(15)Capitulo 10 Pseudos Inversas

Capítulo 10

PSEUDOS INVERSAS 10.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta el concepto de las Pseudos Inversas, el cual permite disponer de una matriz que tiene propiedades muy similares a la de la matriz inversa pero en el caso de una matriz cuadrada que no es invertible o de una matriz rectangular. Se exponen las 3 pseudos inversas; Inversa Generalizada, Inversa Condicional y Inversa Mínimo Cuadrática, así como también sus aplicaciones para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Consistentes. 10.2. INVERSA GENERALIZADA. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.1. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa generalizada de A si:

1. AB es simétrica. 2. BA es simétrica. 3. ABA = A. 4. BAB = B.

Es claro que si m = n y A es no singular entonces A-1 es inversa generalizada de A. Teorema 10.1. Sean A∈Mmxn(ℜ). Siempre existe una inversa generalizada de A y además es única. Se denota por Ag. Demostración Supongamos que Rango(A) = r. Por el teorema 1.30.:

∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):

PAQ = R(A) = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

−−−

−

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxrI

⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS

354

A = 1

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxr1 QI

P −

−−−

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares):

A = [ ] 1)rn(rxr

xr)rm(

r1 QII

P −−

−

− θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): A = BC, siendo:

B∈Mmxr(ℜ) y Q∈Mrxn(ℜ) definidas por:

[ ] 1)rn(rxr

xr)rm(

r1 QIC y I

PB −−

−

− θ=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

=

Por el teorema 1.28., Rango(B)= Rango(⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ −

−

xr)rm(

r1 IP )= Rango(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rm(

rI)= r

y [ ] )QI(Rango 1)rn(rxr

−−θ = [ ]) I(Rango )rn(rxr −θ = r. Por lo tanto, por el

teorema 8.10., las matrices BtB y CCt son definidas positivas y no singulares. Sea Ag definida de la siguiente manera:

Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt

Veamos que Ag es inversa generalizada de A:

1. AAg = BCCt(CCt)-1(BtB)-1Bt = B(BtB)-1Bt. Luego, AAg es una matriz de proyección, la cual es simétrica.

2. AgA = Ct(CCt)-1(BtB)-1BtBC = Ct(CCt)-1C = D(DtD)-1Dt, con D = Ct. Luego, AgA es una matriz de proyección, la cual es simétrica.

3. AAgA = B(BtB)-1BtBC = BC = A. 4. AgAAg = Ct(CCt)-1CCt(CCt)-1(BtB)-1Bt = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = Ag.

En consecuencia, Ag es inversa generalizada de A. Veamos ahora que es única. Supongamos que B∈Mnxm(ℜ) es también inversa generalizada de A. Luego, AB y BA son simétricas, ABA = A y BAB = B. Por lo tanto,

1. AAg = ABAAg = (AB)t(AAg)t = (AAgAB)t = (AB)t = AB. 2. AgA = AgABA = (AgA)t(BA)t = (BAAgA)t = (BA)t = BA. 3. Ag = AgAAg = BAAg = BAB = B.

Por consiguiente, la inversa generalizada Ag de A es única. Ejemplo 10.1. Para la matriz A del ejemplo 1.37., se obtuvo que:

CAPÍTULO 10: PSEUDOS INVERSAS

355

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

624511233201

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010000100001

)A(R ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

21 12

1 4

5 241

12 0 P ,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

10002

71004

190104001

Q

Se puede verificar que:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

245123201

P 1 ,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1 0 0 02

7 1 0 04

19 0 1 040 0 1

Q 1

Asimismo,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

245123201

100010001

PB 1 ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

27100

419010

4001Q

010000100001

C 1

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

91015102026152635

BBt ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

453 8

133 148

133 16377 19

141917 CCt


( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=−

23 2

5 25

25 8

45 421

25

4215

BB1t ,

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

829633 829

266829

224829

266829

468 829304

829224 829

304 829573

CC1t

Por lo tanto,

Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt


356

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 27

4194

100 010 001

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

829633 829

266829

224829

266829

468 829304

829224 829

304 829573

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

23 2

5 25

25 8

45 421

25

4215

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

212420531

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−

829187 829

336829

9 829

240829

347 829

383 829

148 82962

829250

82981

829314

82936

Teorema 10.2. Sea A∈Mmxn(ℜ).

