15.15.Stavová rovnice ideálního Stavová rovnice ideálního

plynuplynu

Ideální plynIdeální plyn- nahrazujeme jím reálný plynnahrazujeme jím reálný plynTři předpoklady molekul ideálního plynu:Tři předpoklady molekul ideálního plynu:1.1. Rozměry molekul ideálního plynu jsou zanedbatelně malé ve Rozměry molekul ideálního plynu jsou zanedbatelně malé ve

srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe.srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe.2.2. Molekuly ideálního plynu na sebe navzájem silově nepůsobí Molekuly ideálního plynu na sebe navzájem silově nepůsobí

kromě vzájemných srážek.kromě vzájemných srážek.3.3. Vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto Vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto

molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.

- Vnitřní energie ideálního plynu s jednoatomovými molekulami Vnitřní energie ideálního plynu s jednoatomovými molekulami se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se neuspořádaným posuvným pohybemse neuspořádaným posuvným pohybem

- Vnitřní energie ideálního plynu s víceatomovými molekulami Vnitřní energie ideálního plynu s víceatomovými molekulami zahrnuje kromě toho ještě energii molekul konajících rotační zahrnuje kromě toho ještě energii molekul konajících rotační pohyb a energii kmitajících atomů v molekuláchpohyb a energii kmitajících atomů v molekulách

- Skutečné plyny se svými vlastnostmi přibližují vlastnostem Skutečné plyny se svými vlastnostmi přibližují vlastnostem ideálního plynu jestliže mají dostatečně vysokou teplotu a ideálního plynu jestliže mají dostatečně vysokou teplotu a nízký tlaknízký tlak

Rozdělení molekul ideálního plynu podle rychlostiRozdělení molekul ideálního plynu podle rychlosti

(v, v + (v, v + ∆v)/∆v)/

m.sm.s-1-1

∆∆N/NN/N

0-1000-100 0,0140,014

100-200100-200 0,0810,081

200-300200-300 0,1650,165

300-400300-400 0,2140,214

400-500400-500 0,2060,206

500-600500-600 0,1510,151

600-700600-700 0,0920,092

700-800700-800 0,0480,048

800-900800-900 0,0200,020

nad 900nad 900 0,0090,009

SoučetSoučet 1,0001,000

a) tabulkou (pro daný počet molekul)

(v, v + ∆v)/m.s-1 … zvolené intervaly (v, v + ∆v)/m.s-1 … zvolené intervaly rychlostirychlosti

∆∆N/N … střední relativní četnost molekulN/N … střední relativní četnost molekul

b) histogramem

Rozdělení molekul plynu podle rychlostí matematicky odvodil anglický fyzik J. C. Maxwell. Pomocí tzv. Lammertova pokusu bylo zjištěno, že rychlosti molekul jsou různé.

příklad histogramu

Střední kvadratická rychlostStřední kvadratická rychlost Okamžitá rychlost molekul plynu je náhodná veličina, proto se také Okamžitá rychlost molekul plynu je náhodná veličina, proto se také

mění kinetická energie posuvného pohybu jednotlivých molekulmění kinetická energie posuvného pohybu jednotlivých molekul Srážky jsou pružné, proto je vnitřní kinetická energie ESrážky jsou pružné, proto je vnitřní kinetická energie Ekk konstantní konstantní Na každou molekulu plynu připadá střední kinetická energie ENa každou molekulu plynu připadá střední kinetická energie Ekk/N, kde /N, kde

N je počet molekulN je počet molekul Zavádíme pojem střední kvadratická rychlost, značíme ji a je to Zavádíme pojem střední kvadratická rychlost, značíme ji a je to

statistická veličina, která vyjadřuje rychlost, jíž by se měly pohybovat statistická veličina, která vyjadřuje rychlost, jíž by se měly pohybovat všechny molekuly při nezměněné celkové vnitřní kinetické energii všechny molekuly při nezměněné celkové vnitřní kinetické energii soustavy, vypočítáme ji ze vzorce:soustavy, vypočítáme ji ze vzorce:

Boltzmannova konstanta Boltzmannova konstanta kk≈ 1,38≈ 1,38··1010-23-23 J J··KK-1-1··molmol-1-1, T termodynamická , T termodynamická teplota plynu a mteplota plynu a m00 hmotnost jedné molekuly hmotnost jedné molekuly

Střední kinetická energie molekuly plynuStřední kinetická energie molekuly plynu Ze vztahu pro střední kvadratickou rychlost vyplývá, že molekula Ze vztahu pro střední kvadratickou rychlost vyplývá, že molekula

ideálního plynu má v důsledku svého neuspořádaného posuvného ideálního plynu má v důsledku svého neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii Epohybu střední kinetickou energii Ekk, pro kterou platí:, pro kterou platí:

