

vv

vv1

vv

vv

tanhArv1

vvdv

0

und rechten Seite der Integralgleichung (4.159): ( ) ( )02

s2s0

0s

s

ttv

gDvvvvvvtanhAr

v1

−⋅⋅

=

−−

( ) ( )

−=

−⋅

⋅=

−−

vs,76

00

s2s0

0s

ttttanhtt

vgDtanh

vvvvvv

( )

−−=−

vs,76

02s0

s0 t

tttanhvvvv1vv ( )

−−−=

vs,76

02s0

s0 t

tttanhvvvv1vv

−⋅+=

−+

vs,76

0s0

vs,76

0

s

0

s

s

ttttanhvv

ttttanh

vv

vvv

Das Ergebnis entspricht auch für v > vs wiederum der Gl.(4.162) - q.e.d.:

−⋅+

−⋅+

⋅=

vs,76

00s

vs,76

0s0

s

ttttanhvv

ttttanhvv

v)t(v (4.162)

Ü2 Übung: Berechnung v(t) für einen Partikelbremsprozess von v0 auf vs: Für v > vs ergibt die Integration der linken Seite der Gl.(4.159) für die allge-

meine Anfangsbedingung v(t = t0) = v0 mit22

−+

⋅=−∫ ax

axlna2

1xa

dx22 :

( )02ss0

s0

s

s

s

v

vs

s

s

v

0v22

s

ttv

gDvvvvln

vvvvln

v21

vvvvln

v21

vvdv

0

−⋅

=

−+

−

−+

⋅⋅

=

−+

⋅⋅

=−∫

=

( )0ss0

s0

s

s ttv

gD2vvvv

vvvvln −

⋅⋅=

+−

⋅−+ ( )

−

⋅⋅=

+−

⋅−+

0ss0

s0

s

s ttv

gD2expvvvv

vvvv

216


Mit einer verkürzten Schreibweise der e-Funktion ( )

−

⋅⋅= 0

s

ttv

gD2expe ist

evvvv

vvvv

s0

s0

s

s ⋅−+

=−+ ( ) e

vvvvvvvv

s0

s0ss ⋅

−+

⋅−=+

⋅

−+

+⋅−=

⋅

−+

−⋅ evvvv1ve

vvvv1v

s0

s0s

s0

s0

1evvvv

1evvvv

vv

s0

s0

s0

s0

s

−⋅−+

+⋅−+

⋅= ( )( ) s0s0

s0s0s vvevv

vvevvvv+−⋅+−+⋅+

⋅= ( ) ( )( ) ( )1ev1ev

1ev1evvvs0

s0s ++−

−++⋅=

1e1evv1e1evv

vv0s

s0

s

+−

+

+−

+⋅= mit23 ( )

( ) ( )xtanh1x2exp1x2exp

=+− ist

xtanhvvxtanhvvvv

0s

s0s +

+⋅=

und man erhält auch für v > vs wiederum die Gl.(4.162) - q.e.d.:

−⋅+

−⋅+

⋅=

vs,76

00s

vs,76

0s0

s

ttttanhvv

ttttanhvv

v)t(v (4.162)

Anstieg und charakteristische Relaxationszeit Die wirksame Partikelbeschleunigung (Anstieg) des Sinkprozesses ist gemäß der Bewegungsgleichung (4.156) im Nullpunkt v = 0:

( ) ( ) gDv

)0t(v1gDdt

)t(dvf2

s

2

f0v

⋅ρ=

=−⋅⋅ρ=

=

(4.164)

Mit Hilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.158) ergibt sich bei t = 0,

Bild 4.2a), mit xcosh

1'yxtanhy 2=→= , ( )0cosh

1tv

dt)t(dv

2v,76

s

0t s

⋅==

( ) gDtv

dt)t(dv

fv,76

s

0t s

⋅ρ===

(4.165)

ebenfalls ein konstanter Anstieg, der unabhängig von der Partikelgröße d ist. Die charakteristische Sink- oder Relaxationszeit t76,vs der turbulenten Parti-kelumströmung ist;

gc3d)(4

cgd)(

34

gD1

gDvt

fW

fs

fs

ffs

fW

fssvs,76 ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

=ρ⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅

⋅=

⋅=

g)v(c3d)(4

g)(Dvt

fsW

fs

fs

ffs

f

svs,76 ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

=⋅ρ

= (4.166)

217


Eingesetzt in Gl.(4.165) folgt ein konstanter Anstieg des Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetzes bei t = 0, der der obigen Gl.(4.164) entspricht und somit unab-hängig von der Partikelgröße d ist:

( ) ( ) gDv

gDvdt

)t(dvf

s

fs

0t

⋅ρ=⋅ρ⋅

==

(4.164)

Der Index 76 der charakteristischen Sink- und Relaxationszeit wurde gewählt, weil bei t = t76 die für diesen Mikroprozess typische tanh-Funktion 76% der stationären Sinkgeschwindigkeit vs ergibt:

( ) ssvs,76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅== (4.167)

Die stationäre Sinkgeschwindigkeit wird für

( ) ssvs,7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅= (4.168)

( ) ssvs,7699 v995,03tanhv)t3t(v ⋅=⋅=⋅= (4.169)

mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht. Wirksame STOKES-Zahl Die wirksame STOKES-Zahl = Partikelträgheit/Strömungswiderstand, siehe Gl.(4.119), läßt sich ebenfalls für die turbulente Partikel-Umströmung mit der charakteristischen Übergangs- oder Relaxationszeit tT = vs‘/g ≈ t76,vs mit Hilfe der obigen Gl.(4.166) für FA = 0, D(ρf) = 1 sowie mit der charakteristischen Breite des Strömungskanales B und einer effektiven (mittleren) Schwankungs-

geschwindigkeit uTu'u'u 2 ⋅=≈ , siehe Gl.(4.307), angeben:

gc3d4

B'u

Bg)t('uv

ttSt

fW

s2'

N,s

f

T

⋅ρ⋅⋅⋅ρ⋅

⋅=⋅⋅

== (4.170)

Grobe Partikel (etwa d ≈ 1 mm) können aufgrund ihrer Trägheit nur zeitlich verzögert mit einem gewissem Schlupf den stochastischen Geschwindigkeits-schwankungen u‘(t) einer turbulenten Strömung folgen, d.h. St = 4,13 > 1 für cW = 0,44; ρs = 2650 kg/m3, ρf = 1,2 kg/m3, η = 18.10-6 Pa.s (Luft), B = 0,2 m und Tu.u ≈ 1 m/s.

Das Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetz Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz wird erhalten, wenn man das Zeitinkre-ment dt durch das Weginkrement dy/v gemäß Gl.(4.85) ersetzt, in die Bewe-gungsgleichung (4.156) einsetzt

( )

−⋅⋅ρ=⋅= 2

s

2

f v)y(v1gD

dy)y(dv)y(v

dtdv , (4.171)

218


die Variablen trennt und diese Differentialgleichung (4.171) gemäß der bekann-ten Lösung eines Grundintegrals umformt25

∫∫∫===

⋅⋅=−⋅

⋅=−

⋅ y

0y

v

0v22

s

2s

v

0v2s

2 dygDvv

dvvvv/v1

dvv mit ( )2222 xaln

21

xadxx

−⋅−=−⋅

∫ .

Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v und a = vs2. Mit der Anfangs-

bedingung v(y=0) = 0 wird die linke Seite der Integralgleichung gelöst:

( ) ( ) ( )2s

2s22

s

2s

v

0

22s

2s

v

022

s

2s vln

2vvvln

2vvvln

2v

vvdvvv ⋅+−⋅−=−⋅−=

−⋅

⋅ ∫

( ) ( )[ ]

−⋅−=

−⋅−=−−⋅−= 2

s

22s

2s

22s

2s2

s22

s

2s

vv1ln

2v

vvvln

2vvlnvvln

2v


ygDvv1ln

2v

2s

22s ⋅⋅=

−⋅− 2

s2s

2

vygD2

vv1ln ⋅⋅

⋅−=

−

⋅⋅⋅−=− 2

s2s

2

vygD2exp

vv1

Mit der Relaxationszeit t76,vs, Gl.(4.166), und dem charakteristischen Relaxati-onsweg sR,76,vs

vs,76svs,76,R tvs ⋅= (4.172)

läßt sich das Argument der e-Funktion umformen s = y:

⋅−−⋅=

⋅⋅ρ⋅−−⋅=

vs,76,Rs2

s

fs s

y2exp1vv

yg)(D2exp1v)y(v (4.173)

⋅−−⋅=

vs,76,Rs s

s2exp1v)s(v (4.174)

Dieses übersichtliche Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetz der beschleunigten Partikelsedimentation im NEWTON-Bereich ist bequem analytisch auswertbar, Bild 4.2b). Für vs,76,R76 s433,0)t(s ⋅= gemäß Gl.(4.180) folgt plausibel:

ssvs,76,R

vs,76,Rs76 v76,0421,01v

ss433,02

exp1v))t(s(v ⋅=−=

⋅⋅−−= (4.175)

Ein größerer Sinkweg vs,76,R99 s31,2)t(s ⋅= siehe Gl.(4.182) ergibt wiederum die

stationäre Sinkgeschwindigkeit vs:

( ) sss99 v99,001,01v31,22exp1v))t(s(v ⋅=−⋅=⋅−−⋅= (4.176)

Das Sinkweg-Zeit-Gesetz

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 25 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 1078, 7. Aufl., Ver-lag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008

219


Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der insta-tionären Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.158),

⋅==

vs,76s t

ttanhvdt

)t(ds)t(v (4.177)

liefert mit der Anfangsbedingung s(t = 0) = 0:

∫∫==

⋅==

t

0t vs,76s

)t(s

0s

dtt

ttanhv)t(sds (4.178)

Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst: vs,76t/tx = abgeleitet: vs,76t/dtdx = d.h.: dxtdt vs,76 ⋅=

( ) ( )( )∫∫∫ ⋅=⋅=

dx

xcoshxsinhtdxxtanhtdt

tttanh vs,76vs,76

vs,76

( )( )∫ dxxcoshxsinh entspricht dem Integralkern26 f’(x)/f(x), also: ∫

′dx

)x(f)x(f

Die Substitution ( )xcoshu =

ergibt abgeleitet: ( ) dxxsinhdu ⋅= d.h.: ( )xsinhdudx =

Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu: ( )

( ) ulntu

dutxsinh

duu

xsinhtdtt

ttanh vs,76vs,76vs,76vs,76

∫∫∫ ⋅=⋅=⋅⋅=

Das rückwärtige Einsetzen liefert: t

0tvs,76

vs,76u

1uvs,76

t

0t vs,76 ttcoshlnt)xcosh(lntdt

tttanh

=

==

⋅=⋅=

∫

( )

−

⋅=

∫=

0coshlnt

tcoshlntdtt

ttanhvs,76

vs,76

t

0t vs,76

⋅=

∫= vs,76

vs,76

t

0t vs,76 ttcoshlntdt

tttanh

Das Sinkweg-Zeit-Gesetz der Partikelsedimentation ist im NEWTON-Bereich:

⋅=

⋅⋅=

vs,76vs,76,R

vs,76vs,76s t

tcoshlnst

tcoshlntv)t(s (4.179)

Mit Hilfe dieser Sinkweg-Zeit-Funktion (4.179) lassen sich folgende charakte-ristische Sinkwege ermitteln:

( ) vs,76,Rvs,76s76 s433,01coshlntv)t(s ⋅=⋅⋅= (4.180)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 26 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968.

220


vs,7696 t2t ⋅= , d.h. vs,76,R96 s33,1)t(s ⋅= (4.181)

vs,7699 t3t ⋅= , d.h. vs,76,R99 s31,2)t(s ⋅= (4.182)

Jedoch ist bei großen Sinkzeiten t ≥ 3.t76,vs der Tangentenanstieg dieses Weg-Zeit-Gesetzes unter Nutzung der Differentialgleichung (4.177)

ssv,76

v,76s

t3t

vv995,0tt3

tanhvdt

)t(ds

s

s

vs,76

≈⋅=

⋅⋅=

≥

(4.183)

und entspricht damit der stationären Sinkgeschwindigkeit vs, siehe Bild 4.2c). Stationäres Sinken wird mit der Gl.(4.192) für t ≥ 3.t76,vs vereinfacht als Gerade (Asymptote) beschrieben, die anschließend hergleitet wird:

2lntvst vs,76

s

⋅+≈ also (4.192)

( )2lnttv)t(s vs,76s ⋅−⋅= (4.184)

Es folgt der Abszissenabschnitt tA,vs - vergleiche Gl.(4.132) - bei s(t) = 0 ( )2lnttv0)t(s vs,76vs,As ⋅−⋅== , siehe Bild 4.2c):

2lntt vs,76vs,A ⋅= (4.185)

Die Sinkzeit-Weg-Funktion Die Umkehrfunktion für eine gesuchte Sinkzeit ts bei gegebener Behälterhöhe oder Sinkweg s ergibt sich durch Umstellen dieser Gl. (4.179):

=

⋅ vs,76

s

vs,76s ttcoshln

tvs

=

⋅ vs,76

s

vs,76s ttcosh

tvsexp (4.186)

Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt27: ( )

)t/texp()t/texp(

2)t/texp(t/texp

ttcosh

vs,76s

vs,76svs,76svs,76s

vs,76

s ⋅−+

=

( ) ( ) ( )( )

( ))t/texp(21t/t2exp

t/texp2t/texp)t/texp(t/texpt/texp

vs,76s

vs,76s

vs,76s

vs,76svs,76svs,76svs,76s

⋅+

=⋅

⋅−+⋅

( ))t/texp(21t/t2exp

tvsexp

vs,76s

vs,76s

vs,76s

*

⋅+

=

⋅

Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )vs,76s t/texp umgewandelt

( ) 01)t/texp(tvsexp2t/t2exp vs,76s

vs,76svs,76s =+⋅

⋅⋅− (4.187)

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 27 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.

221


und gelöst:

( ) 1tvs2exp

tvsexpt/texp

vs,76svs,76svs,76s −

⋅⋅

+

⋅= (4.188)

Diese Formulierung wird nun umgewandelt und vereinfacht:

( )

⋅⋅

−

⋅⋅

+⋅

⋅=

vs,76s

vs,76s

vs,76svs,76s

tvs2exp

1tvs2exp

1tvsexpt/texp

( )

⋅⋅

−−+⋅

⋅=

vs,76svs,76svs,76s tv

s2exp11tvsexpt/texp

⋅⋅

−−+⋅

⋅⋅=

vs,76svs,76svs,76s tv

s2exp11tvsexplntt

⋅⋅

−−+⋅+⋅

⋅=vs,76s

vs,76vs,76s

vs,76s tvs2exp11lnt

tvstt

Daraus ergibt sich eine übersichtliche Umkehrfunktion der Sinkzeit ts = f(s):

⋅−−+⋅+=

vs,76,Rvs,76

ss s

s2exp11lntvst (4.189)

mit der stationären Sinkgeschwindigkeit im NEWTON-Bereich

fW

fsN,s c3

gd)(4vρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.57)

der charakteristischen Sinkzeit t76,vs

gc3d)(4

g)(Dvt

fW

fs

fs

ffs

f

svs,76 ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

=⋅ρ

= (4.166)

und mit dem charakteristischen Relaxationsweg sR,76,vs, siehe Gl.(4.172), im Argument der exp-Funktion (4.189):

gc3d)(4

c3gd)(4

g)(Dvtv

fW

fs

fW

fs

fs

ffs

f

2s

vs,76s ⋅ρ⋅⋅⋅ρ−ρ⋅

⋅ρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

=⋅ρ

=⋅

fW

ffs

fW

fs

fs

ffsvs,76s c3

d)(4c3

d)(4tvρ⋅⋅

⋅ρ⋅ϕ+ρ⋅=

ρ⋅⋅⋅ρ−ρ⋅

⋅ρ−ρ

ρ⋅ϕ+ρ=⋅

fW

ffs

f

2s

vs,76svs.76,R c3d)(4

g)(Dvtvs

ρ⋅⋅⋅ρ⋅ϕ+ρ⋅

=⋅ρ

=⋅= (4.190)

Anhand der obigen Gl.(4.189) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die gesamte Sinkzeit aus der stationären Sinkzeit und einer Anlaufzeit des be-schleunigten Sinkprozesses zusammensetzt, siehe auch Bild 4.2a) und c).

222


Für große Wege s, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Sinkzeit) t76,vs und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit vs kann der letzte Term in der Gl. (4.189) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung

2s

s

vs,76,R

> , (4.191)

die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 198,0)4exp(1 ≈=−− und damit

2lntvst vs,76

ss ⋅+≈ (4.192)

Der Term s/vs entspricht der mittleren Verweilzeit tV,s während der stationären Partikelsedimentation in einem Klassierer oder Absetzbehälter:

s,Vs

tvs

= (4.193)

2lnttt vs,76s,Vs ⋅+≈ (4.194)

Diese einfache Abschätzung bestätigt wiederum die Plausibilität der mathema-tisch recht aufwändigen Herleitungen der analytischen Modellgleichungen. Überprüfung des Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetzes Zur Überprüfung des Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetzes Gl.(4.174) der Partikelsedimentation im NEWTON-Bereich muss die Zeit in der Geschwin-digkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.158),

⋅=

vs,76s t

ttanhv)t(v (4.158)

durch eine Sinkzeit-Weg-Funktion ersetzt werden. Um sich die aufwändigen Umrechnungen zu sparen, wird statt der abschließenden Formulierung, Gl.(4.189), die Zwischenlösung, Gl. (4.186), bevorzugt:

⋅=

vs,76svs,76

s

tvsexp

ttcosh , (4.186)

Denn die tanh-Funktion in der Gl. (4.158) lässt sich auch mit der cosh-Funktion ausdrücken27:

−⋅=

−

⋅=

⋅= −

vs,76

2s

vs,76

vs,76

2

svs,76

s ttcosh1v

ttcosh

1t

tcoshv

tttanhv)t(v

Ersetzen der cosh-Funktion mittels Gl.(4.186)

⋅=

vs,76svs,76

s

tvsexp

ttcosh (4.186)

223


liefert wiederum die Sinkgeschwindigkeits-Weg-Funktion (4.174) der be-schleunigten Partikelsedimentation im NEWTON-Bereich – q.e.d.:

⋅−−⋅=

vs,76,Rs s

s2exp1v)s(v (4.174)

Folgende Rechenbeispiele sollen die Zusammenhänge nochmals verdeutlichen: a) Für die Sedimentation grober Qarzpartikel (d = 10 mm, ρs = 2650 kg/m3)

in Flüssigkeiten (η = 10-3 Pa⋅s, ρl = 1000 kg/m3, φf = 0,5 →D(ρf) = 0,524) sind diese Beschleunigungszeiten tsink(v/vs=0,96) = 0,27 s und Beschleuni-gungswege s(t96 = 2.t76,vs) = 121 mm ebenfalls noch verhältnismäßig klein bei einer stationären Sinkgeschwindigkeit vs = 0,7 m/s und Re = 7000 > Rekrit = 103.

b) Für die Sedimentation grober Partikel (d = 10 mm, ρs = 2650 kg/m3) in einem Gas (Luft η = 18⋅10-6 Pa⋅s, ρg = 1,2 kg/m3) dauern diese Über-gangszeiten im NEWTON-Bereich jedoch um Größenordnungen länger tsink(v/vs=0,96) = 5,7 s, bzw. die Beschleunigungswege sind ebenfalls deut-lich länger s(t96 = 2.t76,vs) = 104 m und zwar für vs = 28 m/s und Re = 1,87.104.

c) Beim Fallen großer biologischer Körper (däqu ≈ 0,5 m, ρs ≈ 1100 kg/m3) in der atmosphärischen Luft η = 18⋅10-6 Pa⋅s, ρg = 1,2 kg/m3 dauern diese Be-schleunigungszeiten noch länger tsink(v/vs=0,96) = 23,8 s. Die Beschleu-nigungswege sind ebenfalls um einige Größenordnungen länger s(t96 = 2.t76,vs) = 1,86 km und zwar für die Endfallgeschwindigkeit von vs = 117 m/s bzw. 421 km/h und Re = 3,9.106.

Folglich lassen sich die Beschleunigungszeiten und -wege für die letzten bei-den Fälle b) und c) der Sedimentation grober Partikel in Luft nicht mehr ver-nachlässigen, siehe auch der gelb markierte Bereich in der Tabelle 4.3.

224


Tabelle 4.3: Übersicht über wesentliche Kennwerte der gleichmäßig beschleu-nigten Partikelsedimentation28 (Quarzpartikel ρs = 2650 kg/m3) in Wasser (η = 10-3 Pa⋅s, ρl = 1000 kg/m3, φf =0,5 → D(ρf) = 0,524) und Luft (η = 18⋅10-6 Pa⋅s, ρg = 1,2 kg/m3) als typische Prozess- und Transportfluide in der Feststoff-verfahrenstechnik. Die Zahlenwerte wurden mit den Modellen berechnet, die in der folgenden Tabelle 4.4 noch einmal zusammengefasst wurden.

Mikroprozessgrößen Laminare Partikel-umströmung

Turbulente Partikel-umströmung

Reynolds-Zahl-Bereiche Re < ReSt= 0,25…1 103 < ReN < Rec = 2⋅105

Widerstandsbeiwerte cW 24/Re 0,44

Partikelgrößen d in µm 40 10 mm

Dispersionsmittel Wasser Luft Wasser Luft

Partikel-Reynolds-Zahlen Re 0,06 0,34 7000 1,87.104

Partikelgrößenbereiche d in µm < 100 < 57 > 2,7 mm > 1,5 mm

Stationäre Sinkgeschwindigkeiten vs in m/s 1,44.10-3 0,13 0,7 28

Charakteristische Sinkge-schwindigkeiten in m/s

v(t63 o. t76) 0,91.10-3 0,08 0,53 21,3

v(t95 o. t96) 1,37.10-3 0,124 0,67 27

Charakteristische Sink- und Relaxationszeiten in s

t63,vs, t76,vs 0,28 ms 0,013 0,13 2,8

t95,vs, t96,vs 0,84 ms 0,039 0,27 5,7

Relaxationswege in mm sR,63, sR,76 0,4 µm 1,7 91 78,4 m

Charakteristische Beschleu-nigungswege in mm

s(t63 o. t76) 0,15 µm 0,62 40 34 m

s(t95 o. t96) 0,83 µm 3,5 121 104 m

Wegparameter ts/t63,vs > 4, s*/(sR,76,vs) > 2 2,4.105 59 1,1 1,3.10-3

Sinkzeiten ts(s* = 0,1 m) in s 69 0,78 0,19 0,01 Diese im wesentlichen neu entwickelten Modelle29 - vergleiche dazu12 - zur Beschreibung der wesentlichen Mikroprozessgrößen der beschleunigten Par-tikelsedimentation bei stationärer Anströmung und homogener Umströmung wurden in der Tabelle 4.4, der Folie 4.11 und Folie 4.12 zusammengefasst: Außerdem werden die typischen Kurvenverläufe, Relaxationszeiten und Kennwerte der charakteristischen Sinkgeschwindigkeits-Zeit-, Sinkgeschwin-digkeits-Weg- und Sinkweg-Zeit-Funktionen im Bild 4.2 und Folie 4.13 gra-fisch verdeutlicht:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 28 Weitere Werte in: Schubert, H., Aufbereitung fester mineralischer Rohstoffe, Bnd 1, S. 254, Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1975 29 Tomas, J., Vorlesungsmanuskript MVT, Kapitel 4, Magdeburg 2011, ergänzt 6/2015

225


Tabelle 4.4: Übersicht über die Modelle der gleichmäßig beschleunigten Partikelsedimentation für laminare und turbulente Umströmung (TOMAS 2011) Mikroprozessgrößen Laminare Partikelumströmung Turbulente Partikelumströmung Reynolds-Zahlen, cW Re < ReSt = 0,25 ... 1, cW = 24/Re (4.14) 103 < Re < ReN = 2⋅105, cW = 0,44 (4.16) Stationäre Sink-geschwindigkeiten η

⋅⋅ρ−ρ=

18gd)(v

2fs

St,s (4.56) fW

fsN,s c3

gd)(4vρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.57)

Partikelgrößenbereiche 3

fsf

St2

St g)(Re18d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅η⋅

≤ (4.58) 3

fsf

2N

2W

N g)(4Rec3d

⋅ρ−ρ⋅ρ⋅⋅η⋅⋅

≥ (4.60)

Bewegungsgleichungen

−⋅⋅ρ=

sf v

)t(v1g)(Ddt

)t(dv (4.111) ( )

−⋅⋅ρ= 2

s

2

f v)t(v1gD

dt)t(dv (4.156)

Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetze

−−⋅=

sv,63s t

texp1v)t(v (4.113)

⋅=

vs,76s t

ttanhv)t(v (4.158)

Charakteristische Relaxa-tions- und Sinkzeiten ( )

( )η⋅

⋅ρ⋅ϕ+ρ=

⋅ρ=

18d

gDvt

2ffs

f

sv,63 s

(4.117) gc3d)(4

g)(Dvt

fW

fs

fs

ffs

f

svs,76 ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρ⋅⋅

ρ−ρρ⋅ϕ+ρ

=⋅ρ

= (4.166)

Charakteristische Sinkge-schwindigkeiten

[ ] ssv,63 v63,0)1exp(1v)tt(vs

⋅=−−⋅== [ ] ssv,6395 v95,0)3exp(1v)t3t(v

s⋅=−−⋅=⋅=

(4.138)(4.139)

( ) ssvs,76 v76,01tanhv)tt(v ⋅=⋅== ( ) ssvs,7696 v964,02tanhv)t2t(v ⋅=⋅=⋅=

(4.167) (4.168)

Sinkgeschwindigkeits-Weg-Gesetze

−−−⋅=

s

)0(

vs,63,Rs)1( v

)s(vs

sexp1v)s(v (4.127)

⋅−−⋅=

vs,76,Rs s

s2exp1v)s(v (4.174)


−−⋅=

sv,63s t

texp1vdt

)t(ds (4.129)

⋅=

vs,76s t

ttanhvdt

)t(ds (4.177)

Weg-Zeit-Gesetze

−−−⋅=

ss v,63v,63vs,63,R t

texp1t

ts)t(s (4.130)

⋅=

vs,76vs,76,R t

tcoshlns)t(s (4.179)

Charakteristische Be-schleunigungswege

vs,63,Rv,63sv,63 s37,0tv37,0)tt(sss

⋅=⋅⋅==

vs,63,Rv,6395 s05,2)t3t(ss

⋅=⋅= (4.140)(4.141)

vs,76,Rvs,76s76 s433,0tv433,0)tt(s ⋅=⋅⋅==

vs,76,R7696 s33,1)t2t(s ⋅=⋅= (4.180) (4.181)

Sinkzeiten

−−⋅+=

s

sv,63

)0(,sv,63

s)1(,s t

texp1t

vst (4.133)

⋅−−+⋅+=

vs,76,Rvs,76

ss s


226


a) Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Funktionen, Gln. (4.113) und (4.158)

Sinkzeit t0

vs,turb >> vs,lamvs,turb

vs,lam

t63,vs t76,vs

0,63.vs,lam

0,76.vs,turb

Sinkgeschwin-digkeit v(t)

dv(t=0) vs,turbdt t76,vs

= = D(ρf).g

dv(t=0) vs,lamdt t63,vs

= = D(ρf).g

b) Sinkgeschwindigkeits-Weg-Funktionen, Gln. (4.127) und (4.174)

Sinkweg s0

vs,turb >> vs,lamvs,turb

vs,lam

0,63.vs,lam

0,76.vs,turb

Sinkgeschwin-digkeit v(s)

0,43.sR,76,vs

0,37.sR,63,vs c) Sinkweg-Zeit-Funktionen, Gln. (4.130) und (4.179)

Sinkzeit t0

vs,turb.t

t63,vs t76,vs

0,37.sR,63,vs

0,43.sR,76,vs

Sinkweg s(t)

vs,lam.t

t76,vs.ln2

Bild 4.2: Typische Kurvenverläufe, Anstiege und Relaxationszeiten des Sedimentations-Mikroprozesses glatter Kugeln in einem ruhenden Fluid bei lami-narer oder turbulenter Umströmung (TOMAS 6/2015), Folie 4.13 .

227


4.1.3 Bewegung deformierbarer Partikel in stationärer Strömung Siehe dazu die Lehrbücher MVT30 oder Strömungsmechanik, sowie ⇒ VO Mechanische Trennprozesse/Mechanische Flüssigkeitsabtrennung im Abschnitt 4.1 „Grundlagen und Auslegung der Leichtstofftrennung“ ..\VO_MTP\MFA-_4.doc z.B. ../VO_MTP/MFA_4.doc#cw_korr 4.1.4 Bewegung von Partikelschwärmen Bei verfahrenstechnischen Prozessen bewegen sich im Allgemeinen nicht Ein-zelpartikel, sondern Partikelschwärme. Infolgedessen sind zusätzliche Einflüsse auf die Partikelbewegung vorhanden, die einen komplexen Charakter besitzen und nur schwierig erfassbar sind. 1) Falls keine flockende Wirkung vorhanden ist, kann man bei mittleren

Partikelabständen a > 5⋅d, siehe MVT_e_1neu.doc#phis_a

1dak 3

s

max,sa −

ϕϕ

== (4.195)

und dem Festoffvolumenanteil

( ) ( )ε−=

+⋅π

=+⋅

⋅π==ϕ 1

d/a16ad6d

VV

33

3s

s , (4.196)

d.h. ϕs etwa < 0,25 % (hier ϕs,max = π/6 = 0,5326), die gegenseitige Beein-flussung völlig vernachlässigen.

2) Im Bereich von etwa 0,1 % < ϕs < 5 % wurden verschiedentlich Ge-schwindigkeitserhöhungen gegenüber der für Einzelpartikel berechneten STOKES-Geschwindigkeit festgestellt (siehe z.B. /3.22./ bis /3.25/). Solche Geschwindigkeitserhöhungen sind auf die Bildung von Partikelschwärmen (Cluster) zurückzuführen, d.h. die Bildung von Anordnungen nahe beiei-nander gelegener Partikeln, die sich gegenseitig hydrodynamisch beein-flussen. Diese sich nicht berührenden Partikelschwärme haben einen gerin-geren Widerstandsbeiwert als die Einzelpartikel, wenn das Strömungsfeld groß genug gegenüber den Abmessungen der Partikelschwärme ist – d.h. freie unbehinderte Umströmung, z.B. Radfahrerpulk bei Gegenwind, sie-he Folie 4.14.7a.

3) Diese Geschwindigkeitserhöhung bleibt offensichtlich aus, wenn die Fluid-strömung sich durch die Partikelkomplexe "hindurchzwängen" muss - be-hinderte Um- bzw. Durchströmung, z.B. bei Begrenzung durch Appara-tewände oder durch weitere Partikelschwärme, siehe Folie 4.14.7b.

Für verfahrenstechnische Prozesse interessiert vor allem der Feststoff-Konzen-trationsbereich, in dem die Bewegungsbehinderung bereits ausgeprägt ist, Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 30 Schubert, H., Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 124 ff, WILEY-VCH, Weinheim 2003

228


Relativbewegungen aber noch möglich sind, d.h. der Bereich von etwa ϕs = 2 % (a/d < 2 s. Gl.(4.195)) bis zu einer oberen Grenze, die von der Partikelgrößen- und -formverteilung, der Partikelabstandsverteilung und den resultierenden Wechselwirkungs-

kräften, den Strömungsverhältnissen (laminar oder turbulent) und der Feldkraft abhängt. Für die Berechnung der sog. "Schwarmbehinderung" existiert eine Reihe von Modellansätzen. Die verfahrenstechnisch interessanten Ansätze lassen sich bei Fest-Flüssig-Stoffsystemen (Trüben) wie folgt einteilen: a) Die Suspension (= Trübe Index Tr) wird als Kontinuum (homogenes Fluid)

aufgefasst, dessen Dichte ρTr und Viskosität ηTr von der Feststoffkonzentra-tion mitbestimmt wird. Infolgedessen lässt sich die Partikelgeschwindigkeit mit den bekannten Beziehungen für ein Kontinuum mit im Vergleich zum reinen Fluid höheren Dichte und Viskosität berechnen (siehe z.B. /3.26/ bis /3.28/). Z.B. für Dünntrüben nach der EINSTEIN-Gleichung für ϕs < 3% (NEWTON’sches Verhalten, T = const.)

( )sPlTr k1 ϕ⋅+⋅η=η (4.197)

ηl dynamische Viskosität der reinen Flüssigkeit kP < 2,5 kugelförmige deformierbare Partikel kP = 2,5 Partikelformfaktor für starre Kugeln kP = 4,5 Formfaktor für zerkleinerte Partikel sowie der Trübedichte

( ) ( ) slslslssllssls

Tr 1V

VVV

mmϕ⋅ρ−ρ+ρ=ϕ−⋅ρ+ϕ⋅ρ=

⋅ρ+⋅ρ=

+=ρ

( ) slslTr ϕ⋅ρ−ρ+ρ=ρ . (4.198)

b) Der Feststoff der Suspension wird als durchströmte Partikelschicht aufge-fasst, siehe Folie 4.14.8 – siehe auch Zonensedimentation bei der Abwas-serreinigung. Die Geschwindigkeitsberechnung geschieht in diesem Fall auf Grundlage eines geeigneten Durchströmungsmodells (siehe z.B. /3.26/ /3.28//3.29//3.35/ und auch Abschn. 8.1.2.4.1 MVT_e_8.doc).

c) Die Suspension wird als Zwei-Phasen-System mit unveränderlichen Eigen-schaften der Einzelphasen betrachtet. Dies verlangt in abgeschlossenen Be-hältern sowie bei kontinuierlichen Querstromtrennungen zunächst die Be-rücksichtigung der Gegenströmung, weil der Partikelvolumenstrom aus Kontinuitätsgründen einen gleich großen, aber entgegen gerichteten Fluid-strom hervorruft, siehe auch Folie 4.15.9b. Weiterhin ist in jedem Falle der Einfluss des stark veränderten Geschwindigkeitsfeldes in der Umgebung der sich bewegenden Partikeln zu berücksichtigen, wodurch ein verstärkter Im-pulsaustausch bewirkt wird (Schwarmturbulenz). Die Größe des Impulsaus-

229


tausches hängt von den Partikelgrößen und Partikelabständen ab. Der Ein-fluss von Gegenströmung und verändertem Geschwindigkeitsfeld in der Umgebung der Partikeln auf deren Bewegung wird hierbei ermittelt (siehe z.B. /3.7.//3.30.//3.31./).

Die meisten dieser Modell gelten für monodispersen bzw. eng klassierten Fest-stoff. Weiterhin werden im allgemeinen Zufallsanordnungen der Partikeln vo-rausgesetzt und Wechselwirkungen zwischen den Partikeln - mit Ausnahme hydrodynamischer Effekte - ausgeschlossen. Schließlich existieren auch einige rein empirischen Ansätze zur Berücksichtigung der Schwarmbehinderung (sie-he z.B. /3.28.//3.32./). Folie 4.15.9a liefert den Vergleich einiger Beziehungen, die zur Vorausbe-rechnung der Schwarmbehinderung von monodispersem Gut benutzt werden, und zwar (vs,ϕ stationäre Schwarmsinkgeschwindigkeit eines Partikels): a) nach RICHARDSON und ZAKI /3.32/:

ns

s

,s )1(kvv

ϕ−== ϕϕ , (4.199)

Tabelle 4.5: Exponent der RICHARDSON- und ZAKI-Gleichung n Rep-Bereich

n = 4,65 < 0,2 03,0

PRe35,4n −⋅= 0,2 ... 1 1,0

PRe45,4n −⋅= 1 ... 500 n = 2,39 > 500

wobei die Partikel-Re-Zahl ffsP /vdRe ηρ⋅⋅= ist.

Meist wird jedoch n ≈ 3 verwendet ! b) nach STEINOUR /3.33/ (gültig für den STOKES-Bereich):

s82,12s

s

,s 10)1(v

v ϕ⋅−ϕ ⋅ϕ−= (4.200)

c) nach BRAUER und Mitarbeiter /3.7.//3.31/ (gültig für den STOKES-Bereich):

21

121

05,11

1

)1(1

1v

v

2

s

s

2s

ss

,s

−

ϕ⋅

π+

+

ϕ−⋅

ϕ−ϕ

+=ϕ (4.201)

= Gegenstromfaktor kG ⋅ Schwarmturbulenzfaktor kT In die Folie 4.15.10 ist auch eine Ausgleichskurve von experimentellen Ergeb-nissen mit aufgenommen worden, die verschiedene Autoren mit mono-dispersem Feststoff bzw. engen Partikelgrößenklassen unter STOKES-Bedin-gungen ermittelten /3.28/. Eine Analyse von Gl.(4.201) ergibt auch noch, dass

230


sich der Einfluss der Schwarmturbulenz stärker als der der Gegenströmung aus-wirkt. Es ist noch zu bemerken, dass die im vorstehenden dargestellten Modelle der Schwarmbehinderung nur für nicht geflockte Suspensionen die realen Verhält-nisse im Bereich etwa ϕs ≤ 30 % angenähert widerspiegeln können. Bei Partikelvolumenanteilen ϕs > 30 % bewegen sich auch in nicht geflockten Suspensionen die Partikeln unabhängig von ihrer Größe mit der gleichen Ge-schwindigkeit ⇒ Zonensedimentation (Eindickung) /3.34./:

)d(f)(fv s,s ≠ϕ=ϕ . (4.202)

Dies ist eine Folge einer rein mechanischen Behinderung von Relativbewegun-gen (Sperrwirkung) aufgrund der zunehmend hohen Packungsdichte. Der Um-strömungswiderstand wird zu einem Durchströmungswiderstand. Zusätzliche Partikelhaftung und Flockenbildung setzt diese kritische Konzentration auf ϕs << 30 % herab. Einfluss des Partikelvolumenanteils auf die Suspensionsviskosität:

Die dynamische Viskosität ηTr oder Steifigkeit einer Suspension wird we-sentlich von der Feststoffkonzentration bestimmt (Folie 4.16.1):

a) 0 < ϕs < 3% NEWTON’sches Verhalten; b) 3% < ϕs < 10% nicht-NEWTON’sches, pseudoplastisches Verhalten

(weil diese entsprechend gestrichelter Tangente sich wie ein plastisches Me-dium verhalten würden = abnehmende scheinbare Viskosität bei Zunahme der Schergeschwindigkeit);

c) 10...20% < ϕs < 30...60% visko-plastisches Verhalten (linear plastisch = BINGHAM), für τ < τ0 elastisches Verhalten, Überschreiten einer plasti-schen Fließgrenze )(f0 γ≠τ zum Fließen notwendig, z.B. Klärschlämme;

d) 30...60% < ϕs dilatantes Verhalten, zunehmende Steifigkeit bei Zunahme der Schergeschwindigkeit, z.B. feuchte Schüttgüter;

e) thixotropes Verhalten, d.h. Verflüssigung aus dem Gelzustand durch Kraft-einwirkung (z.B. Energieeintrag durch Rühren bei tonmineralhaltigen Sus-pensionen, Ölfarben), zeitabhängige Rückbildung des ursprünglichen Gel-zustandes in Ruhelage der Suspension ohne Krafteinwirkung;

f) rheopexes Verhalten, d.h. Verfestigung des flüssigen Zustandes unter (Im-puls-)Krafteinwirkung in einen Gelzustand, z.B. durch Schwingungen, Ent-festigung in Ruhelage; (Folie 4.17.2)

In den letzten beiden Fällen e) und f) heben sich bei sehr hohem Schergefälle diese zeitabhängigen Ent- und Verfestigungseffekte auf.

231


Die je nach Fließverhalten der Suspension scheinbare Viskosität - pseudo-NEWTON’sches Verhalten vorausgesetzt - lässt sich wie folgt abschätzen (sie-he z.B. /3.26/ bis /3.28/): für ϕs < 30% und T = const.

2

max,ss

slTr /1

25,11

ϕϕ−ϕ⋅

+⋅η=η (4.203)

mit ϕs, max = 0,35 ... 0,84, siehe Gl.(4.195) in Abhängigkeit von den Partikelabständen einer möglichen Packungsart und –dichte, der Partikelgrößenverteilung und von strukturbeeinflussenden gelösten Ionen, die Wasserstoffbrückenbindungen

und Clusterbildung des Wassers 2 H2O ⇔ [H2O + H+] + OH- hervorrufen: * strukturbrechende Ionen, zähigkeitssenkend

Br-, Cl-, J-, K+, Rb+, Cs+ u. a. * strukturbildenden Ionen, zähigkeitserhöhend

Ca2+, Mg2+, Li+, Na+, SO22- u. a.

4.1.5 Homogene Durchströmung von Partikelschichten Gewöhnlich kann man bei der Modellierung der (angenommen) statistisch ho-mogenen Durchströmung statistisch homogener Partikelschichten in erster Näherung von einem stationären Prozess ausgehen: 4.1.5.1 Stationäre Durchströmung von Partikelschichten - Wirbelschichten ⇒ 8.1.2.4 pneumatische Mischer/Wirbelschichtmischer,

siehe Abschnitt 8.1.2.4.1 „Durchströmungsverhalten von Partikelschichten“ S. 396 in MVT_e_8neu.doc

- Zonensedimentation: ⇒ VO Mechanische Flüssigkeitsabtrennung siehe Abschnitt 2.2 „Durch-strömung von Partikelschichten“ S. 36, ..\VO_MTP\MFA_2.doc

- Filtration u.ä.: ⇒ VO Mechanische Flüssigkeitsabtrennung siehe Abschnitt 5.1.2 „Mo-dellierung der Kuchendurchströmung“ S. 185, ..\VO_MTP\MFA_5.doc

4.1.5.2 Sedimentation einer gleichmäßig beschleunigten und durchströmten Partikelschicht Zum Zwecke einer analytisch beherrschbaren Integration werden die nachfol-genden Gleichungen unter der weitgehenden Voraussetzung hergleitet, dass sich während der Durchströmung der Porenvolumenanteil (Porosität ε = 1 - φs) bzw. Packungsdichte (1 - ε) nicht mit der Ortslage und der Zeit ändern, also weder eine Partkelschichtkompression, z.B. wie bei der Druckfiltration, noch Festbettexpansion (z.B. Entlüftung von Wirbelschichten) stattfinden dε/dt ≈ 0.