1. (At)g = (Ag)t. 2. (Ag)g = A. 3. Rango(A) = Rango(Ag) = Rango(AAg) = Rango(AgA). 4. (AtA)g = Ag(At)g. 5. Si m = n y A es simétrica entonces Ag es simétrica. 6. Si m = n y A es simétrica entonces AAg = AgA. 7. Si m = n y A es simétrica e idempotente entonces Ag = A. 8. AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son simétricas e idempotentes. 9. Si Rango(A) = r entonces Rango(Im – AAg) = m – r y

Rango(In – AgA) = n – r. 10. (AAg)g = AAg. 11. (AgA)g = AgA. 12. Si P∈Mmxm(ℜ) y Q∈Mnxn(ℜ) son ortogonales entonces

(PAQ)g = QtAgPt. 13. Si Rango(A) = n entonces Ag = (AtA)-1At. 14. Si Rango(A) = m entonces Ag = At(AAt)-1. 15. Si B∈Mmxr(ℜ) y C∈Mrxn(ℜ), con Rango(B) = Rango(C) = r

entonces (BC)g = CgBg. Demostración

1. Sean B = At y Bg = (Ag)t. Verifiquemos que Bg cumple las 4 propiedades:

1.1. BBg = At(Ag)t = (AgA)t = AgA. Como AgA es simétrica

entonces BBg es simétrica. 1.2. BgB = (Ag)tAt = (AAg)t = AAg. Como AAg es simétrica

entonces BgB es simétrica. 1.3. BBgB = AgAAt = (AgA)tAt = (AAgA)t = At = B. 1.4. BgBBg = AAg(Ag)t = (AAg)t(Ag)t = (AgAAg)t = (Ag)t =

Bg. Por lo tanto, (Ag)t es la inversa generalizada de At.

2. Sean B = Ag y Bg = A. Verifiquemos que Bg cumple las 4

propiedades:


357

2.1. BBg = AgA. Como AgA es simétrica entonces BBg es simétrica.

2.2. BgB = AAg. Como AAg es simétrica entonces BgB es simétrica.

2.3. BBgB = AgAAg = Ag = B. 2.4. BgBBg = AAgA = A = Bg. Por consiguiente, A es la inversa generalizada de Ag.

3. AAgA = A y AgAAg = Ag. Luego:

3.1. Rango(A) = Rango(AAgA) ≤ Rango(AAg) ≤ Rango(A).

Luego, Rango(AAg) = Rango(A). 3.2. Rango(A) = Rango(AAgA) ≤ Rango(AgA) ≤ Rango(A).

Luego, Rango(AgA) = Rango(A). 3.3. Rango(Ag)=Rango(AgAAg) ≤ Rango(AAg) ≤ Rango(Ag).

Luego, Rango(AAg) = Rango(Ag). 3.4. Rango(Ag)=Rango(AgAAg) ≤ Rango(AgA) ≤ Rango(Ag).

Luego, Rango(AgA) = Rango(Ag). Por lo tanto, Rango(A) = Rango(Ag) = Rango(AAg) = Rango(AgA).

4. Sean B = AtA y Bg = Ag(At)g. Verifiquemos que Bg cumple las 4 propiedades:

4.1. BBg = (AtA)(Ag(At)g) = At(AAg)(At)g = At(AAg)t(At)g.

Por la propiedad 1, (At)g = (Ag)t. Luego, BBg = At(AAg)t(Ag)t = (AAgA)t(Ag)t = At(Ag)t = (AgA)t = AgA. Como AgA es simétrica entonces BBg es simétrica.

4.2. BgB = (Ag(At)g)(AtA). Por la propiedad 1, (At)g = (Ag)t. Luego, BgB = (Ag(Ag)t)(AtA) = Ag(Ag)tAtA = Ag(AAg)tA = AgAAgA = AgA. Como AgA es simétrica entonces BgB es simétrica.

4.3. BBgB = AgA(AtA) = (AgA)tAtA = (AAgA)tA = AtA = B. 4.4. BgBBg = (AgA)(Ag(At)g) = AgAAg(At)g = Ag(At)g = Bg. Por consiguiente, Ag(At)g es la inversa generalizada de AtA.

5. Por la propiedad 1, se tiene que (Ag)t = (At)g. Como A es

simétrica entonces (Ag)t = Ag, es decir, Ag es simétrica. 6. AAg = (AAg)t = (Ag)tAt. Por la propiedad 1, se tiene que

AAg = (At)gAt y como A es simétrica entonces AAg = AgA.

7. Como A es simétrica, entonces por la propiedad 6 se tiene que AAg = AgA. Luego,

(A)(AAg) = (A)(AgA) y (AgA)(AAg) = (AgA)(AgA)

⇒ AAAg = AAgA y AgAAAg = AgAAgA ⇒ A2Ag = A y AgA2Ag = AgA

Como A es idempotente, entonces:


358

AAg = A y AgAAg = AgA ⇒ AAg = A y Ag = AgA

Como AAg = AgA entonces Ag = A.

8. Es evidente que AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son simétricas.

Veamos ahora que son idempotentes.

8.1. (AAg)2 = AAgAAg = (AAgA)Ag = AAg. 8.2. (AgA)2 = AgAAgA = (AgAAg)A = AgA. 8.3. (Im – AAg)2 = (Im – AAg)(Im – AAg) = Im – AAg – AAg +

(AAg)2. Como AAg es idempotente entonces (Im – AAg)2 = Im – 2AAg + (AAg) = Im – AAg.

8.4. (In – AgA)2 = (In – AgA)(In – AgA) = In – AgA – AgA + (AgA)2. Como AgA es idempotente entonces (In – AgA)2 = In – 2AgA + (AgA) = In – AgA.

