173733969 Dr Fuentes Reologia

REOLOGIA DE SUSPENSIONES SOLIDO- LIQUIDO (BARROS)ALGUNOS ASPECTOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES ANTIGUOS Y RECIENTES

Ramn Fuentes Aguilar

Fecha: 21 de Noviembre 2008

GENERALIDADES Histrico

Canto de Dbora:Los montes se licuaron a la vista del Seor,como el monte Sina delante del Seor Dios de Israel.Biblia, Libro de Jueces, 5, 5(C. 1400 aos AC)

"Todo fluye (v )"Herclito de Efeso (S VI AC)

"Herclito, yo creo, dice que todas las cosas van y ninguna permanece, y comparando las existencias con el flujo de un ro, dice que usted no puede mojarse dos veces en el mismo ro"

Platn (Cratilus) (S V-IV AC)

De tierra, de lodo hicieron la carne...se deshacaestaba aguadoRpidamente se humedeci dentro del agua y no se supo sostener

POPOL VUH

2


Los antecedentes histricos de la Reologa son, a menudo, difcilmente separables de los de la Mecnica del Continuo.

Se considera como antecedentes bsicos:

ley de la viscosidad de Newton (1686) para los fluidos viscosos. ley de Hooke (1676) para los medios deformables elsticos. trabajos realizados en el siglo XIX por Cauchy, Poisson, Navier, Saint

Venant y Stokes.

El viscosmetro capilar est asociado a los nombres de Hagen (1797-1884) y de Pouseuille (1799-1869). Existen al respecto dos paradojas histricas:

La distribucin de velocidades parablica que hoy es inseparable de los nombres de Hagen y Pouseuille no fue descubierta por ellos sino por Newmann en Konigsberg(1798-1895) y por Hagenbach en Basel (1833-191) (Rouse y Ince, 1957);

La sangre, que era el lquido que interesaba a Pouseuille (que era mdico y no ingeniero) Es un fluido no newtoniano!

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El viscosmetro de cilindros rotatorios (cilindro exterior girando, cilindro interior inmvil) fu desarrollado por Maurice Couette (1888) (Figura 1).

El que opera con el cilindro exterior inmvil-cilindro interior girando fue la obra de Searle (Figura 2).

Por lo tanto, se le llama de Couette al primero y de Searle al segundo.

Empero surgen disidencias: hay quienes asocian ambos a Couette y otros, ms salomnicos, les llaman Searle-Couette o a la inversa.

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Figura 1

Figura 2


La primera investigacin sobre dinmica de suspensiones fue realizada en su tesis doctoral por Albert Einstein (1906-1911), quin demostr, terica y experimentalmente que una suspensin de esferas posee una viscosidad mayor que la del lquido. Su frmula permanece hasta hoy no solamente como un hito, sino que ha inspirado muchos desarrollos posteriores.

El trmino Reologa fu creado por Eugene Cook. Bingham, profesor del Lafayette College en 1920,1929?, a partir de una sugerencia de Markus Reiner (Wikipedia, 2008).

El vocablo viene del griego:

La emergencia de la Reologa estuvo ligada al desarrollo de la industria de los polmeros, as como a la cooperacin del National Bureau of Standards (Washington) y del American Institute of Physics (Piau, 2001).

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GENERALIDADES Definiciones

A este respecto, uno de los fundadores de la Reologa, Markus Reiner, 1956, se cuida muy bien y no la define en forma especfica. Pero s Reiner indic muy claramente las distinciones siguientes:

La Reologa Fenomenolgica trata con materiales homogneos o casi homogneos a un nivel fenomenolgico, (medios continuos).

La Macroreologa mira los materiales tal como ellos aparecen bajo una inspeccin superficial a ojo desnudo.

La Microreologa toma en cuenta la cuasi-homogeneidad y la cuasi-isotropa, deduciendo el comportamiento reolgico de los materiales complejos a partir del comportamiento reolgico conocido de sus constituyentes.

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GENERALIDADES Definiciones

Los autores ms jvenes ya no son tan prudentes. As, han surgido las siguientes definiciones:

Reologa es el estudio del flujo de materia: principalmente lquidos, pero tambin slidos blandos bajo condiciones en las cuales ellos fluyen en vez de deformarse elsticamente (Schowalter, 1978).

La Reologa puede definirse como la ciencia de la materia que escurre (Piau, 2001).

Las definiciones de la Reologa son extremadamente vastas: solamente deja fuera los slidos indeformables (que en rigor son inexistentes).

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GENERALIDADESDefiniciones

Existe un sesgo importante:

Todo el mundo sabe que una cantidad de fluidos importantes (entre ellos el agua y el aire) son newtonianos.

Pero existen numerosos fluidos tambin importantes (entre ellos las mezclas slido - lquido) que no obedecen la ley citada y se les denomina no-newtonianos.

En lo que sigue este trabajo estar limitado a lquidos y a suspensiones slido-lquido.

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GENERALIDADES Concepto de Suspensin

La mecnica de suspensiones es un captulo del estudio ms general de la fisicoqumica de las dispersiones.

Dispersin: mezcla de dos fases distintas en las cuales una de las fases es asimilable a un fluido continuo (denominado fase fluida o fase dispersante) y la otra fase es discontinua y se encuentra repartida bajo la forma de elementos de volumen separados (fase dispersada).

La fase fluida o dispersante puede ser un lquido o un gas, la fase dispersada puede ser un lquido, un slido o un gas.

Si la mezcla consiste en partculas slidas dispersas en un lquido, se trata de una suspensin.

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GENERALIDADES Ejemplos de Suspensiones

Ejemplos Globales de Suspensiones Reolgicas:

sangre semen cremas de belleza barnices de uas mayonesa salsas para ensalada mantequilla pastas dentfricas algunos barnices y pinturas concreto fresco suspensiones de polmeros fluidos para perforacin de pozos

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GENERALIDADES Ejemplos de Suspensiones

Los relativos a la Geofsica y a la Hidrulica Fluvial se pueden enumerar como sigue:

magmas lavas avalanchas de nieve escurrimiento de glaciares flujo de detritos (debris flow) flujo de barros arcillosos escurrimientos fluviales con alta concentracin y/o alto contenido de

finos

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CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS

La caracterizacin de las partculas para fines de la Hidrulica Fluvial est expuesta en forma muy completa en una monografa de Garca Flores y Maza Alvarez (1998). Aqu solamente se recordarn algunos conceptos y se darn algunos complementos sobre la sedimentacin de partculas, por sus implicancias en la reologa de suspensiones.

Cuando son muy pequeas (con un tamao del orden de micrones) las fuerzas de Coulomb, de Van der Waals y aquellas asociadas al movimiento browniano pueden ser preponderantes respecto a las gravitatorias (e.g. Molerus).

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CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASTamao de partculas

Se tomarn aqu las definiciones del tamao que se emplean habitualmente en Hidrulica Fluvial (Garca Flores y Maza lvarez (1998), Vanoni):

Dimetro nominal: es el dimetro de una esfera que tiene el mismo volumen de la partcula.

Dimetro de sedimentacin: es el dimetro de una esfera de la misma densidad y de la misma velocidad de sedimentacin W de la partcula sedimentando en el mismo fluido (iguales condiciones de temperatura y presin).

Dimetro de tamiz: longitud del lado de una abertura cuadrada de una malla por la cual la partcula pasa ajustada.

Un problema frecuente es el de relacionar el dimetro de tamiz y el dimetro nominal. Existe afortunadamente una relacin emprica sencilla entre estas magnitudes (Garca Flores y Maza lvarez):

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nominaltamiz d0.9d =

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASForma de partculas

Se han realizado numerosos intentos de definir en trminos analticos sencillos la forma de las partculas (ver, por ejemplo, Graf). Algunos de estos planteamientos son:

Esfericidad de Wadell (Pettyjohn y Christiansen).

rea superficial (Alger y Simona).

Dimensiones triaxiales (Corey).

