15. 15. 물질이동식을 풀기위한 물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라유한차분법을 설명하라 . . 전방전방 , , 후방후방 , crank-Nicholson, , crank-Nicholson, 법용적 법용적 유한차분법에 대한 자세한 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라알고리즘을 설명하라 ..

환경공학과20031479최헌석

물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라 . . 전방전방 , , 후방후방 , crank-Nicholson, , crank-Nicholson, 법용적 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라 ..

    + 유한 차분법 (FDM) 은 편미분방정식을 위한 대체 방법이다 .

유한요소법 (FEM) 과 유한차분법 (FDM) 의 차이

- 유한 차분법은 미분방정식에 대해 근사화한다 ; 유한 요소법은 미분방정식의 해법에 대해 근사화한다

- 유한요소법의 가장 매력적인 특징은 복잡한 도형들 ( 그리고 조건들 ) 을 비교적 쉽게 다루는 능력이다 . 반면에 유한차분법은 그것의 기본 형식에서 직사각형 모양들과 단순한 교차물(alterations) 들을 다루는 것만으로 제한된다 . 그러한 이유때문에 , 유한요소법에서 도형들을 다루는 것은 이론적으로 간단하다 .

- 유한차분법의 가장 매력적인 특징은 사용하기 쉽다는 것이다 .

물질이동식을 풀기 위한 유한차분법을 설명하라물질이동식을 풀기 위한 유한차분법을 설명하라 . . 전방전방 , , 후방후방 , crank-Nicholson, , crank-Nicholson, 범용적 유한차분법에 대한 범용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라자세한 알고리즘을 설명하라 ..+ 해의 존재성과 유일성의 증명

- 우리는 이 (0,1) 이 x = 0 와 x = 1 에서 0 인 절대연속함수라고 정의할 수 있다 . 그와 같은 함수는 1 회만 미분가능하며 대칭구조인 양선형함수로 볼 수 있다 .() 내적을 실시하면 는 Hilbert-space 로 변경할 수 있다 . (자명하다 .) 반대로 좌항 역시 내적이며 이 경우 Lp space L2(0,1) 에 존재한다 . Riesz representation theorem 을 Hilbert 공간에 적용시키면 P1 에 대한 유일해 u 를 얻을 수 있다 .

+P2 의 변분법- 만약 Green’s theorem 을 사용하여 부분적분을 실시하면 , 어떠한 v 에 대해서라도 P2 는 u 라는 해를 가짐을 알 수 있을 것이다 .- 공간은 절대연속함수로 더 이상 정의될 수 없게 된다 .(Sobolev space 를 참조 .) 그러므로 존재성과 유일성이 증명되었다 .

물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라물질이동식을 풀기위한 유한차분법을 설명하라 . . 전방전방 , , 후방후방 , crank-Nicholson, , crank-Nicholson, 법용적 유한차분법에 대한 법용적 유한차분법에 대한 자세한 알고리즘을 설명하라자세한 알고리즘을 설명하라 ..여기서는 , 유한요소법을 2 개의 샘플문제를 가지고 나타내도록 하겠다 .

1 차식을 살펴보면 , f 는 주어진 값이고 u 는 x 의 미지함수이다 . u'' 는 x 에 대한 u 의 2 차 미분식이다 .2 차식은 Dirichlet problem 이라고도 한다 . Ω 는 (x,y) 평면에 연결되어 있고 경계부가 표현되어 있다 . uxx 와 uyy 는 각각 x 와 y 에 대한 2 차 미분을 나타낸다 .

P1 문제는 부정적분 을 계산하여 직접결과를 얻을 수 있으나 , 경계조건문제 를 풀기위해 부정적분이 통용되는 경우는 고차원문제로 바뀌지 않는 경우에만 해당된다 . 이러한 이유로 인해 P1 에서의 유한요소법을 정의하고 그것을 통해 P2 의 유한요소법을 정의

2 개의 단계를 거쳐 설명 , 경계조건문제 (Boundary Value Problem:BVP) 를 FEM 을 사용하여 해결 . 첫번째 단계에서는 기존 BVP 를 변분법 형태로 바꾼다 . 이 단계에서는 계산이 거의 필요없으며 변환형은 수작업도 가능하다 . 두번째 단계는 미분화이다 . 두번째 단계까지 거치고 나면 유한한 범위를 지니는 선형문제를 도출할 수 있고 컴퓨터 계산을 통해 대략적인 값을 알 수 있을 것이다 .