En consecuencia, AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son idempotentes.

9. Por la propiedad 8, AAg, AgA, Im – AAg y In – AgA son

simétricas e idempotentes. Luego, por el teorema 7.18., Rango(Im – AAg) = Traza(Im – AAg), Rango(In – AgA) = Traza(In – AgA), Rango(AgA) = Traza(AgA) y Rango(AAg) = Traza(AAg). En consecuencia:

1. Rango(Im – AAg) = Traza(Im – AAg)

⇒ Rango(Im – AAg) = Traza(Im) – Traza(AAg) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – Rango(AAg) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – Rango(A) ⇒ Rango(Im – AAg) = m – r

2. Rango(In – AgA) = Traza(In – AgA)

⇒ Rango(In – AgA) = Traza(In) – Traza(AgA) ⇒ Rango(In – AgA) = n – Rango(AgA) ⇒ Rango(In – AgA) = n – Rango(A) ⇒ Rango(In – AgA) = n – r

10. Es claro que (AAg)∈Mmxm(ℜ). Por la propiedad 8, se tiene que

AAg es simétrica e idempotente. Luego, por la propiedad 7, (AAg)g = AAg.

11. Es claro que (AgA)∈Mnxn(ℜ). Por la propiedad 8, se tiene que

AgA es simétrica e idempotente. Luego, por la propiedad 7, (AgA)g = AgA.

12. Sean B = PAQ y Bg = QtAgPt. Verifiquemos que Bg cumple las 4

propiedades:

12.1. BBg = (PAQ)(QtAgPt) = PAQQtAgPt = PAAgPt. Luego, (BBg)t = (PAAgPt)t = (Pt)t(AAg)tPt = PAAgPt = BBg. Por lo tanto, BBg es simétrica.


359

12.2. BgB = (QtAgPt)(PAQ) = QtAgPtPAQ = QtAgAQ. Luego, (BgB)t = (QtAgAQ)t = Qt(AgA)t(Qt)t = QtAgAQ = BgB. Por lo tanto, BgB es simétrica.

12.3. BBgB = (PAAgPt)(PAQ) = PAAgPtPAQ = PAAgAQ = PAQ = B.

12.4. BgBBg = (QtAgAQ)(QtAgPt) = QtAgAQQtAgPt = QtAgAAgPt = QtAgPt = Bg.

Por consiguiente, QtAgPt es la inversa generalizada de PAQ.

13. Por el teorema 1.30.:


PAQ = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

−−−

−

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxrI

Como Rango(A) = r = n entonces no es necesario aplicar operaciones elementales de columnas sobre A para obtener su matriz normal R(A), es decir, Q = In. Además,

R(A) = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xn)nm(

nI

Por consiguiente,

A = P-1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xn)nm(

nI

Es decir, A = BC, siendo B = A y C = In. En consecuencia,

Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = (In)t(In(In)t)-1(AtA)-1At = (AtA)-1At

14. Por el teorema 1.30.:


PAQ = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

−−−

−

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxrI

Como Rango(A) = r = m entonces no es necesario aplicar operaciones elementales de filas sobre A para obtener su matriz normal R(A), es decir, P = Im. Además,

R(A) = [ )mn(mxmI −θ ]

Por consiguiente,

A = [ )mn(mxmI −θ ]Q-1


360

Es decir, A = BC, siendo B = Im y C = A. En consecuencia,

Ag = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt = At(AAt)-1((Im)tIm)-1(Im)t = At(AAt)-1 15. Se sabe que la matriz A se puede expresar de la forma A = BC,

con B∈Mmxr(ℜ), C∈Mrxn(ℜ) y Rango(B) = Rango(C) = r. Por lo tanto,

Ag = (BC)g = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt

Como B∈Mmxr(ℜ) y Rango(B) = r entonces por la propiedad 13 se tiene que Bg = (BtB)-1Bt. Asimismo, como C∈Mrxn(ℜ) y Rango(C) = r entonces por la propiedad 14 se tiene que Cg = Ct(CCt)-1. En consecuencia,

(BC)g = CgBg Observaciones:

1. Toda matriz de proyección H = X(XtX)-1Xt puede ser escrita de la forma H = XXg, ya que X es de rango columna completo.

2. =YPn

poyPr HY = XXgY.

10.3. INVERSA CONDICIONAL. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.2. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa condicional de A si ABA = A. Es claro que Ag es también inversa condicional de A. Esto garantiza que siempre existe al menos una inversa condicional de A. Teorema 10.3. Sea A∈Mmxn(ℜ). No siempre existe una única inversa condicional de A. Demostración Supongamos que Rango(A) = r. Por el teorema 1.31.:


PAQ = Δ(A) = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

−−−

−

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxrD

Siendo Dr∈Mrxr(ℜ) una matriz diagonal y no singular.

