15 DIFERENCIABILIDAD

8/17/2019 15 DIFERENCIABILIDAD

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20/04/2016

1

DIFERENCIABILIDADDIFERENCIABILIDAD

FUNCIÓN REAL DE VARIASFUNCIÓN REAL DE VARIASVARIABLESVARIABLES

CAPÍTULO IICÁLCULO VECTORIAL

SESIÓN 13

Rosa Ñique Alvarez 2

Incremento y diferencial de una función y = f ( x)

INTRODUCCIÓN


Incremento de una función y = f ( x)

INTRODUCCIÓN

( ) ( ) ( ) x f x x f x f −∆+=∆

Diferencial total de una función y = f ( x)

( ) ( )

dxdx

xdf xdf =

( ) )( xdf x f ≈∆

INCREMENTO DE f ( x ,y ) en (x0,y0)


( ) ( ) ( )000000 ,,, y x f y y x x f y x f −∆+∆+=∆

DEFINICION

x: incremento en la variable independiente x

y: incremento en la variable independiente y

Rosa Ñique Alvarez 5 Rosa Ñique Alvarez 6

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20/04/2016

2

EJEMPLO 1

y x y x f 3),( 2 +=


Calcule el incremento de f ( x, y) en ( x, y)

Solución


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) y x x x y x f

y x y y x x y x f

y x f y y x x f y x f

∆+∆+∆=∆

+−∆++∆+=∆

−∆+∆+=∆

32,

3)(3,

,,,

2

22

y x y x f 3),( 2 +=

DIFERENCIAL TOTAL PARA z = f (x, y )


y x f D x y x D y x y xdf ∆+∆=∆∆ ),(),(),,,( 21

y y x f x y x f dz y x ∆+∆=

),(),(

EJEMPLO 2


Calcule el diferencial total de la siguientefunción

2232),( y x seny x y x f −=

Solución


y y x f D x y x f Ddf ∆+∆= ),(),( 21

( ) y y x y x x xy senydf ∆−+∆−= 22 6cos2)62(

2232),( y x seny x y x f −= Definición: una función z = f ( x, y) es diferenciable

en ( x0, y0) si f puede expresarse en la forma

Se dice que la función f es diferenciable en (x 0, y 0).


( ) ( ) ( )

0limy0lim

,,,

2)0,0(),(

1)0,0(),(

2100200100

=∈=∈

∆∈+∆∈+∆+∆=∆

→∆∆→∆∆ y x y x

y x y y x f D x y x f D y x f

DIFERENCIABILIDAD DE f en (x 0, y 0)






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3

Incremento y diferenciabilidad


( ) ( ) ( )000000 ,,, y x f y y x x f −∆+∆+=∆

( ) ( ) ( ) y x y y x f D x y x f D y x f ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2100200100 ,,,

y y x f D x y x f D y x y xdf ∆+∆=∆∆ ),(),(),,,( 21

Incremento y Diferenciabilidad



( ) y x y x y xdf y x f ∆∈+∆∈+∆∆=∆ 2100 ),,,(,

0limy0lim 2)0,0(),(

1)0,0(),(

=∈=∈→∆∆→∆∆ y x y x



( ) y x y x y x f d y x f ∆∈+∆∈+∆∆=∆ 2100 ),,,(,

Si f ( x, y) es diferenciable en ( x0, y0)

( ) )0,0(,cuando0,0 21

→∆∆→∈→∈

y x



( ) ),,,(, 0000 y x y xdf y x f ∆∆≈∆

Si f ( x, y) es diferenciable en ( x0, y0)

EJEMPLO 3

y x y x f 3),( 2 +=


Demuestre que la función es diferenciablepara todo ( x, y)

