18 Propiedades térmicas

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PowerPoint® Lectures for

University Physics, Thirteenth Edition

– Hugh D. Young and Roger A. Freedman

Lectures by Wayne Anderson

Capítulo 18

Propiedades térmicas

de la materia


Introducción

Un gas es una sustancia que se expande hasta llenar el recipiente que lo contiene

Algunas variables que se utilizan para describir el gas son: volumen, temperatura, y presión; presión y temperatura estándar se definen como 0°C y 100kPa


Leyes empíricas de los gases

Mucha de la información que tenemos con respecto al comportamiento de los gases se determinó de forma empírica

Varias relaciones entre presión, volumen, temperatura y número de moléculas son importantes y se les da nombres de los descubridores • Ley de Boyle

• Ley de Charles

• Ley de Gay-Lussac

• Ley de Avogadro


El mole

Otra característica del gas es el número de moléculas en el volumen del recipiente que lo contiene

Esta cantidad es expresada en término de moles

1 mole se define como 6.022∙1023 moléculas y este número de conoce como el número de Avogadro


Ley de Boyle

La ley de Boyle indica que el producto de la presión p, ay el volumen, V, a temperatura constante es:

1 1 2 2pV p V


Ley de Charles

La ley de Charles indica que para una gas que se mantiene a presión constante, el volumen del gas, V, dividido entre su temperatura, T, es:

Ojo: la temperatura debe ser expresada en Kelvin

Como la densidad está definida como m/V, la ley de Charles puede ser escrita como ρT =constante si la densidad p es constante

1 2 1 1

1 2 2 2

V V V T

T T V T

1 21 1 2 2

2 1

TT T

T

demostración

http://www.youtube.com/watch?v=ZvrJgGhnmJo


Ley de Gay-Lussac

1 2

1 2

p p

T T

La ley de Gay-Lussac indica que la razón entre la presión, p, de un gas y su temperatura, T, a volumen constante es:

Ojo: nuevamente en esta expresión la temperatura se debe expresar en Kelvin


Ley de Avogadro

El número de Avogadro, NA, tiene actualmente un valor aceptado de:

El número de moléculas de un gas, N, y el número de moles del gas, n, están relacionados por el número de Avogadro


Ley del gas ideal

Si se combinan las cuatro leyes anteriores se obtiene una relación más general llamada Ley del Gas Ideal

R es la constante universal de los gas y está dada por:

pV nRT

8.314472 0.000015 /R J molK


Ley del gas ideal

La ley del gas ideal se puede reescribir en función del número de moléculas y no en función del número de moles

kB es la constante de Boltzmann y está dada por: kB=R/NA

BpV Nk T

231.38106504 0.0000024 10 /Bk J K


Ley del gas ideal

Si la presión de utiliza en atmósferas y el volumen en litros, el valor de R se puede expresar como:

R=0.0821 (L atm/mol K)


Problemas

Suponga que tiene una olla llena de vapor a 100 ºC y con una presión de 1 atm. La olla tiene un diámetro de 15 cm y una altura de 10 cm. La masa de la tapa es de 0.5 kg. Determine la temperatura a la que hay que calentar el vapor para levantar la tapa de la olla.

, f atm f atm

1

0 n

y j

j

mgF p A p A mg p p

A

atmi f f

f i i

i f i i

/

p mg Ap p pT T T

T T p p

23 2

f 3

101.3 10 Pa 0.500 kg 9.81 m/s / 0.150 m / 2

373.2 K 374.22 K 101.02 C101.3 10 Pa

T


Problemas

Dos recipientes contienen el mismo gas con diferentes temperaturas y presiones, como se muestra en la figura. El recipiente pequeño tiene un volumen de 1 liro y el recipiente grande tiene un volumen de 2 litros. Entonces se conectan los dos recipientes con un tubo delgado y se permite que iguale la presión y temperatura en ambos recipientes. Si la temperatura final es de 300 K, determine la presión final