⇒ ∃ P∈Mmxm(ℜ), Q∈Mnxn(ℜ) (P, Q no singulares): A = P-1Δ(A)Q-1


361

Es claro que Rango(Δ(A)) = r. Además:

[ ] [ ])rn(rxrrxr)rm(

r)rn(rxr

xr)rm(

r

)rn(x)rm(xr)rm(

)rn(rxr IDI

DID

)A( −−

−−−−−

− θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

=θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθθ

=Δ

Luego,

Δ(A) = BC, siendo B∈Mmxr(ℜ), C∈Mrxn(ℜ) definidas por B = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rm(

rI y

C = Dr[ )rn(rxrI −θ ] con Rango(B) = Rango(C) = r. En consecuencia,

(Δ(A))g = Ct(CCt)-1(BtB)-1Bt

Ahora bien, CCt = Dr[ )rn(rxrI −θ ](Dr[ )rn(rxrI −θ ])t

= Dr[ )rn(rxrI −θ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rn(

rI(Dr)t = DrIrDr = (Dr)2

BtB = [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ

θ−

−)rm(rx

rxr)rm(r

II = Ir.

Por consiguiente,

(Δ(A))g = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rn(

rI(Dr)t((Dr)2)-1(Ir)-1[ xr)rm(rI −θ ]

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rn(

rIDr(DrDr)-1[ xr)rm(rI −θ ]

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − xr)rn(

rIDr(Dr)-1(Dr)-1[ xr)rm(rI −θ ]

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θ − r)rn(

rI(Dr)-1[ xr)rm(rI −θ ]

= ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ −

−

xr)rn(

1rD

[ xr)rm(rI −θ ]

= ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ −

−

xr)rn(

1rD

[ xr)rm(rI −θ ]

= ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θθθ

−−−

−−

)rm(x)rn(xr)rn(

)rm(rx1

rD

Ahora bien,


362

Δ(A)(Δ(A))gΔ(A) = Δ(A) Sea B = Q(Δ(A))gP Es claro que A = P-1Δ(A)Q-1. En consecuencia,

ABA = (P-1Δ(A)Q-1)(Q(Δ(A))gP)(P-1Δ(A)Q-1) ⇒ ABA = P-1Δ(A)Q-1Q(Δ(A))gPP-1Δ(A)Q-1

⇒ ABA = P-1Δ(A)(Δ(A))gΔ(A)Q-1 ⇒ ABA = P-1Δ(A)Q-1

⇒ ABA = A Por lo tanto, B = Q(Δ(A))gP es inversa condicional de A. Como las matrices P y Q no son únicas para generar a Δ(A) entonces la inversa condicional no es única. Observación: El cálculo de una inversa condicional de A depende de la matriz Δ(A) que se elija. Sin embargo, un algoritmo sencillo para el cálculo de una inversa condicional de A es el siguiente:

1. Calcular Rango(A) = r. 2. Elegir una submatriz M de A de orden rxr. 3. Hallar (M-1)t. 4. Reemplazar en A la submatriz M por (M-1)t y los restantes

elementos por ceros. Denotar esta matriz por N. 5. Nt es una inversa condicional de A.

Ejemplo 10.2. En relación a la matriz A del ejemplo 10.1.:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

624511233201

A

1. Rango(A) = 3

2. Sea M = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

245123201

.

3. Se puede verificar que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=−

21 12

1 4

5 241

12 0 M 1 . Por lo tanto,

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=−

21 4

5 1122 2

1 41 0

Mt1 .


363

4.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

0 0 0

21 4

5 1122 2

1 41 0

N .

5. Una inversa condicional de A es B = Nt =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

0 0 0 2

1 121

45 24

112 0

.

Teorema 10.4. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Si B es inversa condicional de A entonces:

Rango(A) = Rango(AB) = Rango(BA) ≤ Rango(B). Demostración Por hipótesis, ABA = A. Luego:

1. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(AB) ≤ Rango(A). Luego, Rango(AB) = Rango(A).

2. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(BA) ≤ Rango(A). Luego, Rango(BA) = Rango(A).

3. Rango(A) = Rango(ABA) ≤ Rango(BA) ≤ Rango(B). Luego, Rango(BA) ≤ Rango(B).

Por lo tanto, Rango(A) = Rango(AB) = Rango(BA) ≤ Rango(B). 10.4. INVERSA MÍNIMO CUADRÁTICA. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 10.3. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Se dice que B es inversa mínimo cuadrática de A si:

1. ABA = A. 2. AB es simétrica.

Es claro que Ag es también inversa mínimo cuadrática de A y que toda inversa mínimo cuadrática es también inversa condicional. Esto garantiza que siempre existe al menos una inversa mínimo cuadrática de A. Teorema 10.5. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Si (AtA)c es una inversa condicional de AtA entonces la matriz B definida por:

B = (AtA)cAt

Es inversa mínimo cuadrática de A.