En lo que sigue se considerar solamente el criterio de Corey: a la partcula real se le circunscribe un elipsoide imaginario de semiejes a, b y c (c < b < a). El tamao de la partcula queda descrito por a, b y c y la forma por el elipsoide correspondiente.

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CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASDensidades y concentraciones

Notaciones:

Mp : Masa de las partculas Ml : Masa del lquido M : Masa total : Volumen ocupado por las partculas : Volumen ocupado por el lquido : Volumen total p : Densidad de las partculas l : Densidad del lquido M = Mp+Ml = +

Densidad relativa o peso especfico relativo:

Peso especfico relativo sumergido:

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pl

l

pS =

1Sl

lp ==

p l

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASDensidades y concentraciones

Concentracin en masa (o en peso) Cp :

Concentracin en volumen CV :

Densidad de la suspensin o de la mezcla m : Densidad relativa de la mezcla :

Para transformar unas a otras estas expresiones, se ofrece la tabla siguiente:

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M

MC pp =

= pvC

=M

m

l

mmS

=

Parmetro

1

1

1

vC pC m

vC p

p

C)1S(S

C

lplm

pCv

v

C)1S(1CS

+

m

p

lp

lm

m vlpl C)( +p

p

C)1S(S

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASVelocidad de sedimentacin, caso de una partcula nica en un medio ilimitado

Realizando un balance de fuerzas entre el peso de la partcula, el empuje de Arqumedes asociado y la ley de Newton para la resistencia hidrodinmica se encuentra:

: Volumen de la partcula. Ap : rea transversal (cupla maestra) de la partcula Ca : Coeficiente de arrastre hidrodinmico FF : Factor de forma

Si se trata de una esfera de dimetro d:

Si Re


Pese a que en rigor Re


Empero una comparacin con datos experimentales indica que la mejor frmula es la de Abraham y Concha y Almendra, que por lo dems permite un anlisis perfectamente paralelo al que se realiza mediante la frmula de Rubey:

Segn Concha y Almendra: C0 = 0.28 Ca = 9.06

Esta relacin tiene adems el mrito de descansar sobre un desarrollo terico conceptualmente slido.

Fuentes et al a partir de la expresin anterior para Ca, encontraron la siguiente relacin adimensional explcita para W:

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2

e0a R1CC

+=

2

ed0ed

2

d

*

R2

C34

+R4

VW

W

=

d

*

VW

W = =dV

R ded


Red : Nmero de Reynolds densimtrico de la partcula. Vd : Velocidad densimtrica de la partcula.

Fuentes y Alonso han demostrado asimismo que el valor de C0 puede considerarse constante solamente si Red


Se emplear el dimetro nominal, definido por:

La forma de la partcula puede cuantificarse mediante el factor de forma de Corey F:

Analizando un banco de datos extenso e introduciendo restricciones provenientes de casos lmites tericos, Fuentes, Aguirre y Alonso encontraron las expresiones siguientes:

Introduciendo estas dos ltimas ecuaciones en la ecuacin encontrada por Fuentes et al, es posible entonces estimar W para partculas naturales.

21

3/1

p6

d

=

ba

cF =

2F32

06.0F932

++=

++=1000R

tanh1)F78.1F5.32(C ed20

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULASVelocidad de sedimentacin, caso de un conjunto de partculas en un medio limitado

Si las partculas estn concentradas suficientemente y/o estn contenidas en un recipiente cuya seccin no es muy grande respecto a la de una partcula, su velocidad W ya no es la misma que para una partcula aislada W0. En general W es menor que W0 y se habla entonces de sedimentacin obstruida o retardada (hindered settling).

Si se acepta que la suspensin es inerte, el problema puede plantearse con suficiente generalidad como el de determinar la funcin F siguiente:

D: Dimetro de la vasija en que las partculas estn descendiendo. W0: Velocidad de la partcula para CV 0 y d/D 0

En el caso en que las partculas correspondan a nmeros de Reynolds muy pequeos frente a la unidad el problema admite soluciones analticas (ver Happel y Brenner).

Obviamente, estos clculos son de utilidad prctica limitada.22

)D/d,R,C(FWW eov0=

= /dWR 0eo


Se emplean con frecuencia, en la prctica, los resultados del estudio puramente emprico de Richardson y Zaki. Las frmulas correspondientes son:

23

nv

0

)C1(WW =

2.0Reo < Dd

5.1965.4n +=

1R2.0 eo


El xito de las expresiones de Richardson y Zaki se debe a que son sencillas y directas. Asimismo, ellas descansan sobre una experimentacin de amplio rango.

Prescindiendo de los efectos de ,Wallis (1969)ha desarrollado una expresin semiterica que da valores de muy cercanos a los de las frmulas de Richardson y Zaki en el intervalo (0, 100):

Sobre la sedimentacin retardada se han realizado numerosos estudios. Como ejemplos vanse los realizados por Molerus (1983,1985).

Ms recientemente se ha producido evidencia emprica indicando que el exponente n crece fuertemente cuando las partculas son muy pequeas. Se encuentran valores de 8 y an 14. Ver Concha (2001), Salinas et al. (2007?).

24

Dd /

eoR

eo

eo

R

R n

0.687

0.687

0.253 + 1

0.15 +17.4=

COMPORTAMIENTO REOLOGICO

El enfoque que se emplear en este trabajo es muy simplificado. Si se desea una visin ms completa y rigurosa se pueden consultar e.g. Oka (1960) o Truesdell (1966).

25

COMPORTAMIENTO REOLOGICOCurva Reolgica

Esta curva, en trminos sencillos, puede concebirse como el resultado del siguiente ensayo imaginario:

26

== &dtd

dydu

&

Es fcil ver que:

: Velocidad de deformacin angular

COMPORTAMIENTO REOLOGICOCurva Reolgica

Si se miden du/dy y para diferentes valores del gradiente de velocidades se puede definir una curva:

Ella es, por definicin, la curva reolgica, diagrama reolgico o reograma del fluido considerado.

En lo que sigue, salvo excepciones:

[ ] = [sec-1]

[ ] = 1 = 10 Se recalca que esta es una definicin sencilla apropiada para el trabajo

que se describe aqu y para algunas aplicaciones. Definiciones completas pueden consultarse en Truesdell (1966) y en Bird et al. (1960).

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( )=

= &fdydu

f

&

m

N2

cm

dina2

COMPORTAMIENTO REOLOGICODependencia del Tiempo

Existen fluidos cuyas propiedades reolgicas varan con el tiempo. Se distinguen dos grupos:

FLUIDOS TIXOTRPICOS: Si la tensin tangencial disminuye con el tiempo, se habla de un fluido que exhibe tixotropa. Se encuentran frecuentemente: por ejemplo, las suspensiones de bentonita en agua son tixotrpicas y muchos petrleos crudos tambin los son.

FLUIDOS REOPCTICOS: Estn caracterizados por un aumento con el tiempo de la tensin tangencial necesaria para mantener un valor constante de la velocidad de deformacin angular. No se encuentran frecuentemente.

28


29


FLUIDOS VISCOELSTICOS: Ellos muestran simultneamente caractersticas viscosas y elsticas. Como ejemplo se pueden dar todos los polmeros fundidos.

Este comportamiento puede ser importante en cambios bruscos de flujo o en escurrimientos que oscilan con altas frecuencias.

En flujos estacionarios o no estacionarios con procesos largos en el tiempo la viscoelasticidad no muestra efectos sensibles.

Una excepcin importante es la influencia que la viscoelasticidad puede tener en la reduccin del gradiente de presin en flujos turbulentos.

30


Vlasak et al (2004) experimentaron con cenizas de d50 = 14 [m]. Se pudo constatar una disminucin a la mitad de la prdida de carga requerida para mover la suspensin transcurrido un tiempo cercano a 4 horas.

Schaan et al (2004)mostraron en una suspensin de arcilla floculada que el torque requerido para cizallarla se reduca en ms de la mitad despus de operar algo ms de media hora, alcanzando un valor asinttico.