Teoría cinética de los gases ideales

Para explicar las propiedades macroscópicas (como p, V,

y T) en términos de las partículas que constituyen el gas

se require hacer algunas suposiciones con respecto al

comportamiento de las moléculas • El número de moléculas, N, es grande, pero las propias moléculas son

pequeñas comparadas con la distancia que las separa

• Todas las moléculas son idénticas y tienen masa m

• Las moléculas se mueven aleatoriamente y obedecen las leyes del

movimiento de Newton

• Ninguna fuerza apreciable actúa sobre las moléculas, excepto durante

las colisiones

• Las moléculas experimentan colisiones elásticas con las paredes del

recipiente y son de duración despreciable

• El volumen del recipiente es muy grande comparado con el tamaño de

las moléculas


Teoría cinética de los gases ideales

Estas suposiciones y sus resultados componen la llamada teoría cinética de los gases ideales

En primer lugar, vamos a examinar la energía cinética media de las moléculas de gas y cómo se relaciona esta con la temperatura del gas

Esta relación se llama teorema de equipartición de la energía


Teorema de equipartición de la energía

En primer lugar, tenemos que determinar la energía cinética media de las moléculas de gas

Al promediar las energías cinéticas de las moléculas individuales se obtiene el siguiente resultado

Este resultado muestra la definición de la raíz media cuadrática de la velocidad ode las moléculas del gas, que no es lo mismo que la velocidad media, pero puede ser considerado un valor adecuado en relación con la energía cinética media



La idea es demostrar que este resultado se relaciona con la temperatura del gas

En primer lugar, vamos a determinar la presión del gas como resultado de moléculas que chocan con las paredes del recipiente

Consideraremos un gas con moléculas de masa, m, moviéndose en la dirección x con velocidad, vx, perpendicular a las paredes de una caja cúbica de volumen (LxLxL)



2

x

Lt

v

, , 2x f x i x x x xp p p m v m v mv

El cambio en la cantidad de movimiento de la molécula que colisiona es:

El tiempo que dura la molécula viajando a lo largo de la caja, colisionando y regresando es

L es el la medida del lado de la caja cúbica



2

,

2

2 /

xx xwall x

x

mvp mvF

t L v L

2

, 2

, ,1 1

N Nx i

tot x x ii i

mv mF v

L L

El cambio de momento en el tiempo junto con las segunda ley de newton permite encontrar la fueza que las moléculas le ejercen a las paredes de la caja

Por la tercera ley de Newton la fueza sobre las paredes es igual en magnitud pero de dirección opuesta a la fueza ejercida por la moléculas

Si hay N moleculas, la fueza neta sobre las paredes es:



2 2 2

. . .1 1 1

N N N

x i y i z ii i i

v v v

2 21, 3

1 1

N N

x i ii i

v v

El resultado para la dirección x es independiente e las componentes y y z de las velocidades, pero como las moléculas se mueven aleatoriamente el resultado para las direcciones y y z es el mismo

Como , entonces

2 2 2 2

, , ,i x i y i z iv v v v



2

,13

N

tot x ii

mF v

L

Acabamos de encontrar la razón para el nombre de teorema de "equipartición“ pues cada componente de velocidad tiene una parte igual de la energía cinética total

Usando lo anterior se puede reescribir la ecuación como:



2

21

21

3

3

N

i Ntot i

ii

mv

F mLp v

A L V

2

3

rmsNmvp

V

Ahora es posible determinar las presión sobre las paredes de la caja

Utilizando la expresión de la velocidad RMS se tiene que:

El resultado no depende de la forma del recipiente, solo de su volumen



213

213

rms

B

B rms

pV Nmv

pV Nk T

k T mv

32

3

ave B

Brms

K k T

k Tv

m

Finalmente, se necesita la ley del gas ideal para relacionar la temperatura y la energía cinética

Recordando que K=½mv2

La temperatura es directamente proporcional al la energía cinética promedio de las moléculas


Calores específicos de los gases

3 3int 2 2ave BE NK N k T nRT

El comportamiento del gas se utiliza para determinar su calor específico molar

Primero consideremos un gas monatómico donde uno de sus átomos no está ligado al resto como en un gas noble

Ahora, suponiendo que toda la energía interna del gas es energía traslacional

La energía interna de N atomos se puede escribir como


Calor específico a V constante

La combinación de resultados produce una respuesta sorprendente para el valor del calor específico para un gas monoatómico