364

Demostración Sea (AtA)c una inversa condicional de AtA. Por lo tanto:

(AtA)(AtA)c(AtA) = AtA Premultiplicando a ambos lados de la igualdad anterior por (Ag)t se tiene que:

(Ag)t(AtA)(AtA)c(AtA) = (Ag)tAtA ⇒ (Ag)tAtA(AtA)cAtA = (Ag)tAtA ⇒ (AAg)tA(AtA)cAtA = (AAg)tA ⇒ AAgA(AtA)cAtA = AAgA

⇒ A(AtA)cAtA = A (ABA = A) Postmultiplicando a ambos lados de la igualdad anterior por Ag se tiene que:

A(AtA)cAtAAg = AAg ⇒ A(AtA)cAt(AAg)t = AAg ⇒ A(AtA)c(AAgA)t = AAg

⇒ A(AtA)cAt = AAg (AB = AAg) Como AAg es simétrica entonces AB es simétrica. Luego, como ABA = A y AB es simétrica entonces B es inversa mínimo cuadrática de A. Observación: Por el teorema anterior, como toda inversa mínimo cuadrática depende de una inversa condicional de AtA entonces la inversa mínimo cuadrática no siempre es única. Ejemplo 10.3. En relación a la matriz A del ejemplo 10.1.:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

624511233201

A


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4619263619910152610202636152635

AAt

Seguimos los pasos para hallar una inversa condicional de AtA:

1. Rango(A) = 3 ⇒ Rango(AtA) = 3.


365

2. Sea ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

46192619910261020

M .

3. Se puede verificar que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=−

25680 256

120256

44256

120256

244 25634

25644

25634 256

53

M 1 y

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

=−

25680 256

120256

44256

120256

244 25634

25644

25634 256

53

Mt1 .

4.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−=

25680 256

120256

440256

120256

244 25634 0

25644

25634 256

53 00000

N .

5. Una inversa condicional de AtA es

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−=

25680 256

120256

440256

120256

244 25634 0

25644

25634 256

53 00000

AAct .

Luego, una inversa mínimo cuadrática de A es la siguiente matriz B:

B = (AtA)cAt =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

25680 256

120256

440256

120256

244 25634 0

25644

25634 256

53 00000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

613212420531

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

41 2

10 8

34

3 21

161 8

3 41

0 0 0

Teorema 10.6. Sea A∈Mmxn(ℜ). Si Rango(A) = n entonces existe una única inversa mínimo cuadrática de A. Demostración Por el teorema 10.5., si (AtA)c es una inversa condicional de AtA entonces la siguiente matriz:


366

Amc = (AtA)cAt

Es inversa mínimo cuadrática de A. Es claro que (AtA)∈Mnxn(ℜ). Como Rango(A) = n entonces Rango(AtA) = n. Por consiguiente, AtA es invertible y en consecuencia Amc = (AtA)-1At. Como (AtA)-1 es única entonces Amc es única. Teorema 10.7. Sean A∈Mmxn(ℜ) y Ac, Amc∈Mnxm(ℜ) tales que Ac y Amc son una inversa condicional y una inversa mínimo cuadrática de A, respectivamente.

1. AcA = In si y sólo si AgA = In. 2. AmcA = In si y sólo si AgA = In. 3. AcA = In si y sólo si AmcA = In.

Demostración

1. CN (⇒): Si AcA = In entonces AgA = In. Por definición de inversa generalizada:

AAgA = A ⇒ Ac(AAgA) = Ac(A) ⇒ (AcA)(AgA) = AcA ⇒ (In)(AgA) = In ⇒ AgA = In

CS (⇒): Si AgA = In entonces AcA = In. Por definición de inversa condicional:

AAcA = A ⇒ Ag(AAcA) = Ag(A) ⇒ (AgA)(AcA) = AgA

⇒ (In)(AcA) = In ⇒ AcA = In

2. La demostración es análoga a la demostración del apartado 1.

3. La demostración es análoga a la demostración del apartado 1.

Teorema 10.8. Sean A∈Mmxn(ℜ), B, C, D∈Mnxm(ℜ) e Y∈ℜm. La expresión:

ABY = Y

Es invariante para cualquier inversa condicional B de A.


367

Demostración Sean C, D∈Mnxm(ℜ) inversas condicionales de A tales que ACY = Y. Luego, ACA = A y ADA = A. Por lo tanto,

ACY = Y ⇒ AD(ACY) = (AD)Y ⇒ (ADA)CY = ADY ⇒ ACY = ADY ⇒ ADY = ACY ⇒ ADY = Y

Es decir, la expresión ABY = Y es invariante para cualquier inversa condicional B de A. Observación: Como la inversa generalizada de A (Ag) y cualquier inversa mínimo cuadrática de A, digamos Amc son inversas condicionales de A entonces la expresión ABY = Y es invariante para cualquier pseudo inversa B (generalizada, condicional o mínimo cuadrática) de A. 10.5. APLICACIONES SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Teorema 10.9. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y. Demostración CN(⇒): Si el SEL AX = Y es consistente entonces existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y. Por hipótesis, el SEL AX = Y es consistente, es decir:

∃ X0∈ℜ: AX0 = Y

Sea Ac∈Mnxm(ℜ) tal que Ac es una inversa condicional de A. Luego,

AAcY = AAcAX0 = AX0 = Y CS(⇐): Si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y entonces el SEL AX = Y es consistente. Si existe una inversa condicional Ac de A tal que AAcY = Y entonces existe X0∈ℜn con X0 = AcY tal que AX0 = Y. Luego, el SEL AX = Y es consistente. Observación: Por el teorema 10.8., como la expresión ABY = Y es invariante para cualquier inversa condicional B de A entonces:


368

1. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si existe una inversa mínimo cuadrática Amc de A tal que AAmcY = Y.

2. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si AAgY = Y. Teorema 10.10. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Si Rango(A) = m entonces el SEL AX = Y es consistente. Demostración Como Rango(A) = m entonces por el teorema 10.2., apartado 12 se tiene que Ag = At(AAt)-1. Luego, AAgY = A(At(AAt)-1)Y = AAt(AAt)-1Y = ImY = Y. Por el teorema anterior, el SEL AX = Y es consistente. Teorema 10.11. (Solución General de un SEL) Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Si el SEL AX = Y es consistente entonces su solución general denotada por Xsg es:

Xsg = AcY + (In – AcA)Z Siendo Ac una inversa condicional de A y Z∈ℜn. Demostración Para demostrar que el vector Xsg es la solución general del SEL AX = Y debemos probar que es solución del SEL AX = Y y que toda solución de dicho sistema tiene la forma de Xsg. 1. AXsg = A(AcY + (In – AcA)Z) = AAcY + AZ – AAcAZ = Y + AZ – AZ =

Y. Por lo tanto, Xsg es solución del SEL AX = Y 2. Si X0 es solución del SEL AX = Y entonces:

AX0 = Y

⇒ AcAX0 = AcY ⇒ θnx1 = AcY – AcAX0

⇒ X0 + θnx1 = AcY – AcAX0 + X0 ⇒ X0 = AcY + (In – AcA)X0

⇒ X0 = AcY + (In – AcA)Z; Z = X0 ⇒ X0 = Xsg

Por consiguiente, X0 es de la misma forma que Xsg. Observación: Como cualquier inversa mínimo cuadrática y la inversa generalizada de A son también inversas condicionales de A entonces la solución general también se puede escribir de la forma Xsg = AmcY + (In – AmcA)Z o de la forma Xsg = AgY + (In – AgA)Z, siendo Amc una inversa mínimo cuadrática de A. Además, si Z = θnx1 entonces AgY es solución del SEL AX = Y y existen una inversa condicional Ac y una inversa mínimo cuadrática Amc de A tales que AcY y AmcY son soluciones del SEL AX = Y.


369

Teorema 10.12. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm tales que el SEL AX = Y es consistente. El vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y si y sólo si AgA = In. Demostración CN(⇒): Si el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y entonces AgA = In. Por el teorema 10.11., la solución general del SEL AX = Y es:

Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Si X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y entonces X0 = Xsg. Luego,

AgY = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. ⇒ AgY – AgY = (In – AgA)Z; Z∈ℜn.

⇒ (In – AgA)Z = θnx1; Z∈ℜn. ⇒ In – AgA = θnx1

⇒ AgA = In

CS(⇒): Si AgA = In entonces el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y Por el teorema 10.11., la solución general del SEL AX = Y es:

Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Si AgA = In entonces Xsg = AgY + (In – In)Z = AgY. Luego, el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y. Observaciones: 1. Por el teorema 10.2., apartado 3, Rango(A) = Rango(AgA). Si AgA = In

entonces Rango(A) = Rango(In) = n. Luego, por el teorema anterior el vector X0 = AgY es la única solución del SEL AX = Y si y sólo si Rango(A) = n.

2. Si Rango(A) = n entonces el SEL AX = Y tiene una única solución X0 = AgY = (AtA)-1AtY. Si además m = n entonces la única solución es X0 = (AtA)-1AtY = (A)-1(At)-1AtY = A-1InY = A-1Y.

Teorema 10.13. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm–{θmx1} y tales que el SEL AX = Y es consistente. Si Rango(A) = r entonces el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I. Demostración Por hipótesis, el SEL AX = Y es consistente. Luego, por el teorema 10.11., la solución general de dicho SEL es:


370

Xsg = AgY + (In – AgA)Z; Z∈ℜn. Sea B∈Mnxn(ℜ) la matriz definida por B = In – AgA. La matriz B se puede expresar particionada por columnas 1xn de la siguiente forma:

B = [B1 B2 … Bn]

Luego, para Z0 = θnx1, Z1 = e1, Z2 = e2, …, Zn = en se obtienen n + 1 soluciones del SEL AX = Y: X0 = AgY + [B1 B2 … Bn]θnx1 = AgY

X1 = AgY + [B1 B2 … Bn]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

01

M = AgY + B1.

X2 = AgY + [B1 B2 … Bn]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

10

M = AgY + B2.

Xn = AgY + [B1 B2 … Bn]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

00

M = AgY + Bn.