Každá molekula ideálního plynu má v důsledku neuspořádaného Každá molekula ideálního plynu má v důsledku neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii, která je přímo úměrná posuvného pohybu střední kinetickou energii, která je přímo úměrná termodynamické teplotě plynutermodynamické teplotě plynu

Vztah pro EVztah pro Ekk umožňuje vyjádřit vnitřní energii U ideálního plynu s N umožňuje vyjádřit vnitřní energii U ideálního plynu s N jednoatomovými molekulami, platí tedy:jednoatomovými molekulami, platí tedy:

Dosadíme-li do tohoto vztahu N = nNDosadíme-li do tohoto vztahu N = nNAA a součin kN a součin kNAA označíme R, kde n označíme R, kde n je látkové množství plynu, R molární plynová konstanta a T je látkové množství plynu, R molární plynová konstanta a T termodynamická teplota plynutermodynamická teplota plynu

Tlak plynuTlak plynu Tepelný pohyb molekul plynu uzavřeného v nádobě má za následek Tepelný pohyb molekul plynu uzavřeného v nádobě má za následek

srážky těchto molekul s částicemi vnitřních stěn nádoby, což se srážky těchto molekul s částicemi vnitřních stěn nádoby, což se projevuje jako střední tlaková síla projevuje jako střední tlaková síla F F plynu na určitou plochu Splynu na určitou plochu S

Vztah p = F/S vyjadřuje střední hodnotu Vztah p = F/S vyjadřuje střední hodnotu tlaku plynu, tlaku plynu, který můžeme který můžeme změřit změřit manometremmanometrem, např. kapalinovým, např. kapalinovým

Tlak ideálního plynu je přímo úměrný hustotě molekul NTlak ideálního plynu je přímo úměrný hustotě molekul Nvv = N/V, = N/V, hmotnosti mhmotnosti m00 jedné molekuly a druhé mocnině střední kvadratické jedné molekuly a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti vrychlosti vkk, matematicky tuto závislost vyjadřuje , matematicky tuto závislost vyjadřuje základní rovnice základní rovnice pro tlak ideálního plynupro tlak ideálního plynu

Stavová rovnice pro ideální plynStavová rovnice pro ideální plyn Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami

termodynamickou teplotoutermodynamickou teplotou T, T, tlakemtlakem p, p, objememobjemem V a počtem molekul N V a počtem molekul N Existují další stavové veličiny, souhrnně se jedná o takové veličiny, které nám Existují další stavové veličiny, souhrnně se jedná o takové veličiny, které nám

charakterizují stav soustavy (teplota, objem, tlak, magnetizace,…) k určení charakterizují stav soustavy (teplota, objem, tlak, magnetizace,…) k určení stavu je zapotřebí znát určitý minimální počet stavových veličin, ostatní stavové stavu je zapotřebí znát určitý minimální počet stavových veličin, ostatní stavové veličiny jsou na nich závisléveličiny jsou na nich závislé

Rovnice, která vyjadřuje vztah mezi těmito veličinami se nazývá Rovnice, která vyjadřuje vztah mezi těmito veličinami se nazývá stavová stavová rovnicerovnice Popis stavu plynu Popis stavu plynu

veličinamiveličinamiTvar stavové rovniceTvar stavové rovnice

p, V, T, Np, V, T, N pV = NkTpV = NkT

p, V, T, np, V, T, n pV = nRTpV = nRT

p, Vp, Vmm, T, T PVPVmm = RT = RT

p, V, T, m, Mp, V, T, m, Mmm pV = m/MpV = m/Mmm RT RT

p, V, T (m = konst.)p, V, T (m = konst.)

resp.resp.

pp11, V, V11, T, T11 (1. stav) (1. stav)

pp11, V, V22, T, T22 (2. stav) (2. stav)

pV/T = konst.pV/T = konst.

resp. resp.

pp11VV11/T/T11 = p = p22VV22/T/T22

Avogadrův zákonAvogadrův zákon Mají-li dva plyny stejný objem, tlak a teplotu, pak pro ně platí rovnice Mají-li dva plyny stejný objem, tlak a teplotu, pak pro ně platí rovnice

pV = NpV = N11kT, pV = NkT, pV = N22kT, ze kterých dostáváme NkT, ze kterých dostáváme N11 = N = N22

Tuto skutečnost vyjadřuje Tuto skutečnost vyjadřuje Avogadrův zákonAvogadrův zákon::

Různé ideální plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají Různé ideální plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají stejný počet molekul.stejný počet molekul.