Solución


y x y x f 3),( 2 +=

( ) y x x x y x f ∆+∆+∆=∆ 32, 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) y x y y x x y x f

y x f y y x x f y x f

3)(3,

,,,

22 +−∆++∆+=∆

−∆+∆+=∆






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4

Solución


y x y x f 3),( 2 +=

( ) ( ) ( ) ( ) y x x y x x y x f ∆+∆∆+∆+∆=∆ 032,


0, 21 =∈∆=∈ x

( ) y x x x y x f ∆+∆+∆=∆ 32, 2

Solución


0, 21 =∈∆=∈ x

( ) )0,0(,cuando

0,0 21

→∆∆→∈→∈ y x

Solución: usando la definición dediferenciabilidad


y x y x f 3),( 2 +=

Es diferenciable para todo ( x, y)

Superficie Superficie noDiferenciable Diferenciableo SUAVE


EJEMPLO 4


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

Demuestre que la función f es diferenciableen (0,0)

GRAFICA

Rosa Ñique Alvarez 24superficie

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f






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5

Solución: usando la definición


( ) ( ) ( )

0limy0lim

0,00,00,0

2)0,0(),(

1)0,0(),(

2121

=∈=∈

∆∈+∆∈+∆+∆=∆

→∆∆→∆∆ y x y x

y x y f D x f D f



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) x y x

y x

y x

y x

y x

y x f

f y x f f

f y x f f

∆∆+∆∆∆

=∆+∆∆∆

=−∆+∆∆∆

=∆

−∆∆=∆

−∆+∆+=∆

22

2

22

22

22

22

00,0

0,0,0,0

0,00,00,0

=

≠+=)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x y x f

Solución:


( )

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 222

4

1

y x

y x y x

y x

y x f D

( )

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 222

4

2

y x

y x y x

y x

y x f D

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f Solución: usando la definición


( ) ( ) ( ) y x y f D x f D f ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0

y x y x y y x

y xó

y x y x x y x

y x

∆∈+∆∈+∆+∆=∆∆+∆∆∆

∆∈+∆∈+∆+∆=∆∆+∆∆∆

2122

2

2122

2

00

00



y x y x y y x

y x ∆∈+∆∈+∆+∆=∆∆+∆∆∆

2122

2

00

y x y y x

y x x ∆∈+∆=∈∆∆+∆∆∆+∆ 2122

2

0



y x y y x

y x x ∆∈+∆=∈∆∆+∆∆∆

+∆ 2122

2

0

22

2

21 ,0 y x

y x

∆+∆∆∆

=∈=∈






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6



22

2

21 ,0 y x

y x

∆+∆∆∆=∈=∈

( ) ( )0lim,0lim 2

)0,0(,1

)0,0(,=∈=∈

→∆∆→∆∆ y x y x

Ahora se demuestra que:

Solución: usando la definición de límite


( )0lim 1

)0,0(,=∈

→∆∆ y x


( ) ( )0limlim

22

2

)0,0(,2

)0,0(,=∆+∆∆∆=∈

→∆∆→∆∆ y x

y x

y x y x

talque0existe0todo para >∈> δ

δ<∆+∆<<∈−∆+∆∆∆ 22

22

2

0quesiempre0 y x y x

y x

Solución: usando la definición de límite se debedemostrar que el límite es cero Solución: usando la definición



δ<∆+∆<<∈−∆+∆∆∆ 22

22

2

0quesiempre0 y x y x

y x

( )22

2222

22

2

22

2

y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

∆+∆∆+∆∆+∆≤

∆+∆∆∆=

∆+∆∆∆



( )22

2222

22

2

22

2

0 y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

∆+∆∆+∆∆+∆

≤∆+∆∆∆

≤−∆+∆∆∆

=∈<∆+∆≤−∆+∆∆∆

δ22

22

2

0 y x y x

y x

EXISTE =∈δ

Solución


( ) ( )0limlim

22

2

)0,0(,2

)0,0(,=∆+∆∆∆

=∈→∆∆→∆∆ y x

y x

y x y x

Por lo tanto queda demostrado que






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7

Solución


=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

La función f ( x, y) es diferenciable en (0,0)

( ) ( ) ( )

0limy0lim

0,00,00,0

2)0,0(),(

1)0,0(),(

2121

=∈=∈

∆∈+∆∈+∆+∆=∆

→∆∆→∆∆ y x y x

y x y f D x f D f

TEOREMA 1

Si f es diferenciable en un punto P0 entonces f escontinua en P0.