Sea X∈Mnx(n+1)(ℜ) la matriz definida por X = [X0 X1 X2 … Xn]. Luego,

X = [AgY AgY + B1 AgY + B2 … AgY + Bn]

= [AgY B1 B2 … Bn]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000

010000101111

L

MMMM

L

L

L

= [AgY B] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ nnxn

tn

I1 1

= [AgY In – AgA] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ nnxn

tn

I1 1

Es claro que ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

θ nnxn

tn

I1 1 es no singular. Luego, por el teorema 1.28.,

Rango(X) = Rango([AgY In – AgA]). Ahora bien, por el teorema 10.2., apartado 14, Rango(B) = Rango(In – AgA) = n – r.


371

Demostremos que Rango(X) = n – r + 1. Utilicemos reducción al absurdo, es decir, supongamos que Rango(X) ≠ n – r + 1. Específicamente, supongamos que Rango(X) = n – r. Como Rango(B) = n – r entonces los vectores AgY, B1, B2, …, Bn son L.D., luego por el teorema 4.9., AgY∈[B1, B2, …, Bn]. Por lo tanto, existen escalares c1, c2, …, cn tales que:

∑=

=n

1i

jj

g BcYA

Luego,

∑=

=n

1i

jj

g BcYA = [B1 B2 … Bn]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

c

cc

M = (In – AgA)C; C =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

c

cc

M

En consecuencia,

Xsg = AgY + (In – AgA)Z = (In – AgA)C + (In – AgA)Z; C, Z∈ℜn. ⇒ Xsg = (In – AgA)(C + Z)

Por lo tanto,

AXsg = A(In – AgA)(C + Z) ⇒ AXsg = (A – AAgA)(C + Z) ⇒ AXsg = (A – A)(C + Z) ⇒ AXsg = (θmxn)(C + Z)

⇒ AXsg = θmx1

Lo cual es una contradicción ya que Y ≠ θmx1. En consecuencia, Rango(X) = n – r + 1 y como X es una matriz de soluciones del SEL AX = Y entonces el SEL AX = Y tiene n – r + 1 soluciones L.I. Para demostrar que el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I., supongamos que t es el número máximo de soluciones L.I. del SEL AX = Y. Luego, existen H1, H2, …, Ht∈ℜn tales que:

Xj = AgY + (In – AgA)Hj es solución del SEL AX = Y. Luego,

W = [X1 X2 … Xt] = [AgY In – AgA] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡t21 HHH

111L

L

Como X1, X2, …, Xt son L.I., entonces Rango(W) = t. Por el teorema 1.32., Rango(W) es igual a:

Rango([AgY In – AgA] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡t21 HHH

111L

L) ≤ Rango([AgY In – AgA])


372

Luego,

t ≤ n – r + 1 En consecuencia, el SEL AX = Y tiene exactamente n – r + 1 soluciones L.I. Observaciones: 1. El vector X = θnx1 no es solución del SEL AX = Y, ya que Y ≠ θmx1. En

consecuencia, el conjunto de soluciones del SEL AX = Y no es un subespacio de ℜn.

2. Si Y = θmx1 entonces el SEL AX = θmx1 tiene exactamente n – r

soluciones distintas de la trivial y además dicho conjunto de soluciones que coincide con el espacio nulo de A NA, forma un subespacio de ℜn.

Ejemplo 10.4. Consideremos el SEL del ejemplo 3.6.:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=++

2X2X4X22X3XX21XX2X

321

321

321

En este caso:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

24 231212 1

A , Y = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

221

Se puede verificar que Rango(A) = 2. Igualmente, se puede verificar que una inversa condicional de A es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=0 0 00 5

15

20 5

2 51

Ac

También se puede verificar que AAcY = Y. Luego, por el teorema 10.9., el SEL es consistente. Determinemos ahora su solución general:

Xsg = AcY + (In – AcA)Z; Z∈ℜn

AcY =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−0 0 00 5

15

20 5

2 51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

221

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001


373

I3 – AcA = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

–

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−0 0 00 5

15

20 5

2 51

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

24 231212 1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1 005

1 005

700

Luego,

Xsg = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1 005

1 005

700

Z; Z∈ℜ3

Como Rango(A) = 2 el SEL AX = Y tiene exactamente 3 – 2 + 1 = 2 soluciones L.I. Fijando Z1 = θ3x1 y Z2 = e3 se obtienen las 2 soluciones X1 y X2 L.I. de dicho SEL:

X1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

y X2 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

7

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

2

Esta operación equivale a desarrollar la solución general:

Xsg = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1 005

1 005

700

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

ZZZ

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

3

3

3

Z Z5

1

Z57

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+ Z3

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

7

; Z3∈ℜ

Para luego fijar Z3 = 0 y Z3 = 1 y así obtener las 2 soluciones L.I. del SEL AX = Y:

X1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

y X2 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

7

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

2


374

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine la inversa generalizada de cada una de las siguientes

matrices:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

2 1 0 20 31 4 0 10 2

A ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

3 1 0 54 2 230 10 1

B ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

32 11 01

C ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

42 23 2 0 2 11

D ;

