1.4 Polynome - tu-freiberg.de · Polynomdivision und Linearfaktoren Abspaltung von Linearfaktoren x...
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1.4 Polynome
Polynome und ihre Nullstellen
an, an°1, ... , a1, a0 ... Koeffizienten, an = 1 ... normiertes Polynom
Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von
p(x)= x3°5x2+5x °1 analytisch bestimmen?
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 42/104
Polynomdivision und Linearfaktoren
Abspaltung von Linearfaktorenx °x0 ist Linearfaktor des Polynoms P(x) genau dann, wenn x0 Nullstelle
des Polynoms ist. P(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x °x0teilbar.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 43/104
Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen höherer OrdnungWurzelsatzWenn das Polynom
P(x)= anxn+an°1x
n°1+ ...+a1x +a0 mit a0,a1, ...an°1,an 2Z,
eine rationale Lösunguv mit teilerfremden u und v besitzt, dann ist u
Teiler von a0 und v Teiler von an.
Beweisidee: Sei x0 = uv (u,v 2Z, teilerfremd) eine Nullstelle von P(x),
dann gilt
P(x0)= an≥uv
¥n+an°1
≥uv
¥n°1
+ ...+a1
≥uv
¥+a0 = 0
() anun+an°1u
n°1v + ...+a1uvn°1+a0v
n = 0
() uhanu
n°1+an°1un°2+ ...+a1
i=°a0v
n(1)
bzw. () anun =°v [an°1u
n°1+ ...+a1uvn°2+a0v
n°1] (2)
Wegen (1) muss a0 durch u und wegen (2) muss an durch v teilbar sein.
Insbesondere ist die rationale Lösung ganzzahlig, wenn an = 1 ist.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 44/104
Bemerkungen
Wenn es nicht nur ganzzahlige Koeffizienten gibt, dann muss das
Verfahren nicht funktionen:
Beispiel x3°6x2+ 1
3x °2 besitzt die Nullstelle x = 6, die Zahl 6 ist aber
kein Teiler von 2.
Wenn der führende Koeffizient nicht 1 ist, dann muss die rationale
Lösung keine ganzzahlige Lösung sein.
Beispiel: 2x3°3x2+2x °3 hat die einzige reelle Nullstelle x = 3
2.
Ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und einem führenden
Koeffiziente gleich 1 muss keine ganzzahligen Nullstellen haben:
Beispiel: x2°2x °1 besitzt die Nullstellen x1/2 = 1±p
2 (irrationale
Zahlen).
Auch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und einem führenden
Koeffiziente gleich 1 muss keine reellen Nullstellen haben!
Beispiel: x2+2x +4= 0 besitzt keine reellen Nullstellen.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 45/104
Anwendung
Bestimmung von Nullstellen eines normierten Polynoms vom Grad n> 1
mit ganzzahligen Koeffizienten
Pn(x)= 1xn+an°1xn°1+ ...+a1x +a0 mit a0,a1, ...an°1 2Z.
Vorgehen:
(1) Bestimmen alle Teiler des Absolutglieds a0 (positive und negative
Zahlen, auch ±1.)
(2) Durch systematisches Probieren finde man eine Nullstelle x0 des
Polynoms.
(3) Abdividieren des Linearfaktors (x °x0) ergibt Pn(x)= (x °x0)Pn°1
mit einem normierten Polynom vom Grad kleiner n.
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Nullstellen
Beispiel:Das Absolutglied des Polynoms P(x)= x3°12x2+47x °60 ist °60.
Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit alle ganzzahligen Teiler des
Absolutglieds a0 =°60 in Frage:
±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60.
Durch systematisches Probieren erhalten wir x1 = 3 als Nullstelle, denn
33°12 ·32+47 ·3°60= 27°108+141°60= 0.
Wir wissen jetzt also, dass P(x) ohne Rest durch x °3 teilbar ist.
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Polynomdivision
Die Abspaltung des Linearfaktors erfolgt jetzt per Polynomdivision,
analog zum schriftlichen Dividieren von Zahlen:
(x3°12x2 +47x °60) : (x °3)= x2°9x +20
x3°3x2
°9x2+47x
°9x2+27x
20x °60
20x °60
0
Folglich ist
P(x)= x3°12x2+47x °60= (x °3)(x2°9x +20).
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Die quadratische Gleichung x2°9x +20= 0 besitzt die Lösungen
x2/3 =°°9
2±
s(°9)2
4°20= 9
2±
s81
4° 80
4= 9
2± 1
2,
d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x2 = 4 und x2 = 5. Das Polynom
P(x) lässt sich faktorisieren gemäß
p(x)= (x °3)(x °4)(x °5).
Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung
x3°5x2+5x °1= 0.
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1.5 Kegelschnitte
Exkurs: Kegelschnitte
Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere
Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel.
Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons)
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Achsenparallele Kegelschnitte
Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (xM ,yM) lautet
(x °xM)2+ (y °yM)2 = r2.
Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((xM ,yM)= (0,0)), ergibt sich speziell
x2+y2 = r2.
Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung,
Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten
x2
a2+ y2
b2= 1 und
x2
a2° y2
b2= 1.
Wählt man als Mittelpunkt (xM ,yM), so sind x und y wieder durch
x °xM bzw. y °yM zu ersetzen.
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Gärtner-Konstruktion der Ellipse
Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen
Brennpunkten F1 und F2 gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall.
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Gärtner-Konstruktion der Hyperbel
Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen
Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante.
Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons)
Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder?
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2. Gleichungen, Ungleichungenund Beträge
2.1 Gleichungen
Motivierendes Beispiel und Warnung: Gesucht sind alle reellen
Lösungen der Gleichung
x +2
x2°4= 1.
Nach Multiplikation beider Seiten mit x2°4 ergibt sich die quadratische
Gleichung
x +2= x2°4 () x2°4°x °2= x2°x °6= 0.
Die p–q–Formel liefert
x1/2 = 1
2±
s1
4+6= 1
2±
s1+24
4= 1
2± 5
2
und damit die beiden Lösungen x1 = 3 und x2 =°2.
Das ist falsch! Doch wo liegt der Fehler?
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Ein Plot ist kein Nachweis, aber eine gute Idee!
Im Plot sieht man, dass x = 3 die einzige Lösung der Gleichungx+2
x2°4= 1
ist. Weiterhin liegt in x = 2 eine Polstelle vor.
Das wird auch deutlich, wenn man x2°4= (x °2)(x +2) schreibt.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 55/104
Richtige Lösung
Wegen x2°4= (x °2)(x +2) ist der Nenner für x =°2 bzw. x = 2 nicht
definiert, da sonst durch Null dividiert würde.
Für x 2R\{°2,2} gilt
x +2
x2°4= x +2
(x +2)(x °2)= 1
x °2= 1 () 1= x °2 () x = 3.
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung x = 3.
Da für x 6=±2 äquivalent umgeformt wurde, gibt es keine weiteren
Lösungen, und die Probe dient lediglich der Prüfung auf Rechenfehler.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 56/104
Lösen von Gleichungen
Eine Gleichung kann immer auch als Nullstellenaufgabe f (x)!= 0
aufgefasst werden. Vorgehensweise:
• Man bestimme den maximalen Definitionsbereich von f .
• Durch äquivalentes Umformen vereinfache man die Gleichung so,
dass die Lösungen einfach bestimmt/abgelesen werden können.
Grundsatz: Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe tun.
Äquivalente Umformungen sind:
• Addition, Subtraktion,
• Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null,
• Division durch eine Zahl ungleich Null,
• Anwendung von eineindeutigen Funktionen (Begriffe später), sofern
alles definiert ist.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 57/104
Wo steckt der Fehler?
Sei a= b.
a= b (3)
a2 = ab (4)
a2°b2 = ab°b2(5)
(a+b)(a°b)= b(a°b) (6)
a+b = b (7)
a= 0 (8)
Folglich ist a= b = 0 .
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Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
x °2
x +1+ x
x °1= 1+ 2x
x2°1
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Betrag und Betragsgleichungen
Der Betrag ist definiert als |x | =(
x , x ∏ 0,°x , x < 0.
Die Gleichung
|x | = a, a 2R, a∏ 0,
hat die Lösungen x1 =°a und x2 = a.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 60/104
Betragsleichungen
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
|2x °1| = 2.
Achten Sie dabei auf eine saubere Unterscheidung der Fälle 2x °1∏ 0
und 2x °1< 0.
Stellen Sie die Situation auch geometrisch dar.
Beim Auflösen von Beträgen wird für jeden in der Gleichung
vorkommenden Betrag eine Fallunterscheidung notwendig.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 61/104
2.2 Ungleichungen
Äquivalentes Umformen von Ungleichungen
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung eine reelle Zahl addiert
oder subtrahiert, so ändert sich das Relationszeichen nicht.
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer positiven reellen
Zahl multipliziert (oder dividiert), so ändert sich das
Relationszeichen nicht.
• Wird auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen reellen
Zahl mulipliziert (oder dividiert), so kehrt sich dasRelationszeichen um.
Bestimmen Sie alle Lösungen der Ungleichung °4x +3< x °2.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 62/104
Betragsungleichungen
Wie bei den Betragsgleichungen ist bei der Auflösung jedesvorkommenden Betrags eine Fallunterscheidung durchzuführen.
Bestimmen Sie alle x 2R, für die gilt: 2x < |x °1|.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 63/104
Quadratische Ungleichungen
ax2+bx +c > 0, a, b, c 2R, a 6= 0, andere Fälle analog.
Überführen in Normalform mittels Division durch a (Vorzeichen von a
beachten!)
x2+px +q > 0
1. y = x2+px +q ist eine nach
oben geöffnete Parabel.
2. Es gibt zwei, eine oder keine
Nullstelle.
3. Die Nullstellen trennen
Bereiche mit unterschied-
lichen Vorzeichen.
S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, Oktober 2019 64/104