Amedeo Avogadro (1776-

1856)

Izotermický děj s ideálním plynemIzotermický děj s ideálním plynem-- Děj, při kterém je teplota plynu stálá, se nazývá Děj, při kterém je teplota plynu stálá, se nazývá izotermický dějizotermický děj, ze , ze

stavové rovnice ideálního plynu vyplývá:stavové rovnice ideálního plynu vyplývá:

Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):

pV = konst., resp. ppV = konst., resp. p11VV11 = p = p22VV22

Neboli: Tlak ideálního plynu při izotermickém ději je nepřímo úměrný Neboli: Tlak ideálního plynu při izotermickém ději je nepřímo úměrný jeho objemu.jeho objemu.

- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při izotermickém ději se nazývá izotermickém ději se nazývá izotermaizoterma

- Při izotermickém ději je Při izotermickém ději je ΔΔU = 0 a z prvního ter-U = 0 a z prvního ter-

modynamického zákona vyplývá:modynamického zákona vyplývá:

TeploTeplo Q QTT přijaté ideálním plynem při izotermickém přijaté ideálním plynem při izotermickém

Ději je rovno práci Ději je rovno práci W´W´ kterou plyn při tomto ději kterou plyn při tomto ději

Vykoná: Vykoná: QQTT = W´ = W´

Izochorický děj s ideálním plynemIzochorický děj s ideálním plynem- Děj, při němž je objem plynu stálý, se nazývá Děj, při němž je objem plynu stálý, se nazývá izochorický dějizochorický děj, ze , ze

stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:

Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):

- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se nazývá nazývá izochoraizochora

- Při izochorickém ději plyn nekoná práci a z prvního termodynamického Při izochorickém ději plyn nekoná práci a z prvního termodynamického zákona vyplývá:zákona vyplývá:

TeploTeplo Qv Qv přijaté ideálním plynem při přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku izochorickém ději se rovná přírůstku ΔΔUU a jeho vnitřní energie; a jeho vnitřní energie;

QQvv = = ΔΔU = cU = cVVmmΔΔT,T,

kde ckde cVV je měrná tepelná kapacita je měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu, plynu při stálém objemu, ΔΔT přírůstek T přírůstek teploty.teploty.

Izobarický děj s ideálním plynemIzobarický děj s ideálním plynem- Děj, při kterém je tlak plynu stálý, se nazývá Děj, při kterém je tlak plynu stálý, se nazývá izobarický dějizobarický děj, ze , ze

stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:

Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Gay-Lussacův):přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Gay-Lussacův):

- Graf vyjadřující objem plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho Graf vyjadřující objem plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty, resp. tlak plynu jako funkci jeho objemu, při termodynamické teploty, resp. tlak plynu jako funkci jeho objemu, při izobarickém ději se nazývá izobarickém ději se nazývá izobaraizobara

- Mění se vnitřní energie plynu a plyn koná práci, tedy dostáváme z Mění se vnitřní energie plynu a plyn koná práci, tedy dostáváme z prvního termodynamického zákona:prvního termodynamického zákona:

TeploTeplo Q Qpp přijaté ideálním plynem při přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku izobarickém ději se rovná součtu přírůstku ΔΔU jeho vnitřní energie a práceU jeho vnitřní energie a práce W´, W´, kterou kterou plyn vykoná.plyn vykoná.

QQp p = = ΔΔU + W´= cU + W´= cppmmΔΔT,T,

kde ckde cpp je je měrná tepelná kapacita plynu při měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku.stálém tlaku.

Adiabatický děj s ideálním plynemAdiabatický děj s ideálním plynem- Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho

okolímokolím- Při tomto ději je tedy Q = 0, takže z prvního termodynamického zákona Při tomto ději je tedy Q = 0, takže z prvního termodynamického zákona

vyplývá vztah vyplývá vztah ΔΔUU = W = W- Při adiabatickém stlačení (kompresi) plynu v nádobě se Při adiabatickém stlačení (kompresi) plynu v nádobě se

působením vnější síly na píst koná práce. Teplota plynu a jeho působením vnější síly na píst koná práce. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se zvětšujívnitřní energie se zvětšují

- Při adiabatickém rozpínání (expanzi) koná plyn práci. Teplota Při adiabatickém rozpínání (expanzi) koná plyn práci. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se při tom zmenšují.plynu a jeho vnitřní energie se při tom zmenšují.

- Pro adiabatický děj s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Pro adiabatický děj s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Poissonův Poissonův zákon:zákon:

pVpVκκ = konst.,= konst.,

kde kde κ κ (kapa)(kapa) = c = cpp/c/cVV je je Poissonova konstanta.Poissonova konstanta.- Poněvadž cPoněvadž cpp > c > cVV, je , je κκ > 1 > 1- Poissonova konstanta závisí na druhu plynu Poissonova konstanta závisí na druhu plynu

a její hodnoty pro různé plyny jsou uvedeny a její hodnoty pro různé plyny jsou uvedeny v MFChTv MFChT

- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při adiabatickém jako funkci jeho objemu při adiabatickém ději se nazývá ději se nazývá adiabataadiabata