Wang et al (1994) compararon diferentes muestras de arcilla de diferentes composiciones, encontrando comportamiento tixotrpico para algunas y reopctico para otras.

En lo que sigue se excluirn los posibles efectos tixotrpicos, reopcticos y viscoelsticos del anlisis, ya que son esencialmente especficos.

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COMPORTAMIENTO REOLOGICOCurva Reolgicas

Ejemplos de diagramas reolgicos:

Newtoniano : Curva A Pseudoplstico : Curva B Dilatante : Curva C Plstico ideal : Curva D Pseudoplstico con tensin de fluencia : Curva E Dilatante con tensin de fluencia : Curva F

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COMPORTAMIENTO REOLOGICOModelos reolgicos

En trminos muy simplificados, ellos son expresiones de la curva reolgica. Los ms usados en reologa de suspensiones son:

Pseudonewtoniano:

Bingham: (Plstico ideal)

Ostwald y de Waele (Brauer, 1971):

(Pseudoplstico o dilatante, segn si n1, respectivamente)

Herschel y Bulkley (Coussot, 1994):

(Pseudoplstico o dilatante con tensin de fluencia)

Casson (Kruyt y Verel, 1992):

(Pseudoplstico con tensin de fluencia)33

= &+= &Bf

nK = &

nf K += &

+= &cf

COMPORTAMIENTO REOLOGICODefiniciones de Viscosidad

Viscosidad aparente (o "viscosidad secante")

Se define como:

Si se trata de un fluido newtoniano:

En todos los otros casos a depende de y entonces no est bien definida salvo que se especifique el valor de .

En particular, para el plstico ideal y el pseudoplstico a decrece con

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=&a

ctea ==

&

&

&


Viscosidad local (o "viscosidad tangente")

Se define como:

Para un fluido newtoniano:

Para un fluido Bingham:

Salvo en estos dos casos, 1 vara con . Se suele tambin emplear la nocin de viscosidad aparente asinttica:

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=&d

d1

ctea1 ===

cteB1 ==&

= && Lm


En algunos casos este lmite no existe. Para los modelos de Bingham y de Casson, respectivamente:

Se deduce que, en general la viscosidad aparente y la local son nociones que carecen de significado salvo que se especifique el valor de para la cual fueron medidas.

Si se comparan estas cantidades en muestras o ensayos diferentes, la comparacin debe hacerse para un valor comn de .

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B=

c=

&

&

COMPORTAMIENTO REOLOGICOEjemplos de Curvas Reolgicas Reales

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Arena d100>74[m] E1- Bingham Concentracin moderadaCp = 0.6f= 0.6 [Pa] b = 8 [mPa.sec]R = 0.972

PresenterPresentation NotesHhhh


Arena d100>74[m] E2- Bingham Concentracin alta

Cp = 0.75f= 3 [Pa] b= 975 [mPa.sec]R = 0.997

PresenterPresentation NotesFfffh


d10 = 4[m]d84 = 110[m] E3- Sedimento fino 1Cp = 0.60 f= 0.6 [Pa]b= 49 [mPa.sec] Bingham (todos los puntos)R = 0.899


d10 = 4[m]d84 = 110[m] E4-Sedimento fino 1Cp = 0.60 Bingham (puntos seleccionados)f= 22 [Pa] b=36 [mPa.sec]R = 0.996


d10 = 4[m]d84 = 110[m] E5- Sedimento fino 1Cp = 0.60 Cassonf= 12Pa] b=18 [mPa.sec]R = 0.925


d10 = 4[m] E6- Sedimento fino 1d84 = 110[m] Cp = 0.60 Herschel y Bulkleyf= 3 [Pa]K = 5.096n = 0.313R = 0.973


d10 = 3[m] Sedimento fino 2d84 = 115[m] Cp = 0.49 Herschel y BulkleyTauf = 1 [Pa]K = 7.857n = 0.235R = 0.996


d10 = 3[m] Sedimento fino 2d84 = 115[m] Cp = 0.49 BinghamTauf = 22 [Pa]Mub = 28 [mPa.sec]R = 0.994

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA

Los parmetros que aparecen en los modelos reolgicos dependen de las propiedades de la suspensin y de muchas variables. Por ejemplo:

Concentracin

Granulometra (gruesos y finos)

pH (si la suspensin no es neutra)

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PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIAEfecto de la Concentracin

La viscosidad crece con la concentracin.

Para concentraciones relativamente pequeas la viscosidad crece suavemente.

Para valores importantes crece en forma muy pronunciada y para valores elevados el crecimiento es muy fuerte.

En particular para la mxima fraccin volumtrica alcanzable o concentracin de empaquetamiento CVmax la viscosidad tiende al infinito.

46

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto de la Concentracin

Respecto a la concentracin mxima que puede alcanzarse, ella depende obviamente de la distribucin granulomtrica y de la forma de las partculas.

Empero es interesante analizar el caso idealizado en que las partculas son esferas idnticas entre s. El problema fue resuelto por Slichter en 1899 (Forchheimer, 1935).

47

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto de la Concentracin

Slichter plante que, para que las esferas estn en contacto es preciso que los centros de ellas coincidan con los vrtices de un romboedro cuyos lados valen d y cuyo ngulo agudo vale . La concentracin volumtrica se calcula como:

Por otra parte el valor de define el nmero de partculas que estn en contacto con una de ellas (nmero de coordinacin NC).

Los casos extremos son:

= 60o - NC = 12; CVmax 0.7405

= 90o - NC = 6; CVmax 0.5236

48

( ) +=

cos21cos1

16

CV

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto de la Concentracin sobre la Viscosidad

Dada la importancia del problema de la viscosidad de una suspensin y el efecto que produce la concentracin, su clculo se ha emprendido desde hace ya un siglo.

49


El primer modelo terico fue desarrollado por Einstein en su tesis doctoral presentada en la Universidad de Zurich (Einstein, 1911):

: Viscosidad de la suspensin 0 : Viscosidad del fluido sin partculas.

Este modelo es vlido solamente para concentraciones muy pequeas y partculas esfricas.

Para partculas no esfricas, el clculo fue extendido por Jeffery (1922). Si las partculas son elipsoides muy alargados:

Este resultado sugiere que la viscosidad relativa no depende muy crucialmente de la forma de las partculas, al menos para concentraciones pequeas, conservativamente menores que 1 %.

50

v0

C25

1+=

v0

C21+=


Simha (Govier y Aziz, 1972) obtuvo:

Esta frmula tampoco parece ser muy valedera para barros.

Thomas (Govier y Aziz, 1972) propone la siguiente expresin emprica:

Un enfoque que lleva a buenos resultados es el introducir la concentracin CVmax.

Se pueden citar a este respecto las frmulas siguientes:

Van Dick-Eilers (Wellmann, 1977):51

.......C1.14C25

1 2vv0

+++=

( )v2vv0

C6.16exp00273.0C05.10C25

1 +++=

2

v

v

0 C35.11C

21

25

1

+=


Si se toma CVmax = 1/1.35 0.741, esta relacin se puede interpretar como:

Vocadlo (Vocadlo y Charles, 1972) propone una propone una relacin parecida a la de Van Dick-Eilers que incluye un parmetro adicional n:

Vocadlo y Charles (1972) indican que n = 0.62 para un conjunto de esferas empaquetadas al azar. Asimismo afirman que para n = 2 su ecuacin da valores cercanos a las de Van Dick - Eilers y de Thomas.

52

2

maxv

v

v

0

CC

1

C

21

25

1

+=

n

maxv

vmaxv

0

CCv

1

CCn

25

exp

=


Pero en el caso de disponer de un nuevo conjunto de experiencias n y CVmax resultan parmetros experimentales que hay que ajustar. Se tiene entonces:

CVmax = 0.74 para Van Dick - Eilers CVmax = 0.62 segn Vocadlo y Charles

Se ve que estas cifras no se alejan mucho de los valores geomtricos calculados por Slichter hace ya ms de un siglo. Una frmula monomia sencilla y que da resultados razonables es la siguiente:

C1 es una constante que se ajusta a partir de los datos experimentales.