EJEMPLO 5


=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

La función f ( x, y) es diferenciable en (0,0)

La función f ( x, y) es continua en (0,0)

Observación 1:

Si la función f no es continua en el punt oP 0entonces f no es diferenciable en P 0.


EJEMPLO 6

≠≠

==−+

=

1y1si,2

1ó1si,2

),(

y x

y x y x

y x f


Demuestre que f ( x, y) no es diferenciableen (1,1).

Solución


≠≠

==−+=

1y1si,2

1ó1si,2),(

y x

y x y x y x f

x=1

y=1






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8

Solución

≠≠

==−+=

1y1si,2

1ó1si,2),(

y x

y x y x y x f


)1,1(02),(lim.3

22lim),(lim.2

0)1,1(.1

)1,1(),(

)1,1(),()1,1(),(

f y x f

y x f

f

y x

y x y x

=≠=

==

=

→

→→

Veamos que pasa con la continuidad de f ( x, y) en (1,1)

diferentes

Solución

≠≠

==−+=

1y1si2

1ó1si2),(

y x

y x y x y x f


f no es continua en (1,1)

OBSERVACIÓN1:

La función f no es continua en (1,1) entonces f no es diferenciable en (1,1).

EJEMPLO 7


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

y x

y x f

¿La función f ( x, y) es diferenciable en (0,0)?

Solución


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

y x

y x f

La función f no es continua en (0,0) f no es

diferenciable en (0,0).

continuidad

Observación 2:


La existencia de las derivadas parcialesD1f (x0 , y0) y D2f (x0 , y0) de una función dedos variables no garantiza que la función seadiferenciable en (x0 , y0) .

EJEMPLO 8


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

y x

y x f

continuidad

a) Calcule: D1 f (0,0) y D2 f (0,0)

b)¿La función f ( x, y) es diferenciable en (0,0)?






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9

a) Derivadas parciales de f ( x, y) en (0,0)

0)0,0()0,0(

lim)0,0(0

1 =∆−∆+

=→∆ x

f x f f D

x


0)0,0()0,0(

lim)0,0(0

2 =∆−∆+

=→∆ y

f y f f D

y

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

y x

y x f

Solución b)

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

y x

y x f


La función f no es diferenciable en (0,0)

(ver Ejemplo 7)

Conclusiones

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

x

y x f


La función f no es diferenciable en (0,0) pero susderivadas parciales D1 f (0, 0) = 0 y D2 f (0, 0) = 0

existen.

f no es diferenciable en (0,0)Rosa Ñique Alvarez 52

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

y x

y x y x

x

y x f

TEOREMA 2

Si las funciones D1 f y D2 f son continuas en P0 ,entonces f es diferenciable en P0.


EJEMPLO 9


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

Use el Teorema 2 y demuestre que la función f

es diferenciable en (0,0).

Sea






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10

GRAFICA DE


=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f Solución


=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

( )

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 222

4

1

y x

y x y x

y x

y x f D

( )

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 222

4

2

y x

y x

y x

y x

y x f D

Demostraremos que D1 f ( x, y) y D2 f ( x, y) son continuas en(0,0).

FUNCIONES

Solución( )

=

≠+==

)0,0(),(,0

)0,0(),(,2

),(),( 222

4

1

y x

y x y x

y x

y x f D y x g


Demostraremos que D1 f ( x, y) es continua en (0,0),

es decir:

?¿),(lim.2)0,0(),(

1 ∃→ y x f D

y x

0)0,0(.1 1 = f D

?¿0)0,0(),(lim.3 1)0,0(),(

1 ∃==→

f D y x f D y x

Solución



0),(lim)0,0(),(

1 =

→ y x f D

y x

δ<+<∈<− 22

1 0quesiempre0),( y x y x f D

( )

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,2

),( 222

4

1

y x

y x y x

y x

y x f D

Demostrar que

DEFINICIÓN DE LÍMITE

Solución


( ) ( )( )

( )222

22222

222

4

222

4 220

2

y x

y x y x

y x

y x

y x

y x

+

++≤

+=−

+

( ) =∈<+≤

+δ22

2 22

222

4

y x y x

y x

2

∈=∃ δ

Solución


2

∈=∃ δ

)0,0(0),(lim 1)0,0(),(

1 f D y x f D y x

==→

Por lo tanto D1 f ( x, y) es continua en (0,0)






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11

Solución


( )

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 222

4

2

y x

y x

y x

y x

y x f D

Usando el procedimiento anterior se puededemostrar que D2 f ( x, y) es continua en (0,0).

