1

Zadatak 261 (Martin, srednja škola)

Odredite brzinu svjetlosti u staklu indeksa loma 1.5. Izrazite tu brzinu u postotcima od brzine svjetlosti u vakuumu. (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 261

n = 1.5, c = 3 · 108 m / s, v = ?, p = ?

Indeks loma n nekog prozirnog sredstva jednak je kvocijentu brzine svjetlosti c u vakuumu i brzine svjetlosti v u tom sredstvu.

v.

cn =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Koliki je postotak broja a od broja b?

0%.10a

b⋅

Brzina svjetlosti u staklu iznosi: 8

3 108

v 2 10 .v v 1

v/

.5

m

c c c msn nn sn

⋅

= ⇒ = ⇒ = =⋅ = ⋅

Postotak je: 8

2 10 2v

100% 10

810

810

0% 100% 66.67%.8c 3 10 3

m

sp p p pm

s

m

s

m

s

⋅ ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅

Vježba 261

Odredite brzinu svjetlosti u staklu indeksa loma 1.2. Izrazite tu brzinu u postotcima od brzine svjetlosti u vakuumu. (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 2.5 · 108 m / s, 83.33%. Zadatak 262 (Mario, tehnička škola)

Čovjek gleda u konkavno sferno zrcalo polumjera zakrivljenosti 1 m. Na kojoj se udaljenosti od zrcala mora nalaziti da sebe vidi dva put povećanog?

Rješenje 262

R = 1 m, y ' = 2 · y, a = ?

Sferno zrcalo je dio kugline površine, tj. ono je kalota kugle. Jednadžba sfernog zrcala daje svezu između udaljenosti predmeta i slike od sfernog zrcala i fokalne daljine. Uzmemo li kao ishodište tjeme zrcala i označimo li sa a udaljenost predmeta od tjemena, sa b udaljenost slike od tjemena, sa f udaljenost fokusa (žarišta) od tjemena i sa R polumjer zakrivljenosti zrcala, vrijede jednadžbe:

1 1 1 1,

2.

1

a b f a b R+ = + =

Za žarišnu (fokalnu) daljinu vrijedi:

2

2.

Rf =

Povećanje zrcala γ zovemo omjerom između veličine slike y ' i veličine predmeta y:

.'y b

y aγ = = −

Kad je γ negativan, slika je obrnuta, a kad je pozitivan, slika je uspravna. Konkavno sferno zrcalo daje realnu sliku, ako je udaljenost predmeta od zrcala a veća od žarišne daljine f. Realna slika dobiva se za a > f pa je tada i b > f. Slika je obrnuta, a povećanje γ < 0. Konkavno sferno zrcalo daje virtualnu sliku, ako je udaljenost predmeta od zrcala a manja od žarišne daljine f. Virtualna slika dobiva se za a < f pa je tada b < 0. Slika je uspravna, a povećanje γ > 1.

• Za realnu sliku je

' 2 2' 2

b

a b y b y b b

a y a y a

y

yy

y

a

γ

γ

= −⋅ ⋅

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − −

−

− ⇒

=

⇒ =

( )2 2/ .b

aa

a b⋅ −⇒ − = − ⇒ = ⋅

Računamo udaljenost a.

[ ]1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2

22 2 2a b R a

ba R a R a R

a+

+ = ⇒ ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅

= ⋅⋅

3/

2 2 3 3 1 30.75 .

3 2 3 2 4 42 4

a Ra c b d a R R ma m

b d a cm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = = ⋅

= ⇒ =

F S

• Za virtualnu sliku je

'

' 2 22

b

a b y b y b b

a y a y a yy

y

a

yγ

γ

= −⋅ ⋅

⇒ − = ⇒

=

− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒

( )2 2 ./ ab

b aa

⇒ − = ⇒ = − ⋅⋅ −

Računamo udaljenost a.

3

[ ]1 1 2 1 1 2 2 1 2 2

2 22

1

2a b R a a R a Rb a

a R

−+ = ⇒ ⇒ − = ⇒ == − ⇒ =

⋅ ⋅⋅ ⇒

⋅

1 12 2 0.25 .

2 2 4 4

1/

2 4

R R R ma a

a c b d

b da m

am

c

⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = = = =

= ⇒ = ⋅

SF

Vježba 262

Čovjek gleda u konkavno sferno zrcalo polumjera zakrivljenosti 10 dm. Na kojoj se udaljenosti od zrcala mora nalaziti da sebe vidi dva put povećanog?