232


Für die Gewichtskraft pro Querschnittsfläche (svw. Normalspannung σyy) der Partikelschichtmasse ms = ρs

.φs.dV mit dem Partikelvolumenanteil φs = Vs/V

dygAF

ssG ⋅⋅ϕ⋅ρ= , (4.204)

statische Auftriebskraft des verdrängten Fluids in der Partikelschicht mf = ρf

.φs.dV des Volumens eines inkrementellen Scheibenelementes dV = A.dy

dygAF

sfA ⋅⋅ϕ⋅ρ= , (4.205)

Widerstandskraft (Druckverlust über der Schichthöhe dy) der durchströmten Partikelschicht, siehe Bild 4.3,

2)t(u))u(Re(Eu

AFp

2r

frW ⋅ρ⋅==∆ , (4.206)

Trägheitskraft der Partikelschichtmasse ms = ρs.φs

.dV

dy)t(vAF

ssT ⋅⋅ϕ⋅ρ= , (4.207)

und der Trägheitskraft der mitbeschleunigten Fluidschichtmasse ms = ρf.φf,B

.dV eines Fluidanteiles φf,B innerhalb der durchströmten Poren des Scheibenele-mentes dV = A.dy (der Index B steht für Partikelschicht oder -bett):

dy)t(vA

FB,ff

f,T ⋅⋅ϕ⋅ρ= (4.208)

Bild 4.3: Kräftegleichgewicht an einem Scheibenelement bei der Sedimentati-on einer statistisch homogenen Partikelschicht in einem ruhenden Fluid bei gleichmäßiger (stationärer) Anströmung und statistisch homogener Durch-strömung, siehe Folie 4.18 und die Zonensedimentation in der Folie 4.14.8. Im Falle der Erzeugung einer kompressiblen kohäsiven (haftenden) Parti-kelschicht muß ihr Reibungswiderstand (Festkörper- bzw. COULOMB-Rei-

Kräfte am Scheibenelement:

2u))u(Re(Eu

AFp

dyvA

F

dyvAF

dygAF

dygAF

2r

frW

B,fff,T

ssT

sfA

ssG

⋅ρ⋅==∆

⋅⋅ϕ⋅ρ=

⋅⋅ϕ⋅ρ=

⋅⋅ϕ⋅ρ=

⋅⋅ϕ⋅ρ=

FF

y

x

A

FG

FA FT

FW

FT,f

233


bung!) an der vertikalen Behälterwandfläche U.dy berücksichtigt werden31, der hier wegen des sehr kleinen Inkrementes 2. Ordnung (dy)2 → 0 vernachlässigt wird (φW Wandreibungswinkel, dygp ssv ⋅⋅ϕ⋅ρ≈ Vertikaldruck der Partikel-

schicht → Folie 6.50 in Folien_MVT_6neu.pdf, λ = ph/pv Horizontaldruckver-hältnis → ..\VO_PM_SGT\Schüttec_4.doc#Horizontaldruckverhältnis):

( ) 0dyUtangdyUtanpF 2WssWvWR →⋅⋅ϕ⋅⋅ϕ⋅ρ≈⋅⋅ϕ⋅λ⋅= (4.209)

Damit ergibt sich für die gleichmäßig beschleunigte Partikelschicht bei gleich-mäßiger (stationärer) Anströmung und statistisch homogener Durchströ-mung unter den im Abschnitt 4.1.2.2 getroffenen Voraussetzungen

f,TTWAGf,TTWAG FFFFFFFFFF0F ++++−=++++∑ −=↑=

, (4.210)

wenn die Kräfte parallel bzw. antiparallel wirken, siehe auch Folie 4.18. Nach Einsetzen der Kräftegleichungen (4.204) bis (4.208) erhält man:

( ) ( ) A)u(pdygAvdyA rsfssB,ffss ⋅∆−⋅⋅⋅ϕ⋅ρ−ϕ⋅ρ=⋅⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρ (4.211)

( )dy

)u(dp1gdtdv r

B,ffssB,ffss

sfs ⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρ

−⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρϕ⋅ρ−ρ

=

Dabei gilt auch mit der Fluidsuspensionsdichte (Trübedichte), Gl.(4.198),

( ) ( ) fTrfsfsfsfs ρ−ρ=ρ−ϕ⋅ρ−ρ+ρ=ϕ⋅ρ−ρ (4.212)

( )( )

⋅

⋅ϕ⋅ρ−ρ−⋅⋅

ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρϕ⋅ρ−ρ

=dy

)u(dpg

11gdtdv r

sfsB,ffss

sfs (4.213)

Wenn sich die Partikelschicht beim Sedimentieren durch ein umgebendes ru-hendes Fluid u = 0 hindurchbewegt und kein Schlupf vorhanden ist, wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Schicht ur, siehe Gl.(4.6), der Sinkgeschwindigkeit der Partikelschicht v entsprechen:

vvvuur =≅−= , (4.214)

Der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit (Leerrohr-geschwindigkeit) ur und der mittleren Geschwindigkeit ε,ru der durchströmten

Kanäle des Durchmessers dε, ist wie folgt darstellbar:

ε=ε /uu r,r (4.215)

Die mittlere Porengröße (= sog. hydraulischer Durchmesser charakteristischer zylindrischer Strömungskanäle dh), Gl.(1.136) MVT_e_1neu.doc#hydrauli-scherDurchmesser einer Porengrößenverteilung innerhalb der Schicht ist:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 31 Reichmann, B. and J. Tomas: Expression behaviour of fine particle suspensions and the consolidated cake strength, Powder Technology 121 (2001) 2-3, 182-189

234


)1(3d2d ST

ε−⋅⋅ε⋅

=ε (4.216)

Dabei ist dST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße bzw. SAU-TER-Durchmesser der durchströmten polydispersen Partikelschicht, Gl.(1.70) MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:

∫−

==−

o

u

1d

d3

3,1ST

)d(d)d(qd

1M

1d (4.217)

Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (= Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströ-mungsproblem der Partikelschicht auszudrücken32:

2,rf

,W

uA/F2

Euε

εε ⋅ρ

⋅= (4.218)

FW,ε Widerstandskraft innerhalb der Poren (Kanäle) der Packung ρf Fluiddichte Mit der statistisch homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche

AA ⋅ε=ε und der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form

eines statistisch gleichwertigen (hydraulischen) Porendurchmessers dε = Vε/Aε folgt mit dem Druckverlust der Partikelschicht (Index B für Festbett)

( )( ) ε⋅ε⋅ρ

⋅⋅= ε

2rf

B /uddy/dp2Eu (4.219)

und mit der Gl.(4.216):

( ))1(u3

ddy/dp4Eu 2rf

ST2

B ε−⋅⋅ρ⋅⋅ε⋅⋅

= (4.220)

Der Druckverlust der Partikelschicht ist somit:

BST

2

2rf Eu

d4)1(u3

dydp

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅= (4.221)

Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl33 Re = f(ur(t), dST) und damit auch vom mittleren Porendurchmesser dε ab, Gl. (4.216):

η⋅ε⋅ε−⋅ρ⋅⋅⋅

=η

ρ⋅⋅ε= ε

2frfSTr

2)1(du3d)/u(Re (4.222)

η dynamische Fluidviskosität

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 32 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, S. 10, Chapman & Hall, 1993 33 MOLERUS, O.: Principles of Flow in Disperse Systems, S. 17 & 27, Chapman & Hall 1993

235


Der Durchströmungswiderstand der Partikelschicht Eu = f(Re(ur, d), ε) wird nun nach folgendem methodischen Grundprinzip quantifiziert:

Makroskopischer Durchströmungswiderstand des Kontinuums = mikro-skopischer Umströmungswiderstand des Partikels + charakteristischer Widerstand der Partikelpackung (4.223)

4.1.5.2.1 Analytische Lösungen für laminare Durchströmung Gemäß der obigen Mikro-Makro-Beziehung des Durchströmungswiderstandes einer statistisch homogenen Partikelschicht, Gl.(4.223), lässt sich schreiben:

Dimensionsloser Druckverlust = Partikel-Umströmungswiderstand + Schicht-widerstand = f(Porosität). (4.224)

Die EULER-Zahl einer laminar durchströmten Partikelschicht33 ist

B

2

3

3

3

3

B )(BRe24

195,01

21

195,01692,01

Re24Eu ε⋅≡

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+⋅=

(4.225)

mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströ-mung, der gegenüber der Umströmung einzelner Partikel eine deutliche Zu-nahme des Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt (für die Grenzporosität ε = 0,143 ist 95,0143,013 =− und es geht B(ε) → ∞):

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

B 195,01

21

195,01692,01)(B (4.226)

Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl, Gl.(4.222),

ηρ⋅⋅ε

= fSTr d)/u(Re (4.222)

und Gl.(4.226) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl.(4.221):

BST

2

2rf Eu

d4)1(u3

dydp

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅= (4.221)

2r2

ST

f

frSTST2

2rf u1

dud24

43

Re)(B24

d4)1(u3

dydp

⋅ε

ε−⋅

ρ⋅

ρ⋅⋅η⋅ε⋅

⋅=ε⋅

⋅⋅ε⋅

ε−⋅⋅ρ⋅=

r2ST

ud

)1()(B18dydp

⋅ε⋅

ε−⋅ε⋅η⋅= . (4.227)

Für den Druckverlustterm in der Gl.(4.213) gilt mit der Gl.(4.214) ur = v und ϕs = 1 - ε:

( ) ( ) ( ) )t(vgd

)(B18udg

)1()(B18g

1dydp

2STfs

r2STsfssfs

⋅⋅ε⋅⋅ρ−ρ

ε⋅η⋅=⋅

ε⋅ϕρ−ρε−⋅ε⋅η

=⋅ϕ⋅ρ−ρ

⋅ (4.228)

236


Aus dem Kräftegleichgewicht Gl.(4.213) und Gl.(4.228) folgt die Differential-gleichung:

( )( )

⋅

⋅ϕ⋅ρ−ρ−⋅⋅


=dy

)u(dpg

11gdtdv r

sfsf,Bfss

sfs

( )( ) ( )

⋅

⋅ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅

−⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρϕ⋅ρ−ρ

= )t(vgd

)(B181gdtdv

2STfsB,ffss

sfs (4.229)

Mit dv/dt = 0 ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,B,St der Parti-kelschicht (makroskopisches Kontinuum) bei laminarer Durchströmung:

( ))(B18

gdv2STfs

St,B,s ε⋅η⋅⋅⋅ε⋅ρ−ρ

= (4.230)

Diese stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,B,St = dh/dt = const. entspricht dem Geradenanstieg (Tangente) der Zonensedimentation im Höhen-Zeit-Dia-gramm h(t) der Folie 4.14.8 rechts. Als Nachweis der physikalischen Plausibilität des Modells Gl.(4.230) wird ein Grenzübergang durchgeführt, d.h. ε = 1 und gemäß Gl.(4.226) B(ε=1) = 1:

( ) ( )St,s

2STfs

2STfs

1)(B1

v18

gd)(B18

gdlim =η⋅

⋅⋅ρ−ρ=

ε⋅η⋅⋅⋅ε⋅ρ−ρ

→ε→ε

(4.231)

Für diesen inversen Mikro-Makro-Übergang (Makro-Mikro-Übergang) wird die STOKES-Gleichung (4.56) der Partikel-Sedimentation, also das Mikrover-halten, erhalten – q.e.d. Nach diesem Plausibilitätsbeweis kann man somit problemlos weiterrechnen. Mit den Gln. (4.229) und (4.230) folgt die Bewegungsgleichung der Sedimen-tation einer Partikelschicht bei laminarer Durchströmung im STOKES-Bereich als lineare Differentialgleichung

( )( ) ( )

⋅

⋅ε⋅⋅ρ−ρε⋅η⋅


= )t(vgd

)(B181gdtdv

2STfsB,ffss

sfs

( )

−⋅⋅ρ=

−⋅⋅


=B,s

fBB,sB,ffss

sfs

v)t(v1g)(D

v)t(v1g

dtdv

, (4.232)

mit der neuen Fluiddichtefunktion: ( ) ( )

( ) sB,ffs

fs

ssB,ffs

sfs

B,ffss

sfsfB //)(D

ϕϕ⋅ρ+ρρ−ρ

=ϕ⋅ϕϕ⋅ρ+ρ

ϕ⋅ρ−ρ=


=ρ

sB,ffs

fsfB /)(D

ϕϕ⋅ρ+ρρ−ρ

=ρ . (4.233)

Zur Abschätzung von φf,B/φs wird angenommen, dass das mitbeschleunigte Fluidvolumen einer zylindrisch geformten Flüssigkeitsbrücke in einem

237


Partikelkontakt entspricht. Das Flüssigkeitsvolumen einer zylindrischen Brücke ist somit, siehe MVT_e_6neu.doc#Vl_Brücke und Folie 6.14:

α⋅⋅⋅π

≈ 43l sind264,0

4V (4.234)

In einer Partikelschicht ist mit dem Benetzungs- oder Brückenwinkel α und einer mittleren Koordinationszahl 6/k ≈επ= (Kontaktanzahl pro Partikel):

α⋅≈⋅

α⋅⋅⋅≈

⋅π⋅⋅= 4

3

43

3l

s

l sin2,1d8

sind264,036d6/2

VkVV (4.235)

Für das obige Verhältnis des mitbeschleunigtem Flüssigkeitsvolumenanteils zum Partikelvolumenanteil in der Partikelschicht kann man schreiben:

α⋅≈=ϕ

ϕ 4

s

B,f

s

B,f sin2,1V

V (4.236)

Der Brückenwinkel kann α ≤ 45° nicht übersteigen. Somit folgen Flüssigkeits-volumenanteile φf,B/φs ≤ 0,3, Gl.(4.242), in einer homogenen Packung. Die Bewegungsgleichung (4.232) entspricht der Differentialgleichung der Partikelsedimentation bei laminarer Kugelumströmung im STOKES-Bereich:

−⋅⋅ρ=

sf v

)t(v1g)(Ddt

)t(dv (4.111)

Diese Bewegungsgleichung (4.232) kann mit dem gleichen Algorithmus analy-tisch integriert werden, der im Abschnitt 4.1.2.2.3 beschrieben wurde: Nach Trennung der Variablen erhält man für die Anfangsbedingung v(t=0) = 0

∫∫==

⋅⋅=−

t

0tB

v

0v B,s

dtgDv/v1

dv

Die wiederum Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der beschleunigten Schicht-sedimentation bei laminarer Durchströmung liefert:

−−⋅=

⋅⋅−−⋅=

B,63B,s

B,s

BB,s t

texp1vv

tgDexp1v)t(v (4.237)

Das allgemeine Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz der beschleunigten Parti-kelbettsedimentation bei laminarer Durchströmung ergibt bei einer analogen Rechnung (siehe Glöckner u.a. CIT (2015)1313)

( )

−−⋅−−=

B,63

00B,sB,s t

ttexpvvv)t(v , (4.238)

das für v(t →∞) = vs die stationäre Sinkgeschwindigkeit liefert sowie für t0 = 0 und v0 = 0 der obigen Lösung (4.237) gleicht. Der Bremsprozess von v0 in die Schichtruhelage, d.h. vs,B = 0, ist gemäß Gl.(4.238) als exponentielle Abnahme bequem analytisch berechenbar:

238


−−⋅=

B,63

00 t

ttexpv)t(v (4.239)

Anstieg und charakteristische Relaxationszeit Der Anstieg dieses Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.237) ist bei t = 0:

B,63

B,s

B,63B,63

B,s

0t tv

t0exp

tv

dt)t(dv

=

−⋅

−−=

=

(4.240)

Die gleiche wirksame Partikelbeschleunigung (Anstieg) im Nullpunkt v = 0 erhält man mit Hilfe der Bewegungsgleichung (4.232):

( ) ( )B,63

B,sfB

B,sfB

0v tv

gDv

0v1gDdt

)t(dv=⋅ρ=

=−⋅⋅ρ=

=

(4.241)

Es ergibt sich ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhän-giger Anstieg, der jedoch von der Dichtefunktion DB(ρf) abhängt. Die charakteristische Sink- und Relaxationszeit t63,B ist:

( ) ( ))(B18

d/)(B18d/

gDv

t2STsB,ffs

2STfs

fs

sB,ffs

B

B,sB,63 ε⋅η⋅

⋅ε⋅ϕϕ⋅ρ+ρ=

ε⋅η⋅⋅ε⋅ρ−ρ

⋅ρ−ρ

ϕϕ⋅ρ+ρ=

⋅=

( ))(B18

d/g)(D

vt

2STsB,ffs

fB

B,sB,63 ε⋅η⋅


⋅ρ= (4.242)

Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz wird wiederum erhalten, indem man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dy/v ersetzt, Gl.(4.85), in die Bewe-gungsgleichung (4.111) einsetzt, Gl.(4.124) erhält,

( )

−⋅⋅ρ=⋅=

B,sfB v

)y(v1gDdy

)y(dv)y(vdtdv , (4.243)

die Variablen trennt und diese Differentialgleichung gemäß der bekannten Lö-sung eines Grundintegrals umformt18:

∫∫==

⋅⋅=−

⋅ y

0yB

v

0v B,s

dygDv/v1

dvv mit ( )bxalnab

ax

bxadxx

2 +⋅⋅−=+⋅

⋅∫ .

Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v, a = -1/vs,B und b = 1. Mit der Anfangsbedingung v(y=0) = 0 wird zunächst nur die linke Seite der Integral-gleichung gelöst:

( )1lnvvv1lnvvv

vv1lnvvv

v/v1dvv 2

B,sB,s

2B,sB,s

v

0B,s

2B,sB,s

v

0 B,s

⋅+

−⋅−⋅−=

−⋅−⋅−=

−⋅

∫


ygDvv1lnvvv B

B,s

2B,sB,s ⋅⋅=

−⋅−⋅−

239


Diese Gleichung ist explizit nicht nach v = f(y) auflösbar. Physikalisch ist es sinnvoll, nach einem positven Ausdruck der Sinkgeschwindigkeit umzustellen:

B,s2

B,s

B

B,s vv

vygD

vv1ln −

⋅⋅−=

−

−

⋅⋅−=−

B,s2

B,s

B

B,s vv

vygDexp

vv1

−

⋅⋅ρ−−⋅=

B,s

)0(2

B,s

fBB,s)1( v

)y(vv

yg)(Dexp1v)y(v (4.244)

Mit der Gl.(4.242) und dem charakteristischen Relaxationsweg sR,63

B,63B,sB,63,R tvs ⋅= , (4.245)

folgt diese neue Schreibweise s = y:

−−−⋅=

B,s

)0(

B,63,RB,s)1( v

)s(vs

sexp1v)s(v (4.246)

Diese Gleichung (4.246) ist nur iterativ auswertbar (Index (0) und (1) kenn-zeichnen die Vorgänger- und Nachfolgerwerte). Als Anfangswert der Iteratio-nen nutzt man:

−−⋅=

B,63,RB,s)0( s

sexp1v)s(v (4.247)

Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der in-stationären Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.237),

−−⋅==

B,63B,s t

texp1vdt

)t(ds)t(v (4.248)

liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0 die Weg-Zeit-Funktion der Schichtsedimentation bei laminarer Durchströmung:

−−−⋅=

B,63B,63B,63,R t

texp1t

ts)t(s (4.249)

Diese Schichtsedimentation wird auch in der mechanischen Flüssigkeitsab-trennung bzw. Abwasserklärung als Zonensedimentation bezeichnet. Mit Hil-fe von Absetzversuchen in Standzylindern lässt sich die Höhen-Zeit-Funktion der erkennbaren Grenzlinie zwischen Klarwasser und Suspension messen, Fo-lie 4.14.8 links. Wenn man die zeitliche Zunahme des Feststoffvolumenanteiles bzw. der Packungsdichte im Sediment venachlässigt, also ϕs ≈ const. und dϕs/dt → 0 annimmt, lässt sich der beschleunigte und stationäre Verlauf dieser Höhen-Zeit-Funktion näherungsweise beschreiben:

−−−⋅−=−=

B,63B,63B,63,R00 t

texp1t

tsh)t(sh)t(h (4.250)

240


Die reale Zonensedimentation im geschlosssen Gefäß, Folie 4.14.8 rechts, wird jedoch durch den steigenden Feststoffvolumenanteil und den steigenden Dick-schlammspiegel hDS(t) abgebremst. Für gegebenem Sinkweg s lässt sich hier ebenfalls keine analytisch darstellbare Umkehrfunktion der Gl. (4.249) finden. Sie ist jedoch numerisch mittels Itera-tionen lösbar (Index (0) und (1) kennzeichnen die Anfangs-, Vorgängerwert):

−−⋅+=

B,63

)0(,sB,63

B;s)1(,s t

texp1t

vst (4.251)

Anhand der Gl.(4.251) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Sinkzeit wiederum aus einem Anteil der stationären Sedimentation und ei-nem instationären oder beschleunigten Anteil zusammensetzt. Für große Sinkzeiten ts, große Wege s*, schnelle Kinetik (kleiner Zeitparameter) t63,B und geringe stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,B kann der letzte Term in der Gl. (4.251) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung

4tt

B,63

s > , (4.252)

198,0)4exp(1 ≈=−− und damit

B,63B,s

s tvst +≈ (4.253)

Der Term s/vs,B entspricht einer Verweilzeit tV,s während der stationären Sedi-mentation der Partikelschicht:

B,63s,Vs ttt +≈ (4.254)

Dies ist der Nachweis der Plausibilität dieser Herleitungen. In der Tabelle 4.6 können die neu entwickelten Modelle der instationären la-minaren Durchströmung mit den teilweise schon bekannten Modellen der laminaren Partikelumströmung12,34 noch einmal verglichen werden, siehe Folie 4.19.

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 34 Schubert, H. Aufbereitung fester mineralischer Rohstoffe, S.252, Dt. Verlag f. Grundstoffin-dustrie Leipzig 1975

241


Tabelle 4.6: Modelle der gleichmäßig beschleunigten Sedimentation einer Partikelschicht für laminare Umströmung und Durchströmung (TOMAS 2011) Mikroprozessgrößen Laminare Partikelumströmung Laminare Durchströmung einer Partikelschicht Kräftegleichgewicht ( ) ( ) 2/vAcgVv/1V 2

fPWfsPsffsP ρ⋅⋅−⋅ρ−ρ⋅=⋅ρρϕ+ρ⋅ (4.106) ( ) ( ) A)u(pdygAvdyA rsfssB,ffss ⋅∆−⋅⋅⋅ϕ⋅ρ−ϕ⋅ρ=⋅⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρ (4.211) Widerstandsbeiwert cW, Eu Re < ReSt = 0,25 ... 1, cW = 24/Re (4.14) Re < ReSt,B = 1 ...10,

BB )(BRe24Eu ε⋅= (4.225)

Porositätsfunktionen ε = 1 und B(ε)B = 1 (4.226)

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

B 195,01

21

195,01692,01)(B (4.226)

Stationäre Sinkgeschwin-digkeiten η

⋅⋅ρ−ρ=

18gd)(v

2fs

St,s (4.56) ( ))(B18

gdv2STfs

St,B,s ε⋅η⋅⋅⋅ε⋅ρ−ρ

= (4.230)


−⋅⋅ρ=

sf v

)t(v1g)(Ddt

)t(dv ( )

ffs

fsfD

ρ⋅ϕ+ρρ−ρ

=ρ (4.111) (4.110)

( )

−⋅⋅ρ=

B,sfB v

)t(v1gDdtdv

sB,ffs

fsfB /)(D

ϕϕ⋅ρ+ρρ−ρ

=ρ (4.232) (4.233)

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze

−−⋅=

sv,63s t

texp1v)t(v (4.113)

−−⋅=

B,63B,s t

texp1v)t(v (4.237)

Charakteristische Relaxa-tions- und Sinkzeiten

( )η⋅

⋅ρ⋅ϕ+ρ=

⋅ρ=

18d

g)(Dvt

2ffs

f

sv,63 s

(4.117) ( ))(B18

d/g)(D

vt

2STsB,ffs

fB

B,sB,63 ε⋅η⋅


⋅ρ= (4.242)

Geschwindigkeits-Weg-Gesetz

−−−⋅=

s

)0(

vs,63,Rs)1( v

)s(vs

sexp1v)s(v (4.127)

−−−⋅=

B,s

)0(

B,63,RB,s)1( v

)s(vs

sexp1v)s(v (4.246)


−−⋅=

sv,63s t

texp1vdt

)t(ds (4.129)

−−⋅=

B,63B,s t

texp1vdt

)t(ds

(4.248)

Weg-Zeit-Gesetze

−−−⋅=

ss v,63v,63vs,63,R t

texp1t

ts)t(s (4.130)

−−−⋅=

B,63B,63B,63,R t

texp1t

ts)t(s (4.249)

Sinkzeiten

−−⋅+=

s

sv,63

)0(,sv,63

s)1(,s t

texp1t

vst

(4.133)

−−⋅+=

B,63

)0(,sB,63

B;s)1(,s t

texp1t

vst

(4.251)

242


4.1.5.2.2 Numerische Lösungen für den Übergangsbereich Die Methodik der numerischen Integration der allgem. Bewegungsgleichung (4.259) im Übergangsbereich der Partikeldurchströmung (1 < Re < 1000)

⋅−⋅⋅ρ= 2

B,s

2

B,sB

BfB v

)t(v))v(Re(Eu

)))t(v(Re(Eu1g)(Ddtdv (4.259)

entspricht der im Abschnitt 4.1.2.2.4 beschriebenen. Weitere Details befinden sich im Abschnitt 4.6.2.3 des Manuskriptes der VO PM_SGT ..\VO_PM-_SGT\Schüttec_4.doc bzw. ..\VO_PM_SGT\Schüttec_4.doc#Diffgl_vt_-Runge_Kutta.

4.1.5.2.3 Näherungslösungen für turbulente Durchströmung Analytische Näherungslösungen kann man für die turbulente Schichtdurch-strömung im NEWTON-Bereich cW = 0,44 und Eu(Re) ≈ const. ≠ f(v(t)) nur dann gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase - also beim zeitlichen Durchlaufen der Bereiche niedriger Sinkgeschwindigkeiten des la-minaren und des Übergangsbereiches der Durchströmung - voraussetzt, dass der Durchströmungwiderstand, ausgedrückt durch die EULER-Zahl, ab-schnittsweise EuB = const sei. Für die Mikro-Makro-Beziehung des Durch-strömungswiderstandes, Gl.(4.223), lässt sich wiederum schreiben:

Dimensionsloser Druckverlust = Partikel-Umströmungswiderstand + Schicht-widerstand = f(Porosität). (4.224)

Allerdings muss hier Re < 104 erfüllt sein (bei der Umströmung Re < 2⋅105). Nach MOLERUS33 ist:

1,03

35,1

3

3

2

3

3

3

3

B

Re891,0

195,014,0

195,0112,01

Re4

195,01

21

195,01692,01

Re24Eu

⋅

ε−−ε−

++

ε−−ε−

⋅+⋅

⋅+

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+⋅=

( 4.255)

Mit dem Kräftegleichgewicht Gl.(4.213)

( )( )

⋅

⋅ϕ⋅ρ−ρ−⋅⋅


=dy

)u(dpg

11gdtdv r

sfsB,ffss

sfs , (4.213)

dem Druckverlust Gl.(4.221) und mit der Gl.(4.214) ur = v und ϕs = 1 - ε

( ) ( )2

ST2

fs

Bf

sfs

vgd4

Eu3g

1dydp

⋅⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅

⋅ρ⋅=

⋅ϕ⋅ρ−ρ⋅

folgt die Differentialgleichung:

( )( )

⋅

⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅⋅ρ⋅


= )t(vgd4

Eu31gdtdv 2

ST2

fs

Bf

B,ffss

sfs (4.256)

243


Mit dv/dt = 0 ergibt sich die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,B,N der Parti-kelschicht (makroskopisches Kontinuum) für den NEWTON-Bereich der tur-bulenten Durchströmung:

( )Bf

ST2

fsN,B,s Eu3

gd4v⋅ρ⋅

⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅= (4.257)

Diese stationäre Sinkgeschwindigkeit vs,B,N = dh/dt = const. entspricht wiede-rum dem Geradenanstieg (Tangente) der Zonensedimentation im Höhen-Zeit-Diagramm h(t) der Folie 4.14.8 rechts. Als Nachweis der physikalischen Plausibilität des Modells Gl.(4.257) wird ebenfalls ein Grenzübergang durchgeführt, d.h. ε = 1 und gemäß Gl.( 4.255) EuB(ε = 1) = cW ≈ 0,44:

( ) ( )N,s

Wf

STfs

Bf

ST2

fs

10Re1

vc3

gd4Eu3

gd4lim4

=⋅ρ⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅=

⋅ρ⋅⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅

→→ε

(4.258)

Für diesen inversen Mikro-Makro-Übergang (Makro-Mikro-Übergang) wird die Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.57) im NEWTON-Bereich der Partikel-Sedi-mentation, also das Mikroverhalten, erhalten – q.e.d. Nach diesem Plausibilitätsbeweis kann man somit problemlos weiterrechnen. Erweitern mit dem Verhältnis EuB/EuB beim Erreichen von vs,B (Index N wird weggelassen)

( )( )

⋅

⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅⋅ρ⋅

⋅−⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρϕ⋅ρ−ρ

= )t(vgd4

Eu3)v(Eu)v(Eu

1gdtdv 2

ST2

fs

Bf

B,sB

B,sB

B,ffss

sfs

und einsetzen von Gl.(4.257) für vs,B,N ( )

( )

⋅

⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅⋅ρ⋅

⋅−⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρϕ⋅ρ−ρ

= )t(vgd4

Eu3)v(Eu)v(Eu

1gdtdv 2

ST2

fs

Bf

B,sB

B,sB

B,ffss

sfs

( )

⋅−⋅⋅


= 2B,s

2

B,sB

B

B,ffss

sfs

v)t(v

))v(Re(Eu)))t(v(Re(Eu1g

dtdv ,

und mit der bekannten Fluiddichtefunktion des Partikelbettes

sB,ffs

fsfB /)(D

ϕϕ⋅ρ+ρρ−ρ

=ρ (4.233)

ergibt sich die allgemeine Bewegungsgleichung im Übergangsbereich und im turbulenten Bereich der Partikelschichtdurchströmung als nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung :

⋅−⋅⋅ρ= 2

B,s

2

B,sB

BfB v

)t(v))v(Re(Eu

)))t(v(Re(Eu1g)(Ddtdv (4.259)

244


Für abschnittsweise Konstanz der EULER-Zahl EuB ≈ const. folgt vereinfa-chend die nichtlineare Differentialgleichung der Sedimentation einer Parti-kelschicht bei turbulenter Durchströmung im NEWTON-Bereich:

( )

−⋅⋅ρ= 2

B,s

2

fB v)t(v1gD

dt)t(dv (4.260)

Diese Formulierung entspricht der vereinfachten Bewegungsgleichung (4.156) der Partikelsedimentation bei turbulenter Kugelumströmung im NEWTON-Bereich (für cW ≈ const.): (4.144)

( )

−⋅⋅ρ= 2

s

2

f v)t(v1gD

dtdv (4.156)

Diese Differentialgleichung (4.260) kann mit dem gleichen Algorithmus analy-tisch integriert werden, der im Abschnitt 4.1.2.2.5 beschrieben wurde: Die Integration der nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für übliche v(t) ≤ vs,B die die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der beschleunigten Partikelsedimen-tation bei turbulenter Durchströmung

⋅=

B,76B,s t

ttanhv)t(v (4.261)

Mit der allgemeinen Anfangsbedingung v(t = t0) = v0 ergibt sich analog zur Einzelpartikelsedimentation, siehe Herleitung der Gl.(4.162) im Abschnitt 4.1.2.2.5, folgendes allgemeines Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Gesetz:

−⋅+

−⋅+

⋅=

B,76

00B,s

B,76

0B,s0

B,s

ttttanhvv

ttttanhvv

v)t(v (4.262)

Neben der Berechnung der Partikelbettbeschleunigung von v = 0 auf die statio-nären Sinkgeschwindigkeiten vs,B läßt sich Gl.(4.262) ebenfalls zur Abschät-zung von Bremsprozessen nutzen. Beispielsweise ergibt das Abbremsen einer schnelleren Partikelschicht mit einer höheren Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2.vs,B bei t0 = 0 nach einer Bremszeit von t = 0,5.t76,B:

( )( ) B,sB,s

B,76

B,76B,sB,s

vs,76

B,76B,sB,s

B,sB,76 v28,15,0tanh21

5,0tanh2v

tt5,0

tanhv2v

tt5,0

tanhvv2v)t5,0t(v ⋅=

⋅++

⋅=

⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅

⋅=⋅=

Gl.(4.262) läßt sich wegen vs ≠ 0 nur zur Auswertung moderater Abbremspro-zesse nutzen, bei denen das Partikelbett immer noch turbulent durchströmt wird. Ansonsten müssen für die Verminderung der Sinkgeschwindigkeit so-

245


wohl der Übergangsbereich als auch schließlich die laminare Durchströmung (Re < 1…10) berücksichtigt werden. Dieser letzte Abschnitt der laminaren Durchströmung während des Bremsprozesses von v0 in die Bettruhelage, d.h. vs,B = 0, ist gemäß Gl.(4.238) als exponentielle Abnahme bequem analytisch berechenbar:

−−⋅=

B,63

00 t

ttexpv)t(v (4.239)

Anstieg und charakteristische Relaxationszeit Die wirksame Partikelbettbeschleunigung (Anstieg) des Sinkprozesses ist ge-mäß der Bewegungsgleichung (4.260) im Nullpunkt v = 0:

( ) ( ) gDv

)0v1gDdt

)t(dvfB2

B,s

2

fB0v

⋅ρ=

=−⋅⋅ρ=

=

(4.263)

Mit Hilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes (4.261) ergibt sich bei t = 0,

Bild 4.2a), mit xcosh

1'yxtanhy 2=→= , ( )0cosh

1tv

dt)t(dv

2v,76

s

0t s

⋅==

( ) gDtv

dt)t(dv

fBB,76

B,s

0t

⋅ρ===

(4.264)

Es ergibt sich wie bei der laminaren Durchströmung, Gl.(4.241), ebenfalls ein von beiden Zeit- und Geschwindigkeitsparametern unabhängiger Anstieg, der jedoch von der Dichtefunktion DB(ρf) abhängt. Die charakteristische Sink- und Relaxationszeit t76,B der typischen tanh-Funktion der turbulenten Schichtdurchströmung ist:

( )gEu3d4/

g)(Dv

tBf

ST2

fs

fs

sB,ffs

fB

B,sB,76 ⋅⋅ρ⋅

⋅ε⋅ρ−ρ⋅ρ−ρ

ϕϕ⋅ρ+ρ=

⋅ρ= (4.265)

Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz wird wiederum erhalten, wenn man das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dy/v ersetzt, Gl.(4.85), in die Bewe-gungsgleichung(4.256) einsetzt

( )

−⋅⋅ρ=⋅= 2

B,s

2

fB v)y(v1gD

dy)y(dv)y(v

dtdv , (4.266)

die Variablen trennt und diese Differentialgleichung (4.171) gemäß der bekann-ten Lösung eines Grundintegrals umformt25

246


∫∫∫===

⋅⋅=−

⋅⋅=

−⋅ y

0yB

v

0v22

B,s

2B,s

v

0v2

B,s2 dygD

vvdvvv

v/v1dvv mit

( )2222 xaln

21

xadxx

−⋅−=−⋅

∫ .

Mittels Koeffizientenvergleich erhält man x = v und a = vs,B2. Mit der An-

fangsbedingung v(y=0) = 0 wird die linke Seite der Integralgleichung gelöst:

( ) ( ) ( )2B,s

2B,s22

B,s

2B,s

v

0

22B,s

2B,s

v

022

B,s

2B;s vln

2v

vvln2

vvvln

2v

vvdvvv ⋅+−⋅−=−⋅−=−

⋅⋅ ∫

( ) ( )[ ]

−⋅−=

−⋅−=−−⋅−= 2

B,s

22B,s

2B,s

22B,s

2B,s2

B,s22

B,s

2B,s

vv1ln

2v

vvv

ln2

vvlnvvln

2v


ygDvv1ln

2v

B2B,s

22B,s ⋅⋅=

−⋅− 2

B,s

B2

B,s

2

vygD2

vv1ln ⋅⋅

⋅−=

−

Mit der Gl. (4.265) läßt sich das Argument der e-Funktion umformen

⋅⋅

−−⋅=

⋅⋅ρ⋅−−⋅=

B,76B,sB,s2

B,s

fBB,s tv

y2exp1vv

yg)(D2exp1v)y(v (4.267)

und mit dem charakteristischen Relaxationsweg sR,76,B folgt:

B,76B,sB,76,R tvs ⋅= (4.268)

⋅−−⋅=

B,76,RB,s s

s2exp1v)s(v (4.269)

Diese Geschwindigkeits-Weg-Funktion, Gl.(4.269), der beschleunigten Parti-kelsedimentation im NEWTON-Bereich ist bequem analytisch auswertbar. Die erneute Integration der Differentialgleichung der Zeitfunktion der instationären Sinkgeschwindigkeit, Gl.(4.261),

⋅==

B,76B,s t

ttanhvdt

)t(ds)t(v (4.270)

liefert für die Anfangsbedingung s(t = 0) = 0 die Weg-Zeit-Funktion der Schichtsedimentation bei turbulenter Durchströmung:

⋅=

⋅⋅=

B,76B,76,R

B,76B,76B,s t

tcoshlnst

tcoshlntv)t(s (4.271)

Für diese Zonensedimentation lässt sich diese Weg-Zeit-Funktion mit Hilfe von Absetzversuchen in Standzylindern als Höhen-Zeit-Funktion der Grenz-linie zwischen Klarwasser und Suspension messen, Folie 4.14.8 links. Wenn man die zeitliche Zunahme des Feststoffvolumenanteiles im Sediment

247


venachlässigt, lässt sich wiederum der beschleunigte und stationäre Verlauf dieser Höhen-Zeit-Funktion näherungsweise angeben, Folie 4.14.8 rechts:

⋅−=−=

B,76B,76,R00 t

tcoshlnsh)t(sh)t(h (4.272)

Durch Umstellen dieser Gl.(4.271) für eine gesuchte Sinkzeit ts bei gegebener

=

⋅ B,76B,76B,s ttcosh

tvsexp (4.273)

Apparatehöhe (Sinkweg) s ergibt sich, wie bei der Herleitung der Gl.(4.189), eine übersichtliche Umkehrfunktion für die Sinkzeit ts = f(s):

⋅−−+⋅+=

B,76,RB,76

B,ss s


Anhand der obigen Gl.(4.274) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die gesamte Sinkzeit aus der stationären Sinkzeit und einer Anlaufzeit des beschleunigten Sinkprozesses zusammensetzt. Für große Wege s, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Sinkzeit) t76,B und geringe stationäre Sinkge-schwindigkeit vs,B kann der letzte Term in der Gl.(4.274) vernachlässigt wer-den. D.h. es gilt unter der Bedingung

2s

s

B,76,R

> , (4.275)

198,0)4exp(1 ≈=−− und damit

2lntvst B,76

B,ss ⋅+≈ (4.276)

Der Term s/vs,B entspricht der Verweilzeit tV,s während der stationären Zonen-sedimentation einer Partikelschicht in einem Absetzbehälter:

s,Vs

tvs

= (4.277)

2lnttt B,76s,Vs ⋅+≈ (4.278)

Diese einfache Abschätzung entspricht einem Plausibilitätsbeweis der rechne-risch recht aufwändigen Herleitungen der instationären Modelle. Zum Nachweis der Geschwindigkeits-Weg-Funktion Gl.(4.269) der Schicht- oder Zonensedimentation im NEWTON-Bereich muß in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Gl.(4.261),

⋅=

B,76B,s t

ttanhv)t(v (4.261)

248


die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.273):

⋅=

B,76B,sB,76 tvsexp

ttcosh (4.273)

Die tanh-Funktion in der Gl.(4.261) lässt sich wiederum mit der cosh-Funktion ausdrücken27:

−⋅=

−

⋅=

⋅= −

B,76

2B,s

B,76

B,76

2

B,sB,76

B,s ttcosh1v

ttcosh

1t

tcoshv

tttanhv)t(v

Einsetzen der Gl.(4.273) liefert wiederum die Geschwindigkeits-Weg-Fun-ktion während der beschleunigten Sedimentation im NEWTON-Bereich:

⋅−−⋅=

B,76,RB,s s

s2exp1v)s(v (4.269)

In der Tabelle 4.7 können die neu entwickelten Modelle der instationären turbulenten Durchströmung mit den teilweise schon bekannten Modellen der turbulenten Umströmung34 noch einmal miteinander verglichen werden, siehe auch Folie 4.20. Die typischen Kurvenverläufe, Relaxationszeiten und Kennwerte der charakte-ristischen Sinkgeschwindigkeits-Zeit-, Sinkgeschwindigkeits-Weg- und Sink-weg-Zeit-Funktionen werden im Bild 4.4 und Folie 4.21 grafisch verdeutlicht:

249


Tabelle 4.7: Modelle der gleichmäßig beschleunigten Sedimentation einer Partikelschicht für turbulente Umströmung & Durchströmung (TOMAS 2011) Mikroprozessgrößen Turbulente Partikelumströmung Turbulente Durchströmung einer Partikelschicht Kräftegleichgewicht ( ) ( ) 2/vAcgVv/1V 2

fPWfsPsffsP ρ⋅⋅−⋅ρ−ρ⋅=⋅ρρϕ+ρ⋅ (4.106) ( ) ( ) A)u(pdygAvdyA rsfssB,ffss ⋅∆−⋅⋅⋅ϕ⋅ρ−ϕ⋅ρ=⋅⋅⋅ϕ⋅ρ+ϕ⋅ρ (4.211) Reynolds-Zahlen 5

Nfr3 102Re/duRe10 ⋅=<ηρ⋅⋅=< (4.13) 4

B,Nfr 10Re/d)/u(Re =<ηρ⋅⋅ε= (4.222) Porositätsfunktionen ε = 1 und EuB(ε=1) = cW ≈ 0,44 ( 4.255)

1,03

35,1

3

3

2

3

3

3

3

B

Re891,0

195,014,0

195,0112,01

Re4

195,01

21

195,01692,01

Re24Eu

⋅

ε−−ε−

++

ε−−ε−

⋅+⋅

⋅+

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+⋅=

( 4.255)

Stationäre Sinkgeschwin-digkeiten

fW

fsN,s c3

gd)(4vρ⋅⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= (4.57) ( )

Bf

ST2

fsN,B,s Eu3

gd4v⋅ρ⋅

⋅⋅ε⋅ρ−ρ⋅= (4.257)


−⋅⋅ρ= 2

s

2

f v)t(v1g)(D

dt)t(dv (4.156)

−⋅⋅ρ= 2

B,s

2

fB v)t(v1g)(D

dt)t(dv (4.260)

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze

⋅=

vs,76s t

ttanhv)t(v (4.158)

⋅=

B,76B,s t

ttanhv)t(v (4.261)

Charakteristische Relaxati-ons- und Sinkzeiten gc3

d)(4g)(D

vtfW

fs

fs

ffs

f

svs,76 ⋅ρ⋅⋅

⋅ρ−ρρ−ρρϕ+ρ

=⋅ρ

= (4.166) ( )gEu3d4/

g)(Dv

tBf

ST2

fs

fs

sB,ffs

fB

B,sB,76 ⋅⋅ρ⋅

⋅ε⋅ρ−ρ⋅ρ−ρ

ϕϕ⋅ρ+ρ=

⋅ρ=

(4.265)

Geschwindigkeits-Weg-Gesetze

⋅−−⋅=

vs,76,Rs s

s2exp1v)s(v (4.127)

⋅−−⋅=

B,76,RB,s s

s2exp1v)s(v (4.269)


⋅=

vs,76s t

ttanhvdt

)t(ds (4.177)

⋅=

B,76B,s t

ttanhvdt

)t(ds (4.270)

Sinkweg-Zeit-Gesetze

⋅=

vs,76vs,76,R t


⋅=

B,76B,76,R t


Sinkzeiten

⋅−−+⋅+=

vs,76,Rvs,76

ss s


⋅−−+⋅+=

B,76,RB,76

B,ss s

s2exp11lntv

st (4.274)

250


a) Sinkgeschwindigkeits-Zeit-Funktionen, Gln. (4.237), (4.261)

Sinkzeit t0

vs,B,turb >> vs,B,lamvs,B,turb

vs,B,lam

t63,B t76,B

0,63.vs,B,lam

0,76.vs,B,turb

Sinkgeschwin-digkeit v(t)

dv(t=0) vs,B,turbdt t76,B = = DB(ρf).g

dv(t=0) vs,B,lamdt t63,B = = DB(ρf).g

b) Sinkgeschwindigkeits-Weg-Funktionen, Gln. (4.246) und (4.269)

Sinkweg s0

vs,B,turb >> vs,B,lamvs,B,turb

vs,B,lam

0,63.vs,B,lam

0,76.vs,B,turb

Sinkgeschwin-digkeit v(s)

0,43.sR,76,B0,37.sR,63,B

c) Sinkweg-Zeit-Funktionen, Gln. (4.249) und (4.271)

Sinkzeit t0

vs,B,turb.t

t63,B t76,B

0,37.sR,63,B

0,43.sR,76,B

Sinkweg s(t)

vs,B,lam.t

t76,B.ln2

Bild 4.4: Typische Kurvenverläufe, Anstiege und Relaxationszeiten des Sedimentationsprozesses einer statistisch homogen verteilten Partikelschicht bei laminarer oder turbulenter Durchströmung (TOMAS 6/2015), siehe Folie 4.21.