0)0,0(),(lim 2)0,0(),(

2 ==→

f D y x f D y x

Conclusiones

( )

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,2

),( 222

4

1

y x

y x y x

y x

y x f D


( )

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,2

),( 222

4

2

y x

y x y x

y x

y x f D

D1 f ( x, y) y D2 f ( x, y) son continuas en (0,0)

=

≠+=

)0,0(),(,0

)0,0(),(,),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f

Conclusiones

=

≠+=

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

22

y x

y x y x

y x

y x f


Usando el Teorema 2

Entonces la función f es diferenciable en (0,0)

La función f es continua en (0,0)

D1 f ( x, y) y D2 f ( x, y) son continuas en (0,0)

OBSERVACIÓN 3:

Es posible que un función f sea diferenciable enP0 aunque sus derivadas parciales D1 f y D2 f noseancontinuas en P0.


EJEMPLO 10


( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

Demuestre que f ( x, y) es diferenciable y continuaen (0,0)

Grafica


MB148E19

( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f






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12

INCREMENTO DE f EN (0,0)


( )

∆+∆∆+∆=∆

−∆+∆+=∆

22

22 1)0,0(

)0,0()0,0()0,0(

y x sen y x f

f y x f f

( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD

=

≠

++−

+

=)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

cos1

2

),(

222222

1

y x

y x y x y x

x

y x xsen

y x f D


Solución: Definición de diferenciabilidad

( ) ( ) ( ) y x y f D x f D f ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0

=

≠

++−

+

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

cos1

2

),(

222222

2

y x

y x y x y x

y

y x sen y

y x f D


Solución: Definición de Diferenciabilidad

( ) ( ) ( ) y x y f D x f D f ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0

Solución


( ) ( ) ( ) y x y f D x f D f ∆∈+∆∈+∆+∆=∆ 2121 0,00,00,0

( ) y x y x y x

sen y x ∆∈+∆∈+∆+∆=

∆+∆

∆+∆ 2122

2200

1

Solución


y x

y y x

sen y x y x

sen x

∆∈+∆∈

=∆

∆+∆∆+∆

∆+∆∆

21

2222

11

( ) y x y x y x

sen y x ∆∈+∆∈+∆+∆=

∆+∆∆+∆ 21

22

22 001

Solución


∆+∆∆=∈

∆+∆∆=∈

222

221

1

1

y x sen y

y x sen x






20/04/2016

13

Solución: demostrar que


( ) ( )

( ) ( )0

1limlim

01

limlim

22)0.0(,2

)0,0(,

22)0.0(,1

)0,0(,

=

∆+∆∆=∈

=

∆+∆∆=∈

→∆∆→∆∆

→∆∆→∆∆

y x sen y

y x sen x

y x y x

y x y x

Solución: Demostrar que:


( ) ( )0

1limlim

22)0,0(,1

)0.0(,=

∆+∆∆=∈

→∆∆→∆∆ y x sen x

y x y x


δ<∆+∆<<∈−

∆+∆∆ 22

220quesiempre0

1 y x

y x sen x

DEFINICIÓN DE LÍMITE

Solución


=∈<∆+∆≤∆≤

∆+∆∆

∆+∆∆=−

∆+∆∆

δ2222

2222

1

10

1

y x x y x

sen x

y x sen x

y x sen x

=∃δ

Solución


=∃δ

( ) ( )

01

limlim22)0.0(,

1

)0.0(,

=

∆+∆∆=∈

→∆∆→∆∆ y x

sen x y x y x

Queda demostrado que

Solución


Usar el mismo criterio para demostrar que

( ) ( )0

1limlim

22)0.0(,2

)0.0(,=

∆+∆∆=∈

→∆∆→∆∆ y x sen y

y x y x

Conclusión


( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

f ( x, y) es diferenciable en (0,0)

f ( x, y) es continua en (0,0)

(Definición de diferenciabilidad)






20/04/2016

14

EJEMPLO 11


( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

Demuestre que D1 f ( x, y) y D2 f ( x, y) n o s on

c o n t i n u a s en (0,0).