53

( )CvCexp 10

=

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto de la Concentracin sobre la Tensin de Fluencia

No existe, aparentemente, un modelo terico satisfactorio para la relacin entre f y la concentracin. Por el contrario, existen numerosas expresiones empricas. Se dan algunos ejemplos:

(Thomas (1961), Govier y Aziz 1972):

PSI:

54

3v1f CC=

nv2f CC=

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto del Tamao de las Partculas sobre la Viscosidad

55

Un esquema de la dependencia de la viscosidad aparente con el dimetro de las partculas se muestra en la siguiente figura (adaptada de Klein, 2002).

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto del Tamao de las Partculas sobre la Viscosidad

56

Como un antecedente interesante se muestra en esta figura un diagrama desarrollado por Farris (Heywood, 1991 p.56) que indica un mnimo de la viscosidad relativa para una granulometra intermedia, a concentracin Cm dada.

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto del Tamao de las Partculas sobre la Tensin de Fluencia

57

La tensin de fluencia decrece fuertemente cuando crece el dimetro de las partculas. Por ejemplo, segn Thomas (Govier y Aziz, 1972), para una concentracin constante:

2f d

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto del pH sobre la Viscosidad

58

La influencia del pH sobre la viscosidad aparente se muestra en trminos gruesos en el siguiente croquis (adaptada de Klein, 2002).

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Efecto del pH sobre la Tensin de Fluencia

59

Un croquis de la dependencia de la tensin de fluencia respecto el pH se muestra en la siguiente figura (adaptada de Klein, 2002).

aglomeracinf

pH

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA Ejemplo

Valores experimentales de B/0en funcin de CV.

El barro estaba caracterizado por:

S = 2.7 d50 = 50 [m] d90 = 143 [m] pH = 7

60

El Teniente (Wellmann (1977))

Arcillas (Daido, 1976)


Para estas mismas suspensiones se muestran los resultados obtenidos por los mismos autores para f como funcin de CV.

De las Figuras se obtiene:

(arena)

(arcilla)

f = 13 [Pa] (arena)

f =145 [Pa] (arcilla)

61

90

B =

1120

B =

El Teniente (Wellmann (1977))

Arcillas (Daido, 1976)


Se observa que los parmetros reolgicos son un orden de magnitud ms elevados para la arcilla que para la arena.

Hay que recalcar que se trata solamente de un ejemplo no generalizable.

Las mediciones reolgicas sobre barros son muy especficas

62

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROSIntroduccin

Existen muchos tipos de viscosmetros y remetros pero no todos los remetros son aceptables para la medicin de las curvas reolgicas de barros.

Mayoritariamente con este fin se emplean los viscosmetros de tubo y los de cilindros coaxiales.

Hasta donde se ha podido investigar, los ms usados para barros son los de tubo y los de cilindros coaxiales y entonces en lo que sigue se tratar solo de estos (con algunas variantes).

63

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Tipos de remetros de cilindros coaxiales

Ellos pueden diferir grandemente en su geometra (ver figura).

Asimismo hay que distinguirlos por el giro; existen dos tipos:

Aparato Couette: el cilindro exterior gira y el interior est fijo.

Aparato Searle: El cilindro interior gira y el exterior est inmvil.

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REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Aproximacin del ancho mar

Si el radio R2 cilindro externo crece indefinidamente el cilindro interno gira en un medio ilimitado (ver figura)

En este caso, el problema inverso tiene una solucin (comparativamente) sencilla, que se ver ms adelante.

65

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Remetro de paletas (vane rheometer)

El cilindro interno ahora no es macizo, sino fluido: est formado por paletas rectangulares (ver figura).

Este aparato se usa mayormente en el marco de la aproximacin del ancho mar; como en el caso anterior, el problema inverso admite una solucin (ms o menos) directa.

66

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Remetro de Coussot

La necesidad de estudiar detritos dejados por avalanchas (Figura 1) impulsaron a Coussot (1993) a desarrollar y a construr un remetro de Couette capaz de tratar muestras reales (Figura 2 y Figura 3).

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Figura 1

Figura 2

Figura 3

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Principio de Funcionamiento

Cilindros coaxiales:

Las lneas de corriente entre los dos cilindros son, aproximadamente, crculos concntricos. El gradiente de velocidades entre los cilindros produce, debido a la viscosidad, una distribucin de tensiones tangenciales.

Se supone medible la velocidad angular del cilindro interior y el torque T correspondiente

Tubo capilar:

En el caso del remetro de tubo o capilar se impone un gradiente de presiones dP/dx y se mide el caudal Q, de donde, conociendo el dimetro D se calcula V. Con el gradiente de presiones y D se calcula la tensin tangencial.

68

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Estabilidad

Se supondr que las mediciones se han realizado con un remetro bien calibrado, exento de vibraciones y desplazamientos parsitos y cuyas dimensiones y rango corresponde correctamente al material que se ensaya.

An as se constata que el reograma resultante puede ostentar formas caprichosas: un ejemplo se muestra en la figura.

Se observa que entre los puntos A y B el comportamiento lineal exhibido sugiere que se trata de un plstico Bingham. Pero el segmento BC muestra un comportamiento que podra ser asociado a un fluido dilatante.

69


Esta anomala puede ser explicada en muchos casos por la aparicin de inestabilidad del escurrimiento entre los cilindros. El patrn original de las lneas de corriente era de crculos concntricos teniendo como eje comn el de giro. Este patrn, cuando aparece la inestabilidad se convierte en un tren de vrtices tridimensionales semejantes a trenzas que se enroscan en el espacio entre los dos cilindros coaxiales (ver figura).

Este fenmeno ha sido estudiado terica y experimentalmente a partir de una investigacin pionera realizada por Taylor en 1923 para fluidos newtonianos (Schlichting, astron.berkeley.edu (ABU) y el fenmeno es conocido como el de los vrtices de Taylor.

70


Segn Schlichting la aparicin de los vrtices de Taylor se produce para:

ay : Nmero de Taylor : Velocidad de giro del cilindro interior R1, R2: Radios del cilindro interior y exterior, respectivamente : Densidad : Viscosidad dinmica c : Crtico.

ABU da otra manera de expresar este criterio, pero se puede demostrar que son prcticamente equivalentes.

Heywood y Alderman ofrece un criterio formalmente diferente de los anteriores, pero que puede reducirse a una forma cercana a las ya expuestas.

El problema es como aplicar este criterio para fluidos no newtonianos. Heywood y Alderman sugieren un procedimiento grfico para emplear su mtodo.

71

( ) 3.411sR ayc2/32

1ay =>

=


Para el caso de un reograma que ostenta una zona recta, lo que hace sospechar que su comportamiento exento de la inestabilidad de Taylor es el de un plstico Bingham se puede identificar la recta visualmente, pero este procedimiento puede ser dudoso y depende fuertemente de la habilidad y experiencia previa del analista. Un procedimiento ms sistemtico es el siguiente: Se escoge un nmero variable de puntos en la zona recta variando el

punto extremo superior. Se calcula la viscosidad Bingham (Shook). Se calcula ay y se compara con el valor crtico, escogiendo finalmente

el segmento para el cual ay < ayc. Es de hacer notar que la inestabilidad de Taylor se presenta para una

mayor velocidad de giro en el aparato de tipo Couette (gira solamente el cilindro exterior). Segn Heywood y Alderman se requiere una velocidad cerca de 10 veces mayor.

Schramm indica que ella simplemente no aparece en el aparato Couette. Debe indicarse que algunos autores (Vgr. O'Brien et al y Aguirre-Pe et al)

indican que la zona curva BC puede deberse a turbulencia y colisiones entre partculas.