Rezultat: 7.5 dm, 2.5 dm. Zadatak 263 (Ante, srednja škola)

Zraka svjetlosti pada na površinu tekućine pod kutom 35°, a lomi se pod kutom 28°. Koliki će biti kut loma ako zraka upada pod kutom 70°?

Rješenje 263

α1 = 70° kut upadanja, β1 = 28° kut loma, α2 = 70° kut upadanja, β2 = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

4

sin 1sin sin sin sin sin1 1 2 1 2sin sin sin sin sin2 1 2

sin sin2 1/si1 2

s

n 1in 2

n

n

α

β α α α α

α β β β β

β

β β

α

=

⇒ = ⇒ = ⇒

=

⋅⋅

sin sin sin sin12 1 2 1sin sin2 2sin sin1 1

α β α ββ β

α α

⋅ ⋅−⇒ = ⇒ = ⇒

sin 70 sin 281sin 50 16 '35 ''.2 2sin 35

β β⋅−

⇒ = ⇒ =

� �

�

�

Vježba 263

Zraka svjetlosti pada na površinu tekućine pod kutom 35°, a lomi se pod kutom 28°. Koliki će biti kut loma ako zraka upada pod kutom 60°?

Rezultat: 45° 8' 26''. Zadatak 264 (Ante, srednja škola)

Pod kojim kutom β vidi ronilac pod vodom Sunce koje je na zalazu. Indeks loma vode je 1.333.

Rješenje 264

α = 90° upadni kut zrake Sunca na zalazu, n = 1.333, β = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

Totalna refleksija je pojava koja se isključivo javlja pri prijelazu svjetlosti iz optički gušćeg u optički rjeđe sredstvo. Granični upadni kut αg je onaj za koji je kut loma 90º. Kada svjetlost prelazi iz sredstva apsolutnog indeksa loma n u vakuum, odnosno zrak, tada je

1in .s g

nα =

1.inačica

Uzmemo li zraku koja polazi od očiju ronioca kao upadnu zraku, onda će upadni kut β biti granični kut totalne refleksije.

1 1 11 1sin sin sin 48 36'24''.1.333n n

β β β β − −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

2.inačica

5

Ako je Sunčeva zraka upadna, tada je kut upadanja α = 90° pa vrijedi:

sin sin sin sinsin

sin sin si

si/

n

n

nn n n

n

βα α α αβ

β β β= ⇒ = =⋅⇒ = ⇒ ⇒

sin sin 901 1sin sin 48 36 '24 ''.

1.333n

αβ β β

− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

�

ββββ

Vježba 264

Pod kojim kutom β vidi ronilac pod vodom Sunce koje je na zalazu. Indeks loma vode je 1.33.

Rezultat: 48 45 '12 ''.β =�

Zadatak 265 (Max, gimnazija)

Svjetlost se lomi na prijelazu iz zraka u staklo, indeksa loma 1.5, tako da je kut upadanja jednak dvostrukom kutu loma. Koliki je pripadni upadni kut?

Rješenje 265

n = 1.5, α = 2 · β, α = ?

sin 2 2 si c s .n ox x x= ⋅ ⋅

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

6

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

[ ]sin sin 2 2 sin cos 2 cos

sin sin

sin2

sii ns nn n n n

α β β β βα β

β

β

β β β

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ ⇒= = ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

12 cos 2 cos cos cos .

2 2/ : 2

n nn nβ β β β

−⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =

Mjera kuta α iznosi:

1cos 1.51 1

2 cos 2 cos 82 49 ' 9 ''.22 2

2

nnβ

α α β

α β

−= − −

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅

�

Vježba 265

Svjetlost se lomi na prijelazu iz zraka u staklo, indeksa loma 1.4, tako da je kut upadanja jednak dvostrukom kutu loma. Koliki je pripadni upadni kut?

Rezultat: 91 8 ' 46 ''.α =�

Zadatak 266 (Max, gimnazija)

Zraka svjetlosti upada na površinu tekućine pod kutom 50° i lomi se pod kutom 32°. Koliki je granični kut totalne refleksije za tu površinu?