251


4.1.5.3 Beschleunigtes Auslaufverhalten und Durchströmung Die allgemeine Bewegungsgleichung für das Auslaufen einer homogen durchströmten kohäsiven Pulverbrücke aus einem konvergenten Trichter lautet gemäß ../VO_PM_SGT/Schüttec_4.doc#Diffgl_vt_lam_allg:

b

B2

b

amin dh/dpvb

tan)1m(2gdH/dp

bb1g

dtdv

ρ−⋅

θ+−

ρ

−−⋅= (4.279)

Mit dem Druckverlustterm der laminaren Durchströmung einer kohäsiven Pulver- oder Schüttgutbrücke (Partikelschicht oder Festbett)

r2STB

ud

)1()(B18dhdp

⋅ε⋅

ε−⋅ε⋅η⋅=

b

1.ρ

( 4.280)

r2STbbB

ud

)1()(B181dhdp

⋅ε⋅⋅ρ

ε−⋅ε⋅η⋅=

ρ⋅

und mit der Packungsdichtefunktion der Partikelschicht (Festbett)

( ) fsbfs

b

b

11ρ−ρ

=ρ⋅ρ−ρ

ρ=

ρε−

(4.281) folgen, einschließlich der Sinkgeschwindigkeit nach Stokes (dST = d),

η⋅⋅⋅ρ−ρ

=18

gd)(v2

fsSt,s

(4.56)

( ) ( ) rSt,s

r2STfs

r2STfsbB

uv

)(Bgugg

d)(B18u

d)(B181

dhdp

⋅ε⋅ε⋅

=⋅ερ−ρ

ε⋅η⋅=⋅

ερ−ρε⋅η⋅

=ρ

⋅ (4.282)

rSt,s

2

b

amin uv

)(Bgvb

tan)1m(2gdH/dp

bb1g

dtdv

⋅ε⋅ε⋅

−⋅θ+

−

ρ

−−⋅= ∗

Vorausgesetzt die Leerrohrrelativgeschwindigkeit der Fluides ur und die Aus-laufgeschwindigkeit v des Schüttgutes vur = sind betragsmäßig gleich, folgt

die Bewegungsgleichung für das Ausfließen eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbet-tes35, siehe auch ../VO_PM_SGT/Schüttec_4.doc#Diffgl_vt_lam:

vv

)(Bgvb

tan)1m(2gdH/dp

bb1g

dtdv

St,s

2

b

amin ⋅ε⋅ε⋅

−⋅θ+

−

ρ

−−⋅= ∗ (4.283)

Für das Ausfließen der laminar durchströmten, kohäsiven Pulverschicht in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0, ohne äußerem Überdruck dpa = 0, mit bmin → Dmin und b* → D (Behälterdurchmesser) folgt aus der allgemeinen Gl. (4.283) die modifizierte Bewegungsgleichung:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 35 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wech-selwirkungskräfte zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranla-gen, S. 127, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991

252


vv

)(BgD

D1gdtdv

St,s

Bmin ⋅ε⋅

ε⋅−

−⋅= ( 4.284)

Das Verhältnis Dmin/D kennzeichnet den zusätzlichen Wandreibungswiderstand (COULOMB-Reibung) entlang der Behälterwand beim Ausfließen der vorver-dichteten kohäsiven Pulver- oder Schüttgutschicht, siehe Gl.(4.209). Für ein freifließendes Schüttgut ist näherungsweise Dmin ≈ 0. Damit wird die lineare Bewegungsgleichung (4.229) der Sedimentation einer Partikelschicht bei laminarer Durchströmung erhalten (hier für Luft D(ρf) ≈ 1)

⋅

ε⋅ε

−⋅= vv

)(B1gdtdv

St,s

B (4.229)

mit der Porositäsfunktion B(ε)B für die laminare Durchströmung des - gegen-über einer homogen aufgelockerten Wirbelschicht - vergleichsweise ruhenden Festbettes Gl.(4.226):

ε−−ε−

⋅+ε−−

ε−⋅+=ε

2

3

3

3

3

B 195,01

21

195,01692,01)(B (4.226)

Die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt für eine große Auflockerung ε → 1 und deshalb B(ε)B = 1. Die Bewegungsgleichung (4.229) geht dann über in die Bewegungsgleichung (4.111) der gleichmäßig beschleunigten Sedimentation feiner, laminar umströmter Partikel (d < 100 µm, Re < 1) in einem ruhenden Fluid (hier ebenfalls für Luft D(ρf) ≈ 1):

−⋅=

St,svv1g

dt)t(dv

(4.111)

Hinsichtlich der Modellierung der physikalischen Prozessgrundlagen lassen sich unmittelbar die Analogien der Bewegungsgleichungen der

a) Sedimentation und homogenen Umströmung mikroskopischer Partikel (Stromklassierung und Dichtesortierung),

b) Sedimentation und homogenen Durchströmung makroskopischer quasi-homogener Partikelschichten (z.B. Zonensedimentation) und des

c) Ausfließens und der simultanen Durchströmung kohäsiver Pulverbrücken (makroskopische Kontinua) aus einem konvergenten Trichter

aufzeigen und deren kennzeichnenden Eigen- und Stoffwerte, also stationäre Sink- bzw Ausflußgeschwindigkeiten vs und Relaxationszeiten t63, t76 mitei-nander vergleichen und vergleichweise bequem umrechnen – q.e.d.

253


4.1.6 Partikelbewegung im Fliehkraftfeld einer Wirbelströmung Ein Fliehkaftfeld in einem Fluid kann auf zweierlei Weise erzeugt werden: Entweder, indem der Behälter mit dem Fluid in Drehung versetzt wird, oder indem die Strömung zwangsweise in eine gekrümmte Bahn umgelenkt wird. Modellhaft unterscheiden wir dann den erzwungenen • Potentialwirbel bzw. die • Wirbelsenke. Bei letzterer ist der rein tangentialen Strömung noch eine nach innen gerichtete Komponente überlagert. Starrkörperwirbel Hierbei bewegt sich das Fluid wie ein fester Körper mit konstanter Winkelge-schwindigkeit ω um die Drehachse (Folie 4.22a):

.constr

rr

u=ω=

/ω⋅/=ϕ . (4.285)

Realisiert findet man solche erzwungene Wirbelströmung außer in Becher-zentrifugen auch in anderen Absetzzentrifugen (s. VO Mechanische Trennpro-zesse), im Kern einer ausgebildeten Rührertrombe und im Kern der Gaszyklonströmung (s. Abschnitt 4.7.3.2). Potentialwirbel Der Potentialwirbel (Folie 4.22b) ist eine freie Wirbelströmung in konzentri-schen Kreisen, bei der die Umfangsgeschwindigkeit uϕ (= Tangentialgeschwin-digkeit ut) umgekehrt proportional zum Radius r ist:

.constcru 1 ==⋅ϕ . (4.286)

Er dient zur Erzeugung des Fliehkraftfeldes mit seiner radial nach außen ge-richteten Beschleunigung

r/ura 22r ϕ=ω⋅= . (4.287)

Man nennt die Konstante c1 die Wirbel- oder Zirkulationsstärke. Der Poten-tialwirbel ist reibungsfrei und hat an jedem Punkt im gesamten Strömungsfeld die gleiche Energie (= isoenergetisch), was den entgegengesetzten Verlauf der Geschwindigkeitskurve (hyperbolischer Abfall) und Druckkurve (parabolische Zunahme) charakterisiert. Aus der Kräfte- bzw. Druckbilanz (BERNOULLI-Gleichung für stationäre Strömungen)

.consthg)r(p)r(u2

2 =⋅⋅ρ++⋅ρ

ϕ (4.288)

folgt für h = 0 mit Gl.(4.286) die Radienabhängigkeit des Druckes:

254


−⋅⋅

ρ=⋅

ρ−= 2

202

02

21

rr1u

2rc

2.const)r(p . (4.289)

u0, r0 beliebige Bezugsgrößen

Verallgemeinert gilt für die reibungsbehaftete Wirbelströmung:

.constru n =⋅ϕ . (4.290)

n = 1 reibungsfreie Wirbelströmung 0 < n < 1 reibungsbehaftete Wirbelströmung, für uϕ < uϕ,max z.B.

0,5 ≤ n ≤ 0,85 Spiralwindsichter; 0,4 ≤ n ≤ 0,9 Hydrozyklon n = -1 Starrkörperwirbel Die Anwesenheit von Partikeln in der Wirbelströmung ändert die Reibung in der Strömung und damit den Exponenten n, d.h. den Verlauf der Spiralströ-mung. Deren Verlauf hängt demnach nicht nur von der Gutbeladung µs,g, son-dern auch von der Partikelgrößenverteilung ab. Potentialsenke Bei der Potentialsenke oder Senkenströmung (Folie 4.22c) werden die Strom-linien radial nach innen mit der Radialgeschwindigkeit ur durchlaufen:

.constcru 2r =−=⋅ . (4.291)

Diese Geschwindigkeit nach innen dient zur Mitnahme von Partikeln durch die Fluidwiderstandskraft entgegen zur nach außen gerichteten Feldkraft (Zentri-fugalkraft). Der Wert von c2 gibt die Senkenstärke an. Wirbelsenke Bei der Wirbelsenke handelt es sich um eine Potentialströmung, d.h. sie ist reibungsfrei und hat an jedem Punkt im gesamten Strömungsfeld die gleiche Energie. Sie kommt durch die Überlagerung des Potentialwirbels mit der Senkenströmung zustande. Die Geschwindigkeit u der Wirbelsenke (Folie 4.22d) hat also ur als Radial- und uϕ als Umfangskomponente. Die Stromlinien der Wirbelsenke sind logarithmische Spiralen; sie schneiden alle konzentri-schen Kreise um das Wirbelzentrum unter dem gleichen Winkel β. Die Steil-heit dieser Spirale

.constcctan

uu

1

2r ==β=ϕ

(4.292)

gibt als Verhältnis von Senkenstärken c2 zu Wirbelstärke c1 auch das Verhält-nis von Radial- zu Tangentialgeschwindigkeiten an. Es ist demnach in jedem Punkt des Strömungsfeldes gleich.

255


Durch die gedankliche Auftrennung der Strömung in eine radiale und eine tan-gentiale Komponente kann eine Analogie zur Klassierung in senkrechter Auf-wärtsströmung im Schwerefeld hergestellt werden: • Radial „nach außen“ entspricht im Schwerefeld der Richtung „nach unten“, • während die trennende Widerstandskraft hier „nach innen“ und im Schwere-

feld „nach oben“ gerichtet ist, siehe Tabelle 4.8:

Tabelle 4.8: Partikeltrennung in einer Strömung unter der Wirkung eines Schwerkraft- oder Fliehkraftfeldes

Richtung des Massenkraft-

feldes Richtung der trennen-den Strömungskraft

Schwerkraftfeld nach unten nach oben Fliehkraftfeld nach außen nach innen Trennprodukt Grob- oder Schwergut Fein- oder Leichtgut

Das für den Trenn- bzw. Klassiereffekt maßgebliche Kriterium ist nun, ob ein Partikel in diesem Strömungsfeld unter dem Einfluss der konkurrierenden Kräfte als Grob- bzw. Schwergut nach außen, oder als Fein- bzw. Leichtgut nach innen transportiert wird. Ein Partikel - wir betrachten es wieder als Kugel - ist unter den gleichen verein-fachenden Voraussetzungen wie in Abschnitt 4.1.1 (quasistationäre Bewegung, d.h. verschwindend kleine Trägheits- und Corioliskraft; Vernachlässigung der Schwerkraft) den folgenden Kräften unterworfen: 1) der Zentrifugalkraft FZ radial nach außen und dem statischen Auftrieb FA

radial nach innen

23sZ rd

6F ω⋅⋅

π⋅ρ=

und (4.293)

23fA rd

6F ω⋅⋅

π⋅ρ=

. (4.294)

Mit r/ur 22ϕ=ω⋅ ergibt das in positiver r-Richtung

r/ud6

)(FF 23fsAZ ϕ⋅

π⋅ρ−ρ=− ; (4.295)

2) der Widerstandskraft WF

in Richtung der Relativgeschwindigkeit zwischen Partikeln und Fluid - davon ist die Partikelabsolutgeschwindigkeit av in ei-

nem auf einer festen Kreisbahn rotierenden Koordinatensystem abzugren-zen (siehe Gl.(4.301) und auch Abschnitt 4.3.3). Teilen wir diese Kraft in eine Radial- und eine Tangentialkomponente FW,r und FW,ϕ auf, dann ist FW,ϕ die einzige tangential wirkende Kraft, so dass das Partikel die Um-fangsgeschwindigkeit der Strömung annimmt vr,ϕ = uϕ. In Radialrichtung

256


steht die Widerstandskraft FW,r gebildet mit der radialen Relativgeschwin-digkeit zwischen Partikeln und Fluid (Index r,r)

( ) 2r,r

f2PWr,W v

2d

4RecF ⋅

ρ⋅

π⋅= (4.296)

im Gleichgewicht mit den oben angegebenen Kräften 0FFF r,WAZ =−− , so

dass sich zunächst für die radiale Relativgeschwindigkeit des Partikels vr,r gegenüber dem strömenden Fluid

( )( )PW

2

f

fsr,r Rec

r/ud34v ϕ⋅

⋅ρ

ρ−ρ⋅= (4.297)

ergibt. Im Rahmen der getroffenen Vereinfachungen gilt das nur für kleine Partikeln, die der Umfangsgeschwindigkeit der Strömung praktisch träg-heitslos folgen, so dass wir einerseits die Reynoldszahl mit vr,r bilden und uns andererseits auch hier auf den Stokes-Bereich beschränken können:

ηρ⋅⋅

= fr,rP

dvRe , PPW Re/24)(Rec = . (4.298)

Damit entspricht dieser Partikelrelativgeschwindigkeit vr,r(r) die Partikelsinkgeschwindigkeit vs,r(r)

( )r

)r(u18

d)r(v)r(v22

fsr,sr,r

ϕ⋅η⋅

⋅ρ−ρ== , (4.299)

übrigens - wie bei den Voraussetzungen nicht anders zu erwarten - ganz analog zur Sedimentation im Starrkörperwirbel eines Zentrifugalkraftfeldes, siehe da-zu die Sinkgeschwindigkeit nach STOKES, Gl.(4.56), allerdings ausgedrück mit der Zentrifugalbeschleunigung r/)r(u2

ϕ :

vs,r(r) = vs,z(r). (4.300) Unter der Bedingung, dass die die radiale Strömungsgeschwindigkeit ur(r) (nach innen gerichtet) und die radiale Sinkgeschwindigkeit vs,r(r) (nach außen gerichtet) der Partikeln relativ zur Strömung gleich sind, verbleiben diese Par-tikel, absolut gesehen, auf einem bestimmten Radius in Schwebe, rotieren also auf einer Gleichgewichtskreisbahn. Das entspricht in einem Trennprozess der sog. Trennkorngröße (bei 50% Trennwahrscheinlichkeit) mit der radialen Partikelabsolutgeschwindigkeit va,r(r) = 0, siehe Gl.(4.2),

0)r(v)r(u)r(v r,srr,a =−= . (4.301)

257


4.2 Turbulente Transportvorgänge

In vielen Ausrüstungen, in denen niedrig- bis mittelviskose Substanzen verar-beitet werden, laufen die Strömungsvorgänge turbulent ab. Bedingung hierfür ist, dass die REYNOLDS-Zahl einen bestimmten kritischen Wert überschreitet. In vielen Fällen sind dann Intensität und Struktur der Turbulenz entscheidende Einflussgrößen für die Erfolgs- oder Gütekenngrößen der Mikro- und Makro-prozesse (Folie 4.23).

4.2.1 Kennzeichnung von turbulenten Strömungen Für die Probleme der Verfahrenstechnik sind insbesondere drei Wirkungen der Turbulenz bedeutsam: (1) Die turbulenten Transportvorgänge bestimmen einerseits sowohl die

Geschwindigkeit des Mischens von Flüssigkeiten oder Gasen ineinander als auch das Verteilen einer dispersen Phase im Dispersionsmittel. Letzterer Effekt ist die Voraussetzung für

* den pneumatischen und hydraulischen Transport in Rohrleitungen, * die Herstellung von Suspensionen und * für das Aufwirbeln von Feststoffen z. B. für Löse- oder Kristallisati-

onsvorgänge. Andererseits beeinflussen die turbulenten Transportvorgänge die Trennung in Sichtern, Zyklonen und anderen Stromklassierern.

(2) Die Partikelgröße und damit die volumenbezogene Oberfläche fluider dis-perser Phasen wird vielfach durch turbulente Zerteilvorgänge bestimmt. Dies betrifft z. B. die Herstellung von Dispersionen ineinander unlöslicher Flüssigkeiten (Emulsionen) und das Begasen von Flüssigkeiten. Agglome-rate geringer Festigkeit, wie z.B. Flocken, können ebenfalls durch die Wir-kung der Turbulenz in ihrer Größe beeinflusst werden.

(3) In Turbulenzfeldern treten, durch die Schwankungsbewegungen be-dingt, zusätzliche Beschleunigungen und demzufolge außer den in Abschn. 4.1 behandelten Bewegungsvorgängen zusätzliche Relativbewegungen der Partikeln gegenüber dem Fluid auf. Diese sind die Ursache für Stoßvor-gänge (Kollisionen) zwischen Partikeln, die beispielsweise eine der Vo-raussetzungen für die Koaleszenz fluider Partikeln und die Flockung von Feststoffpartikeln darstellen.

Die Modellierung der Makro- und Mikroprozesse des Mischens, des Trennens, des Zerteilens und des Transportes erfordert daher die Anwendung der Ergeb-nisse der Turbulenztheorie. Spezifisch für die Verfahrenstechnik sind die weitgehenden Vereinfachungen der komplizierten Gesetze der Turbulenztheo-rie, solange damit eine Interpretation und Modellierung der experimentell ge-

258


fundenen Zusammenhänge möglich bleibt. Für eine betont ingenieurwissen-schaftliche Betrachtungsweise reichen zuerst einmal Ähnlichkeitsmodelle aus, die man aus einer einfach zu handhabenden Dimensionsanalyse der physika-lisch begründbaren, wesentlichen Einflussgrößen gewinnt. In der Strömungsmechanik unterscheidet man zwischen wandnahen turbulen-ten Strömungen (turbulenten Grenzschichten) und der freien Turbulenz. Durch die Grenzschichtturbulenz wird der Stoff- und Wärmeübergang an Wänden und Phasengrenzflächen beeinflusst. Sie bewirkt auch das Aufwir-beln abgesetzter Feststoffe. Bedeutsamer für die mechanischen Grundvorgänge, Mikro- und Makroprozes-se sind die Wirkungen der freien Turbulenz. Diese umfasst die Vorgänge in Strahlen und im Nachlauf von turbulenzerzeugenden Einbauten wie z.B. Blenden, Lochplatten, Stabgitter und Rührern. Ein wesentliches Merkmal der freien Turbulenz besteht darin, dass sie in wandfernen Bereichen durch örtli-che Geschwindigkeitsgradienten und damit ohne Wandeinfluss entsteht. Anschaulich lässt sich eine turbulente Strömung als die Überlagerung von Grundströmung und einer großen Anzahl von Wirbeln bzw. Wirbelfeldern (Fo-lie 4.24.2) unterschiedlicher Abmessungen deuten. Aufgrund dieser Überlage-rung ändert sich auch bei im Mittel stationären Strömungen der Geschwindig-keitsvektor zeitlich nach Betrag und Richtung (Folie 4.24.1). Für die Charakterisierung turbulenter Strömungen werden folgende Größen benötigt, deren Bedeutung und Messung bereits in der VO „Strömungslehre" /3.3./ behandelt worden sind: die nach Betrag und Richtung zeitlich gemittelte Bewegungs- und Zustands-

größen, z.B. Druck (wirksame Größen werden durch den `-Strich gekenn-zeichnet)

)t(pp)t(p ′+= (4.302)

und mittlere Strömungsgeschwindigkeit u , wie sie durch eine träge Meßme-thode ermittelt wird (Folie 4.24.1a)

)t(uu)t(u ′+= , (4.303)

die dieser zeitlich gemittelten Geschwindigkeit überlagerten Schwan-kungsbewegungen in Strömungsrichtung ux'(t) und senkrecht dazu uy'(t), uz'(t) (Folie 4.24.1a). Diese Zusatzbewegungen sind aufgrund des Charakters der Turbulenz zufallsbedingt und somit nur durch ihre statistischen Mittel-werte quantitativ beschreibbar.

Definitionsgemäß ist der integrale zeitliche Mittelwert der Beträge aller Schwankungsbewegungen gleich Null, da nach Gl.(4.303) u)t(u

= erhalten

werden muss:

259


0dt)t(u*t

1limu*t

0*t

=′⋅=′ ∫∞→. (4.304)

Deshalb werden die mittleren Effektivwerte 2z

2y

2x 'u,'u,'u oder quad-

ratischen Mittelwerte benutzt (Folie 4.24.1b), siehe auch Gl.(4.70):

∫∞→=

*t

0

2

*t

2 dt'u*t

1lim'u . (4.305)

Diese durch die Hitzedrahtmesstechnik /3.22./ messbaren Effektivwerte sind in stationären turbulenten Strömungen zeitlich konstant.

Von isotroper Turbulenz spricht man, wenn weitestgehende Richtungsun-abhängigkeit der mittleren Effektivwerte gilt:

3/'u'u'u'u 22z

2y

2x === . (4.306)

Der Turbulenzgrad ist 2

2

2

2z

2y

2x

u'u

u3'u'u'u

Tu ≈⋅

++= . (4.307)

Für eine Rohrströmung liegt er im Bereich von 0,04 ≤ Tu ≤ 0,06. Die Abmessungen von Wirbeln können durch ihre Wellenlänge λ oder

einen Wirbelradius rW = λ/4 charakterisiert werden (Folie 4.24.2a). Dabei entspricht der Makromaßstab Λ der Turbulenz der Wellenlänge

zweier großer Wirbel (Folie 4.24.2c). Außerdem lässt sich ein sog. Mischungsweg lM als zeitlicher Mittelwert

einer Korrelationsfunktion R(y) zwischen zwei benachbarten Punkten i und i+1 als charakteristische Wirbelgröße einführen36:

∫∫∞

+

+∞

′⋅′

′⋅′==

0 21i

2i

1ii

0M dy

uu

uudy)y(Rl . (4.308)

Die Turbulenztheorie unterscheidet je nach Meßmethode und der räumlichen Orientierung der Messsonde zwischen verschiedenen Makromaßstäben, die jedoch alle in der gleichen Größenordnung liegen. Die Wirbel der Makroturbulenz, auch energietragende Wirbel genannt, ent-stehen durch Geschwindigkeitsgradienten in der Grundströmung. Ihre Grö-ße und damit auch der Makromaßstab der Turbulenz sind somit proportional einer Länge, die normal zur Strömungsrichtung charakteristisch für die Stre-cke ist, über der der Geschwindigkeitsgradient auftritt. Wenn reibungsbehaftete Starrkörperwirbel (Nulldurchgang im Wirbelkern, siehe Gln.(4.285) und (4.290)) als Modell für die turbulenten Zusatzbewegungen dienen sind die Um-fangsgeschwindigkeiten uϕ in den Wirbeln


36 BURKE, KECKE, RICHTER Strömungsförderer, F. Vieweg, Braunschweig, 1989, S. 48

260


2uu*u ′ϕ ∝= (4.309)

ebenfalls proportional dem in der Grundströmung auftretenden Geschwindig-keitsgradienten Ml/u∆ (siehe Gl.(4.314)).

Zahlreiche Untersuchungen (siehe z.B. /3.53/ bis /3.56/ ergaben und auch die in Folie 4.24.3 zusammengestellten Ergebnisse belegen, dass bei voll ausgebilde-ter Turbulenz der Makromaßsab Λ in der Größenordnung der Abmessungen der turbulenzerzeugenden Systeme normal zur Strömungsrichtung liegt - für eine Rohrströmung ist 0,125 ≤ Λ/D0 ≤ 0,4 - und dass der Effektivwert der Geschwindigkeitsschwankungen proportional der mittleren Strömungsge-schwindigkeit ist. Struktur und Intensität der Makroturbulenz, charakterisiert durch den Makro-maßstab und durch den Effektivwert der Schwankungsbewegungen nach Gl.(4.310), werden also durch die turbulenzerzeugenden Systeme bestimmt. Bei voll ausgebildeter Turbulenz gilt im Nachlauf turbulenzerzeugender Sys-teme:

Λ ~ D0 und 02 u'u ∝ . (4.310)

Hierbei sind D0 und u0 im Sinne der Ähnlichkeitstheorie charakteristische Bezugsgrößen des Turbulenzerzeugers. Für die in Folie 4.24.3 dargestellten Beispiele werden zweckmäßigerweise der Düsendurchmesser D0 bzw. die Schaufelhöhe h1 sowie die Düsenaustrittsgeschwindigkeit

)D/(V4u 200 π= (4.311)

bzw. die Rührerumfangsgeschwindigkeit

vu,R = π n D2 (4.312)

verwendet. In Freistrahlen sowie im Rührerstrom vergrößert sich Λ stromab etwa proporti-

onal zur Lauflänge, während u und 2'u abnehmen, so dass in diesem Bereich das Produkt

002 Du.const'u ⋅∝=⋅Λ (4.313)

angenähert konstant bleibt, siehe auch analog dazu Potentialwirbelverhalten Gl.(4.286). Die Energie, die zur Erzeugung dieser Makroturbulenz erforderlich ist, wird der Grundströmung entnommen. Da bei freier Turbulenz keine Druckgradienten vorhanden sind, verringert sich die kinetische Energie der Grundströmung längs des Strömungsweges. Es fin-det ein Impulsaustausch zwischen den Turbulenzballen statt, der aus der PRANDTLschen Mischungswegtheorie ableitbar ist. Für den Geschwindig-keitsgradienten

261


Mlu

dyud ∆

≈ (4.314)

und die turbulenten Schubspannungen lamyxft uu τ>>′⋅′⋅ρ=τ im Wirbelmantel

gilt somit (s. KECKE S. 49):

dyud

dyud

dyudl tf

2Mft ⋅ν⋅ρ≡⋅⋅⋅ρ=τ . (4.315)

νt scheinbare kinematische Wirbelviskosität (kein Stoffwert!) (siehe auch Gl.(4.342))

Die Wirbel der Makroturbulenz sind in sich ebenfalls turbulent; innen sind Wirbel unterschiedlicher Größe überlagert, die jeweils die zu ihrem Aufbau benötigte Energie der kinetischen Energie der nächst größeren Wirbel ent-nehmen. Hierdurch entsteht ein Impulsaustausch der Turbulenzelemente, bei dem laufend Energie der Grundströmung entzogen und zu immer kleineren Turbulenzelementen übertragen wird. Die Mechanik dieses Impulsaustausches (-transportes) zwischen den Wirbeln lässt sich am einfachsten so verdeutlichen:

Der Zusammenhang zwischen Kraft und Trägheitswirkung einer veränderli-cher Teilmasse m1(t) ist:

( )dt

)t(u)t(mdF 111

⋅= . (4.316)

Für eine unendlich große Kraft in infinitesimal kurzer Zeitdauer dt → 0 folgt

ein endlicher Kraftstoß ∫= dt)t(FF

. Eine einfache Kräftebilanz

( ) 0dt

umumdFF0F 221121

kk =

⋅+⋅≡+==∑

(4.317)

ergibt damit das Gesetz zur Impulserhaltung von zwei trägen, zeit- und ge-schwindigkeitsabhängigen Teilmassen, die zusammenstoßen:

22112211 cmcm.constumum ⋅+⋅==⋅+⋅ . (4.318)

Die Geschwindigkeiten nach einem zentralen Stoß (Rückprall- oder Restitu-tionsphase) betragen für die vorangegangene ideale elastische oder plasti-sche Kompressionsphase der beiden Stoßpartner kel = 1 bzw. kpl = 0 mit der Stoßzahl k oder dem sog. Restitutionskoeffizienten e (k = e; h Fallhöhe) (vgl. Gl.(4.556)):

h/hk Rückprall2 = (4.319)

( )21

21222111 mm

uumkumumc+

−⋅⋅−⋅+⋅= (4.320)

( )21

21122112 mm

uumkumumc+

−⋅⋅+⋅+⋅= . (4.321)

262


Allgemein kann nun die Bilanzgleichung einer volumenbezogenen Bewe-gungs- oder Impulsgröße kk u⋅ρ eines fluiden Stoffelementes k (Wirbels

oder Fluidballens) wie folgt aufgeschrieben werden:

( ) [ ] ( )[ ] gradpugraddivuudivtu

kkkkkkk +⋅ρ⋅ν+⋅ρ−=

∂⋅ρ∂

(4.322)

zeitliche Änderung der Trans-portgröße

Transport durch Strömung (Kon-

vektion)

Transport durch Lei-tung (Konduktion)

Impuls-energie-quelle

t Zeit ku Geschwindigkeitsvektor

ν kinematische Zähigkeit ρk Dichte oder Massekonzentration im Volumenelement p Druck

Dieser durch die Turbulenz bewirkte Transport kinetischer Impulsenergie erfolgt bis zu den kleinsten in der Strömung vorhandenen Turbulenzelementen (Wirbel), die in sich selbst laminar fließen. Die kleinsten Elemente werden durch laminare Schubspannungen - ein viskoser Reibungswiderstand des Fluides muss überwunden werden - abgebremst, und ihre kinetische Energie dissipiert in die Wärmebewegung der Moleküle – svw. molekularer Impuls-transport. Der genannte Impulstransport bewirkt, dass Intensität und Struktur der Mik-roturbulenz, d.h. von Wirbeln, die hinreichend klein gegenüber den Wirbeln der Makroturbulenz sind, nur durch die Größe des Energieeintrages sowie die Viskosität des Fluids bestimmt werden. Die Größe des Energieflusses ist gleich der so genannten Dissipationsrate ε = dEkin/(dt⋅dm), d.h. der kinetischen Energie, die der Hauptströmung je Masse- und Zeiteinheit entzogen und die letztendlich durch die laminaren Schubspan-nungen in den kleinsten Wirbeln in Wärme umgesetzt wird. Sie ist wie alle anderen Turbulenzgrößen im Prozessraum ortsabhängig. Nach BRODKEY [3-138] gilt zwischen der Dissipationsrate ε, dem Makromaßstab Λ und dem Ef-fektivwert der Schwankungsbewegungen ueff‘ der Zusammenhang:

( )Λ

⋅=Λ

⋅==ε3eff

2/32 'u65,1'u65,1dmdP . (4.323)

Daraus folgt für die mittlere Dissipationsrate (= mittlerer spezifischer Leis-tungseintrag) ε in einem abgeschlossenen Behälter, in den beispielsweise durch einen Rührer die Wellenleistung P eingetragen wird (DB Behälterdurch-messer, DR Rührerdurchmesser):

263


3B

2R

3R

m DDudm

m1

mP ⋅

∝ε==ε ∫ . (4.324)

Diese Dissipationsrate ist jedoch nicht im gesamten Prozessraum gleich groß. Sie erreicht Maximalwerte εmax im Nachlauf der Turbulenzerzeuger (uR = π.DR

.n Rührerumfangsgeschwindigkeit, cD ≈ 0,5 Dissipationsbeiwert für einen Scheibenrührer37),

( ) 3max

maxTuu

Λ⋅

∝ε bzw. R

3R

Dmax Duc=ε , (4.325)

die etwa das 5- bis 200-fache des Mittelwertes betragen:

( )Λ

⋅

⋅

⋅∝

εε R

3

R

B

R

maxmax DDD

uTuu . (4.326)

Die Abmessung der kleinsten Turbulenzelemente ergibt sich aufgrund der Wechselwirkung zwischen der Größe des Energietransports und der laminaren Schubspannung, d.h. aus den Größen Dissipationsrate ε und der kinematische Viskosität ν. Von KOLMOGOROFF /3.57/ wurde der Maßstab der Mikrotur-bulenz, der sog. KOLMOGOROFF’sche Längenmaßstab (auch Mikroskala von Kolmogoroff genannt38) eingeführt, der dieses Verhältnis aus molekularer Dissipation, ausgedrückt durch die kinematische Viskosität ν = η/ρ, zu dem gesamten eingetragenen Energiefluss ε enthält:

4/13D )/(l εν= . (4.327)

Messungen zeigten, dass Turbulenzelemente mit Ihren Radien oder Wellenlän-gen

DkW l)15...10(rr ⋅=≥ bzw. DWkW l)60...40(r4 ⋅=⋅=λ≥λ (4.328)

in sich turbulent sind. Kleinere Wirbel fließen laminar. Hierbei sind Turbulenzelemente mit einem Wirbelradius

Dmin,WW l)6...4(rr ⋅=< (4.329)

nicht existenzfähig, da sie durch die inneren laminaren Schubspannungen zu stark abgebremst und dissipiert werden. Darüberhinaus findet man durch Dimensionsanalyse, Tabelle 4.9:

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 37 siehe H. Schubert, Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 173 38 siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Mikroskala_von_Kolmogorow

http://de.wikipedia.org/wiki/Mikroskala_von_Kolmogorow

264


Tabelle 4.9: Mikroprozessgrößen nach Kolmogoroff im Dissipationsbereich (Index D) der Mikroturbulenz mit ε in m²/s³ und ν in m²/s

Mikroprozessgröße Formel Gl. Kolmogoroff-Länge 4/13

D )/(l εν= (4.327) Kolmogoroff-Zeit 2/1)/( εν=Dt (4.330) Kolmogoroff-Geschwindigkeit 4/1)( εν ⋅=Du (4.331)

Die Gesetze der Mikroturbulenz dürfen aber nur für Turbulenzelemente ange-wendet werden, die hinreichend klein im Vergleich zum Makromaßstab sind. Nach Messungen von Möckel /3.54/ gilt als obere Grenze für die Abmessun-gen der Turbulenzelemente der Mikroturbulenz, mit λ = 4.rW:

Λ⋅≅ 1,0rmax bzw. Λ⋅≅λ 4,0max (4.332)

Das Wirbelgrößenspektrum der Mikroturbulenz liegt also zwischen

Λ⋅≅≤≤⋅= 1,0rrl)6...4(r maxWDmin . (4.333)

Die Struktur der Mikroturbulenz wird folglich einerseits durch den Makro-maßstab, andererseits durch die kleinsten Wirbel, deren Größe mit wachsender Dissipationsrate abnimmt, bestimmt. Die Makroturbulenz wird bei freier Turbulenz nicht durch die Viskosität beein-flusst, wenn die Turbulenzelemente der Makroturbulenz hinreichend groß ge-genüber den kleinsten Turbulenzelementen sind, d.h., wenn ein hinreichend breites Spektrum unterschiedlich großer Turbulenzelemente vorhanden ist. Als Kriterium für die voll ausgebildete freie Turbulenz gilt entsprechend den Gln.(4.328) und (4.332)

rmax >> rk ≈ 12 lD (4.334)

und nach Messungen von MÖCKEL

200...150≥λΛ bzw. 995...675

l85,0u

3/4

D

2 >

Λ⋅=⋅

νΛ ′ . (4.335)

Ist diese Bedingung erfüllt, so sind bei freier Turbulenz die Viskosität und da-mit auch die Reynolds-Zahl nicht relevant für • die Grundströmung, • die Makroturbulenz und • den Betrag der Dissipationsrate. Es wird später noch gezeigt, dass damit auch viele verfahrenstechnische Kenn-werte unabhängig von der Reynolds-Zahl werden. Bei der Anwendung der Ergebnisse der Turbulenztheorie auf die Probleme der Verfahrenstechnik ist es gegenwärtig meist üblich, die Turbulenz in erster Nä-

265


herung als isotrop, d.h. richtungsunabhängig Gl.(4.306), zu betrachten. Die Turbulenzparameter sind damit für stationäre Prozesse eine skalare Ortsfunkti-on. Von KOLMOGOROFF /3.57/ wurde vorgeschlagen, die Intensität der Mikro-turbulenz durch den Effektivwert der Differenzgeschwindigkeit zu charakteri-sieren, die zwischen zwei in Abstand ∆r voneinander liegenden Punkten auftritt (Folie 4.24.4). Diese Größe kann durch zwei Hitzdrahtsonden /3.3/ ermittelt werden, die im Abstand ∆r voneinander angeordnet sind, wobei die Geschwin-digkeitsdifferenz durch das Differenzsignal dieser Sonden bestimmt wird. Der Vektor der Differenzgeschwindigkeit ändert sich ständig nach Betrag und Rich-tung. Untersuchungen von KOLMOGOROFF /3.57/ und weitere Arbeiten zeig-ten, dass der Effektivwert für ∆r < 0,1⋅Λ

[ ]22 )rr('u)r('u'u ∆+−=∆ (4.336)

unabhängig von der Orientierung im Raum ist. Dies bedeutet, dass die Mikro-turbulenz mit sehr guter Näherung als isotrop angesehen werden kann. Durch diese Art der Messungen werden Geschwindigkeitsdifferenzen erfasst, die in Wirbeln der Abmessungen rW = ∆r auftreten. Die Schwankungsbewegun-gen der Makroturbulenz rW >> ∆r, wie sie mit der Meßmethode entsprechend Folie 4.24.1b ermittelt werden, wirken dabei in näherungsweise gleicher Größe auf beide Sonden. Sie werden damit bei der Ermittlung von ∆u' herausgefiltert. Die Abhängigkeit des Effektivwertes der Differenzgeschwindigkeit vom Ab-stand ∆r ist in Folie 4.24.4 in dimensionsloser Form dargestellt. Dabei sind der KOLMOGOROFF‘sche Mikromaßstab der Turbulenz lD und eine charakteristi-sche Geschwindigkeit der Mikroturbulenz als Bezugsgrößen verwendet wor-den. Allerdings ist zu beachten, dass die Dissipationsrate und damit die beiden genannten Bezugsgrößen in technischen Ausrüstungen ortsabhängig sind. Für viele technische Belange genügt es, entweder mit einem Mittelwert ε der Dis-sipationsrate gemäß Gl.(4.324) oder mit einem Maximalwert εmax zu rechnen, der meist in unmittelbarer Nähe der Turbulenzerzeuger auftritt. Aus Folie 4.24.4 ist zu erkennen, dass für die Modellierung der Mikroturbulenz in mehrere Bereiche unterteilt werden kann: (1) Bei Werten 5l/r D ≤∆ (4.337)

steigt der Effektivwert der Differenzgeschwindigkeit linear mit dem Ab-stand ∆r an:

r/26,0'u 2 ∆⋅νε=∆ bzw. mit Gl.(4.327) (4.338)

( ) D4/1

2

lr26,0

'u ∆⋅=

ν⋅ε

∆. (4.339)

266


Abstände ∆r < 5⋅lD sind kleiner als die Abmessungen der kleinsten exis-tenzfähigen Wirbel, siehe Gl.(4.329). Damit beschreibt Gl.(4.339) Ge-schwindigkeitsdifferenzen, wie sie in den kleinen laminar fließenden Wir-beln (Folie 4.24.2) auftreten. Durch die entstehenden laminaren Schubspan-nungen werden diese Wirbel abgebremst. Dadurch dissipiert die Wirbel-energie in Wärme. Andererseits werden laufend Wirbel dieser Größe durch größere Wirbel erzeugt.