72

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Efecto de los extremos

El hecho que los cilindros no sean infinitamente largos induce errores debido a la deformacin que se produce en el patrn de escurrimiento cerca de los extremos.

Este efecto (y el error involucrado) se investiga empleando cilindros de diferentes largos o bien desarrollando correcciones tericas (Heywood).

Un remedio es que el cilindro interno tenga una cavidad en la cara inferior. Al introducir el cilindro en la suspensin, esta cavidad queda llena con aire y entonces impide que el movimiento de rotacin induzca un torque parsito en la cara inferior.

73

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Efecto de deslizamiento en la pared

Puede detectarse empleando cilindros del mismo largo y diferentes dimetros. Si este efecto es sensible, los reogramas no se superponen. Existen procedimientos para corregir los datos (Cheng y Parker, Heywood).

Existen asimismo rotores diseados para eliminar o paliar este efecto, por ejemplo, haciendo rugosa la pared del cilindro interno (Klein).

74

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Problemas por sedimentacin de partculas

Si la velocidad de sedimentacin no es despreciable el anillo entre los dos cilindros funcionar como un decantador y se formar un patrn semejante al que se muestra en la Figura (adaptada de Klein). Se concibe fcilmente que las medidas no representan el comportamiento de la suspensin homognea.

HAAKE (Eidam) ha desarrollado un aparato en el cual el cilindro interior tiene tallada una ranura en espiral. Esta ranura, al girar el cilindro, crea una corriente ascendente que se opone a la sedimentacin de las partculas.

75

Klein menciona varios mtodos: Overend et al (1984) idearon el

empleo de un cilindro exterior ranurado y abierto en la parte inferior. El conjunto est inmerso en un tanque agitado. La suspensin agitada fluye dentro del espacio anular entre los cilindros.

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Problemas por sedimentacin de partculas

Clarke (1967) y Purohit y Roy (1968) emplearon un cilindro exterior abierto en la parte inferior dentro de una vasija. Un rodete de bomba girando en el fondo de la vasija impulsa la pulpa hacia arriba en el espacio entre la vasija y el cilindro exterior del remetro y esta desciende por el espacio anular entre los cilindros.

HAAKE ide el empleo de una bomba que fuerza la suspensin a subir por el anillo a una tasa mayor que la velocidad de sedimentacin de las partculas.

Valentyik (1971), Ferrini et al (1979) Klembowski (1988) y Reeves (1990) alimentaban en forma continua la pulpa por arriba dentro del anillo y la retiraban por abajo.

Klein ide el empleo de un cilindro exterior de largo suficiente para que el cilindro exterior est siempre en la zona en que la suspensin guarda las propiedades iniciales. Este aparato no requiere agitacin ni flujo forzado.

Existen aparatos para medicin continua de las propiedades reolgicas. Su uso no est an muy extendido. Klein da un listado de ellos.

76

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Relacin espaciamiento de cilindros y dimetro de los slidos.

Por diversas razones, es conveniente que el espaciamiento e entre los cilindros sea pequeo. Esto normalmente no representa problemas para fluidos puros, pero s, evidentemente, cuando se investiga una pulpa.

Klein da una regla: e debe ser igual o mayor que 10d. Se supone aqu, a falta de mayor informacin que d es el dimetro mximo.

A menudo, para poder manejar la suspensin dentro del anillo de espaciamiento e, es necesario recortar la granulometra eliminando los dimetros ms grandes. La pregunta que surge de inmediato es si la granulometra recortada representa an as las propiedades reolgicas de la pulpa original.

Es una pregunta difcil de responder. Un mtodo que puede emplearse es realizar mediciones con diferentes grados de recorte y compararlas. Un mtodo para estimar este efecto a priori ha sido desarrollado por Heywood.

77

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Comparacin de remetros

Se menciona aqu un estudio realizado sobre barros empleando dos remetros Searle; los remetros se designarn por A y B.

En la Figura 1 se puede constatar que los valores de la viscosidad medidos con ambos remetros son cercanos, siendo los A algo menores que los B.

La dispersin que ambos conjuntos muestran no permite decir que esta diferencia sea significativa.

Sobre la Figura 2 se comparan los valores de la tensin de fluencia. Los valores A son mayores que los de B, pero la dispersin es grande y no permite decir que las diferencias sean muy importantes.

Los remetros son aparatos delicados y su operacin requiere de conocimiento, destreza y paciencia.

En especial, deben ser recalibrados y verificados con una frecuencia razonable.

78

Figura 1

Figura 2

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS Comparacin de remetros.

Sofra (2007) ha comparado reogramas obtenidos con tres aparatos: Cilindros concntricos Remetro de paletas Capilar Todo esto para una muestra de mineral de nquel Se observa una razonable concordancia para velocidades angulares de

deformacin altas, pero existen discrepancias serias para valores bajos

79

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSOPlanteamiento

Un remetro no mide directamente las variables y que describen el reograma.

Lo que mide son cantidades (X, Y) que, se supone, se pueden relacionar con y .

El problema fundamental del anlisis de resultados en Reologa experimental se denomina problema inverso y se plantea como la determinacin del algoritmo para determinar las relaciones:

Es interesante indicar que, pese a que el problema inverso se enunci hace ms de medio siglo, an hoy no ha sido resuelto en forma satisfactoria para todos los casos.

Aqu se estudiarn solamente algunos ejemplos sencillos que son de inters prctico frecuente.

80

( )Y,XF1=( )Y,XF2=&

&

&

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro capilar

Se supone un flujo incompresible y laminar en un tubo de seccin circular y de longitud indefinida, sometido a un gradiente de presin rigurosamente constante (ver figura). El escurrimiento ser, entonces, paralelo y dinmicamente establecido.

Es fcil demostrar que, bajo condiciones muy generales se cumple la siguiente relacin para un ducto cilndrico de seccin circular (Stokes, 1852 segn Oka, 1960):

Donde: R: radio local medido desde el centro de la tubera circular R0: radio interno del tubo : tensin tangencial 0: tensin tangencial en el contorno = - (dP/dx): gradiente de presiones, supuesto uniforme a lo largo del

capilar 81

( ) R21

R =

( ) 000 R21

RR ===


Para lo que sigue, se supone que se han realizado experimentos que permiten determinar pares de valores de y 8V/D.

Empleando estos valores se desea determinar y . Se denomina pseudoreograma a la relacin =f(8V/D). La velocidad angular de deformacin en un punto distante R del eje y el

caudal en volumen valen:

Vx(R): velocidad local

Integrando por partes y aceptando que no existe deslizamiento en la pared (para R = R0, Vx = 0) se demuestra (Oka, 1960):

82

( )dRdV

R x=&

&

( ) dRRRV2Q 0R

0

x=

( ) ( ) =

d1

I 2

03

00

0

&


Aceptando que no existe deslizamiento en la pared, se puede obtener una expresin para (Oka, 1960):

Otra forma de expresar es la dada por Ancey (2005):

Por ltimo, la distribucin de velocidades est dada por:

Es de hacer notar que estas relaciones no solucionan el problema inverso para el remetro capilar: ms bien lo plantean en forma precisa.

En lo que sigue, se les denominarn ecuaciones bsicas.83

( )[ ]

= dQd

R

1 03

30

2&

( ) =

d

RRV

0

0

0x &

( ) ( )0

000 ddF

F3 +=&

( ) ( ) ( )30

03

0

00

I

R

QF

==

&

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro capilar soluciones para fluidos con comportamiento reolgico conocido

A) Fluido Newtoniano:

Se tendr:

: viscosidad dinmica. Puede considerarse una variable de estado y es entonces funcin de la presin y de la temperatura.

En una suspensin, depende de varios parmetros y, principalmente, de la concentracin de las partculas slidas.

Desarrollando y manipulando las relaciones bsicas, se obtiene que:

Estas dos ltimas relaciones son la solucin explcita del problema inverso.84

=&

4D=

DV8=&

( ) ( )220x RR4RV = :Perfil parablico ya conocido (Schlichting, 1968)

Estas relaciones, bajo una forma diferente, llevan el nombre de Buckingham (1921) (Govier y Aziz).