Rješenje 266

α = 50°, β = 32°, αg = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

Totalna refleksija je pojava koja se isključivo javlja pri prijelazu svjetlosti iz optički gušćeg u optički rjeđe sredstvo. Granični upadni kut αg je onaj za koji je kut loma 90º. Kada svjetlost prelazi iz sredstva apsolutnog indeksa loma n u vakuum, odnosno zrak, tada je

1in .s g

nα =

sin 11 sin sinsin 11sin sin sin sin

sin sin sin sin1sin sin sin

n

g g g g

gn

α

β ββα α α α

α α α αα

β β

= −

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

7

sin 321sin 43 46' 11''.sin 50

g gα α −

⇒ = ⇒ =

�

�

�

Vježba 266

Zraka svjetlosti upada na površinu tekućine pod kutom 50° i lomi se pod kutom 30°. Koliki je granični kut totalne refleksije za tu površinu?

Rezultat: 40 44' 45''.gα =�

Zadatak 267 (Marija, gimnazija)

Koliki mora biti polumjer zakrivljenosti zrcala ako se želi dobiti tri puta povećana uspravna slika predmeta koji je postavljen 20 cm od sfernog zrcala?

Rješenje 267

y ' = 3 · y, a = 20 cm = 0.2 m, R = ?

Sferno zrcalo je dio kugline površine, tj. ono je kalota kugle. Jednadžba sfernog zrcala daje svezu između udaljenosti predmeta i slike od sfernog zrcala i fokalne daljine. Uzmemo li kao ishodište tjeme zrcala i označimo li sa a udaljenost predmeta od tjemena, sa b udaljenost slike od tjemena, sa f udaljenost fokusa (žarišta) od tjemena i sa R polumjer zakrivljenosti zrcala, vrijede jednadžbe:

1 1 1 1,

2.

1

a b f a b R+ = + =

Povećanje zrcala γ zovemo omjerom između veličine slike y ' i veličine predmeta y:

.'y b

y aγ = = −

Kad je γ negativan, slika je obrnuta, a kad je pozitivan, slika je uspravna.

0 slika je uspra'

' ' 3vna

y

y b b y b yy

y a a y a yb

a

γ

γ

=⋅

⇒ = − ⇒ − = ⇒ − = ⇒

>

= −

( )/3

3 3 3 .b b b

b aa a

ya

y a

⋅⇒ − = ⇒ − = ⇒ − ⇒ = −− ⋅⋅=

Računamo polumjer zakrivljenosti.

1 1 2 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2

3 3 3 3

3/

2a b R a a R a R a R a R

a R−+ = ⇒ −

⋅ ⋅⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 3 0.2 0.6 60 .R a m m cm⇒ = ⋅ = ⋅ = =

Vježba 267

Koliki mora biti polumjer zakrivljenosti zrcala ako se želi dobiti tri puta povećana uspravna slika predmeta koji je postavljen 2 dm od sfernog zrcala?

Rezultat: 6 dm. Zadatak 268 (Tomislav, gimnazija)

Zraka svjetlosti pada pod upadnim kutom 56° u središte gornje plohe staklene kocke, dok lomljena zraka pada u donji vrh kocke. Koliki je indeks loma stakla?

Rješenje 268

α = 56°, n = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na

8

granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine. Konveksni četverokuti su četverokuti kojima su svi kutovi manji od 180°. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. Duljina dijagonale d kvadrata izračunava se po formuli

.2d a= ⋅

a

a

a

a

a

a

a

x = a ⋅⋅⋅⋅ 2

2

x

a

ββββ

αααα

Uočimo pravokutan trokut čija je jedna kateta a, a druga

2

2 2

adx x

⋅= ⇒ =

i β šiljasti kut. Tada je:

2 2 222 2 2

21 1

a a

xtg tg tg tg tg

a

a

a aaβ β β β β

⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2135 15 '52 ''.

2tgβ β

−⇒ = ⇒ =

�

Uporabom zakona loma (Snelliusov zakona) izračunamo indeks loma stakla

sin sin sin 561.44.

sin sin sin 35 15 '52 ''n n n

α α

β β= ⇒ = ⇒ = =

�

�

9

Vježba 268

Zraka svjetlosti pada pod upadnim kutom 50° u središte gornje plohe staklene kocke, dok lomljena zraka pada u donji vrh kocke. Koliki je indeks loma stakla?

