14. Simulacijamilanmerkle.etf.rs/wp-content/uploads/2018/03/14-Monte... · 2018-05-28 · 14....

14. Simulacija

Profesor Milan [email protected] milanmerkle.etf.rs

Verovatnoca i Statistika-prolece 2018

Milan Merkle Simulacija ETF Beograd 1 / 12

Generisanje pseudo-slucajnih brojeva

Da bi se generisali racionalni brojevi iz Unif (0, 1) raspodele, polazi se odalgoritama koji generisu prirodne brojeve.

Linearni kongruentni metod:

Nk ≡ aNk−1 + b (mod c),

gde su a, b, c prirodni brojevi.Ovako se niz prirodnih brojeva iz intervala [0, c − 1]; sa Uk = Nk/cdobijamo niz racionalnih brojeva iz [0, 1).Na primer: a = 314159269, b = 907633409 i c = 232

Algoritmi novijeg datuma: Kiss, Mersenne Twister, . . .Iz kosmickog zracenja: https://www.random.org

Postoje mnogobrojni testovi slucajnosti . . .

Generisanje raspodela

Polazimo od pretpostavke da imamo proizvoljno dugacak niz nezavisnihslucajnih brojeva U1,U2, . . . iz generatora slucajnih brojeva.

Ako je U ∼ Unif (0, 1), tada je i 1− U ∼ Unif (0, 1)√

Diskretne raspodele

Bernulijeva raspodela

Bacanje kocke

Bin (n, p) preko Bernulijeve

Diskretne raspodele

Bacanje kocke

Diskretne raspodele

Bacanje kocke

Diskretne raspodele

Bacanje kocke

Diskretne raspodele -nastavak

Raspodele sa beskonacno mnogo mogucih vrednosti:

P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, . . . ,∑

pi = 1

Univerzalni algoritam:

X = xk ako jek−1∑i=0

pi ≤ U <

k∑i=0

pi (p0 = 0).

Za neke raspodele algoritam se moze pojednostaviti.

Diskretne raspodele -nastavak

Primer 210. Geometrijska raspodelaX = k ako je

pk−1∑i=1

(1− p)i−1 ≤ U < pk∑

(1− p)i−1

⇐⇒ X = 1 +

[log(1− U)

log(1− p)

]Algoritam:

X = 1 +

log(1− p)

Neprekidne raspodele

X = F−1(U) ima raspodelu sa funkcijom raspodele F .

Primer 212. Eksponencijalna raspodela

X = − 1

λlogU

Neprekidne raspodele

X = F−1(U) ima raspodelu sa funkcijom raspodele F .

Primer 212. Eksponencijalna raspodela

X = − 1

λlogU

Puasonova preko eksponencijalne

Primer 211. Puasonova raspodela Neka je N prvi prirodan broj za kojije

U1 · U2 · · ·Un < e−λ.

X = N − 1 ima Poiss (λ) raspodelu.

Ovaj algoritam nije efikasan za veliko λ. Postoje i drugi egzaktni iaproksimativni metodi.

Puasonova preko eksponencijalne

Primer 211. Puasonova raspodela Neka je N prvi prirodan broj za kojije

U1 · U2 · · ·Un < e−λ.

X = N − 1 ima Poiss (λ) raspodelu.

Ovaj algoritam nije efikasan za veliko λ. Postoje i drugi egzaktni iaproksimativni metodi.

Metod odbacivanja

Generisanje X ∼ f (gustina koncentrisana na intervalu I ). Neka je Y ∼ gna istom intervalu I tako za neko c > 0 vazi da je f (y) ≤ cg(y) za svakoy ∈ I . Metod odbacivanja se sastoji od dva koraka.

1 Generisati Y sa gustinom g i generisati slucajan broj U.

2 Ako je U ≤ f (Y )/cg(Y ), staviti X = Y . U protivnom ponoviti 1◦.

Broj potrebnih koraka N u ovom algoritmu je geometrijska raspodela saE (N) = c .

Metod odbacivanja

Primer

Primer 213. Generisanje beta raspodele. Neka je f gustina betaraspodele sa parametrima α > 1 i β > 1:

f (x) = cxα−1(1− x)β−1 , x ∈ (0, 1) , c =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)

Ovde je f (x) ≤ c = c · 1 na intervalu (0, 1), Y ∼ Unif [0, 1].Algoritam:

1 Generisati nezavisne U1 i U2.

2 Ako je U2 < Uα−11 (1− U1)β−1, staviti X = U1. U protivnom,

ponoviti korak 1◦. �

Primer

f (x) = cxα−1(1− x)β−1 , x ∈ (0, 1) , c =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)

Primer

f (x) = cxα−1(1− x)β−1 , x ∈ (0, 1) , c =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)

Neprekidne raspodele-nastavak

Aproksimativni algoritam za N (0, 1)

Z = U1 + · · ·+ U12 − 6

Egzaktan alogoritam za N (0, 1) - Polarni metod

Z1 =√−2 logU1 cos(2πU2), Z2 =

√−2 logU1 sin(2πU2)

Neprekidne raspodele-nastavak

Aproksimativni algoritam za N (0, 1)

Z = U1 + · · ·+ U12 − 6

Egzaktan alogoritam za N (0, 1) - Polarni metod

Z1 =√−2 logU1 cos(2πU2), Z2 =

√−2 logU1 sin(2πU2)

Za vezbu: Zadaci 217, 218, 224, 324-336

14. Simulacijamilanmerkle.etf.rs/wp-content/uploads/2018/03/14-Monte... · 2018-05-28 · 14....

Documents

Transcript of 14. Simulacijamilanmerkle.etf.rs/wp-content/uploads/2018/03/14-Monte... · 2018-05-28 · 14....