(2) Da die lineare Abhängigkeit bei ∆r ≤ 10 lD noch näherungsweise gegeben ist und Wirbel rW ≤ (10 ... 12) lD laminar fließen, wird der Bereich

∆r/lD < 5 ... 10 (4.340)

als Dissipationsbereich der Mikroturbulenz bezeichnet. Wird entsprechend den Bemerkungen zu Gl.(4.336) und nach Folie 4.24.2 eine näherungsweise

Zuordnung der Wirbelgeschwindigkeit 2'uu ≈ϕ zu den Wirbelabmessun-

gen rW ≈ ∆r vorgenommen, so kann eine Reynolds-Zahl der Wirbel

( )ν

∆⋅∆∆=

ν⋅∆

=rr'ur'uRe'

2W

2

(4.341)

gebildet werden. Von ALBRING /3.52/ wurde für Einzelwirbel eine kriti-sche Reynolds-Zahl Re'krit ≈ 32 ... 36 ermittelt. Folie 4.24.4 zeigt, dass Re'krit bei ∆r/lD = 12,2 liegt (siehe Bedingung (4.328)). Bei der Anwendung der Gl.(4.339) ist zu beachten, dass in den Wirbelker-nen das Fluid wie ein starrer Körper deformationslos rotiert (s. Gl.(4.285)). Eine Beanspruchung von Partikeln erfolgt deshalb nur, falls sie sich außer-halb der Wirbelkerne befinden. Nur hier geschieht eine Deformation des Fluids und treten Schubspannungen auf. Normal zu den Stromlinien, die ei-nen Krümmungsradius r besitzen, gilt für die Schubspannung τ bei einem Schergeschwindigkeitsgradienten γ (siehe Gl.(4.315)):

γ⋅η=τ mit r

)r/u(r

∂∂

⋅=γ ϕ . (4.342)

Wird die Geschwindigkeitsverteilung eines OSEEN-Wirbels (Folie 4.24.4) zugrunde gelegt, so tritt der Maximalwert von γ bei r/rW = 1,2 auf und be-

trägt:

maxmax γ⋅η=τ mit Wmax r/u06,16,0 ϕ⋅=ω⋅=γ , (4.343)

wobei

νε⋅=ω /26,0 (4.344)

die mittlere Winkelgeschwindigkeit der Wirbelkerne bedeutet. Davon aus-gehend führte CAMP die Berechnung eines mittleren Schergradienten der Turbulenz ein (kinematische Viskosität ν = η/ρf):

267


νε=γ / . (4.345)

Die hierdurch bewirkten Schubspannungen τ sind relativ klein. Sie betragen bei Berücksichtigung der Gl.(4.345)

ν⋅ε⋅ρ=νε⋅ν⋅ρ∝γ⋅η=τ ffturb / (4.346)

für eine Dissipationsrate von ε = 1 W/kg = 1 m2/s3, sowie ρl = 1000 kg/m3, ηl = 10-3 Pa⋅s; νl = 10-6 m2/s für Wasser und ρg = 1,2 kg/m3, ηg = 18⋅10-6 Pa⋅s; νg = 15⋅10-6 m2/s für Luft:

Pa156,0156,0 f ≈ν⋅ε⋅ρ⋅≅γ⋅η=τ für Wasser und nur

Pam73,0156,0 f ≈ν⋅ε⋅ρ⋅≅γ⋅η=τ wegen ρg << ρl für Luft.

Die Wirbel, in denen sie entstehen, besitzen dabei Abmessungen m320...190l)10...6(r DW µ=⋅= für Wasser und wegen νg > νl

mm41,2...45,1l)10...6(r DW =⋅= für Luft.

(3) Wird der Abstand ∆r zwischen den betrachteten bzw. den der Messung zu-grunde liegenden Punkten (Folie 4.24.4) vergrößert, so wird einerseits die Wirkung größerer Wirbel erfasst. Andererseits können aber diese Punkte auch verschiedenen Wirbeln zugeordnet sein. Infolgedessen wird der An-stieg geringer. Im Wertebereich (20 ... 25) < ∆r/lD < 0,12⋅Λ gilt:

( )

3/1

D4/1

2

lr38,1

'u

∆⋅=

ν⋅ε

∆ bzw. mit Gl.(4.327) (4.347)

( ) 3/12 r38,1'u ∆⋅ε⋅=∆ . (4.348)

Dieser Effektivwert der Differenzgeschwindigkeiten ist von der Viskosi-tät unabhängig. Energietransport und Spannungszustand werden hier durch den Austausch makroskopischer Substanzgebiete, d.h. durch Massenkräfte, bestimmt. Dieser Größenbereich wird daher als der Trägheitsbereich der Mikroturbulenz bezeichnet. Die mit den charakteristischen Größen der Mik-roturbulenz gebildete Reynolds-Zahl (Folie 4.24.4) beträgt bei ∆r/lD > 20:

75l

r38,1Re'3/4

D

>

∆⋅= . (4.349)

Sie ist damit größer als der oben angegebene Wert Re'krit ≈ 32 bis 36. Nach Folie 4.24.4 entspricht das diesem Wert zuzuordnende ∆r/lD = 12,2 dem Schnittpunkt der beiden Gesetze für den Dissipations- und Trägheitsbereich, siehe Gln.(4.339) und (4.347). Wirbel mit Abmessungen

rW ≥ (15 ... 20)⋅lD (4.350)

sind somit turbulent.

268


Messungen zeigten, dass in diesem turbulenten Bereich vor allem Schwan-kungen der Normalspannungen, d.h. Druckschwankungen, entstehen /3.105). Diese betragen in Rührbehältern nach Messungen mit Piezosonden /3.106//3.107/:

3/2f

2f

2 )r(2'u)2,1...1(p' ∆⋅ε⋅ρ⋅≈⋅ρ⋅≈∆ . (4.351)

Demgegenüber sind die turbulenten Schubspannungen, die in Fluidgebieten mit Abmessungen ∆r ≈ 12⋅lD ... 0,1⋅Λ auftreten, etwa um den Faktor 1/4...1/5 kleiner /3.105/. Für den Effektivwert der Druckschwankungen ergibt sich wiederum bei ε = 1 W/kg, ρl = 1000 kg/m3 und ∆r = 1 mm:

Pa20p'2 ≈∆ .

Somit beträgt die maximale Druckdifferenz

.Pa80p'4p 2max ≈∆⋅≈∆ (4.352)

Die Schubspannungen, die im Bereich der Makroturbulenz, z.B. in turbulen-ten Scherströmungen /3.3/ auftreten, dürfen allerdings nicht für die Berech-nung der Beanspruchungen angewendet werden, denen Fluidelemente und Partikeln mit Abmessungen des Mikroturbulenzbereiches ausgesetzt sind. Diese Schubspannungen entstehen durch die Bewegung der Makrowirbel, die nur einen Transport bewirken, aber keine Beanspruchungen im Mikrobe-reich.

(4) Da viele Mikroprozesse im Bereich

∆r/lD ≈ 5 ... 20 (4.353)

ablaufen, ist es zweckmäßig, dafür die Kurve in Folie 4.24.4 durch ein Ge-setz des so genannten Übergangsbereiches anzunähern:

( )

3/2

D4/1

2

lr45,0

'u

∆⋅=

ν⋅ε

∆ bzw. mit Gl.(4.327) (4.354)

3/24/112/52 r45,0'u ∆⋅ν⋅ε⋅=∆ − . (4.355)

Zusammenfassend lassen sich folgende stark vereinfachten Modellaussagen für den Mikroturbulenzbereich gewinnen: • Turbulenzelemente mit einem Wirbelradius Dmin,WW l)6...4(rr ⋅=< sind

nicht existenzfähig, da sie durch die laminare Schubspannung zu schnell abgebremst werden.

• Wirbel mit Abmessungen rW ≤ 12⋅lD sind laminar; in ihnen treten laminare Schubspannungen mit Maximalwerten nach Gl.(4.343) auf.

• Die Grenze zwischen laminarem und turbulentem Bereich liegt bei rW = (12 ... 15)⋅lD. Die zugeordneten Reynolds-Zahlen nach Gl.(4.341) betragen Re' = 28 ... 41, d.h., sie entsprechen der kritischen Reynolds-Zahl für Ein-

269


zelwirbel Re'krit = 30 ... 36. In diesen Wirbeln treten bezogene Geschwindig-

keitsdifferenzen von ( )

7,2...1,2'u

4/1

2

=ν⋅ε

∆ auf. Für ε = 1 W/kg, ν = 10-6 m2/s

ergibt sich s/m09,0...07,0'u 2 ≈∆ .

• Wirbel mit Abmessungen rW = (12 ... 15)⋅lD sind turbulent. In ihnen über-wiegen die Druckdifferenzen (siehe Gl.(4.351)).

• Im Bereich der Mikroturbulenz sind die Struktur und Intensität von Tur-bulenzelementen 6⋅lD ≤ rW ≤ 0,1⋅Λ durch die örtliche ⇒ Dissipationsrate ε und die ⇒ Viskosität ν bestimmt. Sie sind unabhängig von der Art und den Abmessungen des tur-bulenzerzeugenden Systems, falls zusätzlich die Bedingung für freie Turbu-lenz gemäß Gl.(4.335) erfüllt ist.

• Für Mikroprozesse, die durch die Mikroturbulenz gesteuert werden, gelten somit die Maßstabsübertragungskriterien:

⇒ .constm/P =ε= und (4.356) ⇒ ν = const. (4.357)

Dabei muss für Partikeln bzw. entsprechende Abmessungen die Bedingung

⇒ d < (0,05 ... 0,1)⋅Λ (4.358)

eingehalten sein. Die Modelle der Mikroturbulenz sind damit auch unab-hängig vom Apparatetyp.

4.2.2 Transportvorgänge in turbulenten Strömungen Zunächst wird der Partikeltransport im ruhenden Fluid betrachtet, siehe Folie 4.25. Bei ausreichend kleinen Partikeln (etwa d < 10 µm) lässt sich diese zufäl-lige Partikelbewegung in Analogie zur molekularen Diffusion beschreiben… In der Strömungsmechanik /3.3./ ist gezeigt worden, dass in turbulenten Strö-mungen ein Austausch von Wirbelballen zwischen benachbarten Schichten erfolgt (Folie 4.26a). Bestehen zwischen diesen Schichten 1) Konzentrations-, 2) Geschwindigkeits- oder 3) Temperaturunterschiede, so tritt aufgrund dieser treibenden Zustandsgradienten ein Austausch von (1) Masse-, (2) Impuls- oder (3) Energietransport (Wärmetransport) normal zur Strömungsrichtung ein. Dessen Größe hängt vom Mischungsweg lM (Gl.(4.308), Folie 4.26a), d.h. von der Strecke, über den diese makroskopi-

270


schen Substanzgebiete normal zur Strömungsrichtung transportiert werden, und

weiterhin vom Effektivwert der Schwankungsbewegung 2'yu normal zur

Strömungsrichtung ab. Beide Größen besitzen Maximalwerte für die größten auftretenden Wirbel. Das Ausmaß dieser Transportphänomene wird daher durch Intensität und Struktur der Makroturbulenz gesteuert. 4.2.2.1 Turbulenter Transport in Einphasenströmungen Existiert in einer Strömung quer zur Strömungsrichtung ein Konzentrations-gradient einer molekulardispersen Komponente i (Folie 4.26a), so ist zwischen zwei im Abstand lM voneinander liegenden Schichten eine Konzentrationsdiffe-renz Mii l)y/c(c ⋅∂∂=∆ vorhanden. In einer turbulenten Strömung erfolgt im

Mittel eine Querbewegung der Wirbelballen um den Mischungsweg, der nähe-rungsweise gleich dem Makromaßstab lM ≈ Λ der Turbulenz ist. Somit entsteht aufgrund des turbulenten Austausches ein flächenbezogener Massenstrom

A,im der betrachteten Partikelgrößenfraktion i oder Stoffkomponente k entspre-

chend einer Komponentenbilanz:

vAcVcmmmdt

dmiiiAus,iEin,i

i ⋅⋅=⋅=−= (4.359)

AusAus,iEinEin,iAus,A,iEin,A,iA,ii vcvcmmm

dt)A/m(d

⋅−⋅=−== (4.360)

yc'uc'u)l

ycc('um i2

i2y

ii

2yA,i ∂

∂⋅Λ⋅≈⋅−⋅

∂∂

+⋅= . (4.361)

Dieser turbulente Austausch ist dem molekularen Stofftransport (moleku-lare Diffusion) überlagert, wobei letzterer im Allgemeinen sehr klein gegen-über dem turbulenten ist. Für die Modellierung wird in Analogie zur molekula-ren Diffusion ein turbulenter Diffusionskoeffizient Dt eingeführt. Es gilt dann für den Transport in y-Richtung:

yc)DD(m i

tA,i ∂∂

⋅+= . (4.362)

Kann Isotropie der Turbulenz zugrunde gelegt werden, so ist auch der turbu-lente Diffusionskoeffizient richtungsunabhängig, und für den Transport kann allgemein und in Vektorschreibweise geschrieben werden:

itA,i cgrad)DD(m ⋅+= . (4.363)

Hierbei ist Dt + D = Deff der effektive Diffusionskoeffizient, wobei jedoch Dt >> D ist. Aus dem Vergleich der Gln.(4.363) und (4.310) folgt

002yt Du'uD ⋅∝Λ≈ , (4.364)

271


bzw. unter Einbeziehung des Turbulenzgrades nach Gl.(4.307)

Λ⋅⋅≈ 0t uTuD (4.365)

oder mit der turbulenten BODENSTEIN-Zahl als Verhältnis von konvektivem zu diffusivem Fluidteilchentransport

Tu1

DDuBot

00t ∝

⋅= . (4.366)

Für die fluide Phase einer turbulenten Rohrströmung betragen nun • Turbulenzgrad 0,04 ≤ Tu ≤ 0,06 • Makromaßstab 0,125 ≤ Λ/DRohr ≤ 0,4 • BODENSTEIN-Zahl 42 ≤ Bot ≤ 200 • Diffusionskoeffizient 0,005 ≤ Dt/(u0⋅DR) ≤ 0,024 Aufgrund der oben erwähnten Analogie zwischen Impuls- und Stofftransport kann auch eine turbulente SCHMIDT-Zahl

t

tt D

Sc ν= (4.367)

eingeführt werden. Deren Größe beträgt bei freier Turbulenz im allgemeinen Sct ≈ 0,7 oder bei ebenen Freistrahlen und Strahlgrenzen Sct ≈ 0,5 /3.59./. Die Proportionalitätskonstante in Gl.(4.364) ist für viele Anordnungen experi-mentell bestimmt worden /3.22.//3.52/. Für den runden Freistahl ergab sich:

00t Du02,0D ⋅⋅= (4.368)

oder ggf. auch

00t Du014,0 ⋅⋅=ν . (4.369)

Diese Beziehungen beschreiben das Grobvermischen. Aufgrund der überla-gerten kleineren Wirbel der Mikroturbulenz vollzieht sich ein Feinvermischen. Infolge der Scherung, die auch in den Wirbeln des Dissipationsbereiches auf-tritt, verdünnen sich Schlieren unterschiedlicher Konzentration bis zu Abmes-sungen, die kleiner sind als der Mikromaßstab nach Gl.(4.324). Der Konzentra-tionsausgleich zwischen diesen Schlieren geschieht schließlich durch die ther-misch getriebene molekulare Diffusion. 4.2.2.2 Mischkinetik der Mikro- und Makroturbulenz Gewöhnlich ist bei Problemen der Mischkinetik in turbulenten Strömungen das Grobvermischen aufgrund der Makroturbulenz der geschwindigkeitsbe-stimmende Schritt. Deshalb lässt sich mittels des turbulenten Diffusionskoef-fizienten Dt eine charakteristische Mischzeit des Makromischens tMM in einem Apparat/Maschine mit einer charakteristischen makroskopischen Länge

272


der Mischzone LM abschätzen (gewöhnlich ist LM ∼ Λ Makromaßstab der Tur-bulenz):

t

2M

MMM DLkt ⋅= (4.370)

Der Mischparameter kM ≈ 0,517 hängt unter anderem von der Form des Misch-raumes und dem Aufgabeort ab39. Dagegen wird der charakterische Zeitpara-meter des Feinmischens tFM, dass zeitlich dem Makromischen überlagert ist, von der örtlichen Dissipationsrate ε bestimmt:

3/12M

FML2t

ε

⋅= (4.371)

Beim Mikromischen kommt es zwischen den Mikrowirbeln und Schlieren zusätzlich zu einem Konzentrationsausgleich infolge molekularer Diffusion. Dieser Mikroprozess wird in dem kennzeichnenden Zeitparameter mit einem zusätzlichen Term berücksichtigt, der die molekulare Schmidt-Zahl Sc = ν/D und damit den molekularen Diffusionskoeffizienten D enthält:

( )Scln88,021t MikroM +⋅

εν

⋅= (4.372)

Gewöhnlich sind in großtechnischen Apparaten und Maschinen die kennzeich-nenden Mischzeiten des Fein- und Mikromischens in turbulenten Strömungen klein gegenüber der Mischzeit des Makromischens. Das Makromischen und damit die Makroturbulenz bestimmt daher im Wesentlichen die Mischkinetik. 4.2.2.3 Turbulenter Partikeltransport Liegt in einer Ausrüstung eine turbulente Strömung eines Mehrphasensystems vor, z. B. einer Suspension oder Emulsion, so erfolgt durch die Makroturbulenz auch ein turbulenter Transport der grobdispersen Partikelphase. Voraussetzung dafür ist, dass die Abmessungen d der Partikeln (auch Blasen oder Tropfen) klein gegenüber dem Makromaßstab der Turbulenz, d.h. klein gegenüber den Apparatehauptabmessungen, sind

d << Λ < D1 (4.373)

und dass die Turbulenz durch die Anwesenheit der dispersen Phase nicht zu stark beeinflusst wird. Besitzen die Partikeln genügend kleine Abmessungen und/oder ist die Triebkraft (der Dichteunterschied (ρs - ρf)/ρf << 1 mal Be-schleunigung aZ = z⋅g) klein, so ist auch die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs (Abschnitt 4.2.2.1) klein. Die Partikeln werden durch die Makroturbulenz wie Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 39 Schubert, H., Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik, Kap. 3.3.3.2 „Mischprozes-se“, S. 171 ff, WILEY-VCH, Weinheim 2003

273


kleine Substanzgebiete der fluiden Phase bewegt. Wird die Massekonzentration ci Gl.(4.363) im Abschnitt 4.2.2.1

dsdcvdsA

ds)V/m(d

dtdsdV

dsdVdsdV

dtdmm

dtdm iii

ii ⋅⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅

⋅≡= (4.374)

durch die Partikelanzahlkonzentration cn,i (Anzahl je Volumeneinheit) ersetzt, so ergibt sich entsprechend Gl.(4.363) der flächenbezogene Partikelanzahl-strom (s Wegkoordinate, mP,i Partikelmasse):

[ ]i,n

i,Pii

ii,Pi gradcdsvds

)m/c(ddsvn

dtdn

dt)Am/(md

⋅⋅=⋅⋅≡==⋅

bzw.

i,nti cgradDn ⋅= . (4.375)

n die Anzahl der Partikel, die je Zeit- und Flächeneinheit entgegen der Richtung von grad cn transportiert werden, und Dt der turbulente Diffusionskoeffizient der dispersen Phase, der sich von dem des Dispersionsmittels unterscheiden kann. Im Allgemeinen kann die Sinkgeschwindigkeit vs nicht vernachlässigt werden. Es kommt hierdurch zu einem Partikelstrom in Richtung des äußeren Kraftfel-des, der das betrachtete Volumenelement verlässt (- Vorzeichen):

ns cvn ⋅−= . (4.376)

In einer Mengenbilanz für das räumliche Problem sind zu berücksichtigen (in Folie 4.26b ist ein ebenes Problem dargestellt): der Feststofftransport durch die gerichtete (konvektive) Strömung:

nzznyynxx cvn,cvn,cvn ⋅−=⋅−=⋅−= , (4.377)

der Feststofftransport durch die turbulente Diffusion:

zcDn,

ycDn,

xcDn n

tzn

tyn

tx ∂∂

⋅=∂∂

⋅=∂∂

⋅= , (4.378)

wobei der turbulente Diffusionskoeffizient als richtungs- und ortsunabhän-gig betrachtet wird,

der Feststofftransport durch die Sinkgeschwindigkeit

nsz c)v(n ⋅−−= . (4.379)

Wenn die Feldkraft entgegen der z-Richtung wirkt, muss dies nun durch ein zusätzliches –Vorzeichen berücksichtigt werden.

Beim Grenzübergang V/A → d(V/A) erhält man aus dem flächenbezogenen Partikelanzahlstrom )Am/(mn P ⋅= die aktuelle zeitliche Änderung der

Partikelanzahlkonzentration dcn/dt im Volumenelement dV.

dt/dc)A/V(d/n n≡ . (4.380)

Damit ist allgemein

274


zc)v(

zc

yc

xcD

zcv

ycv

xcv

dtdc n

s2n

2

2n

2

2n

2

tn

zn

yn

xn

∂∂

⋅−−

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅+∂∂

⋅−∂∂

⋅−∂∂

⋅−=

bzw.

( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅+∂∂

⋅−−∂∂

⋅−∂∂

⋅−= 2n

2

2n

2

2n

2

tn

szn

yn

xn

zc

yc

xcD

zcvv

ycv

xcv

dtdc . (4.381)

Aus der Bedingung, dass die zeitliche Änderung der Partikelanzahlkonzentration im betrachteten Bilanzgebiet gleich der Differenz zwischen dem ein- und austretenden Partikelstrom ist, folgt für ein stationäres Problem (Folie 4.26b):

( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅+∂∂

⋅−−∂∂

⋅−∂∂

⋅−== 2n

2

2n

2

2n

2

tn

szn

yn

xn

zc

yc

xcD

zcvv

ycv

xcv0

dtdc (4.382)

Liegt eine Partikelgrößenverteilung vor und ist die Konzentration der dispersen Phase ϕs < 0,1, so dass eine freie Beweglichkeit der Partikeln gegeben ist, so kann die Bilanz (4.381) getrennt für jede Größenklasse i angesetzt werden. Für technische Anwendungen in einem horizontalen Strom mit kleinen Gradi-enten 0.../c i,n ≈∂∂ oder in einem gut durchmischten Behälter

0x/c i,n ≈∂∂ und 0y/c i,n ≈∂∂ (4.383)

vereinfacht sich Gl.(4.381) zu einer eindimensionalen Bilanz:

( ) 2i,n

2

ti,n

i,si,zi,n

zc

Dz

cvv

dtdc

∂∂

⋅+∂

∂⋅−−= . (4.384)

Analytische Lösung für den stationären Trennprozess Wir suchen eine analytische Lösung für den stationären Trennprozess. Das bedeutet die zeitliche Konzentrationsänderung (Akkumulation) ist dcn,i/dt = 0. Multiplizieren der gesamten Differentialgleichung mit dz und Integration der linken Seite liefert für die Integrationskonstante zunächst die konstante Diffe-renz i,Ai,E nn − der flächenbezogenen Partikelanzahlströme von Eingang E und

Ausgang A durch das Volumenelement dV = x.y.dz =A.dz:

i,Ai,EiiPii,n nnconstnddzdzdt

dndzdzAdt

)m/m(ddzdt

dc −===⋅

⋅=⋅

⋅⋅=⋅ ∫∫∫∫

Kann man die Geschwindigkeiten vz,i, vs,i und Dt als konstant ansetzen, so bleibt auf der rechten Seite nur ein Differentialquotient erster Ordnung übrig:

( ) ∫∫ ∂∂

⋅+∂

∂⋅−−=− dz

zc

Ddzz

cvvnn 2

i,n2

ti,n

i,si,zi,Ai,E

( )dz

dcDcvvnn i,n

ti,ni,si,zi,Ai,E ⋅+⋅−−=− (4.385)

Im stationären Betrieb (Gleichgewichtszustand) sind die beiden ein- und aus-gehenden Konvektionsströme gleich i,Ai,E nn = /3.60.//3.61./:

275


( )z

cDcvv0 i,n

ti,ni,si,z ∂∂

⋅+⋅−= . (4.386)

Nach Trennung der Variablen und Integration von z = 0 (Boden cn,i = cn,i,0) bis z = H ist

∫∫−

−=H

0t

i,si,zc

c i,n

i,n dzD

vvc

dci,n

0,i,n

d.h. ( )

t

i,si,z

0,i,n

i,n

DHvv

cc

ln⋅−

−=

( )

⋅−−=

t

i,si,z

0,i,n

i,n

DHvv

expcc

. (4.387)

cn,i,0 Partikelanzahlkonzentration der Klasse i am Boden

Diese eindimensionale relative Partikelanzahlkonzentrationsverteilung wird auf die Bodenkonzentration cn,i,0 bezogen (Folie 4.26). Ohne ausgeprägte Gegenströmungen, d.h.

i,si,z vv << , und damit (4.388)

zc

Dcv0 i,nti,ni,s ∂

∂⋅+⋅= (4.389)

folgt für den stationären Trennprozess aus Gl.(4.384) nach Trennung der Vari-ablen und Integration ebenfalls die örtliche Partikelanzahlkonzentrationsvertei-lung über der Höhenkoordinate z, siehe Bild Bild 4.5:

⋅−=

t

i,s

0,i,n

i,n

Dzv

expcc

. (4.390)

Bild 4.5: Eindimensionale Höhenverteilung der Partikelanzahlkonzentration

Die mittlere Partikelkonzentration i,H,n Gc bis zu einer beliebigen Höhe HG

eines turbulent durchströmten Apparates lässt sich über den integralen Mittel-wert der Konzentrationshöhenverteilung (Flächenausgleich) berechnen:

∫=⋅G

G

H

0i,nGi,H,n dz)z(cHc (4.391)

GG

G

H

0t

i,s

i,sG

t0,i,nH

0 t

i,s

G

0,i,ni,H,n z

Dv

expvHDc

dzzDv

expHc

c

⋅−

⋅⋅

−=

⋅−= ∫ .

Die mittlere relative Partikelanzahlkonzentration ist

Gn Hc ⋅

∫ dz)z(cn

cn

z

276


⋅−−⋅

⋅=

t

Gi,s

Gi,s

t

0,i,n

i,H,n

DHv

exp1Hv

Dc

cG . (4.392)

Das Verhältnis aus aktueller Partikelanzahlkonzentration in der Höhe z zur mittleren Partikelanzahlkonzentration über die Höhen 0 ... HG ist somit:

⋅−−

⋅−

⋅⋅

=

t

Gi,s

t

i,s

t

Gi,s

i,H,n

i,z,n

DHv

exp1

Dzv

exp

DHv

cc

G

. (4.393)

In den Gln.(4.390), (4.392) und (4.393) fällt ein charakteristisches dimensions-loses Verhältnis ts D/Hv ⋅ auf, das die Partikelanzahlkonzentrationsverteilung

wesentlich beeinflusst. Diesen Term kann man analog zur PECLET-Zahl Pe beim molekularen Stofftransport (siehe Gl.(4.62)) in einer hier so definierten BODENSTEIN-Zahl Bo als Verhältnis von gerichtetem konvektiven zu zufäl-ligem diffusiven Partikeltransport zusammenfassen. Folie 4.26.7 zeigt, dass je nach der Größe dieser BODENSTEIN-Zahl (Auf die Angabe des Partikel-größenklassenindex i wird hier verzichtet!)

t

s

DHvBo ⋅

= (4.394)

unterschiedliche Konzentrationsverteilungen über der Apparatehöhe H entste-hen:

a) 100BoD

Hv

t

s >=⋅ ⇒ Sedimentation

b) 1,0BoD

Hv

t

s <=⋅ ⇒ homogene Partikelkonzentrationsverteilung,

c) 50...5,0BoD

Hv

t

s ==⋅ ⇒ Partikelkonzentrations-Höhenverteilung

Der turbulente Diffusionskoeffizient der dispersen Phase kann nur in erster Näherung gleich dem der fluiden Phase gesetzt werden. Eine relativ gute Über-einstimmung ergibt sich, falls nicht durch eine zu große Feststoffkonzentration die Turbulenz zu stark beeinflusst ist und falls die Feststoffpartikeln klein ge-genüber dem Makrobereich der Turbulenz sind.

277


4.3 Trennmodelle und Trennerfolg des Stromklassierens Bei der Stromklassierung sind auf Grundlage der in Folie 4.27, Folie 4.28 und Folie 4.29.1 dargestellten Wirkprinzipien mehrere Trennmodelle zu unter-scheiden. Zunächst ist kennzeichnend, ob sich das Grobgut im Klassierraum im Wesentlichen quer oder entgegen zu der für die Trennung maßgeblichen Fluid-strömung bzw. Strömungskomponente bewegt. Demgemäß spricht man entwe-der von Querstromklassierung oder Gegenstromklassierung. Findet die Klassierung im Schwerkraftfeld statt, so sind auch die entsprechenden Begriffe Horizontalstromklassierung und Aufstromklassierung eingeführt. Bei der Querstromklassierung kann die Turbulenz im Klassierraum prozessbe-stimmend sein. Deshalb ist es dort zweckmäßig, weiter in laminare und tur-bulente Querstromklassierung zu gliedern. 4.3.1 Allgemeines Bilanzmodell - FOKKER-PLANCK-Gleichung Zweckmäßig kann man es aus einer integralen Modellgleichung für den Trans-port oder die „Verschiebung“ von Partikeln ableiten40:

( ) ( ) ( ) *dx*t*,x*,xxft*,xxq*tt,xq ⋅−⋅−=+ ∫+∞

∞−

. (4.395)

( )*tt,xq + Wahrscheinlichkeitsdichte des Antreffens eines Partikels

an einer beliebigen Ortsebene x = const. zum späteren Zeitpunkt t + t*

( ) *dx*t*,x*,xxf ⋅− Wahrscheinlichkeit für das Antreffen eines Partikels an

einer um x* rückwärts verschobenen Ortsebene x - x* zum späteren Zeitpunkt t + t*

Die linke Seite der Integralgleichung (4.395) wird in einer Reihe nach t* entwi-ckelt und gleich nach dem ersten Glied abgebrochen. Die rechte Seite wird nach der Verschiebung x* in der Zeit t* entwickelt

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ...x

It,xq!3

1x

It,xq!2

1x

It,xq!1

1It,xq*tt

t,xqt,xq 33

3

22

21

0 +∂

⋅∂⋅−

∂⋅∂

⋅+∂

⋅∂⋅−⋅=⋅

∂∂

+

(4.396)

mit der Normierungsbedingung des Integrales (≡ Wahrscheinlichkeitsverteil-ungsfunktion) I0 = 1:

( )∫+∞

∞−

⋅⋅= *dx*t*,x,xf*)x(*)t,x(I nn n = 0, 1, 2, 3, ... (4.397)

*t*)t,x(Ilim)x(v n

0*tn →= . (4.398)


40 siehe auch MOLERUS, O.: CIT 38 (1966) 2, S. 137 ff

278


Beispielsweise stellt das erste Moment v1 einer Partikelgeschwindigkeits-verteilung durch den Prozessraum die mittlere Geschwindigkeit v = const. an der Stelle x = const. als Schätzung des Erwartungswertes derselben dar:

( ) ( ) v*t*,x,xdF*x*t

1*dx*t*,x,xf*t*xlim)x(v

0*t1 =⋅=⋅⋅= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−→

. (4.399)

Das zweite Moment v2 entspricht einer Geschwindigkeitsverteilung oder Streuung der Partikelkonzentration um die Ortslage x = const. herum im Vergleich zur geordneten Partikelbewegung mit der mittlere Geschwindigkeit v . Es ist ein Maß des mittleren Verschiebungsquadrates der ungeordneten Bewegung der Partikeln und wird basierend auf EINSTEIN41 als Diffusions-koeffizient definiert .const2/)x(v*D 2 == :

( ) .const*D2*dx*t*,x,xf*)x(*t2

1lim)x(v 2

0*t2 =⋅≡⋅⋅⋅⋅

= ∫+∞

∞−→

(4.400)

Wegen der Konstanz der beiden Momente v1(x) und v2(x) lassen sich diese aus den beiden Differentialquotienten herauslösen. Aus der Reihenentwicklung Gl.(4.401) der Integralbeziehung (4.395) und den Gln.(4.399), (4.400) lässt sich nunmehr die sog. FOKKER-PLANCK-Gleichung der Statistischen Physik42,43 gewinnen:

[ ] ...x

)x(v)t,x(q!3

1x

)t,x(q!2

)x(vx

)t,x(q!1

)x(vt

)t,x(q3

33

2

221 +

∂⋅∂

⋅−∂

∂⋅+

∂∂

⋅−=∂

∂

(4.401)

Dabei wird vorausgesetzt, dass sich der dem Partikeltransport zugrunde lie-gende physikalische Grundvorgang bei jedem Schritt δx nicht ändert und nur vom Zustand des Stoffsystems zum Zeitpunkt t abhängt. Ein derartiger sto-chastischer Prozess wird in der Statistischen Physik stetiger MARKOFF-Prozess genannt. Höhere Ordnungen werden gewöhnlich 0)x(v 2n ≈> gesetzt

und man erhält die sog. zweite KOLMOGOROFF-Differentialgleichung für die Wahrscheinlichkeit dx)t,x(q ⋅ dafür

[ ] [ ]2

21

x)t,x(q)x(D

21

x)t,x(q)x(v

t)t,x(q

∂⋅∂

⋅+∂

⋅∂−=

∂∂

, (4.402)

dass sich das betrachtete Partikel zum Zeitpunkt t im Intervall x bis x + dx befindet (D(x) ≡ 2.D*).

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 41 Einstein, A., Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewe-gung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. d. Physik 19 (1906) 549-560. 42 Planck, M., Über einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quan-tentheorie, Ann. d. Physik 53 (1917) 324 – 341. 43 siehe auch Risken, H.: The Fokker-Planck Equation, Methods of Solution and Applications, Springer Verlag, Berlin 1996.

279


Nunmehr soll an Stelle des allgemeinen Diffusions- oder Dispersionskoeffi-zienten der turbulente Diffusionskoeffizient Dt,s = va,2(y)/2 = const. der Par-tikelbewegung mit der Absolutgeschwindigkeit va einer ortsfesten Höhenko-ordinate y im Apparat eingeführt werden. Er ist ebenfalls ein Maß des mittle-ren Verschiebungsquadrates der ungeordneten Bewegung der Partikel infolge turbulenter Schwankungen der Fluidgeschwindigkeit u und stochastischer Partikelsinkgeschwindigkeitsverteilung vs. Er entspricht dem zweiten Moment va,2 einer Geschwindigkeitsverteilung oder Streuung der Partikelkonzentra-tion um die Ortslage y = const. herum - im Vergleich zur geordneten Parti-kelbewegung mit der mittleren Absolutgeschwindigkeit av

( ) .constD2*dy*t*,y,yf*)y(*t2

1lim)y(v t2

0*t2,a =⋅≡⋅⋅⋅⋅

= ∫+∞

∞−→

. (4.403)

Wenn man bei isotroper Turbulenz voraussetzt, siehe Folie 4.30, dass • d < 0,1⋅Λ < D0 die Partikelgröße klein gegenüber dem Makromaßstab der

Turbulenz, d.h. klein gegenüber der Apparatehauptabmessung (Durchmesser oder Breite) ist,

• ϕs < 0,05 keine Turbulenzdämpfung durch zu hohe Partikelkonzentration im Fluid auftritt,

• dadurch die Turbulenz durch die disperse Phase nur geringfügig beeinflusst wird,

• der Dichteunterschied zwischen Partikel und Fluid ( ) 1/ ffs <ρρ−ρ nicht zu

groß ist, • d << 20⋅lD die Partikelgröße klein gegenüber dem Mikromaßstab der Turbu-

lenz (4/1

3f

3f

4/13

D Pml

⋅

ρη

=

ε

ν= KOLMOGORFF’scher Längenmaßstab

nach Gl.(4.327)), d.h. viel kleiner als die kleinsten existenzfähigen Wirbel ist, die in sich laminar fließen,

kann anstelle des turbulenten Diffusionskoeffizienten Dt ≈ Dt,s der Partikeldif-fusionskoeffizient und als charakteristische Partikelgeschwindigkeit für feine Partikel, siehe auch Gl.(4.58), die stationäre Sinkgeschwindigkeit v ≈ vs nach STOKES gesetzt werden. Die Lösung von Gl.(4.402) und die damit verbundene mathematische Erfas-sung von Partikeltrennungen ist von der Aufstellung geeigneter Randbedin-gungen abhängig: Als erster Lösungsschritt wird der zeitliche Zuwachs der Wahrscheinlichkeit für das Verlassen der Partikeln aus den Prozessraumgrenzen -y1, y2 unterhalb und oberhalb des Aufgabeniveaus y = 0 (siehe Gegenstrommodell 4.3.3) be-trachtet. Für die linke Seite der allgemeinen Prozessgleichung (4.402) lässt sich schreiben - s.v.w. Ausbringens- oder Austragswahrscheinlichkeit:

280


( )GF

y

y

nndyt

)t,y(q1t

)t(q 2

1

+−≡∂

∂−=

∂∂

∫−

(4.404)

und folglich für die rechte Seite unter Einbeziehung des negativen Vorzeichens für den ausgetragenen Partikelstrom zum Zeitpunkt t = const. (der Faktor ½ ist im turbulenten Partikeldiffusionskoeffizienten Dt,s enthalten):

[ ] [ ] dyy

)t,y(q(Dy

)t,y(qvt

)t(q 2

1

y

y2

2

ta ⋅

∂∂

⋅+∂

∂⋅−−=

∂∂

∫−

[ ] [ ]12 yy

ta

yy

ta y)t,y(q(D)t,y(qv

y)t,y(q(D)t,y(qv

t)t(q

−==

∂∂

⋅−⋅−

∂∂

⋅−⋅=∂

∂ .