Ahora, si se miden pares de valores de , 8V/D se puede trazar el pseudoreograma = f(8V/D).

Este ya no es una lnea recta, sino una curva que parte de = f y que asintotiza a:

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro capilar soluciones para fluidos con Comportamiento reolgico conocido

B) Plstico de Bingham:

En este supuesto:

B: viscosidad plstica o de Bingham.

Desarrollando y manipulando las relaciones bsicas, se obtiene que:

85

DV8

34

Bf +=

0=& f0

( )= F4D

DV8

B

( ) 431

34

1F +=

0

f

=

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro capilar soluciones para fluidos con comportamiento reolgico conocido

B) Plstico de Bingham (continuacin):

Por lo tanto, se pueden medir indirectamente f y B extrapolando la recta asinttica.

La distribucin de velocidades es:

86

+

=0

f

00B

20

x RR

2RR

1RR

14R

V C0 RRR >

2

0

f

B

20

x RR1

4RV

= CRR0

(perfil parablico truncado)

(perfil pistn)

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro capilar soluciones para fluidos con comportamiento reolgico cualquiera

C) Algoritmo de Rabinowitsch y Mooney :

Manipulando las ecuaciones bsicas:

Se define:

Ahora, si se traza el peudoreograma bajo la forma (ver figura):

87

Entonces la pendiente en un punto es n'. sta pendiente puede calcularse grficamente o numricamente. El reograma puede entonces obtenerse en cada punto. Este procedimiento, que es muy sencillo y general, fu desarrollado primitivamente por Herzog y Weissemberg (1928) pero fueron Rabinowitsch (1929) y Mooney (1931) los que establecieron completamente el significado del algoritmo (Govier y Aziz ).

( )[ ]( )[ ]

+= 0lndVlnd

43

DV8&

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ]D/V8lndlnd

Vlndlnd

'n 0==

'n4'n31

DV8 +=&

( ) ( )[ ]D/V8lnfln =

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro de cilindros concntricos

El aparato es del tipo Searle. El problema es ahora: dados pares

de valores , T, determinar el reograma = f( ).

De la ecuacin local de cantidades de movimiento (ecuacin de Cauchy) se deduce la siguiente relacin, vlida para cualquier fluido:

Esta relacin permite entonces calcular a partir de los valores experimentales de T.

Ahora, la velocidad angular de deformacin se expresa:

88

2LR2T=

: velocidad de giro para un radio cualquiera R

Combinando las ecuaciones e integrando:

Esta ltima relacin expresa el problema inverso para un remetro de cilindros concntricos.

dRd

R=&

( ) ( ) ( )( )

=

=1

2

1

2

lndd2 &&

&

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro de cilindros concntricos - soluciones para fluidos con comportamiento reolgico conocido

A) Fluido Newtoniano:

Se considera:

Empleando las expresiones de base se obtiene:

Conviene estudiar el caso en que la diferencia e = R2 - R1 es muy pequea comparada con R1:

Como no se ha especificado el fluido, esta frmula sera una primera aproximacin valedera de uso general.

Por otra parte, las frmulas para difieren solamente en 1% si S 1.01.89

( )211d121

2

=

=

= 1S

S2 2

2

&

( )( )

=2

1lnln2 && ( )Sln&

=&

1

2

RR

S =

&


B) Plstico de Bingham:

Se considera:

Hay que distinguir tres casos:

i) 1 < f. Bajo esta premisa, el cilindro interno no puede girar.

ii) 2< f < 1. Entonces s hay movimiento, pero existe un "radio de fluencia" Rf:

Para R(R1,Rf) existe movimiento; para R(Rf, R2) el fluido est inmvil. De las ecuacin bsicas se obtiene:

90

f

11f RR

=

=

=

f1

ff1B

f

B

ln21

d121 1

f

0=& f0


B) Plstico de Bingham (continuacin):

iii) f < 2. En este caso, todo el fluido est cizallado y en movimiento. De las ecuaciones bsicas se deduce:

Las dos ltimas relaciones permiten dibujar un pseudoreograma =1=f (). Las coordenadas de C y D son entonces:

91

( )

=

=

Sln2

S

1S21

d121

f12

2

B

f

B

1

2

( ) ( )[ ]Sln21S21

ff2

BC =

( ) f22

D Sln1SS2 =

Extrapolando la recta hasta cero, se puede calcular fempleando la expresin para D.

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro de cilindros concntricos - soluciones para fluidos con comportamiento reolgico cualquiera

C) Algoritmo de Krieger y Elrod:

Cabe preguntarse si existe para el remetro de cilindros coaxiales un algoritmo semejante al de Rabinowitsch y Mooney para el remetro capilar. La respuesta es, al menos, parcialmente afirmativa: Krieger y Elrod (1952) dedujeron la frmula siguiente:

El algoritmo requiere que los valores experimentales sean de excelente calidad, de modo de poder calcular las derivadas con una aproximacin razonable.

92

( )( ) ( ) ( )

+

++= ''n1

'nSln

31

'nSln

1Sln

2

&

( )[ ]( )[ ]= lndTlnd

'n

( )[ ]( )[ ]= lnd'nlnd

''n


D) Formulacin de Apelblat, Healy y Joly (1975):

Es una solucin aproximada, pero que es explcita:

93

( ) ( ) ( )dttt 20

12 +

=&

1S

S22

2

=


E) Algoritmo de Giesekus y Langer (1977)

Giesekus y Langer ofrecen frmulas sencillas y directas que incorporan un concepto desarrollado extensamente por ellos:

Velocidad de deformacin angular representativa:

Tensin tangencial representativa:

1: Tensin tangencial en el cilindro interior. Este mtodo ha sido incorporado A las Normas DIN (DIN 53019 Part 1,

Mayo 1980).94

2

12

1 ,2

+=

2

2

1 .1

+= &

Se parte del flujo entre dos cilindros de radios R1 y R2 (ver figura). Se alcanza la tensin de fluencia para R = Rf. Entonces, si el cilindro externo tiene un radio mayor que Rf basta para que se cumpla la condicin de ancho mar: el cilindro interno no ve al cilindro externo. La condicin precisa es:

En este caso es posible encontrar una expresin sencilla como solucin del problema inverso. Se tendr:

Derivando respecto :

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSOAproximacin del ancho mar

f1f2 RRR

=>

( ) ( ) ( )( )

=

=

ftlndtd2

1

2

&&

=

&dd

2

'n2=& ( )[ ]( )[ ]= lnd

Tlnd'n

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSORemetro de paletas (vane rheometer)

Nguyen y Boger (1985) han deducido una frmula sencilla que permite calcular la tensin tangencial a partir del torque T y de la geometra de las paletas):

R: Radio de las paletas. L: Largo de ellas. C es un coeficiente correctivo cercano a la unidad.

Sofra (2007) indica que para el clculo de la velocidad de deformacin angular es posible emplear la expresin para el ancho mar.

Se considera especialmente apropiada para la medida de la tensin de fluencia.

96

)L/R)(3/2(C11

LR2T

2 +=

'n2=&( )[ ]( )[ ]= lndTlnd

'n

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Estudio detallado de dos casos reales (0)

Caractersticas globales de los barros:

Sitio S pH D50(m)

D80(m)

Cp (%)

A 2.65 9.8 86 309 49

B 2.76 8.3 31 139 49

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSOEstudio detallado de dos casos reales (1)

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Estudio detallado de dos casos reales (2A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Estudio detallado de dos casos reales (2B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL EL PROBLEMA INVERSO Remetro de cilindros concntricos -comportamiento reolgico cualquiera

Ejemplos de desarrollos profundizados:

Ancey (2005) indica:

problema inverso de Couette admite una solucin en serie infinita Elque fue desarrollada por Coleman en 1966.

