17η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας
-
Upload
manolis-vavalis -
Category
Documents
-
view
4.044 -
download
1
description
Transcript of 17η διάλεξη Γραμμικής Άλγεβρας
Θεμελειώδεις Χώροι
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι
Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
30 Οκτωβρίου 2014
Θεμελειώδεις Χώροι
Τέσσερα σημαντικά σύνολα
Ï Μηδενόχωρος N (A)
Ï Χώρος Στηλών R(A)
Ï Χώρος Γραμμών R(AT)
Ï Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)
Θεμελειώδεις Χώροι
Μηδενόχωρος N (A) ενός Πίνακα A ∈Rm×nείναι το
σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύειότι Ax= 0.
N (A) = {x ∈Rn : Ax= 0
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Μηδενόχωρος N (A) ενός Πίνακα A ∈Rm×nείναι το
σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύειότι Ax= 0.
N (A) = {x ∈Rn : Ax= 0
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈Rm×nείναι το
σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των
στηλών του A.
R(A) ={
x ∈Rm : x=n∑
k=1ckA∗,k,∀ck ∈R
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈Rm×nείναι το
σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των
στηλών του A.
R(A) ={
x ∈Rm : x=n∑
k=1ckA∗,k,∀ck ∈R
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Χώρος Γραμμών R(AT)ενός πίνακα A ∈Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των
γραμμών του A.
R(AT)={
x ∈Rn : x=m∑
k=1ckAk,∗,∀ck ∈R
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Χώρος Γραμμών R(AT)ενός πίνακα A ∈Rm×n
είναι
το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των
γραμμών του A.
R(AT)={
x ∈Rn : x=m∑
k=1ckAk,∗,∀ck ∈R
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A
είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.
N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0
}N (AT) = {
x ∈Rm : ATx= 0}
Θεμελειώδεις Χώροι
Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A
είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.
N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0
}
N (AT) = {x ∈Rm : ATx= 0
}
Θεμελειώδεις Χώροι
Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A
είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.
N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0
}N (AT) = {
x ∈Rm : ATx= 0}
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεωρήματα
΄Εστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= bστο σύστημα Ux= c.
Ï N (A) =N (U).
Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεωρήματα
΄Εστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= bστο σύστημα Ux= c.
Ï N (A) =N (U).
Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).
Θεμελειώδεις Χώροι
Ορισμός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που
συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει
τις πράξεις
Ï άθροισμα δύο διανυσμάτων καιÏ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.
Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το
σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο
χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .
Θεμελειώδεις Χώροι
Ορισμός
Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που
συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει
τις πράξεις
Ï άθροισμα δύο διανυσμάτων καιÏ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.
Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το
σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο
χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .
Θεμελειώδεις Χώροι
Ορισμός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε
Ï το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y ναανήκει και αυτό στο Y και
Ï ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναναριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.
Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn, το
σύνολο των συμμετρικών n×n πινάκων, το σύνολο τωνσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .
Θεμελειώδεις Χώροι
Ορισμός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε
Ï το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y ναανήκει και αυτό στο Y και
Ï ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναναριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.
Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn, το
σύνολο των συμμετρικών n×n πινάκων, το σύνολο τωνσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .
Θεμελειώδεις Χώροι
Εναλακτικός Ορισμός
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικόςσυνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y.
Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x,y ∈Y και∀α,β ∈R, αx+βy ∈Y.
Θεμελειώδεις Χώροι
΄Ασκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι
1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.
2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.
Θεμελειώδεις Χώροι
΄Ασκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι
1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.
3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.
Θεμελειώδεις Χώροι
΄Ασκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι
1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.
4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.
Θεμελειώδεις Χώροι
΄Ασκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι
1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.
5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.
Θεμελειώδεις Χώροι
΄Ασκηση
Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι
1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.
Θεμελειώδεις Χώροι
Θεώρημα
΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.
2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm
.
3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn
.
4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm
.