(4.405)

Für verfahrenstechnische Anwendungen ist es zweckmäßig, die Wahrschein-lichkeitsdichte der Gl.(4.402) q(t, y) ≡ cn,i(t, y) durch die Partikelanzahlkonzentration der diskreten Partikelgrößenklasse i zu ersetzen. Man erhält wiederum die Bilanzgleichung (4.384) für den eindimensionalen Transport entlang der Höhenkoordinate y eines Trennapparates (modifizierte Fokker-Planck-Gleichung):

2i,n

2

s,ti,n

i,si,n

yc

Dy

c)v(

tc

∂∂

⋅+∂

∂⋅−−=

∂∂

. (4.406)

Mit dieser eindimensionalen Gleichung wird die Speicherung (Akkumulation) der Partikel im Trennraum ∂cn,i/∂t in Abhängigkeit vom gerichteten (kraftfeld-abhängigen) Partikeltransport vs,i

.∂cn,i/∂y und vom ungerichteten (zufälligen, turbulenten) Partikeltransport Dt,s

.∂2cn,i/∂y2 bilanziert. Allgemeines Bilanzmodell mechanischer Prozesse Die Verallgemeinerung dieses obigen eindimensionalen Partikeldispersions-modelles ergibt das allgemeine Bilanzmodell mechanischer Prozesse, siehe Gl.(2.94) im Abschnitt 2.4, MVT_e_2neu.doc#allg_MVT_Prozeßmodell:

[ ] [ ] ( )[ ] iisiiisis GcgradDdivvcdiv

tc

±µ⋅⋅+⋅µ⋅−=∂

µ⋅∂ . (4.407)

cs = dms/dV Partikelmassenkonzentration im betrachteten Volumenelement dzdydxdV ⋅⋅=

µi Massenanteil, Wahrscheinlichkeit des Auftretens der i-ten Klas-se im betrachteten Volumenelement dV (Inkrement der Vertei-lungssumme i33 )d(d)d(q)d(dQ µ=⋅= )

[ ]t

c is

∂µ⋅∂ Akkumulation (Speicherung) der Partikelgrößenklasse i im be-

trachteten Volumenelement dV

281


iv Geschwindigkeit der Partikeln der i-ten Klasse

iis vc µ konvektiver (gerichteter) Massenstrom der i-ten Klasse

Di Diffusionskoeffizient der i-ten Klasse )c(gradD isi µ diffusiver (ungerichteter) Massenstrom der i-ten Klasse

Gi Partikelwechselwirkungsterm ≡ Änderung des Masseanteiles der i-ten Klasse im betrachteten Volumenelement dV durch Aufbau von Partikelwechselwirkungen (Agglomerieren, + Vorzeichen) oder Zerstörung von Partikelwechselwirkungen (- Zerteilen, Dispergieren oder Deglomerieren)

Diese allgemeine Komponentenbilanzgleichung stellt ein gekoppeltes Glei-chungssystem für i = 1...N Partikelgrößenklassen dar. 4.3.2 Querstromklassierung Bei der Querstromklassierung (Folie 4.29.1a) tritt das Grenzpartikel der Größe dT mit der Sinkgschwindigkeit vsϕT tritt an der Oberkante der Aufgabeöffnung in den Klassierraum ein und sinkt gerade bis zur Wehrhöhe H*. Um erfolgreich im Grobgut abgetrennt zu werden, muss die notwendige mittlere Verweilzeit im Klassierraum tV,m größer oder gleich der Sinkzeit tSink sein:

ksinV tt ≥ . (4.408)

Somit gilt für die Sinkgeschwindigkeit vsϕT eines Grenzpartikels mit der Parti-kelgröße dT:

uL

Hv.bzwvH

uL *

TsTs

*

⋅== ϕϕ

. (4.409)

u mittlere Fluidgeschwindigkeit Aus vsϕT lässt sich mit Hilfe der im Abschnitt 4.1.2 angegebenen Gln.(4.56) oder (4.57) unter Beachtung des Re-Bereiches der Umströmung die Trennkorn-größe dT berechnen, wobei wegen der im Allgemeinen niedrigen Feststoffkon-zentration im Prozessraum gewöhnlich die Schwarmbehinderung vernachläs-sigt wird, also vsϕT = vsT. Im Falle der Querstrom-Strahlwindsichtung (Folie 4.50.1b) bedarf das Modell entsprechender Anpassungen. 4.3.2.1 laminare Querstromhydroklassierung Von einer ähnlichen Relation, wie sie Gl.(4.408) darstellt, kann man für das Trennmodell der laminaren Querstromhydroklassierung (Folie 4.29.2) aus-gehen. Die Suspension strömt in den Klassierraum ein, die Partikeln sedimen-

282


tieren gemäß ihren Sinkgeschwindigkeiten. In den Überlauf können deshalb nur jene Partikeln gelangen, deren Sinkgeschwindigkeiten so klein sind, dass sie sich während ihrer Verweilzeit im Klassierraum nicht dem Horizontalstrom bis zum Oberlaufwehr der Höhe (Tiefe) H* entziehen können. Für die mittlere Fluidgeschwindigkeit u (angenähert laminare Pfropfen-strömung im Prozessraum!) läßt sich eine Fluidstrombilanz schreiben:

( ) ( ) ( )[ ]G,sGF,sFs 1V1V

HB1

HB1Vu ϕ−+ϕ−=

ϕ−=

. (4.410)

B Breite des Klassierraumes Mit der Relation der beiden Fluidvolumenströme entsprechend der Wehrhöhe H* des Oberlaufes und Tiefe H des Klassierraumes

FG,s

F,s*

*

G*g,sG

*F,sF V

)1()1(

HHHV.bzw

HH)1(V

H)1(V

⋅

ϕ−ϕ−

⋅−

=−

ϕ−=

ϕ−

und da oftmals ϕs,F ≈ ϕs,G << 1 folgt:

*F

*

*F

HBV

HHH1

HBVu

⋅=

−+≈

(4.411)

Das lässt sich mit der Verweilzeitrelation, Gln.(4.408) und (4.409),

L/uHv *Ts ⋅=ϕ (4.409)

umformen in:

AV

BLuBHu

LHv F

**

Ts

=

⋅⋅⋅

=⋅=ϕ . (4.412)

wobei A = L.B die Klassierfläche darstellt. Dies bedeutet, dass die Trennkorn-größe theoretisch nur vom flächenbezogenen Feingut-Suspensionsvolumen-strom abhängt. Bei der Hydroklassierung wird man wegen der meist höheren Feststoffkonzentrationen die Schwarmbehinderung berücksichtigen müssen. Handelt es sich um niedrige Trennkorngrößen, siehe Gl.(4.58), so ist für die stationäre Sinkgeschwindigkeit die Formel für den STOKES-Bereich anwend-bar, und dann gilt für vsϕT:

η⋅⋅⋅ρ−ρ

⋅⋅= ϕψϕ 18ad)(kkv

2Tfs

Ts (4.413)

kψ Formkorrekturkoeffizient, siehe Abschnit 4.1.2, Gl.(4.73) kϕ Schwarmbehinderungsfaktor, siehe Abschnitt 4.1.4, Gl.(4.199) bzw. für die Trennkorngröße dT:

aAV

)(18

kk1d F

fsT ⋅

⋅ρ−ρη

⋅⋅

=ϕψ

. (4.414)

283


4.3.2.2 turbulente Querstromklassierung In einigen Querstromklassierern herrschen ausgeprägt turbulente Strömungs-verhältnisse (z. B. mechanische Klassierer, Hydrozyklone /5.2.//5.3./. Der Mo-dellierung der turbulenten Querstromklassierung werden folgende vereinfa-chenden Annahmen zugrunde gelegt: - Es werden im Klassierraum sowohl ein homogenes Turbulenzfeld als auch

ein homogenes Kraftfeld vorausgesetzt. - Die Partikeln bewegen sich in Richtung des Kraftfeldes mit der Sinkge-

schwindigkeit vs,i entgegen der positiven y-Richtung. - Es wird angenommen, dass sich in der Nähe der Produktausträge aus dem

Klassierraum die Konzentrationsverteilung über eine Höhe y gemäß Gl.(4.387) für jede Partikelgrößenklasse i unabhängig von den anderen ein-stellen konnte. Mit der modifizierten Fokker-Planck-Gleichung (4.406) bzw. Partikelanzahlbilanz, Gl.(4.384), folgt für stationäre Prozessbedingungen:

dydc

Dc)v(0dt

dc i,ns,ti,ni,s

i,n ⋅+⋅−−== (4.381)

∫∫=

⋅−=y

0ys,t

i,sc

c n

i,n dyDv

cdci,n

i,0,n

yDv

cc

lns,t

i,s

i,0,n

i,n ⋅−=

−= y

Dv

expcc

s,t

i,s

i,0,n

i,n . (4.390)

cn,i Partikelanzahl/Volumeneinheit cn,0,i Partikelkonzentration am Boden, y = 0 Dt,s turbulenter Diffusionskoffizient der Partikeln

Hinsichtlich der Gestaltung der Produktausträge lassen sich das - Suspensionsteilungsmodell und das - Suspensionsanzapfmodell unterscheiden (Folie 4.31.4). Beim Teilungsmodell wird die im Prozessraum der Höhe H aus einer räumli-chen Partikelanzahlkonzentrationsverteilung gebildete mittlere Konzentration

i,H,nc des Aufgabestromes i,AV nach Gl.(4.392) durch einen Höhenschnitt bei der Wehrhöhe HG in den Grobgutstrom i,GV mit der mittleren Anzahlkonzent-

ration i,H,n Gc und in den Feingutstrom i,FV aufgeteilt (Folie 4.31.4).

HcHc

HAcHAc

VcVc

VV

mm

Ti,H,n

Gi,H,n

i,H,n

Gi,H,n

Ai,H,n

Gi,H,n

i,AA,s

i,GG,s

i,A

i,Gi

GGG

⋅

⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅≈

⋅ρ⋅ρ

==

. (4.415)

Mit den beiden mittleren relativen Partikelkonzentrationen

⋅−−⋅

⋅=

t

Gi,s

Gi,s

t

i,0,n

i,H,n

DHv

exp1Hv

Dc

cG und (4.392)

284


⋅−−⋅

⋅=

t

i,s

i,s

t

i,0,n

i,H,n

DHv

exp1Hv

Dcc

(4.416)

folgt schließlich für die Trennfunktion des Suspensions-Teilungsmodelles:

⋅−−

⋅−−

=

t

i,s

t

Gi,s

i

DHv

exp1

DHv

exp1T . (4.417)

In einigen technischen Klassierapparaten (mechanische Klassierer) kommt man der Realisierung des Anzapfmodells nahe. Hierbei werden die Suspensions-ströme mit den jeweiligen Partikelanzahlkonzentrationen der Größenklassen i am unteren y = 0 (Boden) und oberen Ende y = h angezapft (großer Abstand notwendig!) und die Grobgutsuspension mit der Bodenkonzentration cn,0,i und die Feingutsuspension mit cn,i ausgetragen. Dadurch gelingen trotz der Turbu-lenz im Vergleich zur Suspensionsteilung mit einer Wehrhöhe HG Gl.(4.417) relativ scharfe Trennungen. Für die Trennfunktion einer diskreten Partikelgrößenklasse i nach dem An-zapfmodell folgt mit ρs,G ≈ ρs,F aus Folie 4.31.4:

Fi,nGi,0,n

Gi,0,n

i,FF,si,GG,s

i,GG,s

i,A

i,Gi VcVc

VcVV

Vmm

T

⋅+⋅⋅

≈⋅ρ+⋅ρ

⋅ρ== (4.418)

AFG V,V,V Suspensionsvolumenströme Grobgut, Feingut und Aufgabe

−⋅+

=⋅+

=

hDv

expVV1

1

VV

cc

1

1T

i,s,t

i,s

G

F

G

F

i,0,n

i,ni

(4.419)

bzw.

−⋅+

=

hD

)d(vexpVV1

1)d(T

s,t

s

G

F

. (4.420)

Daraus erhält man die stationäre Sinkgeschwindigkeit vs der Partikelgröße d,

der der Trennfunktionswert T(d) zuzuordnen ist: x1

1T+

= und T

T1x −=

−

⋅=)d(T1

)d(TVVln

hD

vG

Fs,ts

, (4.421)

sowie für die stationäre Sinkgeschwindigkeit der Trennkorngröße dT, weil T(dT) = 0,5 ist:

=

G

Fs,tsT V

Vlnh

Dv

. (4.422)

Die Gl.(4.420) ist mit Hilfe von

285


- ARCHIMEDES-Zahl Ar und LJASCENKO-Zahl Lj (s. Gln.(4.50) und Gl.(4.51)) oder mit Hilfe

- des Widerstandsbeiwertes 4,0Re4

Re24cW ++= (4.17)

für beliebige Re-Bereiche anwendbar /5.3./. Lässt sich die stationäre Sinkge-schwindigkeit durch Gl.(4.56) erfassen, so erhält man:

2/1

G

Fs,t

fs VV

)d(T1)d(Tln

hD

a)(18

kk1d

−

⋅⋅⋅ρ−ρ

η⋅⋅

⋅=

ϕψ

(4.423)

und für die Trennkorngröße dT (d.h. T(d) = 0,5): 2/1

G

Fs,t

fsT V

Vlnh

Da)(

18kk

1d

⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

⋅⋅

=ϕψ

, (4.424)

Für die Trennschärfe κ (reziproke Partikelstreuung) lässt sich schreiben:

2/1

G

Fs,t

fs

2/1

G

Fs,t

fs

75

25

VV

25,075,0ln

hD

a)(18

kk1

VV

75,025,0ln

hD

a)(18

kk1

dd

⋅⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

⋅⋅

==κ

ϕψ

ϕψ

2/1

GF

GF

2/1

GF

GF

3ln)V/V(ln3ln)V/V(ln

)V/V3(ln))V3/(V(ln

+−

=

⋅

⋅=κ

. (4.425)

Dies bedeutet, dass nur das Volumenstromverhältnis GF V/V die Trennschärfe

κ beeinflusst. Das sollte im Interesse einer hohen Trennschärfe so groß wie möglich sein, bzw. durch den Grobgutaustrag sollte so wenig wie möglich Sus-pension ausgetragen werden minVVV s,Gl,GG →+= .

Dies verdeutlicht anschaulich Folie 4.31.5a, in dem die normierte Trenn-funktion T(d/dT), die sich aus den Gln.(4.423) und (4.424) ableiten lässt,

−

=

⋅⋅

⋅ρ−ρη⋅

⋅⋅

−

⋅⋅⋅ρ−ρ

η⋅⋅

⋅=

ϕψ

ϕψ

G

F

G

F

T

T

G

Fs,t

fs

G

F

T

Ts,t

fs2

T

VVln

VV

)d/d(T1)d/d(Tln

VVln

hD

a)(18

kk1

VV

)d/d(T1)d/d(Tln

hD

a)(18

kk1

dd

−

⋅

=

− G

F

G

F

2

TT

T

VVln

VVln

dd

)d/d(T1)d/d(Tln

1dd

G

F

G

F

2

TT

T

2

T

VVln

VVln1

dd

)d/d(T1)d/d(Tln

−

=

⋅

−

=

−

1dd

G

F

T

T

2

T

VV

)d/d(T1)d/d(T

−

=

−

umstellen 1x11

x1xTxTxTx

T1T

−+=

+=→=⋅+→=

−,

286


( ) ( )2Td/d1

GF

TV/V1

1)d/d(T−

+=

(4.426)

für verschiedene Verhältnisse der Volumenströme GF V/V dargestellt ist. Das Volumenstromverhältnis des Oberlaufes zum Unterlauf GF V/V bestimmt au-

ßerdem den Schnittpunkt der Kurven mit der Ordinate T(d/dT = 0),

G,mA

G

FG

G

GFT R

VV

VVV

)V/V(11)d/0d(T ≡=

+=

+==

, (4.427)

d.h., es werden bestimmte Feinanteile immer im Grobgut ausgetragen, sondern auch deren Neigung, d.h. die Trennschärfe. Aufgrund der eingangs der Ableitung zugrunde gelegten Voraussetzungen gilt Gl.(4.56) für den STOKES-Bereich der Partikelumströmung. Mit dem Ex-ponenten α = 0,5 bis 2 erhält man daraus die Gleichung für die Trennfunktion, die für beliebige Re-Bereiche anwendbar ist: - α = 1/2 NEWTON-Bereich; - 1/2 < α < 2 Übergangsbereich; - α = 2 STOKES-Bereich;

α−+=

)d/d(1GF

TT)V/V(1

1)d/d(T (4.428)

Folie 4.31.5b verdeutlicht den Einfluss von α, das zur Vereinfachung für den Gesamtbereich 0 ≤ d/dT ≤ (d/dT)max als konstant angenommen wurde, für

4V/V GF = . Man erkennt deutlich, dass im STOKES-Bereich die Trennschärfe

am höchsten ist. In genügend verdünnten Suspensionen kann Dt,s ≈ Dt, d.h. der turbulente Diffusionskoeffizient der Partikeln näherungsweise gleich dem des Fluides gesetzt werden. 4.3.3 Turbulente Gegenstromklassierung

Bei der Gegenstromklassierung ist das Kraftfeld entgegen der Fluidströmung bzw. entgegen ihrer für die Trennung wesentlichen Grobgutkomponente ge-richtet (Folie 4.32). Dieses Wirkprinzip wird sowohl für die Hydroklassierung als auch für die Windsichtung technisch genutzt.

Im Allgemeinen werden bei der Gegenstromklassierung feiner Partikeln

1dvduRef

fs

f

frP <

ηρ⋅⋅

≈η

ρ⋅⋅= , (4.429)

)d(vu s≈ turbulente Strömungsverhältnisse im Prozessraum vorherrschen

f

f0DuReη

ρ⋅⋅= , (4.430)

287


D0 charakteristische Prozessraumabmessung (Durchmesser oder Breite) u mittlere charakteristische Fluidgeschwindigkeit

230010...10d

DReRe 640P >=⋅= (4.431)

z.B. 46 10m10100

m11Re =⋅⋅

= − , so dass nur die turbulente Gegenstromklassierung

behandelt wird. Deshalb ist bei der Modellierung dieser Klassierprozesse ebenfalls davon auszugehen, dass sich dem konvektiven Partikeltransport ein diffusiver überlagert /5.1//5.2//5.4./ bis /5.7/. Letzterer hat seine Ursache in der Strömungsturbulenz und insbesondere bei Windsichtprozessen auch in Stößen der Partikeln untereinander sowie gegen die Klassiererwände. Im Nachfolgenden soll ein verallgemeinertes Modell für die turbulente Gegenstromklassierung kurz vorgestellt werden (Folie 4.33) /5.1//5.2/5.19/. Gemäß Folie 4.32 strömt das Fluid mit der Geschwindigkeit u durch den Klassierraum aufwärts nach oben (positive Koordinatenrichtung). Anstelle der stationären Sinkgeschwindigkeit vs(d) in Richtung des Kraftfeldes nach unten (negative Koordinatenrichtung) muss jetzt die Partikelabsolutgeschwindigkeit va(d) im ortsfesten Koordinatensystem des Apparates betrachtet werden:

)d(vu)d(v sa

−= . (4.2)

• Für Grobgut ist vs(d) > u; die Partikel werden mit einer negativen Absolutgeschwindigkeit nach unten ausgetragen - Unterlauf (Index 1).

• Für Feingut ist vs(d) < u; die Partikeln werden mit einer positiven aber ge-ringeren Absolutgeschwindigkeit im Vergleich zu u (Schlupf) nach oben ausgetragen - Oberlauf (Index 2).

• Das Trennkorn schwebt im Raum; Die Partikelabsolutgeschwindigkeit ist gleich Null 0)d(vu)d(v sa =−=

oder u)d(v TsT = . Der ständige Aufgabe-

strom führt zu einer 50%-igen Trennwahrscheinlichkeit in Ober- und Unter-lauf.

Die Gesamtlänge L oder H der Klassierzone setzt sich aus den beiden Teil-längen unterhalb H1 und oberhalb H2 des Aufgabeniveaus zusammen. Es wird die modifizierte Fokker-Planck-Gleichung (4.406) herangezogen (sie bilanziert die Verteilungsdichte eines stetigen MARKOFF-Prozesses):

2i,n

2

s,ti,n

i,ai,n

yc

Dy

cv

tc

∂∂

⋅+∂

∂⋅−=

∂∂

(4.406)

Die Lösung von Gl. (4.406) und die damit verbundene mathematische Erfas-sung von Aufstromtrennungen ist von der Aufstellung geeigneter Randbedin-gungen abhängig: Als erster Lösungsschritt wird der zeitliche Zuwachs der Wahrscheinlichkeit für das Verlassen der Partikel aus den Trennraumgrenzen -y1 und y2 betrachtet:

288


12 yy

i,ns,ti,na

yy

i,ns,ti,na

i,n

yc

Dcvy

cDcv

tc

−==

∂∂

⋅−⋅−

∂∂

⋅−⋅=∂

∂ (4.432)

Die Randbedingungen für den flächenbezogenen Partikelanzahlstrom lassen sich nun in Anlehnung an SENDEN44, BÖHME45, SCHUBERT46 und RUMPF47 wie folgt formulieren48, Bild Folie 4.32: 0. Aufgabe:

Die Partikelanzahlkonzentrationen sind hier miteinander verknüpft:

i,0,ni,II,ni,I,n c)0y(c)0y(c ==== . (4.433)

I. Grobgutaustrag (Unterlaufaustrag): Am Grobgutaustrag wird angenommen, dass die Partikeln ohne Rückvermi-schung 0y/cD i,G,ns,t =∂∂⋅ entgegen der positiven y-Richtung ausgetragen

werden (- Vorzeichen). • Aufstromhydrotrennung:

Austrag mit einer mittleren Fluidgeschwindigkeit uG zur Gewährleistung der Fließfähigkeit der Grobgutsuspension:

i,l,nGi,li,G,ni,G,ayy

i,G,ns,ti,G,ni,G,ai,G cukcv

yc

Dcvn1

⋅−≡−≈

∂

∂−−=

−=

(4.434)

• Gegenstromwindsichtung Austrag mit der Partikelsinkgeschwindigkeit vs (ruhendes Fluid) des je-weiligen Schwere- oder Zentrifugalkraftfeldes GF

, ZF

:

i,l,ni,G,si,li,G,ni,G,ayy

i,G,ns,ti,G,ni,G,ai,G cvkcv

yc

Dcvn1

−≡−≈

∂

∂−−=

−=

(4.435)

Der Parameter k1 ist für jeden Sichter und jedes Sichtgut experimentell zu bestimmen und entspricht bei einer Partikelanreicherung an der Pro-zessraumgrenze des Grobgutaustrages cn,1 ≥ cn,G dem Verhältnis

1)d(v/)d(vuk 95s95s1 <−= der oberen Partikelgröße des Grobgutes49.

II. Feingutaustrag (Oberlaufaustrag):

Dr.- Ing.habil. J. Tomas 1992 44 Senden, Diss. TU Delft 1979 45 Böhme, St., Freiberger Forschungsheft A 785 (1989) S. 1 - 69 46 Schubert, H., Chemische Technik 38 (1986) 7, S. 290 - 293 47 Rumpf, H., Sommer, K. u. M. Stieß, Berechnung von Trennkurven für Gleichgewichts-sichter, Manuskript 1974 48 ⇒ -Vorzeichen für -Dt,s

.∂cn/∂y und für den Grobgutstrom im Unterlauf?, deshalb wurde aus physikalischen und didaktischen Gründen die Wahl der -Vorzeichen bei den Bilanzen korrigiert 49 Husemann, K., Aufbereitungstechnik 31 (1990) 7, S. 359 - 366

289


Am Feingutaustrag wird angenommen, dass insbesondere die feinen Parti-keln schlupflos mit der Fluidgeschwindigkeit u ohne Rückvermischung

0y/cD i,F,ns,t =∂∂⋅ ausgetragen werden (siehe Gl.(4.432))

i,2,ni,2i,F,ni,F,a

yy

i,F,ns,ti,F,ni,F,ai,F cukcv

yc

Dcvn2

⋅⋅≡⋅≈

∂

∂⋅−⋅=

=

. (4.436)

Der Parameter k2 ist ebenfalls für jeden Sichtertyp und jedes Sichtgut expe-rimentell zu bestimmen und entspricht bei einer Partikelanreicherung an der Prozessraumgrenze gegenüber dem Feingutaustrag cn,2 ≥ cn,F dem Verhältnis

[ ] 1)d(v/)d(vuk isis2 <−= für eine charakteristische untere

Partikelgrößenklasse i des Feingutes. Die Proportionalitätsfaktoren k1 und k2 kennzeichnen die Austrittsbedingungen der Partikel am Grobgut- bzw. Feingutaustrag, Bild Folie 4.32. • So bedeuten k1 = ∞ bzw. k2 = ∞, dass alle Partikel, die den Grobgut- bzw.

Feingutaustrag erreichen, sofort und ohne Rückvermischung mit unendlich hoher Geschwindigkeit ausgetragen werden. Daraus folgt für die Partikelkonzentrationen am Austrag cn,G = cn,F = 0.

• Andererseits würde k1 = 0 und k2 = 0 bedeuten, dass weder am Grobgut- noch am Feingutaustrag Partikel ausgetragen werden - sog. „reflektierende Grenze“. Das würde aber der Voraussetzung widersprechen, dass ein statio-närer Prozess modelliert wird.

• Folglich gelten für die Austragskoeffizienten die Wertebereiche: 0 < k1 < ∞ 0 < k2 < ∞

Berechnung der absoluten Partikelkonzentration: Durch Integrieren der Randbedingungen gemäß Gln.(4.435) und (4.436) lässt sich für die unterschiedlichen Bereiche des Prozessraumes der Verlauf der ab-soluten Partikelkonzentration berechnen (Folie 4.32): I. Unterlaufbereich, -y1 ≤ y ≤ 0, negative Partikelabsolutgeschwindigkeit

va,I,i, Grobgutaustrag 1I yy −≥ bis Aufgabeebene yI = 0, - wegen der besseren

Übersichtlichkeit werden die Indizes I,i weggelassen:

⋅−⋅−=⋅⋅

dydcDcvcuk n

s,tna1,nGl . (4.437)

Nach Umstellung und Trennung der Variablen ergibt die Integration:

∫∫−

⋅=⋅⋅

+

y

ys,t

ac

c

a

l,nGln

n

1

n

1,n

dyDv

vcuk

c

dc ( )1s,t

a

a

l,nGl1,n

a

l,nGln

yyDv

vcuk

c

vcuk

cln +⋅=

⋅⋅+

⋅⋅+

290


( )

+⋅⋅

⋅⋅++

⋅⋅−= 1

s,t

a

a

l,nGl1,n

a

l,nGln yy

Dvexp

vcuk

cv

cukc

( ) ( )

+⋅⋅⋅++⋅−⋅= 1

s,t

aGlaGl

a

1,nn yy

Dvexpukvuk

vc

c (4.438)

oder mit Gl.(4.435) bzw. G1

G1,n uk

nc⋅

=

und man beachte, dass va < 0 ist:

( )

+⋅⋅

⋅

++−⋅= 1s,t

a

Gl

a

a

Gn yy

Dvexp

ukv11

vnc

. (4.439)

Der Verlauf der relativen Partikelkonzentration wird durch Normierung auf die Konzentration in der Aufgabeebene y = 0 bestimmt:

( )

⋅⋅

⋅

++−

+⋅⋅

⋅

++−

=

1s,t

a

Gl

a

1s,t

a

Gl

a

0,n

n

yDvexp

ukv11

yyDvexp

ukv11

cc . (4.440)

II. Oberlaufbereich, y2 ≥ y ≥ 0, positive Partikelabsolutgeschwindigkeit va,II,i,

Aufgabeebene yII = 0 bis Feingutaustrag 2II yy ≤ , wegen der besseren Über-

sichtlichkeit wurden die Indizes II,i weggelassen:

dydcDcvcuk n

s,tna2,n2 ⋅−⋅=⋅⋅ . (4.441)

Damit ergibt sich:

∫∫ ⋅=⋅⋅

−

22,n

n

y

ys,t

ac

c

a

2,n2n

n dyDv

vcuk

c

dc ( )yyDv

vcuk

c

vcuk

cln 2

s,t

a

a

2,n2n

a

2,n22,n

−⋅=⋅⋅

−

⋅⋅−

( )

−⋅−⋅

⋅⋅−+

⋅⋅= yy

Dvexp

vcuk

cv

cukc 2

s,t

a

a

2,n22,n

a

2,n2n

( ) ( )

−⋅−⋅⋅−+⋅⋅= yy

Dvexpukvuk

vc

c 2s,t

a2a2

a

2,nn (4.442)

oder mit Gl.(4.402) bzw. uk

nc2

F2,n ⋅

=

( )

−⋅−⋅

−

⋅+⋅= yy

Dvexp1

ukv1

vnc 2

s,t

a

2

a

a

Fn

(4.443)

mit der relativen Partikelkonzentration

291


( )

⋅−⋅

−

⋅+

−⋅−⋅

−

⋅+

=

2s,t

a

2

a

2s,t

a

2

a

0,n

n

yDvexp1

ukv1

yyDvexp1

ukv1

cc . (4.444)

Berechnung der Trennfunktion: Als Trennfunktion wird das Verhältnis von Grobgutmengenstrom zu Aufgabe-mengenstrom der Partikelgrößenklasse i bei konstanter Fluidgeschwindigkeit u definiert - mit der Komponentenbilanz i,Fi,Gi,A nnn += .

i,G

i,Fi,A

i,Gi

nn

1

1nn

T

+== für u = const. (4.445)

Da die absoluten Partikelkonzentrationen beider Bereiche I und II in der Auf-gabeebene identisch sein müssen, d.h. sowohl

i,0,ni,II,ni,I,n c)0y(c)0y(c ==== (4.446)

als auch i,II,ai,I,a vv ≈ , ergibt sich aus den Gln.(4.439), (4.443) und (4.445); man

beachte, dass im Unterlaufbereich I wegen vs,I > u die Partikelabsolutgeschwin-digkeit der festen Apparatekoordinaten I,sI,a vuv −= negativ ist:

⋅−⋅

−

⋅+

⋅⋅

⋅

++−

⋅⋅⋅

=

2s,t

II,a

2

II,a

1s,t

I;a

Gl

I,a

I,aI,n

II,aII,n

G

F

yDv

exp1uk

v1

yDv

expuk

v11

vcvc

nn

. (4.447)

Damit ist die Trennfunktion:

⋅−⋅

−

⋅+

⋅⋅

⋅

++−

+

=

2s,t

II,a

2

II,a

1s,t

I,a

Gl

I,aa

yDv

exp1uk

v1

yDv

expuk

v11

1

1))d(v(T . (4.448)

Mit den Austragskoeffizienten lässt sich die Trennfunktion den gemessenen Verläufen anpassen (Folie 4.32): • Für k1 = k2 ergeben sich um das Trennkorn herum symmetrische Verläufe

mit zunehmender Steilheit und damit Trennschärfe bei abnehmenden Austragskoeffizienten.

• Für k1 ≠ k2 folgt eine unsymmetrische Trennfunktion. Berechnungen der mittleren Verweilzeit:

292


Definitionsgemäß ergibt sich die mittlere Verweilzeit der Partikeln der Klasse i im Prozessraum

∫−

⋅=τ2

1

y

yn

Am dy)y(c

n1

bzw. (4.449)

+⋅=τ ∫ ∫

−

0

y

y

0llllll,nIII,n

Am

1

2

dy)y(cdy)y(cn1

. ( 4.450)

Die Integration der absoluten Partikelkonzentration in den jeweiligen Berei-chen führt zu (siehe BÖHME, Folie 4.32):

( )

⋅

+⋅−+

⋅

−⋅⋅=τuk

DyT1

ukD

yTv1

2

s,t2

Gl

s,t1

am . (4.451)

Unstetigkeitsstelle für das Trennkorn: Für das Trennkorn vs,T(dT) = u (Schwebegeschwindigkeit) ist die Partikelabso-lutgeschwindigkeit 0)d(vu)d(v TT,sTT,a =−= . Damit sind alle bisher abgelei-

teten Beziehungen nicht definiert. Um auch für diesen Wert zu Aussagen zu gelangen, ist entweder eine Grenzwertbetrachtung notwendig, wozu eine Rei-henentwicklung der Exponentialfunktion mit Abbruch nach dem linearen Glied vorgenommen werden muss (siehe BÖHME),

!nx...

!3x

!2x

!1x1e

n32x +++++=

oder man integriert die Randbedingungen (4.439) und (4.443) für va = 0. Bei-des führt zu linearen Verläufen der a) absoluten Partikelkonzentration im

I. Unterlaufbereich, -y1 ≤ y ≤ 0:

( )

+⋅+⋅

⋅

++−⋅=→ 1

s,t

a

Gl

a

a

Gn0v

yyDv1

ukv11

vnclim

a

( ) ( )

+/⋅⋅→

+⋅/++⋅/+/+/−⋅

/=

→ 1s,t

a

Gl

a

Gl

a1

s,t

a

a

Gn0v

yyDv

uk0v

ukvyy

Dv11

vnclim

a

++

⋅=

→s,t

1

GlGn0v D

yyuk

1nclima

(4.452)

und mit G1

G1,n uk

nc⋅

=

(4.453)

folgt die Geradengleichung:

293


( )

+⋅

⋅+⋅=

→ 1s,t

Gl1,nn0v

yyD

uk1cclima

(4.454)

Oder mit der Bilanzgleichung (4.439) für va = 0 (auf die Angabe ...lim0va →

wurde nachfolgend verzichtet):

dydcDcuk n

s,t1,nGl ⋅=⋅⋅ ∫∫−

⋅⋅⋅

=y

y1,n

s,t

Glc

cn

1

n

1,n

dycD

ukdc

( )

+⋅

⋅+⋅= 1

s,t

Gl1,nn yy

Duk1cc (4.455)

welche der Gl.(4.454) entspricht. II. Oberlaufbereich, y2 ≥ y ≥ 0:

( )

−⋅−⋅

−

⋅+⋅=

→yy

Dv11

ukv1

vnclim 2

s,t

a

2

a

a

Fn0va

( ) ( )

−⋅/⋅⋅

→−−⋅/+

⋅/⋅

/=

→yy

Dv

uk0vyy

Dv

ukv

vnclim 2

s,t

a

2

a2

s,t

a

2

a

a

Fn0va

−+

⋅⋅=

→s,t

2

2Fn0v D

yyuk

1nclima

(4.456)

und mit uk

nc2

F2,n ⋅

=

(4.457)

folgt die Geradengleichung:

( )

−⋅

⋅+⋅=

→yy

Duk1cclim 2s,t

22,nn0va

(4.458)

Oder mit der Bilanzgleichung (4.443), d.h. für va = 0 ist

dydcDcuk n

s,t2,n2 ⋅−=⋅⋅ ∫∫ ⋅⋅⋅

=−22,n

n

y

y2,n

s,t

2c

cn dyc

Dukdc

( )

−⋅

⋅+⋅= yy

Duk1cc 2s,t

22,nn (4.459)

welches wiederum Gl.(4.458) entspricht.

b) absolute Partikelkonzentration in der Aufgabeebene, y = 0: I. Unterlaufbereich, y ≤ 0:

⋅

⋅+⋅= 1

s,t

Gl1,n0,n y

Duk1cc (4.460)

Das bedeutet eine Anreicherung an Trennkorn in der Nähe der Aufgabe gegenüber dem Unterlaufrand bei y1.

II. Oberlaufbereich, y ≥ 0:

294


⋅

⋅+⋅= 2

s,t

22,n0,n y

Duk1cc (4.461)

Das bedeutet eine Anreicherung an Trennkorn in der Aufgabe.

c) Verlauf der relativen Partikelkonzentration I. Unterlaufbereich, y ≤ 0:

( )

1Gl

s,t1

s,t

Gl

1s,t

Gl

0,n

n

yuk

Dy1

yD

uk1

yyD

uk1

cc

+⋅

+=⋅

⋅+

+⋅⋅

+= (4.462)

II. Oberlaufbereich, y ≥ 0:

( )

22

s,t2

s,t

2

2s,t

2

0,n

n

yuk

Dy1

yD

uk1

yyD

uk1

cc

+⋅

−=⋅

⋅+

−⋅⋅

+= (4.463)

d) Trennfunktion

Mit den Gln.(4.454) und (4.459) folgt für y = 0 das Verhältnis

22

s,t

1G1

s,t

0,n

0,n

G

F

yuk

D

yuk

D

cc

nn

⋅+⋅

+⋅

⋅=

22

s,t

1Gl

s,t

G

F

yuk

D

yuk

D

1

1

nn1

1T

+⋅

+⋅

+

=+

=

(4.464)

e) Trennschärfe

Die Trennfunktion Gl.(4.448) lässt sich analytisch nicht nach der Partikel-sinkgeschwindigkeit umstellen. Deshalb kann eine Trennschärfe nur als An-stieg der Trennfunktion für das Trennkorn bei va = 0, u = uG für einen sym-metrischen Trennapparat (-y1 = y2 = H und k1 = k2 = k) angegeben werden. Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion liefert bei Abbruch nach dem quadratischen Glied den Grenzwert (siehe BÖHME):

( )[ ]( )

⋅⋅+

+⋅⋅

⋅α

==→κ

s,t

s,tT

TT

DHuk1

11D

Hu4d/dd

d/dTd)dd( . (4.465)

295


α Exponent des Widerstandsgesetzes der Partikelumströmung α = ½, NEWTON-Bereich, ½< α< 2 Übergangsbereich, α = 2 STOKES-Bereich;

Für große BODENSTEIN-Zahlen (überwiegend konvektiver Transport)

1D

HuBos,t

>>⋅

= (4.466)

folgt damit näherungsweise eine direkte Proportionalität von der abgeleite-ten Trennschärfe:

( )[ ]( ) Bo

4Bok111Bo

4d/ddd/dTd)dd(T

TT ⋅

α≈

⋅++⋅⋅

α==→κ . (4.467)

Lt. letztem Term würden kleinere Austragskoeffizienten k eine Zunahme der Trennschärfe und steilere Trennfunktionen bewirken.

f) mittlere Verweilzeit

( )

−⋅

⋅+⋅+⋅

+

⋅⋅⋅=τ T1

ukD

2yyT

2y

ukD

yD1

,2

s,t22

1

Gl

s,t1

s,tm (4.468)

Schlussfolgerungen für die Apparategestaltung:

Eine Bewertung dieses Modells der turbulenten Gegenstromklassierung liefert folgende wichtigen, im allgemeinen auch mit der Praxis übereinstimmenden Aussagen /5.1//5.2//5.19/ (Folie 4.34):

a) Für trennscharfe Klassierungen sind kleine Diffusionskoeffizienten Dt (Folie 4.34.1b) und somit wegen

00*

t DuuD2

⋅∝⋅Λ≈ (4.364)

kleine Klassierraumdurchmesser anzustreben. b) Mit zunehmender Höhe oder Länge des Klassierraumes wird die Trennschär-

fe verbessert (Molerus /5.4/) (Folie 4.34.2a).

( )

−−+

=

−+

=

ax

s

sax

s

s DHu)d(vexp

)d(vu1

1

DuH

u)d(v1exp

)d(vu1

1)d(T (4.469)

Dax ≈ Dt,s axialer Diffusionskoeffizient bei Rückströmung H Klassierraumhöhe oder -länge L

c) Hohe BODENSTEIN-Zahlen bedeuten wegen der Proportionalität des tur-bulenten Diffusionskoeffizienten zum Prozessraumdurchmesser D0 nach Beziehung (4.364) auch hohe Schlankheitsgrade des Trennapparates

296


1DH

DuHu

DHuBo

00s,t

>>=⋅⋅

∝⋅

= (4.470)

und wegen Gl.(4.467) somit auch hohe Trennschärfen (Folie 4.34.1a). d) Ungleiche Austragskoeffizienten, d.h. k1 ≠ k2, bewirken genauso wie un-

symmetrische Anordnungen der Produktausträge, d.h. H1 ≠ H2, dass die La-ge des Trennschnittes mehr oder weniger von der Lage abweicht, die durch u = vs(dT) gegeben ist (Folie 4.34.2b und c).

e) Um einer Partikelanreicherung im Klassierraum - insbesondere auch der der Trennkorngröße benachbarten Klassen - entgegen zu wirken, sollten die Austragkoeffizienten groß sein.

4.3.4 Kennzeichnung des Trennerfolges des Stromklassierprozesses Zur Kennzeichnung des Trennerfolges von Stromklassierprozessen werden ebenfalls die im Abschnitt 3.1 MVT_e_3neu.doc#Trennfunktion besprochenen Methoden benutzt. Dabei ist allerdings folgendes zu beachten: Bei den Stromklassierprozessen ist das Trennmerkmal die stationäre Sink-geschwindigkeit. Folglich muss der Trennerfolg auch auf Grundlage dieses Trennmerkmals beurteilt werden. Dies ist mit Hilfe der entsprechenden Metho-den der Partikelgrößenanalyse (Sichtmethoden, Sedimentationsmethoden) möglich. Deren Anwendung ist jedoch auf die Partikelgrößenklassen von etwa d < 40 bis 80 µm beschränkt, so dass - abgesehen von der Feinstkorn-klassierung - auf Sieb- oder andere geeignete Methoden der Partikelgrößen-analyse zurückgegriffen werden muss. Weiterhin sind die Besonderheiten des Verlaufes der Trennkurven von Strom-klassierprozessen zu beachten, die sich aus dem Wirkprinzip bzw. Trennmodell ergeben (siehe hierzu 4.3.2). Schließlich können sich Anomalien im Verlauf der Trennkurven daraus erge-ben, dass insbesondere das Fein- und Feinstkorn während des Prozesses agglo-meriert vorgelegen hat, aber bei der Partikelgrößenanalyse von Proben der Trennprodukte die Agglomerate bewusst gestört worden sind, denn für agg-lomerierte Partikeln ist die Sinkgeschwindigkeit der Agglomerate für das Trennverhalten bestimmend. Beispielsweise weist der Verlauf der Trennkurven von Hydrozylonklassierungen daraufhin, dass das Feinstkorn im Mikrometer-bereich teilweise geflockt oder als Anhaftung an gröberem Partikel (alime coatings) vorgelegen haben muss und die im Hydrozyklon auftretenden turbu-lenten Beanspruchungen offensichtlich nicht ausgereicht haben, um diese Ag-glomerate zu zerstören. Ähnliche Anomalien können im Verlauf der Trennkurven von Windsicht-prozessen auftreten, wobei insbesondere unter Feuchteeinfluss die Agglome-

297


rationseffekte auch größere Partikeln erfassen (Flüssigkeitsbrücken-Bindungen, siehe Abschnitt 6.1 MVT_e_6neu.doc#FH_FlBr).

(Folie 4.35)

4.4 Hydroklassierung 4.4.1 Schwerkraft-Hydroklassierer Unter Beachtung der besprochenen Grundmodelle und der apparativen Gestal-tung ist es zweckmäßig, die Schwerkraft-Hydroklassierer wie folgt zu unter-gliedern: a) Horizontalstromklassierer, auf die sich im Wesentlichen das Trennmodell

der laminaren Querstromhydroklassierung anwenden lässt, b) mechanische Klassierer, in denen das Klassiergrobgut mittels einer mecha-

nischen Austrag- bzw. Transportvorrichtung (Rechen, Schraube, Schnecke), u.a.) ausgetragen und dadurch auch eine mehr oder weniger intensive Trübeagitation bewirkt wird, so dass überwiegend das Trennmodell der tur-bulenten Querstromhydroklassierung anzuwenden ist.

c) Aufstromklassierer, deren Trennwirkung dem Modell der Gegenstromklas-sierung entspricht.

Für die apparative Gestaltung und die Betriebsweise von Horizontalstrom-klassierern lassen sich auf der Grundlage des Trennmodells die Forderungen ableiten, dass - der Suspensionsstrom möglichst wirbelfrei durch den Klassierraum zu leiten, - über Wehre das Feingut mit dem größeren Anteil der Flüssigkeit abzuziehen

und schließlich dafür Sorge zu tragen ist, dass - das Grobgut mit einem Minimum an Flüssigkeit so fließfähig gemacht, dass

dieses allein durch die Wirkung der Schwerkraft am Boden ausgetragen wird, ohne diesen zu verstopfen.