Solución


=

≠

++−

+

=)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

cos1

2

),(

222222

1

y x

y x y x y x

x

y x xsen

y x f D

( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

Solución: si D1 f no es continua en (0,0)alguna de las siguientes condiciones nose cumple


0)0,0(),(lim.3

existe?¿),(lim.2

0)0,0(.1

1

¿?

1)0,0(),(

1)0,0(),(

1

==

=

→

→

f D y x f D

y x f D

f D

y x

y x

Solución


),(lim 1)0,0(),(

y x f D y x →

( )

++−

+→ 222222)0,0(,

1cos

12lim

y x y x

x

y x xsen

y x

{ }0,),(: ≥= x x y y xS

Solución


( )

++−

+→ 222222)0,0(,

1cos

12lim

y x y x

x

y x xsen

y x

−

+→ x x

x

x xsen

x 2

1cos

22

12lim

0

{ }0,),(: ≥= x x y y xS Solución


−

+→ x x

x

x xsen

x 2

1cos

22

12lim

0

{ }0,),(: ≥= x x y y xS

−

++ →→ x x

xsen x x 2

1cos

2

1lim

2

12lim

00






20/04/2016

15

Solución


{ }0,),(: ≥= x x y y xS

−

++ →→ x x

xsen x x 2

1cos

2

1lim

2

12lim

00

−

+→ x x 2

1cos

2

1lim0

0

Solución: supongamos que


02

1cos

2

1lim

0=

+→ x x


)1(002

1cos

2

1quesiempre δ<<∈<−

x x

HIPÓTESIS

Solución: debe cumplirse que


02

1cos

2

1lim

0=

+→ x x

7071,02

1

2

1

cos2

1

02

1

cos2

1

=≤

=−

x x

Solución


+→ x x 2

1cos

2

1lim

0

Este límite no existe

GRAFICA

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1funcion coseno(1/(sqrtx))

= x

y 1

cos


Solución


{ }0,),(: ≥= x x y y xS

−

++ →→ x x

xsen x x 2

1cos

2

1lim

2

12lim

00

)existeno(0 −






20/04/2016

16

Solución


( )

++−

+→ 222222)0,0(,

1cos

12lim

y x y x

x

y x xsen

y x

El límite de D1f(x,y) no existe cuando (x,y)tiende a (0,0)

),(lim 1)0,0(),(

y x f D y x → Solución:


cumpleseno),0,0(),(lim.3

existeno),(lim.2

0)0,0(.1

11)0,0(),(

1)0,0(),(

1

f D y x f D

y x f D

f D

y x

y x

=

=

→

→

Solución


),(1 y x f D No es continua en (0,0)

=

≠

++−

+

=)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

cos1

2

),(

222222

1

y x

y x y x y x

x

y x xsen

y x f D

Solución: siguiendo el procedimientoanteriorse puede demostrarque


),(2 y x f D No es continua en (0,0)

=

≠

++−

+

=)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

cos1

2

),(

222222

2

y x

y x y x y x

y

y x sen y

y x f D

CONCLUSIÓN


( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

),(y),( 21 y x f D y x f D No son continuas en(0,0)

Conclusiones: ver Ejemplos 10 y 11


( )

=

≠

++

=

)0,0(),(;0

)0,0(),(;1

),( 22

22

y x

y x y x

sen y x y x f

f ( x, y) es diferenciable en (0,0)

f ( x, y) es continua en (0,0)

),(y),( 21 y x f D y x f D No son continuas en (0,0)

15 DIFERENCIABILIDAD

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