Rezultat: 1.33. Zadatak 269 (Marija, gimnazija)

Udaljenost je predmeta od divergentne leće n puta veća od žarišne udaljenosti leće. Koliko će puta slika biti manja od predmeta?

Rješenje 269

a = n · f, '

?y

y=

Leće su prozirna tijela, omeđena dvjema sfernim plohama, od kojih jedna može biti ravnina. Leće širokog ruba jesu divergentne (ili konkavne, ili rastresne), a leće tankog ruba konvergentne (ili konveksne, ili sabirne). Jednadžba je tanke leće

1 1,

1

a b f+ =

gdje je a udaljenost predmeta i b udaljenost slike od leće, a f fokalna daljina leće. Udaljenost je virtualne slike, kao i fokalna daljina divergentne leće negativna (b < 0, f < 0). Budući da je za divergentnu leću b i f negativno, slijedi:

( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11

/a b f b f a b f a b f a

− = − ⇒ − = − − ⋅ −⇒ − = − − ⇒ = + ⇒

( )1

1

a c ba f a f n f f n f fb b b

b a f a f n f fb f

d

d c na

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ + ⋅ +=

⋅⇒

+=

( ).

1 1

n f n fb b

n

f

nf

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

⋅ + +

Računamo samo koliko će puta slika biti manja od predmeta.

1' ' ' ' ' ' 11 1 1 1 .

1 11 1 1

n f n f

y

n f

b y y y y yn n n n

n fy a y n f y y y yn nf

⋅ ⋅ ⋅

+ + + += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⋅⋅ +

Vježba 269

Udaljenost je predmeta od divergentne leće 3 puta veća od žarišne udaljenosti leće. Koliko će puta slika biti manja od predmeta?

Rezultat: 1

.4

Zadatak 270 (Dado, gimnazija)

Zraka svjetlosti upada pod kutom 75° iz zraka na površinu ulja, lomi se, a zatim iz ulja, lomeći se, ulazi u anilin. Ako je ukupna devijacija zrake (kut između smjera upadne zrake i zrake u anilinu) jednaka 37°, kolika je brzina svjetlosti u anilinu? Indeks loma ulja manji je od indeksa loma anilina. (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rješenje 270

α = 75°, φ = 37°, c = 3 · 108 m / s, va = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma. Upadni kut α i kut loma β vezani

10

su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin 1sin 2

,v

v

α

β=

gdje su v1 i v2 brzine svjetlosti u prvom i drugom sredstvu.

.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

αααα = γγγγ + ϕϕϕϕαααα

anilin

ulje

zrak

ϕϕϕϕγγγγ

ββββ

ββββ

αααα

Sa slike vidi se:

75 37 38 .γ ϕ α γ α ϕ γ γ+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =� � �

Dva put primijenimo Snelliusov zakon: • kad svjetlost prelazi iz zraka u ulje

brzina svjetlosti u zraku brzina svjetlostsi

i u uljun

, ,sin

cc vu

vu

α

β=

• kad svjetlost prelazi iz ulja u anilin

brzina svjetlosti u ulju brzina ssin

, , .si

vjetlosti u anilinun

vu v vu ava

β

γ=

Iz sustava jednadžbi izračunamo brzinu svjetlosti u anilinu.

sin

sin sin sinpo sin

si

množi

n sin sin sin

s

mo sin

jednadžb

n

e n

i

si

vu

c

v vc cu u

v v v vu u a a

v

u

a

v

α

β α β α β

ββ β γ γ

γ

=

⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

=

sin sin sin

sin sin si

si/

sin n

nc cv ca a

v

v va a

α α

α

γγ

γ γ α

⋅⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

11

sin 388 83 10 1.91 10 .

sin 75

m m

s s= ⋅ ⋅ = ⋅

�

�

Vježba 270

Zraka svjetlosti upada pod kutom 70° iz zraka na površinu ulja, lomi se, a zatim iz ulja, lomeći se, ulazi u anilin. Ako je ukupna devijacija zrake (kut između smjera upadne zrake i zrake u anilinu) jednaka 37°, kolika je brzina svjetlosti u anilinu? Indeks loma ulja manji je od indeksa loma anilina. (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

Rezultat: 8

1.74 10 .m

s⋅

Zadatak 271 (Marija, gimnazija)

Predmet je na udaljenosti a ispred tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera zakrivljenosti a. Koliko je povećanje zrcala?

Rješenje 271

a = a, R = a, γ = ?