Die Oberfläche derartiger Klassierer weist - rechteckige bzw. - trapezförmige oder - runde Formen auf. Im ersten Fall erfolgt die Aufgabe an einer Seite, der Überlauf an der gegen-überliegenden. Runden Klassierern wird die Trübe in der Mitte zugeführt, und der gesamte Umfang ist als Überlaufwehr ausgebildet. Zur Erzeugung von Produkten verschiedener Feinheit lassen sich mehrere Klassierräume hintereinander schalten. Die Wirkungsweise eines Klassierkegels ist aus Folie 4.36.1 zu erkennen. Die Suspension wird einem zentralen Aufgaberohr zugeführt, das in den

298


Klassierraum eintaucht. Derartige Apparate setzt man vorzugsweise für Klassiergut mit - maximal 3 mm oberer Partikelgröße, - bei Trennkorngrößen zwischen 0,25 und 0,1 mm ein. Der für die Prozessführung wichtige kontinuierliche Grobgutaustrag lässt sich durch geeignete Austragregler (z. B. mit Schwimmern gesteuerte Ventile Folie 4.36.2) wesentlich verbessern /5.1./. Zur Verbesserung der Trennschärfe von Horizontalstromklassierern ist mit beachtlichem Erfolg von mehrstufigen Anordnungen Gebrauch gemacht worden (Folie 4.37.5). Diese Klassierer setzt man z. B. für die Erzeugung von Beton- und Gießereisanden ein, an die hohe Qualitätsforderungen zu stellen sind. Es lassen sich Trennkorngrößen zwischen dT = 0,05 und 0,15 mm bei κ = 0,33 bis 0,77 (bzw. 1,3 bis 3,0) erreichen, wobei die Phalanx-Schaltung (= Gegenstrom-Reihenschaltung zur Feingutnachreinigung!) für die feineren Trennkorngrößen vorzuziehen ist. Die wichtigsten mechanischen Klassierer bestehen aus einem flach geneigten Klassiertrog, in dem eine mechanische Austragvorrichtung das Grobgut auf dem Trogboden zum Austrag fördert (Folie 4.37.3). Diese Förderelemente geben der jeweiligen Bauart den Namen. Die Klassiertrübe wird etwa in der Mitte des Trübespiegels aufgegeben. Der Feingutüberlauf befindet sich am un-teren Trogende, der Grobgutaustrag am oberen. Beim Rechenklassierer (Folie 4.37.3a) übernimmt ein gitterähnlicher Rechen die Grobgutförderung. Dieser bewegt sich in vertikaler Ebene auf einer nahezu rechteckigen Bewegungsbahn. Der Trogquerschnitt ist rechteckig ausgebildet. Beim Schraubenklassierer (Folie 4.37.3b und Folie 4.38) wird das Grobgut von einer Schnecke am muldenförmigen Trogboden aufwärts bewegt. Bei grö-ßeren Klassierern arbeiten mehrere Rechen bzw. zwei Schrauben parallel. Der-artige Trogklassierer werden vor allem für Trennkorngrößen zwischen dT = 75 und 500 µm in Mahlkreisläufen von Nasskugelmühlen und teilweise auch zur Vorentwässerung von Sanden eingesetzt. Untersuchungen ergaben, dass Mo-delle der turbulenten Querstromklassierung die Trennwirkung dieser Klassierer in den meisten Fällen widerzuspiegeln vermögen /5.1.//5.3./. Die Rechenhubzahlen liegen bei den in der Praxis eingesetzten Klassierern zwischen etwa - n = 10 und 30 min-1, - die Umfangsgeschwindigkeiten der Schrauben betragen etwa vu = 15 bis 40

m/min. Da die turbulenten Diffusionskoeffizienten der Rechenklassierer Dt = etwa 0,004 bis 0,01 m2/s

wesentlich höher als die von Schraubenklassierern

299


Dt = etwa zwischen 0,0005 bis 0,0025 m2/s

liegen, werden mit letzterem entsprechend niedrigere Trennkorngrößen er-reicht. Aufstromhydroklassierer haben in neuerer Zeit eine beachtliche Entwicklung durchlaufen, die wesentlich von den Anforderungen der Baustoffindustrie mit-bestimmt worden ist /5.1.//5.17./. Der in Folie 4.39.1a dargestellte Klassierer, Bauart RHEAX, vermeidet durch die Formgestaltung eine Feststoffanreicherung im Prozessraum und ermöglicht hohe Trennschärfen (κ > 0,45 (< 2,2)) bei Trennkorngrößen zwischen dT = 0,4 und 2,5 mm. Der rotationssymmetrische Aufstromklassierer, Bauart SOGREAH (Folie 4.39.1b), kombiniert eine Dünnstromtrennung im oberen Teil des Klassier-raumes, wo das Grobkorn relativ schnell auf den Konus aussedimentiert und eine abwärts gleitende Schicht bildet, mit deren Nachklassierung im unteren Ringraum bei hoher Feststoffkonzentration (Dichtstromtrennung). Für Trennkorngrößen zwischen 0,1 und 1 mm werden κ-Werte > 0,67 (< 1,5) an-gegeben. Eine weitere Variante ähnlicher Art stellt der in Folie 4.39.1d dargestellte Aufstromklassierer, Bauart HYDROFORS dar. Bei Mehrkammer-Aufstromklassierern sind mehrere Klassierräume un-mittelbar hintereinander geschaltet, so dass sich entsprechend mehrere Trenn-schnitte realisieren lassen.

(Folie 4.40, Folie 4.41)

4.4.2 Zentrifugalkraft-Hydroklassierer Die Hydroklassierung in Zentrifugalkraftfeldern ist für Fein- bis Feinstkorn-abtrennungen wichtig. Zur Charakterisierung der im Vergleich zum Schwer-kraftfeld eintretenden Prozessintensivierung bzw. Erhöhung der Triebkraft eig-net sich das auf die Schwerebeschleunigung bezogene Beschleunigungsviel-fache (Froude-Zahl):

gru

gr

gaz tg

2

⋅=

ω⋅== . (4.471)

utg Tangentialgeschwindigkeit r Drehradius Es lassen sich zwei Gruppen von Zentrifugalkraftklassierern unterscheiden: - Die erste Gruppe (Hydrozyklone) besitzt einen feststehenden, vorwiegend

zylindrisch-konischen Behälter, dem die Suspension unter Druck durch eine

300


am Umfang angeordnete tangentiale oder evolutenartig ausgebildete Ein-laufdüse zugeführt und im Inneren zu Umlaufströmungen gezwungen wird.

- Die Apparate der zweiten Gruppe verfügen über einen rotierenden zylind-risch-konischen Behälter, in dem die Drehbewegung durch Wand- und Flüssigkeitsreibung auf die Suspension übertragen wird. Dieses Prinzip wird in Vollmantelzentrifugen realisiert, die aber in erster Linie für die mecha-nische Flüssigkeitsabtrennung (Sedimentation im Zentrifugalkraftfeld) und nur selten als Klassierer für Trennkorngrößen im Bereich weniger µm einge-setzt werden.

Andererseits benutzt man aber auch Hydrozyklone zum Eindicken sowie Klä-ren. Diese Prozesse der mechanischen Flüssigkeitsabtrennung kann man als Grenzfälle der Stromklassierung auffassen, bei denen die Trennkorngröße dT = 0 angestrebt wird, die sich jedoch praktisch nur näherungsweise erreichen lässt.

Ein Hydrozyklon normaler Ausführung ist in Folie 4.42.1 dargestellt, die Hauptströmungen verdeutlicht Folie 4.42.2. Die Einlaufströmung wird auf-grund der Zyklongeometrie zu einer äußeren, abwärts gerichteten Umlaufströ-mung (Außenwirbel) gezwungen.

Infolge der Drosselwirkung des unteren konischen Teils mit der Unterlaufdüse (2) werden vom abwärts gerichteten Außenwirbel laufend Teile zu einer inne-ren, aufwärts gerichteten Wirbelströmung (Innenwirbel) umgelenkt (Folie 4.42.5). Die Teile des Außenwirbels, die weit in den Hydrozyklonunterteil vor-dringen, werden weitgehend durch die Unterlaufdüse ausgetragen, während die aufsteigenden Teile des Innenwirbels vor allem durch die Überlaufdüse (3) (Wirbelsucher) den Hydrozyklon verlassen. Da die REYNOLDS-Zahlen der Hydrozyklonströmungen Re = 105 bis 106 betragen, so liegen hochturbulente Strömungsverhältnisse vor. Infolgedessen lässt sich die Trennwirkung nur mit Hilfe entsprechend angepasster Modelle der turbulenten Querstromklassierung widerspiegeln /5.1./ bis 5.3./ /5.18./ /5.20/. Gemäß dem Modell der turbulenten Querstromhydroklassierung ist da-von auszugehen, dass sich für jede Partikelgrößenklasse mehr oder weniger unabhängig voneinander eine radiale Konzentrationsverteilung unter der Wirkung von Sedimentationsstrom im Zentrifugalkraftfeld und turbulente Dif-fusionsstrom einstellt (Folie 4.42.5, beachte hierzu auch Abschn. 4.2.2.3). So-mit kommt die Klassierwirkung dadurch zustande, dass sich die gröberen Partikelklassen durch die Feldkraft vor allem im Außenwirbel anreichern und durch die Unterlaufdüse ausgetragen werden.

301


Da der Überlaufstrom den Unterlaufstrom im Allgemeinen bedeutend über-wiegt GF VV >> , so gelangen die sich in der Hydrozyklonströmung gleichmäßi-

ger verteilenden feineren Anteile (weitestgehend unabhängig von der zu Zentri-fugen vergleichsweise geringen Beschleunigung) vor allem in den Überlauf (Folie 4.42.4). Charakteristisch für die Arbeitsweise der Hydrozyklone ist weiterhin, dass sich um die Zyklonachse ein "Luftkern" ausbildet (Folie 4.42.4). Die Flüssigkeits-oberfläche am Luftkern ist somit eine freie Flüssigkeitsoberfläche im Zentrifu-galkraftfeld, und man kann infolgedessen den Abfluss der Trübe aus dem Zykloninnern als Strömung über Wehre auffassen, die von Unter- und Über-laufdüse gebildet werden. Eine gute Trennwirkung des Hydrozyklons setzt eine stabile Wirbelströmung voraus. Dies ist dann gewährleistet, wenn die Zyklonströmung durch genügend hohe REYNOLDS- und FROUDE-Zahlen charakterisiert ist /5.21./. Ist die kinetische Energie der als Unterlauf austretenden Wirbelströmung noch ausreichend groß, so hat dieser Austrag das Aussehen eines Sprühkegels. Ist die kinetische Energie der Wirbelströmung im Unterteil mehr oder weniger aufgezehrt, so tritt der Unterlauf strangförmig aus. Die Art des Unterlaufaustrages wird wesentlich von den Fließeigenschaften und damit auch vom Feststoffvolumenanteil in der Unterlaufsuspension mitbe-stimmt ϕs < 0,35. Weiterhin sollte die Aufgabesuspension möglichst stoßfrei durch die Aufgabe-düse in den Hydrozyklon einströmen. Dies begünstigen eine entsprechende ausgebildete Einlauf-Evolute und die Abstimmung des Zyklondurchmessers D mit den Einlauf-, Oberlauf- und Unterlaufdüsendurchmessern Di, Do, Da. Fol-gende Abmessungsbereiche sind empfehlenswert: - Di = (0,15 bis 0,25) ⋅D, - Do = (0,2 bis 0,4)⋅D,

- Da = (0,2 bis 0,8) ⋅Do. (4.472)

Wichtig für die Trennwirkung des Hydrozyklons ist das Verhältnis der Sus-pensionsvolumenströme GFao V/VV/V = .

Dies wird in erster Linie vom Düsenverhältnis, aber auch noch von anderen Einflussgrößen mitbestimmt. Dafür ist kein allgemeingültiger Zusammenhang angebbar (siehe z.B. /5.22./ /5.23./). Von den einfachen empirisch gewonnenen Zusammenhängen, die offensichtlich vor allem für Dünnstromtrennungen be-friedigen (ϕs = 5 bis 10%), sind zu nennen: a) nach PLITT /5.23./:

4...3

a

o

G

F

a

o

DD

VV

VV

≈=

, (4.473)

302


b) nach TARJAN /5.24./ 3

a

o

G

F

a

o

DD91,0

VV

VV

⋅≈=

. (4.474)

Zur Berechnung der theoretischen Trennschärfe (reziproke Partikelstreu-ung) einer Hydrozyklontrennung erhält man unmittelbar aus den Gln.(4.425) und (4.474):

( )[ ]( )[ ]

2/1

3ao

3ao

75

25

D/D73,2lnD/D303,0ln

dd

⋅⋅

==κ . (4.475)

Demgegenüber ist zur Berechnung der Trennkorngröße dT eine entsprechende Anpassung der Gl.(4.424) unter Beachtung der Folie 4.42.5 notwendig /5.1./ bis /5.3./ /5.18./ /5.20/. Diese liefert unter der Voraussetzung, dass sich die Sinkgeschwindigkeit im Zentrifugalkraftfeld durch die Gln.(4.299) und (4.422) beschreiben lässt, zunächst:

2/1

G

Fs,t

lstheorT V

Vlnh1

aD

)(18

kk1kd

⋅⋅⋅

ρ−ρη⋅

⋅⋅

⋅=ϕψ

. (4.476)

ktheor Konstante zur Anpassung an die Hydrozyklongeometrie Für die weitere Modellentwicklung sind Substitutionen erforderlich, die teil-weise auch wesentliche Vereinfachungen darstellen. Es soll gelten: kψ ≈ 1 kugelförmige Partikeln

( )ns1k ϕ−=ϕ , d.h. ( )n

sss 1v/v ϕ−=ϕ , (4.477)

n = 4,65 für Re < 1 wobei gemäß Gl.(4.199) n = 4,65 zu setzen wäre, da der Ableitung zugrunde gelegt wurde, dass sich die Sinkgeschwindigkeit im Zentrifugalkraftfeld durch Gl.(4.56) erfassen lässt. Mit den folgenden Ähnlichkeitsbeziehungen:

Du108DD tg4

ts,t ⋅⋅⋅≈≈ − (4.478)

Du

ru

a2

max,tg2tg ∝≈ (4.479)

Trmaxmax,tg

p2uuρ∆

⋅∝≈ da auch 2

up2

Tri ⋅ρ≈ (4.480)

Dh ∝ (4.481)

∆p wirksames Druckgefälle der Hydrozyklonströmung; im Allgemeinen gilt: ∆p = pi pi Einlaufdruck ρTr Suspensions- oder Trübedichte und Gl.(4.474) folgt aus Gl.(4.476):

303


( )[ ]( ) ( )

2/1

Trilsn

s

3ao

theorT /p1D/D91,0lnDkd

ρ⋅ρ−ρ⋅ϕ−⋅⋅⋅η

⋅= . (4.482)

Auf Grundlage der für die Ableitung getroffenen Voraussetzungen gilt diese Beziehung (4.482) mit n = 4,65 für Dünnstromtrennungen, d. h. - etwa ϕs = 5...10 % in der Aufgabe; - sehr feine Aufgabepartikelgrößenverteilungen, Zentralwert d50 ≤ 20 µm; - Hydrozyklondurchmesser etwa D ≤ 50 mm. Weiterhin bedarf Gl.(4.482) auf Grundlage des Vergleiches von berechneten und praktisch erzielten Werten entsprechender Anpassungskorrekturen, die jedoch die grundsätzliche Leistungsfähigkeit des Modells nicht in Frage stellen. Die empirische Anpassung wird mittels der Konstanten kexp vorgenommen, die ktheor ersetzt und durch den erwähnten Modellvergleich zu gewinnen ist. Da Hydrozyklone hinsichtlich der speziellen Prozessraumgestaltung - zylindrisch-konische Ausführung, - Form der Düsen, - Oberflächenrauhigkeit der Wandungen usw., nicht genormt sind und vielfältig variiert werden können, ist bei höheren An-forderungen an die Genauigkeit eine spezielle Anpassung der Konstanten an den jeweiligen Hydrozyklontyp vorzunehmen. Erfahrungsgemäß kann die Partikelgrößenverteilung des Aufgabegutes einen ausgeprägten Einfluss auf die Trennkorngröße ( ))d(Qfd A,3T = ausüben. Dies lässt sich vom Standpunkt

des Modells der turbulenten Querstromhydroklassierung wie folgt erklären. Bei höheren Feststoffkonzentrationen in der Aufgabesuspension wird die Tur-bulenz hinter dem Hydrozykloneinlauf wesentlich gedämpft. Diese Dämpfung ist bei gleichem Feststoffvolumenanteil um so ausgeprägter, je feinkörniger der Feststoff ist (Beeinflussung der Fließfähigkeit der Trübe!) /5.25./. Infolgedes-sen kann es auch zu einer Feststoffabscheidung an der Hydrozyklonwandung kommen, und der eigentliche Trennvorgang im Sinne einer Dünnstromklassie-rung vollzieht sich nur noch mit dem Feststoffanteil, der im Suspensionszu-stand verbleibt. Die Berücksichtigung dieses Einflusses auf dT ist gegenwärtig nur empirisch möglich, wofür ein Korrekturfaktor kd eingeführt wird. Um Gl.(4.482) für die überschlägliche Berechnung der Trennkorngröße in einem breiteren Bereich der Hydrozyklonanwendung weiterzuentwickeln, sind mit - n = 3 als angenommener mittlerer Wert - für etwa 300 Hydrozyklonanwendungsfälle mit D = 15 ...1400 mm, - ϕs = 0,01...0,4 in der Aufgabe sowie - Zentralwerte d50 ≤ 200 µm der Aufgabekorngrößenverteilungen die Anpassungskonstanten mittels Regressionsanalyse bestimmt worden. Da-nach ergibt sich dT wie folgt:

304


( )[ ]( ) ( )

2/1

Trils3

s

3ao

dT /p1D/D91,0lnDk284,0d

ρ⋅ρ−ρ⋅ϕ−⋅⋅⋅η

⋅⋅= , (4.483)

wobei gilt (d50 und D in m; ρs, ρl in kg/m3): m

ls50d D

d220k

ρ−ρ⋅⋅=

≥<⋅

=m1,0Dfür5,0m1,0DfürD5

m . (4.484)

Mit Hilfe Gl.(4.483) kann ein breiter Bereich der Hydrozyklonklassierung überschläglich erfasst werden. Für ausgesprochene Dünnstromtrennungen - ϕs < 0,1 - feiner Körnungen (d50 ≤ 20 µm; - D ≤ 50 mm) geht - kd → 1. Überhaupt können trennscharfe Klassierprozesse feiner und feinster Körnungen wegen der intensiven Rückwirkung der Partikeln auf die Fluidströmung nur als Dünnstromtrennungen verwirklicht werden. Andererseits zeigen die Ergebnis-se, dass bei Trennungen gröberer Körnungen in - größeren Hydrozyklonen (D ≥ 100 mm) und - bei höheren Aufgabefeststoffgehalten - der Faktor kd Werte im Bereich 0,2 ≤ kd ≤ 5 annehmen kann. Für derartige Fälle wird demnach der Partikelgrößeneinfluss dominierend. Of-fensichtlich bedürfen die bisher ausgearbeiteten Trennmodelle für derartige Dichtstromtrennungen einer Erweiterung (siehe hierzu /5.18./). Gegebenenfalls lässt sich der Einfluss des Feststoffvolumenanteiles auf die Viskosität in Gl.(4.483) berücksichtigen:

2

max,ss

slTr /1

25,11

ϕϕ−ϕ⋅

+⋅η=η (4.203)

für ϕs < 0,30; mit ϕs,max = 0,63 ...0,84 (lt. Stieß MVT II S. 169); besser aber etwa ϕs,max = 0,35 ... 0,5, da dies die Fließfähigkeitsgrenze des Unterlaufes ist! Der Suspensionsdurchsatz ZyklV eines Hydrozyklons lässt sich befriedigend mit

folgender Formel vorausberechnen /5.22./:

Tr

ioiZykl

pDDkVρ

⋅⋅⋅= α mit (4.485)

kα = 1/3,6 für α = 20°, 2,0/225,0k α=α mit α := α⋅π/180 in Bogenmaß.

Nach den Gln.(4.482) bzw. (4.483) sind niedrige Trennkorngrößen mittels - kleinem Hydrozyklondurchmesser D und/oder - kleinen GF VV / - bzw.

305


- Do/Da - Verhältnisses realisierbar. Letzteres wirkt sich aber gemäß Gl.(4.475) nachteilig auf die Trennschärfe aus. Deshalb ist es üblich, für niedrige Trennkorngrößen kleine Hydrozyklone, für höhere entsprechend größere einzusetzen. Der Konuswinkel α ist von Einfluss auf die Verweilzeit und wahrscheinlich auch für die Turbulenzintensität des Fluids. Klassierhydrozyklone weisen gewöhnlich Konuswinkel von 20° auf. Zum Eindicken und Klären werden Konuswinkel 10° vorgezogen. Die Ausbildung einer stabilen Wirbelströmung erfordert einen Mindestaufga-bedruck pi. Zu hohe Aufgabedrücke sind vom Standpunkt des Verschleißes abzulehnen. Praktisch kommt etwa der Bereich von pi = 30 bis 400 kPa in Be-tracht, und zwar die untere Grenze für relativ grobe, die obere für relativ feine Klassierung. Am meisten verbreitet sind zylindrisch-konische Einzelhydrozyklone. Größere Zyklone (D = 150 bis 1600 mm) werden gewöhnlich aus Stahlblech oder Spe-zialgusseisen gefertigt. Zur Verschleißminderung werden zunehmend die In-nenflächen gummiert oder auf andere Weise geschützt. Für kleinere Hydrozyk-lone kommt neben der Blech- oder Gussausführung die Herstellung aus Hart-porzellan oder Kunststoff in Betracht. Mehrere Einzelzyklone können zu Gruppenanordnungen zusammengestellt werden. Für sehr niedrige Trennkorngrößen setzt man Multizyklone ein, die in einem Block untergebracht sind. Zylindrisch-konische Hydrozyklone werden verbreitet für die Hydroklassierung bei Trennkorngrößen zwischen etwa dT = 3 ... 250 µm eingesetzt (Folie 4.43). Es zeichnet sich neuerdings ab, dass durch vollzylindrische Hydrozyklone das Anwendungsgebiet bis zu etwa dT = 500 µm erweiterbar ist /5.27, 5.28/.

(Folie 4.44, Folie 4.45, Folie 4.46)

4.5 Windsichten 4.5.1 Prozessziele des Windsichtens Für die Trockenklassierung bei Trennkorngrößen von wenigen µm bis zu etwa 0,5 mm und evtl. darüber wird verbreitet die Windsichtung (Aeroklassierung) eingesetzt. Als Trennmerkmal ergibt sich aus den auf die Partikeln wirkenden konkurrie-renden Kräften die Sinkgeschwindigkeit vs. Da sie Größe, Form und Dichte der Partikeln enthält, kann durch Windsichten sowohl klassiert als auch sortiert werden. Produkte mit nahezu einheitlicher Phasenzusammensetzung (z.B. Ze-ment) werden nach ihrer Feinheit (Partikelgröße) klassiert, während Produkte mit etwa einheitlicher Partikelgröße, aber verschiedener Form und Dichte nach

306


diesen beiden Kriterien sortiert werden. Das schon sprichwörtliche klassische Beispiel für den letztgenannten Prozess ist die „Trennung von Spreu und Wei-zen“ im Wind. Großtechnisch angewandt wird die Windsichtung sehr häufig im Zusammen-wirken mit Mühlen. Im Mühle-Sichter-Kreislauf wird das gemahlene Produkt einem Sichter aufgegeben, der das ausreichend Feingemahlene (Feingut) als Produkt austrägt, während das Grobgut zurück in die Mühle geführt wird (s. hierzu auch Abschn. 5.3 MVT_e_5.doc). Mühlen, bei denen der Sichter im gleichen Gehäuse integriert ist, heißen „Sichtermühlen“. Auch in der Landwirtschaft, in der holzverarbeitenden und in der Ernährungs-Industrie findet die Windsichtung zur Reinigung von Getreide und Hülsen-früchten, zur Trennung von Spänen u.ä. verbreitet Anwendung. 4.5.2 Partikeltrennung in einer Wirbelsenke 4.5.2.1 Modell der Spiralwindsichtung und Trennkorngröße Durch die gedankliche Auftrennung der Strömung in eine radiale und eine tan-gentiale Komponente kann eine Analogie zur Klasssierung in senkrechter Auf-wärtsströmung im Schwerefeld hergestellt werden: • Radial „nach außen“ entspricht im Schwerefeld der Richtung „nach unten“, • während die trennende Widerstandskraft hier „nach innen“ und im Schwere-

feld „nach oben“ gerichtet ist (siehe Tabelle 4.8 und Folie 4.47.1a). Das für den Trenn- bzw. Klassiereffekt maßgebliche Kriterium ist nun, ob ein Partikel in diesem Strömungsfeld unter dem Einfluss der konkurrierenden Kräfte als Grob- bzw. Schwergut nach außen, oder als Fein- bzw. Leichtgut nach innen transportiert wird, Tabelle 4.8:

Tabelle 4.8: Partikeltrennung in einer Strömung unter der Wirkung eines Schwerkraft- oder Fliehkraftfeldes

Richtung des Massenkraft-

feldes Richtung der trennen-den Strömungskraft

Schwerkraftfeld nach unten nach oben Fliehkraftfeld nach außen nach innen Trennprodukt Grob- oder Schwergut Fein- oder Leichtgut

Entsprechend der Schwerkraft-Sedimentation gibt es auch hier ein Gleichge-wichtskorn. Unter der Bedingung, dass die radiale Strömungsgeschwindigkeit ur(r) (nach innen) und die radiale Sinkgeschwindigkeit vs,r(r) des Partikels rela-tiv zur Strömung (nach außen) gleich sind, bleibt dieses Partikel, absolut gese-hen, auf einem bestimmten Radius in der Schwebe, rotiert also auf einer Kreis-

307


bahn. Indizieren wir die Größe dieses Gleichgewichtspartikels wieder mit “T“ (für Trennkorngröße), so erhalten wir aus der Gleichgewichtsbedingung

)r(u)r(v rT,r,s = (4.486)

und mit den Gln.(4.56) und (4.287)

( )( ) ( )ru

rur18)r(d 2gs

rT

ϕ⋅ρ−ρ⋅⋅η⋅

= . (4.487)

Mit den Beziehungen Gl.(4.286) und (4.291) für eine logarithmische Spiralen-strömung (Folie 4.22d) folgt daraus:

( ) r.constrc

c18)r(d 21gs

2T ⋅=⋅

⋅ρ−ρ⋅η⋅

= (4.488)

Die Trennkorngröße ist also an jeder Stelle eine andere und wird mit dem Ra-dius linear größer. Die Trennzone in einem Apparat mit einer solchen Spiralenströmung (Folie 4.47.1a und b) liegt zwischen einem Innenradius ri und einem Außenradius ra. Zum Grob- oder Schwergut werden nur diejenigen Par-tikeln verwiesen, die den Außenradius ra erreichen, deren Partikelgröße dT also mindestens

( ) aa21gs

2aT r.constr

cc18)r(d ⋅=⋅⋅ρ−ρ

⋅η⋅= (4.489)

beträgt. Und als Fein- oder Leichtgut werden die Partikeln nach innen ausge-tragen, die mit der Strömung den Innenradius ri passieren können. Ihre Parti-kelgröße kann höchstens den Wert

( ) ii21gs

2iT r.constr

cc18)r(d ⋅=⋅⋅ρ−ρ

⋅η⋅= (4.490)

annehmen. Dazwischen liegt ein Bereich prinzipieller Unschärfe der Trennung. Die Partikeln bleiben theoretisch auf dem ihrer Größe entsprechenden Radius „in Schwebe“ - Gleichgewichtssichtung. In Wirklichkeit werden sie wegen der Turbulenz der Strömung einerseits und wegen ihrer Anreicherung bei kontinu-ierlicher Gutzugabe auf einen solchen Trennapparat andererseits zufallsbedingt nach außen oder nach innen gelangen. Reale Spiralströmungen sind reibungsbehaftet. Dadurch weicht die Spiralenform von der logarithmischen ab. Die Radiusabhängigkeit wird schwä-cher - siehe Gl.(4.290), aber die weiteren Aussagen bleiben qualitativ gleich. Die Beziehungen (4.488) und (4.490) zeigen noch drei Tatsachen auf, die für die Gestaltung und Bewertung von Zentrifugalströmungs-Trennapparaten prin-zipielle Bedeutung haben: − der Unschärfebereich ist um so kleiner, je näher die beiden Radien ra und ri

bei einander liegen, je schmaler also die Trennzone ist;

308


− die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅ra des Trennap-parates größer, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit kleinen Durchmessern;

− die Trennkorngröße ist proportional zur Wurzel aus der Spiralensteilheit tanβ = c2/c1 und bei konstanter Steilheit umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Wirbelstärke c1:

( ) aa1gs

aT r.constrc

tan18)r(d ⋅=⋅⋅ρ−ρ

β⋅η⋅= ; (4.491)

− kleine Trennkorngrößen erfordern also große Umfangs- und kleine Radial-geschwindigkeiten, siehe Gl.(4.487).

4.5.2.2 Turbulenzmodell der Trennkorngröße Das Trennmodell der turbulenten Querstromklassierung soll hier für einen Abweiseradsichter - tangentiales Abweisen des Grobgutes aus dem radial in das Sichtrad eintretenden Luft- und Feingutstrom - Verwendung finden. Für das Trennpartikel gilt mit der Modellgleichung (4.422):

⋅=

G

F

R

s,tTsT V

VlnhD

)d(v

(4.492)

hR Rotorsteghöhe und mit der BODENSTEIN-Zahl als Maß für das Verhältnis des konvektiven zum diffusiven Partikeltransport:

=

⋅=

G

F

s,t

T,s

VVln

Dhv

Bo

. (4.493)

Da im Überlauf die gesamte Luft - der Feingutvolumenstrom s,Fg,F VV >> kann

vernachlässigt werden - und im Unterlauf nur die groben Partikeln ohne Luft (Leckluft vermeiden!) austreten, ist mit der mittleren Sichtluftbeladung

gsg,s m/m =µ

( )sG,mg

gs

G,ms

g,Fs

G,mssg,G

G,mssg,F

s,Gg,G

s,Fg,F

G

F

mRm

RmV

R/mVR1/mV

VVVV

VV

⋅⋅ρ⋅ρ

=⋅⋅ρ

≈⋅ρ+−⋅ρ+

=++

= .

g,sG,mg

s

G

F

RVV

µ⋅⋅ρρ

≈

(4.494)

Mit Hilfe der BODENSTEIN-Zahl lassen sich somit folgende Aussagen zu den Trennbereichen der turbulenten Querstromwindsichtung gewinnen: 1) für Bo < 1 oder 718,2eV/V GF =< , (ρs ≈ ρg, d → 0, sehr geringes vsT → 0,

hohe Turbulenzintensität Dt,s >> 0) beobachtet man eine homogene Kon-

309


zentrationsverteilung der Partikeln im Prozessraum (im Falle der Hydro-klassierung ist diese Grenze verschoben, d.h. Bohydro < 0,1);

2) für 1 < Bo < 15 oder 6GF 103V/Ve ⋅<< tritt eine ausgeprägte exponentielle

Konzentrationsverteilung der Partikeln im Prozessraum auf, (oder auch 0,5 < Bohydro < 50);

3) und bei Bo > 15 oder 6GF 103V/V ⋅> , (ρs >> ρg, d >> 0, sehr hohes vsT >>

0, geringe oder nahezu keine Turbulenzintensität Dt,s → 0) sedimentieren die schweren und groben Stücke aus, (d.h. Bohydro > 100).

Der turbulente Diffusionskoeffizient kann bei isotroper Turbulenz (ungefähre Gleichheit der mittleren Effektivwerte der Geschwindigkeitschwankungen) durch das Produkt einer charakteristischen Geschwindigkeit mal einer charak-teristischen Länge ausgedrückt werden; und zwar entweder durch die Radialge-schwindigkeit ru , Umfangsgeschwindigkeit ϕu oder Tangentialgeschwindig-keit, wobei die Vektoraddition (Folie 4.47.1b) rt uuu

+= ϕ gilt:

att,ta,tarr,tts,t ruDruDruDDD ⋅∝≈⋅∝≈⋅∝≈≈ ϕϕ . (4.495)

Die für den Grobkornabscheidung charakteristische Umfangsgeschwin-digkeit wird von der Ausbildung der mit dem Rotor mitlaufenden Wirbelwalze bestimmt. Damit gilt für den Diffusionskoeffizienten der Hauptströmung (je-weilige Tangentialrichtung) Dt,t ≈ Dt,ϕ:

amax,tatt,ta,t ruruDruD ⋅≈⋅∝≈⋅∝ ϕϕ (4.496)

amax,tt,tt,t rukD ⋅⋅= . (4.497)

Die Zentrifugalbeschleunigung 2Z r)r(a ω⋅= ist:

a2

max,t2t

2Z r/ur/ur/ua ≈≈= ϕ . (4.498)

Die Rotorsteghöhe hR sei für die radiale Feinkorndiffusion maßgebend:

iaR rrhh −== . (4.499)

Aus der Sinkgeschwindigkeit folgt die Trennkorngröße:

( )( ) RZgs

GFt,tT ha

V/VlnD18d

⋅⋅ρ−ρ⋅⋅η⋅

=

(4.500)

sowie mit den Gln. (4.497) und (4.498) ( )

( )( )

( ) Rgs

GFat,t

R2

max,tgs

GF2amax,tt,t

T hnV/Vlnrk9

h)r(uV/Vlnr)r(uk18

d⋅⋅ρ−ρ⋅π

⋅⋅η⋅⋅=

⋅⋅ρ−ρ⋅⋅/⋅η⋅⋅

= /

.

Im Vergleich mit dem Wirbelmodell Gl.(4.488) geht hier beim Turbulenzmo-dell für die Grobkornabscheidung der Rotorradius nicht so stark ein - für

0ri → würde sich sogar )r(fdT ≠ ergeben:

310


( )( ) ( )iags

GFaAWRST rrn

V/Vlnrkd−⋅⋅ρ−ρ

⋅⋅η⋅=

. (4.501)

Dimensionsvergleich: mm

smgkms

msmgk22

3

=/

/⋅/⋅//⋅/⋅/

⋅/⋅⋅/////

/

Die Maschinenkonstante des Abweiseradsichters kAWRS sollte aus Trennversu-chen mit einem Laborsichter ermittelt werden. Die Beziehung (4.501) lässt prinzipielle Schlüsse für die Gestaltung und Be-wertung von Zentrifugalradsichtern zu: − die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅ra der Trennma-

schine größer, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit kleinen Durchmessern; Diese Aussage entspricht qualitativ dem Wirbelsenken-modell nach Gl. (4.488);

− die Trennkorngröße hängt von der Rotordrehzahl und vom Durchsatz-verhältnis ab;

− kleine Trennkorngrößen erfordern also große Drehzahlen und Umfangsge-schwindigkeiten sowie kleine Luftdurchsätze und damit Radialgeschwindig-keiten.

Für eine überschlägige Auslegung kann darüber hinaus auch wie folgt vorge-gangen werden: Die für die Feinkornabscheidung und -transport charakteristische Radialge-schwindigkeit wird vom Durchsatz der Luft,

ρ

ρ⋅µ⋅−+⋅=

ρ⋅⋅

ρ+=

ρ⋅⋅+=+=

s

gg,sG,mg

g

gg

s

s,Fg

g

ggs,Fgs,FgF

)R1(1V

mVm

Vm

VVVVVV

,

d.h. Fg VV ≈ , durch die freie Rotormantelfläche bestimmt:

RaAM

F

f,RM

gr lr2k

VA

Vu

⋅⋅π⋅⋅==

(4.502)

RMf,RMAM A/Ak = Flächenanteil des freien Rotordurchtrittsquerschnittes

lR Schaufel- bzw. Rotorlänge

( )( ) ( )iaRAM

2ags

GFFr,tT rrlkr2

V/VlnVk18d

−⋅⋅⋅ω⋅⋅ρ−ρ⋅π⋅⋅⋅η⋅⋅

=

( )( )

( )iaRa2

GFF

gsAM3

r,tT rrlrn

V/VlnVk4

k9d

−⋅⋅⋅⋅

⋅ρ−ρ

η⋅

⋅π⋅⋅

=

Dimensionsvergleich: mmmms

smgkms

msmgk 23

22

3

=/⋅/⋅/⋅/

/⋅/⋅//⋅/⋅/

⋅/⋅⋅// /

/

/

311


( )( )

( )iaRa2

GFF

gsWST rrlrn

V/VlnVkd−⋅⋅⋅

⋅⋅

ρ−ρη

⋅=

. (4.503)

Die maschinentypische Windsichterkonstante kWS eines Laborsichters muss durch Bewertung der Klassierversuche mittels Trennfunktion experimentell angepasst werden:

AM

r,texpWS k

k2

3kk⋅π

⋅π⋅

⋅= . (4.504)

Das Turbulenzmodell für die Feinkornabscheidung Gl.(4.503) lässt sich ebenfalls für die Gestaltung und Bewertung von Zentrifugalradsichtern nutzen: − die Trennkorngröße wird mit zunehmendem Durchmesser 2⋅ra der Trennma-

schine kleiner, kleine Trennkorngrößen erzielt man daher mit großen Durchmessern; Dies steht allerdings im Widerspruch zur Gl.(4.501), die be-sagt, dass man kleine Trennkorngrößen mit kleinen Durchmessern erzielt;

− die Trennkorngröße ist indirekt proportional zur Rotordrehzahl; − die Trennkorngröße hängt sowohl direkt vom Luftdurchsatz als auch vom

Durchsatzverhältnis ab; − kleine Trennkorngrößen erfordern also große Drehzahlen und Umfangsge-

schwindigkeiten sowie kleine Luftdurchsätze und damit Radialgeschwindig-keiten.

Letztere Maßnahme würde allerdings die Trennschärfe beeinträchtigen: 2/1

GF

GF

75

25

3ln)V/V(ln3ln)V/V(ln

dd

+−

==κ

. (4.425)

Deshalb ist ein Kompromiss zwischen kleiner Trennkorngröße und angemesse-ner Trennschärfe experimentell zu finden. Praktisch sind • 0,3 < κ < 0,6 als befriedigend (übliche technische Klassierung), • 0,6 < κ < 0,8 als gut (scharfe technische Klassierung) und solche von • 0,8 < κ < 0,9 als sehr gut (scharfe Analysenklasssierung) anzusehen. 4.5.3 Wirkprinzipien der Windsichtung Wie bei jeder Strömungstrennung werden die Partikeln zwei konkurrierenden Kräften ausgesetzt, dem Strömungswiderstand und einer Feldkraft (Schwer-kraft, Fliehkraft). Wirken die Kräfte in verschiedene Richtungen, werden Parti-keln unterschiedlicher Sinkgeschwindigkeit zu verschiedenen Stellen des Sichters transportiert und dort ausgetragen. Einer von LESCHONSKI [6.8] gegebenen Einteilung folgend unterscheiden wir je nach der Anströmung relativ zur Partikelbahn

• Gegenstrom-Sichtung (Folie 4.47.1a) und

312


• Querstrom-Sichtung (Folie 4.47.2) nach der Art der trennwirksamen Feldkraft

• Schwerkraft-Sichtung (Folie 4.47.1a) und • Fliehkraft-Sichtung (Folie 4.47.1b).

Bei der Fliehkraft-Sichtung muss noch unterschieden werden, ob es sich um ein − freies Drehströmungsfeld handelt (Wirbelsenke, Spiralwind-

sichter), oder um eine − von einem Rotor erzwungene Drehströmung (Abweiseradsichter).

Als einen Spezialfall des Fliehkraft-Sichtens kann man das Prinzip der Um-lenk-Sichtung ansehen (Folie 4.47.2b und e): Hier werden durch eine mög-lichst scharfe Umlenkung der Strömung - i.d.R. weniger als eine Umdrehung - die in der strömenden Luft enthaltenen Partikeln durch ihre je nach Masse ver-schiedene Trägheit aufgefächert und separat entnommen. Die vor allem großtechnisch weit verbreiteten Umluftsichter kombinieren mehrere dieser Sichtprinzipien in einem Apparat.

In Folie 4.47 und Folie 4.48 sind diese Möglichkeiten zusammenfassend sche-matisch dargestellt.

Die fluidmechanischen Grundlagen zur Berechnung der theoretischen Trennkorngöße dT sind für die Gleichgewichts-Sichtung im Schwerkraftfeld und im Fliehkraftfeld (Spiralwindsichter) im Abschnitt 4.5.2 ausführlich darge-stellt. Effektive Trenngrenzen und Trennschärfen werden durch stoffliche und betriebliche Größen, die in der Theorie nicht erfasst sind, jedoch stark beein-flusst, so dass sie in der Regel aus gemessenen Trenngradkurven bestimmt werden müssen. So soll hier nur qualitativ auf die wichtigsten Eigenschaften dieser Klassierung hingewiesen werden (Folie 4.48): − Sichtungen im Schwerefeld eignen sich wegen der kleinen und - zumindest

im STOKESbereich - mit dem Quadrat der Partikelgröße abnehmenden Sinkgeschwindigkeit nur für relativ grobe zu klassierende Stoffe. Als Unter-grenze lässt sich eine Partikel-Reynold-Zahl von etwa 1 ... 2 nennen. Dem entspräche bei einer Feststoffdichte von 2500 kg/m³ (viele mineralische Stoffe) in Luft bei ca. 20°C eine untere Grenzkorngröße von ca. 60 ... 65 µm. Für leichtere Produkte gelten höhere Werte der Untergrenze.

− Sichtungen von sehr feinkörnigen Produkten (1 ... 60 µm bei den genannten Stoffwerten) müssen daher im Fliehkraftfeld (Folie 4.48) erfolgen.