Este valor concuerda bien con las mediciones tomadas a temperatura y presión estándar

Los valores de CV para gases diatómicos y poliatómicos son superiores que para los gases monoatómicos

32

32

12.5 /

V

V

nC T nR T

C R J molK


Calor específico a P constante

Consideremos ahora la situación en la que la temperatura de un gas ideal se eleva mientras se mantiene constante la presión

Ahora tenemos que:

Cp es mayor que CV porque la energía tiene que ser suministrada por el trabajo con el fin de subir la temperatura

pQ nC T



int

V p

E Q W

nC T nC T p V

p V nR T

Utilizando la primera ley de la termodinámica

Estas sustituciones se han hecho para cambio de energía interna y trabajo realizado a presión constante

Utilizando la ley del gas ideal se puede hacer una sustitución adicional



V pnC T nC T nR T

p VC C R

Completando la sustitución se tiene

Cancelando nΔT , pues es factor común de todos los términos se tiene:


Grados de libertad

Se ha demostrado que para gases monoatómicos CV=3/2R, pero esta expresión no funciona para gases diatómicos y poliatómicos.

Esta diferencia puede ser explicada en términos de los posibles grados de libertad para los diferentes tipos de moléculas

En general un grado de libertad es una dirección en la cual “algo” puede moverse.

Para una partícula puntual en un espacio 3D, existen tres direcciones ortogonales de movimiento independientes


Grados de libertad


Grados de libertad

Los gases diatómicos además de trasladarse pueden rotar alrededor de su centro de masa, esto aporta 2 grados de libertad adicionales 3+2=5 grados de libertad

Los gases poliatómicos además de trasladares y rotar también puede vibrar 3+2+1 = 6 grados de libertad



312 2

3( )ave B BK k T k T

El teorema de equipartición de la energía establece que moléculas de gas en equilibrio térmico tienen la misma energía media asociada con cada grado independiente de libertad

La energía promedio por grado de libertad esta dada por 1/2kBT para cada molécula del gas

Esto resulta en para un gas monoatómico


Gases diatómicos

512 2

3 2 5 52 2 2

(3 2)

8.31 / 20.8 /

ave B B

V

K k T k T

C R R J molK J molK

¿Cómo afecta el teorema de equipartición de la energía el calor específico para un gas diatómico?

Para un gas diatómico gas, se tienen 3 grados de libertad traslacionales y dos rotacionales, entonces

Estos valores concuerdan razonablemente con los valores medidos para hidrógeno, nitrogeno, y oxígeno


Gases poliatómicos

3 3 62 2

3 8.31 / 24.9 /VC R R J molK J molK

Consideremos un gas poliatómico como el metano

Se tienen 3 grados de libertad traslacionales, 2 de rotación y 1 de vibracióm, entonces

Este valor es muy cercano pero un poco menor que el medido para el metano


Comparando la teoría con la experimentación

• La Tabla muestra los valores calculados para CV para gases monoatómicos con sus respectivos valores medidos.


Velocidades moleculares

2

3 2

2242

Bmv k T

B

mf v v e

k T

La siguiente ecuación es llamada la distribución de velocidades de Maxwell

Las unidades de la

distribución son (m/s)-1 y, como cualquier distribución de probabalidades, al integrar la función con respecto a dv se obtiene un 1



0

8 Bave

k Tv vf v dv

m

2 2

0

3 B

ave

k Tv v f v dv

m

La velocidad media para la distribución de Maxwell es

Para determinar el valor medio cuadrático de la velocidad



3 Brms

k Tv

m

2 Bmp

k Tv

m

Calculando la raíz cuadrada del resultado anterior se obtiene:

El valor más probable de la velocidad se calcula derivando la función e igualándola a cero, lo que da:



En la distribución de Maxwell, las velocidades se distribuyen alrededor de la velocidad media

La distribución no es simétrica alrededor de la raíz media cuadrática de la velocidad pues hay una cola que se extiende hacia las altas velocidades

A medida que aumenta la temperatura del gas, la distribución se ensancha y el valor máximo de f(v)

decrece.

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