Sferno zrcalo je dio kugline površine, tj. ono je kalota kugle. Jednadžba sfernog zrcala daje svezu između udaljenosti predmeta i slike od sfernog zrcala i fokalne daljine. Uzmemo li kao ishodište tjeme zrcala i označimo li sa a udaljenost predmeta od tjemena, sa b udaljenost slike od tjemena, sa f udaljenost fokusa (žarišta) od tjemena i sa R polumjer zakrivljenosti zrcala, vrijede jednadžbe:

1 1 1 1,

2.

1

a b f a b R+ = + =

Povećanje zrcala γ zovemo omjerom između veličine slike y ' i veličine predmeta y:

.'y b

y aγ = = −

Kad je γ negativan, slika je obrnuta, a kad je pozitivan, slika je uspravna.

1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1.b a

a b R b R a b a a b a b a

−+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Povećanje je:

1.b a

a

a

aaγ γ γ γ= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

Vježba 271

Predmet je na udaljenosti b ispred tjemena konkavnog sfernog zrcala polumjera zakrivljenosti b. Koliko je povećanje zrcala? Rezultat: – 1. Zadatak 272 (Marija, gimnazija)

Vertikalni stup visine 2 m stoji na horizontalnom dijelu dna jezera i potpuno je pod vodom. Kolika je duljina njegove sjene na dnu ako svjetlosne zrake padaju na površinu vode pod upadnim kutom (kut između zrake i okomice na površinu) 53°? Indeks loma vode je 1.33.

Rješenje 272

h = 2 m, α = 53°, n = 1.33, d = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

12

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut.

h

d

ββββ

ββββ

αααα

Svjetlosne zrake padaju na površinu vode pod upadnim kutom α pa kut loma β iznosi:

sin sin sin sinsin

sin sin si

si/

n

n

nn n n

n

βα α α αβ

β β β= ⇒ = =⋅⇒ = ⇒ ⇒

sin sin 531 1sin sin 37 .

1.33n

αβ β β

− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

�

Uočimo pravokutan trokut čije su katete h i d. Uporabom funkcije tangens izračunamo duljinu sjene.

2 37 1.51/ .d d d

tg tg tg d h tg m tg mh h

hh

β β β β= ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅ = ⋅ = ⋅�

Vježba 272

Vertikalni stup visine 20 dm stoji na horizontalnom dijelu dna jezera i potpuno je pod vodom. Kolika je duljina njegove sjene na dnu ako svjetlosne zrake padaju na površinu vode pod upadnim kutom (kut između zrake i morske površine) 53°? Indeks loma vode je 1.33. Rezultat: 1.51 m. Zadatak 273 (Ante, gimnazija)

Ribar iz barke usmjeri snop svjetlosti pod kutom od 30° u odnosu na površinu mora na jato riba horizontalno udaljeno 5 m od barke. Na kojoj dubini je jato? Indeks loma morske vode je 1.33.

. 3.4 . 4.2 . 8.1 . 5.8 . 5A m B m C m D m E m

Rješenje 273

γ = 30°, d = 5 m, n1 = 1 indeks loma zraka, n2 = 1.33 indeks loma morske vode, h = ? Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i

13

sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin sin,2 2,1sin sin

,1

nn

n

α α

β β= =

gdje je α upadni kut, β kut loma, n1 apsolutni indeks loma prvog sredstva, n2 apsolutni indeks loma drugog sredstva, n2,1 relativni indeks loma drugog sredstva prema prvom sredstvu.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta. Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut.

d

h

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

Zraka svjetlosti zatvara s morskom površinom kut γ = 30° pa je upadni kut α jednak:

90 90 30 60 .α γ α α= − ⇒ = − ⇒ =� � � �

Da bismo odredili kut loma β uporabit ćemo Snelliusov zakon.

sinsin sin sin2 2 2 1sinsin sin sin

sin1/21 1 1 2

n n n n

n

n

n nn n

β αα α αβ

β β β

⋅⋅⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

sin 1 sin 601 11sin sin 40 38 '.1.332

n

n

αβ β β

⋅ ⋅− −⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

�

Sada izračunamo kut δ koji lomljena zraka svjetlosti zatvara s morskom površinom.