− Gegenstromsichtungen führen prinzipiell zu einer Anreicherung des Trennkorns in der Sichtzone, weil für die Trennkorngröße ein Gleichgewicht der konkurrierenden Kräfte besteht (Gleichgewichts-Sichtung). Im Schwe-refeld kann die Einstellung der Trennkorngröße hier nur durch die Verände-

313


rung der Strömungsgeschwindigkeit erfolgen. Unscharf wird die Klassie-rung durch die • Strömungstubulenz, • das Geschwindigkeitsprofil über den Querschnitt des Trennrohres und • die Dispersion (zufallsbedingte Bewegungen aufgrund gegenseitiger Stö-

ße) insbesondere der Partikeln, die sich in der Trennzone anreichern. • Im Fliehkraftfeld ist - wie in Abschnitt 4.5.2.2, Gl.(4.488) bereits gezeigt

wurde - die Trennkorngröße dT radienabhängig, so dass hierdurch ein weiterer Grund für eine systematische Trennungsschärfe vorliegt.

− Die Querstromsichtung (Folie 4.48) vermeidet die Trennkornanreicherung. Hier kann die Trenngrenze unabhängig von Strömungsgrößen durch die La-ge einer Trennschneide (svw. Wehr) eingestellt werden. Außerdem sind bei Anwendung mehrerer Schneiden auch mehrere Partikelklassen gleichzeitig abzutrennen. Beim Querstromprinzip lassen sich die Trennbedingungen für die einzelnen Partikeln leichter als beim Gleichgewichtsprinzip auf engem Raum und damit für alle Partikeln etwa gleich gestalten, so dass es in tech-nischen Sichtern häufig und in vielerlei Gestalt realisiert wurde.

− Im Abweiseradsichter ist die Trenngrenze durch die Kombination von Luftvolumenstrom und Drehzahl des Rotors einstellbar. Der Rotor ist ähn-lich wie ein Ventilatoraufrad mit Leitschaufeln oder auch nur mit Stäben be-stückt und erzeugt in seiner Umgebung eine Drehströmung mit hoher Um-fangsgeschwindigkeit. Nur solche Partikeln, die der von außen durch den Rotor strömenden Luft folgen können, werden innen als Feingut mit der Luft ausgetragen. Die anderen werden durch die Zentrifugalkraft abgewiesen und nach außen geschleudert.

4.5.4 Windsichter In technischen Sichtern werden häufig Mischformen der beschriebenen Sicht-prinzipien verwirklicht.

Allgemein arbeitet ein Windsichter umso besser, je gleichmäßiger die Trenn-bedingungen für jedes einzelne Partikel eingehalten werden können. Das heißt: Sowohl Strömungs- wie Kraftfeld sollten zeitlich gleich bleibend (stationär) und möglichst einfach und übersichtlich sein. Beim Windsichten sind dem ei-gentlichen Trennen weitere Teilprozesse vor- und nachgeschaltet, deren opti-male Durchführung den Trennerfolg des gesamten Makroprozesses wesentlich mitbestimmt. Diese sind nach LESCHONSKI (Folie 4.49):

a) die gleichmäßige und desagglomerierte Aufgabe des Gutes in den Prozess-raum, die entsprechende Dosier-, Dispergier- und Aufgabevorrichtungen vo-

314


raussetzt. Mit zunehmender Feinheit des Aufgabegutes gewinnt das Disper-gieren an erheblichem Gewicht für den Gesamtprozess.

b) das Trennen im Sichtraum; c) das Abscheiden der Sichtprodukte aus dem Sichtluftstrom. Zuerst ist die für den Trennprozess erforderliche Luftströmung zu erzeugen, zu regeln und zu messen. Das Aufgabegut muss kontrolliert aufgegeben - dosiert - werden, evtl. unter Zuhilfenahme der Sichtluft dispergiert und der Trennzone zugeführt werden. Nach erfolgter Klassierung wird das Grobgut ohne Luft entnommen, z.B. über eine Zellenradschleuse, während das Feingut von der Sichtluft mitgenommen wird, mit einem Abscheider von ihr getrennt und eben-falls aus dem Prozess ausgetragen werden muss. Die Sichtluft kann abgeführt oder als Umluft im Sichter verbleiben. Große Industrie-Sichter vereinigen alle diese Teilprozesse in einer Maschine (z.B. Zyklon-Umluftsichter). Der Durchsatz eines Windsichters lässt sich wie folgt abschätzen /5.32./:

g,sgsTg,sg vAuAm µ⋅ρ⋅⋅δ⋅=µ⋅ρ⋅⋅= . (4.505)

A Sichtraumquerschnitt

u mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Luft vsT stationäre Sinkgeschwindigkeit des Trennkorns im Schwerkraftfeld

g

sg,s m

m

=µ Feststoffbeladung der Sichtluft (4.506)

sTvu

=δ Geschwindigkeitsverhältnis (4.507)

Nur mit entsprechend hohen δ-Werten sind auch bei niedrigen Trennkorn-größen befriedigende Durchsätze erzielbar. Mögliche Wege hierzu bestehen in der Anwendung von Zentrifugalkraftfeldern oder im Einbringen des Klassiergutes in Form eines Gutstrahls mit hoher Geschwindigkeit quer zum Sichtluftstrom /5.29./. Die Querschnittsfläche A eines Windsichters lässt sich im Hinblick auf die Trennwirkung (Beherrschung der Strömungsverhältnisse einschließlich der Makroturbulenz, gleichmäßige Gutverteilung u.a.) nicht beliebig vergrößern. Die Feststoffbeladung µs,g der Sichtluft sollte unter der Grenzbeladung liegen. Letztere ist durch eine ausreichende Umströmbarkeit der Partikeln und die Suspendierfähigkeit des Sichtluftstromes gegeben. Die zulässigen maximalen Beladungen liegen etwa im Bereich von µs,g = 200 bis 5000 g/kg - vorwiegend um etwa 500 g/kg -, hängen von den Strömungsverhältnissen und damit auch von der Sichterbauart ab und steigen mit der Trennkorngröße. Mit ρg = 1,2 kg/m3 für Luft und ρs ≈ 2400 kg/m3

315


( ) ( )g,sg

g,ss

sg

g,ss

gg

ss

g

sg,s 1VV

VVV

mm

ϕ−ρϕρ

=−ρ

ϕρ=

ρρ

==µ

(4.508)

erhält man gegenüber der Hydroklassierung vergleichsweise sehr geringe Fest-stoffvolumenanteile

sgg,s

sgg,sg,s /1

/ρρ⋅µ+

ρρ⋅µ=ϕ = (0,01...0,025...0,25)%, (4.509)

die sinnvoll der Dünnstromförderung ϕs,g < 5,8% (s. BURKE u.a. S.290) zuzu-ordnen sind. Die Wirkungsweise eines Horizontalstromsichters entspricht dem in .2a darge-stellten Schema. Der horizontale Luftstrom lenkt die Partikeln entsprechend ihrer Größe verschieden weit aus. Das Verhältnis δ = u/vsT gemäß Gl.(4.507) beträgt bei diesen Sichtern etwa 0,5. Die Sichtraumhöhe. der Abwurfwinkel und die Abwurfgeschwindigkeit sind aufeinander abzustimmen. 4.5.4.1 Schwerkraft-Windsichter

Schwerkraft-Windsichter finden wegen der erwähnten Beschränkung der Trenngrenze nach unten vor allem für Reinigungsaufgaben (Getreide, Flocken, Kunststoffgranulate) oder bei der Sortierung grobkörniger Stoffe Anwendung (Kabelfälle, vorzerkleinerter Müll). Folie 4.49.2 zeigt einen Steigsichter zur Reinigung von Getreide und Befrei-ung von Kunststoffgranulaten von anhaftenden Stäuben und Fasern. In der Guteintragszone bewegt sich der Feststoff zunächst quer zur senkrechten Aufwärtsströmung, in den Sichtzonen darüber liegt Gegenstromsichtung vor. Durch den ringförmigen Lufteintritt erfolgt eine Querstrom-Nachsich-tung des herabrieselnden Grobguts. Horizontalstromsichter sind vor allem für Trennkorngrößen zwischen etwa 0,2 und 0,6 mm geeignet. Die Sichtluftbeladung darf bis zu etwa 1,5 kg/m3 betragen.

Weiterentwicklungen des Prinzips der Querstromsichtung sind in Folie 4.50.1 dargestellt.

Beim Querstrom-Strahlwindsichter (Folie 4.50.1b) wird das Aufgabegut als gerichteter Gutstrahl mit einer Geschwindigkeit zwischen etwa 10 und 200 m/s) zugeführt /5.29.//5.30.//5.33./. Infolgedessen ist der Schwerkrafteinfluss vernachlässigbar, und die Klassierung erfolgt vor allem unter der Wirkung von Widerstands- und Trägheitskraft. Sichter dieser Art sollen sich für Trennkorn-

316


größen zwischen dT = 10 bis 300 µm eignen, gute Trennschärfen und relativ hohe Durchsätze erreichen. Den Zickzacksichter (Folie 4.50.1c und 4.52) kann man als eine Kaskade von Querstromsichtern auffassen. In jedem Glied des zickzackförmigen Trennka-nales bildet sich eine "Wirbelwalze" aus trennkornnahem Gut aus, in der das nicht im Luftstrom suspendierte Gut herabrutscht und schließlich den Luft-strom durchquert, wobei feinere Anteile ausgesichtet werden, die sich an der "hängenden" Seite wieder aufwärts bewegen und erneut den Luftstrom durch-queren. Das Feinkorn steigt mit der Luft nach oben, das Grobkorn rieselt weiter nach unten. Nach unten hin reichert sich an jeder Innenkante das Grobgut an, auf dem Wege nach oben das Feinkorn. Jeder Knick eines Zickzack-Kanals bildet auf dieses Weise eine Trennstufe. Trotz der geringen Trennschärfe in einer einzelnen Stufe ist wegen der Reihenschaltung (Kaskadenanordnung) mehrerer Stufen eine hohe Trennschärfe gewährleistet (κ etwa 0,6 bis 0,8 (1/1,25 bis 1/1,7)). Schwerkraft-Zickzacksichter sind für Trennkorngrößen von 0,1 bis 10 mm geeignet. Durch die Parallelschaltung zahlreicher Zickzack-Kanäle lassen sich auch hohe Durchsätze erreichen. Anwendung finden dieses Sichter z.B. in der Span-plattenindustrie und beim Trennen von Kabelabfällen (Kupfer und Isolierung). 4.5.4.2 Zentrifugalkraft-Windsichter

Für die Partikelgrößenanalyse zwischen etwa 1,5 und 100 µm sind Zentrifu-galkraft-Zickzacksichter entwickelt worden, bei denen eine größere Anzahl radialer Trennkanäle auf einem Rotor angeordnet ist und die Sichtluft vom Umfang des Rotors angesaugt wird. Auch die Streuwindsichter lassen sich zu den Querstromsichtern im weiteren Sinne zählen. Sie sind weit verbreitet industriell eingesetzte Sichter. Sehr große Produktmengen (mehrere Hundert t/h) z.B. in der Zementindustrie werden in Kombination mit Mühlen in Umluftsichtern durchgesetzt. Folie 4.49.3 zeigt ein Beispiel: Das bei 12 über eine pneumatische Rinne 13 aufgegebene Gut wird vom rotie-renden Streuteller 1 gleichmäßig nach außen geschleudert und dabei disper-giert. Der vom Ventilator 3 erzeugte Umluftstrom kreuzt diesen fast horizontal fliegenden Gutschleier (Querstromsichtung) und nimmt dabei das Feingut mit nach oben. Das Grobe gelangt nach außen zum Grobguttrichter 4 und rieselt abwärts. Beim Leitschaufelkranz 11 wird das Grobgut von der wieder eintre-tenden Umluft ein weiteres Mal im Querstrom nachgesichtet, bevor es über den Grobgutauslauf 6 den Sichter verlässt. Das Feingut muss auf seinem Weg

317


durch die Trennzone noch eine weitere „Sichthürde“ passieren, das Gegenflü-gel-System 8. Hier wird durch die Art der Beschaufelung und durch die Dreh-zahl im Wesentlichen die Trenngrenze des Sichters eingestellt. Das endgültige Feingut gelangt dann mit dem Umluftstrom durch den Ventilator 3 in den äu-ßersten Sichtraum 9, wo es abgeschieden wird und über den Feinguttrichter 10 zum Austrag kommt. Die in Folie 4.49.3 dargestellte konventionelle Bauart eines Streuwindsichters arbeitet ebenfalls als reiner Umlaufsichter: Das Gut wird von einem Streuteller in eine vertikale, meist schraubenförmig verlaufende Luftströmung abgeworfen und dabei im Querstrom gesichtet. Die Sichtluft strömt durch den Ventilator und wird zwischen Innen- und Außenzy-linder abwärts gedrückt. Schließlich gelangt sie durch das Leitschaufelsystem wieder in den Sichtraum zurück. Der größere Teil des Feingutes scheidet sich zwischen Innen- und Außenzylinder an der äußeren Wand beim Umlenken des Luftstromes ab. Beim Passieren der Leitschaufeln wird das Grobgut nachgerei-nigt. Die Luftströmung im Sichtraum und damit die Trennkorngröße können mittels der Ventilatordrehzahl sowie durch Drehzahl, Neigung und Zahl der Flügel des Zentrifugalsystems verändert werden. Sichter dieser Art werden bevorzugt für Trennkorngrößen zwischen 0,05 und 0,6 mm bei κ-Werten zwi-schen 0,33 bis 0,67 (1/1,5 und 1/3) eingesetzt. Neuere Entwicklungen hatten zum Ziel, das Zentrifugalsystem getrennt vom Ventilator anzutreiben sowie die Bauhöhe zu vermindern. Streusichter mit äußerem Luftkreislauf (Folie 4.50.4) vermeiden die ungenügende Feingutab-scheidung bei den Umluftsichtern, in dem außer dem Ventilator auch die Fein-staubabscheider (Aerozyklone) außerhalb des eigentlichen Sichtergehäuses untergebracht sind. Die Trennkorngröße kann während des Betriebes mit Hilfe von Drosselklappen in der Luftleitung und über die Drehzahl des Zentrifugal-systems verändert werden. Sichter dieser Art werden vor allem in Kreisläufen zur Mahlung von Zementklinkern eingesetzt. In der Absicht, bei der Zementsichtung die Strömungsverhältnisse und die Gut-beladung im Sichtraum weiter zu stabilisieren, entstand in neuerer Zeit der O-SEPA-Sichter (Folie 4.50.5) /5.34./. Das Aufgabegut gelangt durch die Aufga-berohre (1) auf den Streuteller (2), der es radial abwirft und mit Hilfe des Puf-ferringes (3) in den Ringraum zwischen den Schaufelsystemen (4) und (5) ver-teilt. Die primäre Sichtluft, die mittels Ventilators erzeugt wird, tritt tangential durch den Kanal (6) und das Leitschaufelsystem (4) in den Ringraum ein. Mit Hilfe eines sekundären Sichtlufteintrittes (7) wird die Umlaufströmung weiter stabilisiert. Die im Sichtluftstrom suspendierten feinen Partikeln werden von diesem nach innen und aufwärts zum Feingutaustrag transportiert, wobei beim Passieren des den Aufstrom erzeugenden Schaufelsystems (5) eine Nach-

318


sichtung erfolgt. Die groben Partikeln fallen in den unteren Konus (7), wobei diese ebenfalls mit tertiärer Sichtluft nachklassiert werden.

Auch bei den Abweiseradsichtern wird das Ziel verfolgt, durch beschaufelte Rotoren stabilere Sichtbedingungen zu erzielen. Einer der bekanntesten Windsichter dieser Art ist der HOSOKAWA MICRON SEPARATOR (Folie 4.49.4 und Folie 4.51.6). Die zu sichtende Aerosuspension wird mittels nach-geschaltetem Ventilator in den Sichtraum (1) eingesaugt. Dort befindet sich der beschaufelte, stufenlos regelbare Rotor (2). Das Sichtgut prallt gegen die Schaufel, wodurch das Zerstören von Agglomeraten gefördert wird. Das im Luftstrom suspendierte Feingut gelangt durch den Rotor zum Feingutaustrag. Das Grobgut fällt nach unten aus, wobei auch hier wieder eine Nachsichtung mittels sekundärer Sichtluft geschieht. Erzielbar sind Trennkorngrößen zwi-schen etwa 5 und 150 µm.

Von den Gegenstromsichtern (Folie 4.51.7) ist ebenfalls eine größere Zahl von Bauarten eingeführt. Charakteristisch für Schwerkraft-Gegenstromsichter (Aufstromsichter Folie 4.51.8) ist ein senkrechter oder zumindest steil geneig-ter Sichtkanal, in dem die Luft aufströmt und dem das Sichtgut etwa in halber Höhe von der Seite zugeführt wird. δ = u/vsT beträgt bei diesen Klassierern 1 bis 2. Relativ hohe Trennschärfen sind für Trennkorngrößen 0,3 bis 0,6 mm erzielbar, wobei die Luftbeladung 0,5 kg/m3 nicht übersteigen sollte. In Spiralwindsichtern wird die Gegenstromsichtung im Zentrifugalkraftfeld verwirklicht. In Folie 4.51.9 ist die Bauart MICROPLEX der ALPINE AG dar-gestellt /5.35/. Das Sichtgut gelangt aus dem Fallschacht (1) auf die Leitschau-feln (3). Die tangential von außen zugeführte Luft tritt durch die Leitschaufeln in den Sichtraum (2) ein und strömt auf Spiralbahnen in den flachen, zylindri-schen Klassierraum nach innen. Gröbere Partikeln gleiten über die Leitschau-feln zur Schneide (4) und werden von der Schnecke (5) zum Grobgutaustrag gefördert. Um Wandreibungen weitgehend auszuschalten, rotieren die Sicht-raumwände mit der mittleren Tangentialgeschwindigkeit der Luftströmung. Die Trennkorngröße eines Spiralwindsichters lässt sich aus dem Gleichgewicht der an einem Partikeln angreifenden Zentrifugalkraft und der radial nach innen gerichteten Komponente der Widerstandskraft der Strömung berechnen. Die Trennkorngröße hängt von der Anstellung der Leitschaufeln, dem Sichtraum-durchmesser und der Ventilatordrehzahl ab. Mit Sichtern dieser Bauart lassen sich Trennkorngrößen von 2 bis 50 µm realisieren. Auch bei den Zentrifugalkraft-Gegenstromsichtern ist in neuerer Zeit der Stabilisierung der Strömung mittels Rotoren im Prozessraum erhöhte Aufmerk-

319


samkeit beigemessen worden. Dies kommt z. B. bei dem in Folie 4.51.10 dar-gestellten Turbosichter (NISSHIN ENGINEERING Co., Ltd., Tokio) zum Ausdruck. Er arbeitet unter Saugstrombedingungen, wobei etwa 90 % der Luft durch den Sichtlufteintritt (1) und 10 % durch den Sichtguteintritt (2) ange-saugt werden. Der Gutaufgabe lässt sich eine Dispergierdüse vorschalten. Das Gut gelangt dann auf der als Streuteller (4) ausgebildeten Oberseite des Rotors (3) nach außen und wird in den Sichtraum abgeworfen. Mittels der Schaufel-systeme (5) und (6) erhält die eintretende Luftströmung die für die Trennung erforderliche tangentiale Geschwindigkeitskomponente. Die Trennung voll-zieht sich wie beim Spiralwindsichter unter der Wirkung von Zentrifugalkraft und nach innen gerichteter Komponente der Widerstandskraft. Mit Sichtern dieser Art sollen Trennkorngrößen bis zu etwa 1 µm herab realisierbar sein.

320


Zwei Zusatzkapitel:

4.6 Mehrstufige turbulente Querstrom-Aerotrennung im Zick-Zack-Kanal Den gesamten Manuskripttext mit zusätzlichen Bildern findet man in den ge-sonderten Dateien: MVT_e_4_6neu.doc bzw. MVT_e_4_6neu.pdf.

• Stömungssimulation ohne Partikel siehe Folie 4.52, • RI-Fließbild der Versuchsanlage siehe Folie 4.53, • Aufstellungsplan der Versuchsanlage siehe Folie 4.54.

4.6.1 Stationäre Partikelanzahlkonzentrationsverteilung

• Übersicht über Voraussetzungen der Lösung der Fokker-Planck-Gleichung für das mehrstufige turbulente Querstromtrennmodell siehe siehe Folie 4.55,

4.6.2 Trennfunktion für die mehrstufige Trennung 4.6.2.1 Trennfunktion, Trennmerkmale und Trennschärfe

• Herleitung der Mehrstufen-Trennfunktion siehe Folie 4.56. • Darstellung der Mehrstufen-Trennfunktion siehe Folie 4.57.

4.6.2.2 Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad

• Wirksame Trennstufenzahl und Trennstufen-Ausnutzungsgrad siehe Folie 4.57,

• Trennschärfe in Abhängigkeit von der Stufenzahl siehe Folie 4.58 4.6.2.3 Prozessbewertung mehrstufiger Querstromtrennungen

• Allgemeine Übersicht über die wesentlichen Prozessbewertungsgrößen mehrstufiger Querstromtrennungen siehe Folie 4.59,

• Modellvergleich mit Klassierversuchen für die mehrstufige turbulente Querstrom-Windsichtung siehe Folie 4.60,

• Energetische Bewertung einer mehrstufigen turbulenten Trennung im Zick-Zack-Kanal siehe ebenfalls Folie 4.60,

• Mehrstufige Aerosortierung von Beton-Ziegel-Bruch siehe Folie 4.61, • Mehrstufige Aerosortierung einer Beton – Ziegel - Gummigranulat –

Mischung siehe Folie 4.62, • Zusammenfassung und Ausblick des Kapitels 4.6 siehe Folie 4.63.

321


4.7 Staubabscheiden 4.7.1 Entstauben

Bei verfahrenstechnischen Prozessen, an denen trockene Stoffe beteiligt sind - einschließlich des Förderns und Lagerns -, lässt sich das Aufwirbeln von Staub unterschiedlicher Feinheit und damit das Entstehen von Staub-Luft-Gemischen (Aerosuspensionen) praktisch nicht vermeiden, wobei vor allem Partikelgrößen von 0,1 µm bis etwa 1000 µm anfallen. Ohne entsprechende Maßnahmen wür-den sich deshalb meist unzumutbare Arbeitsplatzbedingungen ergeben. Darü-ber hinaus kann eine ungenügende Entstaubung auch nachteilige Folgen für die technische Ausrüstung haben (z.B. Erhöhen des Verschleißes). Der Gesichts-punkt der Rückgewinnung von Wertstoff mittels Entstaubung kann ebenfalls bedeutsam sein (Folie 4.64).

Die Entstaubungstechnik befasst sich mit den Prozessen und Ausrüstungen, die eine Phasentrennung fest-gasförmig bewirken. Hinsichtlich der räumlichen Zuordnung von Entstaubungsanlagen gibt es zwei Möglichkeiten: a) die an den Stauberzeugern entstehende Aerosuspension wird abgesaugt und

einem zentral angeordneten Abscheider bzw. System von Abscheidern zuge-führt;

b) die Phasentrennung der Aerosuspension erfolgt dezentral unmittelbar am Stauberzeuger, wobei die abgeschiedenen Staubteilchen wieder in den stauberzeugenden Gutstrom ausgeschieden werden.

In Folie 4.65.1 ist das Blockfließbild einer Entstaubungsanlage entsprechend Variante a) dargestellt: Die Staubabsaugung am Stauberzeuger erfolgt mit ent-sprechenden Trägerluftmengen. Durch eine Rohgasleitung wird die Aerosus-pension der Staubabscheidung zugeleitet. Die Staubabscheidung kann in einem oder in mehreren hintereinander geschalteten Apparaten vorgenommen werden. Im ersten so genannten Grob- oder Vorabscheider wird eine Teilabscheidung der Partikel realisiert. Im nachgeschalteten Feinabscheider wird dann die so genannte Endreinigung der Gase auf die gewünschte Staubkonzentration durchgeführt. Die maximal zulässigen Konzentrationen nichttoxischer Stäube in der Luft am Arbeitsplatz und die Bedingungen für deren Bestimmung waren durch die TGL 22 311/01 und 32 601/01 festgelegt, Tabelle 4.10.

Im Anschluss an den Entstauber wird das gereinigte Gas im allgemeinen durch die Reingasleitung zu einem Gebläse geleitet und von dort entweder ins Freie oder zu einer Verwendungsstelle geführt.

322


Entstaubungsanlagen dieser herkömmlichen Art sind technisch aufwendig und stellen in vielen Fällen einen erheblichen Kostenfaktor bei der trockenen Ver-arbeitung körniger Stoffe dar. Sie sind jedoch technisch ausgereift und beherr-schen heute weitgehend die Entstaubungstechnik. Tabelle 4.10: Maximal zulässige Konzentration nichttoxischer Stäube in der Luft am Arbeitsplatz a) Nach TGL 22 311/01 (gültig ab 01.06.1978 für nichttoxische Stäube in beste-henden Betrieben (nicht gültig für asbesthaltige Stäube)): MAKD maximal zulässige Arbeitsplatz-Dauerkonzentration während 8 ¾ h; MAKK maximal zulässige Arbeitsplatz-Kurzzeitkonzentration über 30 min wäh-

rend der höchsten Konzentration innerhalb der täglichen Arbeitszeit. Staub-gruppe

Beispiele Gehalt an kris-tallinem SiO2 in Ma %

MAKD cm-3

MAKK cm-3

I Quarz, Sandstein, Grau-wacke

> 50 100 300

II Granit, Quarzporphyr, Tonschiefer

20 ... 50 250 500

III Diorit, Syenit, Steinkoh-le Kaolin, Tone

5 ... 20 500 1000

IV Basalt, Kalkstein, Gips Zement, Braunkohle

< 5 800 1500

V Eisen, Messing, Kunst-stoffe

- 800 1500

Als Staubmessgerät ist hierfür das Konimeter anzuwenden b) Nach TGL 32 601/01 (gültig ab 1.1.1978 für die maximal zulässige Konzentra-tion von Aerosolen mit vorwiegend fibrogener Wirkung in unter Projektierung oder Rekonstruktion stehenden Betrieben): Aerosole MAKK in mg/m3 Aerosole mit > 70 % kristallinem SiO2 1 Aerosole mit 10 bis 70 % kristallinem SiO2 2 Aerosole mit 2 bis 10 % kristallinem SiO2 4 Aerosole mit < 2 % kristallinem SiO2 10 MAKD in mg/m3 a) für fibrogene Substanzen (Quarz, Cristobalit, Tridymit) 0,1 b) für inerte Substanzen ohne spezifische Wirkung 0,5 Zur Probenahme dient ein zweistufiges Gravimeter (Zyklon mit nachgeschaltetem Filter)

323


In neuerer Zeit werden aber verstärkte Anstrengungen unternommen, um billi-gere dezentrale Entstaubungsanlagen entsprechend obiger Variante b) zu erstel-len. Zum Beispiel kann bei geringer Zahl weit voneinander entfernter Stauber-zeuger eine Absaughaube mit unmittelbar aufgesetztem Entstauber vorteilhaft sein. Besonders effektiv ist bei offenen Stauberzeugern die Abscheidung durch Besprühen der Aerosuspension mit Wasser (Heterokoagulationstrennung). Hierbei gelingt es, durch Verwendung spezieller Sprühdüsen sowie durch hydrophilierende Zusätze mit sehr geringen Wassermengen (< 0,5 Masse-% bezogen auf den zu entstaubenden Gutstrom) auszukommen. 4.7.2 Staubabsaugung Bei der Gestaltung der Absaugung und Förderung des Staub-Luft-Gemisches ist davon auszugehen, die Stäube am Ort der Entstehung möglichst vollständig zu erfassen und mit niedrigem Energiebedarf, d.h. geringem Druckverlust, zu fördern. Für die Stauberfassung dienen Absaughauben, die an den stauberzeu-genden Ausrüstungen angebracht werden. Die Luftgeschwindigkeit an der Saugöffnung des Absaugstutzens soll etwa 0,5 bis 3 m/s betragen. Entspre-chende Saugquerschnitte lassen sich durch eine geeignete Ausbildung der Hau-ben anpassen. Lösungsmöglichkeiten bei der Gurtbandförderung gibt Folie 4.65.2 wieder. In Abhängigkeit vom Durchsatz der zu entstaubenden Ausrüs-tungen sind etwa die in Tabelle 4.11 angegebenen Absaugeluftmengen vorzu-sehen. Die Volumenströme für das Staub-Luft-Gemisch sind so auszulegen, dass kein Absetzen der Partikeln erfolgt. In horizontalen Leitungen sollte die Strömungsgeschwindigkeit etwa 15 bis 20 m/s betragen. Ist die Staubabsau-gung an den einzelnen Ausrüstungen nicht ausreichend wirksam, so ist eine Raumentstaubung zu erwägen.

Tabelle 4.11: Abzusaugende Luftmengen für die Entstaubung

Absaugort Luftvolumenstrom

V in m³/min Übergabestellen von Gurtförderern 10 ... 40

Becherwerke 10 ... 40 Bunker 10 ... 30

Zerkleinerungsmaschinen 15 ... 150 Magnetscheider 30 ... 40

324


4.7.3 Staubabscheidung

In Folie 4.66.4 sind schematisch die Wirkprinzipien für die Abscheidung von Staubteilchen aus einer Aerosuspension dargestellt:

- Querstrom- und Gegenstromtrennungen in Schwerkraft-, Zentrifugalkraft- und elektrischen Feldern, - Ausnutzen der Massenträgheit der Partikeln (Umlenk- und Pralleffekte), - Filtern der Aerosuspension, - Heterokoagulationstrennung, wobei die Staubteilchen an Flüssigkeitstrop- fen gebunden werden. Die Grundlagen für die Modellierung der entsprechenden Prozesse der Staub-abscheidung wurden für die Querstrom- und Gegenstromtrennung im Ab-schnitt 4.3 behandelt. Zu ergänzen ist jedoch noch, dass bei Staubabschei-dungsprozessen auch die Bewegung sehr feiner Partikeln (etwa d < 1 µm) zu betrachten ist. Sobald die mittlere freie Weglänge λg der Gasmoleküle von der Größenordnung der Partikelndurchmesser d oder größer ist, darf das Gas im Vergleich zu den Partikeln nicht mehr als Kontinuum betrachtet werden. Die hierfür maßgebende Kennzahl ist die KNUDSEN-Zahl Kn:

dKn gλ

= . (4.510)

Für λg gilt nach der kinetischen Gastheorie:

gMM

Bg upd

Tkρ

ηπ

λ499,02 2

== . (4.22)

dM Moleküldurchmesser kB = 1,38*10-23 J/K BOLTZMANN-Konstante (= R/NA s. auch Gl.(1.34)) p, T Druck bzw. absolute Temperatur des Gases

Mu mittlere Schwankungsgeschwindigkeit der Gasmoleküle (= 485 m/s für

Luft bei θ = 0°C) Theoretische und experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass der Strömungswiderstand mit zunehmender KNUDSEN-Zahl kleiner wird. Im Be-reich 0,1 < Kn < 1000 und Re < 0,25 lassen sich die bekannt gewordenen Mes-sergebnisse der Widerstandszahl cW durch folgende Gleichung approximieren ( d < 0,5 µm):

−⋅+⋅+

=

Kn55,0exp8,0514,2Kn1

cc St,W

W . (4.25)

Die Beurteilung der Prozessgüte des Trennergebnisses erfolgt wie bei der Stromklassierung durch die Trennfunktion des Grobgutes (Fraktions- oder Stu-

325


fenentstaubungsgrad). In vielen Fällen genügt die Angabe des sog. (Gesamt-)Abscheidegrades Rm, der als Feststoffmasseausbringen des Staubabscheiders definiert ist:

roh,g,s

rein,g,sroh,g,s

roh,g,s

rein,g,sroh,g,sm c

ccR

µ

µ−µ=

−= . (4.511)

cs,g,roh, cs,g,rein Staubkonzentrationen im Roh- bzw. Reingas in g/m3 µs,g,roh, µs,g,rein Staubbeladungen im Roh- bzw. Reingas in g/kg Die Ausrüstung zur Staubabscheidung werden üblicherweise unterteilt in Schwerkraft-, Zentrifugalkraft- und elektrische Abscheider, in denen vor allem Querstromtrennungen durchgeführt werden, sowie Filtrationsabscheider und Nassscheider nach dem Prinzip der Heterokoagulationstrennung. Orientie-rungswerte zu den Einsatzbereichen der wichtigsten Abscheider sind aus Tabel-le 4.12 zu ersehen: Tabelle 4.12: Einsatzbereiche von Staubabscheidern

Prozessdaten Zentrifugal- abscheider

elektrische Abscheider

Filtrations-abscheider

Nassab-scheider

hohe Fraktionsabscheidegrade

Ti → 1 für Partikelgrößen di in µm

> 10 > 1 > 0,5 > 0,1

Rohgasstaubbeladung cs,g,roh in g/m³

< 1000 < 50 < 100 < 10

erzielbare Reingasstaubbeladung

cs,g,rein in mg/m3 100 ... 200 < 50 < 30 50 ... 100

Druckverlust ∆p in Pa 300... 2500 50 ... 150 500...1500 100...1000 max. Gastemperatur θg

in °C 450 450 (1000) 140 (350) 300

Rohgasdurchsatzbereich V in m³/h

3000... 200 000

10 000... 300 000

1000... 100 000

3000... 100 000

4.7.3.1 Schwerkraftabscheider Das Trennprinzip der Schwerkraftabscheider ist den Darstellungen auf Folie 4.66.4a bis d zu entnehmen. Die Gasgeschwindigkeit wird durch Querschnitts-erweiterung in den Absetzkammern stark herabgesetzt. Der Abscheidevorgang - vornehmlich gröberer Partikeln - wird durch die Schwerkraft bewirkt als

326


Querstromtrennung in einer Staubabsetzkammer oder als Staubbunker, aus denen sie periodisch oder kontinuierlich entnommen werden. Wird die Aero-suspension im Abscheider zu einer oder mehreren Richtungsänderungen ge-zwungen, so zeigt sich ein besserer Abscheideeffekt als bei der alleinigen Schwerkraftabscheidung. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Partikeln beim Umlenken der Strömung infolge ihrer Trägheit in wandnahe Bereiche dringen und dadurch der Hauptströmung entzogen werden. 4.7.3.2 Zentrifugalkraftabscheider

Die wichtigsten Zentrifugalkraftabscheider sind die Aerozyklone, die hinsicht-lich des prinzipiellen Aufbaues und der Arbeitsweise den Hydrozyklonen ent-sprechen Folie 4.67.5. In Folie 4.67.6 sind verschiedene Bauarten von Aero-zyklonen dargestellt, die entweder einen tangentialen oder einen axialen Gas-eintritt besitzen. Das erstere ist bei Einzelzyklonen üblich, während vom letzte-ren vielfach bei Multizyklonanordnungen Gebrauch gemacht wird.

Unabhängig vom Gaseintritt entsteht im Zykloninnern - wie beim Hydrozyklon - eine äußere abwärts gerichtete Wirbelströmung. Davon werden infolge der Drosselwirkung des unteren konischen Teiles laufend Volumenelemente zu einer inneren, aufwärts gerichteten Wirbelströmung umgelenkt. Wie beim Hyd-rozyklon sind die Strömungsverhältnisse kompliziert und die mathematische Erfassung nur nach entsprechenden Vereinfachungen möglich. Es ist zweckmäßig, die um die Zyklonachse symmetrische räumliche Strömung in die Tangential- oder Umfangskomponente utg = uϕ, die Radialkomponente ur und die Axialkomponente uax zu zerlegen. utg nimmt von außen nach innen zu

.constru ntg =⋅ mit n = 0,5 bis 0,7 (4.290)

und fällt dann im Wirbelkern wieder ab. Die Radialkomponente ur ist im Au-ßenteil nach innen gerichtet, die Axialkomponente uax, im äußeren Teil nach unten und im inneren nach oben. Die Turbulenz der Aerozyklonströmung beeinflusst in hohem Maß die Staub-abscheidung. Hierbei muss beachtet werden, dass der Turbulenzgrad in der Einlaufdüse bzw. der Zuführungsrohrleitung höher liegt als im Zykloninnern. Dies erklärt sich aus der Erscheinung der Turbulenzdämpfung in Zentrifugal-strömungen. Im Vergleich mit dem Hydrozyklon ist zu vermerken, dass wegen der höheren Dichtedifferenz (ρs - ρg) entsprechend niedrigere Feststoffbeladun-gen gsg,s m/m =µ der turbulenten Strömung möglich sind. Mit wachsender

Staubbeladung wird die Turbulenz der Transportströmung durch den Staub gedämpft, bis oberhalb der so genannten Grenzbeladung die gesamte über-

327


schüssige Masse des Staubes ausfällt. Für die Grenzbeladung im Aerozyklon gilt die empirische Beziehung:

( ) 5,13,mTG,g,s d/d1,0 ⋅≈µ . (4.512)

dT Trennkorngröße des Aerozyklons dm,3 mittlere Partikelgröße des Staubes Beziehungen, die mehr Einflussgrößen berücksichtigen, können der Fachlitera-tur entnommen werden [s. LÖFFLER Staubabscheiden], z.B.:

tgo,tg

o

o23,50s

WG,g,s uu

DD

DD1d2

−ρ

ηλ=µ (4.513)

D Zyklondurchmesser Do Tauchrohrdurchmesser utg,o Tangentialgeschwindigkeit am Tauchrohr utg Tangentialgeschwindigkeit am Zyklonmantel mit dem Wandreibungsbeiwert (= 0,005 für feststofffreie Gasströmung)

( )g,sW 21005,0 µ+=λ für µs,g < 1 kg/kg bzw. (4.514)

( )g,sW 31005,0 µ+=λ für µs,g > 1 kg/kg. (4.515)

Bei niedrigen Staubbeladungen des Rohgases (etwa < 10 g/m³ bzw. < ≈10 g/kg), wie sie bei vielen Entstaubungsproblemen vorliegen, werden die Staub-partikeln von der Zyklonenströmung getragen. Für die Beschreibung dieses Trennvorganges geht man im allgemeinen vom Modell der Gegenstromklassie-rung aus, d.h., für die Partikeln mit der Trennkorngröße dT wird die Sinkge-schwindigkeit vsT im Zentrifugalkraftfeld gleich der Radialkomponente ur des Fluids im Aerozyklon gesetzt. Partikeln mit vs > vsT sollten an der Zyklonwand ausgeschieden, die mit der Sinkgeschwindigkeit vs < vsT vom Gasstrom ausge-tragen werden. Das reale Trennverhalten wird aber auch hierbei durch Trenn-kurven T(d) (Fraktionsabscheidegrad-Kurven) beschrieben. Vielfach geht man von dem vereinfachten Trennmodell vsϕT = ur aus und wei-terhin davon, dass das Grenzkorn auf der Oberfläche eines gedachten Trenn-Zylinders rotiert, der vom Tauchrohr bis zum unteren Zyklonenende reicht [nach BARTH]. Alle Partikeln, die größer als das Grenzkorn dT sind, werden abgeschieden. Kleinere gelangen mit dem Gasstrom ins Feingut zum Überlauf hinaus. Somit ergeben sich die Tangentialgeschwindigkeit (≈ 10 .. 30 m/s)

o

2o,tg

o

2o,tg

z Du2

Ru

gza⋅

==⋅= (4.516)

328


mit der den Gasdurchsatz bestimmenden mittleren Radialgeschwindigkeit - gewöhnlich nur einige cm/s

ooo,r hD

Vuπ

=

. (4.517)

utg,o; ur,o Tangential-/Radialgeschwindigkeit auf der gedachten Trenn-Zylindermantelfläche von Tauchrohr bis Zyklonunterlauf

Do Durchmesser des Tauchrohres D Zyklondurchmesser ho ≈ 3 D Abstand des Tauchrohres vom Zyklonunterlauf V Gasvolumendurchsatz Für das Verhältnis aus Tangential- oder Umfangsgeschwindigkeit zur mittleren Axialgeschwindigkeit im Tauchrohr erhält man mit:

2o

o DV4u

π=

(4.518)

1

oW

o

iii

1

oW

ii

ii

o2o

iii

o

o,tg

Dh2

D)hD(2

Dh2

)hD(2hD4

DD

hD4u

u −

−

λ+

π+

α=

λ+

+

⋅π

α=

αi Einlaufbeiwert (4.519) Di Einlaufbreite bei Schlitzeinlauf hi Einlaufhöhe

DD

uu

VDuVDu

pulsungsdrehimHauptströmmpulsrittsdrehiintE i

tg

i

gtg

giii =

ρ

ρ==α

. (4.520)

utg Tangential- bzw. Umfangsgeschwindigkeit im Zyklonzylinder bei D Aus Gründen der Drehimpulserhaltung bei reibungsfreier Rotationsströmung müsste αi = 1 sein. Dieser wird jedoch durch die Wandreibungsverluste modi-fiziert (hier für den Schlitzeinlauf):

45,0i

5,0

2o

iii D

D2D

hD436,01

π

⋅−=α . (4.521)

Setzt man in das vereinfachte Trennmodell die STOKES-Formel für die statio-näre Sinkgeschwindigkeit ein und berücksichtigt die Gln.(4.516) und (4.517) sowie einen Anpassungsfaktor von 1,3 [nach MUSCHELKNAUTZ], so erhält man:

( ) 2,

,93,1

otggs

oroT u

uDd

⋅−⋅⋅⋅

⋅=ρρ

η (4.522)

329


mit Gl. (4.290), D/Do ≈ 3, ho/Do ≈ 5, h/Do ≈ 6, Di/D ≈ 0,14, Ai/Ao ≈ 0,9 (Folie 4.67.7) sowie n ≈ 0,5 und ( ) tg

nootg uDDu ⋅= /, folgt die Auslegungsgleichung für

die Trennkorngröße eines Aerozyklons

( ) V1

DD

hA93,1d

n2o

o

2i

gsT

⋅

⋅⋅

ρ−ρ⋅πη⋅

⋅= . (4.523)

iii hDA ⋅= Querschnittsfläche der Zyklonaufgabe (Einlaufkanal, i = input)

Mit dieser Auslegungsgleichung kann einfach die Berücksichtigung von =Td ⋅2,2

( )⋅ρ−ρη

gs

⋅

⋅

n2o

o

2i

DD

hA V

1

Prozessziel-größe

Kon-stante

Stoffeinfluss-größen

Apparategeometrie-größen

Prozess-größen

dargestellt werden. Damit lassen sich nun beispielhaft folgende Abschätzungen zur Prozessverbesserung vornehmen:

Wegen noT Dd ∝ und

V1dT

∝ lässt sich wie beim Hydrozyklon eine bessere

Abscheidung bei geringerer Trennkorngröße durch kleinere Zyklone - hier durch kleinerem Tauchrohrdurchmesser Do und/oder höherem Gasdurchsatz bewerkstelligen. Dem stehen jedoch weitere wesentliche Prozesszielgrößen wie ein erhöhter Druckverlust

4o

2

2

gges2o

gges D

V8u2

pπ

ρξ=ρ

ξ=∆

(4.524)

uo mittlere Gasgeschwindigkeit im Tauchrohr ξges gesamter Druckverlustbeiwert und ein erhöhter Leistungsbedarf entgegen:

4o

2

3

gges DV8VpP

πρξ=∆=

. (4.525)

Wegen 3VP ∝ folgt mit Gl.(4.523) 6Td/1P ∝ , d.h. die Absenkung der Trenn-

korngröße dT um die Hälfte durch Vervierfachung des Gasdurchsatzes V be-deuten das 16-fache des Druckverlustes ∆p und eine 26 = 64-fache Steigerung des notwendigen Leistungsbedarfes P eines Lüfters. Der gesamte Druckverlustbeiwert setzt sich aus der Summe der Beiwerte für Verluste in der Einlauf-, Zyklonhaupt- und Tauchrohrströmung (mit den Gln.(4.514), (4.515), (4.519) und (4.521)) zusammen:

oZiges ξ+ξ+ξ=ξ mit (4.526)

330


- Schlitzeinlauf 0i ≈ξ

- Zyklonhauptströmung1

oo

o,tgW

o

2

o

o,tgZ D

h2u

u1

DD

uu −

λ−⋅⋅

=ξ (4.527)

- Tauchrohrströmung 2

o

o,tg3/4

o

o,tgo u

uu

u32

+

⋅+=ξ . (4.528)

Die Tauchrohrströmung liefert gewöhnlich den größten Anteil am Gesamt-druckverlust. Der Gesamtabscheidegrad Rm lässt sich dann mit Hilfe der Trennkurve T(d) für gewöhnlich tangentialen Einlauf

235,1564,3

Td3,1d21)d(T

−−

⋅

⋅+= (4.529)

sowie der Partikelgrößenverteilung Q3(d) des Staubes wie folgt berechnen:

( )∑=

−≈∆⋅=N

1iT3i,3im d3,1Q1QTR . (4.530)

Q3(1,3 dT) Quantil der Partikelgrößenverteilungsfunktion des Staubes bei der Partikelgröße 1,3 dT.