Pero estudios posteriores indican que el problema inverso entra en la categora de problemas mal puestos.

De Hoog y Andersen (2005) poseen una teora basada en desarrollos en serie, proporcionando frmulas explcitas aproximadas.

Ancey (2005) emplea una descomposicin en wavelet-vaguelette, con grandes complejidades de clculo.

109

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES

Toda suspensin puede mostrar un comportamiento no newtoniano. En particular, si la concentracin de slidos es alta y/o si tiene un contenido de finos importante.

Muchos escurrimientos en cauces naturales requieren, para su comprensin y anlisis acabados el conocimiento de la reologa de la suspensin.

110

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESAlgunos ejemplos y clasificaciones importantes

i) Flujos fluviales muy concentrados

Escurrimientos fluviales con una muy alta concentracin de slidos (flujos hiperconcentrados).

OBrien y Julien (1988) observaron no haber consenso en su clasificacin. Empero, segn Brea y Spalletti (2004), Julien y Len dieron la clasificacin siguiente (2000):

Inundaciones o crecidas de barros (mud floods). Flujos de barros (mud flow) Flujos de detritos (debris flow)

111

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESAlgunos ejemplos y clasificaciones importantes

ii) Flujos geofsicos

Avalanchas de nieve Flujo de glaciares Movimiento de lavas

Algunos ejemplos detallados de estos flujos geofsicos han sido expuestos por Johnson (1970)

iii) Flujo fluviales con cantidades importantes de material muy fino

El caso ms espectacular es el del Ro Amarillo de la China (e.g.Engelund y Zhaohui, 1984), pero existen evidencias en otros casos. Para el Mississippi, Darby (2001) muestra valores de viscosidad aparente muy grandes.

112

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESDiagramas generalizados

No es fcil clasificar en trminos dinmicos estos escurrimientos. Empero, se ha intentado.

Gani (2004) da una clasificacin en trminos de tamao de partculas, concentraciones, el nmero de Froude y el de Reynolds.

113

Davies (Schatzmann, 2005) realiza un diagrama triangular que es cercano conceptualmente al de Coussot.

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESDiagramas generalizados

Coussot muestra un diagrama concentracin fraccin fina.

114

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESAvalanchas de barros y detritos

Son deslizamientos de tierras saturadas que bajan rpidamente hacia agua abajo bajo la forma de barros (CGS, 2006).

Este escurrimiento transporta rocas, arbustos y otros detritos hacia aguas abajo.

Las velocidades son altas: tpicamente viajan a 16 [Km/hora], pero la velocidad de 30 [Km/hora] es frecuente y se han medido en casos excepcionales velocidades de 160 [Km/hora] (CGS, 2006).

Las avalanchas ocurren en todo el mundo. Se producen especialmente en reas montaosas que contienen rocas y suelos arenosos.

La causa ms comn de las avalanchas es la combinacin de lluvias intensas y terreno suelto.

En Per y Ecuador son frecuentes (Huaynos). Tambin han ocurrido casos tristemente espectaculares en Venezuela.

115


Algunos casos:

Se mencionan aqu solo algunos de una lista que, desgraciadamente es larga:

La avalancha de Las Cumbres (Mxico] ocurri hace 40000 aos y el volumen desplazado fu mayor que 10000 [Mm3]. Los sedimentos se extendieron por 110 [Km], llegando hasta el Golfo de Mxico (Scuderi et al. ,2001).

En Antofagasta (Chile) en 1991, llegaron a la ciudad 400000 [m3] de gravas y arenas. Murieron 91 personas y desaparecieron 16 y se daaron 2464 viviendas (Zamorano 1991)

El deslizamiento de La Josefina (Ecuador) en 1993 embals el ro Paute con una presa de 100 [m] de alto y 1 [Km] de largo. La ruptura de la presa produjo una crecida de 10000 [m3/sec] que produjo daos hasta 100 [Km] aguas abajo (Zevallos, 1994).

116


Algunos casos (continuacin):

El sismo de Pez, Departamento del Cauca, Colombia 6 de Junio de 1994, destruy 1550 viviendas y averi 2900. En total, los daos de infraestructura incluyeron la destruccin se 6 puentes, 6 acueductos, 15 edificios comunitarios y 100 [Km] de vas. Magnitud = 6.4 (Richter) (Gamez y Daz-Granados, 1996).

El Huracn Pauline caus graves daos y perjuicios en Acapulco, Mxico en Octubre de 1997 (Caldio y Salgado, 2003, 2004). Hubo ms de 300 muertes y los daos materiales se estimaron en 600 millones de dlares.

Las avalanchas producidas en la costa de Vargas (Venezuela) en Diciembre de 1999 destruy un nmero enorme de construcciones y se estima que hubieron 19000 muertos (USGS 2000).

Cerca de Muzafarrabad (Pakistn) en Octubre 2005 se produjo una avalancha de 80 [Mm3] que sepult la aldea de Dandbeh (USGS [6] 2006).

117


Modelacin:

Se han realizado numerosas modelaciones fsicas y/o matemticas del escurrimiento de barros y escombros.

Los modelos empleados han sido de varios tipos:

Ecuaciones de Saint Venant unidimensionales Ecuaciones de Saint Venant verticalmente integradas Ecuaciones de Navier-Stokes en flujo paralelo Etc.

Para la deduccin y discusin de las ecuaciones de Saint Venant consultar

Chow (1959), Montes (1998).

Es curioso constatar que, aunque estas ecuaciones fueron deducidas por Barr de Saint-Venant en 1871 no fueron verificadas experimentalmente hasta un siglo despus (Mahmood y Yevjevich, 1975).

118


Modelacin (continuacin):

Las ecuaciones de Saint Venant aplicadas a flujos fluviales a fondo mvil son muy difciles de resolver, especialmente si el flujo es supercrtico.

Empero, se han diseado mtodos numricos para realizar la integracin y se han realizado comparaciones con medidas (e.g. Mahmood y Yevjevich (1975), Chollet (1977), Aparicio (1985), Berezowsky y Aparicio (1987), Moreno, Aparicio, Berezowsky y Fuentes (2000)).

Para la definicin de las tensiones (tangenciales y normales surgen dificultades especiales asociados a:

El inicio del movimiento La friccin fluida La friccin mecnica La influencia de los choques de las partculas

Estos aspectos son claramente del resorte de la reologa119

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESReologa

Aportes de Bagnold:

En una memoria hoy clsica, Bagnold (1954) experiment sobre una suspensin de esferas en diferentes fluidos. Esta suspensin era cizallada entre dos cilindros concntricos (ver figura).

El inters por este trabajo ha crecido monotnicamente con el tiempo. Segn Hunt et al. (2002), hasta el ao 2001 las citas directas alcanzan 725.

120

Hunt et al. (2002) realizaron una revisin acabada del trabajo de 1954. Los resultados que se darn aqu se basan en esta revisin


Aportes de Bagnold (continuacin):

Este parmetro fu introducido por Bagnold como N. Posteriormente (Hill, 1966 (Hunt et al., 2002) le llam nmero de Bagnold:

d: dimetro de las partculas. : densidad de las partculas slidas : velocidad de deformacin angular : viscosidad del lquido : concentracin lineal CV: concentracin en volumen. CV0: concentracin mxima o de empaquetamiento.