90 90 40 38 ' 89 60 ' 40 38 ' 49 22 '.δ β δ δ δ= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =� � � � � �

Uočimo pravokutan trokut čije su katete horizontalna udaljenost d i dubina h, a δ šiljasti kut. Pomoću funkcije tangens dobije se:

14

5 49 22 ' 5.83 5.8 ./h h h

tg tg tg h d tg m tg m md d d

dδ δ δ δ= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ≈⋅ = ⋅�

Odgovor je pod D.

Vježba 273

Ribar iz barke usmjeri snop svjetlosti pod kutom od 30° u odnosu na površinu mora na jato riba horizontalno udaljeno 500 cm od barke. Na kojoj dubini je jato? Indeks loma morske vode je 1.33.

. 3.4 . 4.2 . 8.1 . 5.8 . 5A m B m C m D m E m Rezultat: D. Zadatak 274 (Marko, gimnazija)

Zraka svjetlosti, šireći se kroz tekućinu, upada na površinu tekućina – zrak pod kutom 45° prema okomici. Lomeći se zraka skrene od prvobitnog smjera za 25° 19'. Koliki je indeks loma tekućine? (indeks loma zraka n2 = 1.0)

Rješenje 274

α = 45°, φ = 25° 19', n2 = 1.0, n1 = ?

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin sin,2 2,1sin sin

,1

nn

n

α α

β β= =

gdje je α upadni kut, β kut loma, n1 apsolutni indeks loma prvog sredstva, n2 apsolutni indeks loma drugog sredstva, n2,1 relativni indeks loma drugog sredstva prema prvom sredstvu. Svjetlost ima najveću brzinu u vakuumu. Sredstvo u kojemu je brzina svjetlosti manja nazivamo optički gušćim sredstvom. Ako zrake svjetla upadaju iz optički rjeđeg u optički gušće sredstvo, lomit će se prema okomici. Ako zrake upadaju iz optički gušćeg u optički rjeđe sredstvo, lomit će se od okomice (okomica se postavlja na granicu dva sredstva različite optičke gustoće).

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

αααα

tekućina

zrak

n1

n2

αααα

ββββ

ϕϕϕϕ

C

15

Budući da zraka prelazi iz optički gušćeg sredstva u optički rjeđe, lomi se od okomice pa je

45 25 19 ' 70 19 '.β α ϕ= + = + =� � �

sin sin sin2 2 1sin sin sin1 1 2

n n n

n n

a c b

b d a c n

dα α β

β β α== ⇒ = ⇒⇒⇒ ⇒ ==

sin sin sin 70 19 '1 1.0 1.33.1 2sin s/

in2 sin 452

nn n

nn

β β

α α⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅

�

�

Vježba 274

Zraka svjetlosti, šireći se kroz tekućinu, upada na površinu tekućina – zrak pod kutom 45° prema okomici. Lomeći se zraka skrene od prvobitnog smjera za 15°. Koliki je indeks loma tekućine? (indeks loma zraka n2 = 1.0)

Rezultat: 1.22. Zadatak 275 (Pavle, gimnazija)

Plankonveksna leća polumjera zakrivljenosti 10 cm izrađena je od stakla indeksa loma 1.55. Kolika je žarišna (fokalna) daljina leće u: a) zraku indeksa loma n1 = 1.00 b) vodi indeksa loma n2 = 1.33 c) sredstvu indeksa loma n3 = 1.55 d) sredstvu indeksa loma n4 = 1.60?

Rješenje 275

R1 = 10 cm = 0.1 m, R2 = ∞ plankonveksna leća!, n1 = 1.55 staklo, n2 = 1.00, n3 = 1.33, n4 = 1.55, n5 = 1.60, f = ?

Leće su prozirna tijela, omeđena dvjema sfernim plohama, od kojih jedna može biti ravnina. Leće širokog ruba jesu divergentne (ili konkavne, ili rastresne), a leće tankog ruba konvergentne (ili konveksne, ili sabirne). Žarišna je daljina dana jednadžbom

( )1 1 1

11 2

,nf R R

= − ⋅ +

gdje je n relativni indeks loma leće (prema sredstvu u kojemu se nalazi leća), a R1 i R2 jesu polumjeri zakrivljenosti sfernih ploha leće. Predznak polumjera pozitivan je pri konveksnoj leći, a negativan pri konkavnoj leći. Žarišna daljina divergentne leće je negativna. Ako je tanka leća izrađena od materijala apsolutnog indeksa loma n1, a nalazi se u sredstvu apsolutnog indeksa loma n2 njezina jednadžba glasi:

1 1 11 12 1 2

.n

f n R R= − ⋅ +

Leća je plankonveksna pa se njezina jednadžba može preoblikovati na ovaj način:

16

1 1 1 1 1 11 11 12 1 2 2

21

n n

f n R R RR

f n= − ⋅ + ⇒ ⇒ = − ⋅ += ∞ ⇒

∞

10

matematički nije korektno napisano,

ali se u praksi time koristimo

1 11 1 02 1

n

f n R⇒ ⇒ = − ⋅ + ⇒

=∞

1 11 1 11 2 11 .