Bei höheren Staubgehalten kommt es beim Eintreten des Rohgases in den Zyk-lon infolge Turbulenzdämpfung zu einem plötzlichen Überschreiten der Grenz-beladung und damit zu einer Teilabscheidung des Feststoffes. Es tritt eine aus-geprägte Bildung von Strähnen ein, die in großen Spiralen an der Wand herunterlaufen. Für diese Teilabscheidung lässt sich setzen:

G,g,sroh,g,sroh,g,s

G,g,s1m für1R µ>µ

µ

µ−= . (4.531)

Das in den eigentlichen Trennraum eintretende, mit µs,g,,G beladene Gas ist dort den gleichen Trennvorgängen ausgesetzt wie ein von Anfang an gering belade-nes, d.h., für diese Teilabscheidung lassen sich die Gln. sinngemäß anwenden. Dann folgt für den Gesamtabscheidegrad Rm unter der Voraussetzung, dass an der Abscheidung gemäß Gl. (4.531) alle Partikelgrößenklassen proportional ihrer Massenanteile beteiligt sind:

−∆

µ

µ−=∆

µ

µ+

µ

µ−=+= ∑∑

==

N

1ii,3i

roh,g,s

G,g,sN

1ii,3i

roh,g,s

G,g,s

roh,g,s

G,g,s2m1mm 1QT1QT1RRR

( )T3roh,g,s

G,g,sm d3,1Q1R ⋅⋅

µ

µ−≈ .

(4.532)

331


Wegen µs,g,roh > µs,g,G steigt folglich der Gesamtabscheidegrad und damit die Prozessgüte. Die Reststaubbeladung des Reingases µs,g,rein folgt dann aus dem Gesamtabscheidegrad Rm nach Gl. (4.511) und der Grenzbeladung nach Gl. (4.513):

( ) ( )T3G,g,smroh,g,srein,g,s d3,1QR1 ⋅⋅µ=−⋅µ=µ . (4.533)

Größere Aerozyklone werden meist als Tangentialzyklone ausgeführt. Folie 4.67.7 vermittelt Erfahrungen für die Gestaltung. Mängel bei der geometri-schen Gestaltung können die Trennwirkung erheblich beeinträchtigen. Größere Zyklone werden einzeln, aber auch parallel oder hintereinander ge-schaltet zur Gasreinigung eingesetzt. Bei Reihenschaltung des feinguthaltigen Gasstromes zweier Zyklone zur Verbesserung des gesamten Trennergebnisses werden die beiden Teil-Trennfunktionen multipliziert (siehe auch Gl. (5.10) MVT_e_5.doc):

[ ] [ ] )d(T)d(T)d(T)d(T)d(T1)d(T11)d(T 212121ges ⋅−+=−⋅−−= (4.534)

und entsprechend gilt auch für den Gesamtabscheidegrad

[ ] [ ] ( ) 2,m1,m1,m2,m1,mges,m RR1RR1R11R ⋅−+=−⋅−−= . (4.535)

Unter Multizyklonen versteht man Anordnungen einer größeren Anzahl paral-lel geschalteter kleinerer Zyklone, die den Staub in einen gemeinsamen Raum austragen. Bei Parallelschaltung zu nZykl Multizyklonen mit ZyklMulti n/VV =

gilt für geometrische Ähnlichkeit bei Verkleinerung aller Abmessungen (= „scale-down“) um den Faktor Zykln

oZykl

Multi,o Dn1D ⋅= (4.536)

4ZyklT

Multi,T

n1

dd

= . (4.537)

4.7.3.3 Elektrische Abscheider In elektrischen Abscheidern (Elektrofiltern) findet eine Querstromtrennung statt. Die Partikeln werden in einem Koronafeld aufgeladen und wandern unter der Wirkung eines elektrischen Feldes zur Niederschlagelektrode, wo sie ent-weder mechanisch, z.B. durch Klopfen (Trockenelektrofilter), oder durch eine Flüssigkeit (Nasselektrofilter) entfernt werden. In einem elektrischen Abscheider laufen folgende Teilprozesse ab: a) Aufladen der Staubpartikeln,

332


b) Transport der Partikeln zur Niederschlagelektrode, c) Haften der Partikeln an der Niederschlagelektrode und ihre Abführung in den Staubsammelbunker. Bezüglich der Aufladung von Partikeln in einem Koronafeld kann auf die Aus-führung in Abschnitt 5.3.3. [LB MVT] verwiesen werden. Für die maximale elektrische Ladung von Partikeln d > 1 µm, die vom Ionenstrom des Koronafeldes aufgeladen werden, gilt

Ekr4QEc r/r

2E0max ⋅⋅⋅ε⋅π⋅= (4.538)

rE Radius des elektrisch äquivalenten Rotationsellipsoides E elektrische Feldstärke (= U/a im homogenen Feld eines Plattenkonden-

sators des Abstandes a) ε0 elektrische Feld- oder Influenzkonstante (= 8,8542 10-12 As/Vm)

Ec r/rk Faktor, abhängig von Achsenverhältnis rc/rE des Rotationsellipsoides

und der Permittivität (relativen Dielektrizitäskonstante) εr

Ec r/rk für

rc/rE εr = ∞ εr = 5 0 0,666 0,532 1 3,01 2,15 5 36,2 27,15

Die COULOMB’sche Anziehungskraft ist dann:

EQFC

⋅= . (4.539)

Die Aufladung von Partikeln d < 0,5 µm erfolgt vor allem durch Kollision, die auf die Wärmebewegung von ionisierten Gasmolekülen und feinste Partikeln zurückzuführen sind (Ionendiffusion). Dieser Mechanismus gewinnt mit ab-nehmender Partikelngröße im Vergleich zur Aufladung durch den Koronastrom immer mehr an Bedeutung. Die für die Abscheidung wesentliche Transportgeschwindigkeit vs,E im elektri-schen Feld folgt für den stationären Fall aus dem Gleichgewicht von COULOMB-Kraft FC = Q⋅E und dem Luftwiderstand Fw:

d3EQv E,s ηπ

= . (4.540)

Für Partikeln < 1 µm wäre dann noch zusätzlich die durch Gl. (4.25) gegebenen Korrektur zu berücksichtigen. Jedoch beeinflussen auch die unvermeidbare Strömungsturbulenz, der elektrische Wind und Agglomerationseffekte die Partikelnwanderung. Die praktisch ermittelten Wanderungsgeschwindigkeiten liegen für Partikeln d > 5 µm etwa zwischen 0,02 und 0,3 m/s.

333


Aus Gl.(4.540) wäre zu folgern, dass sich in einem elektrischen Abscheider mit genügend großer Feldstärke, genügend hoher Partikelnaufladung und/oder aus-reichender Verweilzeit alle Staubteilchen zu den Niederschlagelektroden trans-portieren lassen. Dies spiegelt im Prinzip auch die Trennfunktion T(d) wider, deren Ableitung das Modell einer Querstromtrennung mit turbulenter Kern-strömung zugrunde liegt (Folie 4.68):

( )k

g

E,sT

VvA

exp1dT

−−=

. (4.541)

AT Abscheidefläche gV Rohgas-Volumendurchsatz

k Exponent, für den theoretisch k = 1 gilt, k = 0,4 bis 0,6 aber eine bessere Beschreibung gewährleistet soll.

- mehrstufige Querstromtrennung: Folie 4.69, Folie 4.70, Folie 4.71,

Folie 4.72, Folie 4.73, Folie 4.74,

Folie 4.75, Folie 4.76

Für die Arbeitsweise eines elektrischen Abscheiders sind auch die Vorgänge an der Niederschlagselektrode mitbestimmend (Folie 4.77.8). Die abgeschiedenen Partikeln werden bei Trockenelektrofiltern von Zeit zu Zeit abgeklopft oder abgerüttelt, wobei sie dann möglichst unbehindert vom Gasstrom in den Staub-sammelbehälter fallen sollen. Bei neueren Bauarten wird auch von einer konti-nuierlichen Abreinigung Gebrauch gemacht, wobei der Staubniederschlag an rotierenden Abscheideelektroden geschieht. Der Vorteil einer trockenen Reini-gung besteht in der Verwertungsmöglichkeit der Stäube. Bei Nasselektrofiltern geschieht die Abreinigung durch aus Spüldüsen in den Filterraum eingesprüh-tes Waschwasser. Der Staub läuft dann als Suspension von den Elektroden ab. Bei dieser Art der Abreinigung treten keine Probleme auf. Demgegenüber muss bei Trockenelektrofiltern der von den Sprühelektroden ausgehende Strom durch die an der Niederschlagelektrode befindliche Staubschicht abgeleitet werden (etwa 0,1 bis 0,4 mA/m²). Ist der elektrische Widerstand des Staubes zu gering, so kann beim Kontakt eine Umladung eintreten. Die Partikeln werden dann der Elektrode zurückgeworfen. Ein spezifischer elektrischer Staubwider-stand von ca. 104 bis 1010 Ω⋅cm ist für die Abscheidung günstig. Schwierigkei-ten treten vor allem bei Stäuben mit extrem hohen elektrischem Widerstand auf. Hierbei entstehen Isolierschichten auf den Niederschlagelektroden, die wie ein Dielektrikum eines Kondensators wirken, an dessen Oberfläche die Aufla-

334


dung immer weiter steigt, bis es zum Durchschlag kommt. Dabei bilden sich positive Ionen, die einen Teil der negativ geladenen Staubteilchen neutralisie-ren, so dass diese nicht weiter zur Niederschlagelektrode wandern können. Au-ßerdem beeinträchtigt diese Neutralisierung die Raumladung, und die Durch-schlagspannung zwischen den Elektroden sinkt. Insgesamt wirkt sich dieses Rücksprühen ungünstig aus. Zu seiner Verhinderung leitet man entweder Was-serdampf in den Gasstrom ein, oder es werden besonders ausgebildete Nieder-schlagselektroden verwendet.

Hinsichtlich der Bauart unterscheidet man Röhren- und Plattenfilter. Röhren-filter (Folie 4.77.8a und b) haben vertikale Rohre als Niederschlagselektroden, in deren Achsen die Drähte der Sprühelektroden gespannt sind. Plattenfilter (Folie 4.77.8c und d) besitzen senkrechte, ebene Niederschlags-elektroden mit dazwischen angeordneten Sprühdrähten. Horizontalelektrofilter werden vom Gas horizontal durchströmt, Vertikalfilter vertikal. Die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten der Gase liegen etwa zwischen 1,0 und 4,0 m/s. Die Sprühelektroden sind als dünne Drähte ausgebildet. Es hat sich gezeigt, dass die Gasentladung gleichmäßiger über die gesamte Länge verteilt ist, wenn glatte Drähte durch Stacheldraht oder scharfkantige Drähte ersetzt werden. Der Koronastrom und damit die Abscheideleistung sind umso höher, je größer die Differenz zwischen angelegter Spannung und Korona-Anfangsspannung ist. Letztere hängt von der Geometrie der Elektrodenanordnung, der Drahtdicke und Drahtausbildung sowie vom Zustand des Gases (Druck, Temperatur) ab. Elektrofilter werden je nach Staubart und Elektrodenabstand mit 20 bis 80 kV und 0,05 bis etwa 0,7 mA/m² betrieben. Die Gleichstromspannungen erzeugt man durch Umspannen und Gleichrichten von Netzwechselspannungen. Wäh-rend früher die dem Netz entnommene Spannung über mit motorischen Antrie-ben versehene Dreh- oder Schiebetransformatoren als Regelgeräte an den Hochspannungstransformator als Primärspannung angelegt wurde, geschieht die Regelung heute meist kontaktlos über Transduktoren (Magnetverstärker) oder Thyristoren. Die Gleichrichtung erfolgt durch Selen- oder neuerdings durch Siliziumgleichrichter. Elektrische Abscheider sind geeignet zur Abscheidung feiner und feinster (auch flüssiger) Partikeln bei einem hohen Abscheidegrad bis 99,9 %. Vorteile sind der geringe Druckverlust, die Eignung für heiße Gase sowie der geringe Bedie-nungs- und Wartungsaufwand. Dem stehen allerdings die hohen Investitions-kosten sowie die Abhängigkeit des Abscheidegrades von den Staub- und Gas-eigenschaften als Nachteile gegenüber. Die Haupteinsatzgebiete liegen in der metallurgischen, chemischen und Zementindustrie sowie den Kohlekraftwerken (Rauchgasentstaubung).

335


4.7.3.4 Filtrationsabscheider Bei der Abscheidung in Staubfiltern durchströmt das staubhaltige Gas ein Fil-termittel, das die Staubteilchen zurückhält (Folie 4.77.9). Als Filtermittel wer-den vor allem Faserfilter (Gewebe, Faserschichten), aber auch Schüttschichten eingesetzt. Das Abscheiden erfolgt (ähnlich wie bei der Flüssigkeitsabtrennung durch Innenfiltration (Prall- und Hafteffekte) und durch Oberflächenfil-tration (Sperrwirkung, Siebeffekt). Bildet sich bei der Abscheidung an der Oberfläche des eigentlichen Filtermittels eine Staubschicht (Filterkuchen), so wirkt diese als hochwirksame Filterschicht. Bei der Modellierung der Innenfiltration erhält man aus Mengenbilanzen unter Voraussetzungen einer gleichmäßigen Verteilung der Filterelemente sowie ei-ner vollständigen Durchmischung der Aerosuspension quer zur Hauptströ-mungsrichtung eine exponentielle Abnahme der Partikelkonzentration in Strö-mungsrichtung und somit für die Trennfunktion.

))(exp(1)( dkdT F ϕ⋅−−= . (4.542)

Hierbei charakterisiert kF die geometrische Anordnung der Fasern. Für mono-disperse Fasern gilt:

F

F

F

FF d

hk ⋅−

=ε

επ

14 bzw. FsF

AF

FF d

mk

,

,14ρεπ ⋅

⋅⋅= . (4.543)

εF Porosität der Filtermittelschicht hF Filtermittelschichtdicke dF Faserdurchmesser mF,A flächenbezogene Masse der Filtermittelschicht ρs,F Feststoffdichte der Fasern kF stellt anschaulich das Verhältnis von Faserprojektionsfläche aller Fasern zur gesamten Filteranströmfläche dar. Für Grobfilter liegen typische Werte von kF im Bereich 5 bis 10, für Schwebstofffilter bei 100 bis 200. ϕ(d) repräsentiert den sog. Einzelfaser-Abscheidegrad, d.h. den Abscheidegrad eines Faserelements in der Faserschicht. Er hängt außer von der Partikelgröße d, von Stoff-, Geometrie- und Betriebsdaten ab und lässt sich zurückführen auf

ϕ = WA WH. (4.544)

WA Auftreffwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels WH Haftwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels

336


Die Auftreffwahrscheinlichkeit der Staubpartikeln wird durch die Transport-vorgänge der Strömung in der Filtermittelschicht bestimmt.

F

0A d

y2W = . (4.545)

y0 Koordinate der Grenzpartikelbahn Der Anteil der Partikeldiffusion (Term mit Pe-Zahl) ist bei - d < 0,1 ... 0,5 µm und Filteranströmgeschwindigkeit u0 < 10 m/s bedeutsam

und - ein Sperreffekt bringt für größere Partikeln in Größenordnung der Faser-

durchmesser d/dF > 1 zunehmende Auftreffwahrscheinlichkeiten

( )F

2F

Ku,

F3/2P

3/1

Ku,

FA d/d1

d/d6,0Pe6,1W+

⋅Φ

ε+⋅

Φε

⋅=ε

−

ε

mit (4.546)

P

0P D

duPe = Partikel-PECLET-Zahl (4.547)

d3CuTkD B

P ηπ= Partikeldiffusionskoeffizient (4.548)

CUNNINGHAM-Korrektur, da Cucc St,WW ⋅= entsprechend Gl.(4.25)

1

Kn435,0exp84,0492,2Kn1Cu

−

−⋅+⋅+= , (4.549)

und einer Packungsdichtefunktion (sog. „hydrodynamischer Faktor“) des Filter-mittels nach KUWABARA:

2FFFKu, )1(

41)

41()1ln(

21

ε−−ε−+ε−−=Φε . (4.550)

Darüber hinaus lassen sich auch noch Auftreffwahrscheinlichkeitsanteile durch - Widerstandskraft - Trägheitskraft - elektrostatische Kraft mittels dimensionsloser Kennzahlen beschreiben:

)K,/,Fr,Re,(fW elgsPFA ρρψ= . (4.551)

F

02

s

d18ud

ηρ

=ψ Trägheitszahl (4.552)

η

ρ= gF0

F

duRe Filtermittel-REYNOLDS-Zahl (4.553)

337


s

g20

P dgu

Frρ

ρ= Partikel-FROUDE-Zahl (4.554)

Partikelhaftung an den Faser tritt ein, wenn - keine Partikelzerkleinerung auftritt; - durch den Aufprall energiereicher Partikeln nicht schon abgeschiedene Parti-

keln wegschlagen; - die Widerstandskraft, die bei der Anströmung auf die schon abgeschiedenen

Partikeln einwirkt, kleiner ist als die Haftkraft, die sie festhält; - die Ablöseenergie, die am Ende der Stoßphase zur Verfügung steht, nicht

größer sein darf als die Haftenergie, die die Partikeln festhält. Die vorletzte Bedingung ist gewöhnlich erfüllt, da Geschwindigkeiten über 5 m/s notwendig sind, um selbst größere Agglomerate abzublasen [s. LÖF-FLER]. Unter Annahme plastischer Deformation der Kontaktstellen beim Par-tikel-Faser-Stoß lässt sich für die letztere Bedingung die Geschwindigkeit nach HILLER abschätzen, ab der mit dem Beginn des Abprallens der Partikeln zu rechnen ist:

( )fs

2H

2pl

2/12pl

krit p6aC

d1

kk1

v⋅ρ⋅⋅⋅π

⋅⋅−

= (4.555)

mit der plastischen Stoßzahl (siehe Gl.(4.319) und Tabelle 4.13)

0,kin

pl0,kin2pl E

EEk

−= . (4.556)

2/vmE 20P0,kin ⋅≈ kinetische Energie der Partikeln vor dem Stoß,

Partikelgeschwindigkeit v0 ≈ u0 Anströmgeschwindigkeit Epl plastische Deformationsenergie der Partikeln pf ≈ 3⋅σF plastischer Fließdruck (≈3⋅Fließgrenze bei Zugbeanspr.),

Mikrohärte, bei sehr steifen Glasfasern pf ≈ 5 GPa CH = 3...45⋅10-20 J HAMAKER-Konstante a Partikel-Faser-Mindestabstand (= a0 ≈ 0,3...0,4 nm

Abstand des molekularen Kräftegleichgewichtes von An-ziehung und Abstoßung, siehe auch Abschnitt 6.1 MVT_e_6.doc)

Mit dem „plastischen Repulsionskoeffizienten“ κp des plastischen Deformati-onsanteiles bei Wirkung von VAN-DER-WALS-Kräften (Platte-Platte-Modell der Kontaktflächen, siehe Abschnitt 6.1 MVT_e_6neu.doc#kappap):

f30

Hp pa6

C⋅⋅π⋅

=κ (4.557)

folgt einfach

338


( )s

fp2

pl

2/12pl

kritp6

da

kk1

vρ⋅

⋅κ⋅⋅−

= . (4.558)

Bem.: Dieser dimensionslose Kennwert κp lässt sich auch aus dem inneren Reibungswinkel ϕi und dem stationären (inneren) Reibungswinkel ϕst über den, mittels Scherversuchen bestimmbaren, elastisch-plastischen Kontaktverfesti-gungskoeffizienten 1tan/tan ist −ϕϕ=κ (MVT_e_6.doc - kappa)

herausrechnen.

Tabelle 4.13: Stoßzahlklassen nach HILLER

kpl Deformationsverhalten Oberflächen-

verhalten Beispiele

< 0,4 sehr leicht plastisch deformierbar,

Agglomerate mit Primärpartikelgrößen d << 1 µm

viskoplastisch, ausgeprägte Fein-

struktur Rußflocken

0,4..0,6 leicht plastisch deformierbar hohe Rauhigkeits-

häufigkeit Kalksteinpulver

0,6..0,8 elastisches Verhalten einige Rauhigkeiten Glaskugeln 0,9...1 hochelastische Partikeln

Mit maximal 5% Fehler kann die Auftreffwahrscheinlichkeit für WA > 0,1 auch folgend abgeschätzt werden, 1 < ψ < 10 und 0,01 < ReF < 1:

5,0FA 85,0)5,1Re5,0(03,1W +Ψ⋅−+= (4.559)

und die Haftwahrscheinlichkeit für WH > 0,1; 1 < ψ < 20 u. 0,01 < ReF < 1: 37,0

F09,1

H Re368,1W −− ⋅ψ⋅= . (4.560)

Im Allgemeinen wird man zur Bestimmung des Abscheidegrades noch weitge-hend auf experimentelle Arbeiten angewiesen sein, wobei als Haupteinfluss-größen die Anströmgeschwindigkeit u0, die Temperatur sowie experimentell ermittelte Kenngrößen des Filtermediums und des Staubes eingehen. Wesentlich für eine minimale Gebläseleistung und damit Betriebskosten sind eine gute Durchströmbarkeit und ein geringer Druckverlust. Bei laminarer Umströmung der zylindrischer Fasern gilt mit ReF < 1

02FF

F

FF

ud

1Reln2

16s

p⋅

η⋅

εε−

⋅−

=∆ (4.561)

( )η

ρε= gFF0

F

d/uRe Filtermittel-Re-Zahl (hier mit uε!) (4.562)

sF Dicke der Filtermittelschicht und im verfahrenstechnisch bedeutsamen Übergangsbereich 1 < ReF < 50 mit der Summe der Teilwiderstände

339


cRe

constcF

W += sowie const = 10 und c = 1,5 (4.563)

20

F

g2F

F02

FF

F

F

ud

13ud

120s

p⋅

ρ⋅

εε−

⋅π

+⋅η

⋅εε−

⋅π

=∆ . (4.564)

Beispielsweise beträgt er für dF = 50 µm Fasern der Schichtdicke sF = 15 mm, εF ≈ 0,98, u0 = 0,5 ... 2 m/s ∆p ≈ 5 ... 50 Pa, wobei mit zunehmender Anström-geschwindigkeit der Trägheitseinfluss des hinteren Terms 2

0g u⋅ρ immer be-

deutsamer wird. Nach dem Anwendungsbereich und dem daraus resultierenden Aufbau lassen sich Faserfilter in zwei große Gruppen einteilen: Speicherfilter und Abreinigungsfilter. Speicherfilter werden im Bereich geringer Staubgehalte (cs,g in mg/m³) einge-setzt, wie sie vornehmlich in der Klima- und Entlüftungstechnik vorliegen. Es handelt sich dabei meist um lockere Fasermatten mit Porositäten εF > 90 bis 99 %. Die Partikelabscheidung geschieht im Inneren der Filterschicht, und die im Vorstehenden nur kurz erörterten physikalisch begründeten Abscheidemodelle gelten entsprechend. Nach Staubsättigung werden diese Filtermedien verwor-fen, seltener gereinigt. Charakteristische Anströmgeschwindigkeiten betragen u0 = 0,1 bis 3 m/s. Abreinigungsfilter dienen zur Abscheidung bei höheren Staubgehalten. Die Faserschichten werden hierbei als Tücher eingesetzt, und zwar früher fast aus-schließlich als Gewebe, heute überwiegend als Vliese und Filze. Die Porosität dieser Filtermedien beträgt 70 bis 90 %. Die Abscheidung geschieht nur in der Anfangsphase innerhalb der Faserschicht und verlagert sich rasch an die Filter-oberfläche. Die dort gebildete Staubschicht führt zu einem laufenden Ansteigen des Durchströmungswiderstandes. Deshalb werden diese Filter periodisch abgereinigt (unter Umständen im Abstand von wenigen Minuten). Die An-strömgeschwindigkeiten typischer Abreinigungsfilter liegen in der Regel zwi-schen u0 = 5 und 50 mm/s. Auch hinsichtlich ihrer Temperaturbeständigkeit haben Abreinigungsfilter eine bedeutende Entwicklung durchlaufen. Für den Temperaturbereich bis 150 °C steht eine Reihe von Fasermaterialien zur Ver-fügung. Mit Glas- und Mineralfasern lassen sich bis zu 300 °C und mit speziel-len Stahlfasern sogar 600 °C erreichen. Einfluss auf die Auswahl eines Faserfil-ters hat auch dessen chemische Widerstandsfähigkeit. Die Bauarten von Abreinigungsfiltern lassen sich zu zwei Hauptgruppen zu-sammenfassen: Schlauchfilter und Taschenfilter. Bei den erstgenannten hat das Filtermedium zylindrische Schlauchform (Folie 4.77.9a). Die Schläuche werden in Abhängigkeit von der Abreinigungsmethode entweder von außen nach innen oder umgekehrt durchströmt. Weiterhin sind

340


Saugschlauchfilter und Druckschlauchfilter zu unterscheiden, je nachdem, ob sich der Ventilator in Strömungsrichtung hinter oder vor dem Filter befindet. Bei Taschenfiltern (Folie 4.77.9b) wird das Filtermedium über Rahmen ge-spannt, die an einer Seite für den Reingasaustritt offen Sind. Die Filtertaschen werden immer von außen nach innen durchströmt und dabei der Staub außen abgelagert. Eine wichtige Rolle spielt die Abreinigung der Filter. Hierbei sind Arbeits-schritte Unterbrechen des Rohgasstromes, Ablösen des Staubkuchens und Spü-len des Filtermediums in zur Filterströmung entgegengesetzter Richtung abzu-grenzen. Das Ablösen des Filterkuchens wird bei mechanisch abgereinigten Filtern durch Rütteln, Klopfen o.ä. bewirkt. Druckluftabgereinigte Filter erfor-dern die gleichen Arbeitsschritte, bewerkstelligen das Ablösen aber durch peri-odische Druckluftstöße. Verbreitet sind Schlauchfilter in Mehrkammerbauweise. Hierbei wird der Staub von innen an die Schläuche anfiltriert. Für die Abreinigung wird jeweils eine Kammer aus dem Gasstrom geschaltet. Die Vorteile von Faserfiltern, die als Abreinigungsfilter arbeiten, liegen im hohen Gesamtabscheidegrad Rm bis 99 %, wobei Partikeln d > 0,1 µm erfass-bar sind, der Anpassungsfähigkeit an Schwankungen der Gasmenge und des Staubgehaltes sowie dem breiten Einsatzbereich hinsichtlich der abscheidbaren Partikelngrößen. Von Nachteil sind die geringste Lebensdauer des Filtermedi-ums und der daraus resultierende Wartungsbedarf. Schüttschichtfilter besitzen gegenüber den Faserfiltern eine geringere Bedeu-tung. Als Filtermedium verwendet man Kies, Sand u.ä. Anwendungsgebiete sind die Heiß- und Rauchgasentstaubung (z.B. in Kalk- und Sand u.ä. Anwen-dungsgebiete sind Heiß- und Rauchgasentstaubung (z.B. in Kalk- und Zement-werken, Kokereien). Die Abreinigung geschieht durch Rütteln der Filterkästen. Die hohe Trennwirkung der Faserfilter lässt sich mit ihnen nicht erreichen. 4.7.3.5 Nassabscheider Der Entwicklung dieser Apparate liegt die Überlegung zugrunde, die Abschei-dung feiner Partikeln aus dem Rohgasen dadurch zu erleichtern, dass man sie zunächst an Flüssigkeitstropfen ankoppelt (Heterokoagulation) und somit das Abscheideverhalten im Trennraum von der wesentlich höheren Masse der Par-tikeln-Flüssigkeits-Aggregate bestimmt wird. Auch Dampfkondensationseffek-te können dazu herangezogen werden. Für die Trennfunktion T(d) eines Nassabschneiders lässt sich analog Gl.(4.542) ebenfalls schreiben:

341


))d(kexp(1)d(T NW ϕ⋅−−= . (4.565)

Für den Parameter kF ist hier der bezogene Wasserverbrauch zu setzen: V/Vk WW=

V;VW Volumenstrom an Waschflüssigkeit bzw. Rohgas

ϕN(d) stellt das sog. spezifische Reinigungsvolumen dar, das als das Verhältnis des von einem Tropfen längs seines Flugweges im Abscheider gereinigten Gasvolumens zum Tropfenvolumen definiert ist. Analog zum Faserabscheide-grad Gl.(4.544) ist also

ϕN = WA WH. (4.566)

WA Auftreffwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels WH Haftwahrscheinlichkeit eines Staubpartikels Die Auftreffwahrscheinlichkeit der Staubpartikeln wird durch den Wirkungs-querschnitt dw der Partikelbahn und die Tropfengröße dl bestimmt.

2

l

wA d

dW

= . (4.567)

Die Trägheitszahl und die REYNOLDS-Zahl werden mit der Tropfengröße dl gebildet

l

02

s

d18ud

⋅η⋅⋅⋅ρ

=ψ (4.568)

ηρ

= gl0l

duRe Tropfen-REYNOLDS-Zahl (4.569)

und die Auftreffwahrscheinlichkeit ist dann b

A aW

ψ+

ψ= mit (4.570)

Rel a b < 1 0,65 3,7

10 ... 20 1,24 1,95 40 1,03 2,07

60 ... 80 0,506 1,84 >> 1 0,25 2

Bei dieser Betrachtungsweise kann die Haftwahrscheinlichkeit für üblicher-weise benetzende Waschflüssigkeiten WH = 1 gesetzt und Kondensations-effekte vernachlässigt worden.

342


Um die Staubpartikeln mit der Flüssigkeit (Waschwasser) in Kontakt zu brin-gen, ist eine große Anzahl apparativer Varianten ausgearbeitet worden. Die sich auf wenige Grundtypen zurückführen lassen: In Düsenwäschern (Waschtürme, Folie 4.77.10a) wird das Wasser durch Zer-stäubungsdüsen in das von unten nach oben mit etwa 1 bis 2 m/s strömende Gas versprüht. Der Abscheideraum ist entweder frei von Einbauten oder mit solchen ausgestattet. Da die Trennkorngröße dT im Bereich dT = 0,7 bis 1,5 µm liegt, ist die Abscheidung für die Partikelgrößen d < 5 µm unbefriedigend. Der Druckverlust liegt im Bereich ∆p = 0,2 bis 2,5 kPa und der bezogene Wasser-verbrauch bei V/VW

= 0,05 bis 5 l/m³.

Wirbelwäscher (Folie 4.77.10b) werden in einer Reihe von Ausführungsfor-men angeboten. Der Rohrgasstrom prallt zunächst auf einen Wasserspiegel, wobei eine gewisse Vorabscheidung stattfindet, und wird dann durch einen strömungsgünstig geformten Kanal geführt. Dabei reißt das beschleunigte Gas aus dem Rohgasraum Flüssigkeit mit, die an den Umlenkkanten zerstäubt wird. In dieser Zone erfolgt die Heterokoagulation und geschieht vor allem die Staubabscheidung. Die Gasgeschwindigkeiten in der Wirbelzone betragen u0 = 10 bis 20 m/s. Daraus folgen Druckverluste von ∆p = 1,5 bis 3 kPa. Die Trennwirkung dieser Abscheider ist empfindlich gegenüber Durchsatzschwankungen. Sinkt der Gasdurchsatz, so wird die Waschflüssigkeit nur ungenügend zerstäubt, und der Abscheidegrad verschlechtert sich deutlich. Bei zu hohem Gasdurchsatz wird dagegen der Rohgas-Wasserspiegel so weit abgesenkt, dass die Beflutung der Wirbelzone abreißt und sich deshalb auch bei Überlast eine schlechtere Abscheidung ergibt. Weiterhin ist die Neigung zur Schaumbildung ausgeprägt. Vorteile sind der relativ niedrige Preis, die geringe-re Verstopfungsneigung und der geringere Wartungsaufwand. Die Trennkorn-größe liegt bei dT = 0,6 bis 0,9 µm. In Rotationswäschern (Folie 4.77.10c) wird die Waschflüssigkeit mittels ro-tierender Einbauten verdüst. Das Rohgas tritt tangential ein und strömt in einer Umlaufströmung aufwärts, wobei es eine oder zwei Waschzonen passiert, in denen durch die mit 60 bis 70 m/s Umfangsgeschwindigkeit rotierende Zer-stäuber ein dichter Schleier feiner Tröpfchen erzeugt wird. Die Tropfen werden an die Gehäusewand geschleudert, wo sie als Film ablaufen. Zur Abscheidung der feinen Tröpfchen ist der Gehäuseoberteil meist zyklonenartig ausgebildet. Die Waschflüssigkeit ( VVW

/ = 1 bis 3 l/m³) wird im Kreislauf geführt. Der

Druckverlust liegt unter 1 kPa, die Trennkorngröße im Bereich dT = 0,1 bis 0,5 µm. Wäscher dieser Art sind unempfindlich gegenüber Durchsatzschwankungen und besonders für hohe Staubeingangskonzentratio-nen (cs,g bis zu 300 g/m³) sowie für schäumende Materialien geeignet. Nachtei-lig ist die aufwendige Konstruktion mit relativ großen bewegten Teilen.

343


VENTURI-Wäscher (Folie 4.77.10d) sind weit verbreitete Hochleistungswä-scher. Von ihnen existieren zahlreiche Ausführungsformen. In einem konver-genten Einlaufteil wird das Gas auf Geschwindigkeiten zwischen 50 und 150 m/s beschleunigt. In der sog. Kehle, d.h. der Zone der höchsten Gasgeschwin-digkeit, wird durch Bohrungen am Umfang senkrecht zum Gasstrom Wasser eingespritzt, das durch die Scherkräfte des Gases in feine Tröpfchen zerrissen wird. Der anschließende Diffuser bewirkt durch die Verzögerung der Strömung einen teilweisen Druckrückgewinn. Der Wasserverbrauch liegt im Bereich

V/VW = 1 bis 5 l/m³. Der Druckverlust beträgt 3 bis 20 kPa und wird sowohl

von der Gasgeschwindigkeit als auch der zu zerteilenden und zu beschleuni-genden Wassermenge bestimmt. Die Trennkorngröße kann 0,05 µm und darun-ter erreichen. Auch Venturi-Wäscher sind verständlicherweise empfindlich gegenüber Durchsatzschwankungen. Nassentstauber besitzen heute ein weites industrielles Anwendungsfeld, weil sie an unterschiedliche Bedingungen anpassungsfähig sind. Allerdings darf das mit dem Wäscherbetrieb gekoppelte Problem der Wasserklärung nicht überse-hen werden. 4.7.3.6 Tropfenabscheider Wesentlich für den Einsatz der dargestellten Tropfenabscheider ist die Trop-fengrößenverteilung. Im Allgemeinen ist damit zu rechnen, dass durch Kon-densation entstehende Tropfen kleiner als 3 µm sind. Aus Flüssigkeitsoberflä-chen mitgerissene Tropfen sind normalerweise größer als 5 µm. Allerdings erfolgt in Rohrkrümmern und in Gebläsen bereits ein Abscheiden des Groban-teils. Die erforderliche Tropfengrößenanalyse ist mit den meisten für Feststoff-teilchen geeigneten Methoden wegen der Koaleszenz nicht möglich. Für das Abscheiden von Tropfen aus Gasströmen werden hauptsächlich Träg-heitseffekte und elektrische Feldwirkungen genutzt. Beim Tropfenabscheiden spielen vergleichbare Wirkprinzipien wie bei der Staubabscheidung eine Rolle, wobei die Koaleszenz der Tropfen u.U. Vorteile bezüglich der abgeschiedenen Stoffe bringt. Die wesentlichsten Wirkprinzipien für das Tropfenabscheiden sind Querstromtrennungen im Zentrifugalkraftfeld (Zyklon) oder im elektri-schen Feld, Trägheitseffekte bei plötzlichen Umlenkungen und die Rückhalte-wirkung durchströmter Filterschichten. Die Zentrifugalkraftabscheidung erfolgt in Zyklonen vornehmlich kleiner Bau-größe, um die Trenntropfengröße gering zu halten. Die Tropfenkoaleszenz be-günstigt die Abscheidewirkung. Allerdings ist zu beachten, dass die abge-schiedenen Tropfen an der Wand einen Flüssigkeitsfilm bilden, der infolge der

344


Druckverhältnisse und Sekundärströmungen auch in Richtung Zyklondeckel fließt und somit in den Oberlauf gelangen kann. Abtropfring am Zyklondeckel oder gesonderte Abführung des Flüssigkeitsfilmes sind zur Sicherung der Trennung erforderlich. Die Abscheidung in Verbindung mit plötzlichen Umlenkungen des Gasstromes wird hauptsächlich in Lamellenabscheidern realisiert. Diese relativ einfach aus Kunststoff- oder Blech-Profilplatten herzustellen. In Fangrinnen wird der Flüssigkeitsfilm abgeführt. Als Filterschichten kommen übliche Füllkörperschichten (Raschigringe, Sat-telkörper oder Prallringe) und vor allem Dingen Drahtgestrickpakete zum Ein-satz. Letztere stellen etwa 50 bis 100 Lagen relativ grobmaschiger Drahtgestricke mit Drahtdurchmessern von etwa 250 µm dar. Damit können Tropfen bis zu Durchmessern von 0,6 µm abgeschieden werden. Auch Glasfa-serpackungen werden zunehmend als Filterschichten für die Tropfenabschei-dung eingesetzt. Die Nutzung elektrischer Felder erfolgt in Elektrofiltern, die den für die Staubabscheidung üblichen ähnlich sind. Infolge der Tropfenkoaleszenz entfal-len einige bei der Abscheidung von Stäuben bekannte Schwierigkeiten. Für die Tropfengrößenmessung im Größenbereich 0,5 bis 20 µm in Gasströmen ist hauptsächlich der Kaskadenimpaktor einsetzbar. Er besteht aus mehreren hintereinandergeschalteten Düsen-Prallplatten-Einheiten mit abnehmenden Düsen-Durchmesser. Nach Absaugen eines Teilgasstromes werden die Tropfen auf den Prallplatten abgeschieden. Jeder Prallplatte kann durch Kalibrieren eine mittlere Tropfengröße zugeordnet werden. Nach Bestimmung der auf den ein-zelnen Platten abgeschiedenen Flüssigkeitsmengen sind die erforderlichen Aus-sagen zur Ermittlung der Trennfunktion verfügbar.

4.8 Schwerpunkte und Kompetenzen Anhand dieser Schwerpunkte können Sie Ihr Wissen und Ihre verfahrenstech-nischen Kompetenzen überprüfen:

• Physikalische Grundlagen und Mikroprozesse: Partikelbewegung im Fluid, Partikelumströmung, Kräftebilanz und sta-tionäre Sinkgeschwindigkeit, Mikro- und Makroturbulenz, turbulente Partikeldiffusion;

• Prozessbewertung: Prozessbewertung mittels Trennmodelle der turbulenten Querstrom- und Gegenstromklassierung, prozessbestimmender Einfluss der Turbu-lenz;

• Prozessauslegung:

345


Aufbau, Wirkprinzipien, Prozessauslegung, Apparate- und Maschinen-parameter sowie Einsatzgebiete ausgewählter Klassierer (laminarer Querstromklassierer, Hydrozyklone, Windsichter, Zentrifugalradsichter);

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