121

= &

5.02

ad

B

1CC

13/1

V

0V

=

&


Aportes de Bagnold (continuacin):

Bagnold distingui tres regmenes para caracterizar la dinmica de las dispersiones que l estudi:

Rgimen macroviscoso lineal (Ba < 40)

Rgimen inercial ( Ba > 450)

Rgimen de transicin (40


Modelo de Obrien y Julien (1985, segn Julien y Lan, 1991):

Se propone la frmula siguiente:

du/dy:gradiente de velocidades normal a la direccin del escurrimiento.

es un parmetro que engloba efectos de dispersin y turbulencia. Se expresa como:

Empleando anlisis dimensional, Julien y Lan (1991) encontraron ummodelo generalizado que ajusta bien con las experiencias de OBrien y Julien (1988) y con las de otros investigadores

123

2

f dydu

dydu ++=

22s2

2m dC +=


Modelo de Obrien y Julien (continuacin):

OBrien, Julien y Fullerton (1993) han extendido el anlisis hasta inclurcinco componentes de la tensin tangencial:

tc: debida a la cohesin tmc: tensin interpartculas (Mohr-Coulomb) tv: tensin de origen viscoso tt: tensin debida a la turbulencia td: tensin dispersiva

Ahora:

Se recupera entonces la formulacin ya vista:

124

dtvmc c++++=

cmcf+= ( ) 2vm2m dC,fC +=

2

f dydu

Cdydu ++=


Algunos aportes recientes:

Entre otros, Aguirre et al. (2004) ha examinado la reologa de lodos compuestos de arcilla y arena

Montserrat et al. (2004) han realizado experimentos con arena, grava y bentonita. El anlisis dimensional realizado incluye un parmetro de sedimentacin nuevo, similar al de Rouse (Z)

Tamburrino et al. (2008) se ocupan de flujos granulares densos en un canal de fondo deslizante.

125


Ejemplos de modelacin:

La literatura es muy abundante, desde hace algunos aos.

Aqu solamente se entregar una clasificacin conceptual y se darn algunos ejemplos

Clasificacin: Mediciones realizadas en laboratorio Mediciones en terreno Modelacin matemtica Modelacin fsica

Ejemplos: OBrien et al. (1993) Modelacin matemtica Medidas de campo Medidas de laboratorio

126


Ejemplos de modelacin (continuacin):

Desarrollo de software FLO-2D. Medidas de laboratorio de OBrien y Julien(1988). Comparacin exitosa con un caso de campo (Rudd Creek). Ayala y Sols (1994) Modelacin matemtica

Inicio del movimiento, la generacin y el rastreo de una corriente de detritos, empleando las ecuaciones de Saint - Venant expresando la friccin segn las ecuaciones dadas por Takahashi (1991). Aguirre et al. (1996) Mediciones realizadas en laboratorio Modelacin matemtica

Clculos empleando las frmulas de Saint-Venant y emplearon para la friccin frmulas clsicas viscosas y las de Bagnold para el caso en que se toman en cuenta los slidos. Experimentos con aceite y con una suspensin de slidos, encontrando un buen ajuste en ambos caso. Aguirre et al. (1998) Modelacin matemtica Modelacin fsica 127



Se describe la deposicin de barros y escombros empleando las ecuaciones de Saint-Venant tomando en cuenta por separado la conservacin del agua y de los slidos. Para la friccin emplearon expresiones de Takahashi (1991). Los resultados de la simulacin matemtica se compararon con los resultados de una modelacin fsica, encontrndose un acuerdo razonable. Cregoretti (2000) Mediciones realizadas en laboratorio

Estudio experimental del el inicio del movimiento para altas pendientes, no encontrando un buen acuerdo con las frmulas vigentes. Arattano y Franzi (2003) Modelacin matemtica Mediciones en terreno

128



Empleando las ecuaciones de Saint-Venant y un enfoque reolgico para la friccin pudieron reproducir en forma exitosa los niveles de una avalancha real. Zanuttigh y Lamberti (2003) Modelacin matemtica Mediciones en terreno

Ecuaciones de Saint-Venant y un modelo reolgico especial para predecir un caso de avalancha real. El ajuste es mediocre, lo que puede explicarse por la complejidad del problema real y las dificultades de las medidas de campo. Caldio y Salgado (2003,2004) Modelacin matemtica Mediciones en terreno Mediciones de laboratorio

129



Calibracin del modelo: software FLO-2D (OBrien et al., 1993) comparado con datos de campo (cuenca de El Camarn Acapulco); reologa realizada en laboratorio con materiales de la zona. Zanuttigh y Lamberti (2006) Modelacin matemtica Mediciones de laboratorio

Anlisis experimental del importante problema de la posibilidad de mitigar el efecto de las avalanchas mediante obstculos. Zanuttigh y Di Paolo (2006) Mediciones de laboratorio

Estudio experimental - segregacin de avalanchas secas. Arattano, M., Franzi, L. y Marchi, L. (2006) Modelacin matemtica Mediciones de laboratorio

Influencia de la reologa sobre la prediccin de avalanchas.130

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESFlujos geofsicos

Comprenden avalanchas de nieve, flujo de glaciares, lavas.

Puede decirse que son importantes y, en la mayor parte de los casos, lamentables.

En la figura se muestra la avalancha que sepult el pueblo de Yungay, en los Andes peruanos (Iverson et al., 1997).

131


Las caractersticas reolgicas de lavas han sido medidas. Balmforth et al., 2000 reportan datos para lava:

La viscosidad corresponde al valor mximo, que, obviamente, se produjo para las menores temperaturas: Densidad [kg/m3] = 2600. Viscosidad [Pa*seg] = 109. Tensin de fluencia f [Pa] = 105.

Conviene recordar que la viscosidad del agua a 20 [C] es 0.001 [Pa*seg] y que una tensin de fluencia de 150 [Pa] se considera grande y una de 500 [Pa] muy grande. El comportamiento medido es, simplemente, el de un plstico Bingham.

Johnson (1970) informa sobre medidas de campo sobre un flujo de detritos en Wrightwood, California, 20 Mayo 1969. El comportamiento era Bingham. Se obtuvieron las caractersticas siguientes: Densidad [kg/m3] = 2000 Viscosidad [Pa*seg] = 76 Tensin de fluencia f [Pa] = 602

132


Johnson (1970) asimismo reporta valores estimados para la lava del Crter Makaopuhi en Hawaii, para dos profundidades bajo la corteza de la lava: Profundidad H [m ] = 6.8 Viscosidad [Pa*seg] = 650 Tensin de fluencia f [Pa] = 120

Profundidad H [m ] = 7.5 Viscosidad [Pa*seg] = 750 Tensin de fluencia f [Pa] = 70

133

Meier (Johnson, 1970) desarroll un modelo reolgico para el hielo:

Ver figura

5.421 CC +=&

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESFlujos fluviales con cantidades importantes de material muy fino

Este material va, obviamente, suspendido y corresponde a limos y arcillas. Se sabe que bastan cantidades relativamente pequeas de arcilla para que una suspensin en agua tenga un comportamiento no newtoniano.

Como ejemplo (Haldenwang, 2003): Lquido : agua Slidos : kaoln Concentracin en volumen Cv [%]= 5.4 Densidad slidos [kg/m3] = 2650 Viscosidad [Pa*seg] = 0.06 Tensin de fluencia f [Pa] = 6

Para el Mississippi, Darby (2001) da la viscosidad aparente como funcin de (ver figura).

Para una pequea velocidad de deformacin angular, la viscosidad aparente puede alcanzar 10 [Pa.sec] y para altas velocidades de deformacin angular, alcanza 0.1 [Pa.sec] (100 veces la viscosidad dinmica del agua).

134

&

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALESFlujos fluviales con cantidades importantes de material muy fino

En el Ro Amarillo de la China, la situacin es a veces espectacular: Engelund y Zhaohui (1984) reportan que cuando la concentracin crece mucho el ro y/o sus tributarios se atascan o congelan, debido al crecimiento enorme de la viscosidad y la tensin de fluencia.

Hessel (2002) ha medido concentraciones pico de 500 [g/l]. Esto corresponde aprox. A una concentracin en volumen de 0.2, que es alta.

Recientemente, Guo et al.(2008) muestran una simulacin numrica de las concentraciones en el Ro Amarillo y las comparan favorablemente con una masa importante de mediciones de campo. Esta informacin permite inferir que las mediciones que arrojan 100 [g/l] son numerosas, pero que el valor de 500 [g/l] se alcanza raras veces.

135

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