12 1 1 12

n

n n Rf

nf n R f R

a c b d

b d a c

n

−

⇒ = − ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ =

−

= ⇒ =

a)

0.11 0.1818 18.18 .1.551 111.00

2

R mf m cm

n

n

= = = =

−−

b)

0.11 0.6045 60.45 .1.551 111.33

3

R mf m cm

n

n

= = = =

−−

c)

0.1 0.1

1.55

0.1 0.11 .1.55 1 1 01 1 11

11.554

.55

R m m m mf

n

n

= = = = = = ∞−

− −−

Leća gubi svoja temeljna svojstva.

d)

0.11 3.2 320 .1.551 111.60

5

R mf m cm

n

n

= = = − = −

−−

Predznak ( – ) pokazuje da će se leća u ovom slučaju ponašati kao divergentna leća.

Vježba 275

Plankonveksna leća polumjera zakrivljenosti 1 dm izrađena je od stakla indeksa loma 1.55. Kolika je žarišna daljina leće u vodi indeksa loma n2 = 1.33?

Rezultat: 60.45 cm. Zadatak 276 (Pavle, gimnazija)

Žarišna daljina povećala iznosi 8 cm. U kojim se granicama kreće povećanje te leće (d = 25 cm) kao lupe?

Rješenje 276

f = 8 cm = 0.08 m, d = 25 cm = 0.25 m daljina jasnog vida, M = ?

Okularni optički instrumenti povećavaju vidni kut pod kojim gledamo predmet. Leća može služiti kao lupa kada se stavi neposredno uz oko. Tada je kutno povećanje:

17

1d d

Mf f

≤ ≤ +

za bliže i dalje predmete; d = 25 cm daljina jasnog vida.

0.25 0.251 1 3.125 4.125.

0.08 0.08

d d m mM M M

f f m m≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤

Vježba 276

Žarišna daljina povećala iznosi 80 mm. U kojim se granicama kreće povećanje te leće (d = 25 cm) kao lupe?

Rezultat: 60.45 cm. Zadatak 277 (Vesna, gimnazija)

Ukupno povećanje teleskopa iznosi 30. Žarišna daljina objektiva je 1.2 m. Kolika je žarišna daljina okulara i duljina teleskopa?

Rješenje 277

M = 30, fob = 1.2 m, fok = ? l = ?

Dalekozor i teleskop služe za promatranje dalekih i vrlo dalekih objekata. Povećanje u oba slučaja iznosi

,fobM

fok

=

gdje je fob žarišna daljina objektiva, fok žarišna daljina okulara. Duljina teleskopa je

.l f fob ok

≈ +

Žarišna daljina okulara iznosi:

1.20.0/ 4 4 .

30

f f f mob ob obM M f m cmo

fok

kf f Mok o

Mk

= ⇒ = ⇒ = = = =⋅

Duljina teleskopa je

1.2 0.04 1.24 124 .l f f m m m cmob ok

= + = + = =

Vježba 277

Ukupno povećanje teleskopa iznosi 30. Žarišna daljina objektiva je 120 cm. Kolika je žarišna daljina okulara i duljina teleskopa?

Rezultat: 4 cm, 124 cm. Zadatak 278 (Vesna, gimnazija)

Duljina malog teleskopa je 49 cm, a povećanje 20. Kolike su žarišne daljine okulara i objektiva?

Rješenje 278

l = 49 cm = 0.49 m, M = 20, fok = ?, fob = ?