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

=

92 522 2 3 1 53 0 221 21

E ;

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

23 1 04 127 32 5 2 1

F

2. Sea A∈Mmxn(ℜ), B∈Mnxn(ℜ). Demuestre que si BtAtA + AtAB

= ((AB)tA)t entonces AB = θmxn. 3. Sea A∈Mmxn(ℜ), tal que Rango(A) = r, con 0 < r < m. Demuestre que

A(AtA)gAt es semidefinida positiva. 4. Sea A∈Mmxn(ℜ). Demuestre que Ag = At si y sólo si AtA es

idempotente. 5. Sea A∈Mmxm(ℜ). Demuestre que si A es simétrica entonces Ag es

diagonalizable. 6. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que BA = θ(m-n)xm con

Rango(A) = r y Rango(B) = m – r. Demuestre que la matriz AAg + BgB es no singular.

7. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que A es simétrica,

BA = θ(m-n)xm, Rango(A) = r y Rango(B) = m – r. Demuestre que la matriz A + BtB es no singular.

8. Sean A∈Mmxm(ℜ), B∈M(m-n)xm(ℜ) tales que A es simétrica y

BA = θ(m-n)xm. Demuestre que: BtBAg = ABg(Bg)t = θmxm 9. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) matrices simétricas, tales que Rango(A) = m,

Rango(B) = r y BA = θnxn, con 0 < m < n, 0 < r < n y m + r = n. Demuestre que si C y D son las inversas generalizadas de A y B, respectivamente, entonces A + B es no singular.

10. Determine una inversa condicional de cada una de las matrices del

ejercicio 1.


375

11. Sean A, B∈Mnxn(ℜ) tales que Rango(A) = r < n, B es no singular y la matriz BA es idempotente. Demuestre que B es una inversa condicional de A.

12. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Demuestre que si B es una inversa

condicional de A entonces Rango(A) = Rango(BAB). 13. Sean G∈Mpxp(ℜ) y X∈Mnxp(ℜ) tal que Rango(X) = r con 0 < r < p.

Demuestre que si G es una inversa condicional de XtX entonces:

13.1. Gt es inversa condicional de XtX. 13.2. XGXtX = X. 13.3. XGXt es invariante respecto de cualquier inversa

condicional G de XtX. 13.4. XGXt es simétrica. 13.5. XGXt es semidefinida positiva. 13.6. Rango(In – XGXt) = n – r. 13.7. CtXGXtXB = UtB; ∀ B∈ℜp donde U = XtC y C∈ℜn.

14. Determine una inversa mínimo cuadrática para cada una de las

matrices dadas en el ejercicio 1. 15. Sean A∈Mmxn(ℜ) y Amc∈Mnxm(ℜ) tales que Amc es una inversa

mínimo cuadrática de A. Demuestre que AAg = Im si y sólo si AAmc = Im.

16. Sea A∈Mmxn(ℜ). Demuestre que si mc

1A y mc2A son inversas mínimo

cuadráticas de A entonces mxmmc2

mc1 )AA(A θ=− .

17. Sean A∈Mmxn(ℜ) y B∈Mnxm(ℜ). Demuestre que si B es una inversa

condicional de AtA entonces BAt es una inversa mínimo cuadrática de A.

18. Demuestre que los siguientes SEL son consistentes y determine para

cada uno de ellos su solución general así como el conjunto de soluciones L.I.:

18.1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−+−=−+

−=−+−

6X3X6X3X33X2X5X

4X2X4X2X2

4321

431

4321

18.2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−−=+−

=++

2X5XX33X2XX

3XXX

321

321

321

18.3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+

=++

3X2X20X2X2

3X2X2X4

31

21

321


376

18.4. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+−=−+

0XX0XXX0XX3X

21

431

421

19. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Considere el SEL AX = Y. Sea Ac

una inversa condicional de A. Sean Hj∈ℜn; ∀ j = 1, 2, …, t y cj∈ℜ; ∀ j = 1, 2, …, t. Demuestre que si el SEL AX = Y es consistente

entonces el vector Z = AcY + ∑=

−t

1j

jcnj H)AAI(c es solución del SEL

AX = Y. 20. Sean A∈Mmxn(ℜ), B∈Mpxq(ℜ), C∈Mmxq(ℜ) y X∈Mnxp(ℜ). Demuestre

que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación AXB = C tenga una solución es que AAgCBgB = C y en tal caso su solución general es de la forma Xsg = AgCBg + Z – AgAZBBg; donde Z∈Mnxp(ℜ).

21. Sean A∈Mmxn(ℜ), X∈ℜn e Y∈ℜm. Sea X0 = AgY una solución del

sistema de ecuaciones AX = Y. Demuestre que el vector Z = X0 + W es una solución del SEL AX = Y, ∀ W∈S⊥, siendo S = {(A1)t, (A2)t, …, (An)t}.

(15)Capitulo 10 Pseudos Inversas

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