18

Dalekozor i teleskop služe za promatranje dalekih i vrlo dalekih objekata. Povećanje u oba slučaja iznosi

,fobM

fok

=

gdje je fob žarišna daljina objektiva, fok žarišna daljina okulara. Duljina teleskopa je

.l f fob ok

≈ +

/f f fob ob ob f M fM M M f

ob okf f fok ok ok f f l

ob okl f f f f l f f lob ok ob ok ob ok

ok

= ⋅= = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + = = + + = + =

⋅

( ) ( )11

/1

1M f f l f M l f M lok ok ok ok M

⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ + = = ⋅⋅ ++

⇒ ⇒

0.490.0233 2.33 .

1 20 1

l mf m cmok M

⇒ = = = =+ +

Računamo fob. 20 2.33 46.6 .f M f cm cm

ob ok= ⋅ = ⋅ =

Ili 49

2.33l f f f f l f l f

ob ok ob ok ob o

l cm

f cmok

k

= + ⇒ + = ⇒ = − ⇒ ⇒

=

=

49 2.33 46.67 .f cm cm cmob

⇒ = − =

Vježba 278

Duljina malog teleskopa je 4.9 dm, a povećanje 20. Kolike su žarišne daljine objektiva i okulara?

Rezultat: 4 cm, 124 cm. Zadatak 279 (Petra, gimnazija)

Koliki je indeks loma sredstva ako svjetlosni signal prijeđe u njemu udaljenost od 1.5 m za 0.0075 µs? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

. 1.21 . 1.42 . 1.5 . 1.27A B C D

Rješenje 279

s = 1.5 m, t = 0.0075 µs = 7 · 10-9 s, c = 3 · 108 m / s, n = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

,s

s v t vt

= ⋅ ⇒ =

gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba. Pri prijelazu svjetlosti iz jednog optičkog sredstva u drugo frekvencija ostaje nepromijenjena, a valna se duljina i brzina mijenjaju. Apsolutni indeks loma n nekog prozirnog sredstva jednak je količniku brzine svjetlosti u vakuumu c i brzine svjetlosti v u tom sredstvu.

.c

nv

=

19

8 93 10 7.5 10

1 1.5.1.5

s mcv s

c c tt sn n ns sc s m

nt tv

−= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = = =

=

Odgovor je pod C.

Vježba 279

Koliki je indeks loma sredstva ako svjetlosni signal prijeđe u njemu udaljenost od 3 m za 0.015 µs? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

. 1.21 . 1.42 . 1.5 . 1.27A B C D

Rezultat: C. Zadatak 280 (Željka, srednja škola)

Pri prijelazu iz zraka u staklo upadni kut svjetlosti je 50°, a kut loma 30°. Kolika je brzina svjetlosti u staklu? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

7 8 7 8. 1.5 10 . 1.96 10 . 3.25 10 . 3 10

m m m mA B C D

s s s s⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 280

α = 50°, β = 30°, c = 3 · 108 m / s, v = ?

Pri prijelazu svjetlosti iz jednog optičkog sredstva u drugo frekvencija ostaje nepromijenjena, a valna se duljina i brzina mijenjaju. Apsolutni indeks loma n nekog prozirnog sredstva jednak je količniku brzine svjetlosti u vakuumu c i brzine svjetlosti v u tom sredstvu.

.c

nv

=

Kad svjetlost prelazi iz jednog optičkog sredstva u drugo, mijenja smjer. Upadna zraka, okomica na granicu sredstva u upadnoj točki i lomljena zraka leže u istoj ravnini. Omjer sinusa kuta upadanja α i sinusa kuta loma β stalan je broj koji nazivamo indeksom loma n. Upadni kut α i kut loma β vezani su jednadžbom (Snelliusov zakona):

sin

si.

nn

α

β=

Ako je prvo sredstvo vakuum (zrak), tada indeks loma nazivamo apsolutnim indeksom loma n.

2. sredstvo

1. sredstvo

ββββ

αααα

sin

sin sinsin

sin sin

nc v

v ccn

a c b d

b d c

v

a

α

α ββ

β α

=

⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒= =

=

⇒

20

sin sin sin 308 83 10 1.96 10 .

sin sin in 50/

s

v m mv c

c s sc

β β

α α⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅

�

�

Odgovor je pod B.

Vježba 280

Pri prijelazu iz zraka u staklo upadni kut svjetlosti je 45°, a kut loma 30°. Kolika je brzina svjetlosti u staklu? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 108 m / s)

7 8 8 8. 1.9 10 . 2.01 10 . 2.12 10 . 3 10

m m m mA B C D

s s s s⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: C.